Buku Guru Kelas XII SMAMA
170
e. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. UWLQ\DÂÂÂkk + 1 =
1 2
3 k
k §
· ¨
¸ ©
¹ .
Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. 3HUKDWLNDQEDKZDÂÂÂkk + 1 + kk + 1+ k + 1 + 1
= 1
2 3
k k k
§ ·
¨ ¸
© ¹
+ k + 1k + 1 + 1 = 1
2 3
k k k
[k + 3]
= 1
1 1
1 2
3 k
k k
Jadi Pk + 1 benar. f.
Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya
1 1
1 1
... 1 2
2 3 3 4
1 k k
.
Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa
1 1
1 1
1 ...
1 2 2 3
3 4 1
1 1
1 k k
k k
=
2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
k k k
k k
k k
k =
2
2 1
1 1
1 k
k k
k =
2
1 1
1 1
1 1
1 k
k k
k k
Jadi Pk + 1 benar.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kurikulum 2013
171
g. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya k
3
+ 5k adalah kelipatan 6.
Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa k + 1
3
+ 5k + 1 = k
3
+ 3k
2
+ 3k + 1 + 5k + 5 = k
3
+ 5k + 3k
2
+ 3k + 6 = k
3
+ 5k + 3k + 1 k + 2 Karena k + 1 k + 2 adalah dua bilangan asli yang berurutan, maka salah
satu k + 1 atau k + 2 adalah bilangan genap. Sehingga k + 1 k + 2 adalah bilangan genap atau kelipatan 2. Akibatnya 3 k + 1 k + 2
adalah bilangan kelipatan 6. Karena k
3
+ 5k adalah kelipatan 6, maka k + 1
3
+ 5k + 1 = k
3
+ 5k + 3k + 1 k + 2 juga kelipatan 6. Jadi Pk + 1 benar.
h. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya k
3
+ k + 1
3
+ k + 2
3
habis dibagi 9. Akan ditunjukkan P k + 1 benar. Perhatikan bahwa
k + 1
3
+ k + 2
3
+ k + 3
3
= k + 1
3
+ k + 2
3
+ k
3
+ 9k
2
+ 27k + 27 = k
3
+ k + 1
3
+ k + 2
3
+ 9k
2
+ 3k + 3. Karena k
3
+ k + 1
3
+ k + 2
3
dan 9k
2
+ 3k + 3 masing-masing habis dibagi 9, maka k + 1
3
+ k + 2
3
+ k + 3
3
= k
3
+ k + 1
3
+ k + 2
3
+ 9k
2
+ 3k + 3 juga habis dibagi 9. Jadi Pk + 1 benar.
i. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya
2 2
2 2
1 1
1 1
1 ...
2 1
2 3
k k
d
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas XII SMAMA
172
Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1 ...
2 1
2 3
1 1
k k
k k
d .
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
2
1 1
1 2
2 1
1 k
k k
d Hal ini
sama dengan menunjukkan bahwa
2
1 1
1 1
1 k
k k
d . Ini dibuktikan
dengan ekivalensi berikut.
2
1 1
1 1
1 k
k k
d l
2 2
1 1
1 1
k k
k d
1 k
l
2
2 1
k k
d 1
k l
kk k + 1
2
+ k
2
+ 2k + 1 Jadi Pk + 1 benar.
j. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya, cosx cos2x cos4x ... cos2
k-1
x = sin 2
2 sin
k k
x x
. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar.
Sekarang cosx cos2x cos4x ... cos2
k-1
x cos2
k
x = sin 2
2 sin
k k
x x
cos2
k
x. Dengan menggunaan kesamaan sin 2a = 2 sina cosa didapat
sin 2 2 sin
k k
x x
cos2
k
x =
1
1 sin 2 2
sin 2 2
2 sin 2 sin
k k
k k
x x
x x
.
Jadi Pk + 1 benar.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kurikulum 2013
173
k. Langkah Induksi
Kategori