Buku Guru Kelas XII SMAMA
162
.HJLDWDQ3HQHUDSDQ,QGXNVL0DWHPDWLV
Prinsip induksi matematis banyak digunakan dalam pembuktian dalam matematika. Anda akan diberikan beberapa contoh penerapan prinsip induksi
matematis. Silahkan Anda amati dengan seksama.
Ayo Mengamati
Contoh 3.8
Buktikan bahwa “untuk semua bilangan asli Q, jumlah Q bilangan ganjil berurutan pertama sama dengan Q
2
”.
Bukti.
Misalkan pernyataan PQ: jumlah Q bilangan ganjil berurutan pertama sama dengan Q
2
.
Langkah Dasar
Pernyataan PQ ini benar untuk Q 1 sebab “jumlah” 1 bilangan ganjil yang pertama adalah 1 itu sendiri, dan 1 sama dengan 1
2
. Jadi, terbukti bahwa pernyataan P1 di atas adalah benar.
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli N, misalkan PN benar. Artinya bahwa “jumlah N bilangan ganjil berurutan pertama adalah N
2
” Akan ditunjukkan terbukti benar juga bahwa PN+ 1 jumlah N+ 1 bilangan
ganjil berurutan pertama adalah N+ 1
2
. Dari pemisalan, bahwa PN jumlah N bilangan ganjil berurutan pertama adalah
N
2
adalah benar. Secara matematis, pernyataan PN ini bisa dituliskan menjadi 1 + 3 + 5 + ... + 2N 1 = N
2
Ayo Mengamati
Ajaklah siswa mengamati langkah-langkah pembuktian dengan prinsip induksi matematis pada Contoh 3.8, 3.9, dan 3.10.
Contoh 3.8 dan 3.9 merupakan contoh penerapan induksi matematis, sedangkan Contoh 3.10 merupakan contoh penerapan induksi matematis yang diperluas.
Diharapkan siswa mengamati langkah induksi matematis yang terdiri dari: 1. Langkah Dasar
2. Langkah Induksi 3. Kesimpulan
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kurikulum 2013
163
Akan ditunjukkan bahwa PN + 1 : jumlah N + 1 bilangan ganjil berurutan pertama adalah N+ 1
2
. yang secara matematis dituliskan menjadi PN+ 1 : 1 + 3 + 5 + ... + 2N 1 + 2N+ 1 1 = N+ 1
2
Kita lihat ruas kiri dari persamaan terakhir ini, yaitu: 1 + 3 + 5 + ... + 2N 1 + 2N+ 1 1
Bentuk ini kalau diolah akan menghasilkan seperti berikut. 1 + 3 + 5 + ... + 2N 1 + 2N+ 1 1 = N
2
+ 2N+ 1 1 = N
2
+ 2N+ 2 1 = N
2
+ 2N+ 1 = N+ 1
2
Jadi terbukti bahwa PN+ 1 : 1 + 3 + 5 + ... + 2N 1 + 2N+ 1 1 = N+ 1
2
bernilai benar.
Kesimpulan
PQ jumlah Q bilangan ganjil berurutan pertama sama dengan Q
2
benar untuk setiap bilangan asli Q.
Contoh 3.9
Tunjukkan bahwa “3 membagi QQ + 1Q + 2 untuk setiap bilangan asli Q”?
Bukti.
Misalkan PQ 3 membagi QQ + 1Q + 2 untuk setiap bilangan asli Q.
. Langkah Dasar
Untuk Q = 1, nilai QQ + 1Q + 2 adalah 6. Karenanya 3 membagi QQ + 1Q + 2 untuk Q = 1. Jadi terbukti bahwa pernyataan PQ tersebut
bernilai benar untuk Q = 1.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas XII SMAMA
164
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli N, misalkan pernyataan PN itu bernilai benar. Artinya, kita anggap bahwa 3 membagi NN + 1N + 2.
Akan ditunjukkan bahwa PN + 1 bernilai benar, yaitu 3 membagi N + 1 N + 1 + 1N + 1 + 2 atau 3 membagi N + 1N + 2N + 3.
Dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, maka bentuk N + 1 N + 2N + 3 dapat diubah menjadi [N + 1N + 2N] + [N + 1N + 23]
yang merupakan penjumlahan dari NN + 1N + 2 dan 3N + 1N + 2. Dari pemisalan, sudah diketahui bahwa 3 membagi NN + 1N + 2.
Karena 3 juga membagi 3N + 1N + 2, maka 3 juga membagi NN + 1 N + 2 + 3N + 1N + 2.
Dengan demikian, PN + 1 3 membagi N + 1N + 1 + 1N + 1 + 2 bernilai benar.
Jadi, jika 3 membagi NN + 1N + 2 maka 3 membagi N + 1N + 1 + 1 N + 1 + 2.
. Kesimpulan
PQ : 3 membagi QQ + 1Q + 2 benar untuk setiap bilangan asli Q.
Contoh 3.10
Buktikan bahwa pertidaksamaan 3
Q
Q
3
berlaku untuk semua bilangan asli Q t 4.
Bukti
Misalkan PQ : 3
Q
Q
3
untuk bilangan asli Q t 4
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kurikulum 2013
165
. Langkah Dasar
Untuk Q = 4, maka seperti pada penyelidikan Contoh 3.4, P4 : 81 = 3
4
4
3
= 64 bernilai benar. Jadi pertidaksamaan PQ : 3
Q
Q
3
berlaku untuk Q = 4.
2. Langkah Induksi
