Bab 9 Analisis Frekuensi

ANALISIS FREKUENSI SINYAL DAN SISTEM






Analisis frekuensi sinyal waktu kontinu
Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit
Sifat-sifat transformasi Fourier
Domain frekuensi sistem LTI
Sistem LTI sebagai filter

Peristiwa Dispersi

Newton (1672)
Fraunhofer (1787)
Kirchoff & Bunsen (1800)

Analisis Frekuensi

Cahaya tampak
Cahaya bintang dan matahari
Bahan kimia

Cahaya

Sinyal

Prisma

Matematical
Tools

Warna

Sinyal sinusoidal

Speech

Instrument

Pitch

ECG

Software program

Denyut jantung

EEG

, , 
Transformasi Fourier

 Analisis frekuensi sinyal waktu kontinu
 Deret Fourier untuk sinyal waktu kontinu
periodik
 Power spektral density (psd) sinyal periodik
 Transformasi Fourier untuk sinyal kontinu
aperiodik

 Energy spectral density (esd) sinyal
aperiodik

 Deret Fourier untuk sinyal periodik


x(t) 

c e
k

j2 kFo t

k 

1
ck 
Tp

1

Fo 
Tp

Tp  perioda

Tp

x (t )e

 j 2 kFo t

dt

c k  kompleks

0

x ( t )  nyata
ck  ck e

j k



c k  c

c k  ck e

 j k

*
k



x ( t )  c o  2 c k cos(2kFo t   k )
k 1

cos(2kFo t   k )  cos(2kFo t ) cos  k  sin(2kFo t ) sin k


x ( t )  a o   a k cos(2kFo t )  b k sin(2kFo t )
k 1

a o  co

a k  2 c k cos  k


x(t ) 

j 2 kFo t
c
e
 k

k 

b k  2 c k sin  k

 Power spectral density (psd) dari sinyal periodik
Energinya tak terbatas, dayanya terbatas

1
Px 
Tp
2
o

Tp

x (t )

2



dt 

Px  c  2 c k

k 1

ck

2

k

Relasi Parseval

k 

0



c

2

2


1
 a o2   (a 2k  b 2k )
2 k 1

sebagai fungsi dari frekuensi F

psd

ck

c 2
c 4

2

c1

2

c3

2

-4Fo -3Fo - 3Fo -Fo

2

0

Fo

2

2Fo 3Fo 4Fo

Power spectral density dari sinyal periodik

F

Contoh Soal 7.1
Tentukan deret Fourier dan power spectral density dari
sinyal pulsa persegi panjang di bawah ini.

x(t)

A

 Tp



2

0


2

t
Tp

Jawab :
Tp

1
co 
Tp

2



1
x ( t )dt 

Tp
Tp
2


2

A
 Adt  Tp



2

Tp

1
ck 
Tp

2

Ae


 j 2 kFo t

Tp

A
1
dt 
e
Tp  j2kFo


 j 2 kFo t 2

2

A e
ck 
kFo Tp

jkFo 

 e
j2

jkFo 

A sin(kFo )

Tp kFo 




2

TP tetap   berubah

 tetap  TP berubah

Power spectral density :

ck

2

  A  2
 ,

k 0
  Tp 

2
2
  A   sin(kFo ) 
 
 , k  1,  2, 
 

  Tp   kFo  

 Transformasi Fourier untuk sinyal aperiodik


x ( t )   X(F)e

j 2 Ft



dF



X(F)   x ( t )e  j2 Ft dt


 Energy spectral density (esd) dari sinyal periodik
Energinya terbatas :


Ex 

x (t )

2



dt 



Sxx (F)  X(F)

X(F)

2

dF

Relasi Parseval



2

esd

Contoh Soal 7.2
Tentukan transformasi Fourier dan energy spectral density
dari sinyal yang didefinisikan sebagai :

 A,
x(t)  
 0,


x(t)


t 
2

t 
2

A



2

0


2

t

Jawab :

2

X (F)  Ae


 j 2 Ft


2

sin F
dt  A
F

 sin F 
Sxx (F)   A  

 F 
2

2

x(t)
X(F)



1


 Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit
 Deret Fourier untuk sinyal waktu diskrit
periodik
 Power spektral density (psd) sinyal diskrit
periodik
 Transformasi Fourier untuk sinyal diskrit
aperiodik
 Energy spectral density (esd) sinyal diskrit
aperiodik

 Deret Fourier untuk sinyal diskrit periodik
x (n  N)  x (n )

N  perioda dasar

N 1

N 1

k 0

k 0

x (n )   c k e j2 kn / N   c k s k
sk  e

2k
k 
   k  
N
k
1
1
fk 

 fk 
N
2
2

j k n

1
c( k ) 
N

N 1

 j2 kn / N
x
(
n
)
e

n 0

ck  N  ck

Contoh Soal 7.3
Tentukan spektrum dari sinyal-sinyal di bawah ini.

n
a ). x (n )  cos
3

b). 1, 1, 0, 0

Jawab :

n
1
a ). x (n )  cos
 cos 2 n
3
6
1
fo 

N 6
6

N 4

N 1

5

n 0

n 0

c(k )   x (n )e  j2 kn / N   x (n )e  j2 kn / 6

1
1 j2 n / 6 1  j2 n / 6
x (n )  cos 2 n  e
 e
6
2
2
N 1

N 1

k 0

k 0

x (n )   c k e j2 kn / N   c k e j2 kn / 6
1
c1 
2

c 1

1

2

c 5  c  1 6  c  1

1

2

co  c 2  c3  c 4  0

1
c1 
2

c 1

1

2

c 5  c  1 6  c  1

1

2

co  c 2  c3  c 4  0

b). 1, 1, 0, 0

1
c( k ) 
N

N 4

N 1

 j2 kn / N
x
(
n
)
e

n 0

1 3
1
 j 2 kn / 4
c( k )   x ( n )e
 1  e  jk / 2
4 n 0
4



1
co 
2

1
c1  (1  j)
4

c2  0



1
c 3  (1  j)
4

1
co 
2

1
c1  (1  j)
4

c2  0

1
c 3  (1  j)
4

Contoh Soal 7.4
Tentukan spektrum dari sinyal di bawah ini.
2
2
x (n )  cos
n  sin
n
3
5

Jawab :
2
2
5
3
x (n )  cos
n  sin
n  cos 2 n  sin 2 n
3
5
15
15

x (n ) 

e

j 2  ( 5 / 15) n

e
2

 j 2  ( 5 / 15 ) n



e

j 2  ( 3 / 15) n

 e
2j

 j 2  ( 3 / 15) n

j j2  (3 / 15) n
j  j2  ( 3 / 15) n 1 j2  (5 / 15) n 1  j2  (5 / 15) n
x (n )   e
 e
 e
 e
2
2
2
2

j j2  (3 / 15) n
j  j2  ( 3 / 15) n 1 j2  (5 / 15) n 1  j2  (5 / 15) n
x (n )   e
 e
 e
 e
2
2
2
2
N 1

x (n )   c k e

j2 kn / N

k 0

c 5

1

2

c 3

14

  ck e

j2 kn / 15

k 0

j

2

j
c3  
2

1
c5 
2

ck
1/2

c k
90o

- 90o

 Power Spectral Density (psd) sinyal diskrit periodik
2

N 1

N 1
1
Px   x (n )  c k
N k 0
k 0

2

Relasi Parseval
psd
N 1
k 0

*
k

Bila x(n) nyata :

c c  k

c k c k  N

c  k c N  k

ck  c N k

N 1

E N  x (n ) N  c k

Energi satu perioda



2

ck  c k

 c k  c N  k

2

k 0

 c k  c  k

c k c k  N



ck  c N k

c  k c N  k
 c k  c N  k

c0  c N

 c 0  c N 0

c1  c N  1

 c1  c N  1

Bila N genap
Bila N ganjil

cN/ 2  cN/ 2
c ( N  1) / 2  c ( N 1) / 2

c N / 2 0
 c ( N  1) / 2  c ( N 1) / 2

N genap 

c k , k 0,1, 2,  N / 2

N ganjil 

c k , k 0,1, 2, ( N  1) / 2

Contoh Soal 7.5
Tentukan koefisien deret Fourier dan power spectral
density dari sinyal diskrit periodik di bawah ini.

Jawab :
L 1
1 N 1
1
c k   x (n )e  j2 kn / N   Ae  j2 kn / N
N n 0
N n 0

A L  1  j2 kn / N
ck   e
N n 0

 j2 kL / N

 AL
 N

 j 2 kL / N
A
1

e

 N 1  e  j2 kn / N

 jkL / N

jkL / N

 jkL / N

1 e
e
e
e
  jk / N jk / N  jk / N
 j2 kn / N
1 e
e
e
e
 jk ( L  1) / N sin( kL / N )
e
sin(k / N)

A L  1  j2 kn / N
ck   e
N n 0

psd  c k

2

 AL
 N , k 0, N, 2 N, 

 A e jk ( L  1) / N sin(kL / N) , k lainnya
 N
sin(k / N)

  AL  2
 , k  0, N, 2 N, 

 N 

2
2
  A   sin( kL / N) 
  N   sin( k / N)  , k  lainnya




 Transformasi Fourier dari sinyal diskrit aperiodik


X() 

 jn
x
(
n
)
e


Bentuk Deret Fourier

n 



X(  2k ) 

 j(   2 k ) n
x
(
n
)
e


n 




 jn  j2 kn
x
(
n
)
e
e



n 


1
j n
x (n ) 
X()e d

2  



 jn
x
(
n
)
e
 X()


n 

Contoh Soal 7.6
Tentukan sinyal diskrit yang transformasi Fouriernya
adalah :

1,
X()  
 0,

  c
c    

Jawab :


1
j n
x (n ) 
X()e d

2  
c

n 0



c
1
x ( 0) 
d 

2   c


c

n 0



1
1 1 jn
j n
x (n ) 
e d 
e

2   c
2 jn

1 e j c n  e  j c n
sin c n c sin c n
x (n ) 


n
2j
n
 c n

c
 c



X() 

 x ( n )e

n 

 jn

N

sin c n  jn
X N ()  
e
n
n  N

 Energy spectral density (esd) sinyal diskrit aperiodik
1 
2
E x   x (n ) 
X() d

2  
n 


2

Relasi Parseval

Sxx ()  X()

X()  X() e

j (  )

X()
Spektrum
magnituda

x(n) nyata

2

()  X()
Spektrum fasa

X* ()  X( )
X()  X( )

 X()   X( )

Contoh Soal 7.7
Tentukan energy spectral density dari sinyal diskrit :
n

x (n )  a u (n )

 1 a 1

Jawab :

X() 







n 

n 0

n 0

 jn
n  jn
 j n
x
(
n
)
e

a
e

(
ae
)




1
X() 
 j
1  ae



2

Sxx ()  x ()  X()X* ()

1
1
1
Sxx () 

 j
j
1  ae 1  ae
1  2a cos   a 2

Contoh Soal 7.8
Tentukan transformasi Fourier dari sinyal diskrit :

 A,
x (n )  
 0,

Jawab :

0 n L  1
n lainnya

 jL
1

e
X()   Ae jn  A
 j
1

e
n 0
 j(  / 2 )( L  1) sin(L / 2)
 Ae
sin( / 2)
L 1

X()  Ae

 j(  / 2 )( L  1)

sin(L / 2)
 X() e j ( )
sin( / 2)

 AL,   0

X()   sin(L / 2)
A
,
 sin( / 2)


 lainnya


sin(L / 2)
()   X()   A  (L  1)  
2
sin( / 2)

A= 1
L=5

Spektrum
magnituda

Spektrum fasa

 Hubungan transformasi Z dengan transformasi Fourier
Transformasi Fourier :


X(z) 

z
x
(
n
)
e



n 

z  re

j

r z



j  n
x
(
n
)(
re
) 


n 



n
 j n
[
x
(
n
)
r
]
e


n 

  z


z 1  r 1



X(z) 

 j n
x
(
n
)
e
 X()


n 

Transformasi Fourier pada lingkaran satu = Transformasi Z

Contoh Soal 7.9
Tentukan transformasi Fourier dari : x (n )  ( 1)u (n )
Jawab :

1
z
X(z) 

1
1 z
z 1
1
z
re j
X() 

 j
1
1 z
z  1 re  1
(e j / 2 )(e j / 2 )
 j / 2 j / 2
 j / 2
(e )(e
e
)
j / 2

e

2 cos( / 2)

  2(k  1 / 2)

 Klasifikasi sinyal dalam domain frekuensi
Sinyal frekuensi rendah :

Sinyal frekuensi tinggi :

Sinyal frekuensi menengah (bandpass signal) :

 Daerah frekuensi pada beberapa sinyal asli
Sinyal-sinyal biologi :

Tipe sinyal
Electroretinogram
Electronystagmogram
Pneumogram
Electrocardiogram (ECG)
Electroencephalogram (EEG)
Electromyogram
Aphygmomanogram
Speech

Daerah frekuensi (Hz)
0 - 20
0 - 20
0 - 40
0 - 100
0 - 100
10 - 200
0 - 200
100 - 4000

Sinyal-sinyal seismik :

Tipe sinyal
Wind noise
Seismic exploration signals
Earthquake and nuclear
explosion signsld
Seismic noise

Daerah frekuensi (Hz)
100 - 1000
10 - 100
0.01 - 10
0,1 - 1

Sinyal-sinyal elektromagnetik :

Tipe sinyal
Daerah frekuensi (Hz)
Radio broadcast
3x104 – 3x106
Shortwave radio signals
3x106 – 3x1010
Radar, sattellite comunications
3x108 – 3x1010
Infrared
3x1011 – 3x1014
Visible light
3,7x1014 – 7,7x1014
Ultraviolet
3x1015 – 3x1016
Gamma rays and x-rays
3x1017 – 3x1018

 Sifat-sifat transformasi Fourier








Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier
Linieritas
Pergeseran waktu
Pembalikan waktu
Teorema konvolusi
Pergeseran frekuensi
Diferensiasi frekuensi

 Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier


X()  F{x (n )} 

 jn
x
(
n
)
e


n 



1
1
jn
x (n )  F {X()} 
X
(

)
e
2  

F

x (n )  X ()
e

jn

 cos n  j sin 

e

 jn

 cos n  j sin n

x(n) dan X () kompleks

x (n )  x R (n )  jx I (n )
X()  X R ()  jX()


X R () 

 [x

R

(n ) cos n  x I (n ) sin n ]

n 


X I () 

 [x (n ) cos n 
I

x R (n ) sin n ]

n 

1 2
x R (n ) 
[X R () cos n  X I () sin n ]d

2 0
1 2
x I (n ) 
[X R () sin n X I () cos n ]d

2 0

x R (n )  x (n )

x(n) nyata

x I (n )  0



X R () 

 x (n ) cos n



X R ( )  X R ()

n 


X I () 



x (n ) sin n



X I ( )  X I ()

n 

cos( n )  cos n
X R ( )  X R ()
X* ()  X( )

sin( n )   sin n
X I ( )  X I ()

X()  X 2R ()  X 2I ()
X()  tg

1

X I ()
X I ()

X( )  X ()
 X ( )   X()

1 2
x (n ) 
[X R () cos n  X I () sin n ]d

2 0
X R () dan cos n genap X I () dan sin n ganjil
1 
x (n )   [X R () cos n  X I () sin n ]d
 0

x(n) nyata dan fungsi genap

x ( n )  x (n )


X R ()  x (0)  2 x (n ) cos n

X I ()  0

n 1

1 
x (n )   X R () cos n d
 0
x(n) nyata dan fungsi ganjil

x ( n )   x (n )


X I ()   2 x (n ) sin n

X R ()  0

n 1

1 
x (n )    X I () sin n d
 0

x(n) imajiner murni

x R (n )  0

x (n )  jx I (n )


X R () 

 x (n ) sin n
I

n 


X I () 

 x (n ) cos n
I

n 

1 
x I (n )   [X R () sin n  X I () cos n ]d
 0

x(n) imajiner murni dan genap

x I ( n )  x I (n )


X R ()  2 x I (n ) sin n

X I ()  0

n 1

1 
x I (n )   X R () sin n d
 0
x(n) imajiner murni dan ganjil

x I ( n )   x I (n )


X I ()  X I (0)  2 x I (n ) cos n
n 1

1 
x I (n )   X I () cos n d
 0

X R ()  0

Contoh Soal 7.10
Tentukan dan buat sketsa XR(), XI(), X() dan 
X( dari transformasi Fourier :

1
X() 
 j
1  ae

 1 a 1

Jawab :
j

1
1  ae
X() 
1  a e  j 1  a e j
1  a e j
1  a cos   ja sin 


j
 j
2
1  a (e  e )  a
1  2a cos   a 2

1  a cos 
X R () 
1  2a cos   a 2

a sin 
X I ()  
2
1  2a cos   a

X()  X 2R ()  X 2I ()
2

2

2

2

1  a cos ()  2a cos   a sin ()

2
1  2a cos()  a
1  a 2  2a cos 

1  2a cos()  a 2
a sin 
X()   tg
1  a cos 
1

 Linieritas
F{x1 (n )}  X1 ()

F{x 2 (n )}  X 2 ()

x ( n )  a 1x1 (n )  a 2 x 2 (n )
F{x (n )}  X()  a 1X1 ()  a 2 X 2 ()
Contoh Soal 7.11
Tentukan transformasi Fourier dari : x (n )  a

n

Jawab :

x ( n )  x1 ( n )  x 2 ( n )
an,
x1 ( n )  
 0,

n 0
n0

a n,
x 2 (n )  
 0,

n0
n 0

 1 a 1

X1 () 







n 

n 0

n 0

 j n
n  jn
 j n
x
(
n
)
e

a
e

(
ae
)
 1



1

1  ae  j


X 2 () 

 j n
x
(
n
)
e

 2

n 

1

 n  j n
a
 e 

n 

1

j  n
(
ae
 )

n 

j
ae
j k
  (ae ) 
j
1

ae
k 1


1
ae j
X()  X1 ()  X 2 () 

 j
j
1  ae
1  ae
1  ae j  ae j  a 2
1  a2


j
 j
2
1  (ae  ae )  a
1  2a cos   a 2

 Pergeseran waktu
F{x1 (n )}  X1 ()
x (n )  x1 (n  k )



F{x (n )}  e

 jk

X1 ()

 Pembalikan waktu
F{x1 (n )}  X1 ()
x ( n )  x1 (  n )



F{x (n )}  X1 ( )

 Teorema konvolusi
F{x1 (n )}  X1 ()

F{x 2 (n )}  X 2 ()

x (n )  x1 (n ) * x1 (n )

F{x (n )}  X1 ()X 2 ()



Contoh Soal 7.12
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n), dengan :
x1(n) = x2(n) ={1, 1, 1}
Jawab :

X1 () 



1

n 

n  1

 jn
 jn
x
(
n
)
e

e
 1


1  e

 j

e

 j

1  2 cos 

X1 ()  X 2 () 1  2 cos 
X()  X1 ()X 2 ()  (1  2 cos ) 2
1  4 cos   4 cos 2 
 1  cos 2 
1  4 cos   4

2


 3  4 cos   2 cos 2
 3  2(e j  e  j )  (e j2   e  j2  )


X() 

 jn
 j2 
 j
j
j2 
x
(
n
)
e

e

2
e

3

2
e

e


n 

x (n ) {1 2 3 2 1}

 Pergeseran frekuensi
F{x1 (n )}  X1 ()
x ( n )  e j o n x 1 ( n )



F{x (n )}  X1 (  o )

 Teorema modulasi
F{x1 (n )}  X1 ()

x (n )  x1 (n ) cos o n

1 j o n
1 j o n
1 j o n
j o n
x ( n )  (e
 e ) x1 ( n )  e x1 ( n )  e x1 ( n )
2
2
2
1
1
F{x (n )}  X()  X1 (  o )  X1 (  o )
2
2

 Diferensiasi frekuensi
F{x1 (n )}  X1 ()

x (n )  nx1 (n )



X1 () 

 jn
x
(
n
)
e
 1

n 


dX1 ()
d 
d  jn
 jn

x 1 ( n )e
  x1 (n )
e

d
d n 
d
n 


  j  nx1 (n )e  jn   jF{nx1 (n )}
n 

dX1 ()
F{x (n )}  j
d

 Domain frekuensi sistem LTI






Fungsi respon frekuensi
Respon steady-state dan respon transien
Respon terhadap sinyal input periodik
Respon terhadap sinyal input aperiodik
Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi
respon frekuensi
 Komputasi dari fungsi respon frekuensi

 Fungsi respon frekuensi


 h (k ) x (n 

y( n ) 

Eigen function

k)

k 

Input kompleks


y( n ) 

 h (k )Ae


j ( n  k )

k 

x (n )  Ae jn


 A  [h (k )Ae

 jk
h
(
k
)
e


k 

Eigen value

]e

jn

k 



H() 

 jk



y(n )  AH()e jn

Contoh Soal 7.12
Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :
n

1
h (n )    u (n )
 2

Tentukan outputnya bila mendapat input :
Jawab :

n

x (n )  Ae jn / 2
n

 1   j n
 1  j 
F h (n )  H()     e
  e 

n   2 
n   2
1
1
1
H() 

H() 

1  j
1  j / 2
1
1 e
1 e
1 j
2
2
2




1

2  j26, 6o
H() 

e
1
5
1 j
Amplituda
2
y(n )  AH()e jn

Fasa

2  j26, 6o jn / 2 2A ( n / 2  26, 6o )
A
e
e

e
5
5
Frekuensi

x (n )  Ae

jn

2
y(n )  Ae jn
3



1
1
2
H() 


1  j
1
3
1 e
1
2
2

H ( ) H R ( )  jH I ( )






h ( k ) e  jk 

k 



 h(k )(cosk 

j sin k )

k 



H R ( ) 

 h(k ) cosk



H R (  ) H R ( )

k 



H I ( ) 

 h(k ) sink



H I (  )  H I ( )

k 

H ( )  H R2 ( )  H I2 ( )
H ( ) ( ) tg

1

H I ( )
H I ( )

x1 (n)  Ae jn



x2 (n)  Ae  jn 

y1 (n)  A H ( ) e j ( ) e jn
y 2 (n)  A H (  ) e j (   ) e  jn
 A H ( ) e  j ( ) e  jn

1
1
x(n)  [ x1 (n)  x2 (n)]  [ Ae jn  Ae  jn ]  A cos n
2
2
1
y (n)  [ y1 (n)  y 2 (n)]  A H ( ) cos[n  ( )]
2
1
1
x(n)  [ x1 (n)  x2 (n)]  [ Ae jn  Ae  jn ]  A sin n
j2
j2
1
y (n)  [ y1 (n)  y 2 (n)]  A H ( ) sin[n  ( )]
j2

Contoh Soal 7.13
Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :
n

1
h (n )    u (n )
 2

Tentukan outputnya bila mendapat input :
x(n) 10  5 sin


n  20 cos n
2

Jawab :
1
H ( ) 
1  j
1 e
2

1
H ( ) 
1  j
1 e
2
1
H (0) 
2
1
1
2
2  26,6o
H ( / 2)  e
5
2
H ( ) 
3
x(n) 20 

10


40
sin n  cos n
2
3
5

Contoh Soal 7.14
Suatu sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda :
y (n) ay (n  1)  bx(n)

0  a 1

a ). Tentukan H ( )
b). Untuk H ( ) maks 1 dan a 0,9

Tentukan y(n) bila inputnya :
x(n) 5  12 sin



n  20 cos(n  )
2
4

Jawab :
y ( n) ay (n  1)  bx( n) 


H ( ) 

 h ( n )e

 j n

n 

h( n) ba n u (n)

b

1  ae  j

1  ae 

j

(1  a cos  )  ja sin 

1  ae  j  1  a 2  2a cos
1  ae
H ( ) 

b

1  a 2  2a cos
a sin 
1
( )  b  tg
1  a cos

 j

a sin 
tg
1  a cos 
1

H ( ) maks
H ( ) 

b
H (0) 
1 
1 a
1 a

b 1  a

a sin 
( )  tg
1  a cos
1

1  a 2  2a cos

H (0) 1 ( ) 0
H ( / 2) 

0,1
1  0,9 2

0,074 ( )  tg  1 0,9  42 o

1  a 0,1
H ( ) 
 0,053 ( ) 0
1  a 1,9



x(n) 5  12 sin n  20 cos(n  )
2
4


y (n) 5 H (0)  12 H ( / 2) sin[ n  ( / 2)]
2

 20 H ( ) cos[n   ( )]
4


o
y (n) 5  0,888 sin[ n  42 ]  1,06 cos[n  ]
2
4

 Respon steady-state dan respon transien
y(n )  ay(n  1)  x (n )
x (n )

n

y(n )  a n 1 y( 1)   a k x (n  k )



k 0

x (n )  Ae jn

n 0
n

y(n )  a n 1 y( 1)  A  a k e j( n  k )
k 0

x (n )  Ae jn
y( n )  a

n 1

n 0
n

y( 1)  A  (ae
n 0

 j k

) e

jn

x (n )  Ae jn

n 0
n

y(n )  a n 1 y( 1)  A  (ae  j ) k e jn
n 0

x (n )  Ae
y( n )  a

jn

n 1

n 0
n 1  j( n 1)

1 a e
y( 1)  A
1  ae  j

e jn

n 1  j( n 1)
a
e
A
n 1
jn
jn
y(n )  a y( 1)  A
e 
e
 j
 j
1  ae
1  ae

n 1  j( n 1)
a
e
A
n 1
j n
jn
y(n )  a y( 1)  A
e

e
1  ae  j
1  ae  j

Stabil



a 1

A
jn
jn
y ss (n )  lim y(n ) 
e

AH
(

)
e
 j
1

ae
n 
Respon steady state
n 1  j( n 1)
a
e
n 1
j n
y tr (n )  a y( 1)  A
e
1  ae  j

Respon transien

 Respon steady state terhadap sinyal input periodik
N 1

Deret Fourier

x (n )   c k e j2 kn / N



k 0

x k  ck e

j2 kn / N



 2k  j2 kn / N
y k ( n )  c k H
e
 N 

 2k 
H
  H()  2 k
N
 N 
N 1

N 1

 2k  j2 kn / N
y ( n )   y k ( n )   c k H
e
 N 
k 0
k 0
N 1

y( n )   d k e
k 0

j 2 kn / N

 2k 
d k  c k H

 N 

 Respon steady state terhadap sinyal input aperiodik
Teori konvolusi

Y()  H  X()



Y()  H  X()
2

2

Y()  H  X()

 Y()   H()  X()
2



2

Syy ()  H  Sxx ()

1 
2
Energi : E y 
H  Sxx () d

2   

Contoh Soal 7.15
Suatu sistem LTI mempunyai respon impuls :
n

1
h (n )    u (n )
 2

Tentukan spektrum dan esd-nya bila mendapat input :
n

1
x (n )    u (n )
 4

Jawab :

n

1
 1   j n
H()     e

1  j
n 0  2 
1 e
2


1
X() 
1  j
1 e
4

1
1
Y()  H  X() 
1  j
1  j
1 e 1 e
2
4
2

S yy ()  H  X()
Sy () 

2

1
(1  e

 j

1

1

1  2 j
1  j  1  2 j
 e ) (1  e 
e )
4
4
16

1
Sy () 
5
  17 1

  cos     cos  
4
  16 2


 Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi respon
frekuensi

z e

j



H()  H z  z e

2



j



H   H()H* ()  H()H( )
2

H   H(z)H(z  1 )

z e j

 h ( n )e

n 

 jn

Contoh Soal 7.16
Suatu sistem LTI dinyatakan dengan :
y(n )   0,1y(n  1)  0,2 y(n  2)  x (n )  x (n  1)

Tentukan

H()

2

Jawab :
1  z 1
H(z) 
1  0,5z  1  0,2z  2
1
1

z
1 z
1
H(z)H(z ) 
1  0,5z  1  0,2z  2 1  0,5z  0,2z 2

1
1

z
1 z
1
H(z)H(z ) 
1  0,5z  1  0,2z  2 1  0,5z  0,2z 2

1
2

z

z
H(z)H(z  1 ) 
1.05  0,08(z  z  1 )  0,2(z 2  z  2 )

z  e j

2  e j  e  j 
 H() 
1.05  0,08(e j  e  j )  0,2(e j2  e  j2  )
2

2  2 cos 
H() 
1.05  0,16 cos   0,4 cos 2
2

2(1  cos )
cos 2  2 cos   1  H() 
1.45  0,16 cos   0,8 cos2 
2

2