Bab III Daftar Distribusi Frekuensi | Dwipurnomoikipbu's Blog
BAB III
DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI DAN GRAFIKNYA
3.1 Pendahuluan
Bab sebelumnya telah dijelaskan tentang pengertian daftar disribusi frekuensi. Untuk menyusun daftar distribuusi sekelompok data kuantitatif diperlukan tata cara bagaimana mengubah data kuantitatf yang tersebar menjadi susunan data dalam distribusi frekuensi. Pertama yang dipelajarai adalah penjelasan beberapa istilah yang berhubungan dengan daftar distribusi frekuensi. Kedua beberapa rumus dan aplikasinya dalam menyusun daftar distribusi frekeuensi.
Data berikut ini menunjukkan nilai ujian 70 mahasiswa setelah mengikuti kuliah Statistika di Program studi Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang.
Nilai Mahasiswa Frekuensi (fi)
25-34 4
35-44 9
45-54 11
55-64 19
65-74 12
75-84 9
85-94 6
Jumlah 70
Dalam daftar distribusi frekuensi, objek-objek dikumpulkan dalam kelompok-kelompok yang bertentu a – b dan disebut kelas interval. Kedalam kelas interval a – b dimasukkan semua data yang bernilai mulai dari a sampai dengan b. Urutan kelas interval disusun mulai data terkecil sampai data terbesar. Secara berturut-turut mulai dari kelas interval pertama, kelas interval kedua, kelas interval ketiga dan seterusnya sampai kelas interval terakhir. Kelas interval dalam daftar distribusi frekuensi berada pada kolom kiri, sedangkan kolom kanan berisikan bilangan-bilangan yang menyatakan
(2)
berapa banyak data terdapat dalam tiap kelas interval. Jadi kolom kanan berisi frekuensi yang disingkat dengan fi, misalnya fi = 4 untuk kelas interval pertama, fi = 9 untuk kelas interval kedua, fi= 11 untuk kelas ketiga dan seterusnya. Bilangan-bilangan disebelah kiri pada kelas interval dinamakan ujung bawah dan bilangan-bilangan disebelah kanan pada kelas interval dinamakan ujung atas. Dengan demikian ujung bawah kelas interval pertama adalah 25 dan ujung atas kelas interval pertama adalah 34. Dengan cara yang sama dapat ditentungan ujung bawah dan ujung atas masing-masing kelas interval. Selisih (positip) antara ujung atas dan ujung bawah masing-masing kelas interval dinamakan panjang kelas interval Berdasarkan daftar distribusi di atas maka panjang kelas interval adalah 10.
Selain ujung bawah dan ujung atas kelas interval terdapat istilah lain dalam daftar distribusi frekuensi. Istilah tersebut adalah batas bawah dan batas atas masing-masing kelas interval. Batas bawah dan batas atas kelas interval tergantung pada ketelitian data yang digunakan. Jika data yang digunakan bilangan bulat maka batas bawah adalah ujung bawah dikurangi 0,5 dan batas atas adalah ujung bawah ditambah 0,5. Jika data yang digunakan bilangan dalam bentuk satu desimal, maka batas bawah adalah ujung bawah dikurangi 0,05 dan batas atas adalah ujung atas ditambah 0,05. Dan seterusnya. Untuk perhitungan-perhitungan selanjutnya dalam daftar distribusi frekuensi juga dikenal istilah titik tengah atau tanda kelas. Tanda kelas dapat ditentukan dengan
aturan
ujung bawahujung atas
2(3)
Berdasarkan daftar distribusi frekuensi di atas maka tanda kelas kelas interval pertama
adalah
25 34
29,5 21
begitu seterusnya untuk tanda kelas kelas interval selanjutnya.
3.2 Membuat Daftar Distribusi Frekuensi
Membuat daftar distribusi frekuensi sekelompok data kuantitatif adalah pekerjaan yang memerlukan ketelitian, untuk membuatnya diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Menentukan banyaknya data yang akan dibuat daftar distribusinya. b. Tetapkan data terbesar dan data terkecil
c. Menentukan rentang (R) atau jangkauan, Rentang merupakan selisih positip antara data terbesar dan data terkecil.
d. Tentukan banyaknya kelas interval (K) yang diperlukan. Banyaknya kelas interval dapat ditentukan dengan menggunakan rumus atau menggunakan ketetapan. Jika banyaknya kelas ditentukan dengan penetapan maka dapat dipilih sesuai keperluan yaitu ditentukan paling sedikit 5 kelas interval dan paling banyak 15 kelas interval. Jika banyaknya kelas interval ditentukan dengan rumus, maka salah satu rumus yang baku adalah rumus Struges dan berlaku untuk banyak data berukuran besar (n
) 200
. Rumus tersebut adalah
K = 1 + 3,3 log n
e. Menentukan panjang kelas interval (p), Sebagai pedoman umum gunakan rumus
K R p ,
(4)
Nilai p ditentukan sesuai dengan ketelitian satuan data yang digunakan. Jika data berberntuk satuan maka pilih nilai teliti sampai satuan. Jika data yang digunakan berbentuk satu desimal maka pilih p teliti sampai satu desimal dan seterusnya. f. Pilih ujung bawah kelas interval pertama, untuk ini dapat diambil sama dengan data
terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas yang telah ditentukan. Selanjutnya daftar diselesaikan dengan menggunakan nilai-nilai yang telah dihitung.
g. Sebelum daftar sebenarnya dituliskan, ada baiknya dibuat daftar penolong yang berisikan kolom tabulasi. Kolom ini merupakan kumpulan deretan garis-garis miring pendek yang banyaknya sesuai dengan banyak data terdapat pada kelas interval yang bersangkutan.
Contoh:
Nilai rata-rata masing-masing peserta yang berjumlah 75 orang mahasiswa setelah mengikuti Ujian Statistika di Jurusan Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang sebagai berikut:
32,5 34,8 32,8 39,8 32,4 27,8 33,1 35,8 34,2 18,5 40,6 32,9 34,2 37,3 27,3 29,8 20,7 31,2 32,4 27,8 35,1 25,7 27,4 39.7 44,3 32,0 18,2 40,7 34,5 37,6 28,6 33,8 42,0 43,2 35,8 32,5 30,0 36,0 36,2 33,1 36,5 31,6 31,6 15,8 39,0 37,2 29,7 42,8 33,1 43,1 43,1 43,1 35,0 34,5 33,3 27,6 30,6 29,6 13,0 36,1 30,1 -41,7 43,7 37,5 -41,7 35,7 29,6 42,9 - 38,5 37,6 36,8 30,8 30,2 32,2 33,4
(5)
-Buatlah daftar distribusi frekuensi dari data di atas Jawab
Berdasarkan data di atas diperoleh 1) Banyak data (n) = 75
2) Data tertinggi 44,3 dan data terendah 13,0 3) Rentang (R) : Data tertinggi – Data terrendah = 44,3 – 13,0
= 31,3 4) Banyak Kelas Interval ,3
K = 1 + 3,3 Log 75 = 1 + 3,3 (1,875061) = 1 + 6,187702169 = 7,187702169 = 7 (dibulatkan) 5) Panjang kelas interval
K R p
7
3 , 31
= 4,471428571
= 4,5 (dibulatkan 1 desimal)
Sehingga daftar distribusi frekuensi data di atas adalah:
Kelas Interval Tabulasi (Turus) Frekuensi
13,0-17,4 || 2
17,5-21,9 ||| 3
22,0-26,4 | 1
(6)
31,0-35,4 |||||||||||||||||||||||||||| 28
35,5-39,9 |||||||||||||||||| 18
40,0-44,4 ||||||||||||| 13
Jumlah 75
3.3 Daftar Distribusi Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi dalam daftar distribusi frekuensi menyatakan banyaknya data yang terdapat dalam tiap kelas, sehingga berbentuk absolut. Jika frekuensi dinyatakan dalam bentuk persen, maka diperoleh daftar distribusi frekuensi relatif. Sehingga daftar distribusi frekuensi relatif tabel pada pasal 3.1 adalah sebagai berikut:
Kelas Interval Frekuensi Frekuensi Relatif (f(%))
25-34 4 6,95 %
35-44 9 12,86 %
45-54 11 15,71 %
55-64 19 27,14 %
65-74 12 17,14 %
75-84 9 12,86 %
85-94 6 8,57 %
Jumlah 70 100 %
Frekuensi relatif kelas interval pertama 100% 6,95% 70
4
x
Frekuensi relatif kelas interval kedua 100% 12,86% 70
9
x
Frekuensi relatif kelas interval ketiga 100% 15,71% 70
11
x
Frekuensi relatif kelas interval keempat 100% 27,14% 70
19
x
Frekuensi relatif kelas interval kelima 100% 17,14% 70
12
x
Frekuensi relatif kelas interval keenam 100% 12,86% 70
9
(7)
Frekuensi relatif kelas interval ketujuh 100% 8,578% 70
6
x
Selain daftar distribusi frekuensi relatif juga terdapat daftar distribusi frekuensi kumulatif. Perubahan dari daftar ditribusi frekuensi menjadi daftar daftar distribusi frekeunsi kumulatif dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Terdapat dua jenis daftar distribusi frekuensi kumulatif yaitu daftar distribusi frekuensi kumulatif lebih dari dan daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Perbedaan keduanya dapat dilihat pada tabel berikut:
Kelas Interval Frekuensi Frekuensi Relatif (f(%))
25-34 4 6,95 %
35-44 9 12,86 %
45-54 11 15,71 %
55-64 19 27,14 %
65-74 12 17,14 %
75-84 9 12,86 %
85-94 6 8,57 %
Jumlah 70 100 %
Daftar distrusi frekuensi kumulatif dapat dibentuk dari daftar distribusi frekuensi biasa dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Dikenal dua macam daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari. Tentu saja untuk kedua hal ini terdapat pula frekuensi-frekuensi absolut dan relatif. Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari tabel pada halaman 28 dapat dilihat pada daftar berikut
NILAI UJIAN STATISTIKA MAHASISWA UNTUK 70 MAHASISWA
(KUMULATIF KURANG DARI) Nilai Ujian fkum
Kurang dari 25 0
Kurang dari 35 4
Kurang dari 45 13
Kurang dari 55 24
Kurang dari 65 43
(8)
Kurang dari 85 64
Kurang dari 95 70
NILAI UJIAN STATISTIKA MAHASISWA UNTUK 70 MAHASISWA
(KUMULATIF LEBIH DARI) Nilai Ujian fkum
Lebih dari 25 70
Lebih dari 35 66
Lebih dari 45 57
Lebih dari 55 46
Lebih dari 65 27
Lebih dari 75 15
Lebih dari 85 6
Lebih dari 95 0
Perhatikan bahwa dalam kedua daftar di atas tidak terdapat baris yang menyatakan jumlah frekuensi. Dengan cara yang sama dapat ditentukan frekuensi kumulatif dengan frekuensi relatif (fkum(%)). Pekerjaan ini ditinggalkan sebagai latihan bagi pembaca. Diagram garis dari frekuensi kumulatif kurang dari dan frekuensi kumulatif lebih dari dapat digambarkan sebagai berikut:
(9)
Bentuk dan diagram distribusi frekuensi dapat berupa histogram, poligon frekuensi, dan ogive.
Perhatikan gambar diagram-diagram berikut ini.
Berdasarkan gambar di atas, diperoleh:
1. Diagram dari daftar distriftbusi frekuensi berbentu persegi panjang 2. Tinggi persegi panjang menunjukkan frekuensi (banyak data) 3. Lebarnya menunjukkan kelas interval
4. Poligon frekuensi adalah garis patah-patah yang menghubungkan titik tengah bagian atas histogram.
5. Ogive adalah diagram dari daftar distribusi kumulatif.
3.5 Model-model Populasi
Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah dapat didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya cocok atau mendekati kecocokan dengan bentuk poligon tersebut. Lengkungan tersebut dinamakan kurva frekuensi.
(10)
Jika semua data dalam populasi dapat dikumpulkan lalu dibuat daftar distribus frekuensi dan digambarkan kurva frekuensinya, maka kurva ini dapat menjelaskan sifat atau karakteristik populasi. Kurva ini merupakan model populasi yang akan ikut menjelaskan ciri-ciri populasi. Pada praktiknya, model populasi ini biasanya didekati oleh atau diturunkan dari kurva frekuensi yang diperoleh sampel representatif yang diambil dari populasi tersebut.
Untuk keperluan teori secara berkelanjutan, model populasi biasanya dituangkan dalam bentuk persamaan matematika. Beberapa model populasi yang dikenal adalah model normal, model simetrik, model positip atau miring kekiri, negatip atau miring kekanan, model berbentuk J dan U.
1. Model normal : sebenarnya akan lebih tepat digambarkan berdasarkan persamaan matematika, bentuk normal selalu simetris dan mempunyai sebuah puncak. Kurva dengan satu puncak dinamakan unimodal.
2. Model simetrik, dalam hal ini juga unimodal. Yang perlu diingat bahwa model normal selalu simetris akan tetapi tidak sebaliknya.
3. Kurva model miring, positip atau negatip.
(11)
gambar 1 : kurva normal
gambar 2 : kurva simetris (unimodal)
(12)
gambar 4 : kurva negatif
(13)
gambar 6 : kurva model huruf J
gambar 7 : Kurva Model huruf U
(14)
3.6 Soal-soal
Nilai ujian 104 mahasiswa yang mengikuti kuliah Kalkulus II di Program studi pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan MIPA, IKIP Budi Utomo Malang tercatat sebagai berikut:
68 84 75 89 68 90 62 88 76 93 67 68 76 73 79 88 73 60 93 71 50 85 75 83 61 91 81 65 75 87 74 62 93 78 63 72 76 70 81 66 78 82 75 94 77 69 74 68 60 45 55 70 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 44 65 80 79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 54 44 58 65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 65 55 65 86 67 73 81 72 63 76 75 85 77 80 90 60 Berdasarkan tabel di atas, tentukan:
a. Nilai tertinggi mahasiswa b. Nilai terendah
c. Rentang
d. Berapa banyak mahasiswa yang mendapat nilai paling rendah 67 e. Berapa banyak mahasiswa yang mendapat nilai dibawah 65 f. Berapa persen mahasiswa yang mendapat nilai 80
g. Buatlah daftar distribusi frekuensi.
h. Tentukan ujung bawah dan ujung atas kelas interval ke 3 dan ke 4 i. Tentukan batas bawah dan batas atas kelas interval ke 3 dan ke 5.
(1)
Bentuk dan diagram distribusi frekuensi dapat berupa histogram, poligon frekuensi, dan ogive.
Perhatikan gambar diagram-diagram berikut ini.
Berdasarkan gambar di atas, diperoleh:
1. Diagram dari daftar distriftbusi frekuensi berbentu persegi panjang 2. Tinggi persegi panjang menunjukkan frekuensi (banyak data) 3. Lebarnya menunjukkan kelas interval
4. Poligon frekuensi adalah garis patah-patah yang menghubungkan titik tengah bagian atas histogram.
5. Ogive adalah diagram dari daftar distribusi kumulatif.
3.5 Model-model Populasi
Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah dapat didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya cocok atau mendekati kecocokan dengan bentuk poligon tersebut. Lengkungan tersebut dinamakan kurva frekuensi.
(2)
Jika semua data dalam populasi dapat dikumpulkan lalu dibuat daftar distribus frekuensi dan digambarkan kurva frekuensinya, maka kurva ini dapat menjelaskan sifat atau karakteristik populasi. Kurva ini merupakan model populasi yang akan ikut menjelaskan ciri-ciri populasi. Pada praktiknya, model populasi ini biasanya didekati oleh atau diturunkan dari kurva frekuensi yang diperoleh sampel representatif yang diambil dari populasi tersebut.
Untuk keperluan teori secara berkelanjutan, model populasi biasanya dituangkan dalam bentuk persamaan matematika. Beberapa model populasi yang dikenal adalah model normal, model simetrik, model positip atau miring kekiri, negatip atau miring kekanan, model berbentuk J dan U.
1. Model normal : sebenarnya akan lebih tepat digambarkan berdasarkan persamaan matematika, bentuk normal selalu simetris dan mempunyai sebuah puncak. Kurva dengan satu puncak dinamakan unimodal.
2. Model simetrik, dalam hal ini juga unimodal. Yang perlu diingat bahwa model normal selalu simetris akan tetapi tidak sebaliknya.
3. Kurva model miring, positip atau negatip.
(3)
gambar 1 : kurva normal
gambar 2 : kurva simetris (unimodal)
(4)
gambar 4 : kurva negatif
gambar 5 : kurva positif
(5)
gambar 6 : kurva model huruf J
gambar 7 : Kurva Model huruf U
(6)
3.6 Soal-soal
Nilai ujian 104 mahasiswa yang mengikuti kuliah Kalkulus II di Program studi pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan MIPA, IKIP Budi Utomo Malang tercatat sebagai berikut:
68 84 75 89 68 90 62 88 76 93 67 68 76 73 79 88 73 60 93 71 50 85 75 83 61 91 81 65 75 87 74 62 93 78 63 72 76 70 81 66 78 82 75 94 77 69 74 68 60 45 55 70 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 44 65 80 79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 54 44 58 65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 65 55 65 86 67 73 81 72 63 76 75 85 77 80 90 60 Berdasarkan tabel di atas, tentukan:
a. Nilai tertinggi mahasiswa b. Nilai terendah
c. Rentang
d. Berapa banyak mahasiswa yang mendapat nilai paling rendah 67 e. Berapa banyak mahasiswa yang mendapat nilai dibawah 65 f. Berapa persen mahasiswa yang mendapat nilai 80
g. Buatlah daftar distribusi frekuensi.
h. Tentukan ujung bawah dan ujung atas kelas interval ke 3 dan ke 4 i. Tentukan batas bawah dan batas atas kelas interval ke 3 dan ke 5.