AN ALISIS GLOBAL SISTEM MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL MICHAELIS MEN TEN
ANALISIS GLOBAL SISTEM MANGSA-PEMANGSA
DENGAN RESPON FUNGSIONAL
MICHAELIS-MENTEN
oleh
ASTRID CANDRASARI
NIM. M0102 015
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2007
i
SKRIPSI
ANALISIS GLOBAL SISTEM MANGSA-PEMANGSA DENGAN
RESPON FUNGSIONAL MICHAELIS-MENTEN
yang disiapkan dan disusun oleh
ASTRID CANDRASARI
NIM. M0102 015
dibimbing oleh
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. Sutrima, M.Si
Umi Salamah, M.Kom
NIP. 132 046 018
NIP. 132 162 555
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada hari Jumat, tanggal 26 Januari 2007
dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Anggota Tim Penguji
Tanda Tangan
1. Dr. Sutanto
1. ....................
NIP. 132 149 079
2. Hasih Pratiwi, M. Si
2. ....................
NIP. 132 143 817
3. ....................
3. Dra. Purnami Widyaningsih
NIP. 131 695 204
Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan,
Ketua Jurusan Matematika,
Drs. Marsusi, M.S
Drs. Kartiko, M.Si
NIP. 130 906 776
NIP. 131 569 203
ii
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
~
~
Papa dan mami-ku tersayang,
Kakak-kakakku: Mbak Lia, Mas Ronny, Mas Suryo,
Mbak Sopik, Mas Ari, dan Mas Rio,
~
Sahabat-sahabat terbaikku: Nia, Yuyun, Yonda, Ra
hma dan Ratna,
~
Bapak-bapak dan ibu-ibu dosen-ku yang aku banggakan.
iii
ABSTRAK
Astrid Candrasari, 2007. ANALISIS GLOBAL SISTEM MANGSA-PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL MICHAELIS-MENTEN. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Model mangsa-pemangsa dengan respon fungsional Mi
haelis-Menten menjelaskan suatu ekosistem yang terdiri dari tiga komponen yaitu tanaman, mamalia ke
il dan karnivora pemakan mamalia ke
il. Keseimbangan ekosistem ini
dapat dikontrol jika persediaan tanaman memadai. Kestabilan global di dalam
sistem mangsa-pemangsa menjadi masalah matematis yang menarik. Jika dalam
sistem tersebut ter
apai kestabilan, kelangsungan hidup mangsa dan pemangsa
dapat dipertahankan. Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan syarat
ukup
kestabilan global beserta interpretasi biologinya.
Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah teoritis-simulasi. Untuk
menjelaskan kestabilan digunakan metode linearisasi yang menghasilkan kestabilan lokal dan Teorema Poin
are-Bendixon yang menghasilkan kestabilan global.
Hasil pembahasan menunjukkan bahwa kestabilan global di
apai di titik
kesetimbangan nontrivial (a) E2 = (A; 0) dengan interval 0 < A < b
h
yaitu
dengan ketidakhadiran pemangsa, dan (b) E3 = (m ; v ) dengan m = b
h
dan
v =
bhr A(b
)
h
A (b
)2
dengan interval b
h
< A < untuk suatu yaitu dengan
kehadiran mangsa dan pemangsa pada ekosistem. Kestabilan global memberikan
interpretasi bahwa kehidupan ekosistem dalam keadaan terkendali se
ara luas
dalam waktu yang tak terbatas.
iv
ABSTRACT
Astrid Candrasari, 2007. GLOBAL ANALYSIS OF PREDATOR-PREY
SYSTEM WITH MICHAELIS-MENTEN FUNCTIONAL RESPONSE. Fa
ulty
of Mathemati
s and Natural S
ien
es, Sebelas Maret University.
Predator-prey model with fun
tional response Mi
haelis-Menten explained
a simple e
osystem
onsist of a plant, small mammal whi
h eats the plant and
arnivorous predator whi
h eats the mammal. The equilibrium of e
osystem
ould
be
ontrolled if populations of plant were available. Global stability for this
e
osystem be
omes an interesting mathemati
al problem. If the system rea
hes stability, the populations of predator and prey will be in healthy numbers.
The aim of this paper is nding suÆ
ient
onditions for global analysis with the
biologi
al interpretation.
The methods used in this thesis are theoreti
al-simulations whi
h linearization method for explaining lo
al stability and Poin
are-Bendixon Theorem for
global stability.
As the results, global stability is rea
hed at nontrivial equilibrium points
(a) E2 = (A; 0) on interval 0 < A < b
h
, with the absen
e of predator, and (b)
bhr A(b
)
h
A (b
)2
E3 = (m ; v ) with m = b
h
and v =
on interval b
h
< A <
for any , both of predator and prey present in e
osystem. The interpretation of
global stability is that the e
osystem in a stable
onditions or healthy numbers
with unlimited time.
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena atas berkah, rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir.
Dalam penyusunan skripsi ini penulis mengu
apkan terimakasih kepada:
1. Bapak Drs.
Sutrima, M.Si., Dosen Pembimbing I dan Ibu Umi Salamah,
M.Kom., Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan dalam penyusunan skripsi.
2. Dra.
Yuliana Susanti, M.Si, Pembimbing Akademik yang telah banyak
memberikan semangat dan bimbingan.
3. Keluarga besar H. Bambang Soebekti, S.Ip yang telah memberikan dukungan moral dan material.
4. Semua pihak yang telah membantu dalam kelan
aran penyusunan skripsi.
Akhir kata, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pemba
a sekalian.
Surakarta, Januari 2007
Penulis
vi
DAFTAR ISI
JUDUL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRAK
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
ABSTRACT
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR TABEL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
I PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Batasan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Tujuan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
2.1
4
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Autonomous dan Bidang Fase
4
2.1.1
Sistem
. . . . . . . . . . . .
4
2.1.2
Titik Kesetimbangan dan Teori Kestabilan . . . . . . . . .
4
2.1.3
Metode Linearisasi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.4
Limit Cy
le
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.5
Respon Fungsional Mi
haelis-Menten . . . . . . . . . . . .
10
vii
2.2
Kerangka Pemikiran
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
III METODE PENELITIAN
12
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
13
4.1
Konstruksi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.1.1
Respon Fungsional Mi
haelis-Menten . . . . . . . . . . . .
13
4.1.2
Laju Populasi Mangsa dan Pemangsa . . . . . . . . . . . .
14
4.2
Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.3
Analisis Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3.1
. . . . . . . .
17
. . . . . . . .
18
Analisis Kestabilan Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.3.2
4.4
4.4.1
4.4.2
4.5
E2
Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan E3
Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan
E2
Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan E3
Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan
Simulasi Kasus
. . . . . . .
22
. . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
V KESIMPULAN DAN SARAN
31
5.1
Kesimpulan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
DAFTAR PUSTAKA
32
viii
DAFTAR TABEL
2.1
Tipe Kestabilan dari Titik Kesetimbangan
4.1
Kemungkinan Nilai
4.2
Kemungkinan Nilai
4.3
Periode dan Populasi Spesies pada
A1 <
A2 >
. . . . . . . . . . . . .
7
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
ix
Limit Cy
le
. . . . . . . . . .
28
DAFTAR GAMBAR
2.1 Tipe Kestabilan Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Gra k Laju Murat dan
E
Bidang Fase pada E
Bidang Fase pada E
Bidang Fase pada E
4.2 Bidang Fase pada
2
4.3
31
4.4
4.5
4.6
4.7
32
32
Vekton pada Interval 0 < A < h bb
. . .
24
. . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . .
26
. . . . . . . . . . . . . . . .
27
. . . . . . . . . . . . . . . .
27
( + )
A=2 .
dengan A = 4
dengan A = 6
dengan A = 9
dengan
Limit Cy
le dengan Carrying Capa
ity yang Ditentukan
Limit Cy
le dengan Arah Trayektori . . . . . . . . . . .
x
8
. . . . .
29
. . . . .
30
GAMBAR
xi
DAFTAR NOTASI
dm
dt
dv
dt
:
laju populasi mangsa
:
laju populasi pemangsa
m
:
populasi mangsa
v
:
populasi pemangsa
A
:
kemampuan populasi maksimum mangsa tanpa adanya pemangsa
:
laju penangkapan
b
:
angka pertumbuhan maksimum pemangsa
:
angka kematian pemangsa
h
:
konstanta setengah jenuh
r
:
angka pertumbuhan intrinsik mangsa
V
:
ke
epatan reaksi antara enzim dan substrat oleh Mi
haelis-Menten
Vmax
:
laju pembentukan produk maksimum
K
:
konstanta Mi
haelis
[S ℄
:
konsentrasi substrat
ma
:
jumlah mangsa yang dikonsumsi pemangsa per satuan waktu
p
:
laju konsumsi maksimum pemangsa
Ei
:
titik kesetimbangan ke-i
J (Ei )
:
matriks Ja
obian di titik kesetimbangan ke-i
:
nilai eigen
Of
:
gradien f
xi
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Matematika adalah ilmu yang sangat universal. Salah satu dasar ilmu
pengetahuan ini dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena-fenomena yang
terjadi di alam semesta. Matematika merupakan salah satu alat kuantitatif
maupun kualitatif yang dapat menjelaskan dinamika populasi. Salah satunya
adalah mengenai interaksi makhluk hidup, yang dapat digunakan untuk melakukan
kontrol terhadap alam tersebut.
Sebagaimana telah dikemukakan oleh Campbell,
et al.
[3℄ populasi dide -
nisikan sebagai suatu kelompok individu dari suatu spesies yang sama dan hidup
dalam daerah geogra s tertentu. Populasi ini selalu mengalami dinamika pertumbuhan sejalan dengan perubahan-perubahan yang ada di alam. Murray [10℄
menyatakan bahwa setiap populasi tumbuh se
ara eksponensial di mana pertumbuhan ini selalu naik dengan sumber yang tak terbatas. Akan tetapi karena
adanya keterbatasan sumber daya di alam ini, misalnya keterbatasan nutrisi,
menyebabkan populasi ini tumbuh se
ara logistik yang pada suatu saat tertentu
pertumbuhannya menjadi lambat dan akhirnya akan terhenti. Interaksi antar
populasi akan menyebabkan pertumbuhan se
ara logistik ini berubah.
Menurut Murray [10℄ ada tiga tipe interaksi antar populasi yaitu (a) tipe
mangsa-pemangsa, di mana naiknya laju pertumbuhan suatu populasi menghambat pertumbuhan populasi lainnya, (b) kompetisi, di mana laju pertumbuhan
masing-masing populasi turun, serta (
) simbiosis atau mutualisme, yang masingmasing populasi terus meningkat pertumbuhannya.
Pada tahun 1959, Holling telah mengklasi kasikan hubungan antara mangsapemangsa ke dalam tiga tipe berdasarkan laju konsumsi pemangsa, sebagaimana
yang telah dikemukakan oleh Hsu [9℄, salah satu di antaranya adalah model
1
mangsa-pemangsa tipe Lotka-Volterra dengan respon fungsional Mi
haelis-Menten. Model ini menjelaskan sistem ekologi yang terdiri dari tiga komponen yaitu
tanaman, mamalia ke
il pemakan tanaman sebagai mangsa dan karnivora pemakan mamalia ke
il sebagai pemangsa.
Keseimbangan ekosistem ini dapat
dikontrol jika persediaan populasi tanaman memadai. Misalkan
populasi mangsa dan
v
m
menyatakan
menyatakan populasi pemangsa. Sistem ini dapat dije-
laskan sebagai sistem persamaan diferensial nonlinear yaitu
dm
dt
dv
dt
=
mr
=
bmv
h+m
1
m mv
A h+m
v
(1.1)
m(0) > 0; v (0) > 0
A; ; b;
; h; r > 0
dengan
A
adalah kemampuan populasi maksimum mangsa tanpa adanya pe-
mangsa (
arrying
apa
ity),
adalah laju penangkapan (
apturing rate ), b adalah
angka pertumbuhan maksimum pemangsa,
adalah angka kematian pemangsa,
h adalah konstanta setengah jenuh (half saturation
onstant ), dan r adalah angka
pertumbuhan intrinsik mangsa.
Sistem persamaan diferensial nonlinear (1.1) dapat di
ari titik kesetimbangannya. Titik kesetimbangan berhubungan erat dengan kestabilan suatu sistem. Kestabilan di dalam sistem mangsa-pemangsa menjadi masalah matematis
yang menarik. Hal ini menjadi penting, karena jika dalam sistem tersebut ter
apai kestabilan, kelangsungan hidup mangsa dan pemangsa dapat dipertahankan.
Jika titik kesetimbangan stabil untuk setiap kondisi awal yang ditentukan, maka
menurut Bellomo dan Preziosi [1℄ sistem tersebut stabil se
ara global.
Fakta-fakta di atas menyarankan pentingnya penelitian tentang syarat
ukup
tentang kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa dengan respon fungsional
Mi
haelis-Menten. Lebih lanjut interpretasi kestabilan dari sistem tersebut juga
penting untuk dijelaskan.
2
1.2
Perumusan Masalah
Sejalan dengan fakta-fakta yang diungkapkan pada latar belakang di atas,
permasalahan utama dalam penelitian ini adalah
1. apa syarat
ukup kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa (1.1)
2. bagaimana interpretasi kestabilan global sistem mangsa-pemangsa (1.1).
1.3
Batasan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah
1. sistem mangsa-pemangsa (1.1) mengasumsikan bahwa mangsa tumbuh se
ara logistik tanpa adanya pemangsa
2. adanya pemangsa menyebabkan laju populasi mangsa dipengaruhi oleh respon fungsional Mi
haelis-Menten.
1.4
Tujuan
Se
ara eksplisit terdapat dua tujuan utama yang ingin di
apai dari penelitian ini, yaitu
1. dapat menentukan syarat
ukup kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa (1.1)
2. dapat menginterpretasikan kestabilan global sistem mangsa-pemangsa (1.1).
1.5
Manfaat
Manfaat yang ingin di
apai dari penelitian ini adalah dapat mengetahui
syarat
ukup kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa dengan respon fungsional Mi
haelis-Menten.
3
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1
2.1.1
Sistem
Tinjauan Pustaka
Autonomous
dan Bidang Fase
Suatu sistem persamaan diferensial nonlinear se
ara umum dapat ditulis
dx1
dt
dx2
dt
= f1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ; t)
= f2 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ; t)
(2.1)
..
.
dxn
dt
dengan
fi
=
fn (x1 ; x2 ; : : : ; xn ; t)
adalah fungsi kontinu pada
i
= 1; 2; : : : ; n, serta derivatif parsial perta-
manya kontinu. Farlow [5℄ menyatakan bahwa sistem persamaan diferensial (2.1)
dengan
fi
tidak tergantung se
ara eksplisit terhadap
t
disebut sistem autonomous.
Dalam sistem ini, (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) disebut fase, sedangkan bidang
disebut bidang fase. Nilai x1 =
x1 (t); x2
=
x2 (t); : : : ; xn
=
xn (t)
x1 ; x2 ; : : : ; xn
yang menyatakan
suatu titik (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) pada bidang fase disebut vektor keadaan.
variabel bebas
t
Karena
berubah, vektor keadaan bergerak pada bidang fase. Penyele-
saian aljabar yang berhubungan dengan variabel tak bebas
x1 ; x2 ; : : : ; xn
menya-
takan suatu trayektori atau orbit pada bidang fase.
2.1.2
Titik Kesetimbangan dan Teori Kestabilan
Kestabilan sistem mangsa-pemangsa sangat erat berkaitan dengan titik kesetimbangan sistem tersebut. Farlow [5℄ menyatakan bahwa titik kesetimbangan
merupakan titik dengan gerak vektor keadaan konstan. Umumnya sistem persamaan diferensial nonlinear memiliki lebih dari satu titik kesetimbangan sehing-
4
ga memungkinkan sistem konvergen ke satu atau beberapa titik kesetimbangan
tergantung pada kondisi awal yang diambil.
Sistem (2.1) se
ara umum dapat dituliskan dalam bentuk
x_ = f(x)
dengan x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ), x_ = ( dxdt1 ; dxdt2 ; : : : ; dxdtn ), dan f = (f1 ; f2 ; : : : ; fn). Su disebut titik kesetimbangan dari sistem (2.1), jika f(x
) = 0. Jika titik
atu titik x
x adalah titik kesetimbangan maka fungsi konstan x(t) = x untuk semua t adalah
merupakan penyelesaian. Hal ini sesuai dengan de nisi titik kesetimbangan yang
telah dikemukakan oleh Hale dan Ko
ak [8℄.
De nisi 2.1.1. Titik x 2 R2 disebut titik kesetimbangan dari x_ = f(x)
f(x ) = 0, x = (x1 ; x2 ). Dengan kata lain f1 (x1 ; x2 ) = 0 dan f2 (x1 ; x2 ) = 0.
jika
Finizio dan Ladas [6℄ mengemukakan bahwa suatu titik kesetimbangan dikatakan stabil jika perubahan ke
il dalam kondisi awal hanya menyebabkan pengaruh ke
il pada penyelesaian. Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotik
jika pengaruh dari suatu perubahan ke
il
enderung menghilang sama sekali.
Titik kesetimbangan dikatakan tak stabil jika perubahan ke
il dalam kondisi awal
mempunyai pengaruh yang besar pada penyelesaian.
Jika persekitaran titik kesetimbangan stabil asimtotik yang memuat kondisi
awal meliputi daerah lokal, maka kestabilannya disebut kestabilan lokal. Jika
kondisi awal meliputi seluruh bidang atau memuat semua kondisi awal maka
kestabilannya disebut kestabilan global. De nisi 2.1.2 berkaitan dengan kestabilan sebagaimana telah dikemukakan oleh Bellomo dan Preziosi [1℄.
De nisi 2.1.2.
>
0
Suatu keadaan setimbang
maka terdapat Æ () >
x(0) dengan
0,
x
disebut stabil jika untuk sembarang
sedemikian hingga untuk sembarang kondisi awal
k x(0) x k< Æ();
penyelesaiannya memenuhi
k x(t) x k< ; 8t 0:
5
Pada sistem persamaan diferensial nonlinear, penyelesaian se
ara eksak sangat sulit ditemukan mengingat begitu banyaknya variasi persamaan diferensial
nonlinear. Oleh karena itu digunakan metode linearisasi dan Teorema Poin
areBendixson untuk membuktikan kestabilan titik kesetimbangan sistem (2.1).
2.1.3
Metode Linearisasi
Metode linearisasi digunakan untuk penyelesaian sistem persamaan diferensial nonlinear karena penyelesaian se
ara eksak dari sistem sulit ditemukan.
Melalui metode linearisasi, sistem persamaan diferensial nonlinear dapat didekati
dengan sistem persamaan diferensial linear yang sesuai. Menurut Hale dan Ko
ak
[8℄, tipe kestabilan dari titik-titik kesetimbangan pada sistem linear dapat ditentukan dengan men
ari nilai eigen dari matriks koe siennya. Weisstein [11℄ menyatakan bahwa nilai eigen adalah nilai skalar yang berhubungan dengan sistem
persamaan linear, dikenal sebagai akar karakteristik. Pada sistem
adalah titik kesetimbangan, f =(f1 ; f2 ; : : : ; fn )
nonlinear, misal x
fungsi turunan parsial pertama kontinu pada
bian )
C
1
dari titik f di titik x dinotasikan sebagai
0 f
x (x)
B
B
B xf (x)
(x ) = B
B
..
B
.
1
1
J
2
1
fn
x1 (
x)
f1
x2 (
f2
x2 (
..
.
x)
x)
fn
x2 (
x)
:::
:::
...
:::
autonomous
2
C
1
adalah
dan matriks variasional (Ja
o-
1
x) C
C
x) C
C
.. C
. C
A
f1
xn (
f2
xn (
fn
xn (
;
x)
maka J (x) digunakan untuk menganalisis kestabilan dari sistem persamaan diferensial nonlinear, sesuai dengan de nisi yang telah dikemukakan oleh Hale dan
Ko
ak [8℄.
De nisi 2.1.3.
Jika
x
adalah titik kesetimbangan dari
x_ = f(x)
maka sistem
f
di titik kese-
persamaan diferensial linear
x_ = J (x)(x)
disebut sistem persamaan variasional linear atau linearisasi dari
timbangan
x .
6
Kestabilan sistem dipengaruhi oleh nilai eigen dari J (x). Kemungkinan dari
nilai eigen dapat dijelaskan dengan Teorema 2.1.1, Teorema 2.1.2, dan Teorema
2.1.3.
Teorema 2.1.1 (Hale dan Ko
ak [8℄).
Misal
f
adalah fungsi
C 1.
Jika semua
) mempunyai bagian real negatif maka titik
nilai eigen pada matriks Ja
obian J(x
kesetimbangan
x
x_ = f(x)
dari sistem persamaan
Teorema 2.1.2 (Hale dan Ko
ak [8℄).
Misal
f
adalah stabil asimtotik.
adalah fungsi C 1 . Jika sekurang-
) mempunyai bagian
kurangnya satu dari nilai eigen pada matriks Ja
obian J(x
real positif maka titik kesetimbangan
x
dari sistem persamaan
x_ = f(x)
adalah
tidak stabil.
Teorema 2.1.3 (Bellomo dan Preziosi [1℄).
tingkat dua,
Misal
fi
diferensiabel kontinu
i merupakan nilai eigen dari matriks Ja
obian yang dievaluasi pada
0 maka v (t) adalah positif untuk setiap t 0. Jadi terbukti bahwa
penyelesaian sistem (1.1) adalah positif.
4.2
Titik Kesetimbangan
Titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa (1.1) adalah titik di mana
laju mangsa dan pemangsa adalah nol, sehingga populasi mangsa dan pemangsa
dalam titik tersebut adalah konstan. Sistem persamaan di erensial nonlinear
(1.1) dapat dituliskan sebagai
dm
dt
dv
m
A
dt
= f1 (m; v )
= f2 (m; v );
mv
h+m
dan f2 (m; v ) = hbmv
+m
v .
Berdasarkan De nisi 2.1.1, titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa
dengan f1 (m; v ) = mr 1
(1.1) di
apai apabila
1 (m; v ) = 0
f
2 (m; v ) = 0:
(4.1)
f
Titik kesetimbangan dari persamaan (1.1) dan (4.1) adalah
1.
1 = (0; 0)
E
ketidakhadiran kedua spesies dalam ekosistem dinyatakan oleh titik kesetimbangan E1 . Karena ketidakhadiran tersebut, maka tidak perlu dilakukan
analisis di titik E1 .
16
2. E2 = (A; 0)
titik kesetimbangan E2 menyatakan
pa
ity
murat
hidup bebas pada
arrying
a-
A, dan ketidakhadiran vekton dalam ekosistem.
3. E3 = (m ; v ) dengan m =
h
b
dan v =
bhr A(b
)
h
A (b
)2
, b >
.
kedua spesies hadir dalam ekosistem dengan jumlah tertentu yaitu E3 .
Pada pembahasan selanjutnya laju pertumbuhan maksimum pemangsa b selalu
diasumsikan lebih besar dari laju kematian pemangsa
.
4.3
Analisis Kestabilan
Metode linearisasi digunakan untuk analisis kestabilan sistem mangsapemangsa (1.1). Metode ini hanya mampu menjelaskan kestabilan sistem se
ara
lokal.
Berdasarkan De nisi 2.1.3 diperoleh matriks variasional dari sistem mangsapemangsa (1.1) yaitu:
0
1
J11 J12
A
J =
J21 J22
dengan J11 = r(1
2m
A
)
hv
(h+m)2
, J12 =
m
h+m ,
J21 =
(4.2)
bhv
(h+m)2
, dan J22 =
bm
h+m
.
Dengan metode linearisasi yang menga
u pada matriks variasional (4.2),
kestabilan dari titik-titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa (1.1) ditentukan oleh nilai eigen dari matriks variasional yang dievaluasi di titik tersebut.
Tipe kestabilan dari titik kesetimbangan telah dijelaskan pada Tabel 2.1 dengan
1 dan 2 adalah nilai eigen dari sistem (1.1).
4.3.1
Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan
E2
Sebelum dilakukan analisis titik kesetimbangan E2 , akan dilakukan analisis
di titik E1 . Jika matriks variasional (4.2) dievaluasi di titik E1 = (0; 0) diperoleh
0
J (E1 ) =
17
r
0
0
1
A:
Nilai eigen dari matriks
J (E1 ) adalah 1 = r
maka titik kesetimbangan
E1
maka
E1
2 =
.
E2
1
memberikan nilai eigen
=
diperoleh matriks variasional
Ab
A+h
0
r
1
A
A+h
r
J (E2 ) =
dan
2
A:
Ab
.
= A+h
titik kesetimbangan yang stabil asimtotik jika nilai eigen
A<
Dalam hal ini titik kesetimbangan
rema 2.1.1 titik
4.3.2
E2
E2
b
h
merupakan
2 < 0 yaitu
adalah stabil asimtotik.
Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan
hr(b+
)
r
b
J (E3 ) = r(b
)Ab(b
)
hr
A
memenuhi persamaan karakteristik
r
hr(b +
)
r
+
(b
2
b
Ab(b
)
b
2
a1 =
E3
E2
adalah node dan akibatnya menurut Teo-
0
Nilai eigen
Agar
:
Jika matriks variasional (4.2) dievaluasi di titik
Agar
2 < 0 < 1 ,
tidak stabil.
0
dengan
Karena
merupakan titik sadel dan menurut Teorema 2.1.2,
Sedangkan di titik kesetimbangan
J (E2 )
dan
r
b
hr(b+
)
Ab(b
) dan
a2 =
E3
E3 , maka diperoleh
1
b A
0
)
a1 + a2 = 0;
h .
r (b
)
b
A
:
h
=0
A
(4.3)
merupakan titik kesetimbangan yang stabil asimtotik maka nilai eigen
dari matriks variasional tersebut harus memenuhi syarat
Dari syarat pertama diperoleh
A<
h(b +
)
;
b
sedangkan dari syarat kedua diperoleh
A>
b
h
18
:
1 +2 < 0 dan 1 2 > 0.
Kedua syarat yang diperoleh merupakan batas interval untuk A, yaitu
b
h
4b(b
)
negatif
r < 4b(b
)
positif
r b
< 4b(b
)
negatif
positif
r b
< 4b(b
)
1.
r <
A1 <
4b(b
2. 2r (b +
)
3.
r <
negatif
a4 < a5
0 dari Tabel 4.1 memberikan kemungkinan interval
) <
<
a4 > a5
r < 4b(b
)
r < 4b(b
)
2 ( + )
Penyelesaian
positif
r > 4b(b
)
r > 4b(b
)
2 ( + )
3.
0
Syarat
a4
2 ( + )
2.
A1 <
2r (b +
)
4b(b
2r (b +
)
) <
r
<
4b(b
).
Syarat (2) tidak berlaku karena
b;
; r >
0, sehingga hasil
A1 <
kemungkinan interval (1) dan (3). Jadi terbukti bahwa nilai
0 diperoleh pada
A1
tidak bermakna
se
ara biologi.
Untuk membuktikan
A2 >
A2
bermakna se
ara biologi,
ukup ditunjukkan bahwa
0. Dengan memperhatikan nilai
kemungkinan
A2 >
a4 ; a5 ;
dan
0
a5
a6
Syarat
positif
positif
positif
a4 > a5
r b
> 4b(b
)
r > 4b(b
)
r > 4b(b
)
positif
positif
r b
> 4b(b
)
negatif
negatif
a4 < a5
r < 4b(b
)
r < 4b(b
)
2 ( + )
3.
A2 >
a4
2 ( + )
2.
maka dapat ditunjukkan
0 oleh Tabel 4.2.
Tabel 4.2. Kemungkinan Nilai
1.
a6
positif
r b
< 4b(b
)
negatif
r < 4b(b
)
2 ( + )
20
Interval yang diperoleh dari kemungkinan penyelesaian A2 > 0 adalah
1. 4b(b
) <
r < 2r(b +
)
2.
r < 4b(b
) < 2r(b +
)
3.
r < 2r (b +
) < 4b(b
)
dengan b;
; r > 0, interval di atas memberikan hasil A2 > 0. Jadi terbukti bahwa
nilai A2 bermakna se
ara biologi.
Dari (4.4) nilai A2 terletak pada interval
h
b
< A2 <
h(b+
)
b
.
Kasus 2: 1 dan 2 adalah bilangan real apabila a3 > 0. Dengan demikian dari
(4.5) diperoleh
1 + 2 = 0:
Dengan memperhatikan (4.5) dan persamaan di atas, akan diperoleh nilai A3
A3 =
h(b +
)
:
b
Sehingga sesuai dengan syarat interval yang diperoleh pada (4.4), maka A3 tidak
dapat digunakan dalam sistem (1.1).
Analisis dapat dilakukan di titik kesetimbangan E3 menggunakan (4.4) dengan dua interval yang berbeda yaitu E31 dan E32 . Titik E31 merupakan titik
E3 dengan interval
h
b
h
b
< A < A2 dan E32 merupakan titik E3 dengan interval
< A < A2 . Di titik E31 menghasilkan nilai 1 < 0 dan 2 < 0, sehingga
titik kesetimbangan E31 adalah node dan menurut Teorema 2.1.1 titik tersebut
adalah stabil asimtotik. Sedangkan di titik E32 , 1 dan 2 yang dihasilkan adalah
kompleks serta
0, maka
Of tidak akan berubah tanda.
Akibatnya
titik kesetimbangan E2 tidak mempunyai limit
y
le. Dengan demikian menurut
Teorema Poin
are-Bendixson di titik kesetimbangan E2 = (A; 0) adalah stabil
global. Akan tetapi kondisi stabil global yang diperoleh, kurang diharapkan dengan ketidakhadiran vekton dalam ekosistem.
4.4.2
Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan
Jika gradien dievaluasi di titik kesetimbangan E3 ,
Of = r
1
=r 1
mv
2m
bm
+
2
A
( h + m)
m+h
2
h
r A(b
)
h
A(b
)
Ab(b
)
= ra7
22
E3
dengan
a7
=
pada titik
E3
Di titik
h
A b
)
2
(
1
A(b
)
h
Ab(b
)
dengan interval
yang berbeda.
A
h
b
dengan syarat
E31
. Kestabilan global dapat diinvestigasi
< A < A2 ,
maka
y
le. Untuk menjelaskan hal ini
ukup ditunjukkan
pada interval
A.
Untuk membuktikan
a7 <
Of
< ra7 :
A,
maka
ukup di-
0, yaitu jika
2
h
A2 (b
<
)
dan
A2 (b
Dari kedua syarat
a7 <
h
0:
>
)
0 akan diperoleh pertidaksamaan dalam
h
b
A
0;
)
A2 b(b
2
h
< A <
b
A
yaitu
:
pada pertidaksamaan di atas akan memberikan arti bahwa
bernilai negatif untuk ruas kanan dan kiri, sehingga
untuk nilai
tidak berubah tanda
Of tidak berubah tanda pada interval
1
Interval untuk
Of
tidak memuat limit
Dari syarat ini diperoleh
r <
tunjukkan
E31
m; v >
Of
Of tidak akan berubah tanda
0. Akibatnya titik kesetimbangan
E31
tidak mempunyai limit
y
le. Dengan tidak adanya limit
y
le pada titik kesetimbangan
E31 ,
maka titik
tersebut stabil global.
Di titik
E32
dengan syarat
A2 < A <
ra7 <
Untuk membuktikan
sembarang nilai
Of =
b;
>
r(b 2
)
b+
0 dengan
b;
; r
<
r (b
b
diperoleh batas
2
)
+
<
Untuk
r (b
b
2
)
+
b
<
2
<
b
2
>
>
r (b
b
2
)
+
23
>
akan diambil
0
0 akan diperoleh
Of
A,
0 akan diperoleh
adalah konstanta-konstanta positif, diperoleh
Sedangkan untuk
Of adalah
:
berubah tanda pada interval
b >
.
Of
dengan
Of
h(b+
) ,
b
0
Of bernilai negatif.
Of bernilai positif untuk setiap b;
; r > 0.
Untuk nilai m; v > 0, Of akan berubah tanda, sehingga titik kesetimbangan
sehingga
E32 stabil lokal.
4.5
Simulasi Kasus
murat dan vekton (1.1) akan disimulasikan dengan nilai-nilai parameter yang telah ditentukan dengan menggunakan software
Mathemati
a 5.0. Pengambilan nilai-nilai = 20 juta per tahun, b = 4 juta per
Hasil analisis dari sistem
tahun,
=
8
5
juta per tahun, r = 12 juta per tahun, dan h = 4 juta, ditentukan
oleh Clark [4℄ dengan nilai A yang sesuai.
murat dan vekton dalam fungsi A,
Gambar 4.1 menunjukkan laju populasi
pada interval 0 sampai dengan
LAJU
POPULASI
h(b+
)
b
= 9:33.
M(garis) dan V(titik)
murat
2.5
2
1.5
vekton
1
0.5
2
Gambar 4.1. Gra k Laju
4
6
A
8
Murat dan Vekton pada Interval 0 < A <
vekton. Pada titik
= 2:67, vekton mulai berkembang, namun populasi murat masih lebih
A=
banyak. Pada titik A =
= 9:33, populasi vekton akan mulai berkembang
lebih pesat walaupun banyak murat yang terlahir, namun semakin banyak pula
yang dimangsa oleh vekton. Dengan pertambahan nilai A, vekton akan lebih
Awalnya, populasi
murat
h(b+
)
b
berkembang tanpa adanya
h
b
h(b+
)
b
banyak berkembang.
Interval untuk A disimulasikan pada 0 < A <
1.
Interval
0 < A <
h
b
h
b
dan
h
b
E2
akan memberikan interpretasi biologi yaitu ke-
tiadaan pemangsa akan mengakibatkan ekosistem menjadi stabil. Di
DENGAN RESPON FUNGSIONAL
MICHAELIS-MENTEN
oleh
ASTRID CANDRASARI
NIM. M0102 015
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2007
i
SKRIPSI
ANALISIS GLOBAL SISTEM MANGSA-PEMANGSA DENGAN
RESPON FUNGSIONAL MICHAELIS-MENTEN
yang disiapkan dan disusun oleh
ASTRID CANDRASARI
NIM. M0102 015
dibimbing oleh
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. Sutrima, M.Si
Umi Salamah, M.Kom
NIP. 132 046 018
NIP. 132 162 555
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada hari Jumat, tanggal 26 Januari 2007
dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Anggota Tim Penguji
Tanda Tangan
1. Dr. Sutanto
1. ....................
NIP. 132 149 079
2. Hasih Pratiwi, M. Si
2. ....................
NIP. 132 143 817
3. ....................
3. Dra. Purnami Widyaningsih
NIP. 131 695 204
Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan,
Ketua Jurusan Matematika,
Drs. Marsusi, M.S
Drs. Kartiko, M.Si
NIP. 130 906 776
NIP. 131 569 203
ii
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
~
~
Papa dan mami-ku tersayang,
Kakak-kakakku: Mbak Lia, Mas Ronny, Mas Suryo,
Mbak Sopik, Mas Ari, dan Mas Rio,
~
Sahabat-sahabat terbaikku: Nia, Yuyun, Yonda, Ra
hma dan Ratna,
~
Bapak-bapak dan ibu-ibu dosen-ku yang aku banggakan.
iii
ABSTRAK
Astrid Candrasari, 2007. ANALISIS GLOBAL SISTEM MANGSA-PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL MICHAELIS-MENTEN. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Model mangsa-pemangsa dengan respon fungsional Mi
haelis-Menten menjelaskan suatu ekosistem yang terdiri dari tiga komponen yaitu tanaman, mamalia ke
il dan karnivora pemakan mamalia ke
il. Keseimbangan ekosistem ini
dapat dikontrol jika persediaan tanaman memadai. Kestabilan global di dalam
sistem mangsa-pemangsa menjadi masalah matematis yang menarik. Jika dalam
sistem tersebut ter
apai kestabilan, kelangsungan hidup mangsa dan pemangsa
dapat dipertahankan. Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan syarat
ukup
kestabilan global beserta interpretasi biologinya.
Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah teoritis-simulasi. Untuk
menjelaskan kestabilan digunakan metode linearisasi yang menghasilkan kestabilan lokal dan Teorema Poin
are-Bendixon yang menghasilkan kestabilan global.
Hasil pembahasan menunjukkan bahwa kestabilan global di
apai di titik
kesetimbangan nontrivial (a) E2 = (A; 0) dengan interval 0 < A < b
h
yaitu
dengan ketidakhadiran pemangsa, dan (b) E3 = (m ; v ) dengan m = b
h
dan
v =
bhr A(b
)
h
A (b
)2
dengan interval b
h
< A < untuk suatu yaitu dengan
kehadiran mangsa dan pemangsa pada ekosistem. Kestabilan global memberikan
interpretasi bahwa kehidupan ekosistem dalam keadaan terkendali se
ara luas
dalam waktu yang tak terbatas.
iv
ABSTRACT
Astrid Candrasari, 2007. GLOBAL ANALYSIS OF PREDATOR-PREY
SYSTEM WITH MICHAELIS-MENTEN FUNCTIONAL RESPONSE. Fa
ulty
of Mathemati
s and Natural S
ien
es, Sebelas Maret University.
Predator-prey model with fun
tional response Mi
haelis-Menten explained
a simple e
osystem
onsist of a plant, small mammal whi
h eats the plant and
arnivorous predator whi
h eats the mammal. The equilibrium of e
osystem
ould
be
ontrolled if populations of plant were available. Global stability for this
e
osystem be
omes an interesting mathemati
al problem. If the system rea
hes stability, the populations of predator and prey will be in healthy numbers.
The aim of this paper is nding suÆ
ient
onditions for global analysis with the
biologi
al interpretation.
The methods used in this thesis are theoreti
al-simulations whi
h linearization method for explaining lo
al stability and Poin
are-Bendixon Theorem for
global stability.
As the results, global stability is rea
hed at nontrivial equilibrium points
(a) E2 = (A; 0) on interval 0 < A < b
h
, with the absen
e of predator, and (b)
bhr A(b
)
h
A (b
)2
E3 = (m ; v ) with m = b
h
and v =
on interval b
h
< A <
for any , both of predator and prey present in e
osystem. The interpretation of
global stability is that the e
osystem in a stable
onditions or healthy numbers
with unlimited time.
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena atas berkah, rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir.
Dalam penyusunan skripsi ini penulis mengu
apkan terimakasih kepada:
1. Bapak Drs.
Sutrima, M.Si., Dosen Pembimbing I dan Ibu Umi Salamah,
M.Kom., Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan dalam penyusunan skripsi.
2. Dra.
Yuliana Susanti, M.Si, Pembimbing Akademik yang telah banyak
memberikan semangat dan bimbingan.
3. Keluarga besar H. Bambang Soebekti, S.Ip yang telah memberikan dukungan moral dan material.
4. Semua pihak yang telah membantu dalam kelan
aran penyusunan skripsi.
Akhir kata, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pemba
a sekalian.
Surakarta, Januari 2007
Penulis
vi
DAFTAR ISI
JUDUL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRAK
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
ABSTRACT
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR TABEL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
I PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Batasan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Tujuan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
2.1
4
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Autonomous dan Bidang Fase
4
2.1.1
Sistem
. . . . . . . . . . . .
4
2.1.2
Titik Kesetimbangan dan Teori Kestabilan . . . . . . . . .
4
2.1.3
Metode Linearisasi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.4
Limit Cy
le
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.5
Respon Fungsional Mi
haelis-Menten . . . . . . . . . . . .
10
vii
2.2
Kerangka Pemikiran
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
III METODE PENELITIAN
12
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
13
4.1
Konstruksi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.1.1
Respon Fungsional Mi
haelis-Menten . . . . . . . . . . . .
13
4.1.2
Laju Populasi Mangsa dan Pemangsa . . . . . . . . . . . .
14
4.2
Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.3
Analisis Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3.1
. . . . . . . .
17
. . . . . . . .
18
Analisis Kestabilan Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.3.2
4.4
4.4.1
4.4.2
4.5
E2
Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan E3
Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan
E2
Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan E3
Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan
Simulasi Kasus
. . . . . . .
22
. . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
V KESIMPULAN DAN SARAN
31
5.1
Kesimpulan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
DAFTAR PUSTAKA
32
viii
DAFTAR TABEL
2.1
Tipe Kestabilan dari Titik Kesetimbangan
4.1
Kemungkinan Nilai
4.2
Kemungkinan Nilai
4.3
Periode dan Populasi Spesies pada
A1 <
A2 >
. . . . . . . . . . . . .
7
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
ix
Limit Cy
le
. . . . . . . . . .
28
DAFTAR GAMBAR
2.1 Tipe Kestabilan Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Gra k Laju Murat dan
E
Bidang Fase pada E
Bidang Fase pada E
Bidang Fase pada E
4.2 Bidang Fase pada
2
4.3
31
4.4
4.5
4.6
4.7
32
32
Vekton pada Interval 0 < A < h bb
. . .
24
. . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . .
26
. . . . . . . . . . . . . . . .
27
. . . . . . . . . . . . . . . .
27
( + )
A=2 .
dengan A = 4
dengan A = 6
dengan A = 9
dengan
Limit Cy
le dengan Carrying Capa
ity yang Ditentukan
Limit Cy
le dengan Arah Trayektori . . . . . . . . . . .
x
8
. . . . .
29
. . . . .
30
GAMBAR
xi
DAFTAR NOTASI
dm
dt
dv
dt
:
laju populasi mangsa
:
laju populasi pemangsa
m
:
populasi mangsa
v
:
populasi pemangsa
A
:
kemampuan populasi maksimum mangsa tanpa adanya pemangsa
:
laju penangkapan
b
:
angka pertumbuhan maksimum pemangsa
:
angka kematian pemangsa
h
:
konstanta setengah jenuh
r
:
angka pertumbuhan intrinsik mangsa
V
:
ke
epatan reaksi antara enzim dan substrat oleh Mi
haelis-Menten
Vmax
:
laju pembentukan produk maksimum
K
:
konstanta Mi
haelis
[S ℄
:
konsentrasi substrat
ma
:
jumlah mangsa yang dikonsumsi pemangsa per satuan waktu
p
:
laju konsumsi maksimum pemangsa
Ei
:
titik kesetimbangan ke-i
J (Ei )
:
matriks Ja
obian di titik kesetimbangan ke-i
:
nilai eigen
Of
:
gradien f
xi
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Matematika adalah ilmu yang sangat universal. Salah satu dasar ilmu
pengetahuan ini dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena-fenomena yang
terjadi di alam semesta. Matematika merupakan salah satu alat kuantitatif
maupun kualitatif yang dapat menjelaskan dinamika populasi. Salah satunya
adalah mengenai interaksi makhluk hidup, yang dapat digunakan untuk melakukan
kontrol terhadap alam tersebut.
Sebagaimana telah dikemukakan oleh Campbell,
et al.
[3℄ populasi dide -
nisikan sebagai suatu kelompok individu dari suatu spesies yang sama dan hidup
dalam daerah geogra s tertentu. Populasi ini selalu mengalami dinamika pertumbuhan sejalan dengan perubahan-perubahan yang ada di alam. Murray [10℄
menyatakan bahwa setiap populasi tumbuh se
ara eksponensial di mana pertumbuhan ini selalu naik dengan sumber yang tak terbatas. Akan tetapi karena
adanya keterbatasan sumber daya di alam ini, misalnya keterbatasan nutrisi,
menyebabkan populasi ini tumbuh se
ara logistik yang pada suatu saat tertentu
pertumbuhannya menjadi lambat dan akhirnya akan terhenti. Interaksi antar
populasi akan menyebabkan pertumbuhan se
ara logistik ini berubah.
Menurut Murray [10℄ ada tiga tipe interaksi antar populasi yaitu (a) tipe
mangsa-pemangsa, di mana naiknya laju pertumbuhan suatu populasi menghambat pertumbuhan populasi lainnya, (b) kompetisi, di mana laju pertumbuhan
masing-masing populasi turun, serta (
) simbiosis atau mutualisme, yang masingmasing populasi terus meningkat pertumbuhannya.
Pada tahun 1959, Holling telah mengklasi kasikan hubungan antara mangsapemangsa ke dalam tiga tipe berdasarkan laju konsumsi pemangsa, sebagaimana
yang telah dikemukakan oleh Hsu [9℄, salah satu di antaranya adalah model
1
mangsa-pemangsa tipe Lotka-Volterra dengan respon fungsional Mi
haelis-Menten. Model ini menjelaskan sistem ekologi yang terdiri dari tiga komponen yaitu
tanaman, mamalia ke
il pemakan tanaman sebagai mangsa dan karnivora pemakan mamalia ke
il sebagai pemangsa.
Keseimbangan ekosistem ini dapat
dikontrol jika persediaan populasi tanaman memadai. Misalkan
populasi mangsa dan
v
m
menyatakan
menyatakan populasi pemangsa. Sistem ini dapat dije-
laskan sebagai sistem persamaan diferensial nonlinear yaitu
dm
dt
dv
dt
=
mr
=
bmv
h+m
1
m mv
A h+m
v
(1.1)
m(0) > 0; v (0) > 0
A; ; b;
; h; r > 0
dengan
A
adalah kemampuan populasi maksimum mangsa tanpa adanya pe-
mangsa (
arrying
apa
ity),
adalah laju penangkapan (
apturing rate ), b adalah
angka pertumbuhan maksimum pemangsa,
adalah angka kematian pemangsa,
h adalah konstanta setengah jenuh (half saturation
onstant ), dan r adalah angka
pertumbuhan intrinsik mangsa.
Sistem persamaan diferensial nonlinear (1.1) dapat di
ari titik kesetimbangannya. Titik kesetimbangan berhubungan erat dengan kestabilan suatu sistem. Kestabilan di dalam sistem mangsa-pemangsa menjadi masalah matematis
yang menarik. Hal ini menjadi penting, karena jika dalam sistem tersebut ter
apai kestabilan, kelangsungan hidup mangsa dan pemangsa dapat dipertahankan.
Jika titik kesetimbangan stabil untuk setiap kondisi awal yang ditentukan, maka
menurut Bellomo dan Preziosi [1℄ sistem tersebut stabil se
ara global.
Fakta-fakta di atas menyarankan pentingnya penelitian tentang syarat
ukup
tentang kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa dengan respon fungsional
Mi
haelis-Menten. Lebih lanjut interpretasi kestabilan dari sistem tersebut juga
penting untuk dijelaskan.
2
1.2
Perumusan Masalah
Sejalan dengan fakta-fakta yang diungkapkan pada latar belakang di atas,
permasalahan utama dalam penelitian ini adalah
1. apa syarat
ukup kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa (1.1)
2. bagaimana interpretasi kestabilan global sistem mangsa-pemangsa (1.1).
1.3
Batasan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah
1. sistem mangsa-pemangsa (1.1) mengasumsikan bahwa mangsa tumbuh se
ara logistik tanpa adanya pemangsa
2. adanya pemangsa menyebabkan laju populasi mangsa dipengaruhi oleh respon fungsional Mi
haelis-Menten.
1.4
Tujuan
Se
ara eksplisit terdapat dua tujuan utama yang ingin di
apai dari penelitian ini, yaitu
1. dapat menentukan syarat
ukup kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa (1.1)
2. dapat menginterpretasikan kestabilan global sistem mangsa-pemangsa (1.1).
1.5
Manfaat
Manfaat yang ingin di
apai dari penelitian ini adalah dapat mengetahui
syarat
ukup kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa dengan respon fungsional Mi
haelis-Menten.
3
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1
2.1.1
Sistem
Tinjauan Pustaka
Autonomous
dan Bidang Fase
Suatu sistem persamaan diferensial nonlinear se
ara umum dapat ditulis
dx1
dt
dx2
dt
= f1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ; t)
= f2 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ; t)
(2.1)
..
.
dxn
dt
dengan
fi
=
fn (x1 ; x2 ; : : : ; xn ; t)
adalah fungsi kontinu pada
i
= 1; 2; : : : ; n, serta derivatif parsial perta-
manya kontinu. Farlow [5℄ menyatakan bahwa sistem persamaan diferensial (2.1)
dengan
fi
tidak tergantung se
ara eksplisit terhadap
t
disebut sistem autonomous.
Dalam sistem ini, (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) disebut fase, sedangkan bidang
disebut bidang fase. Nilai x1 =
x1 (t); x2
=
x2 (t); : : : ; xn
=
xn (t)
x1 ; x2 ; : : : ; xn
yang menyatakan
suatu titik (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) pada bidang fase disebut vektor keadaan.
variabel bebas
t
Karena
berubah, vektor keadaan bergerak pada bidang fase. Penyele-
saian aljabar yang berhubungan dengan variabel tak bebas
x1 ; x2 ; : : : ; xn
menya-
takan suatu trayektori atau orbit pada bidang fase.
2.1.2
Titik Kesetimbangan dan Teori Kestabilan
Kestabilan sistem mangsa-pemangsa sangat erat berkaitan dengan titik kesetimbangan sistem tersebut. Farlow [5℄ menyatakan bahwa titik kesetimbangan
merupakan titik dengan gerak vektor keadaan konstan. Umumnya sistem persamaan diferensial nonlinear memiliki lebih dari satu titik kesetimbangan sehing-
4
ga memungkinkan sistem konvergen ke satu atau beberapa titik kesetimbangan
tergantung pada kondisi awal yang diambil.
Sistem (2.1) se
ara umum dapat dituliskan dalam bentuk
x_ = f(x)
dengan x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ), x_ = ( dxdt1 ; dxdt2 ; : : : ; dxdtn ), dan f = (f1 ; f2 ; : : : ; fn). Su disebut titik kesetimbangan dari sistem (2.1), jika f(x
) = 0. Jika titik
atu titik x
x adalah titik kesetimbangan maka fungsi konstan x(t) = x untuk semua t adalah
merupakan penyelesaian. Hal ini sesuai dengan de nisi titik kesetimbangan yang
telah dikemukakan oleh Hale dan Ko
ak [8℄.
De nisi 2.1.1. Titik x 2 R2 disebut titik kesetimbangan dari x_ = f(x)
f(x ) = 0, x = (x1 ; x2 ). Dengan kata lain f1 (x1 ; x2 ) = 0 dan f2 (x1 ; x2 ) = 0.
jika
Finizio dan Ladas [6℄ mengemukakan bahwa suatu titik kesetimbangan dikatakan stabil jika perubahan ke
il dalam kondisi awal hanya menyebabkan pengaruh ke
il pada penyelesaian. Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotik
jika pengaruh dari suatu perubahan ke
il
enderung menghilang sama sekali.
Titik kesetimbangan dikatakan tak stabil jika perubahan ke
il dalam kondisi awal
mempunyai pengaruh yang besar pada penyelesaian.
Jika persekitaran titik kesetimbangan stabil asimtotik yang memuat kondisi
awal meliputi daerah lokal, maka kestabilannya disebut kestabilan lokal. Jika
kondisi awal meliputi seluruh bidang atau memuat semua kondisi awal maka
kestabilannya disebut kestabilan global. De nisi 2.1.2 berkaitan dengan kestabilan sebagaimana telah dikemukakan oleh Bellomo dan Preziosi [1℄.
De nisi 2.1.2.
>
0
Suatu keadaan setimbang
maka terdapat Æ () >
x(0) dengan
0,
x
disebut stabil jika untuk sembarang
sedemikian hingga untuk sembarang kondisi awal
k x(0) x k< Æ();
penyelesaiannya memenuhi
k x(t) x k< ; 8t 0:
5
Pada sistem persamaan diferensial nonlinear, penyelesaian se
ara eksak sangat sulit ditemukan mengingat begitu banyaknya variasi persamaan diferensial
nonlinear. Oleh karena itu digunakan metode linearisasi dan Teorema Poin
areBendixson untuk membuktikan kestabilan titik kesetimbangan sistem (2.1).
2.1.3
Metode Linearisasi
Metode linearisasi digunakan untuk penyelesaian sistem persamaan diferensial nonlinear karena penyelesaian se
ara eksak dari sistem sulit ditemukan.
Melalui metode linearisasi, sistem persamaan diferensial nonlinear dapat didekati
dengan sistem persamaan diferensial linear yang sesuai. Menurut Hale dan Ko
ak
[8℄, tipe kestabilan dari titik-titik kesetimbangan pada sistem linear dapat ditentukan dengan men
ari nilai eigen dari matriks koe siennya. Weisstein [11℄ menyatakan bahwa nilai eigen adalah nilai skalar yang berhubungan dengan sistem
persamaan linear, dikenal sebagai akar karakteristik. Pada sistem
adalah titik kesetimbangan, f =(f1 ; f2 ; : : : ; fn )
nonlinear, misal x
fungsi turunan parsial pertama kontinu pada
bian )
C
1
dari titik f di titik x dinotasikan sebagai
0 f
x (x)
B
B
B xf (x)
(x ) = B
B
..
B
.
1
1
J
2
1
fn
x1 (
x)
f1
x2 (
f2
x2 (
..
.
x)
x)
fn
x2 (
x)
:::
:::
...
:::
autonomous
2
C
1
adalah
dan matriks variasional (Ja
o-
1
x) C
C
x) C
C
.. C
. C
A
f1
xn (
f2
xn (
fn
xn (
;
x)
maka J (x) digunakan untuk menganalisis kestabilan dari sistem persamaan diferensial nonlinear, sesuai dengan de nisi yang telah dikemukakan oleh Hale dan
Ko
ak [8℄.
De nisi 2.1.3.
Jika
x
adalah titik kesetimbangan dari
x_ = f(x)
maka sistem
f
di titik kese-
persamaan diferensial linear
x_ = J (x)(x)
disebut sistem persamaan variasional linear atau linearisasi dari
timbangan
x .
6
Kestabilan sistem dipengaruhi oleh nilai eigen dari J (x). Kemungkinan dari
nilai eigen dapat dijelaskan dengan Teorema 2.1.1, Teorema 2.1.2, dan Teorema
2.1.3.
Teorema 2.1.1 (Hale dan Ko
ak [8℄).
Misal
f
adalah fungsi
C 1.
Jika semua
) mempunyai bagian real negatif maka titik
nilai eigen pada matriks Ja
obian J(x
kesetimbangan
x
x_ = f(x)
dari sistem persamaan
Teorema 2.1.2 (Hale dan Ko
ak [8℄).
Misal
f
adalah stabil asimtotik.
adalah fungsi C 1 . Jika sekurang-
) mempunyai bagian
kurangnya satu dari nilai eigen pada matriks Ja
obian J(x
real positif maka titik kesetimbangan
x
dari sistem persamaan
x_ = f(x)
adalah
tidak stabil.
Teorema 2.1.3 (Bellomo dan Preziosi [1℄).
tingkat dua,
Misal
fi
diferensiabel kontinu
i merupakan nilai eigen dari matriks Ja
obian yang dievaluasi pada
0 maka v (t) adalah positif untuk setiap t 0. Jadi terbukti bahwa
penyelesaian sistem (1.1) adalah positif.
4.2
Titik Kesetimbangan
Titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa (1.1) adalah titik di mana
laju mangsa dan pemangsa adalah nol, sehingga populasi mangsa dan pemangsa
dalam titik tersebut adalah konstan. Sistem persamaan di erensial nonlinear
(1.1) dapat dituliskan sebagai
dm
dt
dv
m
A
dt
= f1 (m; v )
= f2 (m; v );
mv
h+m
dan f2 (m; v ) = hbmv
+m
v .
Berdasarkan De nisi 2.1.1, titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa
dengan f1 (m; v ) = mr 1
(1.1) di
apai apabila
1 (m; v ) = 0
f
2 (m; v ) = 0:
(4.1)
f
Titik kesetimbangan dari persamaan (1.1) dan (4.1) adalah
1.
1 = (0; 0)
E
ketidakhadiran kedua spesies dalam ekosistem dinyatakan oleh titik kesetimbangan E1 . Karena ketidakhadiran tersebut, maka tidak perlu dilakukan
analisis di titik E1 .
16
2. E2 = (A; 0)
titik kesetimbangan E2 menyatakan
pa
ity
murat
hidup bebas pada
arrying
a-
A, dan ketidakhadiran vekton dalam ekosistem.
3. E3 = (m ; v ) dengan m =
h
b
dan v =
bhr A(b
)
h
A (b
)2
, b >
.
kedua spesies hadir dalam ekosistem dengan jumlah tertentu yaitu E3 .
Pada pembahasan selanjutnya laju pertumbuhan maksimum pemangsa b selalu
diasumsikan lebih besar dari laju kematian pemangsa
.
4.3
Analisis Kestabilan
Metode linearisasi digunakan untuk analisis kestabilan sistem mangsapemangsa (1.1). Metode ini hanya mampu menjelaskan kestabilan sistem se
ara
lokal.
Berdasarkan De nisi 2.1.3 diperoleh matriks variasional dari sistem mangsapemangsa (1.1) yaitu:
0
1
J11 J12
A
J =
J21 J22
dengan J11 = r(1
2m
A
)
hv
(h+m)2
, J12 =
m
h+m ,
J21 =
(4.2)
bhv
(h+m)2
, dan J22 =
bm
h+m
.
Dengan metode linearisasi yang menga
u pada matriks variasional (4.2),
kestabilan dari titik-titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa (1.1) ditentukan oleh nilai eigen dari matriks variasional yang dievaluasi di titik tersebut.
Tipe kestabilan dari titik kesetimbangan telah dijelaskan pada Tabel 2.1 dengan
1 dan 2 adalah nilai eigen dari sistem (1.1).
4.3.1
Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan
E2
Sebelum dilakukan analisis titik kesetimbangan E2 , akan dilakukan analisis
di titik E1 . Jika matriks variasional (4.2) dievaluasi di titik E1 = (0; 0) diperoleh
0
J (E1 ) =
17
r
0
0
1
A:
Nilai eigen dari matriks
J (E1 ) adalah 1 = r
maka titik kesetimbangan
E1
maka
E1
2 =
.
E2
1
memberikan nilai eigen
=
diperoleh matriks variasional
Ab
A+h
0
r
1
A
A+h
r
J (E2 ) =
dan
2
A:
Ab
.
= A+h
titik kesetimbangan yang stabil asimtotik jika nilai eigen
A<
Dalam hal ini titik kesetimbangan
rema 2.1.1 titik
4.3.2
E2
E2
b
h
merupakan
2 < 0 yaitu
adalah stabil asimtotik.
Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan
hr(b+
)
r
b
J (E3 ) = r(b
)Ab(b
)
hr
A
memenuhi persamaan karakteristik
r
hr(b +
)
r
+
(b
2
b
Ab(b
)
b
2
a1 =
E3
E2
adalah node dan akibatnya menurut Teo-
0
Nilai eigen
Agar
:
Jika matriks variasional (4.2) dievaluasi di titik
Agar
2 < 0 < 1 ,
tidak stabil.
0
dengan
Karena
merupakan titik sadel dan menurut Teorema 2.1.2,
Sedangkan di titik kesetimbangan
J (E2 )
dan
r
b
hr(b+
)
Ab(b
) dan
a2 =
E3
E3 , maka diperoleh
1
b A
0
)
a1 + a2 = 0;
h .
r (b
)
b
A
:
h
=0
A
(4.3)
merupakan titik kesetimbangan yang stabil asimtotik maka nilai eigen
dari matriks variasional tersebut harus memenuhi syarat
Dari syarat pertama diperoleh
A<
h(b +
)
;
b
sedangkan dari syarat kedua diperoleh
A>
b
h
18
:
1 +2 < 0 dan 1 2 > 0.
Kedua syarat yang diperoleh merupakan batas interval untuk A, yaitu
b
h
4b(b
)
negatif
r < 4b(b
)
positif
r b
< 4b(b
)
negatif
positif
r b
< 4b(b
)
1.
r <
A1 <
4b(b
2. 2r (b +
)
3.
r <
negatif
a4 < a5
0 dari Tabel 4.1 memberikan kemungkinan interval
) <
<
a4 > a5
r < 4b(b
)
r < 4b(b
)
2 ( + )
Penyelesaian
positif
r > 4b(b
)
r > 4b(b
)
2 ( + )
3.
0
Syarat
a4
2 ( + )
2.
A1 <
2r (b +
)
4b(b
2r (b +
)
) <
r
<
4b(b
).
Syarat (2) tidak berlaku karena
b;
; r >
0, sehingga hasil
A1 <
kemungkinan interval (1) dan (3). Jadi terbukti bahwa nilai
0 diperoleh pada
A1
tidak bermakna
se
ara biologi.
Untuk membuktikan
A2 >
A2
bermakna se
ara biologi,
ukup ditunjukkan bahwa
0. Dengan memperhatikan nilai
kemungkinan
A2 >
a4 ; a5 ;
dan
0
a5
a6
Syarat
positif
positif
positif
a4 > a5
r b
> 4b(b
)
r > 4b(b
)
r > 4b(b
)
positif
positif
r b
> 4b(b
)
negatif
negatif
a4 < a5
r < 4b(b
)
r < 4b(b
)
2 ( + )
3.
A2 >
a4
2 ( + )
2.
maka dapat ditunjukkan
0 oleh Tabel 4.2.
Tabel 4.2. Kemungkinan Nilai
1.
a6
positif
r b
< 4b(b
)
negatif
r < 4b(b
)
2 ( + )
20
Interval yang diperoleh dari kemungkinan penyelesaian A2 > 0 adalah
1. 4b(b
) <
r < 2r(b +
)
2.
r < 4b(b
) < 2r(b +
)
3.
r < 2r (b +
) < 4b(b
)
dengan b;
; r > 0, interval di atas memberikan hasil A2 > 0. Jadi terbukti bahwa
nilai A2 bermakna se
ara biologi.
Dari (4.4) nilai A2 terletak pada interval
h
b
< A2 <
h(b+
)
b
.
Kasus 2: 1 dan 2 adalah bilangan real apabila a3 > 0. Dengan demikian dari
(4.5) diperoleh
1 + 2 = 0:
Dengan memperhatikan (4.5) dan persamaan di atas, akan diperoleh nilai A3
A3 =
h(b +
)
:
b
Sehingga sesuai dengan syarat interval yang diperoleh pada (4.4), maka A3 tidak
dapat digunakan dalam sistem (1.1).
Analisis dapat dilakukan di titik kesetimbangan E3 menggunakan (4.4) dengan dua interval yang berbeda yaitu E31 dan E32 . Titik E31 merupakan titik
E3 dengan interval
h
b
h
b
< A < A2 dan E32 merupakan titik E3 dengan interval
< A < A2 . Di titik E31 menghasilkan nilai 1 < 0 dan 2 < 0, sehingga
titik kesetimbangan E31 adalah node dan menurut Teorema 2.1.1 titik tersebut
adalah stabil asimtotik. Sedangkan di titik E32 , 1 dan 2 yang dihasilkan adalah
kompleks serta
0, maka
Of tidak akan berubah tanda.
Akibatnya
titik kesetimbangan E2 tidak mempunyai limit
y
le. Dengan demikian menurut
Teorema Poin
are-Bendixson di titik kesetimbangan E2 = (A; 0) adalah stabil
global. Akan tetapi kondisi stabil global yang diperoleh, kurang diharapkan dengan ketidakhadiran vekton dalam ekosistem.
4.4.2
Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan
Jika gradien dievaluasi di titik kesetimbangan E3 ,
Of = r
1
=r 1
mv
2m
bm
+
2
A
( h + m)
m+h
2
h
r A(b
)
h
A(b
)
Ab(b
)
= ra7
22
E3
dengan
a7
=
pada titik
E3
Di titik
h
A b
)
2
(
1
A(b
)
h
Ab(b
)
dengan interval
yang berbeda.
A
h
b
dengan syarat
E31
. Kestabilan global dapat diinvestigasi
< A < A2 ,
maka
y
le. Untuk menjelaskan hal ini
ukup ditunjukkan
pada interval
A.
Untuk membuktikan
a7 <
Of
< ra7 :
A,
maka
ukup di-
0, yaitu jika
2
h
A2 (b
<
)
dan
A2 (b
Dari kedua syarat
a7 <
h
0:
>
)
0 akan diperoleh pertidaksamaan dalam
h
b
A
0;
)
A2 b(b
2
h
< A <
b
A
yaitu
:
pada pertidaksamaan di atas akan memberikan arti bahwa
bernilai negatif untuk ruas kanan dan kiri, sehingga
untuk nilai
tidak berubah tanda
Of tidak berubah tanda pada interval
1
Interval untuk
Of
tidak memuat limit
Dari syarat ini diperoleh
r <
tunjukkan
E31
m; v >
Of
Of tidak akan berubah tanda
0. Akibatnya titik kesetimbangan
E31
tidak mempunyai limit
y
le. Dengan tidak adanya limit
y
le pada titik kesetimbangan
E31 ,
maka titik
tersebut stabil global.
Di titik
E32
dengan syarat
A2 < A <
ra7 <
Untuk membuktikan
sembarang nilai
Of =
b;
>
r(b 2
)
b+
0 dengan
b;
; r
<
r (b
b
diperoleh batas
2
)
+
<
Untuk
r (b
b
2
)
+
b
<
2
<
b
2
>
>
r (b
b
2
)
+
23
>
akan diambil
0
0 akan diperoleh
Of
A,
0 akan diperoleh
adalah konstanta-konstanta positif, diperoleh
Sedangkan untuk
Of adalah
:
berubah tanda pada interval
b >
.
Of
dengan
Of
h(b+
) ,
b
0
Of bernilai negatif.
Of bernilai positif untuk setiap b;
; r > 0.
Untuk nilai m; v > 0, Of akan berubah tanda, sehingga titik kesetimbangan
sehingga
E32 stabil lokal.
4.5
Simulasi Kasus
murat dan vekton (1.1) akan disimulasikan dengan nilai-nilai parameter yang telah ditentukan dengan menggunakan software
Mathemati
a 5.0. Pengambilan nilai-nilai = 20 juta per tahun, b = 4 juta per
Hasil analisis dari sistem
tahun,
=
8
5
juta per tahun, r = 12 juta per tahun, dan h = 4 juta, ditentukan
oleh Clark [4℄ dengan nilai A yang sesuai.
murat dan vekton dalam fungsi A,
Gambar 4.1 menunjukkan laju populasi
pada interval 0 sampai dengan
LAJU
POPULASI
h(b+
)
b
= 9:33.
M(garis) dan V(titik)
murat
2.5
2
1.5
vekton
1
0.5
2
Gambar 4.1. Gra k Laju
4
6
A
8
Murat dan Vekton pada Interval 0 < A <
vekton. Pada titik
= 2:67, vekton mulai berkembang, namun populasi murat masih lebih
A=
banyak. Pada titik A =
= 9:33, populasi vekton akan mulai berkembang
lebih pesat walaupun banyak murat yang terlahir, namun semakin banyak pula
yang dimangsa oleh vekton. Dengan pertambahan nilai A, vekton akan lebih
Awalnya, populasi
murat
h(b+
)
b
berkembang tanpa adanya
h
b
h(b+
)
b
banyak berkembang.
Interval untuk A disimulasikan pada 0 < A <
1.
Interval
0 < A <
h
b
h
b
dan
h
b
E2
akan memberikan interpretasi biologi yaitu ke-
tiadaan pemangsa akan mengakibatkan ekosistem menjadi stabil. Di