Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan GM-S1S.
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION DAN GM-S1S
HANNA RIFATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan GM-S1S adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2015
Hanna Rifatika
NIM G54110068
ABSTRAK
HANNA RIFATIKA. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode
Median Absolute Deviation dan GM-S1S. Dibimbing oleh NGAKAN KOMANG
KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Parameter dari suatu model dinamik yang belum diketahui nilainya dapat
diduga dengan menggunakan metode Least Square (LS). Metode LS adalah metode
yang paling umum digunakan dalam pendugaan parameter. Namun, metode ini
memiliki kelemahan yaitu sangat sensitif terhadap pencilan. Metode robust adalah
metode yang dapat mengatasi kelemahan itu. Metode Median Absolute Deviation
(MAD) dan GM-S1S cukup baik dalam melakukan pedugaan parameter untuk jenis
data tanpa pencilan maupun dengan pencilan. Pada karya ilmiah ini, pendugaan
parameter dilakukan dengan menggunakan data hipotetik model dinamik Gompertz
dan SIR (Susceptibles, Invectives, Recovered). Keakuratan pendugaan parameter
pada model dinamik diukur dengan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error
(SMAPE) dan divisualisasikan ke dalam boxplot. Metode GM-S1S relatif lebih baik
dalam pendugaan parameter dibanding metode MAD, untuk data pencilan. Ketiga
metode baik digunakan pada data dengan tanpa pencilan.
Kata kunci: GM-S1S, Least Square, Median Absolute Deviation, pencilan, robust
ABSTRACT
HANNA RIFATIKA. Parameter Estimation of Dynamical Models using Robust
Median Absolute Deviation and GM-S1S Methods. Supervised by NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Unknown parameters of a dynamical model can be estimated using the least
square (LS) method. The LS method is the most common method used to estimate
the parameters. However, the disadvantage of this method is that it is very sensitive
in handling outliers. Robust method is a method that could overcome this weakness.
Robust methods namely Median Absolute Deviation (MAD) and GM-S1S are very
good in performing parameters estimation for the type of data with or without
outliers. In this paper, parameter estimation is undertaken by using hypothetical
data on Gompertz and SIR dynamical models. The accuracy of parameter
estimation of those dynamical models is measured with SMAPE and boxplot. It is
obtained that GM-S1S method is relatively better than the MAD method to the data
with outliers. Moreover, all methods are suitable to be applied to the data without
outliers.
Keywords : GM-S1S, Least Square, Median Absolute Deviation, outliers, robust
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION DAN GM-S1S
HANNA RIFATIKA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan GM-S1S berhasil
diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 Papa, mama, adik, serta seluruh keluarga besar atas dukungan, motivasi, kasih
sayang dan doa yang tiada henti-hentinya.
2 Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak Ir Ngakan Komang
Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing
atas arahan, bimbingan, dan motivasi dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
3 Bapak Dr Hadi Sumarno, MS selaku penguji yang telah banyak memberi saran
dan perbaikan.
4 Dosen, staf Departemen Matematika IPB, dan Ibu Susi atas segala ilmu yang
diberikan dan bantuannya selama perkuliahan.
5 Muhammad Buchari Gaib atas segala bantuan, motivasi, dan dukungan dalam
penyusunan tugas akhir ini.
6 Ariyanto Hermawan, dan Riefdah Imro’atul Azizah selaku teman satu dosen
pembimbing yang telah membantu dan memberi support dalam menyelesaikan
tugas akhir ini.
7 Intan, Atikah, Resty, Kio, Sifa, Alfi, Riefdah, Putri, Andin, Lidya, dan Ebi
selaku sahabat yang telah memberi saran dan support dalam menyelesaikan
tugas akhir ini.
8 Teman-teman Matematika 48, kakak Matematika 46, 47, dan adik-adik
Matematika 49 yang telah banyak membantu dalam proses penyusunan tugas
akhir ini.
9 Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang turut mendukung
dan membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2015
Hanna Rifatika
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
LANDASAN TEORI
2
Model Dinamik
2
Pencilan (Outlier)
2
Metode Least Square (LS)
2
Metode Heun
3
Metode Robust
3
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
4
Metode Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S)
4
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
5
METODE PENELITIAN
5
Model Analisis
5
Data Pengamatan
7
Metode Analisis
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Pendugaan Parameter Model Gompertz
7
Pendugaan Parameter Model Sistem SIR
12
SIMPULAN
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Nilai parameter awal dan nilai awal untuk model dinamik
Parameter dugaan pada model Gompertz untuk metode LS, MAD, GM-S1S
Nilai SMAPE untuk setiap metode pada model Gompertz
Parameter dugaan pada model SIR untuk metode LS, MAD, GM-S1S
Nilai SMAPE untuk setiap metode pada model SIR
7
10
11
13
16
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Bentuk umum boxplot
5
Diagram dinamika model SIR
6
Tebaran data model Gompertz tanpa pencilan
8
Plot pendugaaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GMS1S tanpa pencilan
9
Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GMS1S dengan pencilan atas 10%
9
Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GMS1S dengan pencilan bawah 10%
9
Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GMS1S dengan pencilan atas-bawah 10%
10
Boxplot error hasil dugaan untuk data tanpa pencilan dengan metode LS,
MAD, dan GM-S1S
11
Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan atas 10% dengan
metode LS, MAD, dan GM-S1S
11
Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan bawah 10%
menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S
12
Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan atas-bawah masingmasing 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1
12
Tebaran data state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR tanpa pencilan 12
Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR untuk
data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S
14
Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR untuk
data dengan pencilan atas 10% dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S
14
Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR untuk
data dengan pencilan bawah 10% dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S 15
Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c)model SIR untuk
data dengan pencilan atas-bawah masing- masing 10% dengan metode LS,
MAD, dan GM-S1S
15
Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
tanpa pencilan menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S
16
Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
dengan pencilan atas 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S 17
Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
dengan pencilan bawah 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S 17
Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
dengan pencilan atas-bawah masing – masing 10% menggunakan metode LS,
MAD, dan GM-S1S
18
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
Pembangkitan data dan pendugaan parameter pada Model Gompertz
Pembangkitan data dan pendugaan parameter pada Model SIR
Nilai SMAPE untuk setiap metode pada state variabel model SIR
20
25
45
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Model dinamik merupakan model yang dinamis, artinya perubahan parameter
dalam model akan mengakibatkan perubahan struktur solusi model seperti
banyaknya titik tetap kestabilan solusi model. Waktu pada model ini merupakan
variabel bebas. Pada model dinamik, terdapat beberapa parameter yang biasanya
nilainya belum diketahui. Hal ini dikarenakan kurangnya data real dari lapangan.
Untuk itu, dibutuhkan suatu metode untuk menduga nilai dari parameter-parameter
tersebut.
Pendugaan parameter model dinamik dapat dilakukan secara tidak langsung
ataupun langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara tidak langsung
dimulai dengan mencari solusi analitik dari model dinamik kemudian dilanjutkan
dengan melakukan regresi. Namun, tidak semua model dinamik dapat ditentukan
solusi analitiknya. Untuk mengatasi hal ini, diperkenalkan pendugaan secara
langsung.
Metode yang paling umum digunakan untuk menduga nilai parameter dari
suatu model dengan menggunakan segugus data pengamatan, yaitu dengan cara
meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Metode ini disebut metode Least Square
(LS). Namun, metode LS ternyata tidak tahan dan sangat sensitif terhadap pencilan
(Yafee 2002). Untuk mengatasi pencilan, digunakan metode yang robust terhadap
adanya pencilan data, yaitu metode Median Absolute Deviation (MAD) dan
Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S). Metode MAD lebih baik
dibandingkan metode robust LAD, karena dapat meminimumkan median nilai
mutlak selisih antara galat dengan median galat (Widiasari 2014). Menurut Bai
(2010) metode GM-S1S merupakan salah satu metode penduga robust yang relatif
baru ditemukan dengan memberikan pengaruh seminimal mungkin terhadap
pencilan.
Pada karya ilmiah ini, akan diduga nilai parameter dari model dinamik dengan
menggunakan metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD), dan
Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S). Dari ketiga metode ini, akan
dibandingkan ketahanannya terhadap pencilan. Model dinamik yang akan
digunakan adalah model Gompertz dan model SIR (Susceptibles, Invectives, dan
Recovered). Adapun data yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah data
hipotetik (bangkitan).
Tujuan
1
2
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
Mengkaji dan membandingkan pendugaan parameter model dinamik dengan
metode Least Square (LS) dan metode robust, yaitu Median Absolute
Deviation (MAD) dan GM-S1S.
Membandingkan pengaruh beberapa pola pencilan terhadap metode Least
Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD) dan GM-S1S.
2
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan � state variabel , , … , �
yang dinyatakan dengan � buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada
waktu dinyatakan sebagai berikut:
̇ =
, … , �,
̇ =
, … , �,
⋮
̇ = � , … , �, ,
�
atau dengan notasi vektor,
�̇ =
�
=
�,
.
(1)
Apabila persamaan (1) bergantung pada vektor parameter � maka persamaan
diferensialnya dapat dinyatakan sebagai berikut:
�
(2)
�̇ =
= �, , � ,
dengan
�̇ =
̇
̇
).
⋮
̇�
(Strogartz 2000)
Pencilan (Outlier)
Pencilan merupakan suatu keganjilan dan menandakan suatu titik data yang
sama sekali tidak tipikal dibandingkan dengan data lainnya. Oleh karena itu, suatu
pencilan patut diperiksa secara saksama untuk mengetahui alasan atau penyebab
terdapatnya pencilan (Draper dan Smith 1992).
Misalkan terdapat � buah pengamatan data
, , … , � . Q1 merupakan
kuartil pertama dan Q3 merupakan kuartil ketiga. Pencilan antara lain dapat
dideteksi dengan aturan metode Tukey yaitu pengamatan yang lebih besar dari Q3
+ 1.5 (Q3 – Q1 ) atau lebih kecil dari Q1 − 1.5 (Q3 – Q1 ) (Seo 2002).
Metode Least Square (LS)
Misalkan dari persamaan (2) diperoleh solusi � , � dan dari data
pengamatan diperoleh suatu model
= � ,� +
untuk � = , , . . . , � .
Maka � dapat diduga dengan cara berikut:
3
dengan
min ∑�=
̂ =
−̂
� ,� .
,
(Draper dan Smith 1992)
Metode Heun
Metode Heun adalah salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan persamaan differensial yang mempunyai masalah nilai awal.
Masalah nilai awal merupakan masalah penyelesaian suatu persamaan diferensial
dengan syarat awal yang telah diketahui. Metode Heun memperbaiki taksiran
turunan pertama dengan mengambil rata-rata dari kedua turunan pada titik-titik
ujung subinterval. Turunan di titik awal subinterval[ ; + ] yaitu
′
=
, .
Sementara itu, taksiran untuk + dihitung mengunakan metode Euler:
+ℎ
,
(4)
+ ≈
yang selanjutnya digunakan untuk menaksir turunan di titik akhir subinterval:
′
≈ ( + ℎ, + ℎ
,
.
+ =
+ , +
Karena itu, diperoleh rata-rata turunan pertama di =
,
+ ( + ℎ, + ℎ
,
′
=
.
yaitu
(5)
Barisan numerik yang diperoleh metode Euler dinyatakan sebagai
= ,
+ℎ
, , � = , , , …, � − .
+ ≈
Jadi, metode Heun diperoleh dengan mengganti
dengan ruas kanan dari persamaan (5):
= ,
ℎ
+ [
,
+ ( + ℎ, + ℎ
+ ≈
,
(6)
di persamaan (6)
,
],
dengan � = , , , … , � − . Di sini, persamaan (4) dinamakan prediktor dan
persamaan (5) dinamakan korektor.
(Cheney 2008)
Metode Robust
Metode penduga parameter yang bersifat robust terhadap pencilan, yaitu
metode Weighted Least Square (WLS), metode Least Absolute Deviation (LAD),
metode Least Trimmed Square (LTS), metode Least Median of Square (LMS)
(Yafee 2002). Keempat metode tersebut sudah banyak diaplikasikan dalam
pendugaan parameter. Metode robust lainnya, yaitu metode Median Absolute
Deviation (MAD) dan Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S) yang akan
dibahas pada karya ilmiah ini.
4
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter � juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai
mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median |( � - ̂ ) - median( � - ̂ )|.
(Ripley 1992)
Metode Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S)
Metode Penduga GM-S1S memberi pengaruh seminimal mungkin terhadap
pencilan. Metode Penduga GM-S1S memiliki dua tahap pendugaan parameter.
Pada tahap pertama, pengamatan yang diindikasikan pencilan akan dipangkas atau
tidak diikutkan dalam proses pendugaan parameter. Kemudian pada tahap yang
kedua dilakukan pembobotan pada pengamatan dengan nilai sisaan besar. Prosedur
pendugaan parameter Metode Penduga-GM-S1S:
Penduga Schweppe One-Step (S1S)
Metode Penduga-S1S merupakan pengembangan dari metode Penduga-Least
Trimmed Square (LTS) yang termasuk dalam Bounded Influence. Pengembangan
ini bertujuan untuk meningkatkan efisiensi Penduga-LTS dengan cara pembobotan
kembali pada sisaan bernilai besar dengan metode Penduga-GM (Cizek dan Visek
2003) mendefinisikan metode Penduga-S1S sebagai:
̂ � � = arg � min ,
�
dengan
arg : Argumen,
ℎ
: Konstanta pemotongan,
�
dengan ℎ = [ ] + [
�+
�
�
�+
]
],
[
: Jumlah kuadrat sisaan dari sejumlah h statistik
= ∑ℎ=
,
: Banyaknya peubah prediktor,
: Banyaknya pengamatan.
�
atau ℎ = [ ] +
peringkat
dengan
Penduga Generalized-M (GM)
Penduga-GM menambahkan pembobot pada fungsi kriteria sehingga
pengaruh pencilan semakin kecil. Penduga-GM terdiri dari fungsi kriteria yaitu ρ1 ,
yang menentukan nilai breakdown dan efisiensi. Metode Penduga-GM merupakan
penyelesaian dari:
�
∑
�
∑
=
=
�
� ′(
′
� = ,
atau
−̂
��
)� = .
(Bai 2010)
5
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) didefinisikan
sebagai berikut:
SMAPE =
�
×∑
dengan
� : banyaknya pengamatan,
: data aktual / yang sebenarnya ke-i,
̂ : penduga data ke-i.
Besaran
|�� −�̂� |
�� +�̂�
�
=
|
−̂ |
,
+̂
disebut Symmetrical Absolute Percentage Error (SAPE). SMAPE
memiliki batas-bawah 0% dan batas atas 100%. Untuk melihat sebaran SAPE, nilainilainya akan ditampilkan dalam diagram kotak (boxplot), seperti pada Gambar 1.
Panjang kotak (Q3 – Q1 ) menggambarkan keragaman SAPE. Semakin panjang
kotak, nilai SAPE semakin beragam (tidak mengumpul di sekitar nilai SMAPEnya).
Gambar 1 Bentuk umum boxplot
(Weisstein 1999)
METODE PENELITIAN
Model Analisis
Model yang digunakan pada tulisan ini, yaitu model Gompertz dan model SIR.
Model Gompertz
Model Gompertz, dinamai Benjamin Gompertz, adalah fungsi sigmoid. Ini
adalah jenis model matematika yang sering digunakan untuk menggambarkan laju
pertumbuhan sel tumor, di mana pertumbuhan paling lambat pada awal dan akhir
periode waktu. Ini adalah kasus khusus dari fungsi logistik umum. Populasi sel
tumor tumbuh di ruang tertutup di mana ketersediaan unsur hara terbatas. Ukuran
tumor yang dinyatakan sebagai
dapat ditulis menjadi suatu persamaan
berikut:
= −� (ln ( )),
�
6
dengan
�
: laju pertumbuhan sel tumor,
� : daya dukung lingkungan.
(Bodnar dan Foryś 2007)
Model SIR
Model � yang digunakan dalam tulisan ini disusun oleh Kermack dan
McKendrick. Model � (Susceptibles, Invectives, Recovered) pada awalnya
dikembangkan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan suatu wabah
penyakit dalam populasi tertutup dan bersifat epidemik (Makinde 2007). Pada
tulisan ini pembentukan model SIR didasarkan pada beberapa asumsi. Penyebaran
penyakit dalam suatu populasi diasumsikan memiliki jumlah konstan dan dalam
satu periode waktu wabah. Pada saat t misalkan suatu populasi terdiri dari:
Susceptibles
: adalah subpopulasi di mana anggotanya terdiri dari
orang-orang yang rentan terkena penyakit tersebut.
Invectives �
: adalah subpopulasi di mana anggotanya terdiri dari
orang-orang yang sudah terjangkit penyakit tersebut.
Recovered
: adalah subpopulasi yang telah sembuh dari penyakit
tersebut.
Proporsi
+� +
= . Diasumsikan terdapat kontak yang tetap
dari subpopulasi dan � dalam populasi tersebut dan angka susceptibles
ditambah dengan bilangan konstan � yang menyatakan kondisi kelahiran baru dan
bayi yang baru lahir otomatis masuk dalam kondisi rentan. Dinamika tersebut
dinyatakan dengan model berikut:
�
dengan
�
= �−
=
�−� ,
� − � − ��,
= �−� ,
(7)
(8)
(9)
: laju kelahiran dan laju kematian,
: laju penularan penyakit,
: laju kesembuhan.
Diagram bagi model tersebut ditampilkan pada Gambar 2.
Gambar 2 Diagram dinamika model SIR
(Mulisi 2011)
7
Data Pengamatan
Data yang digunakan merupakan data bangkitan atau hipotetik dengan
bantuan software Mathematica 10. Data hipotetik diperoleh berdasarkan solusi
numerik model dinamik dengan memberikan nilai parameter awal dan nilai awal
seperti pada Tabel 1, kemudian diberi galat berupa bilangan acak dan beberapa data
dibuat sebagai pencilan.
Tabel 1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk model dinamik
Model Dinamik
Nilai Parameter Awal
� = .
Model Gompertz
� =
� = .
Model SIR
= .
= .
Nilai Awal
= .
0
.
=
� =
00
= .
000
.
.
000
000
000
Metode Analisis
Dalam menduga parameter digunakan metode Least Square (LS), metode
robust Median Absolut Deviation (MAD), dan metode Generalized-M Schweppe
One-Step (GM-S1S). Penduga parameter model yang diperoleh digunakan untuk
menghitung akurasi model dengan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error
(SMAPE) yang ditampilkan pada boxplot.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendugaan Parameter Model Gompertz
� �
Misalkan terdapat persamaan model Gompertz ′
= −�
ln
,
�
dengan nilai awal
= .
. Solusi penyelesaian dari persamaan model
Gompertz dapat diperoleh melalui langkah- langkah berikut:
′
misal:
= ln
� �
�
,
=
= −�
= −�
∫
� �
ln
ln
∫
ln
� �
�
�
�
= −� ∫
= −� +
8
Substitusi
= ln
� �
�
ln
ke dalam persamaan,
ln ln
ln
Substitusi nilai awal
= −� + .
�
= −� +
�
−��+�
=
�
�� −��
=
=�
�
�� −��
=�
=�
=
.
��0
�
�
� = ln (
).
�
Dengan demikian, solusi khusus model Gompertz menjadi:
=�
ln
= �(
�
�0
�
)
�−��
�−��
− +� −��
−��
�
=( )
�
Selanjutnya, diberikan nilai parameter awal � = .
dan � =
.
. Data hipotetik yang digunakan untuk pendugaan parameter, yaitu data
tanpa pencilan dan data dengan pencilan. Data degan pencilan dibagi menjadi 3
bagian, yaitu pencilan atas 10%, pencilan bawah 10%, dan pencilan atas-bawah
10%. Grafik tebaran data model Gompertz ditampilkan pada Gambar 3.
Gambar 3 Tebaran data model Gompertz tanpa pencilan
Parameter � dan � pada model Gompertz diduga dengan menggunakan tiga
metode yaitu metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD), dan
Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S). Gambar 4 akan menjelaskan plot
hasil pendugaan parameter menggunakan ketiga metode di atas dengan data tanpa
9
pencilan. Plot hasil pendugaan parameter terlihat saling berimpit mengikuti pola
tebaran data.
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 4 Plot pendugaaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD,
GM-S1S tanpa pencilan
Selajutnya, untuk data dengan pencilan dapat dilihat pada Gambar 5, 6, dan
7. Dengan menggunakan metode LS, plot model Gompertz akan cenderung
bergeser mendekati pencilan. Untuk metode MAD, plot mengalami sedikit
pergeseran saat data yang digunakan mengandung pencilan. Sedangkan dengan
metode GM-S1S, plot pendugaan cenderung tetap. Dari hasil tersebut, dapat dilihat
bahwa nilai dugaan parameter dengan menggunakan metode GM-S1S paling
mendekati nilai parameter awal untuk setiap jenis data dengan pencilan, sehingga
metode GM-S1S relatif lebih baik dalam menduga nilai parameter dibanding
metode LS dan MAD.
Gambar 5 Plot pendugaan parameter Gambar 6 Plot pendugaan parameter
model Gompertz dengan
model Gompertz dengan
metode LS, MAD, GMmetode LS, MAD, GMS1S dengan pencilan atas
S1S
dengan
pencilan
10%
bawah 10%
10
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 7 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS,
MAD, GM-S1S dengan pencilan atas-bawah 10%
Nilai hasil dugaan parameter � dan � dengan menggunakan metode LS,
MAD, dan GM-S1S pada model Gompertz, dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2 Parameter dugaan pada model Gompertz untuk metode LS, MAD, GMS1S
Nilai
Metode
Data Hipotetik Parameter
Parameter
LS
MAD
GM-S1S
Awal
Tanpa pencilan
Selisih
Dengan
pencilan atas
10%
Selisih
Dengan
pencilan
bawah 10%
Selisih
Dengan
pencilan atasbawah masingmasing 10%
Selisih
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0.0250
0.0253
0.0248
0.0252
100.0000
0.0250
98.8648
-0.0003
1.1352
0.0423
100.0000
0.0002
0
0.0243
100.0000
-0.0002
0
0.0251
100.0000
70.5843
100.0000
100.0540
0.0250
-0.0173
29.4157
0.0185
0.0007
0
0.0243
-0.0001
-0.0540
0.0251
100.0000
117.8730
100.0000
100.0540
0.0250
0.0065
-17.8730
0.3074
0.0007
0
0.0249
-0.0001
-0.0540
0.0251
100.0000
45.4654
100.0000
100.0000
-0.2824
54.5346
0.0001
0
-0.0001
0
Selanjutnya, nilai SMAPE digunakan untuk menentukan metode mana yang
paling baik untuk menduga nilai parameter awal dari model Gompertz. Semakin
kecil nilai SMAPE, semakin kecil pula tingkat kesalahan pendugaan dari metode
tersebut. Berikut merupakan tabel nilai SMAPE model Gompertz dengan
11
menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S untuk data tanpa pencilan dan
dengan pencilan.
Tabel 3 Nilai SMAPE untuk setiap metode pada model Gompertz
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan Atas 10%
Pencilan Bawah 10%
Pencilan Atas-bawah masingmasing 10%
Metode
LS
MAD
GM-S1S
LS
MAD
GM-S1S
LS
MAD
GM-S1S
LS
MAD
GM-S1S
SMAPE (dalam %)
3.05889
3.13737
3.05859
14.4389
10.5165
10.1037
16.4192
11.1823
10.1037
27.9531
17.2753
17.2474
Dari Tabel 3 dapat dilihat, baik dengan data tanpa pencilan dan dengan
pencilan, nilai SMAPE paling kecil dihasilkan dari metode GM-S1S. Hal ini
menandakan bahwa metode GM-S1S relatif lebih baik dibandingkan metode LS
dan MAD dalam menduga nilai parameter awal dari model Gompertz.
Cara lain untuk membandingkan metode LS, MAD, GM-S1S, yaitu dengan
mengetahui distribusi SAPE yang dihasilkan masing-masing metode. Untuk
mengetahui hal tersebut, dapat digunakan diagram boxplot dari data SAPE hasil
dugaan. Untuk diagram boxplot dengan data tanpa pencilan dapat dilihat pada
Gambar 8, sedangkan untuk diagram boxplot dengan data pencilan dapat dilihat
pada Gambar 9, 10, dan 11. Diagram boxplot bagi data tanpa pencilan terlihat
seragam untuk semua metode. Pada data dengan pencilan, untuk metode LS
cenderung memiliki nilai lebih besar dibandingkan metode MAD dan GM-S1S.
Gambar 8 Boxplot error hasil dugaan Gambar 9 Boxplot error hasil dugaan
untuk data dengan pencilan
untuk data tanpa pencilan
atas 10% dengan metode
dengan metode LS, MAD,
LS, MAD, dan GM-S1S
dan GM-S1S
12
Gambar 10 Boxplot error hasil dugaan Gambar 11 Boxplot error hasil dugaan
untuk
data
dengan
untuk data dengan pencilan
pencilan
bawah
10%
atas-bawah masing-masing
menggunakan metode LS,
10% menggunakan metode
MAD, dan GM-S1S
LS, MAD, dan GM-S1
Pendugaan Parameter Model Sistem SIR
Pada karya ilmiah ini juga dilakukan pendugaan parameter model dinamik
terhadap model sistem SIR pada persamaan 3, 4, dan 5, dengan nilai parameter awal
� = .
, = .
, dan
= .
. Data hipotetik yang
digunakan untuk pendugaan parameter, yaitu data tanpa pencilan dan data dengan
pencilan. Grafik tebaran data model SIR ditampilkan pada Gambar 12.
Gambar 12 Tebaran data state variabel (a), � (b), dan
pencilan
(c) model SIR tanpa
Parameter � , , dan
pada model SIR diduga dengan menggunakan tiga
metode yaitu metode LS, MAD, dan GM-S1S. Diperoleh nilai hasil dugaan
parameter � , , dan untuk metode LS, MAD, dan GM-S1S pada model SIR yang
dapat dilihat pada Tabel 4.
13
Tabel 4 Parameter dugaan pada model SIR untuk metode LS, MAD, GM-S1S
Nilai
Metode
Data Hipotetik
Parameter Parameter
LS
MAD
GM-S1S
Awal
�
0.000100
0.000111
0.000099
0.000123
Tanpa pencilan
0.004000
0.004029
0.004002
0.004007
0.005000
0.004991
0.004993
0.005007
�
-0.000011 0.000001 -0.000023
Selisih
-0.000029 -0.000002 -0.000007
0.000009
0.000007 -0.000007
�
0.000100 -0.001172 0.000099
0.000123
Dengan pencilan
0.004000
0.002813
0.004002
0.004007
atas 10%
0.005000
0.005354
0.004993
0.005007
�
-0.001072 0.000001 -0.000023
0.001187 -0.000002 -0.000007
Selisih
-0.000354 0.000007 -0.000007
�
0.000100
0.001067
0.000099
0.000123
Dengan pencilan
0.004000
0.003318
0.004002
0.004007
bawah 10%
0.005000
0.005307
0.004993
0.005007
�
-0.000967 0.000001 -0.000023
Selisih
0.000682 -0.000002 -0.000007
-0.000307 0.000007 -0.000007
Dengan pencilan
�
0.000100 -0.000200 0.000099
0.000123
atas-bawah
0.004000
0.002483
0.004002
0.004007
masing- masing
0.005000
0.005453
0.004993
0.005007
10%
�
-0.000100 0.000001 -0.000023
Selisih
0.001517 -0.000002 -0.000007
-0.000453 0.000007 -0.000007
Dapat dilihat nilai hasil dugaan parameter dengan masing – masing metode
untuk data tanpa pencilan, dapat menduga parameter �, , dan dengan baik untuk
ketiga metode tersebut. Namun, untuk data dengan pencilan menggunakan metode
LS, hanya parameter yang menghasilkan parameter yang baik
Pada Gambar 13 ditampilkan plot hasil pendugaan parameter menggunakan
ketiga metode di atas dengan data tanpa pencilan. Pada gambar tersebut terlihat
garis yang saling berimpit mengikuti pola tebaran data.
14
(a)
(b)
(c)
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 13 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model
SIR untuk data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan GMS1S
Gambar 14, 15, dan 16 berturut-turut menampilkan data dengan pencilan:
atas 10%, bawah 10%, dan atas-bawah masing-masing 10%. Dengan menggunakan
metode LS plot model SIR cenderung bergeser mendekati pencilan. Jika pencilan
di atas tebaran data maka plot hasil pendugaan dengan metode LS akan tertarik ke
atas mendekati pencilan atas, begitupula sebaliknya. Plot untuk metode MAD dan
GM-S1S mengikuti pola tebaran data dan saling berimpit.
(b)
(a)
(c)
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 14 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c)
model SIR untuk data dengan pencilan atas 10% dengan metode LS,
MAD, dan GM-S1S
15
(a)
(b)
(c)
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 15 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model
SIR untuk data dengan pencilan bawah 10% dengan metode LS,
MAD, dan GM-S1S
(a)
(b)
(c)
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 16 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c)model
SIR untuk data dengan pencilan atas-bawah masing-masing 10%
dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S
16
Nilai SMAPE model SIR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan GMS1S dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5 Nilai SMAPE untuk setiap metode pada model SIR
Data Hipotetik
Metode
SMAPE (dalam %)
LS
9.77695
Tanpa Pencilan
MAD
9.71197
GM-S1S
9.69244
LS
14.6499
Pencilan Atas 10%
MAD
13.9598
GM-S1S
13.9424
LS
15.9436
Pencilan Bawah 10%
MAD
14.6518
GM-S1S
14.6319
Pencilan Atas-bawah masing- LS
23.0820
masing 10%
MAD
18.7742
GM-S1S
18.7569
Tabel 5 di atas menunjukkan bahwa metode LS memiliki nilai SMAPE lebih
tinggi (kurang akurat) dibanding metode MAD dan GM-S1S. Nilai SMAPE untuk
model SIR dapat dilihat secara lengkap pada Lampiran 3.
Pada Gambar 17, diagram boxplot untuk data tanpa pencilan menghasilkan
SAPE seragam untuk setiap metode. Hal ini menunjukkan bahwa ketiga metode
dapat digunakan untuk data tanpa pencilan. Gambar 18 (pencilan atas 10%),
Gambar 19 (pencilan bawah 10%), dan Gambar 20 (pencilan atas-bawah masing –
masing 10%) menghasilkan distribusi yang serupa, yaitu kedua metode MAD dan
GM-S1S menghasilkan SAPE lebih seragam dibandingkan metode LS. Hal ini
menandakan nilai SAPE yang memusat di sekitar nilai SMAPEnya.
(a)
(b)
(c)
SMAPE
Gambar 17 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk
data tanpa pencilan menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S
17
(b)
(a)
(c)
SMAPE
Gambar 18 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk
data dengan pencilan atas 10% menggunakan metode LS, MAD, dan
GM-S1S
(b)
(a)
(c)
SMAPE
Gambar 19 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk
data dengan pencilan bawah 10% menggunakan metode LS, MAD,
dan GM-S1S
18
(a)
(b)
(c)
SMAPE
Gambar 20 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk
data dengan pencilan atas-bawah masing – masing 10% menggunakan
metode LS, MAD, dan GM-S1S
SIMPULAN
Dari hasil pendugaan parameter yang dilakukan pada model Gompertz dan
model SIR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S, terdapat
perbedaan hasil pendugaan dari masing-masing metode tersebut. Ketiga metode
dapat digunakan pada data tanpa pencilan. Pada data dengan pencilan, terlihat
bahwa metode LS menghasilkan hasil pendugaan dengan tingkat akurasi lebih
rendah dibandingkan dengan metode MAD dan GM-S1S. Hal ini menandakan
bahwa metode LS tidak tahan terhadap pencilan. Metode MAD dan GM-S1S
menghasilkan plot dugaan dan tingkat akurasi yang relatif tinggi. Dari nilai SMAPE
yang diperoleh, baik pada data tanpa pencilan maupun data dengan pencilan,
metode GM-S1S menghasilkan nilai SMAPE yang lebih kecil dari metode MAD.
Hal ini menandakan bahwa pada kedua model yang digunakan, metode GM-S1S
merupakan metode yang relatif lebih baik dan robust terhadap pencilan
dibandingkan metode MAD maupun LS.
19
DAFTAR PUSTAKA
Bai X. (2010). Robust Linear Regression, Kansas State University, Kansas, hal 14.
(Susceptible-Infected-Recovered) [skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.
Bodnar M, Foryś U. 2007. Three types of simple DDE’s describing tumor growth.
World Scientific [internet]. [diunduh 2014 Sept 29]. Warsaw (PL). Tersedia
pada:
http://www.minuw.edu.pl/badania/preprinty-imsm/papers/166/pr-ism166.pdf.
Cheney, DK. 2008. Numerical Mathematics and Computing, Sixth edition.
Dedicated to David M. Young.
Cizek
P,
and
Visek,
JA.
(2003).
Least
Trimmed
Square,
http://www.quantlet.com/mdstat/scripts/xag/html/xaghtmlnode10.pdf.
Diakses
tanggal 8 Oktober 2012.
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Sumantri B, penerjemah.
Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression
analysis. Ed ke-2.
Mulisi S. 2011. Pengaruh Vaksinasi terhadap Dinamika Populasi pada Model SIR
Ripley BD. 1992. Robust statistics. M.Sc. in Applied Statistics MT2004. Springer:
Verlag.
Seo S. 2002. A review and comparison of methods for detecting outliers in
univariate data sets [tesis]. United States: University of Pittsburgh.
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos. United States (US): Perseus
Books Publishing, LLC.
Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [diunduh 2014 Feb 10].
Tersedia pada: http://mathworld.wolfram.com/Box-and-WhiskerPlot.html.
Widiasari LY. 2014. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust
Median Absolute Deviation (MAD) [skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.
Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package
options. Statistics, Social Science, and Mapping Group [diunduh 2014 Mar 19].
Tersedia pada: http://www.nyu.edu/its/socsci/Docs/Robust%20reg2.pdf.
20
Lampiran 1 Pembangkitan data dan pendugaan parameter pada Model Gompertz
21
22
23
24
25
Lampiran 2 Pembangkitan data dan pendugaan parameter pada Model SIR
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Lampiran 3 Nilai SMAPE untuk setiap metode pada state variabel model SIR
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan Atas 10%
Metode
LS
MAD
�
GM-S1S
�
LS
�
MAD
Pencilan Bawah 10%
�
GM-S1S
�
LS
�
MAD
�
GM-S1S
Pencilan Atas-bawah
10%
State Variabel
LS
MAD
GM-S1S
�
�
�
�
�
SMAPE (dalam %)
28.16660
0.33421
0.83006
27.96860
0.33641
0.83091
27.90690
0.34004
0.83040
37.64830
3.07774
3.22351
34.83760
2.29291
4.74896
34.77620
2.30309
4.74784
29.49000
10.39460
7.94629
30.12360
7.16413
6.67035
30.06410
7.16127
6.67028
45.70200
12.21190
11.33210
35.44740
9.72240
11.1528
35.39230
9.72549
11.15280
46
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 2 Juli 1993. Penulis merupakan
anak pertama dari tiga bersaudara pasangan Pitoyo dan Budi Astuty. Penulis
menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN Kalibaru 3 Depok pada tahun
2005, Sekolah Menengah Pertama di SMPN 1 Depok pada tahun 2008, Sekolah
Menengah Atas di SMAN 4 Depok pada tahun 2011, dan pada tahun yang sama
penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur Ujian Talenta
Mandiri Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama masa perkuliahan, penulis menjadi asisten praktikum Anilisis
Numerik tahun ajaran 2014/2015. Penulis juga aktif berorganisasi di Himpunan
Profesi (HIMPRO) Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA). Pada tahun
2013, penulis aktif sebagai Staf Divisi Informasi dan Komunikasi Gugus
Mahasiswa Matematika (GUMATIKA). Pada tahun 2014 penulis aktif sebagai Staf
Divisi Informasi dan Komunikasi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA).
Penulis juga aktif mengikuti kepanitian, antara lain yaitu sebagai staf divisi PDD
(Publikasi, Dokumentasi, dan Dekorasi) pada acara IMC (IPB Mathematics
Challenge) pada tahun 2013. Pada tahun 2014, sebagai ketua divisi DDD (Desain,
Dokumentasi, dan Dekorasi) pada acara Matematika Ria dalam rangkaian acara
PSN (Pesta Sains Nasional) IPB.
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION DAN GM-S1S
HANNA RIFATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan GM-S1S adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2015
Hanna Rifatika
NIM G54110068
ABSTRAK
HANNA RIFATIKA. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode
Median Absolute Deviation dan GM-S1S. Dibimbing oleh NGAKAN KOMANG
KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Parameter dari suatu model dinamik yang belum diketahui nilainya dapat
diduga dengan menggunakan metode Least Square (LS). Metode LS adalah metode
yang paling umum digunakan dalam pendugaan parameter. Namun, metode ini
memiliki kelemahan yaitu sangat sensitif terhadap pencilan. Metode robust adalah
metode yang dapat mengatasi kelemahan itu. Metode Median Absolute Deviation
(MAD) dan GM-S1S cukup baik dalam melakukan pedugaan parameter untuk jenis
data tanpa pencilan maupun dengan pencilan. Pada karya ilmiah ini, pendugaan
parameter dilakukan dengan menggunakan data hipotetik model dinamik Gompertz
dan SIR (Susceptibles, Invectives, Recovered). Keakuratan pendugaan parameter
pada model dinamik diukur dengan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error
(SMAPE) dan divisualisasikan ke dalam boxplot. Metode GM-S1S relatif lebih baik
dalam pendugaan parameter dibanding metode MAD, untuk data pencilan. Ketiga
metode baik digunakan pada data dengan tanpa pencilan.
Kata kunci: GM-S1S, Least Square, Median Absolute Deviation, pencilan, robust
ABSTRACT
HANNA RIFATIKA. Parameter Estimation of Dynamical Models using Robust
Median Absolute Deviation and GM-S1S Methods. Supervised by NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Unknown parameters of a dynamical model can be estimated using the least
square (LS) method. The LS method is the most common method used to estimate
the parameters. However, the disadvantage of this method is that it is very sensitive
in handling outliers. Robust method is a method that could overcome this weakness.
Robust methods namely Median Absolute Deviation (MAD) and GM-S1S are very
good in performing parameters estimation for the type of data with or without
outliers. In this paper, parameter estimation is undertaken by using hypothetical
data on Gompertz and SIR dynamical models. The accuracy of parameter
estimation of those dynamical models is measured with SMAPE and boxplot. It is
obtained that GM-S1S method is relatively better than the MAD method to the data
with outliers. Moreover, all methods are suitable to be applied to the data without
outliers.
Keywords : GM-S1S, Least Square, Median Absolute Deviation, outliers, robust
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION DAN GM-S1S
HANNA RIFATIKA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan GM-S1S berhasil
diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 Papa, mama, adik, serta seluruh keluarga besar atas dukungan, motivasi, kasih
sayang dan doa yang tiada henti-hentinya.
2 Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak Ir Ngakan Komang
Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing
atas arahan, bimbingan, dan motivasi dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
3 Bapak Dr Hadi Sumarno, MS selaku penguji yang telah banyak memberi saran
dan perbaikan.
4 Dosen, staf Departemen Matematika IPB, dan Ibu Susi atas segala ilmu yang
diberikan dan bantuannya selama perkuliahan.
5 Muhammad Buchari Gaib atas segala bantuan, motivasi, dan dukungan dalam
penyusunan tugas akhir ini.
6 Ariyanto Hermawan, dan Riefdah Imro’atul Azizah selaku teman satu dosen
pembimbing yang telah membantu dan memberi support dalam menyelesaikan
tugas akhir ini.
7 Intan, Atikah, Resty, Kio, Sifa, Alfi, Riefdah, Putri, Andin, Lidya, dan Ebi
selaku sahabat yang telah memberi saran dan support dalam menyelesaikan
tugas akhir ini.
8 Teman-teman Matematika 48, kakak Matematika 46, 47, dan adik-adik
Matematika 49 yang telah banyak membantu dalam proses penyusunan tugas
akhir ini.
9 Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang turut mendukung
dan membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2015
Hanna Rifatika
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
LANDASAN TEORI
2
Model Dinamik
2
Pencilan (Outlier)
2
Metode Least Square (LS)
2
Metode Heun
3
Metode Robust
3
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
4
Metode Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S)
4
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
5
METODE PENELITIAN
5
Model Analisis
5
Data Pengamatan
7
Metode Analisis
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Pendugaan Parameter Model Gompertz
7
Pendugaan Parameter Model Sistem SIR
12
SIMPULAN
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Nilai parameter awal dan nilai awal untuk model dinamik
Parameter dugaan pada model Gompertz untuk metode LS, MAD, GM-S1S
Nilai SMAPE untuk setiap metode pada model Gompertz
Parameter dugaan pada model SIR untuk metode LS, MAD, GM-S1S
Nilai SMAPE untuk setiap metode pada model SIR
7
10
11
13
16
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Bentuk umum boxplot
5
Diagram dinamika model SIR
6
Tebaran data model Gompertz tanpa pencilan
8
Plot pendugaaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GMS1S tanpa pencilan
9
Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GMS1S dengan pencilan atas 10%
9
Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GMS1S dengan pencilan bawah 10%
9
Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GMS1S dengan pencilan atas-bawah 10%
10
Boxplot error hasil dugaan untuk data tanpa pencilan dengan metode LS,
MAD, dan GM-S1S
11
Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan atas 10% dengan
metode LS, MAD, dan GM-S1S
11
Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan bawah 10%
menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S
12
Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan atas-bawah masingmasing 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1
12
Tebaran data state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR tanpa pencilan 12
Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR untuk
data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S
14
Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR untuk
data dengan pencilan atas 10% dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S
14
Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR untuk
data dengan pencilan bawah 10% dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S 15
Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c)model SIR untuk
data dengan pencilan atas-bawah masing- masing 10% dengan metode LS,
MAD, dan GM-S1S
15
Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
tanpa pencilan menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S
16
Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
dengan pencilan atas 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S 17
Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
dengan pencilan bawah 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S 17
Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
dengan pencilan atas-bawah masing – masing 10% menggunakan metode LS,
MAD, dan GM-S1S
18
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
Pembangkitan data dan pendugaan parameter pada Model Gompertz
Pembangkitan data dan pendugaan parameter pada Model SIR
Nilai SMAPE untuk setiap metode pada state variabel model SIR
20
25
45
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Model dinamik merupakan model yang dinamis, artinya perubahan parameter
dalam model akan mengakibatkan perubahan struktur solusi model seperti
banyaknya titik tetap kestabilan solusi model. Waktu pada model ini merupakan
variabel bebas. Pada model dinamik, terdapat beberapa parameter yang biasanya
nilainya belum diketahui. Hal ini dikarenakan kurangnya data real dari lapangan.
Untuk itu, dibutuhkan suatu metode untuk menduga nilai dari parameter-parameter
tersebut.
Pendugaan parameter model dinamik dapat dilakukan secara tidak langsung
ataupun langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara tidak langsung
dimulai dengan mencari solusi analitik dari model dinamik kemudian dilanjutkan
dengan melakukan regresi. Namun, tidak semua model dinamik dapat ditentukan
solusi analitiknya. Untuk mengatasi hal ini, diperkenalkan pendugaan secara
langsung.
Metode yang paling umum digunakan untuk menduga nilai parameter dari
suatu model dengan menggunakan segugus data pengamatan, yaitu dengan cara
meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Metode ini disebut metode Least Square
(LS). Namun, metode LS ternyata tidak tahan dan sangat sensitif terhadap pencilan
(Yafee 2002). Untuk mengatasi pencilan, digunakan metode yang robust terhadap
adanya pencilan data, yaitu metode Median Absolute Deviation (MAD) dan
Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S). Metode MAD lebih baik
dibandingkan metode robust LAD, karena dapat meminimumkan median nilai
mutlak selisih antara galat dengan median galat (Widiasari 2014). Menurut Bai
(2010) metode GM-S1S merupakan salah satu metode penduga robust yang relatif
baru ditemukan dengan memberikan pengaruh seminimal mungkin terhadap
pencilan.
Pada karya ilmiah ini, akan diduga nilai parameter dari model dinamik dengan
menggunakan metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD), dan
Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S). Dari ketiga metode ini, akan
dibandingkan ketahanannya terhadap pencilan. Model dinamik yang akan
digunakan adalah model Gompertz dan model SIR (Susceptibles, Invectives, dan
Recovered). Adapun data yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah data
hipotetik (bangkitan).
Tujuan
1
2
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
Mengkaji dan membandingkan pendugaan parameter model dinamik dengan
metode Least Square (LS) dan metode robust, yaitu Median Absolute
Deviation (MAD) dan GM-S1S.
Membandingkan pengaruh beberapa pola pencilan terhadap metode Least
Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD) dan GM-S1S.
2
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan � state variabel , , … , �
yang dinyatakan dengan � buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada
waktu dinyatakan sebagai berikut:
̇ =
, … , �,
̇ =
, … , �,
⋮
̇ = � , … , �, ,
�
atau dengan notasi vektor,
�̇ =
�
=
�,
.
(1)
Apabila persamaan (1) bergantung pada vektor parameter � maka persamaan
diferensialnya dapat dinyatakan sebagai berikut:
�
(2)
�̇ =
= �, , � ,
dengan
�̇ =
̇
̇
).
⋮
̇�
(Strogartz 2000)
Pencilan (Outlier)
Pencilan merupakan suatu keganjilan dan menandakan suatu titik data yang
sama sekali tidak tipikal dibandingkan dengan data lainnya. Oleh karena itu, suatu
pencilan patut diperiksa secara saksama untuk mengetahui alasan atau penyebab
terdapatnya pencilan (Draper dan Smith 1992).
Misalkan terdapat � buah pengamatan data
, , … , � . Q1 merupakan
kuartil pertama dan Q3 merupakan kuartil ketiga. Pencilan antara lain dapat
dideteksi dengan aturan metode Tukey yaitu pengamatan yang lebih besar dari Q3
+ 1.5 (Q3 – Q1 ) atau lebih kecil dari Q1 − 1.5 (Q3 – Q1 ) (Seo 2002).
Metode Least Square (LS)
Misalkan dari persamaan (2) diperoleh solusi � , � dan dari data
pengamatan diperoleh suatu model
= � ,� +
untuk � = , , . . . , � .
Maka � dapat diduga dengan cara berikut:
3
dengan
min ∑�=
̂ =
−̂
� ,� .
,
(Draper dan Smith 1992)
Metode Heun
Metode Heun adalah salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan persamaan differensial yang mempunyai masalah nilai awal.
Masalah nilai awal merupakan masalah penyelesaian suatu persamaan diferensial
dengan syarat awal yang telah diketahui. Metode Heun memperbaiki taksiran
turunan pertama dengan mengambil rata-rata dari kedua turunan pada titik-titik
ujung subinterval. Turunan di titik awal subinterval[ ; + ] yaitu
′
=
, .
Sementara itu, taksiran untuk + dihitung mengunakan metode Euler:
+ℎ
,
(4)
+ ≈
yang selanjutnya digunakan untuk menaksir turunan di titik akhir subinterval:
′
≈ ( + ℎ, + ℎ
,
.
+ =
+ , +
Karena itu, diperoleh rata-rata turunan pertama di =
,
+ ( + ℎ, + ℎ
,
′
=
.
yaitu
(5)
Barisan numerik yang diperoleh metode Euler dinyatakan sebagai
= ,
+ℎ
, , � = , , , …, � − .
+ ≈
Jadi, metode Heun diperoleh dengan mengganti
dengan ruas kanan dari persamaan (5):
= ,
ℎ
+ [
,
+ ( + ℎ, + ℎ
+ ≈
,
(6)
di persamaan (6)
,
],
dengan � = , , , … , � − . Di sini, persamaan (4) dinamakan prediktor dan
persamaan (5) dinamakan korektor.
(Cheney 2008)
Metode Robust
Metode penduga parameter yang bersifat robust terhadap pencilan, yaitu
metode Weighted Least Square (WLS), metode Least Absolute Deviation (LAD),
metode Least Trimmed Square (LTS), metode Least Median of Square (LMS)
(Yafee 2002). Keempat metode tersebut sudah banyak diaplikasikan dalam
pendugaan parameter. Metode robust lainnya, yaitu metode Median Absolute
Deviation (MAD) dan Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S) yang akan
dibahas pada karya ilmiah ini.
4
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter � juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai
mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median |( � - ̂ ) - median( � - ̂ )|.
(Ripley 1992)
Metode Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S)
Metode Penduga GM-S1S memberi pengaruh seminimal mungkin terhadap
pencilan. Metode Penduga GM-S1S memiliki dua tahap pendugaan parameter.
Pada tahap pertama, pengamatan yang diindikasikan pencilan akan dipangkas atau
tidak diikutkan dalam proses pendugaan parameter. Kemudian pada tahap yang
kedua dilakukan pembobotan pada pengamatan dengan nilai sisaan besar. Prosedur
pendugaan parameter Metode Penduga-GM-S1S:
Penduga Schweppe One-Step (S1S)
Metode Penduga-S1S merupakan pengembangan dari metode Penduga-Least
Trimmed Square (LTS) yang termasuk dalam Bounded Influence. Pengembangan
ini bertujuan untuk meningkatkan efisiensi Penduga-LTS dengan cara pembobotan
kembali pada sisaan bernilai besar dengan metode Penduga-GM (Cizek dan Visek
2003) mendefinisikan metode Penduga-S1S sebagai:
̂ � � = arg � min ,
�
dengan
arg : Argumen,
ℎ
: Konstanta pemotongan,
�
dengan ℎ = [ ] + [
�+
�
�
�+
]
],
[
: Jumlah kuadrat sisaan dari sejumlah h statistik
= ∑ℎ=
,
: Banyaknya peubah prediktor,
: Banyaknya pengamatan.
�
atau ℎ = [ ] +
peringkat
dengan
Penduga Generalized-M (GM)
Penduga-GM menambahkan pembobot pada fungsi kriteria sehingga
pengaruh pencilan semakin kecil. Penduga-GM terdiri dari fungsi kriteria yaitu ρ1 ,
yang menentukan nilai breakdown dan efisiensi. Metode Penduga-GM merupakan
penyelesaian dari:
�
∑
�
∑
=
=
�
� ′(
′
� = ,
atau
−̂
��
)� = .
(Bai 2010)
5
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) didefinisikan
sebagai berikut:
SMAPE =
�
×∑
dengan
� : banyaknya pengamatan,
: data aktual / yang sebenarnya ke-i,
̂ : penduga data ke-i.
Besaran
|�� −�̂� |
�� +�̂�
�
=
|
−̂ |
,
+̂
disebut Symmetrical Absolute Percentage Error (SAPE). SMAPE
memiliki batas-bawah 0% dan batas atas 100%. Untuk melihat sebaran SAPE, nilainilainya akan ditampilkan dalam diagram kotak (boxplot), seperti pada Gambar 1.
Panjang kotak (Q3 – Q1 ) menggambarkan keragaman SAPE. Semakin panjang
kotak, nilai SAPE semakin beragam (tidak mengumpul di sekitar nilai SMAPEnya).
Gambar 1 Bentuk umum boxplot
(Weisstein 1999)
METODE PENELITIAN
Model Analisis
Model yang digunakan pada tulisan ini, yaitu model Gompertz dan model SIR.
Model Gompertz
Model Gompertz, dinamai Benjamin Gompertz, adalah fungsi sigmoid. Ini
adalah jenis model matematika yang sering digunakan untuk menggambarkan laju
pertumbuhan sel tumor, di mana pertumbuhan paling lambat pada awal dan akhir
periode waktu. Ini adalah kasus khusus dari fungsi logistik umum. Populasi sel
tumor tumbuh di ruang tertutup di mana ketersediaan unsur hara terbatas. Ukuran
tumor yang dinyatakan sebagai
dapat ditulis menjadi suatu persamaan
berikut:
= −� (ln ( )),
�
6
dengan
�
: laju pertumbuhan sel tumor,
� : daya dukung lingkungan.
(Bodnar dan Foryś 2007)
Model SIR
Model � yang digunakan dalam tulisan ini disusun oleh Kermack dan
McKendrick. Model � (Susceptibles, Invectives, Recovered) pada awalnya
dikembangkan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan suatu wabah
penyakit dalam populasi tertutup dan bersifat epidemik (Makinde 2007). Pada
tulisan ini pembentukan model SIR didasarkan pada beberapa asumsi. Penyebaran
penyakit dalam suatu populasi diasumsikan memiliki jumlah konstan dan dalam
satu periode waktu wabah. Pada saat t misalkan suatu populasi terdiri dari:
Susceptibles
: adalah subpopulasi di mana anggotanya terdiri dari
orang-orang yang rentan terkena penyakit tersebut.
Invectives �
: adalah subpopulasi di mana anggotanya terdiri dari
orang-orang yang sudah terjangkit penyakit tersebut.
Recovered
: adalah subpopulasi yang telah sembuh dari penyakit
tersebut.
Proporsi
+� +
= . Diasumsikan terdapat kontak yang tetap
dari subpopulasi dan � dalam populasi tersebut dan angka susceptibles
ditambah dengan bilangan konstan � yang menyatakan kondisi kelahiran baru dan
bayi yang baru lahir otomatis masuk dalam kondisi rentan. Dinamika tersebut
dinyatakan dengan model berikut:
�
dengan
�
= �−
=
�−� ,
� − � − ��,
= �−� ,
(7)
(8)
(9)
: laju kelahiran dan laju kematian,
: laju penularan penyakit,
: laju kesembuhan.
Diagram bagi model tersebut ditampilkan pada Gambar 2.
Gambar 2 Diagram dinamika model SIR
(Mulisi 2011)
7
Data Pengamatan
Data yang digunakan merupakan data bangkitan atau hipotetik dengan
bantuan software Mathematica 10. Data hipotetik diperoleh berdasarkan solusi
numerik model dinamik dengan memberikan nilai parameter awal dan nilai awal
seperti pada Tabel 1, kemudian diberi galat berupa bilangan acak dan beberapa data
dibuat sebagai pencilan.
Tabel 1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk model dinamik
Model Dinamik
Nilai Parameter Awal
� = .
Model Gompertz
� =
� = .
Model SIR
= .
= .
Nilai Awal
= .
0
.
=
� =
00
= .
000
.
.
000
000
000
Metode Analisis
Dalam menduga parameter digunakan metode Least Square (LS), metode
robust Median Absolut Deviation (MAD), dan metode Generalized-M Schweppe
One-Step (GM-S1S). Penduga parameter model yang diperoleh digunakan untuk
menghitung akurasi model dengan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error
(SMAPE) yang ditampilkan pada boxplot.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendugaan Parameter Model Gompertz
� �
Misalkan terdapat persamaan model Gompertz ′
= −�
ln
,
�
dengan nilai awal
= .
. Solusi penyelesaian dari persamaan model
Gompertz dapat diperoleh melalui langkah- langkah berikut:
′
misal:
= ln
� �
�
,
=
= −�
= −�
∫
� �
ln
ln
∫
ln
� �
�
�
�
= −� ∫
= −� +
8
Substitusi
= ln
� �
�
ln
ke dalam persamaan,
ln ln
ln
Substitusi nilai awal
= −� + .
�
= −� +
�
−��+�
=
�
�� −��
=
=�
�
�� −��
=�
=�
=
.
��0
�
�
� = ln (
).
�
Dengan demikian, solusi khusus model Gompertz menjadi:
=�
ln
= �(
�
�0
�
)
�−��
�−��
− +� −��
−��
�
=( )
�
Selanjutnya, diberikan nilai parameter awal � = .
dan � =
.
. Data hipotetik yang digunakan untuk pendugaan parameter, yaitu data
tanpa pencilan dan data dengan pencilan. Data degan pencilan dibagi menjadi 3
bagian, yaitu pencilan atas 10%, pencilan bawah 10%, dan pencilan atas-bawah
10%. Grafik tebaran data model Gompertz ditampilkan pada Gambar 3.
Gambar 3 Tebaran data model Gompertz tanpa pencilan
Parameter � dan � pada model Gompertz diduga dengan menggunakan tiga
metode yaitu metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD), dan
Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S). Gambar 4 akan menjelaskan plot
hasil pendugaan parameter menggunakan ketiga metode di atas dengan data tanpa
9
pencilan. Plot hasil pendugaan parameter terlihat saling berimpit mengikuti pola
tebaran data.
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 4 Plot pendugaaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD,
GM-S1S tanpa pencilan
Selajutnya, untuk data dengan pencilan dapat dilihat pada Gambar 5, 6, dan
7. Dengan menggunakan metode LS, plot model Gompertz akan cenderung
bergeser mendekati pencilan. Untuk metode MAD, plot mengalami sedikit
pergeseran saat data yang digunakan mengandung pencilan. Sedangkan dengan
metode GM-S1S, plot pendugaan cenderung tetap. Dari hasil tersebut, dapat dilihat
bahwa nilai dugaan parameter dengan menggunakan metode GM-S1S paling
mendekati nilai parameter awal untuk setiap jenis data dengan pencilan, sehingga
metode GM-S1S relatif lebih baik dalam menduga nilai parameter dibanding
metode LS dan MAD.
Gambar 5 Plot pendugaan parameter Gambar 6 Plot pendugaan parameter
model Gompertz dengan
model Gompertz dengan
metode LS, MAD, GMmetode LS, MAD, GMS1S dengan pencilan atas
S1S
dengan
pencilan
10%
bawah 10%
10
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 7 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS,
MAD, GM-S1S dengan pencilan atas-bawah 10%
Nilai hasil dugaan parameter � dan � dengan menggunakan metode LS,
MAD, dan GM-S1S pada model Gompertz, dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2 Parameter dugaan pada model Gompertz untuk metode LS, MAD, GMS1S
Nilai
Metode
Data Hipotetik Parameter
Parameter
LS
MAD
GM-S1S
Awal
Tanpa pencilan
Selisih
Dengan
pencilan atas
10%
Selisih
Dengan
pencilan
bawah 10%
Selisih
Dengan
pencilan atasbawah masingmasing 10%
Selisih
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0.0250
0.0253
0.0248
0.0252
100.0000
0.0250
98.8648
-0.0003
1.1352
0.0423
100.0000
0.0002
0
0.0243
100.0000
-0.0002
0
0.0251
100.0000
70.5843
100.0000
100.0540
0.0250
-0.0173
29.4157
0.0185
0.0007
0
0.0243
-0.0001
-0.0540
0.0251
100.0000
117.8730
100.0000
100.0540
0.0250
0.0065
-17.8730
0.3074
0.0007
0
0.0249
-0.0001
-0.0540
0.0251
100.0000
45.4654
100.0000
100.0000
-0.2824
54.5346
0.0001
0
-0.0001
0
Selanjutnya, nilai SMAPE digunakan untuk menentukan metode mana yang
paling baik untuk menduga nilai parameter awal dari model Gompertz. Semakin
kecil nilai SMAPE, semakin kecil pula tingkat kesalahan pendugaan dari metode
tersebut. Berikut merupakan tabel nilai SMAPE model Gompertz dengan
11
menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S untuk data tanpa pencilan dan
dengan pencilan.
Tabel 3 Nilai SMAPE untuk setiap metode pada model Gompertz
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan Atas 10%
Pencilan Bawah 10%
Pencilan Atas-bawah masingmasing 10%
Metode
LS
MAD
GM-S1S
LS
MAD
GM-S1S
LS
MAD
GM-S1S
LS
MAD
GM-S1S
SMAPE (dalam %)
3.05889
3.13737
3.05859
14.4389
10.5165
10.1037
16.4192
11.1823
10.1037
27.9531
17.2753
17.2474
Dari Tabel 3 dapat dilihat, baik dengan data tanpa pencilan dan dengan
pencilan, nilai SMAPE paling kecil dihasilkan dari metode GM-S1S. Hal ini
menandakan bahwa metode GM-S1S relatif lebih baik dibandingkan metode LS
dan MAD dalam menduga nilai parameter awal dari model Gompertz.
Cara lain untuk membandingkan metode LS, MAD, GM-S1S, yaitu dengan
mengetahui distribusi SAPE yang dihasilkan masing-masing metode. Untuk
mengetahui hal tersebut, dapat digunakan diagram boxplot dari data SAPE hasil
dugaan. Untuk diagram boxplot dengan data tanpa pencilan dapat dilihat pada
Gambar 8, sedangkan untuk diagram boxplot dengan data pencilan dapat dilihat
pada Gambar 9, 10, dan 11. Diagram boxplot bagi data tanpa pencilan terlihat
seragam untuk semua metode. Pada data dengan pencilan, untuk metode LS
cenderung memiliki nilai lebih besar dibandingkan metode MAD dan GM-S1S.
Gambar 8 Boxplot error hasil dugaan Gambar 9 Boxplot error hasil dugaan
untuk data dengan pencilan
untuk data tanpa pencilan
atas 10% dengan metode
dengan metode LS, MAD,
LS, MAD, dan GM-S1S
dan GM-S1S
12
Gambar 10 Boxplot error hasil dugaan Gambar 11 Boxplot error hasil dugaan
untuk
data
dengan
untuk data dengan pencilan
pencilan
bawah
10%
atas-bawah masing-masing
menggunakan metode LS,
10% menggunakan metode
MAD, dan GM-S1S
LS, MAD, dan GM-S1
Pendugaan Parameter Model Sistem SIR
Pada karya ilmiah ini juga dilakukan pendugaan parameter model dinamik
terhadap model sistem SIR pada persamaan 3, 4, dan 5, dengan nilai parameter awal
� = .
, = .
, dan
= .
. Data hipotetik yang
digunakan untuk pendugaan parameter, yaitu data tanpa pencilan dan data dengan
pencilan. Grafik tebaran data model SIR ditampilkan pada Gambar 12.
Gambar 12 Tebaran data state variabel (a), � (b), dan
pencilan
(c) model SIR tanpa
Parameter � , , dan
pada model SIR diduga dengan menggunakan tiga
metode yaitu metode LS, MAD, dan GM-S1S. Diperoleh nilai hasil dugaan
parameter � , , dan untuk metode LS, MAD, dan GM-S1S pada model SIR yang
dapat dilihat pada Tabel 4.
13
Tabel 4 Parameter dugaan pada model SIR untuk metode LS, MAD, GM-S1S
Nilai
Metode
Data Hipotetik
Parameter Parameter
LS
MAD
GM-S1S
Awal
�
0.000100
0.000111
0.000099
0.000123
Tanpa pencilan
0.004000
0.004029
0.004002
0.004007
0.005000
0.004991
0.004993
0.005007
�
-0.000011 0.000001 -0.000023
Selisih
-0.000029 -0.000002 -0.000007
0.000009
0.000007 -0.000007
�
0.000100 -0.001172 0.000099
0.000123
Dengan pencilan
0.004000
0.002813
0.004002
0.004007
atas 10%
0.005000
0.005354
0.004993
0.005007
�
-0.001072 0.000001 -0.000023
0.001187 -0.000002 -0.000007
Selisih
-0.000354 0.000007 -0.000007
�
0.000100
0.001067
0.000099
0.000123
Dengan pencilan
0.004000
0.003318
0.004002
0.004007
bawah 10%
0.005000
0.005307
0.004993
0.005007
�
-0.000967 0.000001 -0.000023
Selisih
0.000682 -0.000002 -0.000007
-0.000307 0.000007 -0.000007
Dengan pencilan
�
0.000100 -0.000200 0.000099
0.000123
atas-bawah
0.004000
0.002483
0.004002
0.004007
masing- masing
0.005000
0.005453
0.004993
0.005007
10%
�
-0.000100 0.000001 -0.000023
Selisih
0.001517 -0.000002 -0.000007
-0.000453 0.000007 -0.000007
Dapat dilihat nilai hasil dugaan parameter dengan masing – masing metode
untuk data tanpa pencilan, dapat menduga parameter �, , dan dengan baik untuk
ketiga metode tersebut. Namun, untuk data dengan pencilan menggunakan metode
LS, hanya parameter yang menghasilkan parameter yang baik
Pada Gambar 13 ditampilkan plot hasil pendugaan parameter menggunakan
ketiga metode di atas dengan data tanpa pencilan. Pada gambar tersebut terlihat
garis yang saling berimpit mengikuti pola tebaran data.
14
(a)
(b)
(c)
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 13 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model
SIR untuk data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan GMS1S
Gambar 14, 15, dan 16 berturut-turut menampilkan data dengan pencilan:
atas 10%, bawah 10%, dan atas-bawah masing-masing 10%. Dengan menggunakan
metode LS plot model SIR cenderung bergeser mendekati pencilan. Jika pencilan
di atas tebaran data maka plot hasil pendugaan dengan metode LS akan tertarik ke
atas mendekati pencilan atas, begitupula sebaliknya. Plot untuk metode MAD dan
GM-S1S mengikuti pola tebaran data dan saling berimpit.
(b)
(a)
(c)
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 14 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c)
model SIR untuk data dengan pencilan atas 10% dengan metode LS,
MAD, dan GM-S1S
15
(a)
(b)
(c)
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 15 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model
SIR untuk data dengan pencilan bawah 10% dengan metode LS,
MAD, dan GM-S1S
(a)
(b)
(c)
LS
MAD
GM-S1S
Gambar 16 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c)model
SIR untuk data dengan pencilan atas-bawah masing-masing 10%
dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S
16
Nilai SMAPE model SIR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan GMS1S dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5 Nilai SMAPE untuk setiap metode pada model SIR
Data Hipotetik
Metode
SMAPE (dalam %)
LS
9.77695
Tanpa Pencilan
MAD
9.71197
GM-S1S
9.69244
LS
14.6499
Pencilan Atas 10%
MAD
13.9598
GM-S1S
13.9424
LS
15.9436
Pencilan Bawah 10%
MAD
14.6518
GM-S1S
14.6319
Pencilan Atas-bawah masing- LS
23.0820
masing 10%
MAD
18.7742
GM-S1S
18.7569
Tabel 5 di atas menunjukkan bahwa metode LS memiliki nilai SMAPE lebih
tinggi (kurang akurat) dibanding metode MAD dan GM-S1S. Nilai SMAPE untuk
model SIR dapat dilihat secara lengkap pada Lampiran 3.
Pada Gambar 17, diagram boxplot untuk data tanpa pencilan menghasilkan
SAPE seragam untuk setiap metode. Hal ini menunjukkan bahwa ketiga metode
dapat digunakan untuk data tanpa pencilan. Gambar 18 (pencilan atas 10%),
Gambar 19 (pencilan bawah 10%), dan Gambar 20 (pencilan atas-bawah masing –
masing 10%) menghasilkan distribusi yang serupa, yaitu kedua metode MAD dan
GM-S1S menghasilkan SAPE lebih seragam dibandingkan metode LS. Hal ini
menandakan nilai SAPE yang memusat di sekitar nilai SMAPEnya.
(a)
(b)
(c)
SMAPE
Gambar 17 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk
data tanpa pencilan menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S
17
(b)
(a)
(c)
SMAPE
Gambar 18 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk
data dengan pencilan atas 10% menggunakan metode LS, MAD, dan
GM-S1S
(b)
(a)
(c)
SMAPE
Gambar 19 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk
data dengan pencilan bawah 10% menggunakan metode LS, MAD,
dan GM-S1S
18
(a)
(b)
(c)
SMAPE
Gambar 20 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk
data dengan pencilan atas-bawah masing – masing 10% menggunakan
metode LS, MAD, dan GM-S1S
SIMPULAN
Dari hasil pendugaan parameter yang dilakukan pada model Gompertz dan
model SIR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S, terdapat
perbedaan hasil pendugaan dari masing-masing metode tersebut. Ketiga metode
dapat digunakan pada data tanpa pencilan. Pada data dengan pencilan, terlihat
bahwa metode LS menghasilkan hasil pendugaan dengan tingkat akurasi lebih
rendah dibandingkan dengan metode MAD dan GM-S1S. Hal ini menandakan
bahwa metode LS tidak tahan terhadap pencilan. Metode MAD dan GM-S1S
menghasilkan plot dugaan dan tingkat akurasi yang relatif tinggi. Dari nilai SMAPE
yang diperoleh, baik pada data tanpa pencilan maupun data dengan pencilan,
metode GM-S1S menghasilkan nilai SMAPE yang lebih kecil dari metode MAD.
Hal ini menandakan bahwa pada kedua model yang digunakan, metode GM-S1S
merupakan metode yang relatif lebih baik dan robust terhadap pencilan
dibandingkan metode MAD maupun LS.
19
DAFTAR PUSTAKA
Bai X. (2010). Robust Linear Regression, Kansas State University, Kansas, hal 14.
(Susceptible-Infected-Recovered) [skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.
Bodnar M, Foryś U. 2007. Three types of simple DDE’s describing tumor growth.
World Scientific [internet]. [diunduh 2014 Sept 29]. Warsaw (PL). Tersedia
pada:
http://www.minuw.edu.pl/badania/preprinty-imsm/papers/166/pr-ism166.pdf.
Cheney, DK. 2008. Numerical Mathematics and Computing, Sixth edition.
Dedicated to David M. Young.
Cizek
P,
and
Visek,
JA.
(2003).
Least
Trimmed
Square,
http://www.quantlet.com/mdstat/scripts/xag/html/xaghtmlnode10.pdf.
Diakses
tanggal 8 Oktober 2012.
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Sumantri B, penerjemah.
Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression
analysis. Ed ke-2.
Mulisi S. 2011. Pengaruh Vaksinasi terhadap Dinamika Populasi pada Model SIR
Ripley BD. 1992. Robust statistics. M.Sc. in Applied Statistics MT2004. Springer:
Verlag.
Seo S. 2002. A review and comparison of methods for detecting outliers in
univariate data sets [tesis]. United States: University of Pittsburgh.
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos. United States (US): Perseus
Books Publishing, LLC.
Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [diunduh 2014 Feb 10].
Tersedia pada: http://mathworld.wolfram.com/Box-and-WhiskerPlot.html.
Widiasari LY. 2014. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust
Median Absolute Deviation (MAD) [skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.
Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package
options. Statistics, Social Science, and Mapping Group [diunduh 2014 Mar 19].
Tersedia pada: http://www.nyu.edu/its/socsci/Docs/Robust%20reg2.pdf.
20
Lampiran 1 Pembangkitan data dan pendugaan parameter pada Model Gompertz
21
22
23
24
25
Lampiran 2 Pembangkitan data dan pendugaan parameter pada Model SIR
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Lampiran 3 Nilai SMAPE untuk setiap metode pada state variabel model SIR
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan Atas 10%
Metode
LS
MAD
�
GM-S1S
�
LS
�
MAD
Pencilan Bawah 10%
�
GM-S1S
�
LS
�
MAD
�
GM-S1S
Pencilan Atas-bawah
10%
State Variabel
LS
MAD
GM-S1S
�
�
�
�
�
SMAPE (dalam %)
28.16660
0.33421
0.83006
27.96860
0.33641
0.83091
27.90690
0.34004
0.83040
37.64830
3.07774
3.22351
34.83760
2.29291
4.74896
34.77620
2.30309
4.74784
29.49000
10.39460
7.94629
30.12360
7.16413
6.67035
30.06410
7.16127
6.67028
45.70200
12.21190
11.33210
35.44740
9.72240
11.1528
35.39230
9.72549
11.15280
46
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 2 Juli 1993. Penulis merupakan
anak pertama dari tiga bersaudara pasangan Pitoyo dan Budi Astuty. Penulis
menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN Kalibaru 3 Depok pada tahun
2005, Sekolah Menengah Pertama di SMPN 1 Depok pada tahun 2008, Sekolah
Menengah Atas di SMAN 4 Depok pada tahun 2011, dan pada tahun yang sama
penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur Ujian Talenta
Mandiri Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama masa perkuliahan, penulis menjadi asisten praktikum Anilisis
Numerik tahun ajaran 2014/2015. Penulis juga aktif berorganisasi di Himpunan
Profesi (HIMPRO) Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA). Pada tahun
2013, penulis aktif sebagai Staf Divisi Informasi dan Komunikasi Gugus
Mahasiswa Matematika (GUMATIKA). Pada tahun 2014 penulis aktif sebagai Staf
Divisi Informasi dan Komunikasi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA).
Penulis juga aktif mengikuti kepanitian, antara lain yaitu sebagai staf divisi PDD
(Publikasi, Dokumentasi, dan Dekorasi) pada acara IMC (IPB Mathematics
Challenge) pada tahun 2013. Pada tahun 2014, sebagai ketua divisi DDD (Desain,
Dokumentasi, dan Dekorasi) pada acara Matematika Ria dalam rangkaian acara
PSN (Pesta Sains Nasional) IPB.