Pendugaan Parameter Model Dinamik Dengan Metode Median Absolute Deviation Dan Bisquare M-Estimation
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION
DAN BISQUARE M-ESTIMATION
RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan Bisquare MEstimation adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015
Riefdah Imro’atul Azizah
NIM G54110066
ABSTRAK
RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan
Metode Median Absolute Deviation dan Bisquare M-Estimation. Dibimbing oleh
NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Metode Least Square (LS) merupakan salah satu metode pendugaan
parameter yang mudah terpengaruh terhadap kehadiran pencilan. Oleh karena itu
diperlukan metode alternatif yang tahan terhadap kehadiran pencilan, yaitu metode
robust. Metode robust yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah metode Median
Absolute Deviation (MAD) dan Bisquare M-Estimation. Parameter yang diduga
yaitu parameter model tunggal dinamik Gompertz dan parameter model sistem
dinamik SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated) dengan data hipotetik
yang dibangkitkan melalui software Wolfram Mathematica 10. Nilai SMAPE
(Symmetrical Mean Absolute Percentage Error) digunakan untuk mengukur
keakuratan pendugaan parameter. Metode Bisquare M-Estimation relatif lebih baik
dari metode LS dan MAD pada data dengan pencilan. Ketiga metode dapat
diterapkan pada data tanpa pencilan.
ABSTRACT
RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH. Parameter Estimation of Dynamical Model
using Median Absolute Deviation Method dan Bisquare M-Estimation Method.
Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Least Square method (LS) is a parameter estimation method which is easily affected
by the presence of outliers. Therefore we need an alternative method that is resistant
to the presence of outliers, i.e. robust method. Robust method used in this paper is
Median Absolute Deviation (MAD) and Bisquare M-Estimation. The estimated
parameters are parameters of the single dynamic Gomperrtz model and dynamical
system SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated) model using
hypothetical data generated through the software Wolfram Mathematica 10.
SMAPE (Symmetrical Mean Absolute Percentage Error) values are used to
measure the accuracy of the parameter estimation. The Bisquare M-Estimation
method is relatively better than LS and MAD method on the data with outliers.
These three methods can be applied to the data without outliers.
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION
DAN BISQUARE M-ESTIMATION
RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wata’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan Bisquare MEstimation ini telah diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini tak luput atas segala
dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Penulis mengucapkan terimakasih
sebesar-besarnya kepada:
1 Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali
Kusnanto, MSi selaku dosen pembimbing, serta Bapak Dr Ir Hadi
Sumarno, MS selaku dosen penguji. Terima kasih atas semua ilmu,
masukan, motivasi, saran, dan pengalaman yang telah diberikan.
2 Mama, Ayah, dek Jupa dan dek Ija atas doa, semangat, perhatian dan
kasih sayangnya yang tak akan lekang oleh waktu.
3 Ariyanto Hermawan, teman-teman Matematika 48, kakak-kakak
Matematika 47, kakak-kakak Matematika 46, adik-adik Matematika 49
dan adik-adik Matematika 50 atas segala dukungan, motivasi, perhatian,
saran, ilmu dan segala bantuan.
4 Teman-teman ”Strong Women Geng” yaitu Resty, Aini, Kio, Intan,
Hanna, Sifa, Atika, Andin, Lidya, Putri dan Ebi atas motivasi, perhatian
dan dukungan mental yang telah diberikan selama ini.
5 Teman-teman SMA tercinta yaitu Versha, Sisi, Syifa, Hani, Icha, Rista,
Yola, Tiara, Dayinta, Robby, Wais dan Yuwanda atas segala perhatian
dan kesediaan waktunya untuk selalu mendukung dan mendengarkan
keluh kesah selama ini.
6 Teman-teman pimpinan Gumatika 2014 yaitu Henny, Adam, Parara,
Abi, Median, Dedi Soleh, Dedi Setiawan, Fakhri, Rizky, Hendar dan
Hasan atas semangat dan dukungan selama ini.
7 Teman-teman asrama TPB yaitu Niken, Yani, Laili, Etik, Dara, Ncut,
Lani, Egi, Cicin dan Dyah atas semangat dan dukungan moril.
8 Teman-teman kontrakan yaitu Hilda, Latifa dan Sarah atas segala
dukungannya.
9 Dosen, staf penunjang Departemen Matematika, dan khususnya Bu Susi
atas semua ilmu dan bantuan selama ini.
10 Semua pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu yang turut
membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
Bogor, Agustus 2015
Riefdah Imro’atul Azizah
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
v
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Model Dinamik
2
Metode Least Square (LS)
2
Pencilan (Outlier)
2
Metode Runge-Kutta Orde Empat
3
Metode Robust
3
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
3
Metode Bisquare M-Estimation
3
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
4
Model Analisis
5
Data Pengamatan
6
Metode Analisis
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Pendugaan Parameter model Gompertz
6
Pendugaan Parameter model SEIV
8
SIMPULAN
15
Simpulan
15
DAFTAR PUSTAKA
15
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL
1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik
6
2 Parameter dugaan pada model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation
8
3 Nilai SMAPE model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation
8
4 Parameter dugaan pada model SEIV dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation
11
5 Nilai SMAPE model SEIV dengan metode LS, MAD, dan Bisquare MEstimation
12
DAFTAR GAMBAR
1 Bentuk umum boxplot
4
2 Tebaran data hipotetik model Gompertz tanpa pencilan
7
3 Plot pendugaan parameter model Gompertz tanpa pencilan dengan metode
LS, MAD dan Bisquare M-Estimation
7
4 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan pecilan atas-bawah 5%
(a) dan pencilan atas-bawah 10% (b) dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation
7
5 Tebaran data hipotetik model SEIV tanpa pencilan
9
6 Plot pendugaan parameter model SEIV tanpa pencilan dengan metode LS,
MAD, dan Bisquare M-Estimation
9
7 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah 5%
dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
10
8 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah 10%
dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
10
9 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz tanpa pencilan 13
10 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz dengan pencilan
atas-bawah 5% (a) dan pencilan atas-bawah 10% (b)
13
11 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation pada data model SEIV tanpa pencilan
13
12 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah 5%
14
13 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah 10%
14
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pendugaan parameter model dinamik dapat dilakukan secara tidak langsung
ataupun langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara tidak langsung yaitu
dengan mencari solusi analitik dari model dinamik kemudian dilanjutkan dengan
melakukan regresi. Namun, tidak semua model dinamik dapat ditentukan solusi
analitiknya. Oleh karena itu diperkenalkan pendugaan parameter secara langsung,
dengan mencari solusi dari model dinamik, berupa solusi analitik maupun solusi
numerik. Setelah didapat solusinya, maka parameternya dapat diduga langsung
dengan menggunakan beberapa metode.
Least Square (LS) atau metode kuadrat terkecil merupakan satu metode
yang umum digunakan dalam menduga parameter dalam analisis regresi linier
berganda dengan didasarkan pada asumsi tertentu. Dalam prakteknya
penyimpangan sering terjadi karena adanya pengamatan pencilan berpengaruh.
Metode LS ternyata tidak tahan dan sangat sensitif terhadap pencilan (Yafee 2002).
Pengaruh data pencilan dapat dikurangi dengan menggunakan metode
robust. Metode robust Median Absolute Deviation (MAD) lebih tahan
dibandingkan Metode Least Absolute Deviation (LAD) pada kasus pengaruh
pencilan 10% dan pencilan 40 % (Widiasari 2014). Metode robust lainnya adalah
Bisquare M-Estimation. Pada karya ilmiah ini, metode Least Square (LS) dan
metode robust yaitu Median Absolute Deviation (MAD) dan Bisquare MEstimation.
Model dinamik yang akan digunakan pada karya ilmiah ini adalah model
Gompertz dan model SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated). Model
Gompertz adalah model dinamik yang banyak digunakan untuk menggambarkan
pertumbuhan tumor, dengan laju pertumbuhan paling lambat berada pada awal
periode dan akan melaju cepat pada akhir periode. Model SEIV adalah model
dinamik yang menggambarkan individu terserang penyakit, namun tidak ada fase
penyembuhan permanen. Kedua model tersebut akan diduga parameternya
berdasarkan data hipotetik (bangkitan).
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini yaitu:
Mengkaji pendugaan parameter model dinamik dengan metode Least
Square (LS) dan metode robust yaitu Median Absolute Deviation (MAD)
dan Bisquare M-Estimation.
2 Membandingkan metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation
(MAD), dan Bisquare M-Estimation dalam pendugaan parameter model
dinamik.
3 Membandingkan pengaruh pencilan atas-bawah terhadap metode Least
Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD), dan Bisquare MEstimation.
1
2
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan n state variabel , , … , �
yang dinyatakan dengan n buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada
waktu t dinyatakan sebagai berikut :
̇ =
̇ =
atau
̇� =
�
�̇ =
⋮
,…,
,…,
� �
�
,…,
�,
�,
�,
= � �, .
Apabila bergantung pada vektor parameter p maka persamaan diferensialnya dapat
dinyatakan sebagai berikut:
�
�̇ =
= � �, , � .
(1)
(Strogatz 2000).
Metode Least Square (LS)
Misalkan dari persamaan (1) diperoleh solusi ̂ , � dan dari data
pengamatan yang diperoleh suatu model � = ( , � ) + � untuk i = 1, 2, .. , n.
Maka p dapat diduga dengan cara berikut:
dengan
min ∑
�
�=
�
− ̂� ,
̂� = ( ̂ , � ).
(Draper dan Smith 1992).
Pencilan (Outlier)
Pencilan merupakan suatu keganjilan dan menandakan suatu titik data yang
sama sekali tidak tipikal dibandingkan dengan data lainnya. Oleh karena itu, suatu
pencilan patut diperiksa secara saksama untuk mengetahui alasan atau penyebab
terdapatnya pencilan (Draper dan Smith 1992).
3
Metode Runge-Kutta Orde Empat
Metode Runge-Kutta digunakan untuk mencari solusi numerik suatu
persamaan differensial. Metode ini digunakan untuk mendapatkan derajat ketelitian
yang lebih tinggi. Misalkan diberikan sebuah persamaan diferensial sebagai
berikut:
′
=
, dengan � =
.
Formulasi metode Runge-Kutta:
+ℎ =
dengan
� =ℎ
,
� =ℎ
+ ℎ, +
� =ℎ
� =ℎ
+ ℎ, +
+
� + � + � +� ,
�
�
+ℎ, + � .
(Cheney 2008)
Solusi numerik pada suatu waktu t tertentu ditambah panjang sub interval ℎ
pada selang [a,b] dilambangkan
+ ℎ . N menyatakan banyaknya interval [a,b]
−
dan ℎ =
merupakan ukuran langkah.
�
Metode Robust
Beberapa metode penduga parameter yang bersifat robust terhadap pencilan
yaitu metode Weighted Least Square (WLS), metode Least Absolute Deviation
( LAD), metode Least Trimmed Square (LTS), metode Least Median of Square
(LMS) (Yafee 2002). Metode robust yang digunakan yaitu Metode Median
Absolute Deviation (MAD) dan Metode Bisquare M-Estimation (Ripley 1992).
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter p juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai
mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median|
�
− ̂� − median
�
− ̂� |
(Ripley 1992).
Metode Bisquare M-Estimation
M-Estimation dipandang baik untuk mengestimasi parameter yang
disebabkan oleh x-outlier. M-Estimation menduga parameter p sebagai berikut:
4
�
min ∑ �
�=�
∗
�
�
= min ∑ �
�
Fungsi objektif untuk Tukey Bisquare adalah
�
dengan = .
∗
=
∗
�
[ −( −
�
�̂
, �̂ = ,
) ] , | �∗ | ≤
, | �∗ | > ,
{
(Fox 2002).
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) didefinisikan
sebagai berikut:
�
| � − ̂� |
×∑
SMAPE =
� + ̂�
�=
dengan,
n = banyaknya pengamatan,
� = data aktual / yang sebenarnya ke-i,
̂� = penduga data ke-i,
SMAPE memiliki batas bawah 0% dan batas atas 100%. Semakin kecil nilai
SMAPE maka akan semakin akurat nilai pendugaan parameternya. SAPE
(Symmetrical Absolute Percentage Error) didefinisikan sebagai berikut :
| � − ̂� |
SAPE =
� + ̂�
Nilai-nilai sebaran SAPE (Symmetrical Absolute Percentage Error) akan
ditampilkan dalam diagram kotak (boxplot) seperti pada Gambar 1. Panjang kotak
( - ) menunjukkan tingkat keragaman nilai-nilai SAPE. Semakin pendek kotak
mengindikasikan nilai-nilai SAPE yang mengumpul di sekitar SMAPEnya
(semakin seragam).
Gambar 1 Bentuk umum Boxplot (Weisstein 1999)
5
Model Analisis
Model yang digunakan pada tulisan ini yaitu model Gompertz dan model
SEIV.
Model Gompertz
Model Gompertz yang akan dibahas pada karya ilmiah ini adalah model
yang banyak digunakan untuk menggambarkan fenomena perilaku sel tumor,
ukuran tumor pada waktu t dinotasikan dengan P. Persamaan differensial model
dinamik Gompertz dinyatakan sebagai berikut:
=−
(ln ( )),
�
dengan,
r = laju pertumbuhan sel tumor
K = daya dukung lingkungan
Solusi model Gompertz diberikan sebagai berikut :
=�
ln
�0
�
−��
(Behera dan O’Rourke 2008).
Model SEIV
Model system dinamik yang akan dibahas pada karya ilmiah ini adalah
model epidemi SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated). Model ini
digunakan untuk menggambarkan individu yang telah terserang penyakit, tetapi
tidak ada fase penyembuhan permanen. Namun, terhadap penyakit tersebut dapat
dilakukan pencegahan dengan vaksinasi kepada individu yang rentan. Contoh
penyakit yang sesuai dengan model epidemi SEIV adalah rabies dan polio.
Populasi pada model SEIV dibagi menjadi 4 jenis, populasi individu rentan
(susceptible) dinotasikan dengan S, populasi individu yang terjangkit tetapi belum
terinfeksi (exposed) dinotasikan dengan E. Populasi exposed merupakan populasi
yang masuk dalam masa inkubasi, yaitu masa dimana masuknya virus ke dalam
populasi yang rentan sampai timbul gejala-gejala penyakit yang dideritanya.
Populasi individu yang terinfeksi penyakit (infected) dinotasikan dengan I, dan
populasi individu yang telah divaksinasi (vaccinated) dinotasikan dengan V. Model
penyebaran penyakit diturunkan menggunakan asumsi atau batasan tertentu.
Dengan demikian, model penyebaran penyakit epidemi SEIV dalam kasus
ini dapat dirumuskan dalam sistem persamaan diferensial taklinear yang mengacu
pada (Islam et al. 2013) sebagai berikut:
�
�
�
�
=
−
= �
= �
�
Λ− �
( + ��
− �+� �
= Λ − θ�
+ δ�
�
( + ξ�
)− �+
− �
,
) − θ�
�
+ �
6
dengan
Λ = laju kelahiran
= laju penularan penyakit populasi rentan ke populasi yang terinfeksi
� = laju kematian alami
= laju penurunan kekebalan penyakit
= laju penularan penyakit populasi
ke populai yang terinfeksi
� = laju individu yang sembuh sementara
= proporsi dari individu yang sembuh sementara
� = laju perubahan perilaku dari populasi rentan ke populasi yang terinfeksi
Data Pengamatan
Data yang digunakan merupakan data bangkitan atau hipotetik dengan
bantuan software Wolfram Mathematica 10. Nilai parameter awal dan nilai awal
akan ditampilkan pada Tabel 1. Langkah-langkah membangun data hipotetik dapat
dilihat secara rinci pada Lampiran 1.
Tabel 1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik
Model Dinamik
Model Gompertz
Model SEIV
Nilai parameter Awal
= .
� =
= .
� = .
� = .
= .
Metode Analisis
Nilai Awal
�
�
�
�
=
=
=
=
=
Dalam menduga parameter digunakan metode Least Square (LS), dan dua
metode robust yaitu metode Median Absolut Deviation (MAD) dan metode
Bisquare M-Estiomation.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendugaan Parameter model Gompertz
Data hipotetetik yang digunakan terdiri atas tiga jenis, yaitu data hipotetik
tanpa pencilan, data hipotetik dengan pencilan atas-bawah 5%, dan data hipotetik
dengan pencilan atas-bawah 10%. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat
dilihat pada Gambar 2.
7
Gambar 2 Tebaran data hipotetik model Gompertz tanpa pencilan
Plot hasil pendugaan dengan ketiga metode terlihat saling berimpit pada
Gambar 3. Hal ini menunjukkan ketiga metode dapat digunakan pada data tanpa
pencilan.
Gambar 3 Plot pendugaan parameter model Gompertz tanpa pencilan dengan
metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
Plot pendugaan dengan pecilan atas-bawah 5% dan data dengan pencilan atasbawah 10% ditampilkan pada Gambar 4. Terlihat bahwa plot hasil pendugaan
menggunakan metode LS cenderung bergeser ke luar mendekati pencilan. Plot hasil
pendugaan menggunakan metode MAD dan metode Bisquare M-Estimation masih
saling berimpit mengikuti pola tebaran data, tanpa terpengaruh oleh keberadaan
pecilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10%. Hal ini menunjukkan metode
LS tidak tahan terhadap pencilan, sedangkan metode MAD dan Bisquare MEstimation lebih tahan.
(a)
(b)
Gambar 4 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan pecilan atasbawah 5% (a) dan pencilan atas-bawah 10% (b) dengan metode LS,
MAD, dan Bisquare M-Estimation
8
Nilai dugaan parameter model Gompertz dan � dengan menggunakan
metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation yang didapat dari masing-masing
metode ditampilkan pada Tabel 2. Umumnya selisih parameter dugaan dengan
parameter awal untuk metode MAD dan Bisquare M-Estimation lebih kecil
dibanding metode LS.
Tabel 2 Parameter dugaan pada model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation
Data
Hipotetik
Parameter
Tanpa
Pencilan
Pencilan
Atas-Bawah
5%
Pencilan
Atas-Bawah
10%
selisih
�
selisih
selisih
�
selisih
r
selisih
K
selisih
Nilai
Parameter
Awal
0.003000
100.0000
0.003000
100.0000
0.003000
100.0000
Metode
LS
MAD
0.002990
0.000010
100.4910
-0.491000
0.009789
-0.006789
15.59348
84.40652
0.009185
-0.006185
17.32250
82.67750
0.003007
-0.000007
100.0000
0.000000
0.003008
-0.000008
100.0000
0.000000
0.002998
0.000002
100.0000
0.000000
BISQUARE
0.002989
0.000011
100.5370
-0.537000
0.002964
0.000036
102.9612
-2.961200
0.002514
0.000486
165.6550
-65.65500
Nilai SMAPE pada model Gompertz dapat dilihat pada Tabel 3. Nilai
SMAPE yang dihasilkan relatif sama untuk data tanpa pencilan. Nilai SMAPE pada
data pencilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10%, pada metode MAD dan
Bisquare M-Estimation lebih kecil dibanding metode LS. Berdasarkan hasil yang
diperoleh nilai SMAPE metode Bisquare M-Estimation selalu lebih kecil dari
metode MAD.
Tabel 3 Nilai SMAPE model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan Atas-Bawah 5%
Pencilan Atas-Bawah 10%
Metode
LS
MAD
BISQUARE
LS
MAD
BISQUARE
LS
MAD
BISQUARE
SMAPE (%)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pendugaan Parameter model SEIV
Pendugaan parameter dalam karya ilmiah ini selain dilakukan terhadap
model dinamik tunggal juga dilakukan terhadap model sistem dinamik yaitu model
9
SEIV. Data hipotetetik yang digunakan terdiri atas tiga jenis, yaitu data hipotetik
tanpa pencilan, data hipotetik dengan pencilan atas-bawah 5%, dan pencilan atasbawah 10%. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 5 Tebaran data hipotetik model SEIV tanpa pencilan
Pendugaan parameter , �, �,dan diduga dengan menggunakan tiga metode
metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation. Plot hasil pendugaan dengan ketiga
metode terlihat saling berimpit pada Gambar 6.
Gambar 6 Plot pendugaan parameter model SEIV tanpa pencilan dengan metode
LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation.
10
Data dengan pencilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10% berturutturut ditunjukkan pada Gambar 7 dan 8. Kedua gambar menunjukkan bahwa plot
hasil pendugaan menggunakan metode LS cenderung bergeser ke luar mendekati
pencilan. Plot hasil pendugaan menggunakan metode MAD dan Bisquare MEstimation masih saling berimpit mengikuti pola tebaran data tanpa terpengaruh
oleh keberadaan pencilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10%. Hal ini
menunjukkan metode LS tidak tahan terhadap pencilan, sedangkan metode MAD
dan Bisquare M-Estimation lebih tahan terhadap pencilan.
Gambar 7 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah
5% dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
Gambar 8 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah
10% dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
11
Pendugaan parameter , �, �, dan
pada model SEIV
dengan
menggunakan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation ditampilkan pada
Tabel 4. Perbedaan nilai pendugaan parameter pada metode MAD dan Bisquare MEstimation terlihat tidak signifikan.
Tabel 4 Parameter dugaan pada model SEIV dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation
Data
Hipotetik
Tanpa
Pencilan
Parameter
Selisih
�
Selisih
�
Selisih
Selisih
Pencilan
AtasBawah
5%
Selisih
�
Selisih
�
Selisih
Selisih
Pencilan
AtasBawah
10%
Nilai
Parameter
Awal
0.400000
0.010000
0.000520
0.030000
0.400000
0.010000
0.000520
0.030000
0.400000
Selisih
�
Selisih
�
Selisih
Selisih
0.010000
0.000520
0.030000
Metode
LS
0.428720
-0.028720
0.009886
0.000114
0.000504
0.000016
0.032048
-0.002048
0.831176
-0.431176
0.010641
-0.000641
0.000555
-0.000035
0.060351
-0.030351
76.24840
-75.84840
0.014441
-0.004441
0.001278
-0.000758
5.454975
-5.424975
MAD
0.399972
0.000028
0.009855
0.000145
0.000520
0.000000
0.030000
0.000000
0.399209
0.002423
0.010074
-0.000074
0.000519
0.000001
0.030000
0.000000
0.400973
-0.000973
0.010035
-0.000035
0.000520
0.000000
0.030000
0.000000
BISQUARE
0.415945
-0.015946
0.009801
0.000199
0.000514
0.000006
0.031099
-0.001099
0.408941
-0.008941
0.009774
0.000226
0.000508
0.000012
0.030602
-0.000602
0.399662
0.000338
0.009752
0.000248
0.000486
0.000034
0.029978
0.000022
Metode robust adalah metode yang tahan terhadap pencilan. Hal ini terlihat
dari nilai SMAPE metode MAD dan Bisquare M-Estimation pada data pencilan
atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10% relatif sama dan kecil dibanding
dengan nilai SMAPE metode LS. Nilai SMAPE yang diperoleh lebih diperjelas
pada Tabel 5. Semakin kecil nilai SMAPE menunjukkan semakin kecil pula
kesalahan pendugaan dari metode tersebut. Bisquare M-Estimation memiliki nilai
SMAPE terkecil, hal ini menandakan bahwa metode Bisquare M-Estimation adalah
metode yang relatif lebih baik dibanding dengan metode LS dan MAD.
12
Tabel 5 Nilai SMAPE model SEIV dengan metode LS, MAD, dan Bisquare MEstimation
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan AtasBawah 5%
Pencilan AtasBawah 10%
Metode
Mean
SMAPE (%)
Parameter
LS
.
�
�
MAD
.
�
�
BISQUARE
.
�
�
LS
.
�
�
MAD
.
�
�
BISQUARE
.
�
�
LS
.
�
�
MAD
.
�
�
BISQUARE
.
�
�
SMAPE(%)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cara lain untuk membandingkan ketiga metode tersebut dalam karya ilmiah
ini yaitu dengan menggunakan diagram boxplot yang menjelaskan sebaran data
SAPE. Gambar 9 dan 10 memperlihatkan perbandingan boxplot dari ketiga metode
pada model Gompertz, sedangkan boxplot pada model SEIV ditampilkan pada
Gambar 11, 12, dan 13. Dari diagram kotak (boxplot) di bawah dapat dilihat bahwa
tingkat keragaman SAPE pada model Gompertz dan SEIV tanpa pencilan lebih
seragam daripada SAPE data dengan pencilan. Pada data dengan pencilan, diagram
13
kotak metode MAD dan Bisquare M-Estimation lebih pendek dibandingkan
diagram kotak LS. Hal ini menunjukkan metode MAD dan Bisquare M-Estimation
lebih tahan terhadap pencilan.
Gambar 9 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz tanpa
pencilan
(a)
(b)
Gambar 10 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz dengan
pencilan atas-bawah 5% (a) dan pencilan atas-bawah 10% (b)
S
E
I
V
```
Gambar 11 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation pada data model SEIV tanpa pencilan
14
S
E
I
V
Gambar 12 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah
5%
S
E
I
V
Gambar 13 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah
10%
15
SIMPULAN
Simpulan
Pendugaan parameter pada model Gompertz dan SEIV dilakukan dengan
menggunakan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation. Pendugaan pada
kedua model tersebut dengan metode Least Square (LS) tidak tahan terhadap
pencilan atas-bawah 10% maupun pencilan atas-bawah 5%. Metode robust yaitu
metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Bisquare M-Estimation
menghasilkan pendugaan yang lebih tepat dibanding metode LS. Metode Bisquare
M-Estimation menghasilkan nilai SMAPE yang relatif lebih baik dibanding MAD.
Dengan demikian, pada kasus ini metode Bisquare M-Estimation relatif lebih tahan
terhadap pencilan untuk kedua model tersebut. Ketiga metode dapat diterapkan
pada data tanpa pencilan.
DAFTAR PUSTAKA
Behera A, O’Rourke S, 2008. The effect of correlated noise in a Gompertz tumor
growth model. Braz. J. Phys. 38(2).dx.doi.org/10.1590/S010397332008000200011.
Cheney, David K. 2008. Numerical Mathematics and Computing, Sixth Edition.
Dedicated to David M. Young.
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Sumantri B, penerjemah.
Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied
Regression analysis. Ed ke-2.
Fox J. 2002. Robust regression : Appendix to an R and S-PLUS. Companion to
applied Regression. [diunduh 2014 Sept 24]; Tersedia pada: http://cran.rproject.org/doc/contrib/Fox-Companion/appendix-robust-regression.pdf.
Islam S, Zaman G, Saddiq SF, Khan MA, Khan SA, Ahmad F, Ullah M. 2013.
Analytical solution of an SEIV epidemic model by Homotopy Perturbation
method. VFAST Transactions on Mathematics. 1(2):1-7. [diunduh 2014
Sept 24]; Tersedia pada: http://www.vfast.org/index.php/VTM/article/
viewFile/43/58..
Ripley BD. 1992. Robust statistics. M.Sc. in Applied Statistics MT2004.
[internet].[diunduh
2014
Sept
9].
Tersedia
pada
:
http://www.stats.ox.ac.uk/pub/StatMeth/Robust.pdf
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications To Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. United States (US): Perseus Books
Publishing, LLC.
Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [diunduh 2014 Feb 10].
Tersedia pada: http://mathworld.wolfram.com/Box-and-WhiskerPlot.html
Widiasari LY.2014. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust
Median Absolute Deviation (MAD) [skripsi]. Bogor: Institut Pertanian
Bogor.
Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package options.
Statistics, Social Science, and Mapping Group [diunduh 2014 Mar 19].
Tersedia pada: http://www.nyu.edu/its/socsci/Docs/Robust%20reg2.pdf.
16
Lampiran 1 Kodingan pendugaan parameter pada model Gompertz dengan
metode LS, MAD dan Bisquare M-Estimation
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Cibubur-Jakarta Timur pada tanggal 29 Desember 1992
sebagai anak sulung dari tiga bersaudara, anak dari M. Arief Sutrisno dan Zun
Afidah.Tahun 2005 penulis lulus dari SDN Tridaya Sakti 03 Kota Bekasi. Tahun
2008 penulis lulus dari SMPN 1 Tambun Selatan Kota Bekasi. Tahun 2011 penulis
lulus dari SMAN 1 Tambun Selatan Kota Bekasi dan pada tahun yang sama penulis
lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian TalentaMasuk IPB (UTMI). Pada tahun
2012, penulis masuk Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di Gugus
Mahasiswa Matematika IPB, khususnya sebagai pengawas GUMATIKA IPB.
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION
DAN BISQUARE M-ESTIMATION
RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan Bisquare MEstimation adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015
Riefdah Imro’atul Azizah
NIM G54110066
ABSTRAK
RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan
Metode Median Absolute Deviation dan Bisquare M-Estimation. Dibimbing oleh
NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Metode Least Square (LS) merupakan salah satu metode pendugaan
parameter yang mudah terpengaruh terhadap kehadiran pencilan. Oleh karena itu
diperlukan metode alternatif yang tahan terhadap kehadiran pencilan, yaitu metode
robust. Metode robust yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah metode Median
Absolute Deviation (MAD) dan Bisquare M-Estimation. Parameter yang diduga
yaitu parameter model tunggal dinamik Gompertz dan parameter model sistem
dinamik SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated) dengan data hipotetik
yang dibangkitkan melalui software Wolfram Mathematica 10. Nilai SMAPE
(Symmetrical Mean Absolute Percentage Error) digunakan untuk mengukur
keakuratan pendugaan parameter. Metode Bisquare M-Estimation relatif lebih baik
dari metode LS dan MAD pada data dengan pencilan. Ketiga metode dapat
diterapkan pada data tanpa pencilan.
ABSTRACT
RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH. Parameter Estimation of Dynamical Model
using Median Absolute Deviation Method dan Bisquare M-Estimation Method.
Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Least Square method (LS) is a parameter estimation method which is easily affected
by the presence of outliers. Therefore we need an alternative method that is resistant
to the presence of outliers, i.e. robust method. Robust method used in this paper is
Median Absolute Deviation (MAD) and Bisquare M-Estimation. The estimated
parameters are parameters of the single dynamic Gomperrtz model and dynamical
system SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated) model using
hypothetical data generated through the software Wolfram Mathematica 10.
SMAPE (Symmetrical Mean Absolute Percentage Error) values are used to
measure the accuracy of the parameter estimation. The Bisquare M-Estimation
method is relatively better than LS and MAD method on the data with outliers.
These three methods can be applied to the data without outliers.
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION
DAN BISQUARE M-ESTIMATION
RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wata’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan Bisquare MEstimation ini telah diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini tak luput atas segala
dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Penulis mengucapkan terimakasih
sebesar-besarnya kepada:
1 Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali
Kusnanto, MSi selaku dosen pembimbing, serta Bapak Dr Ir Hadi
Sumarno, MS selaku dosen penguji. Terima kasih atas semua ilmu,
masukan, motivasi, saran, dan pengalaman yang telah diberikan.
2 Mama, Ayah, dek Jupa dan dek Ija atas doa, semangat, perhatian dan
kasih sayangnya yang tak akan lekang oleh waktu.
3 Ariyanto Hermawan, teman-teman Matematika 48, kakak-kakak
Matematika 47, kakak-kakak Matematika 46, adik-adik Matematika 49
dan adik-adik Matematika 50 atas segala dukungan, motivasi, perhatian,
saran, ilmu dan segala bantuan.
4 Teman-teman ”Strong Women Geng” yaitu Resty, Aini, Kio, Intan,
Hanna, Sifa, Atika, Andin, Lidya, Putri dan Ebi atas motivasi, perhatian
dan dukungan mental yang telah diberikan selama ini.
5 Teman-teman SMA tercinta yaitu Versha, Sisi, Syifa, Hani, Icha, Rista,
Yola, Tiara, Dayinta, Robby, Wais dan Yuwanda atas segala perhatian
dan kesediaan waktunya untuk selalu mendukung dan mendengarkan
keluh kesah selama ini.
6 Teman-teman pimpinan Gumatika 2014 yaitu Henny, Adam, Parara,
Abi, Median, Dedi Soleh, Dedi Setiawan, Fakhri, Rizky, Hendar dan
Hasan atas semangat dan dukungan selama ini.
7 Teman-teman asrama TPB yaitu Niken, Yani, Laili, Etik, Dara, Ncut,
Lani, Egi, Cicin dan Dyah atas semangat dan dukungan moril.
8 Teman-teman kontrakan yaitu Hilda, Latifa dan Sarah atas segala
dukungannya.
9 Dosen, staf penunjang Departemen Matematika, dan khususnya Bu Susi
atas semua ilmu dan bantuan selama ini.
10 Semua pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu yang turut
membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
Bogor, Agustus 2015
Riefdah Imro’atul Azizah
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
v
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Model Dinamik
2
Metode Least Square (LS)
2
Pencilan (Outlier)
2
Metode Runge-Kutta Orde Empat
3
Metode Robust
3
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
3
Metode Bisquare M-Estimation
3
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
4
Model Analisis
5
Data Pengamatan
6
Metode Analisis
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Pendugaan Parameter model Gompertz
6
Pendugaan Parameter model SEIV
8
SIMPULAN
15
Simpulan
15
DAFTAR PUSTAKA
15
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL
1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik
6
2 Parameter dugaan pada model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation
8
3 Nilai SMAPE model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation
8
4 Parameter dugaan pada model SEIV dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation
11
5 Nilai SMAPE model SEIV dengan metode LS, MAD, dan Bisquare MEstimation
12
DAFTAR GAMBAR
1 Bentuk umum boxplot
4
2 Tebaran data hipotetik model Gompertz tanpa pencilan
7
3 Plot pendugaan parameter model Gompertz tanpa pencilan dengan metode
LS, MAD dan Bisquare M-Estimation
7
4 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan pecilan atas-bawah 5%
(a) dan pencilan atas-bawah 10% (b) dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation
7
5 Tebaran data hipotetik model SEIV tanpa pencilan
9
6 Plot pendugaan parameter model SEIV tanpa pencilan dengan metode LS,
MAD, dan Bisquare M-Estimation
9
7 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah 5%
dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
10
8 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah 10%
dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
10
9 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz tanpa pencilan 13
10 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz dengan pencilan
atas-bawah 5% (a) dan pencilan atas-bawah 10% (b)
13
11 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation pada data model SEIV tanpa pencilan
13
12 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah 5%
14
13 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare
M-Estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah 10%
14
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pendugaan parameter model dinamik dapat dilakukan secara tidak langsung
ataupun langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara tidak langsung yaitu
dengan mencari solusi analitik dari model dinamik kemudian dilanjutkan dengan
melakukan regresi. Namun, tidak semua model dinamik dapat ditentukan solusi
analitiknya. Oleh karena itu diperkenalkan pendugaan parameter secara langsung,
dengan mencari solusi dari model dinamik, berupa solusi analitik maupun solusi
numerik. Setelah didapat solusinya, maka parameternya dapat diduga langsung
dengan menggunakan beberapa metode.
Least Square (LS) atau metode kuadrat terkecil merupakan satu metode
yang umum digunakan dalam menduga parameter dalam analisis regresi linier
berganda dengan didasarkan pada asumsi tertentu. Dalam prakteknya
penyimpangan sering terjadi karena adanya pengamatan pencilan berpengaruh.
Metode LS ternyata tidak tahan dan sangat sensitif terhadap pencilan (Yafee 2002).
Pengaruh data pencilan dapat dikurangi dengan menggunakan metode
robust. Metode robust Median Absolute Deviation (MAD) lebih tahan
dibandingkan Metode Least Absolute Deviation (LAD) pada kasus pengaruh
pencilan 10% dan pencilan 40 % (Widiasari 2014). Metode robust lainnya adalah
Bisquare M-Estimation. Pada karya ilmiah ini, metode Least Square (LS) dan
metode robust yaitu Median Absolute Deviation (MAD) dan Bisquare MEstimation.
Model dinamik yang akan digunakan pada karya ilmiah ini adalah model
Gompertz dan model SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated). Model
Gompertz adalah model dinamik yang banyak digunakan untuk menggambarkan
pertumbuhan tumor, dengan laju pertumbuhan paling lambat berada pada awal
periode dan akan melaju cepat pada akhir periode. Model SEIV adalah model
dinamik yang menggambarkan individu terserang penyakit, namun tidak ada fase
penyembuhan permanen. Kedua model tersebut akan diduga parameternya
berdasarkan data hipotetik (bangkitan).
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini yaitu:
Mengkaji pendugaan parameter model dinamik dengan metode Least
Square (LS) dan metode robust yaitu Median Absolute Deviation (MAD)
dan Bisquare M-Estimation.
2 Membandingkan metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation
(MAD), dan Bisquare M-Estimation dalam pendugaan parameter model
dinamik.
3 Membandingkan pengaruh pencilan atas-bawah terhadap metode Least
Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD), dan Bisquare MEstimation.
1
2
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan n state variabel , , … , �
yang dinyatakan dengan n buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada
waktu t dinyatakan sebagai berikut :
̇ =
̇ =
atau
̇� =
�
�̇ =
⋮
,…,
,…,
� �
�
,…,
�,
�,
�,
= � �, .
Apabila bergantung pada vektor parameter p maka persamaan diferensialnya dapat
dinyatakan sebagai berikut:
�
�̇ =
= � �, , � .
(1)
(Strogatz 2000).
Metode Least Square (LS)
Misalkan dari persamaan (1) diperoleh solusi ̂ , � dan dari data
pengamatan yang diperoleh suatu model � = ( , � ) + � untuk i = 1, 2, .. , n.
Maka p dapat diduga dengan cara berikut:
dengan
min ∑
�
�=
�
− ̂� ,
̂� = ( ̂ , � ).
(Draper dan Smith 1992).
Pencilan (Outlier)
Pencilan merupakan suatu keganjilan dan menandakan suatu titik data yang
sama sekali tidak tipikal dibandingkan dengan data lainnya. Oleh karena itu, suatu
pencilan patut diperiksa secara saksama untuk mengetahui alasan atau penyebab
terdapatnya pencilan (Draper dan Smith 1992).
3
Metode Runge-Kutta Orde Empat
Metode Runge-Kutta digunakan untuk mencari solusi numerik suatu
persamaan differensial. Metode ini digunakan untuk mendapatkan derajat ketelitian
yang lebih tinggi. Misalkan diberikan sebuah persamaan diferensial sebagai
berikut:
′
=
, dengan � =
.
Formulasi metode Runge-Kutta:
+ℎ =
dengan
� =ℎ
,
� =ℎ
+ ℎ, +
� =ℎ
� =ℎ
+ ℎ, +
+
� + � + � +� ,
�
�
+ℎ, + � .
(Cheney 2008)
Solusi numerik pada suatu waktu t tertentu ditambah panjang sub interval ℎ
pada selang [a,b] dilambangkan
+ ℎ . N menyatakan banyaknya interval [a,b]
−
dan ℎ =
merupakan ukuran langkah.
�
Metode Robust
Beberapa metode penduga parameter yang bersifat robust terhadap pencilan
yaitu metode Weighted Least Square (WLS), metode Least Absolute Deviation
( LAD), metode Least Trimmed Square (LTS), metode Least Median of Square
(LMS) (Yafee 2002). Metode robust yang digunakan yaitu Metode Median
Absolute Deviation (MAD) dan Metode Bisquare M-Estimation (Ripley 1992).
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter p juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai
mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median|
�
− ̂� − median
�
− ̂� |
(Ripley 1992).
Metode Bisquare M-Estimation
M-Estimation dipandang baik untuk mengestimasi parameter yang
disebabkan oleh x-outlier. M-Estimation menduga parameter p sebagai berikut:
4
�
min ∑ �
�=�
∗
�
�
= min ∑ �
�
Fungsi objektif untuk Tukey Bisquare adalah
�
dengan = .
∗
=
∗
�
[ −( −
�
�̂
, �̂ = ,
) ] , | �∗ | ≤
, | �∗ | > ,
{
(Fox 2002).
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) didefinisikan
sebagai berikut:
�
| � − ̂� |
×∑
SMAPE =
� + ̂�
�=
dengan,
n = banyaknya pengamatan,
� = data aktual / yang sebenarnya ke-i,
̂� = penduga data ke-i,
SMAPE memiliki batas bawah 0% dan batas atas 100%. Semakin kecil nilai
SMAPE maka akan semakin akurat nilai pendugaan parameternya. SAPE
(Symmetrical Absolute Percentage Error) didefinisikan sebagai berikut :
| � − ̂� |
SAPE =
� + ̂�
Nilai-nilai sebaran SAPE (Symmetrical Absolute Percentage Error) akan
ditampilkan dalam diagram kotak (boxplot) seperti pada Gambar 1. Panjang kotak
( - ) menunjukkan tingkat keragaman nilai-nilai SAPE. Semakin pendek kotak
mengindikasikan nilai-nilai SAPE yang mengumpul di sekitar SMAPEnya
(semakin seragam).
Gambar 1 Bentuk umum Boxplot (Weisstein 1999)
5
Model Analisis
Model yang digunakan pada tulisan ini yaitu model Gompertz dan model
SEIV.
Model Gompertz
Model Gompertz yang akan dibahas pada karya ilmiah ini adalah model
yang banyak digunakan untuk menggambarkan fenomena perilaku sel tumor,
ukuran tumor pada waktu t dinotasikan dengan P. Persamaan differensial model
dinamik Gompertz dinyatakan sebagai berikut:
=−
(ln ( )),
�
dengan,
r = laju pertumbuhan sel tumor
K = daya dukung lingkungan
Solusi model Gompertz diberikan sebagai berikut :
=�
ln
�0
�
−��
(Behera dan O’Rourke 2008).
Model SEIV
Model system dinamik yang akan dibahas pada karya ilmiah ini adalah
model epidemi SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated). Model ini
digunakan untuk menggambarkan individu yang telah terserang penyakit, tetapi
tidak ada fase penyembuhan permanen. Namun, terhadap penyakit tersebut dapat
dilakukan pencegahan dengan vaksinasi kepada individu yang rentan. Contoh
penyakit yang sesuai dengan model epidemi SEIV adalah rabies dan polio.
Populasi pada model SEIV dibagi menjadi 4 jenis, populasi individu rentan
(susceptible) dinotasikan dengan S, populasi individu yang terjangkit tetapi belum
terinfeksi (exposed) dinotasikan dengan E. Populasi exposed merupakan populasi
yang masuk dalam masa inkubasi, yaitu masa dimana masuknya virus ke dalam
populasi yang rentan sampai timbul gejala-gejala penyakit yang dideritanya.
Populasi individu yang terinfeksi penyakit (infected) dinotasikan dengan I, dan
populasi individu yang telah divaksinasi (vaccinated) dinotasikan dengan V. Model
penyebaran penyakit diturunkan menggunakan asumsi atau batasan tertentu.
Dengan demikian, model penyebaran penyakit epidemi SEIV dalam kasus
ini dapat dirumuskan dalam sistem persamaan diferensial taklinear yang mengacu
pada (Islam et al. 2013) sebagai berikut:
�
�
�
�
=
−
= �
= �
�
Λ− �
( + ��
− �+� �
= Λ − θ�
+ δ�
�
( + ξ�
)− �+
− �
,
) − θ�
�
+ �
6
dengan
Λ = laju kelahiran
= laju penularan penyakit populasi rentan ke populasi yang terinfeksi
� = laju kematian alami
= laju penurunan kekebalan penyakit
= laju penularan penyakit populasi
ke populai yang terinfeksi
� = laju individu yang sembuh sementara
= proporsi dari individu yang sembuh sementara
� = laju perubahan perilaku dari populasi rentan ke populasi yang terinfeksi
Data Pengamatan
Data yang digunakan merupakan data bangkitan atau hipotetik dengan
bantuan software Wolfram Mathematica 10. Nilai parameter awal dan nilai awal
akan ditampilkan pada Tabel 1. Langkah-langkah membangun data hipotetik dapat
dilihat secara rinci pada Lampiran 1.
Tabel 1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik
Model Dinamik
Model Gompertz
Model SEIV
Nilai parameter Awal
= .
� =
= .
� = .
� = .
= .
Metode Analisis
Nilai Awal
�
�
�
�
=
=
=
=
=
Dalam menduga parameter digunakan metode Least Square (LS), dan dua
metode robust yaitu metode Median Absolut Deviation (MAD) dan metode
Bisquare M-Estiomation.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendugaan Parameter model Gompertz
Data hipotetetik yang digunakan terdiri atas tiga jenis, yaitu data hipotetik
tanpa pencilan, data hipotetik dengan pencilan atas-bawah 5%, dan data hipotetik
dengan pencilan atas-bawah 10%. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat
dilihat pada Gambar 2.
7
Gambar 2 Tebaran data hipotetik model Gompertz tanpa pencilan
Plot hasil pendugaan dengan ketiga metode terlihat saling berimpit pada
Gambar 3. Hal ini menunjukkan ketiga metode dapat digunakan pada data tanpa
pencilan.
Gambar 3 Plot pendugaan parameter model Gompertz tanpa pencilan dengan
metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
Plot pendugaan dengan pecilan atas-bawah 5% dan data dengan pencilan atasbawah 10% ditampilkan pada Gambar 4. Terlihat bahwa plot hasil pendugaan
menggunakan metode LS cenderung bergeser ke luar mendekati pencilan. Plot hasil
pendugaan menggunakan metode MAD dan metode Bisquare M-Estimation masih
saling berimpit mengikuti pola tebaran data, tanpa terpengaruh oleh keberadaan
pecilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10%. Hal ini menunjukkan metode
LS tidak tahan terhadap pencilan, sedangkan metode MAD dan Bisquare MEstimation lebih tahan.
(a)
(b)
Gambar 4 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan pecilan atasbawah 5% (a) dan pencilan atas-bawah 10% (b) dengan metode LS,
MAD, dan Bisquare M-Estimation
8
Nilai dugaan parameter model Gompertz dan � dengan menggunakan
metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation yang didapat dari masing-masing
metode ditampilkan pada Tabel 2. Umumnya selisih parameter dugaan dengan
parameter awal untuk metode MAD dan Bisquare M-Estimation lebih kecil
dibanding metode LS.
Tabel 2 Parameter dugaan pada model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation
Data
Hipotetik
Parameter
Tanpa
Pencilan
Pencilan
Atas-Bawah
5%
Pencilan
Atas-Bawah
10%
selisih
�
selisih
selisih
�
selisih
r
selisih
K
selisih
Nilai
Parameter
Awal
0.003000
100.0000
0.003000
100.0000
0.003000
100.0000
Metode
LS
MAD
0.002990
0.000010
100.4910
-0.491000
0.009789
-0.006789
15.59348
84.40652
0.009185
-0.006185
17.32250
82.67750
0.003007
-0.000007
100.0000
0.000000
0.003008
-0.000008
100.0000
0.000000
0.002998
0.000002
100.0000
0.000000
BISQUARE
0.002989
0.000011
100.5370
-0.537000
0.002964
0.000036
102.9612
-2.961200
0.002514
0.000486
165.6550
-65.65500
Nilai SMAPE pada model Gompertz dapat dilihat pada Tabel 3. Nilai
SMAPE yang dihasilkan relatif sama untuk data tanpa pencilan. Nilai SMAPE pada
data pencilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10%, pada metode MAD dan
Bisquare M-Estimation lebih kecil dibanding metode LS. Berdasarkan hasil yang
diperoleh nilai SMAPE metode Bisquare M-Estimation selalu lebih kecil dari
metode MAD.
Tabel 3 Nilai SMAPE model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan Atas-Bawah 5%
Pencilan Atas-Bawah 10%
Metode
LS
MAD
BISQUARE
LS
MAD
BISQUARE
LS
MAD
BISQUARE
SMAPE (%)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pendugaan Parameter model SEIV
Pendugaan parameter dalam karya ilmiah ini selain dilakukan terhadap
model dinamik tunggal juga dilakukan terhadap model sistem dinamik yaitu model
9
SEIV. Data hipotetetik yang digunakan terdiri atas tiga jenis, yaitu data hipotetik
tanpa pencilan, data hipotetik dengan pencilan atas-bawah 5%, dan pencilan atasbawah 10%. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 5 Tebaran data hipotetik model SEIV tanpa pencilan
Pendugaan parameter , �, �,dan diduga dengan menggunakan tiga metode
metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation. Plot hasil pendugaan dengan ketiga
metode terlihat saling berimpit pada Gambar 6.
Gambar 6 Plot pendugaan parameter model SEIV tanpa pencilan dengan metode
LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation.
10
Data dengan pencilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10% berturutturut ditunjukkan pada Gambar 7 dan 8. Kedua gambar menunjukkan bahwa plot
hasil pendugaan menggunakan metode LS cenderung bergeser ke luar mendekati
pencilan. Plot hasil pendugaan menggunakan metode MAD dan Bisquare MEstimation masih saling berimpit mengikuti pola tebaran data tanpa terpengaruh
oleh keberadaan pencilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10%. Hal ini
menunjukkan metode LS tidak tahan terhadap pencilan, sedangkan metode MAD
dan Bisquare M-Estimation lebih tahan terhadap pencilan.
Gambar 7 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah
5% dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
Gambar 8 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah
10% dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
11
Pendugaan parameter , �, �, dan
pada model SEIV
dengan
menggunakan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation ditampilkan pada
Tabel 4. Perbedaan nilai pendugaan parameter pada metode MAD dan Bisquare MEstimation terlihat tidak signifikan.
Tabel 4 Parameter dugaan pada model SEIV dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation
Data
Hipotetik
Tanpa
Pencilan
Parameter
Selisih
�
Selisih
�
Selisih
Selisih
Pencilan
AtasBawah
5%
Selisih
�
Selisih
�
Selisih
Selisih
Pencilan
AtasBawah
10%
Nilai
Parameter
Awal
0.400000
0.010000
0.000520
0.030000
0.400000
0.010000
0.000520
0.030000
0.400000
Selisih
�
Selisih
�
Selisih
Selisih
0.010000
0.000520
0.030000
Metode
LS
0.428720
-0.028720
0.009886
0.000114
0.000504
0.000016
0.032048
-0.002048
0.831176
-0.431176
0.010641
-0.000641
0.000555
-0.000035
0.060351
-0.030351
76.24840
-75.84840
0.014441
-0.004441
0.001278
-0.000758
5.454975
-5.424975
MAD
0.399972
0.000028
0.009855
0.000145
0.000520
0.000000
0.030000
0.000000
0.399209
0.002423
0.010074
-0.000074
0.000519
0.000001
0.030000
0.000000
0.400973
-0.000973
0.010035
-0.000035
0.000520
0.000000
0.030000
0.000000
BISQUARE
0.415945
-0.015946
0.009801
0.000199
0.000514
0.000006
0.031099
-0.001099
0.408941
-0.008941
0.009774
0.000226
0.000508
0.000012
0.030602
-0.000602
0.399662
0.000338
0.009752
0.000248
0.000486
0.000034
0.029978
0.000022
Metode robust adalah metode yang tahan terhadap pencilan. Hal ini terlihat
dari nilai SMAPE metode MAD dan Bisquare M-Estimation pada data pencilan
atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10% relatif sama dan kecil dibanding
dengan nilai SMAPE metode LS. Nilai SMAPE yang diperoleh lebih diperjelas
pada Tabel 5. Semakin kecil nilai SMAPE menunjukkan semakin kecil pula
kesalahan pendugaan dari metode tersebut. Bisquare M-Estimation memiliki nilai
SMAPE terkecil, hal ini menandakan bahwa metode Bisquare M-Estimation adalah
metode yang relatif lebih baik dibanding dengan metode LS dan MAD.
12
Tabel 5 Nilai SMAPE model SEIV dengan metode LS, MAD, dan Bisquare MEstimation
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan AtasBawah 5%
Pencilan AtasBawah 10%
Metode
Mean
SMAPE (%)
Parameter
LS
.
�
�
MAD
.
�
�
BISQUARE
.
�
�
LS
.
�
�
MAD
.
�
�
BISQUARE
.
�
�
LS
.
�
�
MAD
.
�
�
BISQUARE
.
�
�
SMAPE(%)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cara lain untuk membandingkan ketiga metode tersebut dalam karya ilmiah
ini yaitu dengan menggunakan diagram boxplot yang menjelaskan sebaran data
SAPE. Gambar 9 dan 10 memperlihatkan perbandingan boxplot dari ketiga metode
pada model Gompertz, sedangkan boxplot pada model SEIV ditampilkan pada
Gambar 11, 12, dan 13. Dari diagram kotak (boxplot) di bawah dapat dilihat bahwa
tingkat keragaman SAPE pada model Gompertz dan SEIV tanpa pencilan lebih
seragam daripada SAPE data dengan pencilan. Pada data dengan pencilan, diagram
13
kotak metode MAD dan Bisquare M-Estimation lebih pendek dibandingkan
diagram kotak LS. Hal ini menunjukkan metode MAD dan Bisquare M-Estimation
lebih tahan terhadap pencilan.
Gambar 9 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz tanpa
pencilan
(a)
(b)
Gambar 10 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz dengan
pencilan atas-bawah 5% (a) dan pencilan atas-bawah 10% (b)
S
E
I
V
```
Gambar 11 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation pada data model SEIV tanpa pencilan
14
S
E
I
V
Gambar 12 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-Estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah
5%
S
E
I
V
Gambar 13 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan
Bisquare M-estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah
10%
15
SIMPULAN
Simpulan
Pendugaan parameter pada model Gompertz dan SEIV dilakukan dengan
menggunakan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation. Pendugaan pada
kedua model tersebut dengan metode Least Square (LS) tidak tahan terhadap
pencilan atas-bawah 10% maupun pencilan atas-bawah 5%. Metode robust yaitu
metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Bisquare M-Estimation
menghasilkan pendugaan yang lebih tepat dibanding metode LS. Metode Bisquare
M-Estimation menghasilkan nilai SMAPE yang relatif lebih baik dibanding MAD.
Dengan demikian, pada kasus ini metode Bisquare M-Estimation relatif lebih tahan
terhadap pencilan untuk kedua model tersebut. Ketiga metode dapat diterapkan
pada data tanpa pencilan.
DAFTAR PUSTAKA
Behera A, O’Rourke S, 2008. The effect of correlated noise in a Gompertz tumor
growth model. Braz. J. Phys. 38(2).dx.doi.org/10.1590/S010397332008000200011.
Cheney, David K. 2008. Numerical Mathematics and Computing, Sixth Edition.
Dedicated to David M. Young.
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Sumantri B, penerjemah.
Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied
Regression analysis. Ed ke-2.
Fox J. 2002. Robust regression : Appendix to an R and S-PLUS. Companion to
applied Regression. [diunduh 2014 Sept 24]; Tersedia pada: http://cran.rproject.org/doc/contrib/Fox-Companion/appendix-robust-regression.pdf.
Islam S, Zaman G, Saddiq SF, Khan MA, Khan SA, Ahmad F, Ullah M. 2013.
Analytical solution of an SEIV epidemic model by Homotopy Perturbation
method. VFAST Transactions on Mathematics. 1(2):1-7. [diunduh 2014
Sept 24]; Tersedia pada: http://www.vfast.org/index.php/VTM/article/
viewFile/43/58..
Ripley BD. 1992. Robust statistics. M.Sc. in Applied Statistics MT2004.
[internet].[diunduh
2014
Sept
9].
Tersedia
pada
:
http://www.stats.ox.ac.uk/pub/StatMeth/Robust.pdf
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications To Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. United States (US): Perseus Books
Publishing, LLC.
Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [diunduh 2014 Feb 10].
Tersedia pada: http://mathworld.wolfram.com/Box-and-WhiskerPlot.html
Widiasari LY.2014. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust
Median Absolute Deviation (MAD) [skripsi]. Bogor: Institut Pertanian
Bogor.
Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package options.
Statistics, Social Science, and Mapping Group [diunduh 2014 Mar 19].
Tersedia pada: http://www.nyu.edu/its/socsci/Docs/Robust%20reg2.pdf.
16
Lampiran 1 Kodingan pendugaan parameter pada model Gompertz dengan
metode LS, MAD dan Bisquare M-Estimation
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Cibubur-Jakarta Timur pada tanggal 29 Desember 1992
sebagai anak sulung dari tiga bersaudara, anak dari M. Arief Sutrisno dan Zun
Afidah.Tahun 2005 penulis lulus dari SDN Tridaya Sakti 03 Kota Bekasi. Tahun
2008 penulis lulus dari SMPN 1 Tambun Selatan Kota Bekasi. Tahun 2011 penulis
lulus dari SMAN 1 Tambun Selatan Kota Bekasi dan pada tahun yang sama penulis
lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian TalentaMasuk IPB (UTMI). Pada tahun
2012, penulis masuk Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di Gugus
Mahasiswa Matematika IPB, khususnya sebagai pengawas GUMATIKA IPB.