Penyelesaian Masalah Generalized Minimum Spanning Tree dengan Metode Heuristik Local Search

ABSTRAK
ALETHEA NOER. Penyelesaian Masalah Generalized Minimum Spanning Tree
dengan Metode Heuristik Local Search. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan
PRAPTO TRI SUPRIYO.
Generalized minimum spanning tree (GMST) merupakan minimum
spanning tree dari suatu graf dengan simpul-simpulnya terbagi menjadi beberapa
kumpulan simpul yang disebut cluster. GMST dapat diselesaikan menggunakan
metode heuristik local search yang dalam langkah-langkah penyelesaian juga
memerlukan algoritme Prim untuk menentukan minimum spanning tree. Dalam
karya ilmiah ini masalah GMST diaplikasikan pada masalah penentuan lokasi
gardu-gardu induk listrik di setiap kecamatan di Kota Palangkaraya. Setiap
kecamatan memiliki beberapa kelurahan yang akan ditentukan sebagai lokasi
pemasangan gardu induk listrik sehingga panjang kabel listrik yang digunakan
adalah minimum.
Kata kunci: generalized minimum spanning tree, jarak minimum, local search.

ABSTRACT
ALETHEA NOER. The Solution of the Generalized Minimum Spanning Tree
Problem with Local Search Heuristic Method. Supervised by FARIDA HANUM
and PRAPTO TRI SUPRIYO.
Generalized minimum spanning tree (GMST) is a minimum spanning tree

of a graph with the nodes partitioned into some node-sets called cluster. GMST
can be solved by using local search heuristic method which includes Prim
algorithm in their steps to determine the minimum spanning tree. In this paper
GMST problem is applied to the problem of determining the location of the
primary electricity substations in every district in Palangkaraya. In each district, it
will be decided a few number of villages as the location for the installation of
electricity substations such that minimized the cable length.
Keywords: generalized minimum spanning tree, minimum distance, local search.

5
Batas Bawah untuk GMST
Batas bawah untuk GMST dapat diperoleh dengan menyelesaikan masalah
MST pada graf transformasi H. Graf transformasi H merupakan graf dengan tiap
cluster diganti menjadi single node. Didefinisikan biaya antara dua simpul pada
graf transformasi sama dengan biaya minimum antara dua cluster yaitu biaya
antara dua simpul yang mewakili. Langkah-langkah untuk menentukan batas
bawah yaitu:
1. dimulai dengan graf tak terhubung T dengan m buah cluster,
2. sisi pada graf G diurutkan dari bobot terkecil sampai terbesar,
3. sisi pada daftar urutan yang memiliki bobot terkecil dimasukkan ke dalam graf

T asalkan tidak membentuk cycle antar cluster,
4. langkah 3 diulangi sampai T memiliki m−1 sisi.
Batas Atas untuk GMST
Batas atas untuk GMST dapat diperoleh dengan mengadaptasi algoritme
Kruskal, algoritme Prim, atau algoritme Sollin. Pada karya ilmiah ini hanya
adaptasi algoritme Prim saja yang diterapkan karena untuk kasus dengan simpul
yang terlalu banyak, algoritme Prim lebih efisien dibandingkan dengan algoritme
yang lain
Adaptasi algoritme Prim dimulai dengan memilih starting node (setiap
pemilihan starting node akan diperoleh hasil yang berbeda-beda). Langkah
selanjutnya sama seperti algoritme Prim (Feremans et al. 2004).

APLIKASI
Listrik merupakan kebutuhan yang sangat penting, namun hingga tahun
2014 masih banyak daerah di Indonesia yang belum teraliri arus listrik, salah
satunya ialah Palangkaraya. Meskipun Palangkaraya merupakan ibukota provinsi
Kalimantan Tengah, namun belum semua kecamatan di Palangkaraya teraliri
listrik, seperti di beberapa kelurahan di Kecamatan Rakumpit (Fathurahman
2014).
Keterangan :

: letak kecamatan yang
ada di Kota
Palangkaraya

Gambar 2 Peta Kota Palangkaraya

6
Sketsa pada Gambar 2 merupakan peta dari Kota Palangkaraya dan letak
kecamatan-kecamatan yang ada di Palangkaraya. Setiap kecamatan memiliki
beberapa kelurahan yang akan ditentukan sebagai lokasi pemasangan gardu induk
listrik dengan asumsi beberapa kelurahan yang dilalui oleh sungai tidak dipilih.
Dari Gambar 2 dapat diperoleh graf sebagai berikut:
G:

Gambar 3 Graf kasus Palangkaraya
Keterangan:
C1
C2
C3
C4

C5
A
B
C
D
E
F
G
H

: Kecamatan Jekan Raya
: Kecamatan Bukit Batu
: Kecamatan Pahandut
: Kecamatan Rakumpit
: Kecamatan Sebangau
: Kelurahan Bukit Tunggal
: Kelurahan Menteng
: Kelurahan Palangka
: Kelurahan Petuk Ketimpun
: Kelurahan Habaring Hurung

: Kelurahan Marang
: Kelurahan Sei Gohong
: Kelurahan Tangkiling

I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T

: Kelurahan Tumbang Tahai

: Kelurahan Langkai

: Kelurahan Pahandut
: Kelurahan Panarung
: Kelurahan Tanjung Pinang
: Kelurahan Bukit Sua
: Kelurahan Pager
: Kelurahan Petuk Berunai
: Kelurahan Bereng Bengkel
: Kelurahan Petuk Bukit
: Kelurahan Kalampangan
: Kelurahan Sabaru

Tabel 1 Beberapa nama kelurahan dan kecamatan di Kota Palangkaraya
Kecamatan Kelurahan
Kecamatan
Kelurahan
Jekan Raya Bukit Tunggal
Pahandut
Pahandut
Menteng
Panarung

Palangka
Tanjung Pinang
Petuk Ketimpun
Rakumpit
Bukit Sua
Habaring
Hurung
Bukit Batu
Pager
Marang
Petuk Berunai
Sei Gohong
Sebangau
Bereng Bengkel
Tangkiling
Petuk Bukit
Tumbang Tahai
Kalampangan
Pahandut
Langkai

Sabaru

7
Data jarak antarkelurahan ditampilkan dalam Lampiran 1.
Penentuan Batas Bawah dan Batas Atas GMST
Penentuan batas bawah
Langkah 1. Graf tak terhubung T

Gambar 4 Graf tak terhubung T
Langkah 2. Sisi pada graf G diurutkan dari jarak terkecil sampai terbesar
(Lampiran 3)
Langkah 3. Berdasarkan Lampiran 3, sisi dengan bobot terkecil adalah CJ dengan
simpul C berada pada cluster C1 dan simpul J berada pada cluster C3,
sehingga dipilih sisi dengan bobot terkecil yaitu C1C3 = 2.2 dan
dimasukkan ke dalam graf T
Langkah 4. Langkah 3 diulangi sampai T memiliki m−1 sisi. Sisi dengan bobot
terkecil berikutnya ialah C1C2 dengan bobot 11.7, C3C5 dengan bobot
12.3, C4C5 dengan bobot 16.4 sehingga didapat batas bawah untuk
GMST sebesar 2.2 + 11.7 + 12.3 + 16.4 = 42.6 km.

Gambar 5 Spanning tree untuk batas bawah GMST

8
Penentuan batas atas
Dalam karya ilmiah ini, penentuan nilai batas atas dilakukan dengan
menentukan spanning tree menggunakan adaptasi dari algoritme Prim. Pada
adaptasi algoritme Prim dimulai dengan memilih starting node (setiap pemilihan
starting node yang berbeda dapat memberi hasil yang berbeda-beda). Misalkan
simpul A dipilih sebagai starting node. Dengan algoritme Prim (Lampiran 2)
didapatkan minimum spanning tree seperti pada gambar berikut:

Gambar 6 Spanning tree untuk batas atas GMST
sehingga didapat nilai batas atas untuk GMST sebesar 98.5 km.
Penyelesaian GMST dengan Metode Heuristik Local Search
Langkah ini dimulai dengan menentukan banyaknya solusi fisibel yang
dihasilkan sebanyak X, sehingga pengulangan dapat dibatasi sebanyak X. Dalam
karya ilmiah ini X = 3 pengulangan.
Iterasi 1.
Langkah 1. Dipilih simpul secara acak dari tiap cluster, misalkan dipilih
simpul B, F, L, N, Q. Karena subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah

dipilih adalah graf terhubung, maka diterapkan algoritme Prim untuk menentukan
MST.

Gambar 7 Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih

9
Dengan algoritme Prim (Lampiran 4) didapatkan MST dengan bobot minimum
sebesar 111.4. Garis yang bercetak tebal pada Gambar 7 merupakan MST.
Langkah 2. Menentukan urutan cluster yang akan dikunjungi secara acak,
misalkan C1, C2, C3, C4, C5.
Langkah 3. Mengunjungi sebuah cluster dan mengganti setiap simpulnya
yang memberikan nilai MST lebih kecil sehingga tree saat ini diperbarui.
Kunjungan ke-1 (C1)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 5) didapat MST dengan bobot sebesar 110.9
seperti pada gambar berikut:

Gambar 8 MST pada kunjungan ke-1
Kunjungan ke-2 (C2)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 6) didapat MST dengan bobot sebesar 108.2
seperti pada gambar berikut:

Gambar 9 MST pada kunjungan ke-2

10
Kunjungan ke-3 (C3)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 7) didapat MST dengan bobot sebesar 101.6
seperti pada gambar berikut:

Gambar 10 MST pada kunjungan ke-3
Kunjungan ke-4 (C4)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 8) didapat MST dengan bobot sebesar 94.9
seperti pada gambar berikut:

Gambar 11 MST pada kunjungan ke-4
Kunjungan ke-5 (C5)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 9) didapat MST dengan bobot sebesar 91.4
seperti pada gambar berikut:

11

Gambar 12 MST pada kunjungan ke-5
Dari hasil perhitungan pada iterasi pertama didapatkan solusi fisibel dengan nilai
91.4.

`

Iterasi 2.
Langkah 1. Misalkan dipilih simpul D, G, K, O, S

Gambar 13 Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih
Dengan algoritme Prim (Lampiran 10) didapatkan MST dengan bobot minimum
sebesar 109.1. Garis yang bercetak tebal merupakan MST.
Langkah 2. Menentukan urutan cluster yang akan dicari secara acak,
misalkan C1, C2, C3, C4, C5.
Langkah 3. Lakukan seperti langkah 3 pada iterasi 1.

12
Kunjungan ke-1 (C1)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 11) didapat MST dengan bobot sebesar 104
seperti pada gambar berikut:

Gambar 14 MST pada kunjungan ke-1
Kunjungan ke-2 (C2)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 12) didapat MST dengan bobot sebesar 96.9
seperti pada gambar berikut:

Gambar 15 MST pada kunjungan ke-2
Kunjungan ke-3 (C3)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 13) didapat MST dengan bobot sebesar 91.1
seperti pada gambar berikut:

13

Gambar 16 MST pada kunjungan ke-3
Kunjungan ke-4 (C4)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 14) tidak didapatkan jarak yang lebih kecil dari
91.1 maka tree tidak diperbarui.
Kunjungan ke-5 (C5)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 15) didapat MST dengan bobot sebesar 90.7
seperti pada gambar berikut:

Gambar 17 MST pada kunjungan ke-5
Dari hasil perhitungan pada iterasi kedua didapatkan solusi fisibel dengan nilai
91.1
Iterasi 3.
Langkah 1. Misalkan dipilih simpul D, I, M, O, R

14

Gambar 18 Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih
Dengan algoritme Prim (Lampiran 16) didapatkan MST dengan bobot minimum
sebesar 94.8. Garis yang bercetak tebal merupakan MST.
Langkah 2. Menentukan urutan cluster yang akan dicari secara acak,
misalkan C1, C2, C3, C4, C5.
Langkah 3. Lakukan seperti langkah 3 pada iterasi 1.
Kunjungan ke-1 (C1)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 17) didapat MST dengan bobot sebesar 86.9
seperti pada gambar berikut:

Gambar 19 MST pada kunjungan ke-1

15
Kunjungan ke-2 (C2)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 18) didapat MST dengan bobot sebesar 83.9
seperti pada gambar berikut:

Gambar 20 MST pada kunjungan ke-2
Kunjungan ke-3 (C3)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 19) didapat MST dengan bobot sebesar 72.8
seperti pada gambar berikut:

Gambar 21 MST pada kunjungan ke-3
Kunjungan ke-4 (C4)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 20) tidak didapatkan jarak yang lebih kecil dari
72.8 maka tree tidak diperbarui.
Kunjungan ke-5 (C5)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 21) tidak didapatkan jarak yang lebih kecil dari
72.8 maka tree tidak diperbarui.

16
Dari hasil perhitungan pada iterasi ketiga didapatkan solusi dengan nilai
72.8. Dari ketiga iterasi yang dilakukan, solusi pada iterasi ketiga yang memiliki
nilai minimum, sehingga simpul yang dipilih adalah simpul C, F, J, O, R dengan
gambar seperti pada Gambar 21. Solusi ini berada pada selang antara batas bawah
yaitu 42.6 dan batas atas yaitu 98.5. Ini berarti akan dibangun gardu induk listrik
di Kelurahan Palangka Kecamatan Jekan Raya, Kelurahan Marang Kecamatan
Bukit Batu, Kelurahan Langkai Kecamatan Pahandut, Kelurahan Pager
Kecamatan Rakumpit, Kelurahan Petuk Bukit Kecamatan Sebangau. Jika iterasi
yang dilakukan lebih banyak, maka solusi yang didapat akan lebih baik dan
mendekati nilai batas bawah.

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah Generalized Minimum Spanning Tree (GMST) dapat diselesaikan
menggunakan metode heuristik Local Search. Telah diperlihatkan bahwa masalah
GMST dapat diterapkan pada penentuan lokasi gardu induk listrik di Kota
Palangkaraya. Hasil yang didapat yaitu akan dibangun gardu induk listrik di
Kelurahan Palangka Kecamatan Jekan Raya, Kelurahan Marang Kecamatan Bukit
Batu, Kelurahan Langkai Kecamatan Pahandut, Kelurahan Pager Kecamatan
Rakumpit, Kelurahan Petuk Bukit Kecamatan Sebangau.
Saran
Jika ada yang ingin mendalami karya ilmiah ini, disarankan untuk
menggunakan metode lain seperti algoritme genetika dan membangun software
yang dapat menerapkan metode heuristik local search.

DAFTAR PUSTAKA
Balakrishnan VK. 1997. Schaum’s Outline of Theory and Problems of Graph
Theory. New York (US): McGraw-Hill.
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New
York (US): McGraw-Hill.
Chartrand G, Zhang P. 2009. Chromatic Graph Theory. London (GB): CRC Pr.
Dror M, Haoari M, Chaouachi J. 2000. Generalized spanning trees. Eur. J. Oper.
Res. 120:583-592.doi:10.1016/S0377221799000065.
Fathurahman. 2014 Maret 26. Hingga kini listrik PLN belum masuk di Rakumpit.
Banjarmasin Post.
Feremans C, Labbe M, Laporte G. 2002. A comparative analysis of several
formulations for the generalized minimum spanning tree problem.
Networks 39:29-34.doi:10.1002/net.10009.

PENYELESAIAN MASALAH GENERALIZED MINIMUM
SPANNING TREE DENGAN METODE HEURISTIK
LOCAL SEARCH

ALETHEA NOER

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

16
Dari hasil perhitungan pada iterasi ketiga didapatkan solusi dengan nilai
72.8. Dari ketiga iterasi yang dilakukan, solusi pada iterasi ketiga yang memiliki
nilai minimum, sehingga simpul yang dipilih adalah simpul C, F, J, O, R dengan
gambar seperti pada Gambar 21. Solusi ini berada pada selang antara batas bawah
yaitu 42.6 dan batas atas yaitu 98.5. Ini berarti akan dibangun gardu induk listrik
di Kelurahan Palangka Kecamatan Jekan Raya, Kelurahan Marang Kecamatan
Bukit Batu, Kelurahan Langkai Kecamatan Pahandut, Kelurahan Pager
Kecamatan Rakumpit, Kelurahan Petuk Bukit Kecamatan Sebangau. Jika iterasi
yang dilakukan lebih banyak, maka solusi yang didapat akan lebih baik dan
mendekati nilai batas bawah.

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah Generalized Minimum Spanning Tree (GMST) dapat diselesaikan
menggunakan metode heuristik Local Search. Telah diperlihatkan bahwa masalah
GMST dapat diterapkan pada penentuan lokasi gardu induk listrik di Kota
Palangkaraya. Hasil yang didapat yaitu akan dibangun gardu induk listrik di
Kelurahan Palangka Kecamatan Jekan Raya, Kelurahan Marang Kecamatan Bukit
Batu, Kelurahan Langkai Kecamatan Pahandut, Kelurahan Pager Kecamatan
Rakumpit, Kelurahan Petuk Bukit Kecamatan Sebangau.
Saran
Jika ada yang ingin mendalami karya ilmiah ini, disarankan untuk
menggunakan metode lain seperti algoritme genetika dan membangun software
yang dapat menerapkan metode heuristik local search.

DAFTAR PUSTAKA
Balakrishnan VK. 1997. Schaum’s Outline of Theory and Problems of Graph
Theory. New York (US): McGraw-Hill.
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New
York (US): McGraw-Hill.
Chartrand G, Zhang P. 2009. Chromatic Graph Theory. London (GB): CRC Pr.
Dror M, Haoari M, Chaouachi J. 2000. Generalized spanning trees. Eur. J. Oper.
Res. 120:583-592.doi:10.1016/S0377221799000065.
Fathurahman. 2014 Maret 26. Hingga kini listrik PLN belum masuk di Rakumpit.
Banjarmasin Post.
Feremans C, Labbe M, Laporte G. 2002. A comparative analysis of several
formulations for the generalized minimum spanning tree problem.
Networks 39:29-34.doi:10.1002/net.10009.

17
Feremans C, Labbe M, Laporte G. 2004. The generalized minimum spanning tree
problem: Polyhedral analysis and branch and cut algorithm. Networks
43:71-86.doi:10.1002/net.10105.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Springer
Publishing.
Golden B, Raghavan S, Staanojevic D. 2005. Heuristic search for the generalized
minimum
spanning
tree.
Informs.
17(3):290-304.doi:10.1287
/ijoc.1040.0077.
Myung YS, Lee CH, Tcha DW. 1995. On the generalized minimum spanning tree
problem. Networks 26:231-241.doi:10.1002/net.3230260407.
Pop PC. 2002. The generalized minimum spanning tree problem. [tesis]. Twente
(ID): University of Twente.
Raghavan S. 2002. On modeling the generalized minimum spanning tree.
Technical report. The Robert H. Smith School of Business, University of
Maryland, College Park, MD.
Vasudev C. 2006. Graph Theory with Application. New Delhi (IN): New Age
International.

PENYELESAIAN MASALAH GENERALIZED MINIMUM
SPANNING TREE DENGAN METODE HEURISTIK
LOCAL SEARCH

ALETHEA NOER

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Masalah
Generalized Minimum Spanning Tree dengan Metode Heuristik Local Search
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, November 2014
Alethea Noer
NIM G54100044

ABSTRAK
ALETHEA NOER. Penyelesaian Masalah Generalized Minimum Spanning Tree
dengan Metode Heuristik Local Search. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan
PRAPTO TRI SUPRIYO.
Generalized minimum spanning tree (GMST) merupakan minimum
spanning tree dari suatu graf dengan simpul-simpulnya terbagi menjadi beberapa
kumpulan simpul yang disebut cluster. GMST dapat diselesaikan menggunakan
metode heuristik local search yang dalam langkah-langkah penyelesaian juga
memerlukan algoritme Prim untuk menentukan minimum spanning tree. Dalam
karya ilmiah ini masalah GMST diaplikasikan pada masalah penentuan lokasi
gardu-gardu induk listrik di setiap kecamatan di Kota Palangkaraya. Setiap
kecamatan memiliki beberapa kelurahan yang akan ditentukan sebagai lokasi
pemasangan gardu induk listrik sehingga panjang kabel listrik yang digunakan
adalah minimum.
Kata kunci: generalized minimum spanning tree, jarak minimum, local search.

ABSTRACT
ALETHEA NOER. The Solution of the Generalized Minimum Spanning Tree
Problem with Local Search Heuristic Method. Supervised by FARIDA HANUM
and PRAPTO TRI SUPRIYO.
Generalized minimum spanning tree (GMST) is a minimum spanning tree
of a graph with the nodes partitioned into some node-sets called cluster. GMST
can be solved by using local search heuristic method which includes Prim
algorithm in their steps to determine the minimum spanning tree. In this paper
GMST problem is applied to the problem of determining the location of the
primary electricity substations in every district in Palangkaraya. In each district, it
will be decided a few number of villages as the location for the installation of
electricity substations such that minimized the cable length.
Keywords: generalized minimum spanning tree, minimum distance, local search.

PENYELESAIAN MASALAH GENERALIZED MINIMUM
SPANNING TREE DENGAN METODE HEURISTIK
LOCAL SEARCH

ALETHEA NOER

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

Judul Skripsi : Penyelesaian Masalah Generalized Minimum Spanning Tree
dengan Metode Heuristik Local Search
Nama
: Alethea Noer
NIM
: G54100044

Disetujui oleh

Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing I

Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan
karya ilmiah ini tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1
keluarga tercinta: ibu dan bapak yang telah mendoakan dan memberikan
motivasi, untuk saudara-saudaraku da Alvi, Auly, dan Ainun yang selalu
mendoakan dan memberikan semangat,
2
Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen pembimbimg I yang selalu sabar
dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,
3
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen pembimbing II yang telah
memberikan ilmu, kritik dan saran, motivasi serta doanya,
4
Drs Siswandi, MSi selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan
saran serta doanya
5
semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang
telah diberikan,
6
semua staf Departemen Matematika, terima kasih atas bantuan yang telah
diberikan selama ini,
7
Bidik Misi yang telah membiayai perkuliahan selama 4 tahun,
8
semua teman Matematika 47 yang telah menjadi keluarga selama di Bogor,
9
semua teman Matematika yang selalu mendukung agar terus berkembang,
10 Gumatika yang telah memberikan banyak pengalaman yang berkesan,
11 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, November 2014
Alethea Noer

DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA
Konsep-konsep dalam Teori Graf
GENERALIZED MINIMUM SPANNING TREE (GMST)

1
2
3

Penentuan Minimum Spanning Tree dengan Algoritme Prim

3

Penyelesaian GMST

4

Batas Bawah untuk GMST

5

Batas Atas untuk GMST

5

APLIKASI

5

Penentuan Batas Bawah dan Batas Atas GMST

7

Penyelesaian GMST dengan Metode Heuristik Local Search

8

SIMPULAN DAN SARAN

16

Simpulan

16

Saran

16

DAFTAR PUSTAKA

16

LAMPIRAN

18

RIWAYAT HIDUP

25

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

Contoh solusi fisibel untuk GMST
Peta Kota Palangkaraya
Graf kasus Palangkaraya
Graf tak terhubung T
Spanning tree untuk batas bawah GMST
Spanning tree untuk batas atas GMST
Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih pada iterasi 1
MST pada kunjungan ke-1
MST pada kunjungan ke-2
MST pada kunjungan ke-3
MST pada kunjungan ke-4
MST pada kunjungan ke-5
Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih pada iterasi 2
MST pada kunjungan ke-1
MST pada kunjungan ke-2
MST pada kunjungan ke-3
MST pada kunjungan ke-5
Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih pada iterasi 3
MST pada kunjungan ke-1
MST pada kunjungan ke-2
MST pada kunjungan ke-3

4
5
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

Data jarak antar kelurahan
Langkah penentuan MST dengan adaptasi algoritme Prim
Urutan jarak terkecil sampai terbesar
Langkah penentuan MST dengan algoritme Prim pada iterasi 1
Perhitungan kunjungan 1 (cluster C1) pada iterasi 1
Perhitungan kunjungan 2 (cluster C2) pada iterasi 1
Perhitungan kunjungan 3 (cluster C3) pada iterasi 1
Perhitungan kunjungan 4 (cluster C4) pada iterasi 1
Perhitungan kunjungan 5 (cluster C5) pada iterasi 1
Langkah penentuan MST dengan algoritme Prim pada iterasi 2
Perhitungan kunjungan 1 (cluster C1) pada iterasi 2
Perhitungan kunjungan 2 (cluster C2) pada iterasi 2
Perhitungan kunjungan 3 (cluster C3) pada iterasi 2
Perhitungan kunjungan 4 (cluster C4) pada iterasi 2
Perhitungan kunjungan 5 (cluster C5) pada iterasi 2
Langkah penentuan MST dengan algoritme Prim pada iterasi 3
Perhitungan kunjungan 1 (cluster C1) pada iterasi 3
Perhitungan kunjungan 2 (cluster C2) pada iterasi 3
Perhitungan kunjungan 3 (cluster C3) pada iterasi 3
Perhitungan kunjungan 4 (cluster C4) pada iterasi 3
Perhitungan kunjungan 5 (cluster C5) pada iterasi 3

19
20
21
22
22
22
22
22
23
23
23
23
23
23
24
24
24
24
24
24
25

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Listrik memegang peranan yang penting dalam kehidupan. Dapat dikatakan
bahwa listrik telah menjadi sumber energi utama dalam setiap kegiatan, namun
masih banyak daerah-daerah di Indonesia yang belum teraliri listrik. Hal ini
disebabkan oleh belum dibangunnya gardu induk listrik di daerah tersebut. Salah
satu kendala dalam pembangunan gardu induk listrik ialah besarnya biaya yang
dikeluarkan. Dengan menerapkan teori graf dan pohon merentang minimum
(minimum spanning tree) maka akan diperoleh jaringan listrik sehingga biaya
yang dikeluarkan bisa diminimalkan.
Permasalahan penentuan lokasi gardu induk listrik ini dapat dimodelkan
menjadi generalized minimum spanning tree (GMST). Dalam karya ilmiah ini,
GMST akan diselesaikan menggunakan metode heuristik yaitu metode heuristik
local search. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang berjudul Heuristic
search for the generalized minimum spanning tree problem yang disusun oleh
Bruce Golden dan kawan-kawan pada tahun 2005.

Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah menyelesaikan masalah generalized
minimum spanning tree dengan metode heuristik local search dan
mengaplikasikannya pada masalah penentuan lokasi gardu induk listrik di Kota
Palangkaraya.

TINJAUAN PUSTAKA
Suatu generalized minimum spanning tree (GMST) adalah minimum
spanning tree (MST) dari graf G = (V, E) dengan simpul-simpulnya terbagi
menjadi m kumpulan simpul yang disebut cluster. Misalkan banyaknya elemen
himpunan V adalah |V| = n dan K = 1, 2, ... , m adalah indeks dari cluster, dengan
V = V1 V2
...
Vm dan Vl Vk = untuk setiap l,k K dan l k.
Diasumsikan sisi didefinisikan hanya antara simpul-simpul di cluster yang
berbeda dan tiap sisi memiliki bobot taknegatif (Pop 2002). Cluster adalah hasil
pengelompokan sekumpulan objek sehingga berada dalam satu kelompok yang
sama.
Feremans et al. (2002) menjelaskan delapan perbedaan formulasi integer
programing (IP) dan mixed integer programming (MIP) untuk masalah GMST
dan menunjukkan bahwa empat dari formulasi ini erat mendominasi empat
lainnya dalam hal kualitas relaksasi linear. Raghavan (2002) menunjukkan bahwa
GMST dapat dimodelkan sebagai Steiner tree problem dengan kendala degree
pada beberapa simpul. Steiner menunjukkan bahwa formulasi yang dihasilkan
setara (dalam hal relaksasi linear) dengan keempat formulasi yang
diidentifikasikan oleh Feremans. Dror et al. (2000) membahas variasi yang agak

2
berbeda untuk GMST. Cluster tidak perlu terpisah satu sama lain tapi secara
kolektif. Selanjutnya, daripada harus tepat satu simpul dari cluster dalam tree
yang diinginkan, mereka mengharuskan setidaknya satu simpul dari setiap cluster
yang berada pada tree (dengan demikian memungkinkan beberapa simpul dari
cluster yang sama berada dalam tree).
Salah satu aplikasi masalah GMST pertama kali diperkenalkan oleh Myung
et al. (1995). Dalam aplikasi ini, beberapa local area network (LAN) di suatu
daerah harus terhubung satu sama lain dan membentuk MST. Selain itu, GMST
dapat diterapkan ke dalam masalah jaringan telekomunikasi. Berikut ini akan
dijelaskan beberapa konsep-konsep dalam teori graf.
Konsep-konsep dalam Teori Graf
Definisi 1 (Graf)
Suatu graf G adalah pasangan terurut (V,E) dengan V, biasa ditulis V(G),
adalah himpunan berhingga dan takkososng dari elemen-elemen graf yang disebut
verteks (node, simpul), sedangkan E, biasa ditulis E(G), ialah himpunan pasangan
yang menghubungkan dua elemen subset dari V yang disebut sisi (edge). Setiap
sisi {u,v} pada V biasanya dinotasikan dengan uv atau vu (Chartrand & Zhang
2009).
Definisi 2 (adjacent dan incident)
Misalkan u dan v verteks pada graf G. Verteks v dikatakan tetangga
(adjacent) dari u jika ada sisi e yang menghubungkan verteks u dan v, yaitu e = uv.
Himpunan semua tetangga dari verteks v dinotasikan dengan N(v). Jika e = uv
adalah sisi pada graf G maka e dikatakan incident dengan verteks u dan v
(Chartrand & Zhang 2009).
Definisi 3 (Graf berbobot)
Suatu graf G = (V, E) dikatakan berbobot jika terdapat sebuah fungsi w : E
→ R (dengan R adalah himpunan bilangan real) yang disebut bobot. Setiap bobot
w(uv) dengan uv E dinotasikan dengan w(uv) (Foulds 1992).
Definisi 4 (Subgraf)
Graf H adalah subgraf dari graf G jika V(H)
(Chartrand & Oellermann 1993).

V(G) dan E(H)

E(G)

Definisi 5 (Spanning subgraph)
Suatu subgraf G dikatakan spanning subgraph jika subgraf tersebut
mengandung semua verteks pada graf G (Vasudev 2006).
Definisi 6 (Walk)
Suatu walk W pada graf G adalah barisan bergantian antara verteks dan sisi
yang dimulai dan diakhiri oleh verteks. Walk yang dimulai dari v0 dan berakhir di
vn disebut walk v0 – vn dan walk W mempunyai panjang n karena melalui n sisi
(tidak harus berbeda) (Chartrand & Oellermann 1993).

3
Definisi 7 (Walk tertutup)
Suatu walk pada graf G dikatakan tertutup jika verteks awal dan verteks akhir
pada walk tersebut adalah sama (Foulds 1992).
Definisi 8 (Cycle)
Cycle adalah walk tertutup, yang memuat sedikitnya tiga verteks, dan
semua verteks pada walk tersebut berbeda (Foulds 1992 ).
Definisi 9 (Path)
Path adalah walk dengan tidak ada verteks yang diulang (Chartrand &
Oellermann 1993).
Definisi 10 (Terhubung/connected)
Graf G dikatakan terhubungkan (connected) jika untuk setiap pasang
verteks u dan v di G, maka u dihubungkan dengan v. Jika terdapat pasangan
verteks u – v di G sehingga tidak ada path u – v, maka graf tersebut dikatakan tak
terhubung (disconnected) (Chartrand & Oellermann 1993).
Definisi 11 (Tree)
Tree adalah graf terhubungkan yang tidak mempunyai cycle (Chartrand &
Oellermann 1993).
Definisi 12 (Spanning tree)
Suatu spanning tree adalah spanning subgraph yang merupakan tree
(Vasudev 2006).

GENERALIZED MINIMUM SPANNING TREE
Masalah GMST merupakan masalah pencarian minimum spanning tree
dengan simpul-simpulnya terbagi menjadi beberapa kumpulan simpul yang
disebut cluster. Minimum spanning tree dari graf G adalah suatu spanning tree
dari G dengan bobot terkecil.
Penentuan Minimum Spanning Tree dengan Algoritme Prim
Salah satu cara untuk menentukan minimum spanning tree dari suatu graf
ialah menggunakan algoritme Prim. Menurut Balakrishnan (1997) langkahlangkah dalam algoritme Prim untuk menentukan minimum spanning tree T dari
graf G ialah sebagai berikut:
Misalkan diberikan graf G dengan banyaknya verteks adalah n, maka:
Langkah 1. Sisi diurutkan dari kecil ke besar dan T = .
Langkah 2. Sisi dari graf G yang berbobot minimum dipilih lalu dimasukkan ke
dalam T.
Langkah 3. Dipilih sisi uv di graf G yang memiliki bobot minimum dan adjacent
dengan sisi di T. Jika uv tidak membentuk cycle, maka uv
ditambahkan ke dalam T dan lanjut ke langkah 3. Sebaliknya, jika

4
penambahan sisi uv membentuk cycle, maka sisi tersebut tidak dipilih
dan kembali ke langkah 2.
Langkah 4. Proses berhenti jika T memiliki (n−1) sisi.
Penyelesaian GMST
Suatu GMST dapat diselesaikan dengan beberapa algoritme, yaitu dengan
algoritme genetik dan algoritme local search. Namun dalam karya ilmiah ini
penyelesaian GMST hanya menggunakan algoritme local search. Menurut Golden
et al. (2005) langkah-langkah algoritme local search untuk GMST adalah sebagai
berikut:
1. Banyak solusi fisibel yang akan dihasilkan, yaitu X ditentukan terlebih dahulu.
Langkah 2 sampai 4 diulangi sebanyak X kali.
2. Dari setiap cluster dipilih satu simpul secara acak.
Jika subgraf yang terbentuk dari simpul-simpul yang telah dipilih merupakan
graf terhubung, maka diterapkan salah satu algoritme dari MST untuk
mendapatkan MST. Jika tidak, maka pemilihan simpul dari setiap cluster
diulangi hingga subgraf yang terbentuk merupakan graf terhubung. Pada karya
ilmiah ini, algoritme yang digunakan ialah algoritme Prim.
3. Urutan cluster yang akan dikunjungi ditentukan secara acak.
4. Dengan urutan kunjungan seperti pada Langkah 3, langkah-langkah berikut
diulangi sampai m kunjungan cluster secara berurutan sehingga tidak ada
perbaikan yang signifikan.
a. Ketika mengunjungi sebuah cluster, setiap simpulnya dipertimbangkan
sebagai pengganti simpul saat ini di cluster yang terkandung dalam
generalized spanning tree (GST) dan dihitung biaya solusi untuk setiap
penggantian simpul. GST yaitu tree yang berisi tepat satu simpul dari tiap
cluster (Pop 2002).
b. Di antara solusi yang dihitung pada langkah sebelumnya, identifikasi
MST yang memberikan peningkatan terbesar dalam fungsi tujuan
(misalkan: penurunan terbesar dalam hal bobot jarak). Jika ada perbaikan,
simpul yang mewakili cluster ditentukan dan tree saat ini diperbarui.
Berikut ini adalah contoh gambar solusi fisibel untuk GMST:

Gambar 1 Contoh solusi fisibel untuk GMST

5
Batas Bawah untuk GMST
Batas bawah untuk GMST dapat diperoleh dengan menyelesaikan masalah
MST pada graf transformasi H. Graf transformasi H merupakan graf dengan tiap
cluster diganti menjadi single node. Didefinisikan biaya antara dua simpul pada
graf transformasi sama dengan biaya minimum antara dua cluster yaitu biaya
antara dua simpul yang mewakili. Langkah-langkah untuk menentukan batas
bawah yaitu:
1. dimulai dengan graf tak terhubung T dengan m buah cluster,
2. sisi pada graf G diurutkan dari bobot terkecil sampai terbesar,
3. sisi pada daftar urutan yang memiliki bobot terkecil dimasukkan ke dalam graf
T asalkan tidak membentuk cycle antar cluster,
4. langkah 3 diulangi sampai T memiliki m−1 sisi.
Batas Atas untuk GMST
Batas atas untuk GMST dapat diperoleh dengan mengadaptasi algoritme
Kruskal, algoritme Prim, atau algoritme Sollin. Pada karya ilmiah ini hanya
adaptasi algoritme Prim saja yang diterapkan karena untuk kasus dengan simpul
yang terlalu banyak, algoritme Prim lebih efisien dibandingkan dengan algoritme
yang lain
Adaptasi algoritme Prim dimulai dengan memilih starting node (setiap
pemilihan starting node akan diperoleh hasil yang berbeda-beda). Langkah
selanjutnya sama seperti algoritme Prim (Feremans et al. 2004).

APLIKASI
Listrik merupakan kebutuhan yang sangat penting, namun hingga tahun
2014 masih banyak daerah di Indonesia yang belum teraliri arus listrik, salah
satunya ialah Palangkaraya. Meskipun Palangkaraya merupakan ibukota provinsi
Kalimantan Tengah, namun belum semua kecamatan di Palangkaraya teraliri
listrik, seperti di beberapa kelurahan di Kecamatan Rakumpit (Fathurahman
2014).
Keterangan :
: letak kecamatan yang
ada di Kota
Palangkaraya

Gambar 2 Peta Kota Palangkaraya

6
Sketsa pada Gambar 2 merupakan peta dari Kota Palangkaraya dan letak
kecamatan-kecamatan yang ada di Palangkaraya. Setiap kecamatan memiliki
beberapa kelurahan yang akan ditentukan sebagai lokasi pemasangan gardu induk
listrik dengan asumsi beberapa kelurahan yang dilalui oleh sungai tidak dipilih.
Dari Gambar 2 dapat diperoleh graf sebagai berikut:
G:

Gambar 3 Graf kasus Palangkaraya
Keterangan:
C1
C2
C3
C4
C5
A
B
C
D
E
F
G
H

: Kecamatan Jekan Raya
: Kecamatan Bukit Batu
: Kecamatan Pahandut
: Kecamatan Rakumpit
: Kecamatan Sebangau
: Kelurahan Bukit Tunggal
: Kelurahan Menteng
: Kelurahan Palangka
: Kelurahan Petuk Ketimpun
: Kelurahan Habaring Hurung
: Kelurahan Marang
: Kelurahan Sei Gohong
: Kelurahan Tangkiling

I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T

: Kelurahan Tumbang Tahai

: Kelurahan Langkai
: Kelurahan Pahandut
: Kelurahan Panarung
: Kelurahan Tanjung Pinang
: Kelurahan Bukit Sua
: Kelurahan Pager
: Kelurahan Petuk Berunai
: Kelurahan Bereng Bengkel
: Kelurahan Petuk Bukit
: Kelurahan Kalampangan
: Kelurahan Sabaru

Tabel 1 Beberapa nama kelurahan dan kecamatan di Kota Palangkaraya
Kecamatan Kelurahan
Kecamatan
Kelurahan
Jekan Raya Bukit Tunggal
Pahandut
Pahandut
Menteng
Panarung
Palangka
Tanjung Pinang
Petuk Ketimpun
Rakumpit
Bukit Sua
Habaring
Hurung
Bukit Batu
Pager
Marang
Petuk Berunai
Sei Gohong
Sebangau
Bereng Bengkel
Tangkiling
Petuk Bukit
Tumbang Tahai
Kalampangan
Pahandut
Langkai
Sabaru

7
Data jarak antarkelurahan ditampilkan dalam Lampiran 1.
Penentuan Batas Bawah dan Batas Atas GMST
Penentuan batas bawah
Langkah 1. Graf tak terhubung T

Gambar 4 Graf tak terhubung T
Langkah 2. Sisi pada graf G diurutkan dari jarak terkecil sampai terbesar
(Lampiran 3)
Langkah 3. Berdasarkan Lampiran 3, sisi dengan bobot terkecil adalah CJ dengan
simpul C berada pada cluster C1 dan simpul J berada pada cluster C3,
sehingga dipilih sisi dengan bobot terkecil yaitu C1C3 = 2.2 dan
dimasukkan ke dalam graf T
Langkah 4. Langkah 3 diulangi sampai T memiliki m−1 sisi. Sisi dengan bobot
terkecil berikutnya ialah C1C2 dengan bobot 11.7, C3C5 dengan bobot
12.3, C4C5 dengan bobot 16.4 sehingga didapat batas bawah untuk
GMST sebesar 2.2 + 11.7 + 12.3 + 16.4 = 42.6 km.

Gambar 5 Spanning tree untuk batas bawah GMST

8
Penentuan batas atas
Dalam karya ilmiah ini, penentuan nilai batas atas dilakukan dengan
menentukan spanning tree menggunakan adaptasi dari algoritme Prim. Pada
adaptasi algoritme Prim dimulai dengan memilih starting node (setiap pemilihan
starting node yang berbeda dapat memberi hasil yang berbeda-beda). Misalkan
simpul A dipilih sebagai starting node. Dengan algoritme Prim (Lampiran 2)
didapatkan minimum spanning tree seperti pada gambar berikut:

Gambar 6 Spanning tree untuk batas atas GMST
sehingga didapat nilai batas atas untuk GMST sebesar 98.5 km.
Penyelesaian GMST dengan Metode Heuristik Local Search
Langkah ini dimulai dengan menentukan banyaknya solusi fisibel yang
dihasilkan sebanyak X, sehingga pengulangan dapat dibatasi sebanyak X. Dalam
karya ilmiah ini X = 3 pengulangan.
Iterasi 1.
Langkah 1. Dipilih simpul secara acak dari tiap cluster, misalkan dipilih
simpul B, F, L, N, Q. Karena subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah
dipilih adalah graf terhubung, maka diterapkan algoritme Prim untuk menentukan
MST.

Gambar 7 Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih

9
Dengan algoritme Prim (Lampiran 4) didapatkan MST dengan bobot minimum
sebesar 111.4. Garis yang bercetak tebal pada Gambar 7 merupakan MST.
Langkah 2. Menentukan urutan cluster yang akan dikunjungi secara acak,
misalkan C1, C2, C3, C4, C5.
Langkah 3. Mengunjungi sebuah cluster dan mengganti setiap simpulnya
yang memberikan nilai MST lebih kecil sehingga tree saat ini diperbarui.
Kunjungan ke-1 (C1)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 5) didapat MST dengan bobot sebesar 110.9
seperti pada gambar berikut:

Gambar 8 MST pada kunjungan ke-1
Kunjungan ke-2 (C2)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 6) didapat MST dengan bobot sebesar 108.2
seperti pada gambar berikut:

Gambar 9 MST pada kunjungan ke-2

10
Kunjungan ke-3 (C3)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 7) didapat MST dengan bobot sebesar 101.6
seperti pada gambar berikut:

Gambar 10 MST pada kunjungan ke-3
Kunjungan ke-4 (C4)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 8) didapat MST dengan bobot sebesar 94.9
seperti pada gambar berikut:

Gambar 11 MST pada kunjungan ke-4
Kunjungan ke-5 (C5)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 9) didapat MST dengan bobot sebesar 91.4
seperti pada gambar berikut:

11

Gambar 12 MST pada kunjungan ke-5
Dari hasil perhitungan pada iterasi pertama didapatkan solusi fisibel dengan nilai
91.4.

`

Iterasi 2.
Langkah 1. Misalkan dipilih simpul D, G, K, O, S

Gambar 13 Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih
Dengan algoritme Prim (Lampiran 10) didapatkan MST dengan bobot minimum
sebesar 109.1. Garis yang bercetak tebal merupakan MST.
Langkah 2. Menentukan urutan cluster yang akan dicari secara acak,
misalkan C1, C2, C3, C4, C5.
Langkah 3. Lakukan seperti langkah 3 pada iterasi 1.

12
Kunjungan ke-1 (C1)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 11) didapat MST dengan bobot sebesar 104
seperti pada gambar berikut:

Gambar 14 MST pada kunjungan ke-1
Kunjungan ke-2 (C2)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 12) didapat MST dengan bobot sebesar 96.9
seperti pada gambar berikut:

Gambar 15 MST pada kunjungan ke-2
Kunjungan ke-3 (C3)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 13) didapat MST dengan bobot sebesar 91.1
seperti pada gambar berikut:

13

Gambar 16 MST pada kunjungan ke-3
Kunjungan ke-4 (C4)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 14) tidak didapatkan jarak yang lebih kecil dari
91.1 maka tree tidak diperbarui.
Kunjungan ke-5 (C5)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 15) didapat MST dengan bobot sebesar 90.7
seperti pada gambar berikut:

Gambar 17 MST pada kunjungan ke-5
Dari hasil perhitungan pada iterasi kedua didapatkan solusi fisibel dengan nilai
91.1
Iterasi 3.
Langkah 1. Misalkan dipilih simpul D, I, M, O, R

14

Gambar 18 Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih
Dengan algoritme Prim (Lampiran 16) didapatkan MST dengan bobot minimum
sebesar 94.8. Garis yang bercetak tebal merupakan MST.
Langkah 2. Menentukan urutan cluster yang akan dicari secara acak,
misalkan C1, C2, C3, C4, C5.
Langkah 3. Lakukan seperti langkah 3 pada iterasi 1.
Kunjungan ke-1 (C1)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 17) didapat MST dengan bobot sebesar 86.9
seperti pada gambar berikut:

Gambar 19 MST pada kunjungan ke-1

15
Kunjungan ke-2 (C2)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 18) didapat MST dengan bobot sebesar 83.9
seperti pada gambar berikut:

Gambar 20 MST pada kunjungan ke-2
Kunjungan ke-3 (C3)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 19) didapat MST dengan bobot sebesar 72.8
seperti pada gambar berikut:

Gambar 21 MST pada kunjungan ke-3
Kunjungan ke-4 (C4)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 20) tidak didapatkan jarak yang lebih kecil dari
72.8 maka tree tidak diperbarui.
Kunjungan ke-5 (C5)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 21) tidak didapatkan jarak yang lebih kecil dari
72.8 maka tree tidak diperbarui.

16
Dari hasil perhitungan pada iterasi ketiga didapatkan solusi dengan nilai
72.8. Dari ketiga iterasi yang dilakukan, solusi pada iterasi ketiga yang memiliki
nilai minimum, sehingga simpul yang dipilih adalah simpul C, F, J, O, R dengan
gambar seperti pada Gambar 21. Solusi ini berada pada selang antara batas bawah
yaitu 42.6 dan batas atas yaitu 98.5. Ini berarti akan dibangun gardu induk listrik
di Kelurahan Palangka Kecamatan Jekan Raya, Kelurahan Marang Kecamatan
Bukit Batu, Kelurahan Langkai Kecamatan Pahandut, Kelurahan Pager
Kecamatan Rakumpit, Kelurahan Petuk Bukit Kecamatan Sebangau. Jika iterasi
yang dilakukan lebih banyak, maka solusi yang didapat akan lebih baik dan
mendekati nilai batas bawah.

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah Generalized Minimum Spanning Tree (GMST) dapat diselesaikan
menggunakan metode heuristik Local Search. Telah diperlihatkan bahwa masalah
GMST dapat diterapkan pada penentuan lokasi gardu induk listrik di Kota
Palangkaraya. Hasil yang didapat yaitu akan dibangun gardu induk listrik di
Kelurahan Palangka Kecamatan Jekan Raya, Kelurahan Marang Kecamatan Bukit
Batu, Kelurahan Langkai Kecamatan Pahandut, Kelurahan Pager Kecamatan
Rakumpit, Kelurahan Petuk Bukit Kecamatan Sebangau.
Saran
Jika ada yang ingin mendalami karya ilmiah ini, disarankan untuk
menggunakan metode lain seperti algoritme genetika dan membangun software
yang dapat menerapkan metode heuristik local search.

DAFTAR PUSTAKA
Balakrishnan VK. 1997. Schaum’s Outline of Theory and Problems of Graph
Theory. New York (US): McGraw-Hill.
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New
York (US): McGraw-Hill.
Chartrand G, Zhang P. 2009. Chromatic Graph Theory. London (GB): CRC Pr.
Dror M, Haoari M, Chaouachi J. 2000. Generalized spanning trees. Eur. J. Oper.
Res. 120:583-592.doi:10.1016/S0377221799000065.
Fathurahman. 2014 Maret 26. Hingga kini listrik PLN belum masuk di Rakumpit.
Banjarmasin Post.
Feremans C, Labbe M, Laporte G. 2002. A comparative analysis of several
formulations for the generalized minimum spanning tree problem.
Networks 39:29-34.doi:10.1002/net.10009.

17
Feremans C, Labbe M, Laporte G. 2004. The generalized minimum spanning tree
problem: Polyhedral analysis and branch and cut algorithm. Networks
43:71-86.doi:10.1002/net.10105.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Springer
Publishing.
Golden B, Raghavan S, Staanojevic D. 2005. Heuristic search for the generalized
minimum
spanning
tree.
Informs.
17(3):290-304.doi:10.1287
/ijoc.1040.0077.
Myung YS, Lee CH, Tcha DW. 1995. On the generalized minimum spanning tree
problem. Networks 26:231-241.doi:10.1002/net.3230260407.
Pop PC. 2002. The generalized minimum spanning tree problem. [tesis]. Twente
(ID): University of Twente.
Raghavan S. 2002. On modeling the generalized minimum spanning tree.
Technical report. The Robert H. Smith School of Business, University of
Maryland, College Park, MD.
Vasudev C. 2006. Graph Theory with Application. New Delhi (IN): New Age
International.

18

Lampiran 1 Data jarak antar kelurahan (km)
Kelurahan

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

A

-

-

-

-

30.0

11.7

33.9

24.6

21.3

18.3

20.2

23.6

29.4

67.3

61.9

63.3

37.9

45.5

34.8

34.4

B

-

-

-

-

41.3

23.0

45.2

35.9

32.6

3.7

5.7

7.1

12.9

78.6

73.2

74.6

21.3

56.8

18.2

17.8

C

-

-

-

-

38.7

20.4

42.6

33.3

30.0

2.2

4.1

8.8

13.3

76.0

70.6

72.0

21.7

54.2

18.6

18.2

D

-

-

-

-

32.1

13.9

36.1

26.7

23.5

16.6

15.7

21.9

27.7

69.5

64.1

65.4

36.1

47.7

33.0

32.6

E

30.0

41.3

38.7

32.1

-

-

-

-

-

40.5

42.4

45.8

51.6

52.9

47.5

48.9

60.0

31.1

57.0

56.6

F

11.7

23.0

20.4

13.9

-

-

-

-

-

22.2

24.1

27.5

33.3

60.0

51.0

51.6

41.8

33.8

38.7

38.3

G

33.9

45.2

42.6

36.1

-

-

-

-

-

44.5

46.4

49.8

55.6

40.9

35.5

36.9

64.0

19.2

60.9

61.6

H

24.6

35.9

33.3

26.7

-

-

-

-

-

35.1

37.0

40.4

46.2

44.4

37.7

38.7

54.6

21.0

51.6

51.2

I

21.3

32.6

30.0

23.5

-

-

-

-

-

31.8

33.7

37.1

42.9

49.0

43.6

45.0

51.4

27.2

48.3

47.9

J

18.3

3.7

2.2

16.6

40.5

22.2

44.5

35.1

31.8

-

-

-

-

77.8

72.4

73.8

21.0

56.1

17.9

17.5

K

20.2

5.7

4.1

15.7

42.4

24.1

46.4

37.0

33.7

-

-

-

-

79.8

74.4

75.7

24.9

58.0

21.8

21.4

L

23.6

7.1

8.8

21.9

45.8

27.5

49.8

40.4

37.1

-

-

-

-

84.7

79.3

80.7

21.8

63.0

18.8

18.4

M

29.4

12.9

13.3

27.7

51.6

33.3

55.6

46.2

42.9

-

-

-

-

88.9

83.5

84.9

26.0

67.2

23.0

12.3

N

67.3

78.6

76.0

69.5

52.9

60.0

40.9

44.4

49.0

77.8

79.8

84.7

88.9

-

-

-

97.4

21.8

94.3

93.9

O

61.9

73.2

70.6

64.1

47.5

51.0

35.5

37.7

43.6

72.4

74.4

79.3

83.5

-

-

-

92.0

16.4

88.9

88.5

P

63.3

74.6

72.0

65.4

48.9

51.6

36.9

38.7

45.0

73.8

75.7

80.7

84.9

-

-

-

93.3

17.7

90.3

89.9

Q

37.9

21.3

21.7

36.1

60.0

41.8

64.0

54.6

51.4

21.0

24.9

21.8

26.0

97.4

92.0

93.3

-

-

-

-

R

45.5

56.8

54.2

47.7

31.1

33.8

19.2

21.0

27.2

56.1

58.0

63.0

67.2

21.8

16.4

17.7

-

-

-

-

S

34.8

18.2

18.6

33.0

57.0

38.7

60.9

51.6

48.3

17.9

21.8

18.8

23.0

94.3

88.9

90.3

-

-

-

-

T

34.4

17.8

18.2

32.6

56.6

38.3

61.6

51.2

47.9

17.5

21.4

18.4

12.3

93.9

88.5

89.9

-

-

-

-

19
Lampiran 2 Langkah penentuan MST dengan adaptasi algoritme Prim
Langkah 1. Menentukan starting node, pilih simpul A sebagai starting
node.
Langkah 2. Ambil sisi AF, karena sisi AF merupakan sisi terkecil dan
adjacent dengan simpul A. T = {AF}

Iterasi 1:
Langkah 3. Pilih sisi AJ, karena merupakan sisi berbobot minimum yang
adjacent dengan sisi-sisi di �. Sisi FD lebih minimum dari AJ namun A dan D
berada pada satu cluster sehingga sisi yang dipilih yaitu sisi AJ. � = {AF, AJ}

Langkah 4. � memiliki 2 sisi, maka kembali ke Langkah 3.

Iterasi 2:
Langkah 3. Pilih sisi JT, karena merupakan sisi berbobot minimum yang
adjacent dengan sisi-sisi di �. � = {AF, AJ, JT}

Langkah 4. � memiliki 3 sisi, maka kembali ke Langkah 3.

Iterasi 3:
Langkah 3. Pilih sisi FO, karena merupakan sisi berbobot minimum yang
adjacent dengan sisi-sisi di �. � = {AF, AJ, JT, FO}

Langkah 4. � memiliki 4 sisi, maka iterasi berhenti.

20
Lampiran 3 Urutan jarak terkecil sampai terbesar
Sisi
CJ
BJ
CK
BK
BL
CL
AF
MT
BM
CM
DF
DK
OR
DJ
JT
PR
BT
JS
BS
CT
AJ
LT
CS
LS
GR
AK
CF
HR
JQ
AI
BQ
KT
CQ
KS
LQ
NR
DL
FJ
BF
MS
DI
AL
FK
AH
KQ
MQ
DH
IR
FL

Jarak
2.2
3.7
4.1
5.7
7.1
8.8
11.7
12.3
12.9
13.3
13.9
15.7
16.4
16.6
17.5
17.7
17.8
17.9
18.2
18.2
18.3
18.4
18.6
18.8
19.2
20.2
20.4
21.0
21.0
21.3
21.3
21.4
21.7
21.8
21.8
21.8
21.9
22.2
23.0
23.0
23.5
23.6
24.1
24.6
24.9
26.0
26.7
27.2
27.5

Sisi
DM
AM
AE
CI
ER
IJ
DE
BI
DT
DS
CH
FM
IK
FR
AG
AT
AS
HJ
GO
BH
DG
DQ
GP
HK
IL
HO
AQ
FT
CE
FS
HP
HL
EJ
GN
BE
FQ
EK
CG
IM
IO
HN
GJ
IP
BG
AR
EL
HM
GK
EO

Jarak
27.7
29.4
30.0
30.0
31.1
31.8
32.1
32.6
32.6
33.0
33.3
33.3
33.7
33.8
33.9
34.4
34.8
35.1
35.5
35.9
36.1
36.1
36.9
37.0
37.1
37.7
37.9
38.3
38.7
38.7
38.7
40.4
40.5
40.9
41.3
41.8
42.4
42.6
42.9
43.6
44.4
44.5
45.0
45.2
45.5
45.8
46.2
46.4
47.5

Sisi
DR
IT
IS
EP
IN
GL
FO
HT
IQ
EM
FP
HS
EN
CR
HQ
GM
JR
ET
BR
ES
KR
EQ
FN
GS
GT
AO
LR
AP
GQ
DO
DP
MR
AN
DN
CO
CP
JO
BO
JP
KO
BP
KP
CN
JN
BN
LO
KN
LP
MO

Jarak
47.7
47.9
48.3
48.9
49.0
49.8
51.0
51.2
51.4
51.6
51.6
51.6
52.9
54.2
54.6
55.6
56.1
56.6
56.8
57.0
58.0
60.0
60.0
60.9
61.6
61.9
63.0
63.3
64.0
64.1
65.4
67.2
67.3
69.5
70.6
72.0
72.4
73.2
73.8
74.4
74.6
75.7
76.0
77.8
78.6
79.3
79.8
80.7
83.5

21
Sisi
LN
MP
OT
MN

Jarak
84.7
84.9
88.5
88.9

Sisi
OS
PT
PS
OQ

Jarak
88.9
89.9
90.3
92.0

Sisi
PQ
NT
NS
NQ

Jarak
93.3
93.9
94.3
97.4

Lampiran 4 Langkah penentuan MST dengan algoritme Prim pada iterasi 1
Langkah 1. Ambil sisi BL. T = {BL}
Iterasi 1:
Langkah 2. Pilih sisi BQ, karena merupakan sisi berbobot minimum yang
adjacent dengan sisi-sisi di �. � = {BL, BQ}
Langkah 3. � memiliki 2 sisi, maka kembali ke Langkah 2.

Iterasi 2:
Langkah 2. Pilih sisi BF, karena merupakan sisi berbobot minimum yang
adjacent dengan sisi-sisi di �. � = {BL, BQ, BF}
Langkah 3. � memiliki 3 sisi, maka kembali ke Langkah 3.

Iterasi 3:
Langkah 3. Pilih sisi FN, karena merupakan sisi berbobot minimum yang
adjacent dengan sisi-sisi di �. � = {BL, BQ, BF, FN}.
Langkah 4. � memiliki 4 sisi, maka iterasi berhenti.

Lampiran 5 Perhitungan kunjungan 1 (cluster C1) pada iterasi 1




AL + AQ + AF + FN = 23.6 + 37.9 + 11.7 + 60 = 133.2
CL + CQ + CF + FN = 8.8 + 21.7 + 20.4 + 60 = 110.9 < 111.4
DL + DQ + DF + FN = 21.9 + 36.1 + 13.9 + 60 = 131.9

Lampiran 6 Perhitungan kunjungan 2 (cluster C2) pada iterasi 1





CL + CQ + CE + EN = 8.8 + 21.7 + 38.7 + 52.9 = 122.8
CL + CQ + CG + GN = 8.8 + 21.7 + 42.6 + 40.9 = 114
CL + CQ + CH + HN = 8.8 + 21.7 + 33.3 + 44.4 = 108.2 < 110.9
CL + CQ + CI + IN = 8.8 + 21.7 + 30 + 49 = 109.5

Lampiran 7 Perhitungan kunjungan 3 (cluster C3) pada iterasi 1




CJ + CQ + CH + HN = 2.2 + 21.7 + 33.3 + 44.4 = 101.6 < 108.2
CK + CQ + CH + HN = 4.1 + 21.7 + 33.3 + 44.4 = 103.5
CM + CQ + CH + HN = 13.3 + 21.7 + 33.3 + 44.4 = 112.7

Lampiran 8 Perhitungan kunjungan 4 (cluster C4) pada ite