Optimasi Biaya Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop Line Menggunakan Pemrograman Integer Taklinear
OPTIMASI BIAYA OPERASIONAL KERETA API DALAM
SISTEM LOOP LINE MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN
INTEGER TAKLINEAR
NOVARIA YUSRI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Optimasi Biaya
Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop Line Menggunakan Pemrograman
Integer Taklinear adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Novaria Yusri
NIM G54080015
0
ABSTRAK
NOVARIA YUSRI. Optimasi Biaya Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop
Line Menggunakan Pemrograman Integer Taklinear. Dibimbing oleh AMRIL
AMAN dan FARIDA HANUM.
Besarnya permintaan yang menyebabkan terjadinya penumpukan
penumpang di beberapa stasiun merupakan permasalahan utama yang dihadapi
oleh PT KAI Commuter Jabodetabek (KCJ). Salah satu cara untuk memecahkan
permasalahan ini adalah dengan menentukan rute dan frekuensi perjalanan kereta
api yang tepat. Dalam karya ilmiah ini disajikan model pemrograman integer
taklinear untuk menentukan rute dan frekuensi perjalanan kereta api tiap rute
dengan biaya yang optimal. Model ini diimplementasikan pada jaringan rel
Jabodetabek yang disederhanakan. Faktor-faktor yang menjadi parameter pada
model ini mencakup demand penumpang, kapasitas kereta, maksimum perjalanan
tiap rute, dan biaya operasional. Dalam membangun model, pada tahap awal
dilakukan identifikasi semua persyaratan yang harus dipenuhi, selanjutnya semua
persyaratan itu diformulasikan menjadi bentuk persamaan atau pertidaksamaan
linear. Untuk menguji keabsahan model dilakukan pemeriksaan atas sejumlah
skenario. Solusi model diperoleh dengan menggunakan software LINGO 11.0.
Kata kunci: frekuensi perjalanan, pemrograman integer taklinear, rute, sistem
loop line
ABSTRACT
NOVARIA YUSRI. Optimization of Train Operating Costs in Loop Line Systems
Using Nonlinear Integer Programming. Supervised by AMRIL AMAN and
FARIDA HANUM.
High demand for transportation that causes passenger’s congestion in some
stations is one of the main problems faced by PT KAI commuter Jabodetabek
(KCJ). This problem can be solved by determining optimal routes and frequencies
of the trains. This paper presents a model to determine routes and travelling
frequency for each route in order to minimize the total cost. The problem is
modelled as a nonlinear integer programming. This model is implemented in
Jabodetabek railway network that have been simplified. The parameters of the
model include the demand of passengers, the capacity of trains, maximum
travelling of train for each route, and operational costs. Developing model is
started with identification of all the requirements of the system. All of the
requirements then are formulated as linear equalities or inequalities. Ensuring the
validity of model is done via solving several scenarios using the model. The
solution of the model is obtained using LINGO 11.
Keywords: integer nonlinear programming, loop line systems, route, travelling
frequency
1
OPTIMASI BIAYA OPERASIONAL KERETA API DALAM
SISTEM LOOP LINE MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN
INTEGER TAKLINEAR
NOVARIA YUSRI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
2
3
Judul Skripsi : Optimasi Biaya Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop Line
Menggunakan Pemrograman Integer Taklinear
Nama
: Novaria Yusri
NIM
: G54080015
Disetujui oleh
Dr Ir Amril Aman, MSc
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
4
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah
Optimasi Biaya Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop line Menggunakan
Pemrograman Integer Taklinear.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir Amril Aman, MSc dan Dra
Farida Hanum, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran. Selain
itu, ungkapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada Drs Prapto Tri Supriyo,
MKom selaku dosen penguji. Ungkapan terima kasih disampaikan kepada papa
dan ibu atas segala kasih sayang, dukungan, kepercayaan, kesabaran, dan doanya.
Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada keluarga yang selalu
mendoakan, seluruh dosen atas ilmu yang diberikan, staf pegawai, teman-teman
Matematika 45 dan 46, teman-teman Cempaka B, teman-teman Pondok Cahaya
dan teman-teman Hikapemaka Bogor atas bantuannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013
Novaria Yusri
5
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Istilah dalam Perkeretaapian
2
Integer Programming (IP)
3
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Deskripsi Masalah
3
Formulasi Masalah
4
STUDI KASUS
Formulasi Model Matematika
Pengujian Model
SIMPULAN DAN SARAN
6
8
10
17
Simpulan
17
Saran
17
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
37
6
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
Rute
Realisasi demand penumpang terangkut Skenario 1
Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 1
Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 2
Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 3
Frekuensi perjalanan setiap rute Skenario 4
Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 4
7
11
11
13
14
15
16
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
Perlintasan sebidang
Jaringan rel kereta
Segmen
Rute kereta yang dihasilkan Skenario 1
Rute kereta yang dihasilkan Skenario 2
Rute kereta yang dihasilkan Skenario 3
Rute kereta yang dihasilkan Skenario 4
2
6
8
11
12
13
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
Data hipotetik demand penumpang dari stasiun asal ke stasiun tujuan
Syntax program pada Lingo 11.0
Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 1
Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 2
Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 3
Realisasi demand penumpang terangkut Skenario 3
Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 4
18
19
24
25
26
28
30
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Jakarta merupakan ibu kota negara Indonesia. Kota ini memiliki lapangan
pekerjaan yang cukup banyak sehingga tidak hanya penduduk ibu kota saja yang
bekerja di kota ini melainkan warga sekitar Jakarta seperti Tangerang, Depok,
Bekasi, dan Bogor. Mobilitas penduduk sangat tinggi sehingga dibutuhkan alat
transportasi darat yang efisien dan efektif.
Salah satu alat transportasi yang digunakan adalah kereta api. Peraturan
Pemerintah Nomor 69 Tahun 1998 tentang Prasarana dan Sarana Kereta Api
menyebutkan bahwa moda transportasi kereta api memiliki karakteristik dan
keunggulan khusus. Beberapa keunggulan dari kereta api adalah kemampuannya
dalam mengangkut baik penumpang maupun barang secara massal, hemat energi,
hemat dalam penggunaan ruang, memiliki faktor keamanan yang tinggi, tingkat
pencemaran yang rendah, serta lebih efisien untuk angkutan jarak jauh.
PT KAI Commuter Jabodetabek (KCJ) adalah salah satu anak perusahaan di
lingkungan PT KERETA API (Persero) yang melayani wilayah Jabodetabek. Saat
ini PT KCJ menggunakan KRL dengan sistem loop line yang membagi perjalanan
menjadi 6 rute. Berdasarkan keterangan PT KCJ, 6 rute tersebut ialah Jakarta
Kota-Bogor, Jakarta Kota-Jatinegara, Jakarta Kota-Tanjung Priok, Parung
Panjang-Tanah Abang, Duri-Tangerang, dan Jakarta Kota-Bekasi. Pada sistem ini
dikenal adanya stasiun transit yang berfungsi melanjutkan perjalanan menuju
stasiun lain yang terletak pada rute yang berbeda. Pada kenyataannya, masih
terdapat beberapa permasalahan yang dihadapi oleh KCJ. Salah satunya
penumpukan penumpang di beberapa stasiun, terutama pada pagi dan sore hari
yang merupakan waktu pergi dan pulang kerja. Selain itu, masih terdapat
beberapa penumpang yang naik di atap gerbong sehingga dapat membahayakan
keselamatan para penumpang.
Permasalahan ini dapat diatasi dengan menambah jumlah kereta api atau
menambah frekuensi perjalanan kereta. Penambahan jumlah kereta membutuhkan
biaya yang jauh lebih besar dibandingkan dengan penambahan frekuensi
perjalanan kereta sehingga untuk mengatasi masalah tersebut biasanya dilakukan
dengan cara menambah frekuensi perjalanan kereta api tiap rute. Penentuan rute
dilakukan terlebih dahulu agar diperoleh hasil yang optimal. Permasalahan ini
dapat dimodelkan dengan integer nonlinear programming. Data yang digunakan
pada karya ilmiah ini adalah data hipotetik.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan rute dan frekuensi perjalanan
kereta api yang digunakan untuk setiap rute agar diperoleh biaya operasional yang
minimum menggunakan integer nonlinear programming.
2
LANDASAN TEORI
Untuk membuat model optimasi biaya operasional kereta api diperlukan
pemahaman mengenai beberapa istilah dalam perkeretaapian, integer
programming (IP).
Istilah dalam Perkeretaapian
Sistem Loop Line
Menurut Novena dan Widiyanto (2011) sistem loop line ialah sistem dalam
perkeretaapian sehingga penumpang tidak hanya bergerak dari titik keberangkatan
ke titik tujuan tetapi berputar dahulu ke stasiun lain. Pada sistem ini, dikenal
adanya stasiun transit yang berfungsi sebagai tempat peralihan untuk melanjutkan
perjalanan menuju stasiun lain yang terletak pada rute yang berbeda. Misalkan
penumpang dari Bogor ingin menuju Stasiun Bekasi. Stasiun Bogor berada pada
Rute Bogor-Jakarta Kota, sedangkan Stasiun Bekasi berada pada Rute Jakarta
Kota-Bekasi. Penumpang tersebut terlebih dahulu harus naik kereta di Stasiun
Bogor yang melintasi Rute Jakarta Kota-Bogor lalu berhenti di Stasiun Manggarai
(stasiun transit). Dari Stasiun Manggarai, penumpang tersebut akan melanjutkan
perjalanan menggunakan kereta api yang melintasi Rute Jakarta Kota-Bekasi dan
turun di Stasiun Bekasi.
Setiap rute terdiri dari beberapa segmen. Segmen ialah jalan rel yang
menghubungkan suatu stasiun dengan stasiun berikutnya yang berdekatan.
Misalkan Stasiun Ancol berdekatan dengan Stasiun Tanjung Priok. Jadi segmen
ialah jalan rel yang menghubungkan Stasiun Ancol dan Stasiun Tanjung Priok.
Jalur Ganda
Menurut D’Ariano (2008) jalur ganda ialah dua jalur yang dapat digunakan
kereta api dengan arah yang sama atau berlawanan.
Perlintasan Sebidang dan Headway
Menurut Peraturan Direktur Jenderal Perhubungan Darat Nomor 770
tentang Pedoman Teknis Perlintasan Sebidang antara Jalan dengan Jalur Kereta
Api, perlintasan sebidang ialah perpotongan sebidang antara jalur kereta api
dengan jalan. Perlintasan sebidang membuat headway perjalanan kereta tidak bisa
diminimumkan. Headway ialah selang waktu keberangkatan antara satu kereta api
dengan kereta api berikutnya.
Gambar 1 Perlintasan sebidang
3
Integer Programming (IP)
Menurut Winston (2004) integer programming merupakan suatu
pemrograman linear yang sebagian atau semua variabel yang digunakan
merupakan integer taknegatif. Ada 3 jenis IP, yaitu:
1 Pure integer programming (PIP), jika suatu IP menggunakan semua variabel
yang berupa integer.
2
Mixed integer programming (MIP), jika suatu IP menggunakan sebagian saja
variabel yang integer.
3
0-1 IP, jika suatu IP menggunakan variabel 0 atau 1.
Pemrograman taklinear tidak jauh berbeda dengan pemrograman linear yang
terdiri atas fungsi objektif dan kendala umum. Perbedaannya adalah pemrograman
taklinear memiliki paling sedikit satu fungsi taklinear yang bisa menjadi fungsi
objektif atau kendalanya. Model pemrograman matematika taklinear dengan
variabel keputusannya berupa integer disebut model integer nonlinear
programming (INLP).
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah
Rute kereta api membentuk jaringan yang terdiri dari stasiun dan jalur. Jalur
yang digunakan ialah jalur ganda untuk setiap rute. Setiap rute memiliki stasiun
awal keberangkatan dan stasiun akhir pemberhentian. Kereta berangkat dari
stasiun awal dan berhenti di setiap stasiun yang dilewatinya sampai di stasiun
akhir pemberhentian. Kereta tersebut akan kembali lagi menuju stasiun awal
keberangkatan. Arah kereta yang bergerak dari stasiun awal keberangkatan
menuju stasiun akhir pemberhentian dinamakan Arah 1, sedangkan Arah 2
merupakan arah kereta yang bergerak dari stasiun akhir pemberhentian menuju
stasiun awal keberangkatan. Setiap rute memiliki beberapa segmen yang
menghubungkan satu stasiun dengan satu stasiun berikutnya.
Pada jaringan kereta api dikenal adanya stasiun transit yang berfungsi
sebagai tempat peralihan untuk melanjutkan perjalanan menuju stasiun lain yang
terletak pada rute yang berbeda. Penumpang yang turun di stasiun transit ialah
penumpang transit dan penumpang yang tujuan akhirnya stasiun tersebut.
Penumpang transit akan melanjutkan perjalanan menggunakan kereta yang
berbeda menuju stasiun yang diinginkan, sedangkan penumpang yang turun di
suatu stasiun (kecuali stasiun transit) merupakan penumpang yang tujuan akhirnya
ialah stasiun tersebut.
Jaringan rel kereta api Jabodetabek memiliki 63 stasiun, 6 rute serta 5
stasiun transit yaitu Manggarai, Duri, Tanah Abang, Kampung Bandan, Jatinegara
(Kompas 2011). PT KCJ memiliki 454 unit gerbong kereta Commuter dan 188
unit gerbong Ekonomi. Setiap kereta Commuter dan setiap kereta Ekonomi terdiri
dari 8 gerbong. Berdasarkan keterangan dari PT KCJ, kapasitas untuk setiap
gerbong adalah 150 orang (60 orang duduk, 90 orang berdiri) sehingga kapasitas
kereta adalah 1200 orang.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Untuk membatasi permasalahan, maka digunakan beberapa asumsi, yaitu:
tidak ada kereta yang mengalami kerusakan,
kecepatan kereta konstan,
tidak ada gangguan di perjalanan,
perlintasan sebidang tidak diperhatikan,
jaringan rel kereta yang digunakan ialah jaringan rel Jabodetabek yang telah
disederhanakan dan kereta hanya berjalan di dalam jaringan rel tersebut,
jalur yang digunakan adalah jalur ganda,
hanya satu jenis kereta yang digunakan, yaitu Commuter,
banyaknya kereta yang tersedia selalu mencukupi kebutuhan,
hanya 20 stasiun yang dibahas dan hanya terdapat 3 stasiun transit, yaitu
Manggarai, Jatinegara, dan Tanah Abang,
stasiun-stasiun untuk setiap rute telah ditetapkan sehingga analisis hanya
dibatasi untuk pemilihan rute saja,
tempat penumpang yang disediakan di kereta harus lebih besar dari 90%
demand penumpang yang ada pada setiap segmen. Artinya kereta tidak
selalu terisi 100%, sehingga masih ada tempat yang disediakan untuk
mengantisipasi jika ada penambahan demand penumpang,
untuk menghindari terjadinya penumpukan penumpang, maka minimum
90% demand penumpang harus diangkut dari setiap stasiun asal ke setiap
stasiun tujuan.
Formulasi Masalah
Berdasarkan data dan analisis yang didapatkan, maka dapat dibuat formulasi
masalah tersebut ke dalam bentuk integer nonlinear programming (INLP). Bentuk
formulasi masalah tersebut ialah sebagai berikut.
Indeks
, = stasiun;
= rute;
, u = arah;
w = segmen;
, = 1,2, … ,
= 1,2, … ,
, = 1,2
= 1,2, … ,
Parameter
�
= demand penumpang dari stasiun asal i ke stasiun tujuan j
�
= demand penumpang yang ingin melewati segmen w
= biaya perjalanan pada rute
= biaya pemeliharaan rute
kap
= kapasitas satu kereta
�
= maksimum frekuensi perjalanan pada rute
M
= bilangan positif yang nilainya relatif besar
Variabel Keputusan
= realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j
5
�
xk
= banyaknya penumpang di kereta pada segmen w
= frekuensi perjalanan kereta pada rute dan arah
= frekuensi perjalanan kereta pada segmen w
= frekuensi perjalanan kereta pada rute k
1, jika rute digunakan
=
0, selainnya
Himpunan
= himpunan pasangan stasiun (i,j) yang melewati segmen w
= himpunan pasangan rute k dan arah v, yaitu (k,v), yang melewati segmen
w
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan biaya operasional
dengan mengatur frekuensi perjalanan kereta api yang dikalikan dengan biaya
perjalanan untuk satu kali perjalanan pada setiap rute dan biaya pemeliharaan
pada setiap rute jika rute tersebut digunakan. Fungsi objektif masalah ini ialah:
Minimumkan ( 2 =1 =1
× � + =1 × )
Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut :
1
Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j minimal 90% dari demand.
90% �
� ,
= 1,2, … , ,
= 1,2, … , .
2
Jumlah penumpang di kereta pada segmen w ialah akumulasi dari realisasi
demand yang terangkut dari setiap stasiun asal i ke setiap stasiun tujuan j.
= 0,
(, )∈
,
= 1,2, … , .
− =1 =1
3
Banyaknya penumpang di kereta pada segmen w merupakan minimum dari
demand penumpang yang ingin melewati segmen w dan total kapasitas
kereta.
= min {� , (
× )} ,
= 1,2, … , .
4
Banyaknya tempat yang disediakan untuk penumpang di kereta, harus lebih
besar atau sama dengan 90% demand penumpang yang ingin melewati
segmen w.
90% �
×
,
= 1,2, … , .
5
Jika terdapat perjalanan kereta pada suatu rute maka rute tersebut
digunakan.
� –M
≤ 0,
= 1,2, … , ,
= 1,2.
6
Kereta harus bolak-balik sehingga frekuensi perjalanan kereta pada rute k
selalu sama untuk semua arah.
� − � = 0,
= 1,2, … , ,
= 1,2,
= 1,2, ≠ .
7
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute tidak boleh melebihi frekuensi
perjalanan maksimum.
2
�
,
= 1,2, … , .
=1 �
8
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute ialah akumulasi perjalanan dari
semua arah.
2
= 0,
= 1,2, … , .
=1 � −
6
9
10
11
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w ialah akumulasi dari semua
frekuensi perjalanan kereta pada rute dan arah v yang melewati segmen w.
− 2 =1 =1 � = 0,
( , )∈ ,
= 1,2, … , .
Kendala ketaknegatifan memastikan bahwa:
Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j, lebih besar atau sama dengan nol.
0,
= 1,2, … , ,
= 1,2, … , .
Frekuensi perjalanan kereta pada rute k, lebih besar atau sama dengan nol.
0,
= 1,2, … , .
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w, lebih besar atau sama dengan
nol.
0
= 1,2, … , .
Frekuensi perjalanan kereta pada rute k dan arah v, lebih besar atau sama
dengan nol.
� ≥ 0,
= 1,2, … , ,
= 1,2.
Jumlah penumpang di kereta pada segmen w harus lebih besar atau sama
dengan nol.
≥ 0,
= 1,2, … , .
Kendala biner:
∈{0,1},
= 1,2, … , .
STUDI KASUS
11
12
20
1
17
10
18
2
14
13
3
7
15
8
19
4
16
5
9
6
Gambar 2 Jaringan rel kereta
Keterangan:
1 Jakarta Kota
2 Gambir
3 Manggarai
4 Tanjung Barat
5 Depok
6 Bogor
7 Jatinegara
8 Klender Baru
9 Bekasi
10 Pasar Senen
11 Ancol
12 Tanjung Priok
13 Sudirman
14 Tanah Abang
15 Serpong
16 Parung Panjang
17 Duri
18 Kali Deres
19 Tangerang
20 Rajawali
7
Misalkan jaringan rel kereta memiliki 20 stasiun dengan 38 segmen.
Gambar jaringan dapat dilihat pada Gambar 2. Angka di setiap simpul atau
verteks menyatakan stasiun. Lingkaran yang berwarna merah menyatakan stasiun
awal keberangkatan atau stasiun akhir pemberhentian. Misalkan Stasiun 1, 6, 9,
19, 20 ialah stasiun awal keberangkatan dan Stasiun 6, 9, 12, 16, 19, 20 ialah
stasiun akhir pemberhentian.
Jaringan tersebut memiliki 16 rute yang dapat dilihat di Tabel 1. Perjalanan
kereta dimulai dari stasiun awal keberangkatan sampai ke stasiun akhir
pemberhentian kemudian kembali ke stasiun awal keberangkatan untuk setiap
rutenya. Pada setiap rute, kereta harus berhenti di setiap stasiun yang ada pada
rute tersebut secara berurutan. Data biaya perjalanan untuk 1 kali perjalanan pada
setiap rute, data biaya pemeliharaan untuk setiap rute, data maksimum perjalanan
kereta yang dapat dilakukan untuk setiap rute merupakan data hipotetik yang
terdapat pada Tabel 1. Kereta beroperasi pada pukul 05:00-22:00 yaitu selama 17
jam (1020 menit). Maksimum perjalanan untuk setiap rute ialah lama kereta
beroperasi dibagi headway (6 menit) yaitu 170.
Tabel 1 Rute
Rute
Stasiun yang dilewati
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1,2,3,4,5,6
1,2,3,13,14,15,16
1,2,3,13,14,17,18,19
1,2,3,7,8,9
1,2,3,7,10,20
1,11,12
6,5,4,3,13,14,17,18,19
6,5,4,3,13,14,15,16
6,5,4,3,7,10,20
6,5,4,3,7,8,9
9,8,7,10,20
9,8,7,3,13,14,15,16
9,8,7,3,13,14,17,18,19
20,10,7,3,13,14,15,16
20,10,7,3,13,14,17,18,19
19,18,17,14,15,16
Biaya 1 kali
perjalanan
(dalam ribu
rupiah)
9.766
9.615
10.233
6.838
6.569
2.340
15.992
15.374
12.327
12.596
6.589
12.153
12.876
11.849
12.606
11.442
Biaya
pemeliharaan
(dalam ribu
rupiah)
55.000
54.000
57.000
38.000
37.000
13.000
90.000
86.000
69.000
70.000
37.000
68.000
72.000
66.000
70.000
64.000
Maksimum
perjalanan
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
Setiap segmen dilewati oleh kereta yang bergerak melalui rute yang berbeda
pada arah tertentu. Dalam jaringan rel kereta ini terdapat 38 segmen seperti
terlihat pada Gambar 3.
Penumpang di dalam kereta yang melewati suatu segmen, merupakan
penumpang yang stasiun asalnya berada sebelum segmen tersebut dan stasiun
tujuannya berada setelah segmen tersebut. Demand penumpang yang ingin
melewati Segmen 1 diperoleh dengan cara menjumlahkan demand penumpang
dari Stasiun asal 12, 11, 1 dan stasiun tujuannya adalah semua stasiun yang ada
pada jaringan kereta (kecuali Stasiun 12, 11, 1). Penghitungan demand
penumpang yang ingin melewati segmen-segmen lain diperoleh dengan cara yang
sama.
8
Gambar 3 Segmen
Formulasi Model Matematika
Dalam studi kasus ini terdapat 20 stasiun, 38 segmen, serta 16 rute dan
kapasitas kereta adalah 1200 orang.
Indeks
, = stasiun;
, = 1,2, … ,20
= rute;
= 1,2, … ,16
, u = arah;
, = 1,2
w = segmen;
= 1,2, … ,38
Parameter
�
= demand penumpang dari stasiun asal i ke stasiun tujuan j
�
= demand penumpang yang ingin melewati segmen w
= biaya perjalanan pada rute
= biaya pemeliharaan rute
kap
= kapasitas satu kereta
�
= maksimum frekuensi perjalanan pada rute
= bilangan positif yang nilainya relatif besar dalam kasus ini, M =100000
Variabel Keputusan
= realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j
= banyaknya penumpang di kereta pada segmen w
�
= frekuensi perjalanan kereta pada rute dan arah v
= frekuensi perjalanan kereta pada segmen w
9
xk
= frekuensi perjalanan kereta pada rute k
1, jika rute digunakan
=
0, selainnya
Himpunan
= himpunan pasangan stasiun (i,j) yang melewati segmen w
= himpunan pasangan rute k dan arah v, yaitu (k,v), yang melewati segmen
w
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan biaya operasional
dengan mengatur frekuensi perjalanan kereta api yang dikalikan dengan biaya
perjalanan untuk satu kali perjalanan pada setiap rute dan biaya pemeliharaan
pada setiap rute jika rute tersebut digunakan. Fungsi objektif masalah ini ialah:
Minimum ( 2 =1 16=1
× � + 16=1 × )
Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut :
1
Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j minimal 90% dari demand.
90% �
� ,
= 1,2, … ,20,
= 1,2, … ,20.
2
Jumlah penumpang di kereta pada segmen w ialah akumulasi dari realisasi
demand yang terangkut dari setiap stasiun asal i ke setiap stasiun tujuan j.
= 0,
(, )∈
,
= 1,2, … ,38.
− 20=1 20=1
3
Banyaknya penumpang di kereta pada segmen w merupakan minimum dari
demand penumpang yang ingin melewati segmen w dan total kapasitas
kereta.
=min {� , (
× )} ,
= 1,2, … ,38.
4
Banyaknya tempat yang disediakan untuk penumpang di kereta, harus lebih
besar atau sama dengan 90% demand penumpang yang ingin melewati
segmen w.
90% �
×
,
= 1,2, … ,38.
5
Jika terdapat perjalanan kereta pada suatu rute maka rute tersebut
digunakan.
� –M
≤ 0,
= 1,2, … ,16,
= 1,2.
6
Kereta harus bolak-balik sehingga frekuensi perjalanan kereta pada rute k
selalu sama untuk semua arah.
� − � = 0,
= 1,2, … ,16,
= 1,2
= 1,2,
≠ .
7
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute tidak boleh melebihi frekuensi
perjalanan maksimum.
2
�
,
= 1,2, … ,16.
=1 �
8
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute ialah akumulasi perjalanan
dari semua arah.
2
= 0,
= 1,2, … ,16.
=1 � −
9
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w ialah akumulasi dari semua
frekuensi perjalanan kereta pada rute dan arah v yang melewati segmen w.
( , )∈ ,
= 1,2, … ,38.
− 2 =1 16=1 � = 0,
10
10
11
Kendala ketaknegatifan memastikan bahwa:
Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j, lebih besar atau sama dengan nol.
0,
= 1,2, … ,20,
= 1,2, … ,20.
Frekuensi perjalanan kereta pada rute k, lebih besar atau sama dengan nol.
0,
= 1,2, … ,20.
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w, lebih besar atau sama dengan nol.
≥ 0,
= 1,2, … ,38.
Frekuensi perjalanan kereta pada rute k dan arah v, lebih besar atau sama
dengan nol.
� ≥ 0,
= 1,2, … ,16,
= 1,2.
Jumlah penumpang di kereta pada segmen w harus lebih besar atau sama
dengan nol.
≥ 0,
= 1,2, … ,38.
Kendala biner:
∈{0,1},
= 1,2, … ,16.
Pengujian Model
Model di atas akan diujikan ke dalam beberapa skenario dengan
menggunakan data demand penumpang yang terdapat pada Lampiran 1 dan
diselesaikan dengan bantuan software LINGO 11.0. Syntax LINGO dapat dilihat
di Lampiran 2. Pada Skenario 1 akan diujikan bahwa rute yang dipilih ialah rute
yang mempunyai biaya operasional yang paling kecil, pada Skenario 2 diujikan
bahwa rute yang dipilih ialah rute yang memiliki demand penumpang, pada
Skenario 3 akan diujikan bahwa terdapat penumpang yang transit, dan pada
Skenario 4 akan dipilih rute-rute yang meminimumkan biaya operasional dengan
demand penumpang terdapat dari setiap stasiun asal ke setiap stasiun tujuan.
Skenario 1
Demand penumpang hanya terdapat dari Stasiun 1 ke Stasiun 2 dan dari
Stasiun 2 ke Stasiun 1, selainnya demand penumpang bernilai nol. Stasiun 1, 2
berada pada Rute 1, 2, 3, 4, dan 5. Biaya operasional yang paling kecil adalah
biaya operasional Rute 5.
Hasil komputasi Skenario 1 dengan software LINGO 11.0 pada Lampiran 3
diperoleh bahwa rute yang dipilih ialah Rute 5. Biaya yang digunakan adalah
63.276.000 rupiah. Stasiun-stasiun yang berada pada rute tersebut ialah Stasiun 1,
2, 3, 7, 10, dan 20 yang diilustrasikan oleh Gambar 4. Frekuensi perjalanan kereta
yang melewati Rute 5 pada Arah 1 sama dengan frekuensi perjalanan kereta yang
melewati Rute 5 pada Arah 2 yaitu 2. Jadi frekuensi perjalanan kereta yang
melewati Rute 5 adalah 4. Frekuensi perjalanan ini, tidak melebihi frekuensi
perjalanan maksimum sebanyak 170.
11
20
1
Keterangan:
Rute 5 :
2
3
10
7
Gambar 4 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 1
Pada Tabel 2 dapat dilihat bahwa realisasi demand penumpang terangkut
tidak melebihi demand penumpang yang ada. Demand penumpang yang terangkut
juga selalu lebih besar atau sama dengan 90% demand yang ada.
Tabel 2 Realisasi demand penumpang terangkut Skenario 1
Realisasi demand
Stasiun asal – stasiun
Demand
tujuan
penumpang
terangkut
Persentase (%)
1-2
2600
2400
92
2-1
1871
1871
100
Jumlah
4471
4271
96
Tabel 3 dapat dilihat bahwa banyaknya penumpang yang ada di kereta untuk
setiap segmen tidak melebihi total kapasitas kereta yang melewati segmen
tersebut. Total kapasitas adalah kapasitas kereta dikalikan dengan frekuensi
perjalanan kereta yang melewati suatu segmen. Selain itu banyaknya penumpang
di kereta pada setiap segmen yang dilewati oleh kereta selalu lebih kecil atau sama
dengan demand penumpang pada segmen tersebut. Utilitas adalah banyaknya
penumpang di kereta dibagi dengan total kapasitas kereta. Utilitas pada setiap
segmen berbeda-beda dan tidak selalu bernilai 100%, artinya kereta tidak selalu
terisi penuh pada setiap segmen yang dilewatinya sehingga masih dimungkinkan
adanya penambahan penumpang.
Tabel 3 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 1
Demand
Penumpang
Frekuensi
Total
Utilitas
Segmen
penumpang
di kereta
perjalanan
kapasitas
(%)
1
2600
2400
2
2400
100
2
0
0
2
2400
0
6
0
0
2
2400
0
7
0
0
2
2400
0
8
0
0
2
2400
0
25
0
0
2
2400
0
26
1871
1871
2
2400
78
34
0
0
2
2400
0
35
0
0
2
2400
0
36
0
0
2
2400
0
12
Skenario 2
Pada Skenario ini, demand penumpang hanya terdapat pada Stasiun asal 1,
2, 3, 4, 5, 6 dan Stasiun tujuan 1, 2, 3, 4, 5, 6. Selainnya demand penumpang
bernilai 0. stasiun asal dan stasiun tujuan tersebut merupakan stasiun-stasiun yang
terletak pada Rute 1.
Hasil komputasi Skenario 2 dengan software LINGO 11.0 pada Lampiran 4
diperoleh bahwa rute yang dipilih ialah Rute 1. Biaya yang digunakan adalah
230.788.000 rupiah. Stasiun-stasiun yang berada pada rute tersebut ialah Stasiun
1, 2, 3, 4, 5, dan 6 yang diilustrasikan oleh Gambar 4. Frekuensi perjalanan kereta
yang melewati Rute 1 pada Arah 1 sama dengan frekuensi perjalanan kereta yang
melewati Rute 1 pada Arah 2 yaitu 9. Jadi frekuensi perjalanan kereta yang
melewati Rute 1 adalah 18. Frekuensi perjalanan ini, tidak melebihi frekuensi
perjalanan maksimum sebanyak 170. Realisasi demand penumpang terangkut
selalu sama dengan demand penumpang yang ada. Demand penumpang
keseluruhan sama dengan banyaknya penumpang yang terangkut sebanyak 32275
orang.
1
2
3
Keterangan:
Rute 1 :
4
5
6
Gambar 5 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 2
Tabel 4 menjelaskan bahwa penumpang yang ada di kereta untuk setiap
segmen tidak melebihi total kapasitas kereta yang melewati segmen tersebut.
Selain itu, banyaknya penumpang di kereta pada setiap segmen yang dilewati oleh
kereta selalu sama dengan demand penumpang pada segmen tersebut. Utilitas
adalah banyaknya penumpang di kereta dibagi dengan total kapasitas kereta.
Utilitas pada setiap segmen berbeda-beda dan selalu lebih kecil dari 100%.
Artinya kereta tidak pernah terisi penuh pada setiap segmen yang dilewatinya,
sehingga masih dimungkinkan ada penambahan penumpang.
13
Tabel 4 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 2
Demand
Penumpang
Frekuensi
Total
Utilitas
Segmen
penumpang
di kereta
perjalanan
kapasitas
(%)
1
6435
6435
9
10800
60
2
8142
8142
9
10800
75
3
10261
10261
9
10800
95
4
10339
10339
9
10800
96
5
6226
6226
9
10800
58
25
7348
7348
9
10800
68
26
5758
5758
9
10800
53
29
5953
5953
9
10800
55
30
8616
8616
9
10800
80
31
7562
7562
9
10800
70
Skenario 3
Pada Skenario 3 akan diperlihatkan bahwa terdapat penumpang yang transit.
Diberikan demand penumpang yang stasiun asal dan stasiun tujuannya terletak
pada rute yang sama. Stasiun-stasiun tersebut berada pada Rute 1 dan Rute 14.
Selainnya demand penumpang bernilai 0 (kecuali demand penumpang dari
Stasiun 1 ke Stasiun 20 dan dari Stasiun 2 ke Stasiun 20).
Hasil komputasi Skenario 3 dengan software LINGO 11.0 pada Lampiran 5
diperoleh bahwa rute yang dipilih ialah Rute 1 dan Rute 14. Biaya yang
digunakan adalah 557.466.000 rupiah. Stasiun-stasiun yang berada pada Rute 1
ialah Stasiun 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan stasiun-stasiun yang berada pada Rute
14 ialah Stasiun 20, 10, 7, 3, 13, 14, 15, 16 yang diilustrasikan oleh Gambar 4.
20
1
10
2
14
15
Keterangan:
Rute 1 :
Rute 14 :
:
16
13
3
7
4
5
6
Gambar 6 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 3
Frekuensi perjalanan kereta yang melewati Rute 1 pada Arah 1 sama dengan
frekuensi perjalanan kereta yang melewati Rute 1 pada Arah 2, yaitu 9. Jadi
14
frekuensi perjalanan kereta yang melewati Rute 1 adalah 18. Frekuensi perjalanan
kereta yang melewati Rute 14 pada Arah 1 sama dengan frekuensi perjalanan
kereta yang melewati Rute 14 pada Arah 2 yaitu 11. Jadi frekuensi perjalanan
kereta yang melewati Rute 14 adalah itu 22. Frekuensi perjalanan ini, tidak
melebihi frekuensi perjalanan maksimum sebanyak 170.
Realisasi demand penumpang terangkut dapat dilihat di Lampiran 6.
Realisasi demand penumpang terangkut tidak melebihi demand penumpang yang
ada. Demand penumpang yang terangkut juga selalu lebih besar atau sama dengan
90% demand yang ada.
Tabel 5 dapat dilihat bahwa penumpang yang ada di kereta untuk setiap
segmen tidak melebihi total kapasitas kereta yang melewati segmen tersebut.
Total kapasitas adalah kapasitas kereta dikalikan dengan frekuensi perjalanan
kereta yang melewati suatu segmen. Selain itu dapat dilihat juga bahwa
banyaknya penumpang di kereta pada setiap segmen yang dilewati oleh kereta
selalu lebih kecil atau sama dengan demand penumpang pada segmen tersebut.
Utilitas adalah banyaknya penumpang di kereta dibagi dengan total kapasitas
kereta. Utilitas pada setiap segmen berbeda-beda dan tidak selalu bernilai 100%.
Artinya kereta tidak selalu terisi penuh pada setiap segmen yang dilewatinya
sehingga masih dimungkinkan ada penambahan penumpang.
Tabel 5 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 3
Frekuensi
Demand
Penumpang
Total
Utilitas
Segmen
perjalanan
penumpang
di kereta
kapasitas
(%)
kereta
1
2
3
4
5
6
7
8
11
12
13
14
21
22
23
24
25
26
29
30
31
34
35
36
6843
8462
10261
10339
6226
10713
10731
4553
11693
13327
10083
5664
6202
9701
12487
9727
7348
5758
5953
8616
7562
12354
5182
11070
6843
8462
10261
10339
6226
10713
10731
4553
11693
13200
10083
5664
6202
9701
12487
9727
7348
5758
5953
8616
7562
12354
5182
11070
9
9
9
9
9
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
9
9
9
9
9
11
11
11
10800
10800
10800
10800
10800
13200
13200
13200
13200
13200
13200
13200
13200
13200
13200
13200
10800
10800
10800
10800
10800
13200
13200
13200
60
78
95
96
58
81
81
34
89
100
76
43
47
73
95
74
68
53
55
80
70
94
39
84
15
Skenario 4
Pada Skenario 4 ini, diberikan demand penumpang dari setiap stasiun asal
ke setiap stasiun tujuan seperti yang terdapat pada Lampiran 1. Detail hasil dapat
dilihat di Lampiran 7. Total frekuensi perjalanan kereta pada semua rute adalah
282. Rute yang dipilih ialah Rute 1, 3, 6, 12, dan 15 dan diilustrasikan oleh
Gambar 7. Biaya operasional yang digunakan adalah 2.800.952.000 rupiah.
Demand penumpang dari setiap stasiun asal ke setiap stasiun tujuan selalu sama
dengan realisasi demand penumpang yang diangkut.
Tabel 6 Frekuensi perjalanan setiap rute Skenario 4
Rute
Frekuensi perjalanan
1
3
6
12
15
78
26
54
62
50
Frekuensi perjalanan
Arah 1
39
13
27
31
25
Frekuensi perjalanan
Arah 2
39
13
27
31
25
11
12
20
17
1
14
2
10
18
13
3
7
15
19
Keterangan:
Rute 1 :
Rute 3 :
Rute 6 :
Rute 12 :
Rute 15 :
4
16
5
8
9
6
Gambar 7 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 4
Tabel 7 dapat dilihat bahwa penumpang yang ada di kereta untuk setiap
segmen tidak melebihi total kapasitas kereta yang melewati segmen tersebut.
Total kapasitas adalah kapasitas kereta dikalikan dengan frekuensi perjalanan
kereta yang melewati suatu segmen. Selain itu dapat dilihat juga bahwa
banyaknya penumpang di kereta pada setiap segmen yang dilewati oleh kereta
selalu sama dengan demand penumpang pada segmen tersebut.
16
Utilitas adalah penumpang di kereta dibagi dengan total kapasitas kereta.
Utilitas pada setiap segmen berbeda-beda dan selalu lebih kecil dari 100%.
Artinya kereta tidak selalu terisi penuh pada setiap segmen yang dilewatinya
sehingga masih dimungkinkan ada penambahan penumpang. Demand penumpang
keseluruhan sama dengan banyaknya penumpang terangkut sebanyak 341696
orang.
Tabel 7 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 4
Demand
Penumpang Frekuensi
Total
Utilitas
Segmen
penumpang
di kereta
perjalanan kapasitas
(%)
1
46053
46053
52
62400
74
2
57378
57378
52
62400
92
3
45851
45851
39
46800
98
4
34302
34302
39
46800
73
5
19957
19957
39
46800
43
6
65514
65514
56
67200
97
7
28663
28663
25
30000
95
8
12549
12549
25
30000
42
9
34312
34312
31
37200
92
10
19420
19420
31
37200
52
11
77462
77462
69
82800
94
12
72837
72837
69
82800
88
13
36139
36139
31
37200
97
14
19730
19730
31
37200
53
15
43659
43659
38
45600
96
16
29054
29054
38
45600
64
17
18480
18480
38
45600
41
18
19145
19145
38
45600
42
19
30084
30084
38
45600
66
20
45354
45354
38
45600
99
21
19870
19870
31
37200
53
22
35283
35283
31
37200
95
23
71644
71644
69
82800
87
24
75567
75567
69
82800
91
25
56354
56354
52
62400
90
26
45559
45559
52
62400
73
27
29695
29695
27
32400
92
28
17186
17186
27
32400
53
29
19932
19932
39
46800
43
30
33090
33090
39
46800
71
31
42975
42975
39
46800
92
32
18832
18832
31
37200
51
33
33873
33873
31
37200
91
34
67107
67107
56
67200
99
35
13468
13468
25
30000
45
36
29546
29546
25
30000
98
37
17822
17822
27
32400
55
38
31352
31352
27
32400
97
17
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah penentuan rute dan frekuensi perjalanan kereta api pada jalur ganda
dapat diselesaikan menggunakan integer nonlinear programming (INLP) dengan
bantuan software LINGO 11. Dalam studi kasus yang dibahas, rute yang
diperoleh adalah rute yang dapat meminimumkan biaya operasional yaitu Rute 1,
3 ,6, 12, dan 15. Banyaknya penumpang yang diangkut adalah 341696 orang
dengan frekuensi perjalanan kereta sebanyak 282. Biaya operasional yang
digunakan adalah 2.800.952.000 rupiah.
Saran
Pada karya ilmiah ini, jumlah kendaraan yang tersedia diabaikan. Untuk
penelitian selanjutnya disarankan untuk membatasi jumlah kendaraan yang
tersedia serta menggunakan jaringan rel Jabodetabek sebenarnya.
DAFTAR PUSTAKA
D’Ariano A. 2008. Improving real-time train dispatching: models, algorithms and
applications [tesis]. Delft: Faculty of Civil Engineering and Geosciences,
Delft University of Technology.
Kompas. 2011. Rute KRL diefektifkan [internet]. [diunduh 2013 Juni 1]. Tersedia
di http://www.krl.co.id/BERITA-TERKINI/rute-krl-diefektifkan.html.
Novena M, Widiyanto Y. 2011. Hari ini sistem loop line kereta berlaku penuh
[internet]. [diunduh 2013 Juni 1]. Tersedia di http://archive.is/TAyY.
[PT KAI] Perseroan Terbatas Kereta Api Indonesia. 1998. Peraturan Pemerintah
Republik Indonesia Nomor 69 tentang Prasarana dan Sarana Kereta Api.
Jakarta (ID): PT KAI.
[PT KAI] Perseroan Terbatas Kereta Api Indonesia. 2005. Peraturan Direktur
Jenderal Perhubungan Darat Nomor 770 tentang Pedoman Teknis
Perlintasan Sebidang antara Jalan dengan Jalur Kereta Api. Jakarta (ID): PT
KAI.
Winston WL. 2004. Operation Research Applications and Algorithm. Ed ke-4.
New York: Duxbury.
18
18
Lampiran 1 Data hipotetik demand penumpang dari stasiun asal ke stasiun tujuan
Stasiun
asal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
0
1871
152
39
1933
1763
142
1325
1501
729
586
1153
1131
307
1230
1663
1770
222
1820
90
2
2600
0
1902
445
69
1045
1332
1677
720
675
706
1912
398
843
1078
1436
1003
612
1714
229
3
211
1638
0
957
74
1237
402
1158
22
1966
1472
328
587
1030
700
1110
1457
677
304
1642
4
27
385
1151
0
1504
991
933
89
1593
299
1404
680
1184
69
1249
1519
707
56
1256
589
5
1851
1142
1345
800
0
917
1843
373
739
1308
568
474
39
1264
1668
380
187
911
306
172
6
1746
1142
1472
841
1025
0
837
1643
996
1539
1920
33
1152
310
618
1419
305
75
1721
1163
7
178
1660
443
980
1795
769
0
1854
776
1193
69
1682
154
1143
810
26
305
517
1309
1375
8
1409
1569
1247
65
372
1596
1926
0
1711
394
1434
136
1789
102
546
1217
1118
545
876
247
Stasiun tujuan
9
10
11
1433 811 487
910 663 633
30 1855 1465
1461 330 473
836 1222 775
1147 1882 1793
914 1264 97
1696 401 1145
0
593 614
694
0
880
405 785
0
1816 89 1814
1477 176 781
1316 769 182
250 1232 1448
1673 928 262
314 1139 665
1989 807 1321
479 1214 27
580
36 1273
12
1337
1879
310
888
532
47
1478
128
1687
86
1812
0
1233
1129
95
1131
732
1156
131
1395
13
830
262
315
1059
22
1094
201
1919
1399
143
817
1000
0
1974
88
1627
532
73
1896
1223
14
297
788
1157
76
1165
345
1451
147
1038
1186
279
1294
1714
0
624
1570
135
1728
1783
37
15
875
998
880
1493
1706
537
1783
603
157
846
1500
64
89
864
0
451
1981
595
1481
338
16
1494
1592
997
1841
370
1535
15
1248
1726
590
282
1080
1713
1437
381
0
1276
395
1227
531
17
603
995
1398
636
243
326
267
1302
458
1699
592
805
413
206
1513
1481
0
67
228
1897
18
250
623
816
62
1050
62
491
490
1888
711
1400
1686
81
236
731
372
81
0
954
297
19
1777
1904
396
963
240
1792
1481
986
520
1176
19
182
1649
1537
1488
1115
148
753
0
354
20
48
272
1795
612
167
1054
1330
264
694
46
1106
1594
12
64
496
490
1939
147
419
0
19
Lampiran 2 Syntax Lingo 11.0
Model:
Sets:
stasiun/1..20/;
segmen/1..38/:S,fr,y;
rute/1..16/:maks,biaya,C,x,freq;
arah/1..2/;
links2(rute,arah):F;
links1(stasiun, stasiun):Q,D;
Endsets
DATA:
Q, S, biaya, C, maks=@ole('DATAFIX.xlsx','PERMTN','DEMAND_SEGMEN',
'BIAYAOPERASIONAL','BIAYA_PEMELIHARAANRUTE',
'MAKSIMUM_PERJALANAN');
@ole('DATAFIX.xlsx','RUTEDIPAKAI','FREQPERJALANAN','PENUMPANG_
DIKERETA','FREKUENSI_SEGMEN','PENUMPANG')=x,freq,y,fr,D;
ENDDATA
M=100000;
kap=1200;
!Fungsi objektif;
min=@sum(rute(k):@sum(arah(v):biaya(k)*F(k,v)))+@sum(rute(k):
C(k)*x(k));
!KENDALA
!(1)Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i
ke stasiun tujuan j minimal 90% dari demand;
@for(links1(i,j):D(i,j)>0.9*Q(i,j));
@for(links1(i,j):D(i,j)-Q(i,j)=0);
@for(links1(i,j):@gin(D(i,j)));
@for(links1(i,j):D(i,j)>=0);
!(11) Kendala binari
@for(rute(k):@bin(x(k)));
24
Lampiran 3 Detail Hasil Komputasi Lingo 11.0 Skenario 1
Keterangan : Nilai yang dicantumkan hanyalah yang tidak bernilai 0
Global optimal solution found.
Objective value:
Objective bound:
Infeasibilities:
Extended solver steps:
Total solver iterations:
Variable
value
M
KAP
S( 1)
FR( 1)
FR( 2)
FR( 6)
FR( 7)
FR( 8)
FR( 25)
FR( 26)
FR( 34)
FR( 35)
FR( 36)
Y( 1)
Y( 26)
MAKS( 1)
MAKS( 2)
MAKS( 3)
MAKS( 4)
MAKS( 5)
MAKS( 6)
MAKS( 7)
MAKS( 8)
MAKS( 9)
100000.0
1200.000
2600.000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2400.000
1871.000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
0.6327600E+08
0.6327600E+08
0.2702703E-07
0
14
MAKS( 10)
MAKS( 11)
MAKS( 12)
MAKS( 13)
MAKS( 14)
MAKS( 15)
MAKS( 16)
BIAYA( 1)
BIAYA( 2)
BIAYA( 3)
BIAYA( 4)
BIAYA( 5)
BIAYA( 6)
BIAYA( 7)
BIAYA( 8)
BIAYA( 9)
BIAYA( 10)
BIAYA( 11)
BIAYA( 12)
BIAYA( 13)
BIAYA( 14)
BIAYA( 15)
BIAYA( 16)
C( 1)
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.
SISTEM LOOP LINE MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN
INTEGER TAKLINEAR
NOVARIA YUSRI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Optimasi Biaya
Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop Line Menggunakan Pemrograman
Integer Taklinear adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Novaria Yusri
NIM G54080015
0
ABSTRAK
NOVARIA YUSRI. Optimasi Biaya Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop
Line Menggunakan Pemrograman Integer Taklinear. Dibimbing oleh AMRIL
AMAN dan FARIDA HANUM.
Besarnya permintaan yang menyebabkan terjadinya penumpukan
penumpang di beberapa stasiun merupakan permasalahan utama yang dihadapi
oleh PT KAI Commuter Jabodetabek (KCJ). Salah satu cara untuk memecahkan
permasalahan ini adalah dengan menentukan rute dan frekuensi perjalanan kereta
api yang tepat. Dalam karya ilmiah ini disajikan model pemrograman integer
taklinear untuk menentukan rute dan frekuensi perjalanan kereta api tiap rute
dengan biaya yang optimal. Model ini diimplementasikan pada jaringan rel
Jabodetabek yang disederhanakan. Faktor-faktor yang menjadi parameter pada
model ini mencakup demand penumpang, kapasitas kereta, maksimum perjalanan
tiap rute, dan biaya operasional. Dalam membangun model, pada tahap awal
dilakukan identifikasi semua persyaratan yang harus dipenuhi, selanjutnya semua
persyaratan itu diformulasikan menjadi bentuk persamaan atau pertidaksamaan
linear. Untuk menguji keabsahan model dilakukan pemeriksaan atas sejumlah
skenario. Solusi model diperoleh dengan menggunakan software LINGO 11.0.
Kata kunci: frekuensi perjalanan, pemrograman integer taklinear, rute, sistem
loop line
ABSTRACT
NOVARIA YUSRI. Optimization of Train Operating Costs in Loop Line Systems
Using Nonlinear Integer Programming. Supervised by AMRIL AMAN and
FARIDA HANUM.
High demand for transportation that causes passenger’s congestion in some
stations is one of the main problems faced by PT KAI commuter Jabodetabek
(KCJ). This problem can be solved by determining optimal routes and frequencies
of the trains. This paper presents a model to determine routes and travelling
frequency for each route in order to minimize the total cost. The problem is
modelled as a nonlinear integer programming. This model is implemented in
Jabodetabek railway network that have been simplified. The parameters of the
model include the demand of passengers, the capacity of trains, maximum
travelling of train for each route, and operational costs. Developing model is
started with identification of all the requirements of the system. All of the
requirements then are formulated as linear equalities or inequalities. Ensuring the
validity of model is done via solving several scenarios using the model. The
solution of the model is obtained using LINGO 11.
Keywords: integer nonlinear programming, loop line systems, route, travelling
frequency
1
OPTIMASI BIAYA OPERASIONAL KERETA API DALAM
SISTEM LOOP LINE MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN
INTEGER TAKLINEAR
NOVARIA YUSRI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
2
3
Judul Skripsi : Optimasi Biaya Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop Line
Menggunakan Pemrograman Integer Taklinear
Nama
: Novaria Yusri
NIM
: G54080015
Disetujui oleh
Dr Ir Amril Aman, MSc
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
4
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah
Optimasi Biaya Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop line Menggunakan
Pemrograman Integer Taklinear.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir Amril Aman, MSc dan Dra
Farida Hanum, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran. Selain
itu, ungkapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada Drs Prapto Tri Supriyo,
MKom selaku dosen penguji. Ungkapan terima kasih disampaikan kepada papa
dan ibu atas segala kasih sayang, dukungan, kepercayaan, kesabaran, dan doanya.
Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada keluarga yang selalu
mendoakan, seluruh dosen atas ilmu yang diberikan, staf pegawai, teman-teman
Matematika 45 dan 46, teman-teman Cempaka B, teman-teman Pondok Cahaya
dan teman-teman Hikapemaka Bogor atas bantuannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013
Novaria Yusri
5
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Istilah dalam Perkeretaapian
2
Integer Programming (IP)
3
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Deskripsi Masalah
3
Formulasi Masalah
4
STUDI KASUS
Formulasi Model Matematika
Pengujian Model
SIMPULAN DAN SARAN
6
8
10
17
Simpulan
17
Saran
17
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
37
6
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
Rute
Realisasi demand penumpang terangkut Skenario 1
Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 1
Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 2
Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 3
Frekuensi perjalanan setiap rute Skenario 4
Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 4
7
11
11
13
14
15
16
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
Perlintasan sebidang
Jaringan rel kereta
Segmen
Rute kereta yang dihasilkan Skenario 1
Rute kereta yang dihasilkan Skenario 2
Rute kereta yang dihasilkan Skenario 3
Rute kereta yang dihasilkan Skenario 4
2
6
8
11
12
13
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
Data hipotetik demand penumpang dari stasiun asal ke stasiun tujuan
Syntax program pada Lingo 11.0
Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 1
Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 2
Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 3
Realisasi demand penumpang terangkut Skenario 3
Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 4
18
19
24
25
26
28
30
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Jakarta merupakan ibu kota negara Indonesia. Kota ini memiliki lapangan
pekerjaan yang cukup banyak sehingga tidak hanya penduduk ibu kota saja yang
bekerja di kota ini melainkan warga sekitar Jakarta seperti Tangerang, Depok,
Bekasi, dan Bogor. Mobilitas penduduk sangat tinggi sehingga dibutuhkan alat
transportasi darat yang efisien dan efektif.
Salah satu alat transportasi yang digunakan adalah kereta api. Peraturan
Pemerintah Nomor 69 Tahun 1998 tentang Prasarana dan Sarana Kereta Api
menyebutkan bahwa moda transportasi kereta api memiliki karakteristik dan
keunggulan khusus. Beberapa keunggulan dari kereta api adalah kemampuannya
dalam mengangkut baik penumpang maupun barang secara massal, hemat energi,
hemat dalam penggunaan ruang, memiliki faktor keamanan yang tinggi, tingkat
pencemaran yang rendah, serta lebih efisien untuk angkutan jarak jauh.
PT KAI Commuter Jabodetabek (KCJ) adalah salah satu anak perusahaan di
lingkungan PT KERETA API (Persero) yang melayani wilayah Jabodetabek. Saat
ini PT KCJ menggunakan KRL dengan sistem loop line yang membagi perjalanan
menjadi 6 rute. Berdasarkan keterangan PT KCJ, 6 rute tersebut ialah Jakarta
Kota-Bogor, Jakarta Kota-Jatinegara, Jakarta Kota-Tanjung Priok, Parung
Panjang-Tanah Abang, Duri-Tangerang, dan Jakarta Kota-Bekasi. Pada sistem ini
dikenal adanya stasiun transit yang berfungsi melanjutkan perjalanan menuju
stasiun lain yang terletak pada rute yang berbeda. Pada kenyataannya, masih
terdapat beberapa permasalahan yang dihadapi oleh KCJ. Salah satunya
penumpukan penumpang di beberapa stasiun, terutama pada pagi dan sore hari
yang merupakan waktu pergi dan pulang kerja. Selain itu, masih terdapat
beberapa penumpang yang naik di atap gerbong sehingga dapat membahayakan
keselamatan para penumpang.
Permasalahan ini dapat diatasi dengan menambah jumlah kereta api atau
menambah frekuensi perjalanan kereta. Penambahan jumlah kereta membutuhkan
biaya yang jauh lebih besar dibandingkan dengan penambahan frekuensi
perjalanan kereta sehingga untuk mengatasi masalah tersebut biasanya dilakukan
dengan cara menambah frekuensi perjalanan kereta api tiap rute. Penentuan rute
dilakukan terlebih dahulu agar diperoleh hasil yang optimal. Permasalahan ini
dapat dimodelkan dengan integer nonlinear programming. Data yang digunakan
pada karya ilmiah ini adalah data hipotetik.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan rute dan frekuensi perjalanan
kereta api yang digunakan untuk setiap rute agar diperoleh biaya operasional yang
minimum menggunakan integer nonlinear programming.
2
LANDASAN TEORI
Untuk membuat model optimasi biaya operasional kereta api diperlukan
pemahaman mengenai beberapa istilah dalam perkeretaapian, integer
programming (IP).
Istilah dalam Perkeretaapian
Sistem Loop Line
Menurut Novena dan Widiyanto (2011) sistem loop line ialah sistem dalam
perkeretaapian sehingga penumpang tidak hanya bergerak dari titik keberangkatan
ke titik tujuan tetapi berputar dahulu ke stasiun lain. Pada sistem ini, dikenal
adanya stasiun transit yang berfungsi sebagai tempat peralihan untuk melanjutkan
perjalanan menuju stasiun lain yang terletak pada rute yang berbeda. Misalkan
penumpang dari Bogor ingin menuju Stasiun Bekasi. Stasiun Bogor berada pada
Rute Bogor-Jakarta Kota, sedangkan Stasiun Bekasi berada pada Rute Jakarta
Kota-Bekasi. Penumpang tersebut terlebih dahulu harus naik kereta di Stasiun
Bogor yang melintasi Rute Jakarta Kota-Bogor lalu berhenti di Stasiun Manggarai
(stasiun transit). Dari Stasiun Manggarai, penumpang tersebut akan melanjutkan
perjalanan menggunakan kereta api yang melintasi Rute Jakarta Kota-Bekasi dan
turun di Stasiun Bekasi.
Setiap rute terdiri dari beberapa segmen. Segmen ialah jalan rel yang
menghubungkan suatu stasiun dengan stasiun berikutnya yang berdekatan.
Misalkan Stasiun Ancol berdekatan dengan Stasiun Tanjung Priok. Jadi segmen
ialah jalan rel yang menghubungkan Stasiun Ancol dan Stasiun Tanjung Priok.
Jalur Ganda
Menurut D’Ariano (2008) jalur ganda ialah dua jalur yang dapat digunakan
kereta api dengan arah yang sama atau berlawanan.
Perlintasan Sebidang dan Headway
Menurut Peraturan Direktur Jenderal Perhubungan Darat Nomor 770
tentang Pedoman Teknis Perlintasan Sebidang antara Jalan dengan Jalur Kereta
Api, perlintasan sebidang ialah perpotongan sebidang antara jalur kereta api
dengan jalan. Perlintasan sebidang membuat headway perjalanan kereta tidak bisa
diminimumkan. Headway ialah selang waktu keberangkatan antara satu kereta api
dengan kereta api berikutnya.
Gambar 1 Perlintasan sebidang
3
Integer Programming (IP)
Menurut Winston (2004) integer programming merupakan suatu
pemrograman linear yang sebagian atau semua variabel yang digunakan
merupakan integer taknegatif. Ada 3 jenis IP, yaitu:
1 Pure integer programming (PIP), jika suatu IP menggunakan semua variabel
yang berupa integer.
2
Mixed integer programming (MIP), jika suatu IP menggunakan sebagian saja
variabel yang integer.
3
0-1 IP, jika suatu IP menggunakan variabel 0 atau 1.
Pemrograman taklinear tidak jauh berbeda dengan pemrograman linear yang
terdiri atas fungsi objektif dan kendala umum. Perbedaannya adalah pemrograman
taklinear memiliki paling sedikit satu fungsi taklinear yang bisa menjadi fungsi
objektif atau kendalanya. Model pemrograman matematika taklinear dengan
variabel keputusannya berupa integer disebut model integer nonlinear
programming (INLP).
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah
Rute kereta api membentuk jaringan yang terdiri dari stasiun dan jalur. Jalur
yang digunakan ialah jalur ganda untuk setiap rute. Setiap rute memiliki stasiun
awal keberangkatan dan stasiun akhir pemberhentian. Kereta berangkat dari
stasiun awal dan berhenti di setiap stasiun yang dilewatinya sampai di stasiun
akhir pemberhentian. Kereta tersebut akan kembali lagi menuju stasiun awal
keberangkatan. Arah kereta yang bergerak dari stasiun awal keberangkatan
menuju stasiun akhir pemberhentian dinamakan Arah 1, sedangkan Arah 2
merupakan arah kereta yang bergerak dari stasiun akhir pemberhentian menuju
stasiun awal keberangkatan. Setiap rute memiliki beberapa segmen yang
menghubungkan satu stasiun dengan satu stasiun berikutnya.
Pada jaringan kereta api dikenal adanya stasiun transit yang berfungsi
sebagai tempat peralihan untuk melanjutkan perjalanan menuju stasiun lain yang
terletak pada rute yang berbeda. Penumpang yang turun di stasiun transit ialah
penumpang transit dan penumpang yang tujuan akhirnya stasiun tersebut.
Penumpang transit akan melanjutkan perjalanan menggunakan kereta yang
berbeda menuju stasiun yang diinginkan, sedangkan penumpang yang turun di
suatu stasiun (kecuali stasiun transit) merupakan penumpang yang tujuan akhirnya
ialah stasiun tersebut.
Jaringan rel kereta api Jabodetabek memiliki 63 stasiun, 6 rute serta 5
stasiun transit yaitu Manggarai, Duri, Tanah Abang, Kampung Bandan, Jatinegara
(Kompas 2011). PT KCJ memiliki 454 unit gerbong kereta Commuter dan 188
unit gerbong Ekonomi. Setiap kereta Commuter dan setiap kereta Ekonomi terdiri
dari 8 gerbong. Berdasarkan keterangan dari PT KCJ, kapasitas untuk setiap
gerbong adalah 150 orang (60 orang duduk, 90 orang berdiri) sehingga kapasitas
kereta adalah 1200 orang.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Untuk membatasi permasalahan, maka digunakan beberapa asumsi, yaitu:
tidak ada kereta yang mengalami kerusakan,
kecepatan kereta konstan,
tidak ada gangguan di perjalanan,
perlintasan sebidang tidak diperhatikan,
jaringan rel kereta yang digunakan ialah jaringan rel Jabodetabek yang telah
disederhanakan dan kereta hanya berjalan di dalam jaringan rel tersebut,
jalur yang digunakan adalah jalur ganda,
hanya satu jenis kereta yang digunakan, yaitu Commuter,
banyaknya kereta yang tersedia selalu mencukupi kebutuhan,
hanya 20 stasiun yang dibahas dan hanya terdapat 3 stasiun transit, yaitu
Manggarai, Jatinegara, dan Tanah Abang,
stasiun-stasiun untuk setiap rute telah ditetapkan sehingga analisis hanya
dibatasi untuk pemilihan rute saja,
tempat penumpang yang disediakan di kereta harus lebih besar dari 90%
demand penumpang yang ada pada setiap segmen. Artinya kereta tidak
selalu terisi 100%, sehingga masih ada tempat yang disediakan untuk
mengantisipasi jika ada penambahan demand penumpang,
untuk menghindari terjadinya penumpukan penumpang, maka minimum
90% demand penumpang harus diangkut dari setiap stasiun asal ke setiap
stasiun tujuan.
Formulasi Masalah
Berdasarkan data dan analisis yang didapatkan, maka dapat dibuat formulasi
masalah tersebut ke dalam bentuk integer nonlinear programming (INLP). Bentuk
formulasi masalah tersebut ialah sebagai berikut.
Indeks
, = stasiun;
= rute;
, u = arah;
w = segmen;
, = 1,2, … ,
= 1,2, … ,
, = 1,2
= 1,2, … ,
Parameter
�
= demand penumpang dari stasiun asal i ke stasiun tujuan j
�
= demand penumpang yang ingin melewati segmen w
= biaya perjalanan pada rute
= biaya pemeliharaan rute
kap
= kapasitas satu kereta
�
= maksimum frekuensi perjalanan pada rute
M
= bilangan positif yang nilainya relatif besar
Variabel Keputusan
= realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j
5
�
xk
= banyaknya penumpang di kereta pada segmen w
= frekuensi perjalanan kereta pada rute dan arah
= frekuensi perjalanan kereta pada segmen w
= frekuensi perjalanan kereta pada rute k
1, jika rute digunakan
=
0, selainnya
Himpunan
= himpunan pasangan stasiun (i,j) yang melewati segmen w
= himpunan pasangan rute k dan arah v, yaitu (k,v), yang melewati segmen
w
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan biaya operasional
dengan mengatur frekuensi perjalanan kereta api yang dikalikan dengan biaya
perjalanan untuk satu kali perjalanan pada setiap rute dan biaya pemeliharaan
pada setiap rute jika rute tersebut digunakan. Fungsi objektif masalah ini ialah:
Minimumkan ( 2 =1 =1
× � + =1 × )
Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut :
1
Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j minimal 90% dari demand.
90% �
� ,
= 1,2, … , ,
= 1,2, … , .
2
Jumlah penumpang di kereta pada segmen w ialah akumulasi dari realisasi
demand yang terangkut dari setiap stasiun asal i ke setiap stasiun tujuan j.
= 0,
(, )∈
,
= 1,2, … , .
− =1 =1
3
Banyaknya penumpang di kereta pada segmen w merupakan minimum dari
demand penumpang yang ingin melewati segmen w dan total kapasitas
kereta.
= min {� , (
× )} ,
= 1,2, … , .
4
Banyaknya tempat yang disediakan untuk penumpang di kereta, harus lebih
besar atau sama dengan 90% demand penumpang yang ingin melewati
segmen w.
90% �
×
,
= 1,2, … , .
5
Jika terdapat perjalanan kereta pada suatu rute maka rute tersebut
digunakan.
� –M
≤ 0,
= 1,2, … , ,
= 1,2.
6
Kereta harus bolak-balik sehingga frekuensi perjalanan kereta pada rute k
selalu sama untuk semua arah.
� − � = 0,
= 1,2, … , ,
= 1,2,
= 1,2, ≠ .
7
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute tidak boleh melebihi frekuensi
perjalanan maksimum.
2
�
,
= 1,2, … , .
=1 �
8
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute ialah akumulasi perjalanan dari
semua arah.
2
= 0,
= 1,2, … , .
=1 � −
6
9
10
11
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w ialah akumulasi dari semua
frekuensi perjalanan kereta pada rute dan arah v yang melewati segmen w.
− 2 =1 =1 � = 0,
( , )∈ ,
= 1,2, … , .
Kendala ketaknegatifan memastikan bahwa:
Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j, lebih besar atau sama dengan nol.
0,
= 1,2, … , ,
= 1,2, … , .
Frekuensi perjalanan kereta pada rute k, lebih besar atau sama dengan nol.
0,
= 1,2, … , .
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w, lebih besar atau sama dengan
nol.
0
= 1,2, … , .
Frekuensi perjalanan kereta pada rute k dan arah v, lebih besar atau sama
dengan nol.
� ≥ 0,
= 1,2, … , ,
= 1,2.
Jumlah penumpang di kereta pada segmen w harus lebih besar atau sama
dengan nol.
≥ 0,
= 1,2, … , .
Kendala biner:
∈{0,1},
= 1,2, … , .
STUDI KASUS
11
12
20
1
17
10
18
2
14
13
3
7
15
8
19
4
16
5
9
6
Gambar 2 Jaringan rel kereta
Keterangan:
1 Jakarta Kota
2 Gambir
3 Manggarai
4 Tanjung Barat
5 Depok
6 Bogor
7 Jatinegara
8 Klender Baru
9 Bekasi
10 Pasar Senen
11 Ancol
12 Tanjung Priok
13 Sudirman
14 Tanah Abang
15 Serpong
16 Parung Panjang
17 Duri
18 Kali Deres
19 Tangerang
20 Rajawali
7
Misalkan jaringan rel kereta memiliki 20 stasiun dengan 38 segmen.
Gambar jaringan dapat dilihat pada Gambar 2. Angka di setiap simpul atau
verteks menyatakan stasiun. Lingkaran yang berwarna merah menyatakan stasiun
awal keberangkatan atau stasiun akhir pemberhentian. Misalkan Stasiun 1, 6, 9,
19, 20 ialah stasiun awal keberangkatan dan Stasiun 6, 9, 12, 16, 19, 20 ialah
stasiun akhir pemberhentian.
Jaringan tersebut memiliki 16 rute yang dapat dilihat di Tabel 1. Perjalanan
kereta dimulai dari stasiun awal keberangkatan sampai ke stasiun akhir
pemberhentian kemudian kembali ke stasiun awal keberangkatan untuk setiap
rutenya. Pada setiap rute, kereta harus berhenti di setiap stasiun yang ada pada
rute tersebut secara berurutan. Data biaya perjalanan untuk 1 kali perjalanan pada
setiap rute, data biaya pemeliharaan untuk setiap rute, data maksimum perjalanan
kereta yang dapat dilakukan untuk setiap rute merupakan data hipotetik yang
terdapat pada Tabel 1. Kereta beroperasi pada pukul 05:00-22:00 yaitu selama 17
jam (1020 menit). Maksimum perjalanan untuk setiap rute ialah lama kereta
beroperasi dibagi headway (6 menit) yaitu 170.
Tabel 1 Rute
Rute
Stasiun yang dilewati
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1,2,3,4,5,6
1,2,3,13,14,15,16
1,2,3,13,14,17,18,19
1,2,3,7,8,9
1,2,3,7,10,20
1,11,12
6,5,4,3,13,14,17,18,19
6,5,4,3,13,14,15,16
6,5,4,3,7,10,20
6,5,4,3,7,8,9
9,8,7,10,20
9,8,7,3,13,14,15,16
9,8,7,3,13,14,17,18,19
20,10,7,3,13,14,15,16
20,10,7,3,13,14,17,18,19
19,18,17,14,15,16
Biaya 1 kali
perjalanan
(dalam ribu
rupiah)
9.766
9.615
10.233
6.838
6.569
2.340
15.992
15.374
12.327
12.596
6.589
12.153
12.876
11.849
12.606
11.442
Biaya
pemeliharaan
(dalam ribu
rupiah)
55.000
54.000
57.000
38.000
37.000
13.000
90.000
86.000
69.000
70.000
37.000
68.000
72.000
66.000
70.000
64.000
Maksimum
perjalanan
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
Setiap segmen dilewati oleh kereta yang bergerak melalui rute yang berbeda
pada arah tertentu. Dalam jaringan rel kereta ini terdapat 38 segmen seperti
terlihat pada Gambar 3.
Penumpang di dalam kereta yang melewati suatu segmen, merupakan
penumpang yang stasiun asalnya berada sebelum segmen tersebut dan stasiun
tujuannya berada setelah segmen tersebut. Demand penumpang yang ingin
melewati Segmen 1 diperoleh dengan cara menjumlahkan demand penumpang
dari Stasiun asal 12, 11, 1 dan stasiun tujuannya adalah semua stasiun yang ada
pada jaringan kereta (kecuali Stasiun 12, 11, 1). Penghitungan demand
penumpang yang ingin melewati segmen-segmen lain diperoleh dengan cara yang
sama.
8
Gambar 3 Segmen
Formulasi Model Matematika
Dalam studi kasus ini terdapat 20 stasiun, 38 segmen, serta 16 rute dan
kapasitas kereta adalah 1200 orang.
Indeks
, = stasiun;
, = 1,2, … ,20
= rute;
= 1,2, … ,16
, u = arah;
, = 1,2
w = segmen;
= 1,2, … ,38
Parameter
�
= demand penumpang dari stasiun asal i ke stasiun tujuan j
�
= demand penumpang yang ingin melewati segmen w
= biaya perjalanan pada rute
= biaya pemeliharaan rute
kap
= kapasitas satu kereta
�
= maksimum frekuensi perjalanan pada rute
= bilangan positif yang nilainya relatif besar dalam kasus ini, M =100000
Variabel Keputusan
= realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j
= banyaknya penumpang di kereta pada segmen w
�
= frekuensi perjalanan kereta pada rute dan arah v
= frekuensi perjalanan kereta pada segmen w
9
xk
= frekuensi perjalanan kereta pada rute k
1, jika rute digunakan
=
0, selainnya
Himpunan
= himpunan pasangan stasiun (i,j) yang melewati segmen w
= himpunan pasangan rute k dan arah v, yaitu (k,v), yang melewati segmen
w
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan biaya operasional
dengan mengatur frekuensi perjalanan kereta api yang dikalikan dengan biaya
perjalanan untuk satu kali perjalanan pada setiap rute dan biaya pemeliharaan
pada setiap rute jika rute tersebut digunakan. Fungsi objektif masalah ini ialah:
Minimum ( 2 =1 16=1
× � + 16=1 × )
Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut :
1
Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j minimal 90% dari demand.
90% �
� ,
= 1,2, … ,20,
= 1,2, … ,20.
2
Jumlah penumpang di kereta pada segmen w ialah akumulasi dari realisasi
demand yang terangkut dari setiap stasiun asal i ke setiap stasiun tujuan j.
= 0,
(, )∈
,
= 1,2, … ,38.
− 20=1 20=1
3
Banyaknya penumpang di kereta pada segmen w merupakan minimum dari
demand penumpang yang ingin melewati segmen w dan total kapasitas
kereta.
=min {� , (
× )} ,
= 1,2, … ,38.
4
Banyaknya tempat yang disediakan untuk penumpang di kereta, harus lebih
besar atau sama dengan 90% demand penumpang yang ingin melewati
segmen w.
90% �
×
,
= 1,2, … ,38.
5
Jika terdapat perjalanan kereta pada suatu rute maka rute tersebut
digunakan.
� –M
≤ 0,
= 1,2, … ,16,
= 1,2.
6
Kereta harus bolak-balik sehingga frekuensi perjalanan kereta pada rute k
selalu sama untuk semua arah.
� − � = 0,
= 1,2, … ,16,
= 1,2
= 1,2,
≠ .
7
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute tidak boleh melebihi frekuensi
perjalanan maksimum.
2
�
,
= 1,2, … ,16.
=1 �
8
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute ialah akumulasi perjalanan
dari semua arah.
2
= 0,
= 1,2, … ,16.
=1 � −
9
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w ialah akumulasi dari semua
frekuensi perjalanan kereta pada rute dan arah v yang melewati segmen w.
( , )∈ ,
= 1,2, … ,38.
− 2 =1 16=1 � = 0,
10
10
11
Kendala ketaknegatifan memastikan bahwa:
Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j, lebih besar atau sama dengan nol.
0,
= 1,2, … ,20,
= 1,2, … ,20.
Frekuensi perjalanan kereta pada rute k, lebih besar atau sama dengan nol.
0,
= 1,2, … ,20.
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w, lebih besar atau sama dengan nol.
≥ 0,
= 1,2, … ,38.
Frekuensi perjalanan kereta pada rute k dan arah v, lebih besar atau sama
dengan nol.
� ≥ 0,
= 1,2, … ,16,
= 1,2.
Jumlah penumpang di kereta pada segmen w harus lebih besar atau sama
dengan nol.
≥ 0,
= 1,2, … ,38.
Kendala biner:
∈{0,1},
= 1,2, … ,16.
Pengujian Model
Model di atas akan diujikan ke dalam beberapa skenario dengan
menggunakan data demand penumpang yang terdapat pada Lampiran 1 dan
diselesaikan dengan bantuan software LINGO 11.0. Syntax LINGO dapat dilihat
di Lampiran 2. Pada Skenario 1 akan diujikan bahwa rute yang dipilih ialah rute
yang mempunyai biaya operasional yang paling kecil, pada Skenario 2 diujikan
bahwa rute yang dipilih ialah rute yang memiliki demand penumpang, pada
Skenario 3 akan diujikan bahwa terdapat penumpang yang transit, dan pada
Skenario 4 akan dipilih rute-rute yang meminimumkan biaya operasional dengan
demand penumpang terdapat dari setiap stasiun asal ke setiap stasiun tujuan.
Skenario 1
Demand penumpang hanya terdapat dari Stasiun 1 ke Stasiun 2 dan dari
Stasiun 2 ke Stasiun 1, selainnya demand penumpang bernilai nol. Stasiun 1, 2
berada pada Rute 1, 2, 3, 4, dan 5. Biaya operasional yang paling kecil adalah
biaya operasional Rute 5.
Hasil komputasi Skenario 1 dengan software LINGO 11.0 pada Lampiran 3
diperoleh bahwa rute yang dipilih ialah Rute 5. Biaya yang digunakan adalah
63.276.000 rupiah. Stasiun-stasiun yang berada pada rute tersebut ialah Stasiun 1,
2, 3, 7, 10, dan 20 yang diilustrasikan oleh Gambar 4. Frekuensi perjalanan kereta
yang melewati Rute 5 pada Arah 1 sama dengan frekuensi perjalanan kereta yang
melewati Rute 5 pada Arah 2 yaitu 2. Jadi frekuensi perjalanan kereta yang
melewati Rute 5 adalah 4. Frekuensi perjalanan ini, tidak melebihi frekuensi
perjalanan maksimum sebanyak 170.
11
20
1
Keterangan:
Rute 5 :
2
3
10
7
Gambar 4 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 1
Pada Tabel 2 dapat dilihat bahwa realisasi demand penumpang terangkut
tidak melebihi demand penumpang yang ada. Demand penumpang yang terangkut
juga selalu lebih besar atau sama dengan 90% demand yang ada.
Tabel 2 Realisasi demand penumpang terangkut Skenario 1
Realisasi demand
Stasiun asal – stasiun
Demand
tujuan
penumpang
terangkut
Persentase (%)
1-2
2600
2400
92
2-1
1871
1871
100
Jumlah
4471
4271
96
Tabel 3 dapat dilihat bahwa banyaknya penumpang yang ada di kereta untuk
setiap segmen tidak melebihi total kapasitas kereta yang melewati segmen
tersebut. Total kapasitas adalah kapasitas kereta dikalikan dengan frekuensi
perjalanan kereta yang melewati suatu segmen. Selain itu banyaknya penumpang
di kereta pada setiap segmen yang dilewati oleh kereta selalu lebih kecil atau sama
dengan demand penumpang pada segmen tersebut. Utilitas adalah banyaknya
penumpang di kereta dibagi dengan total kapasitas kereta. Utilitas pada setiap
segmen berbeda-beda dan tidak selalu bernilai 100%, artinya kereta tidak selalu
terisi penuh pada setiap segmen yang dilewatinya sehingga masih dimungkinkan
adanya penambahan penumpang.
Tabel 3 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 1
Demand
Penumpang
Frekuensi
Total
Utilitas
Segmen
penumpang
di kereta
perjalanan
kapasitas
(%)
1
2600
2400
2
2400
100
2
0
0
2
2400
0
6
0
0
2
2400
0
7
0
0
2
2400
0
8
0
0
2
2400
0
25
0
0
2
2400
0
26
1871
1871
2
2400
78
34
0
0
2
2400
0
35
0
0
2
2400
0
36
0
0
2
2400
0
12
Skenario 2
Pada Skenario ini, demand penumpang hanya terdapat pada Stasiun asal 1,
2, 3, 4, 5, 6 dan Stasiun tujuan 1, 2, 3, 4, 5, 6. Selainnya demand penumpang
bernilai 0. stasiun asal dan stasiun tujuan tersebut merupakan stasiun-stasiun yang
terletak pada Rute 1.
Hasil komputasi Skenario 2 dengan software LINGO 11.0 pada Lampiran 4
diperoleh bahwa rute yang dipilih ialah Rute 1. Biaya yang digunakan adalah
230.788.000 rupiah. Stasiun-stasiun yang berada pada rute tersebut ialah Stasiun
1, 2, 3, 4, 5, dan 6 yang diilustrasikan oleh Gambar 4. Frekuensi perjalanan kereta
yang melewati Rute 1 pada Arah 1 sama dengan frekuensi perjalanan kereta yang
melewati Rute 1 pada Arah 2 yaitu 9. Jadi frekuensi perjalanan kereta yang
melewati Rute 1 adalah 18. Frekuensi perjalanan ini, tidak melebihi frekuensi
perjalanan maksimum sebanyak 170. Realisasi demand penumpang terangkut
selalu sama dengan demand penumpang yang ada. Demand penumpang
keseluruhan sama dengan banyaknya penumpang yang terangkut sebanyak 32275
orang.
1
2
3
Keterangan:
Rute 1 :
4
5
6
Gambar 5 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 2
Tabel 4 menjelaskan bahwa penumpang yang ada di kereta untuk setiap
segmen tidak melebihi total kapasitas kereta yang melewati segmen tersebut.
Selain itu, banyaknya penumpang di kereta pada setiap segmen yang dilewati oleh
kereta selalu sama dengan demand penumpang pada segmen tersebut. Utilitas
adalah banyaknya penumpang di kereta dibagi dengan total kapasitas kereta.
Utilitas pada setiap segmen berbeda-beda dan selalu lebih kecil dari 100%.
Artinya kereta tidak pernah terisi penuh pada setiap segmen yang dilewatinya,
sehingga masih dimungkinkan ada penambahan penumpang.
13
Tabel 4 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 2
Demand
Penumpang
Frekuensi
Total
Utilitas
Segmen
penumpang
di kereta
perjalanan
kapasitas
(%)
1
6435
6435
9
10800
60
2
8142
8142
9
10800
75
3
10261
10261
9
10800
95
4
10339
10339
9
10800
96
5
6226
6226
9
10800
58
25
7348
7348
9
10800
68
26
5758
5758
9
10800
53
29
5953
5953
9
10800
55
30
8616
8616
9
10800
80
31
7562
7562
9
10800
70
Skenario 3
Pada Skenario 3 akan diperlihatkan bahwa terdapat penumpang yang transit.
Diberikan demand penumpang yang stasiun asal dan stasiun tujuannya terletak
pada rute yang sama. Stasiun-stasiun tersebut berada pada Rute 1 dan Rute 14.
Selainnya demand penumpang bernilai 0 (kecuali demand penumpang dari
Stasiun 1 ke Stasiun 20 dan dari Stasiun 2 ke Stasiun 20).
Hasil komputasi Skenario 3 dengan software LINGO 11.0 pada Lampiran 5
diperoleh bahwa rute yang dipilih ialah Rute 1 dan Rute 14. Biaya yang
digunakan adalah 557.466.000 rupiah. Stasiun-stasiun yang berada pada Rute 1
ialah Stasiun 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan stasiun-stasiun yang berada pada Rute
14 ialah Stasiun 20, 10, 7, 3, 13, 14, 15, 16 yang diilustrasikan oleh Gambar 4.
20
1
10
2
14
15
Keterangan:
Rute 1 :
Rute 14 :
:
16
13
3
7
4
5
6
Gambar 6 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 3
Frekuensi perjalanan kereta yang melewati Rute 1 pada Arah 1 sama dengan
frekuensi perjalanan kereta yang melewati Rute 1 pada Arah 2, yaitu 9. Jadi
14
frekuensi perjalanan kereta yang melewati Rute 1 adalah 18. Frekuensi perjalanan
kereta yang melewati Rute 14 pada Arah 1 sama dengan frekuensi perjalanan
kereta yang melewati Rute 14 pada Arah 2 yaitu 11. Jadi frekuensi perjalanan
kereta yang melewati Rute 14 adalah itu 22. Frekuensi perjalanan ini, tidak
melebihi frekuensi perjalanan maksimum sebanyak 170.
Realisasi demand penumpang terangkut dapat dilihat di Lampiran 6.
Realisasi demand penumpang terangkut tidak melebihi demand penumpang yang
ada. Demand penumpang yang terangkut juga selalu lebih besar atau sama dengan
90% demand yang ada.
Tabel 5 dapat dilihat bahwa penumpang yang ada di kereta untuk setiap
segmen tidak melebihi total kapasitas kereta yang melewati segmen tersebut.
Total kapasitas adalah kapasitas kereta dikalikan dengan frekuensi perjalanan
kereta yang melewati suatu segmen. Selain itu dapat dilihat juga bahwa
banyaknya penumpang di kereta pada setiap segmen yang dilewati oleh kereta
selalu lebih kecil atau sama dengan demand penumpang pada segmen tersebut.
Utilitas adalah banyaknya penumpang di kereta dibagi dengan total kapasitas
kereta. Utilitas pada setiap segmen berbeda-beda dan tidak selalu bernilai 100%.
Artinya kereta tidak selalu terisi penuh pada setiap segmen yang dilewatinya
sehingga masih dimungkinkan ada penambahan penumpang.
Tabel 5 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 3
Frekuensi
Demand
Penumpang
Total
Utilitas
Segmen
perjalanan
penumpang
di kereta
kapasitas
(%)
kereta
1
2
3
4
5
6
7
8
11
12
13
14
21
22
23
24
25
26
29
30
31
34
35
36
6843
8462
10261
10339
6226
10713
10731
4553
11693
13327
10083
5664
6202
9701
12487
9727
7348
5758
5953
8616
7562
12354
5182
11070
6843
8462
10261
10339
6226
10713
10731
4553
11693
13200
10083
5664
6202
9701
12487
9727
7348
5758
5953
8616
7562
12354
5182
11070
9
9
9
9
9
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
9
9
9
9
9
11
11
11
10800
10800
10800
10800
10800
13200
13200
13200
13200
13200
13200
13200
13200
13200
13200
13200
10800
10800
10800
10800
10800
13200
13200
13200
60
78
95
96
58
81
81
34
89
100
76
43
47
73
95
74
68
53
55
80
70
94
39
84
15
Skenario 4
Pada Skenario 4 ini, diberikan demand penumpang dari setiap stasiun asal
ke setiap stasiun tujuan seperti yang terdapat pada Lampiran 1. Detail hasil dapat
dilihat di Lampiran 7. Total frekuensi perjalanan kereta pada semua rute adalah
282. Rute yang dipilih ialah Rute 1, 3, 6, 12, dan 15 dan diilustrasikan oleh
Gambar 7. Biaya operasional yang digunakan adalah 2.800.952.000 rupiah.
Demand penumpang dari setiap stasiun asal ke setiap stasiun tujuan selalu sama
dengan realisasi demand penumpang yang diangkut.
Tabel 6 Frekuensi perjalanan setiap rute Skenario 4
Rute
Frekuensi perjalanan
1
3
6
12
15
78
26
54
62
50
Frekuensi perjalanan
Arah 1
39
13
27
31
25
Frekuensi perjalanan
Arah 2
39
13
27
31
25
11
12
20
17
1
14
2
10
18
13
3
7
15
19
Keterangan:
Rute 1 :
Rute 3 :
Rute 6 :
Rute 12 :
Rute 15 :
4
16
5
8
9
6
Gambar 7 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 4
Tabel 7 dapat dilihat bahwa penumpang yang ada di kereta untuk setiap
segmen tidak melebihi total kapasitas kereta yang melewati segmen tersebut.
Total kapasitas adalah kapasitas kereta dikalikan dengan frekuensi perjalanan
kereta yang melewati suatu segmen. Selain itu dapat dilihat juga bahwa
banyaknya penumpang di kereta pada setiap segmen yang dilewati oleh kereta
selalu sama dengan demand penumpang pada segmen tersebut.
16
Utilitas adalah penumpang di kereta dibagi dengan total kapasitas kereta.
Utilitas pada setiap segmen berbeda-beda dan selalu lebih kecil dari 100%.
Artinya kereta tidak selalu terisi penuh pada setiap segmen yang dilewatinya
sehingga masih dimungkinkan ada penambahan penumpang. Demand penumpang
keseluruhan sama dengan banyaknya penumpang terangkut sebanyak 341696
orang.
Tabel 7 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 4
Demand
Penumpang Frekuensi
Total
Utilitas
Segmen
penumpang
di kereta
perjalanan kapasitas
(%)
1
46053
46053
52
62400
74
2
57378
57378
52
62400
92
3
45851
45851
39
46800
98
4
34302
34302
39
46800
73
5
19957
19957
39
46800
43
6
65514
65514
56
67200
97
7
28663
28663
25
30000
95
8
12549
12549
25
30000
42
9
34312
34312
31
37200
92
10
19420
19420
31
37200
52
11
77462
77462
69
82800
94
12
72837
72837
69
82800
88
13
36139
36139
31
37200
97
14
19730
19730
31
37200
53
15
43659
43659
38
45600
96
16
29054
29054
38
45600
64
17
18480
18480
38
45600
41
18
19145
19145
38
45600
42
19
30084
30084
38
45600
66
20
45354
45354
38
45600
99
21
19870
19870
31
37200
53
22
35283
35283
31
37200
95
23
71644
71644
69
82800
87
24
75567
75567
69
82800
91
25
56354
56354
52
62400
90
26
45559
45559
52
62400
73
27
29695
29695
27
32400
92
28
17186
17186
27
32400
53
29
19932
19932
39
46800
43
30
33090
33090
39
46800
71
31
42975
42975
39
46800
92
32
18832
18832
31
37200
51
33
33873
33873
31
37200
91
34
67107
67107
56
67200
99
35
13468
13468
25
30000
45
36
29546
29546
25
30000
98
37
17822
17822
27
32400
55
38
31352
31352
27
32400
97
17
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah penentuan rute dan frekuensi perjalanan kereta api pada jalur ganda
dapat diselesaikan menggunakan integer nonlinear programming (INLP) dengan
bantuan software LINGO 11. Dalam studi kasus yang dibahas, rute yang
diperoleh adalah rute yang dapat meminimumkan biaya operasional yaitu Rute 1,
3 ,6, 12, dan 15. Banyaknya penumpang yang diangkut adalah 341696 orang
dengan frekuensi perjalanan kereta sebanyak 282. Biaya operasional yang
digunakan adalah 2.800.952.000 rupiah.
Saran
Pada karya ilmiah ini, jumlah kendaraan yang tersedia diabaikan. Untuk
penelitian selanjutnya disarankan untuk membatasi jumlah kendaraan yang
tersedia serta menggunakan jaringan rel Jabodetabek sebenarnya.
DAFTAR PUSTAKA
D’Ariano A. 2008. Improving real-time train dispatching: models, algorithms and
applications [tesis]. Delft: Faculty of Civil Engineering and Geosciences,
Delft University of Technology.
Kompas. 2011. Rute KRL diefektifkan [internet]. [diunduh 2013 Juni 1]. Tersedia
di http://www.krl.co.id/BERITA-TERKINI/rute-krl-diefektifkan.html.
Novena M, Widiyanto Y. 2011. Hari ini sistem loop line kereta berlaku penuh
[internet]. [diunduh 2013 Juni 1]. Tersedia di http://archive.is/TAyY.
[PT KAI] Perseroan Terbatas Kereta Api Indonesia. 1998. Peraturan Pemerintah
Republik Indonesia Nomor 69 tentang Prasarana dan Sarana Kereta Api.
Jakarta (ID): PT KAI.
[PT KAI] Perseroan Terbatas Kereta Api Indonesia. 2005. Peraturan Direktur
Jenderal Perhubungan Darat Nomor 770 tentang Pedoman Teknis
Perlintasan Sebidang antara Jalan dengan Jalur Kereta Api. Jakarta (ID): PT
KAI.
Winston WL. 2004. Operation Research Applications and Algorithm. Ed ke-4.
New York: Duxbury.
18
18
Lampiran 1 Data hipotetik demand penumpang dari stasiun asal ke stasiun tujuan
Stasiun
asal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
0
1871
152
39
1933
1763
142
1325
1501
729
586
1153
1131
307
1230
1663
1770
222
1820
90
2
2600
0
1902
445
69
1045
1332
1677
720
675
706
1912
398
843
1078
1436
1003
612
1714
229
3
211
1638
0
957
74
1237
402
1158
22
1966
1472
328
587
1030
700
1110
1457
677
304
1642
4
27
385
1151
0
1504
991
933
89
1593
299
1404
680
1184
69
1249
1519
707
56
1256
589
5
1851
1142
1345
800
0
917
1843
373
739
1308
568
474
39
1264
1668
380
187
911
306
172
6
1746
1142
1472
841
1025
0
837
1643
996
1539
1920
33
1152
310
618
1419
305
75
1721
1163
7
178
1660
443
980
1795
769
0
1854
776
1193
69
1682
154
1143
810
26
305
517
1309
1375
8
1409
1569
1247
65
372
1596
1926
0
1711
394
1434
136
1789
102
546
1217
1118
545
876
247
Stasiun tujuan
9
10
11
1433 811 487
910 663 633
30 1855 1465
1461 330 473
836 1222 775
1147 1882 1793
914 1264 97
1696 401 1145
0
593 614
694
0
880
405 785
0
1816 89 1814
1477 176 781
1316 769 182
250 1232 1448
1673 928 262
314 1139 665
1989 807 1321
479 1214 27
580
36 1273
12
1337
1879
310
888
532
47
1478
128
1687
86
1812
0
1233
1129
95
1131
732
1156
131
1395
13
830
262
315
1059
22
1094
201
1919
1399
143
817
1000
0
1974
88
1627
532
73
1896
1223
14
297
788
1157
76
1165
345
1451
147
1038
1186
279
1294
1714
0
624
1570
135
1728
1783
37
15
875
998
880
1493
1706
537
1783
603
157
846
1500
64
89
864
0
451
1981
595
1481
338
16
1494
1592
997
1841
370
1535
15
1248
1726
590
282
1080
1713
1437
381
0
1276
395
1227
531
17
603
995
1398
636
243
326
267
1302
458
1699
592
805
413
206
1513
1481
0
67
228
1897
18
250
623
816
62
1050
62
491
490
1888
711
1400
1686
81
236
731
372
81
0
954
297
19
1777
1904
396
963
240
1792
1481
986
520
1176
19
182
1649
1537
1488
1115
148
753
0
354
20
48
272
1795
612
167
1054
1330
264
694
46
1106
1594
12
64
496
490
1939
147
419
0
19
Lampiran 2 Syntax Lingo 11.0
Model:
Sets:
stasiun/1..20/;
segmen/1..38/:S,fr,y;
rute/1..16/:maks,biaya,C,x,freq;
arah/1..2/;
links2(rute,arah):F;
links1(stasiun, stasiun):Q,D;
Endsets
DATA:
Q, S, biaya, C, maks=@ole('DATAFIX.xlsx','PERMTN','DEMAND_SEGMEN',
'BIAYAOPERASIONAL','BIAYA_PEMELIHARAANRUTE',
'MAKSIMUM_PERJALANAN');
@ole('DATAFIX.xlsx','RUTEDIPAKAI','FREQPERJALANAN','PENUMPANG_
DIKERETA','FREKUENSI_SEGMEN','PENUMPANG')=x,freq,y,fr,D;
ENDDATA
M=100000;
kap=1200;
!Fungsi objektif;
min=@sum(rute(k):@sum(arah(v):biaya(k)*F(k,v)))+@sum(rute(k):
C(k)*x(k));
!KENDALA
!(1)Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i
ke stasiun tujuan j minimal 90% dari demand;
@for(links1(i,j):D(i,j)>0.9*Q(i,j));
@for(links1(i,j):D(i,j)-Q(i,j)=0);
@for(links1(i,j):@gin(D(i,j)));
@for(links1(i,j):D(i,j)>=0);
!(11) Kendala binari
@for(rute(k):@bin(x(k)));
24
Lampiran 3 Detail Hasil Komputasi Lingo 11.0 Skenario 1
Keterangan : Nilai yang dicantumkan hanyalah yang tidak bernilai 0
Global optimal solution found.
Objective value:
Objective bound:
Infeasibilities:
Extended solver steps:
Total solver iterations:
Variable
value
M
KAP
S( 1)
FR( 1)
FR( 2)
FR( 6)
FR( 7)
FR( 8)
FR( 25)
FR( 26)
FR( 34)
FR( 35)
FR( 36)
Y( 1)
Y( 26)
MAKS( 1)
MAKS( 2)
MAKS( 3)
MAKS( 4)
MAKS( 5)
MAKS( 6)
MAKS( 7)
MAKS( 8)
MAKS( 9)
100000.0
1200.000
2600.000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
2400.000
1871.000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
0.6327600E+08
0.6327600E+08
0.2702703E-07
0
14
MAKS( 10)
MAKS( 11)
MAKS( 12)
MAKS( 13)
MAKS( 14)
MAKS( 15)
MAKS( 16)
BIAYA( 1)
BIAYA( 2)
BIAYA( 3)
BIAYA( 4)
BIAYA( 5)
BIAYA( 6)
BIAYA( 7)
BIAYA( 8)
BIAYA( 9)
BIAYA( 10)
BIAYA( 11)
BIAYA( 12)
BIAYA( 13)
BIAYA( 14)
BIAYA( 15)
BIAYA( 16)
C( 1)
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.0000
170.