Pencarian akar-akar dari fungsi

Bab 4 Pencarian akar-akar dari fungsi

Bab ini memberikan gambaran penggunaan metode pencarian akar-akar fungsi untuk menyelesaikan masalah fisika. Setelah memahami bab ini dengan mempraktekkan tugas yang diberikan, diharapkan pengguna dapat menerapkannya pada masalah fisika lain yang lebih kompleks.

4.1 Metode Newton-Raphson

Pencarian akar-akar dari suatu fungsi sebarang f (x) adalah masalah untuk mencari nilai-nilai x sedemikian hingga

(4.1) Pencarian akar-akar suatu fungsi biasa juga disebut pencarian titik-titik nol suatu

f (x) = 0.

fungsi atau penyelesaian masalah tak linear. Salah satu metode baku untuk menyele- saikan masalah tersebut adalah dengan menggunakan metode Newton-Raphson yang berbentuk

dengan f ′ (x i ) = [df (x)/dx] x=x i dan i = 0, 1, . . .. Bentuk kaitan seperti persamaan

4.2 akan sering muncul dalam fisika komputasi dan disebut iterasi. Ide dasar dari iterasi adalah pemanfaatan satu nilai coba yang diberikan untuk mendapatkan nilai berikutnya yang lebih baik. Andaikan nilai coba yang diberikan kita lambangkan

x 0 maka semua ungkapan yang muncul pada ruas kiri persamaan 4.2 akan dapat dihitung, yang berarti x 1 akan dapat diperoleh nilainya. Dengan mengulangi langkah x 0 maka semua ungkapan yang muncul pada ruas kiri persamaan 4.2 akan dapat dihitung, yang berarti x 1 akan dapat diperoleh nilainya. Dengan mengulangi langkah

(4.3) Dalam analisis numerik dapat ditunjukkan bahwa iterasi Newton-Raphson akan men-

x n ≈ x n−1 atau f (x n ) ≈ 0.

capai konvergensi yang sangat cepat relatif dibanding metode lain apabila nilai coba awal yang diberikan tidak terlalau jauh dengan nilai akar yang dicari.

4.2 Contoh masalah fisika : medan listrik

Dua partikel bermuatan q 1 = +3 Coulomb dan q 2 = +5 Coulomb terpisah pada jarak 5 meter seperti nampak pada gambar 4.1. Tentukan lokasi titik P di antara kedua muatan yang memiliki medan listrik E = 0.

(5−x) meter

x meter

5 meter Gambar 4.1: Konfigurasi dua muatan

Menggunakan rumus medan listrik untuk partikel titik [5], pada titik P akan berlaku E 1 − E 2 = 0 yang berarti

Dengan sedikit penyederhanaan, persamaan tersebut dapat diubah ke masalah pen- carian akar-akar suatu fungsi seperti persamaan 4.1 yaitu

f (x) =

(5 − x) 2 x 2

Untuk dapat menggunakan iterasi Newton-Raphson maka masih diperlukan tu- runan satu kali dari f (x) pada persamaan 4.5 yang dalam hal ini berbentuk

(4.6) Langkah berikutnya adalah diperlukannya nilai coba awal x 0 sebagai penyelesaian

dx

(5 − x) 3

pendekatan. Dalam kebanyakan masalah fisika, informasi tentang nilai pendekatan tersebut kadang-kdang dapat ditentukan secara intuisi fisika dari masalah yang ditin- jau.

Untuk kasus soal ini, nilai coba dapat ditentukan sebagai berikut. Andaikan ke- dua partikel bermuatan sama maka mestinya titik P berada di tengah-tengah antara kedua muatan yaitu pada x = 2, 5 meter. Sekarang apabila diubah sedemikian hing-

ga q 2 lebih besar dibanding q 1 maka agar E 2 tetap bernilai sama dengan E 1 meng- haruskan titik P agak bergeser lebih dekat menuju q 1 . Ini berarti sekarang mestinya x > 2.5 sehingga nilai coba dapat diambil katakanlah bernilai x 0 = 3.0 atau yang lain. Bagi pemula yang belum terbiasa menggunakan intuisi fisis, cara termudah untuk memberikan nilai coba x 0 adalah dengan langsung mengeplot f (x) sehingga per- potongannya dengan sumbu x langsung dapat dilihat di monitor. Hal ini mudah dilakukan dengan paket plot seperti Mathematica atau GnuPlot seperti yang dising- gung pada bagian 3.3 atau 3.4. Gambar 4.2 menunjukkan plot yang dihasilkan Math-

2.8 kira-kira merupakan nilai coba yang cukup dekat dengan nilai akar yang sebenarnya. Dalam hal ini Mathematica sengaja dipilih karena selain digunakan untuk mengeplot fungsi, juga digunakan untuk memberikan gambaran tentang kegunaannya dalam membantu mencari turunan satu kali sebarang fungsi yang muncul pada metode Newton-Raphson.

ematica. Terlihat bahwa nilai x 0 ≈

Contoh program dalam bahasa Fortran 90 dengan nama prakt_s1_masalah1.f90 yang digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah seperti berikut.

!--------------------------------------------------- !Kalimat di antara tanda seperti ini merupakan !komentar agar program lebih mudah dipahami artinya !---------------------------------------------------

Gambar 4.2: Contoh paket Mathematica untuk membantu iterasi Newton-Raphson

PROGRAM titik_nol !---------------------------------------------------- !Contoh program pencarian akar-akar suatu fungsi f(x) !Tanggal 20 April 2001 !----------------------------------------------------

IMPLICIT NONE REAL :: x0,x1,delta,tol INTEGER :: i,imak

!---------------------------------------------------- !Batas iterasi dan toleransi yang diberikan !----------------------------------------------------

imak=20 tol=1.0e-4

WRITE(*,*)"Nilai akar = ",x1

!---------------------------------------------------- !Mendefinisikan function yaitu fungsi-fungsi yang !digunakan pada program !----------------------------------------------------

CONTAINS !---------------------------------------------------- !Fungsi f(x) didefinisikan disini !----------------------------------------------------

FUNCTION fung(x) REAL :: fung REAL, INTENT(in) :: x fung=3.0/(5.0-x)**2 - 5.0/x**2

END FUNCTION fung

!---------------------------------------------------- !Turunan satu kali fungsi f’(x)=df(x)/dx !didefinisikan disini !----------------------------------------------------

FUNCTION dfung(x) REAL :: dfung REAL, INTENT(in) :: x dfung=6.0/(5.0-x)**3 + 10.0/x**3

END FUNCTION dfung

END PROGRAM titik_nol Setelah di-compile dengan perintah f90 prakt_s1_masalah1.f90 dan di-

panggil executable filenya dengan perintah a.out akan diperoleh hasil seperti di bawah

pn@atom99:~ > a.out

Berikan masukan nilai x0 =

3.0 Akar iterasi ke

1 adalah

Akar iterasi ke

2 adalah

Akar iterasi ke

3 adalah

Nilai akar =

pn@atom99:~ > _ Terlihat bahwa dengan nilai coba x 0 = 3.0 maka iterasi Newton-Raphson sudah

konvergen pada nilai yang dicari hanya pada 3 putaran iterasi.

4.3 Tugas

Selesaikan masalah berikut mengikuti prosedur seperti yang sudah diuraikan di atas.

4.3.1 Masalah

Tentukan titik P yaitu titik dimana E = 0 ketika empat partikel bermuatan dijejer sedemikian hingga posisi q 1 dan q 2 persis seperti gambar 4.1. Adapun sebagai tam- bahan, q 3 = +6 Coulomb ditempatkan pada jarak 3 meter di kiri q 1 dan q 4 =2

Coulomb ditempatkan pada jarak 1 meter di kanan q 2 .

4.3.2 Catatan

Karena komputasi harus selesai pada hari praktikum itu juga sehingga laporan da- pat dikumpulkan pada praktikum berikutnya maka disarankan supaya hal-hal yang tidak terkait dengan komputasi dipersiapkan lebih dahulu di rumah. Sebagai contoh : untuk masalah pertama ini maka sketsa jajaran partikel bermuatan serta penjum- lahan semua medan listriknya supaya dikerjakan terlebih dahulu di rumah hingga didapatkan bentuk fungsi f (x) yang akan dicari nilai akarnya. Kemudian langkah komputasi dan jika perlu pengeplotan atau penurunan fungsi baru dilakukan pada waktu praktikum.