Masalah syarat batas

Bab 7 Masalah syarat batas

Bab ini memberikan gambaran penggunaan metode numerik untuk penyelesaian syarat batas yaitu masalah untuk

memecahkan persamaan diferensial secara numerik ketika nilai

fungsi pada kedua titik batas diketahui. Mengingat kebanyakan hukum dan masalah fisika diungkapkan dalam bentuk persamaan diferensial seperti uraian tersebut maka setelah menyelesaikan bab ini pengguna diharapkan memiliki kemampuan untuk menyelesaikan dan sekaligus memahami perilaku masalah fisika yang dihadapai.

7.1 Metode beda hingga

Ditinjau persoalan fisika yang disajikan oleh persamaan diferensial berbentuk

d 2 y dx 2

(7.1) dengan f (x) adalah fungsi yang bentuk eksplisitnya diketahui. Apabila penyelesa-

= f (x),

ian yang diinginkan adalah y(x) pada ranah x 0 ≤ x≤x N dimana nilai atau ben- tuk penyelesaian pada kedua titik batas yaitu y(x 0 )=y 0 dan y(x N )=y N sudah diketahui maka masalah tersebut dikenal sebagai masalah syarat batas. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan metode beda hingga yaitu mengganti persamaan (7.1) ke dalam bentuk diskret yaitu mengubah diferen- ian yang diinginkan adalah y(x) pada ranah x 0 ≤ x≤x N dimana nilai atau ben- tuk penyelesaian pada kedua titik batas yaitu y(x 0 )=y 0 dan y(x N )=y N sudah diketahui maka masalah tersebut dikenal sebagai masalah syarat batas. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan metode beda hingga yaitu mengganti persamaan (7.1) ke dalam bentuk diskret yaitu mengubah diferen-

y i−1 − 2y i +y i+1 =h 2 f i ,

(7.2) yang seperti biasa diambil kesepakatan simbol y i ≡ y(x i ), f i ≡ f (x i ) dan ukuran

langkah h=x i − x i−1 untuk i = 1, 2, 3, . . . , N. Berbeda dengan masalah syarat awal, disini nilai y(x) yang akan dicari harus sesuai pada batas x 0 dan x N . Ini berarti persamaan (7.2) tidak dapat diselesaikan satu persatu untuk tiap i tertentu tetapi harus diselesaikan secara serentak untuk seluruh i yang ada. Apabila nilai N besar maka cacah persamaan menjadi banyak sekali. Salah satu metode paling efektif untuk memecahkan banyak persamaan secara serentak adalah menggunakan cara matriks. Mudah dibuktikan bahwa bentuk matriks dari persamaan (7.2) adalah

Jika dilihat secara seksama pada persamaan matriks tersebut, akan terlihat bahwa setiap baris dari matrik pertama pada ruas kiri hanya memiliki unsur bernilai tidak nol paling banyak sebanyak tiga kolom sedang kolom yang lain selalu bernilai nol. Matrik berbentuk seperti ini biasa disebut matrik tridiagonal.

7.2 Penyelesaian matriks tridiagonal

Salah satu metode efisien untuk menyelesaikan sistem persamaan simultan yang ter- susun atas matriks tridiagonal seperti di atas adalah dengan cara eleminasi unsur- unsur yang terletak persis di bawah diagonal utama [4]. Bentuk umum masalah yang Salah satu metode efisien untuk menyelesaikan sistem persamaan simultan yang ter- susun atas matriks tridiagonal seperti di atas adalah dengan cara eleminasi unsur- unsur yang terletak persis di bawah diagonal utama [4]. Bentuk umum masalah yang

Dengan mendefinisikan kaitan β j =b j −

ρ j−1 , untuk j = 2, 3, . . . , N − 1 (7.5) dimana β 1 =b 1 dan ρ 1 =r 1 maka persamaan (7.4) berubah menjadi bentuk per-

samaan matriks

Bentuk persamaan (7.6) sangat menarik karena memungkinkan semua y i dapat diper- oleh dengan cara substitusi balik yaitu pertama dihitung y N −1 melalui kaitan

y N −1 =

ρ N −1 β N −1

(7.7) Setelah y N −1 didapatkan maka y i yang lain diperoleh melalui kaitan y N −j =

ρ N −j − c N −j y N −j+1 β N −j

, untuk j = 2, 3, . . . , N − 1. (7.8)

7.3 Contoh masalah fisika : potensial listrik

Hukum Gauss dalam bentuk diferensial untuk medan listrik E dinyatakan sebagai [5]

∇ ·E=

q= !

ρ dV (7.10)

Mengingat medan listrik dikaitkan dengan potensial listrik φ oleh ungkapan E = −∇φ maka persamaan (7.9) dapat dinyatakan juga sebagai ∇ · ∇φ = −ρ/" 0 yang

dalam satu dimensi berbentuk

Dapat dilihat bahwa persamaan (8.6) berbentuk sama dengan persamaan (7.1) se- hingga metode penyelesaian yang dijelaskan di depan dapat digunakan untuk men- cari potensial listrik pada syarat batas yang diberikan.

Tinjau suatu daerah antara 0 ≤ x ≤ 3 yang memiliki rapat muatan berbentuk ρ (x) = 3" 0 x dan adanya syarat batas nilai potensial φ(0) = 0 dan φ(3) = 0. Masalah ini dapat dirumuskan seperti persamaan (7.1) dengan mengambil y(x) = φ(x) dan

f (x) = −ρ(x)/" 0 = −3" 0 x/" 0 = −3x. Di bawah ini adalah contoh program untuk menyelesaikan masalah di atas dengan nama prakt_s1_masalah4.f90.

PROGRAM syarat_batas !-------------------------------------------------------- !Contoh program penyelesaian masalah syarat batas dengan !metode beda hingga serta matriks tridiagonal !Tanggal 5 Mei 2001 !--------------------------------------------------------

IMPLICIT NONE REAL, DIMENSION(0:100) :: x,y,a,b,c,r,beta,rho REAL :: h INTEGER ::n,i

!-------------------------------------------------------- !Masukan untuk cacah titik n, batas kiri x(0) dan batas !kanan x(n) daerah yang ditinjau, ukuran langkah h !serta syarat batas potensial di x0 dan xn

!-------------------------------------------------------- n=30 x(0)=0.0 x(n)=3.0 h=(x(n)-x(0))/n y(0)=10.0 y(n)=0.0

!-------------------------------------------------------- !Memasukkan unsur-unsur matrik a(i), b(i), c(i) dan r(i) !Khusus untuk i=1 dan i=n-1, unsur matriks r(i) berbeda !dengan yang lain karena ada pengurangan dengan y0 dan yn !--------------------------------------------------------

DO i=1,(n-1) x(i)=x(0)+i*h b(i)=-2.0 IF (i .EQ. 1) THEN

r(i)=f(x(i))*h**2-y(0) ELSE IF (i .EQ. (n-1)) THEN r(i)=f(x(i))*h**2-y(n) ELSE r(i)=f(x(i))*h**2 END IF END IF END DO DO i=1,(n-2)

c(i)=1.0 END DO DO i=2,(n-1)

a(i)=1.0 END DO

f=-3*xx END FUNCTION f

!--------------------------------------------------------- !Mengubah matriks tridiagonal dan perluasannya a(i), b(i), !c(i) dan r(i) agar menjadi beta(i), c(i) dan rho(i) !---------------------------------------------------------

SUBROUTINE tridiagonal(m,a,b,c,r,beta,rho) IMPLICIT NONE REAL, DIMENSION(0:100), INTENT(in) :: a,b,c,r REAL, DIMENSION(0:100), INTENT(out) :: beta,rho INTEGER, INTENT(in) :: m REAL :: pengali

beta(1)=b(1) rho(1)=r(1) DO i=2,m

pengali=a(i)/beta(i-1) beta(i)=b(i)-pengali*c(i-1) rho(i)=r(i)-pengali*rho(i-1)

END DO END SUBROUTINE tridiagonal END PROGRAM syarat_batas

Setelah di-compile dan dieksekusi maka tampilan grafik φ sebagai fungsi x nam- pak seperti gambar (7.1) di bawah ini.

7.4 Tugas

1. Modifikasi program tersebut untuk berbagai kemungkinan masukan dan kemu- dian anda coba untuk menganalisis hasil yang diperoleh.

2. Dalam fisika dasar ditunjukkan bahwa jika jarak antara dua keping kapasitor

12 ’data.txt’

10

) (x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 3 Gambar 7.1: Grafik dari potensial φ sebagai fungsi x dengan f (x) = −3x

adalah a dan di ruang antara dua keping kapasitor tersebut tidak ada sum- ber muatan (ruang hampa) maka medan listriknya adalah konstan sebesar E sedang potensialnya adalah

V = Ex. Coba anda tunjukkan bahwa hasil anali- tik ini juga dapat diperoleh dari komputasi di atas.