dalam biplot imbuhan yaitu matriks yang merepresentasikan suatu peubah.
Algoritme untuk membangun biplot imbuhan dari biplot biasa:
1. Matriks B merepresentasikan peubah yang
merupakan pendekatan untuk analisis biplot biasa.
2. Matriks merepresentasikan peubah
yang merupakan pendekatan untuk analisis biplot imbuhan.
3. Misalkan menyatakan panjang vektor
dari pendekatan analisis biplot biasa. 4. Misalkan
menyatakan panjang vektor
dari pendekatan analisis biplot imbuhan.
5. Hubungan antara matriks B dengan
matriks adalah
, dengan
merupakan matriks diagonal berupa konstanta yang menyatakan besarnya
peregangan atau pemampatan dari vektor biplot biasa.
6. Hubungan antara dan
adalah | |
. Bartkowiak dan Szustalewicz 1995.
Analisis Procrustes Misalkan X dan Y merupakan matriks
yang berukuran dan
yang masing-masing adalah representasi
konfigurasi yang akan dibandingkan. Koordinat titik ke-i pada ruang Euclid yang
diberikan oleh nilai-nilai baris ke-i pada matriks. Konfigurasi pertama berada pada
ruang berdimensi p dan koordinat titik ke-i yaitu
, , … ,
. Sedangkan konfigurasi kedua berada pada ruang berdimensi q dan
koordinat titik ke-i yaitu ,
, … , .
Jika maka konfigurasi kedua berada
dalam subruang dari ruang berdimensi p. Berdasarkan analisis procrustes, perbedaan
ruang dimensi ini dapat diselesaikan dengan memasangkan
kolom nol di kanan Y
sehingga menjadi matriks berukuran .
Dengan demikian, dapat digunakan secara umum
. Untuk menentukan ukuran kesesuaian
dalam dua konfigurasi, analisis procrustes menggunakan jumlah kuadrat jarak antara titik
yang bersesuaian yaitu
, ∑ ∑
tr
T
12 Bakhtiar dan Siswadi 2011.
Translasi
Translasi dapat diartikan sebagai proses pemindahan seluruh titik dengan jarak yang
tetap dan arah yang sama. Dari persamaan 12 diperoleh
,
∑ 13
Penguraian dari persamaan 13 menghasilkan ,
, 14
dengan
, , … , , , … ,
∑
y untuk j=1, 2, ... , p
dan merupakan konfigurasi X dan
Y setelah ditranslasi.
dan masing-
masing adalah sentroid kolom dari X dan Y. Sedangkan
merupakan jarak dari kedua
sentroid kolom X dan Y. Untuk menghasilkan E yang minimum, maka
. Dengan demikian, nilai perbedaan
minimum antara dua konfigurasi X dan Y setelah ditranslasi adalah
, ,
∑ ∑ 15
Rotasi Rotasi dapat didefinisikan sebagai suatu
proses pemindahan seluruh titik dengan sudut yang tetap tanpa mengubah jarak setiap titik
terhadap sentroidnya. Dalam transformasi ini dilakukan penggandaan konfigurasi dengan
suatu matriks ortogonal.
Rotasi Y terhadap X dilakukan dengan mengalikan matriks Y dengan matriks
ortogonal Q
yaitu ,
, dengan
T T
.
Dengan demikian, perbedaan minimum
konfigurasi X dengan Y setelah penyesuaian dengan rotasi ialah
, inf
, 16
Secara aljabar, nilai perbedaan minimum setelah dilakukan penyesuaian dengan rotasi
ialah ,
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T T
17 Nilai E akan minimum jika
tr
T T
maksimum. Jadi, dipilih matriks ortogonal Q yang memaksimumkan
tr
T T
.
Teorema Jika X dan Y merupakan elemen dalam
dan Q elemen dalam merupakan
matriks ortogonal maka tr
T T
akan maksimum bila dipilih
T
dengan ∑
T
merupakan hasil Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap DNSBL dari
matriks
T
.
Bukti:
Andaikan ∑
T
merupakan hasil DNSBL dari matriks
p
T
sehingga
p
T
p
∑
T
. ∑
adalah matriks diagonal dengan
dan U, V merupakan matriks
ortogonal, sehingga tr
T T
tr
T T
tr
T T T
tr
T
tr ∑
T
tr
T
∑
Karena Q merupakan matriks ortogonal
maka
T
juga merupakan matriks ortogonal. Dimisalkan
T
maka berlaku , sehingga
tr
T T
tr ∑ ∑
tr ∑ Jadi,
tr ∑ akan maksimum jika ∑
T
∑ ∑. Kondisi ini dapat dipenuhi jika
T
Bakhtiar 1995.
Dilasi
Dilasi dapat didefinisikan sebagai pembesaran atau pengecilan jarak setiap titik
dalam konfigurasi terhadap sentroidnya.
Dilasi Y terhadap X dilakukan dengan mengalikan konfigurasi Y dengan suatu skalar
c. Konfigurasi setelah dilasi menjadi cY. Dengan demikian perbedaan minimum antara
dua konfigurasi setelah dilasi ialah
, inf
, 18
Secara aljabar, perbedaan minimum setelah dilakukan penyesuaian dengan dilasi
ialah ,
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
19 Persamaan 19 merupakan fungsi kuadrat
dengan variabel c. Syarat untuk memperoleh nilai E yang minimum ialah turunan pertama
sama dengan nol dan turunan kedua lebih besar nol. Dengan terlebih dahulu menentukan
titik kritis dari turunan pertama sehingga diperoleh c sebagai titik tetap.
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
20 Untuk membuktikan nilai E minimum
ialah turunan kedua dari persamaan 19 harus lebih dari nol.
tr
T
Dari bukti di atas dapat disimpulkan bahwa nilai E minimum dengan nilai c pada
persamaan 20. Setelah itu, substitusi nilai c ke dalam persamaan 19 sehingga diperoleh
nilai E yang minimum sebagai berikut
, tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
tr
T
METODE PENELITIAN
Pada bagian ini dijelaskan tahapan-tahapan dalam penelitian, yaitu studi literatur, objek
dan peubah yang akan digunakan dalam penelitian, serta analisis dan pemrograman.
Studi Literatur
Studi literatur meliputi pencarian berbagai informasi yang berhubungan dengan topik
yang dibahas. Studi literatur dilakukan di Perpustakaan Pusat Institut Pertanian Bogor,
Perpustakaan FMIPA IPB, Perpustakaan Statistika IPB, dan Perpustakaan Matematika
IPB.
Langkah-langkah untuk mendapatkan informasi:
9 Menelusuri ketepatan biplot biasa dengan menggunakan ukuran kesesuaian dari
Gabriel 2002. 9 Menentukan kesesuaian konfigurasi
matriks data, objek, dan peubah menggunakan analisis procrustes.
9 Melakukan perbandingan analisis biplot biasa dengan biplot imbuhan dari analisis
yang diperoleh.
Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder mengenai mahasiswa
Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama BUD DEPAG yang diperoleh dari
Direktorat Pendidikan Tingkat Persiapan Bersama Institut Pertanian Bogor TPB IPB,
yang terdiri atas data tentang provinsi asal pondok pesantren, data nilai mutu mata kuliah
yang diikuti bersama dan IPK mahasiswa BUD DEPAG TPB IPB tahun akademik
20092010. Peubah Penelitian
Peubah yang digunakan dalam penelitian ini ialah:
1. Nilai mutu mata kuliah Agama AG, 2. Nilai mutu mata kuliah Biologi BI,
3. Nilai mutu mata kuliah Ekonomi Umum
EK, 4. Nilai mutu mata kuliah Fisika FI,
5. Nilai mutu mata kuliah Bahasa Indonesia ID,
6. Nilai mutu mata kuliah Bahasa Inggris IG,
7. Nilai mutu mata kuliah Kalkulus KA, 8. Nilai mutu mata kuliah Kimia KI,
9. Nilai mutu mata kuliah Pengantar Kewirausahaan KW,
10. Nilai mutu mata kuliah Pengantar Matematika PM,
11. Nilai mutu mata kuliah Olahraga dan Seni OR,
12. Nilai mutu mata kuliah Pengantar Ilmu Pertanian PI,
13. Nilai mutu mata kuliah Sosiologi Umum SO,
14. Nilai mutu mata kuliah Pengantar Kewarganegaraan PK, dan
15. Nilai mutu Indeks Prestasi Kumulatif IP.
Objek Penelitian
Objek penelitian adalah provinsi yang terwakili oleh mahasiswa BUD DEPAG TPB
IPB tahun akademik 20092010 yang berjumlah 18 provinsi asal dari 69 mahasiswa
seperti disajikan dalam Tabel 1. Tabel 1. Objek penelitian berdasarkan
provinsi
Asal Provinsi Kode
Jumlah mahasiswa
NAD 1 3
SUMUT 2 3
SUMBAR 3 2
RIAU 4 1
JAMBI 5 1
SUMSEL 6 1
LAMPUNG 7 1
DKI JAKARTA 8
3 JABAR 9
18 BANTEN 10
5 JATENG 11
6 DIY 12
1 JATIM 13
17 BALI 14
1 NTB 15
2 SULSEL 16
2 SULBAR 17
1 GORONTALO 18 1
Total Mahasiswa 69
Analisis dan pemrograman
Dalam penelitian ini, eksplorasi data asal matriks data 69 15 dilakukan dengan
boxplot peubah mata kuliah dan IPK masing- masing provinsi, serta korelasi Pearson
menggunakan MINITAB 15. Pengelompokan provinsi berdasarkan hasil dari visualisasi
biplot menggunakan data asal dan dianalisis dengan menggunakan paket BiplotPack versi
4.1.0 dengan software Mathematica 8.0 Ardana 2011 untuk biplot biasa dan biplot
imbuhan menggunakan program yang akan disusun menggunakan software Mathematica.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Rumusan Umum Biplot Imbuhan
Dalam pembahasan ini, diperkenalkan
matriks H dari hasil dekomposisi nilai singular dengan menggunakan
dari
hasil biplot biasa. Matriks H merepresentasikan gambaran suatu peubah.
Bentuk umum matriks H berukuran
, yaitu
p
… …
… …
21 kemudian dilakukan pendekatan dengan
menggunakan dua kolom pertama dari matriks H,
, yaitu matriks B mempunyai bentuk umum
sebagai berikut:
p
22
Matriks H juga didekati dengan matriks
berukuran yang merupakan
pendekatan untuk modifikasi biplot yang lebih dikenal dengan biplot imbuhan dan
mempunyai bentuk umum:
p
23 Hubungan antara matriks
dengan matriks
adalah
p
=
p p
, dengan C
adalah matriks diagonal …
… …
dengan
T
merupakan matriks
T
yang elemen-elemen diagonal utamanya digantikan
oleh elemen-elemen diagonal utamanya matriks
T
.
Rumusan Umum Ukuran Kesesuaian dengan Analisis Procrustes
Ukuran kesesuaian matriks data, objek dan peubah dalam analisis biplot biasa dan analisis
biplot imbuhan dapat diperoleh dengan menggunakan nilai perbedaan minimum
dalam analisis procrustes. Hal ini dilakukan dengan menggunakan tiga transformasi
geometris, yaitu translasi, rotasi dan dilasi.
Algoritme untuk menghitung ukuran kesesuaian dengan analisis procrustes:
1. Misalkan suatu konfigurasi matriks
berukuran
dan Y konfigurasi
matriks pendekatannya. 2. Menghitung sentroid kolom dari masing-
masing konfigurasi, yaitu dan
, dengan rumus
T
dan
T
.
3. Menghitung konfigurasi X dan konfigurasi Y
