Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 69
5.1 Integral Lipat Dua
5.1.1 Integral Lipat Dua Pada Bidang Segiempat
Perhatikan Gambar 5.1. Proyeksi kurva permukaan
, y
x f
z
pada bidang xoy adalah daerah pengintegralan D. Jika daerah pengintegralannya berupa bidang segiempat dengan
b x
a
dan
d y
c
, secara umum ditulis:
} ,
| ,
{ d
y c
b x
a y
x D
.
Gambar 5.1
Pengintegralan
, y
x f
terhadap daerah
} ,
| ,
{ d
y c
b x
a y
x D
dinyatakan sebagai integral berulang sebagai berikut:
D b
a d
c
dydx y
x f
dA y
x f
, ,
Catatan: Ketika mengintegralkan terhadap x, anggap y konstanta. Demikian pula, ketika mengintegralkan terhadap y, anggap x konstanta.
CONTOH 1 Hitung
D
dA y
x 2
dengan
} 1
, 2
| ,
{ y
x y
x D
.
Penyelesaian
Integralkan dulu bagian dalam terhadap y anggap x konstanta, hasilnya kemudian integralkan terhadap x.
2 1
2 2
dydx y
x dA
y x
D
5 ]
[ 2
] 2
[
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
2 1
x x
dx x
dx y
xy
D x
y
a b
c d
, y
x f
z
D
y x
z
a b
c d
Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 70
CONTOH 2 Hitung
3 2
1 2
2
dxdy xy
y x
.
Penyelesaian
3 2
1 2
2 2
1 3
3 1
3 2
1 2
2
] [
dy y
x y
x dxdy
xy y
x
24 ]
[ ]
[
3 3
2 1
2 6
7 3
2 2
3 3
7
y y
dy y
y
Interpretasi geometris integral lipat dua
D
dA y
x f
,
adalah volume bangun di bawah permukaan
, y
x f
z
yang berada di atas bidang D. Jika
1 ,
y x
f
, integral tersebut
D
dA
sama dengan luas bidang D.
CONTOH 3 Tentukan volume bangun di bawah permukaan
2 2
4 y
x z
yang berada di atas bidang
} 1
, 1
| ,
{ y
x y
x D
.
Penyelesaian
Bangun di bawah permukaan
2 2
4 y
x z
yang berada di atas bidang
} 1
, 1
| ,
{ y
x y
x D
adalah seperti
pada Gambar 5.2 di samping. Volume bangun tersebut adalah
1 1
2 2
2 2
4 4
dydx y
x dA
y x
V
D 1
2 3
11 1
1 3
3 1
2
] 4
[ dx
x dx
y y
x y
3 10
1 3
3 1
3 11
] [
x x
5.1.2 Integral Lipat Dua Pada Bidang Bukan Segiempat
Daerah pengintegralan dapat berupa bidang sebarang bukan segiempat, seperti diilustrasikan pada Gambar 5.4. Untuk kasus seperti ini, kita dapat mengambil batas pada sumbu-x konstanta,
sedangkan batas pada sumbu y sebagai fungsi dari x atau sebaliknya. Pada Gambar 5.4a, daerah
pengintegralan adalah
} ,
| ,
{ x
y x
b x
a y
x D
. Sementara itu, pada
Gambar 5.4b , daerah pengintegralan adalah
} ,
| ,
{ d
y c
y x
y y
x D
. y
x z
1 1
4 3
2
Gambar 5.2
Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 71
Gambar 5.4
Jika
, y
x f
diintegralkan terhadap
} ,
| ,
{ x
y x
b x
a y
x D
, integralnya ditulis sebagai
b a
x x
D
dydx y
x f
dA y
x f
, ,
Di lain pihak, jika daerah pengintegralannya
} ,
| ,
{ d
y c
y x
y y
x D
,
d c
y y
D
dxdy y
x f
dA y
x f
, ,
CONTOH 4 Hitung
2 2
2
x x
xydydx
.
Penyelesaian
3 8
2 6
12 1
4 2
1 2
5 2
1 3
2 2
2 2
1 2
2
] [
2 ]
[
2 2
x x
dx x
x dx
xy xydydx
x x
x x
.
CONTOH 5 Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh
x y
2
dan
2
x y
.
Penyelesaian
Dari skets daerah pengintegralan diperoleh x
y
a b
x x
x y
c d
y y
D D
a b
x y
2 4
2
x y
x y
2
D
Gambar 5.3
Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 72
} 2
, 2
| ,
{
2
x y
x x
y x
D
Dengan demikian, luas daerah D adalah
2 2
2 2
2
2
dx x
x dydx
dA A
x x
D
3 4
] [
2 3
3 1
2
x x
CONTOH 6 Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang
y x
z 2
4
dan bidang koordinat.
Penyelesaian
Bangun tetrahedron yang dibatasi oleh bidang
y x
z 2
4
dan bidang koordinat
diperlihatkan pada Gambar 5.5.
Gambar 5.5
Daerah pengintegralan proyeksi bangun pada bidang xoy berupa segitiga dan dapat dinyatakan oleh
} 2
4 ,
2 |
, {
x y
x y
x D
. Dengan demikian, volume tetrahedron tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
2 2
4
2 4
2 4
x D
dydx y
x dA
y x
V
2 2
2 1
2 2
4 2
2 1
2 4
2 4
2 2
4 4
] 2
4 [
dx x
x x
x dx
y xy
y
x 2
2 2
1 2
4 16
16 4
8 8
16 dx
x x
x x
x
3 16
] 4
8 [
2 8
8
2 3
3 2
2 2
2
x x
x dx
x x
4
4 2
x z
y 2
4
x y
x y
2 4
D
} 2
4 ,
2 |
, {
x y
x y
x D
Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 73
Mengubah Urutan Pengintegralan Kadang-kadang, mengintegralkan dalam urutan tertentu sulit
dilakukan. Salah satu cara mengatasinya adalah dengan mengubah urutan pengintegralan dari bentuk ”dydx” menjadi ”dxdy”. Meskipun urutan pengintegralan ini berubah, daerah
pengintegralannya tetap sehingga hasil akhirnya akan tetap sama. Mengubah urutan pengintegralan dapat dilakukan jika fungsi batas pengintegralan memiliki invers.
CONTOH 7 Hitung
D
ydA x
2
dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
x y
2
dan
2
x y
. Hitung integral ini dengan dua cara berbeda urutan.
Penyelesaian
Daerah pengintegralan D seperti diperlihatkan pada Gambar 5.6
. Daerah D ini dapat dinyatakan dalam dua cara sebagai berikut.
1
} 2
, 2
| ,
{
2
x y
x x
y x
D
2
} 2
, 4
| ,
{ y
x y
y y
x D
Untuk
} 2
, 2
| ,
{
2
x y
x x
y x
D
:
35 128
2 7
14 1
5 5
2 2
6 2
1 4
2 2
2 2
2 1
2 2
2 2
] [
2 ]
[
2 2
x x
dx x
x dx
y x
ydydx x
ydA x
x x
x x
D
Untuk
} 2
, 4
| ,
{ y
x y
y y
x D
:
35 128
4 5
120 1
21 2
4 4
24 1
3 1
4 2
3 3
1 4
2 2
2
] [
] [
2 7
2 5
y y
dx y
y dx
y x
ydxdy x
ydA x
y y
y y
D
Perhatikan bahwa hasil akhirnya sama. Jadi, mengubah urutan pengintegralan tidak akan mengubah hasil akhir hasil pengintegralan.
CONTOH 8 Hitung
dydx y
x x
x 2
4 2
4 3
2
.
Penyelesaian
Pengintegralan dengan urutan seperti di atas sulit dilakukan. Oleh karena itu, kita ubah urutan pengintegralannya. Dari batas-batas pengintegralan di atas diperoleh daerah pengintegralannya
adalah
} 2
, 4
| ,
{
2
x y
x y
x D
. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.7.
Daerah ini juga dapat dinyatakan sebagai
} 4
, |
, {
x y
x y
x D
. Dengan demikian, menghitung integralnya sebagai berikut.
x y
2 4
y x
x y
2
2 2
y x
x y
D
Gambar 5.6
Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 74
4 0 0
2 4
3 2
4 2
4 3
2
y x
dxdy y
x x
dydx y
x x
Untuk mengintegralkan bagian dalam terhadap x, gunakan metode substitusi:
dx x
du y
x u
3 2
4
4
dengan batas-batas:
2
y u
x
,
2
2y u
y x
Dengan demikian, diperoleh
4 2
1 4
2 2
1 2
1 4
2 2
1 4
1 4
0 0 2
4 3
1 2
] [
2 2
2 2
ydy dy
u dudy
u dxdy
y x
x
y y
y y
y
1 2
4 ]
1 2
[
4 2
4 1
y
Jadi,
1 2
4
4 0 0
2 4
3 2
4 2
4 3
2
y x
dxdy y
x x
dydx y
x x
.
SOAL-SOAL LATIHAN 5.1
1. Hitung integral berikut.
a
2 1
3 2
dxdy y
x
b
2 4
1 2
dydx xy
2. Tentukan
dA xy
D
jika: a D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
x
,
2 x
, dan
x y
2
. b D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
x y
dan
2
x y
. 3.
Nyatakan luas daerah D berikut dalam bentuk integral lipat dua, kemudian hitung integralnya. a
} ,
4 |
, {
x y
x x
y x
D
b D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
1 x
,
3 x
, dan
3 x
y
. 4.
Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan
36 4
9
2 2
y x
dan bidang
6 4
9 z
y x
. 5.
Tentukan volume bangun yang dibatasi oleh bidang
4 2
2 z
y x
dengan bidang koordinat.
4
2 x
y
4 y
y x
x y
2
D
Gambar 5.7
Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 75
6. Ubah urutan pengintegralan dari integral berikut.
a
2 0 1
,
x
dydx y
x f
b
4 2
,
y
dxdy y
x f
7. Skets daerah pengintegralan, ubah urutannya, kemudian hitung integralnya.
a
1 0 0
2
y x
dxdy e
b
sin
x
dydx y
y
5.2 Integral Lipat Tiga
Kategori