Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 75
6. Ubah urutan pengintegralan dari integral berikut.
a
2 0 1
,
x
dydx y
x f
b
4 2
,
y
dxdy y
x f
7. Skets daerah pengintegralan, ubah urutannya, kemudian hitung integralnya.
a
1 0 0
2
y x
dxdy e
b
sin
x
dydx y
y
5.2 Integral Lipat Tiga
Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi. Sebagai ilustrasi, tinjau sebuah balok yang panjangnya p, lebarnya l, dan tingginya t, seperti pada
Gambar 5.8a
. Dalam bentuk integral lipat dua, volume balok ditentukan dengan mengintegralkan
t y
x f
z ,
pada daerah
} ,
| ,
, {
l y
p x
z y
x D
sebagai berikut.
plt ltx
ltdx dx
ty tdydx
dA y
x f
V
p p
p l
p l D
0 0
] [
] [
,
Gambar 5.8
Sekarang, ambil segmen panjang pada x = dx, segmen panjang pada y = dy, dan segmen panjang pada z = dz. Segmen volume balok adalah
dzdydx dV
. Daerah penginteralannya adalah
} ,
, |
, ,
{ t
z l
y p
x z
y x
B
. Volume total balok ditentukan dengan integral lipat tiga sebagai berikut.
plt ltdx
tdydx dzdydx
dV
p p l
p l t B
0 0 0 0 0
. Hasilnya sama dengan cara menggunakan integral lipat dua.
dy dx
dz
x y
z
, y
x z
, y
x z
x y
x y
a b
x y
z
B
a b
p l
t
Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 76
Secara umum, fungsi
, ,
z y
x f
dapat diintegralkan pada daerah pengintegralannya.
Daerah pengintegralan integral lipat tiga lihat Gambar 5.8b secara umum ditulis:
} ,
, ,
, |
, ,
{ y
x z
y x
x y
x b
x a
z y
x B
. Bentuk integral lipat tiga dalam ditulis sebagai
b a
x x
y x
y x
B
dzdydx z
y x
f dV
z y
x f
, ,
, ,
, ,
Interpretasi geometri
dan fisis
Secara geometri,
dalam kasus
1 ,
, z
y x
f
,
B B
dV dV
z y
x f
, ,
adalah volume benda B. Secara fisis, untuk
, ,
z y
x f
pada B,
B
dV z
y x
f ,
,
massa benda dengan
, ,
z y
x f
massa jenis benda B di
, ,
z y
x
.
CONTOH 1 Hitung
1 x
x y
xyzdzdydx
.
Penyelesaian
1 3
2 1
1 2
2 1
1
] [
x x
x x
y x
x y
dydx xy
dydx xyz
xyzdzdydx
96 1
1 6
6 1
4 4
1 8
1 1
5 3
8 1
1 4
8 1
] [
] [
x x
dx x
x dx
xy
x x
.
CONTOH 2 Tentukan
dV yz
x
B 2
dengan
} ,
2 ,
1 |
, ,
{
2
xy z
x y
x x
z y
x B
.
Penyelesaian
1 1
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
] [
x x
xy x
x xy
B
dydx yz
x yzdzdydx
x dV
yz x
1 2
4 4
8 1
1 2
3 4
2 1
2 2
] [
dx y
x dydx
y x
x x
x x
936 119
1 13
13 1
9 9
16 8
1 1
12 8
8 1
] [
16 x
x dx
x x
Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 77
CONTOH 3 Sebuah benda B dibatasi oleh silinder parabol
2 2
1
2 x
z
dan bidang
z
,
x y
, dan
y
. Nyatakan volume benda dalam bentuk integral lipat tiga, kemudian carilah nilainya.
Penyelesaian Benda B yang dimaksud seperti ditunjukkan pada Gambar 5.9. Dari Gambar 5.9b jelas bahwa
daerah pengintegralannya adalah
} 2
, ,
2 |
, ,
{
2 2
1
x z
x y
x z
y x
B
. Dengan demikian,
2 0 0
2 2
1 2
0 0 2
2
2 2
1
x x
x B
dydx x
dzdydx dV
V
2 ]
[ 2
2 4
8 1
2 2
3 2
1
x x
dx x
x
Gambar 5.9
SOAL-SOAL LATIHAN 5.2
1. Hitung integral berikut.
a
dydx dz
z y
x
1 1
1 2
2 2
b
1 3
8 3
2 2
2 2
y y
x y
x
dzdxdy
2. Hitung
B
xdzdydx
jika a
} 2
, 2
, 1
| ,
, {
y x
z x
y x
z y
x B
b B adalah daerah yang dibatasi oleh permukaan
y x
z
2
4
dan bidang
1 x
,
y
,
2
1 x
y
, dan
3 z
. x
y z
Bidang y = 0 Bidang y = x
Pemukaan
2 2
1
2 x
z
x y
z
y = x Pemukaan
2 2
1
2 x
z
2
2
a b
Aip Saripudin Modul 5 Integral Lipat - 78
3. Benda B dibatasi oleh bidang
1 z
y
dan
2
x y
. Nyatakan volume benda B dalam bentuk integral berulang lipat tiga kemudian tentukan nilainya.
4. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang
1 z
x
dan
2 2z
y
di oktan pertama.
5.3 Transformasi Koordinat Pada Integral Lipat
