Sum b u Uta m a da n Mo m e n Ine rtia Uta m a

11.1 Sum b u Uta m a da n Mo m e n Ine rtia Uta m a

Tinjau bidang yang luasnya A dan sumbu koordinatnya x dan y (gambar 27). Dianggap bahwa momen inertia dan product inertia adalah:

I x = ∫ y 2 dA I y = ∫ x 2 dA I xy = ∫ xydA

Gambar 27. Sumbu Utama Momen Inertia

dari bidang A diketahui, dan harus ditentukan momen inertian dan product inertia I u ,I v dan I uv dari A terhadap sumbu baru u dan v yang diperoleh dengan memutar sumbu semula terhadap titik-asal melalui sudut θ .

Dengan memperhatikan hubungan antara koordinat u,v dan x,y dari elemen kecil luasan dA: u = x cos θ + y sin θ

v = y cos θ - x sin θ substitusi v ke dalam rumusan untuk I u , diperoleh:

I u = ∫ v 2 dA = ∫ (y cos θ - x sin θ ) 2 dA

= cos 2 θ∫ y 2 dA – 2sin θ cos θ∫ xy dA + sin 2 θ∫ x 2 dA

=I x cos 2 θ - 2I xy sin θ cos θ +I y sin 2 θ

dengan cara serupa, diperoleh rumusan untuk I v dan I uv :

I v =I x sin 2 θ + 2I xy sin θ cos θ +I y cos 2 θ

I xy =I x sin θ cos θ +I xy (cos 2 θ - sin 2 θ )–I y sin θ cos θ dengan menjumlahkan suku demi suku dari persamaan-persamaan diatas dapat diperoleh:

I u +I v =I x +I y

Hasil ini bisa diduga sejak semula, karena kedua bagian itu sama dengan

momen inertia polar I 0 .

Dengan memakai hubungan trigonometrik sin 2 θ = 2 sin θ cos θ dan cos 2 θ = cos 2 θ - sin 2 θ ; dan dengan menelaah persamaan-persamaan di atas diperoleh:

cos 2 θ + I xy sin 2 θ

I uv =

sin 2 θ + I xy cos 2 θ

Persamaan-persamaan di atas merupakan persamaan parametrik suatu lingkaran. Hal ini berarti bahwa jika dipilih suatu himpunan sumbu cartesian dan diplot titik M pada absis I u dan ordinat I uv untuk setiap parameter yang diberikan, maka semua titik yang diperoleh akan terletak pada suatu lingkaran. Untuk memperlihatkan sifat ini maka θ dieleminasi dari persamaan-persamaan diatas:

+ I uv = 

+ I xy

Jika 2 I av = dan R =  + I xy ; maka persamaan di atas

dapat ditulis dalam bentuk:

(I 2 u –I av ) 2 + I

uv =R 2

yang merupakan persamaan lingkaran dengan jari-jari R yang berpusat di titik C yang berabsis di I av dan ordinatnya O, seperti terlihat pada gambar

Gambar 28. Lingkaran Mohr Untuk Produk Inertia.

Tempat titik A dan B tempat kedua lingkaran yang diperoleh berpotongan dengan sumbu absis mempunyai daya tarik khusus. Titik A bersesuaian dengan harga maksimum momen kelembaman I u , sedangkan titik B bersesuaian dengan harga minimumnya. Disamping itu, kedua titik itu bertepatan dengan harga nol dari product momen I uv . Jadi, harga θ m dari parameter θ yang bersesuaian dengan titik A dan B dapat diperoleh dengan pengambilan I uv = 0. Dan dengan mengingat harga maksimum/minimum diperoleh jika dI u /d θ = 0 diperoleh:

tan 2 θ m = -2I xy /(I x –I y )

Persamaan ini mendefinisikan dua harga 2 θ m yang berbeda 180 o ; ini berarti ada dua harga θ m yang berbeda 90 o . Satu diantaranya bersesuaian dengan titik A pada gambar 28 dan dengan sumbu yang melalui O pada gambar 27; terhadap sumbu itu momen inertia yang diberikan menjadi maksimum. Harga yang lain bersesuaian dengan titik B dan sumbu yang melalui O; terhadap sumbu itu momen inertia bidang tersebut menjadi minimum. Kedua sumbu yang didefinisikan dengan cara itu yang saling tegak-lurus disebut sumb u uta ma b ida ng itu te rha da p O, dan harga momen inertia yang bersesuaian I max dan I min disebut mo me n ke le mb a ma n uta ma te rha da p O. Dari gambar 28 dapat dilihat:

I max =I av +R dan I min =I av –R

Dengan mensubstitusikan I av dan R, dapat ditulis:

I 2 max,min = ±  + I

2 xy  2 

Karena dua harga θ m diperoleh dengan mengambil I uv = 0, jelas bahwa perkalian inertia bidang yang diberikan terhadap sumbu utamanya menjadi nol. Dengan mengacu pembahasan-pembahasan sebelumnya, terlihat jika suatu bidang memiliki sumbu simetri melalui titik O, sumbu ini harus menjadi sumbu utama bidang itu terhadap O. Di pihak lain, suatu sumbu utama tidak perlu merupakan sumbu simetri; tidak

Sifat yang diperlihatkan tersebut berlaku untuk setiap titik O yang terletak di dalam atau di luar bidang yang ditinjau. Jika dipilih berimpit dengan titik berat bidang maka setiap sumbu melalui O ialah sumbu titik- berat; kedua sumbu utama bidang itu terhadap titik-berat dikenal sebagai sumbu titik-berat utama bidang itu.