Persaingan Harga Dan Lokasi Perluasan Model Hotelling

zsxa%xa-r6ocg

Ilinu a h h l i 6e&l
'(lntukliidupku &n &Kidupan
Ilinu 6ukan untukdi6an&gat&an
letapi untukdiamal&an
S e m e n 6anyakilmu
S e m e n renrlhli hati
&&an cong&ljhn merasa timi
~ u n a & nLmu &ti!@
Xatigunrlhlijugagem6ira
lerapkan ilmu s a t
Datang du& clbn 6aKagia
Gunakan Lmu tatkah
X a m 6er&ata atau &tam sen6116aliasa
Karena ilinu menyah&an e t a

!+upersem6ali&n kalya @ci@

ini untuk

16% BapaR, Windo, &n mba lkni

G/!QPit

'LOO
o%\(O

PERSALNGAN HARGA DAN LOKASI
Perluasan Model Hotelling

AD1 PRIYONO

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

RINGKASAN
AD1 PRIYONO. Persaingan Harga dan Lokasi : Perluasan Model Hotelling. Dibimbmg oleh

DOMINICUS SAVIO PRIYARSONO dan FARIDA HANUM.
Setiap produsen biasanya diasumsikan memaksimumkan imbalan (laba) yang diperolehnya dan
karena itulah produsen hams mampu menentukan strategi yang efektifuntuk melawan pesaingnya. Karya
ilmiah ini m e m b e r i i analisis persakgan spasial duopoli dengan variabel strategi berupa harga, lokasi,
serta harga dan lokasi. Pas= berbentuk garis lurus (linear) dan konsumen menyebar merata di sepanjang
pasar. Biaya transpovtasi dibebankan kepada konsumen. Karena produk yang ditawarkan bersifat homogen
maka konsumen akan membeli produk dengan harga pembelian yang terendah.
Pada persaingan harga, kesetimbangan diperoleh bila digunakan h g s i biaya transportasi yang
kuadratik. J i a digunakan h g s i biaya transportasi yang linear-kuadratik, ada kondisi yang menyebabkan
tidak adanya kesetimhangan harga. Sedangkan bila digunakan h g s i biaya transportasi yang linear,
kesetimbangan harga dicapai jika lokasi kedua pemsahaan-memenuhi syarat tertentu. Pada persaingan
dengan variabel lokasi, kesetimhangan lokasi dicapai ketika:kedua produsen memilih lokasi di tengahtengah (pusat) pasar. Persaingan dengan variabel strategi berupa harga dan lokasi dapat diiodelkan
menjadi dua bentuk permainan, yakni : permainan serentak dan permainan dua tahap. Pada permainan
serentak, tidak ada kesetimbangan harga-lokasi, apapun h g s i biaya transportasinya. Kesetimbangan
harga-lokasi dicapai jika penentuan harga dan lokasi dilakukan dalam dua tahap. Hasil analisis ini juga
menunjukkan adanya kecendenmgan tiap produsen untuk memaksimumkan diferensiasi.

PERSAINGAN HARGA DAN LOKASI
Perluasan Model Hotelling

AD1 PRIYONO

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Program Studi Matematika

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

Judul
Narna
NRP

: Persaingan Harga dan Lokasi : Perluasan Model Hotelling
: Adi Priyono

: GO5497015

Menyetujui,

Dr. Ir. D. S. Privarsono
Pembiiig I

Tanggal Lulus : 2 November 2001

Dra. ~ a r i d ~anum.
a
M.Si.
P e m b i i i g I1

RIWAUAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tegal pada tanggal 19 September 1978 sebagai anak kedua dari tiga
bersaudara, anak dari pasangan Mukdi dan Endang Budiastuti.
Tahun 1997 penulis lulus dari SMU Negeri 1 Depok dm pada tahun yang sama lulus seleksi
masuk IPB melalui jalw Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis diterima pada Program Studi Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan penulis menjadi asisten Matematika Dasar pada tahun ajaran
2000/2001.

PRAKATA
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan atas rahmat dan petunjuk Allah SWT sehingga karya
ilmiah ini berhasil diselesaikan. Karya ilmiah ini disusun sejak bulan Februari 2001 dengan judul
Persaingan Harga dan Lokasi :Perluasan Model Hotelling.
Selesainya penyusunan karya ilmiah ini juga berkat bantuan dari berbagai pihak, terutama
penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Ir. D. S. Priyarsono dan lbu &a. Farida Hanum, M. Si.
selaku pembiibing, serta Bapak Ir. Toni Bakhtiar, M.Sc. yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan
terima kasib juga penulis sampaikan kepada Bapak, Ibu, Wido, mba Teni, dan lik Tien, juga seluruh
keluarga atas doa, kasih sayang, dan dukungan yang tak berbatas jumlabnya. Untuk rekan-rekan :Danny,
Udin, Ludfi, Lya, Anda, M i i n , Ipunk, Jaenudin, Enny, Agung, Imam, Adji, terima kasih atas dukungan
yang telah kalian beriian. Terima kasih pula untuk rekan-rekan angkatan 34 dan seluruh staf jurusan
matematika.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, November 200 1
Adi Priyono

Halaman
DAFTAR GAMBAR................................................................................................

vi

DAFTAR LAMPIRAN.............................................................................................

vi

PENDAHULUAN
Latar Belakang..............................................................................................
Tujuan ........................................................................................................

1
1

LANDASAN TEORI
Teori Permainan .............................................................................................
Duopoii Hotelling...........................................................................................
. .

Permainan Statis dan Pennainan D~namrs..............................................................
Subgame Perfect Nash Equilibrium pada Permainan Dua Tahap
dengan Informasi Lengkap tetapi Tidak Sempuma....................................................

1
1
2
2

PEMBAHASAN
Konsep Dasar dalam Persaingan Spasial..............................................................
Persaingan dengan Variabel Harga dan Parameter Lokasi.........................................
Persaingan dengan Variabel Lokasi dan Parameter Harga............................................
Persaingan dengan Variabel Harga dan Lokasi .........................................................

3
5
10
11

DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................

14

LAMPIRAN..........................................................................................................

15

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 . Lokasi kedua perusahaan dan konsumen Hotelling .....................................................

2

2 . Lokasi perusahaan dan konsumen .........................................................................

4

3. Fungsi permintaan perusahaan 1 (atomic distribution).................................................

4

4 . Fungsi permintaan pemsahaan 1 (nonatomic distribution)............................................

5

5 . Lokasi perusahaan 1 dan 2.................................................................................

6

6. Fungsi permintaan perusahaan 1

7

7. p;

8

8.

.........................................................................
harga kesetimbangan...................................................................................

p; bukan harga kesetimbangan ..........................................................................

8

D m A R LAMPIRAN
Halaman
1. Detinisi dan ilustrasi fimgsi kuasikonkaf.................................................................
2 . Bukti syarat cukup untuk fimgsi imbalan yang kuasikonkaf...........................................

3. Bukti persamaan (1)..........................................................................................
4 . Gambar penurunan fimgsi permintaan perusahaan 1...................................................

5. Bukti Proposisi 1............................................................................................

6. Bukti Proposisi 2 ............................................................................................
7. Harga kesetimbangan kuadratik ...........................................................................
8. Kecenderungan perusahaan menjauhi pesaingnya ......................................................

9 . Harga kesetimbangan untuk persaingan harga dan lokasi.............................................

10 . Fungsi laba pemsahaan unNc persaingan harga dan lokasi ...........................................

Latar Belakang
Persaingan antarprodusen tidak dapat
dipisahkan dari kegiatan industri dan
perdagangan. Tiap produsen ingin mendapatkan
laba setinggi mungkii, antara lain dapat
dilakukan dengan cara memperluas pangsa
pasar. Berbagai macam shategi dan cara
dilakukan untuk mencapai tujuannya itu,
termasuk penentuan harga dan lokasi yang tepat.
Dalam suatu model pasar duopoli, setiap
produsen harus mampu menyusun shategi yang
efektif untuk melawan produsen yang lainnya
untuk mendapat konsumen sebanyak mungkin.
Dalam ha1 ini, biasanya tiap produsen membuat
diferensiasi dalam menghadapi pesaingnya.

Model Hotelliig sering digunakan untuk
menjelaskan persaingan spasial antarprodusen, tiap
produsen akan menentukan barga dan lokasi yang
tepat untuk memaksiiumkan labanya. Pada hllisan
ini akan dipaparkan analisis model Hotelling yang
telah dimodifikasi beberapa bagiannya.
Tulisan ini merupakan rekonshuksi dari sebagian
isi buku Location Theory yang ditulis oleh
J.J.Gabszewicz dan J.F. Thisse (1986).
Tujuan
Tulisan ini bertujuan memberikan suatu analisis
persaingan spasial antarprodusen dengan variabel
shategi yang berbeda, yalcni harga saja, lokasi saja,
serta harga dan lokasi sekaligus.

LANDASAN TEORI
Teori Permainan
Teori permainan adalah suatu kumpulan alat
analisis yang dirancang untuk meningkatkan
pemahaman atas situasi tertentu diiana terdapat
interaksi antara para pembuat keputusan. Ada
dua asumsi yang mendasari teori permainan,
yakni :
adanya fungsi tujuan yang bersifat eksogenus
dan terdefinisi dengan baik
setiap pembuat keputusan mempertimbangkan
ekspektasinya tentang perilaku pembuat
keputusan yang lain.
Model
teori
permainan
merupakan
representasi abstrak dari suatu situasi diiana
para pembuat keputusan saling berinteraksi.
Dengan teori ini kita dapat melihat hasil dari
interaksi antara para pembuat keputusan yang
bergantung pada bentuk interaksi itu sendiri.
Cakupan aplikasi teori ini begitu luas, yakni
meliputi analisis ekonomi, politik, sosiologi,
psikologi, dan biologi. Meskipun dapat dibahas
secara verbal, teori permainan secara leb'ih tajam
dapat dianalisis dengan bantuan matematika.
Definisi 1
Pemain adalah pembuat keputusan yang
mengambil pilihan aksi dari gugus shategi yang
ada.
Definisi 2
Ruang shategi (St)adalah himpunan pilihan aksi
yang dapat diambil oleh pemain ke-i dalam
suatu permainan.

Definisi 3
Imbalan (Ui) adalah fungsi yang menentukan hasil
yang diperoleh pemain ke-i atas kombiasi aksi yang
dipilih oleh setiap pemain.
Definisi 4
Kesetimbangan adalah suatu kondisi ketika sudah
tidak ada dorongan lagi bagi setiap pemain untuk
secara sepihak mengubah pilihan aksinya.
Definisi 5
Kesetimbangan Nash adalah suatu kondisi ketika
imbalan yang diperoleh tiap pemain lebih besar atau
sama dengan imbalan yang diterimanya jika ia
mengambil piliian aksi yang lain.
Duopoli Hotelling
Duopoli Hotelling merupakan suatu model teori
permainan yang dimainkan oleh dua orang pemain.
Para pemainnya adalah perusahaan yang saling
bersaing untuk mendapatkan konsumen sebanyak
mungkin untuk memperoleh laba maksimum dengan
shategi pilihan (diferensiasi) lokasi dan harga.
Misalkan kedua pemain tersebut adalah perusaham 1
dan perusahaan 2. Kedua perusahaan berada pada
suatu pasar yang berbentuk garis lurus dengan
panjang e . Misalkan lokasi perusahaan 1 dinotasikan
dengan A dan jaraknya dari sebelah kanan titik 0
adalah a . Sedangkan lokasi perusahaan 2 dinotasikan
dengan B, dan jaraknya dari sebelah kiri titik e
adalah b ,sedemikian sehingga a + b 5 ,'L a 2 0, b > 0.

-

*

o

--

A

B

e

Gambar 1.
Lokasi perusahaan dan konsumen model Hotelling.

Konsumen diasumsikan tersebar merata di
sepanjang garis e dan setiap konsumen membeli
tepat satu unit produk per satuan waktu. Tanpa
mengurangi keumuman, biaya produksi
diasumsikan nol. Karena barang yang
ditawarkan kedua pemsahaan bersifat homogen
maka konsumen akan membeli dari perusahaan
yang menawarkan harga pembelian @arga
produk + biaya hansportasi) yang palmg rendah.
Biaya hansportasi ditanggung oleh konsumen
dan diasumsikan linear terhadap jarak yang
ditempuh konsumen ke pemsahaan. Misalkan
p, dan p2masing-masing adalah harga produk
dari perusahaan 1 dan perusahaan 2, d m c ialah
biaya transportasi, dengan c > 0 . Jadi dalam
model teori permainan ini shateginya
adalah p, E S1= [o, w)dan p, E S2= [o, w)serta
imbalan yang diperoleh masing-masing pemain
diberikan oleh laba yang didapat.
Pada tulisan ini akan dijelaskan analisis
model Hotelling dengan modifikasi pada
beberapa bagiannya seperti :
fungsi biaya transportasi :

Definisi 6
Suatu permainan diatakan mempunyai informasi
lengkap apabila fungsi imbalan dari setiap pemain
dietahui oleh semua pemain dalam permainan
tersebut.
Definisi 7
Suatu permainan diatakan mempunyai informasi
sempuma apabila dalarn setiap tahap permainan, para
pemain mengetahui apa yang telah terjadi atau yang
telah dilakukan oieh pemain lain pada tahap
sebelumnya.
Misalkan S, adalah ruang shategi dari pemain ke-i
pada tahap ke-j. Misalkan pula a UE Ssadalah aksi
yang dipilih pemain ke-i pada tahap kej. Maka
jalannya permainan dua tahap dengan infomasi
lengkap dan sempuma adalah sebagai berikut :
1.Tahap I; pemain 1 dan pemain 2 secara serentak
memilih a,, dan a,, dari ruang strategi S,, dan
s21

.

2. Tahap 11; kedua pemain mengamati hasil dari tahap
I dan kemudian secara serentak memilih a,, dan
au dari mang strategi S12dan S,,.
3. Setelah itu pemain 1 mendapat imbalan
U,(all ,a2,,al2,a2,)dan pemain 2 mendapat
imbalan ~ , ( a , ,,a2, ,a,,,a, ).

t(s',s")=~~s'-s"~+d(s'-s")~,c>~,d>~,

fungsi seperti ini sering disebut sebagai
fungsi biaya hansportasi yang linearkuadratik. Disini s', s" menyatakan lokasi,
dengan sf, s" E [0,1].
* permainan berlangsung dalam dua tahap
(hoo stage game)
0 menggunakan
konsep Subgame-Perfect
Nash Equilibrium
Permainan Statis dan Permainan Dinamis
Dalam teori permainan dikenal istilah
permainan statis dan permainan dinamis. Suatu
permainan dikatakan statis jika permainan
tersebut berlangsung hanya dalam satu tahap
lalu selesai. Dalam permainan statis tiap pemain
secara simultan memilih shategi dari gugus
strategi yang ada, kemudian tiap pemain akan
menerima imbalan herdasarkan kombinasi
strategi yang mereka pilih kemudian permainan
selesai. Suatu permainan dikatakan dinamis jika
dilakukan leb'i dari satu tahap (secara bertahap)

Subgame Perfect Nash Equilibrium pada
Permainan Dna Tahap dengan Informasi Lengkap
tetapi Tidak Sempurna
Jalannya permainan dua tahap dengan informasi
lengkap tetapi tidak sempuma adalah sebagai herikut :
1.Pemain 1 dan 2 s e w a simultan berturut-turut
memilih a,, E S,, dan a2, E S2,.
2.Pemain 1 dan 2 mengamati hasil pada tahap
pertama, kemudian memilih secara simultan
berturut-turut a,, E S12 d m a2, E SZ2.
3. Imbalan yang diterima oleh pemain 1 dan pemain 2
berturut-turut adalah U, (a,, ,a,, ,aI2,a, ) dan
~z(flI,,fl2l,aI,,fl22).
Definisi 8
Bentuk normal dari suatu permainan dengan npemain terdiri atas ruang shategi para
dan fungsi imbalan para
pemain: S,,..., S,
pemain: U,, ...,U, , sehingga dapat dinotasikan
dengan G = {s,,...,S, ;U, ,..., U, }.

Definisi 9
Bentuk ekstensif permainan adalah bentuk
normal permainan yang disertai dengan urutan
kejadian permainan.
Definisi 10
Subgame adalah bagian dari permainan yang
dimulai dari suatu titik simpul pada bentuk
ekstensif permainan.

Jika kedua pemain mengantisipasi bahwa tindakan
pada tahap kedua akan memberikan basil

(ar2( a l 1a21
, ), a;2(allra Z 1 ) ) ,maka interaksi antara
kedua pemain pada tahap pertama adalah sebagai
berikut :
1.Pemain 1 dan 2 secara simultan berturut-torut
memilih all dan a,, dari ruang strategi Sll dan
s
2
1

2. Imhalan yang didapat oleh pemain 1 dan pemain 2

Definisi 11
Kesetimhangan Nash merupakan subgameperfect jika strategi para pemain merupakan
kesetimbangan Nash pada setiap subgame.
Definisi 12
Pada permainan yang berlangsung dalam dua
tahap dengan informasi lengkap tetapi tidak
sempuma, maka subgame-perfect outcomenya
addah : ( a t ,a;, ,a;, (a;,, a;,
(a;,,a;, )),
tetapi subgame-perfect Nash equilibriumnya

untuk i=1,2.
Misalkan pilihan
kesetimbangan Nash

aksi
yang

b

( a ,a ) adalah
tunggal maka

1

(a;,, a;,, a;2 (a;,. all a12(a;,,41
merupakan subgame-perfect outcome dari permainan
dua tahap tersehut.
Suatu kombimasi aksi diatakan subgame-perfect
Nash equilibrium jika kombimasi aksi tersehut
merupakan kesetimbangan Nash, dan strategi yang
dipili oleh para pemain tersebut m e ~ p a k a n
kesetimbangan Nash pada setiap subgame.

I),

adalah : (a;],a;l, a:2 (all,a21),a; ( a l l ,aZ1
dengan tanda * menunjukkan kondisi
kesetimbangan.

KONSEP DASAR DALAM PERSAINGAN SPASIAL
Kerangka spasial sangat cocok untuk
menjelaskan konsep industri yang berdasarkan
penyebaran lokasi perusahaan dan konsumen.
Misalkan suatu gugus perusahaan N = {1,..., n)
memproduksi suatu produk homogen dengan
gugus konsumen M = (1,..., m } . Tiap perusahaan
j , j E N berada pada sejumlah lokasi s , di S ;
dan setiap konsumen i, i e M berada pada
s i e S . Biaya transportasi per satu unit barang
untuk jarak antara lokasi konsumen i dan
perusahaan j dinotasikan dengan f(si, s /).
Diasumsikan perusahaan ke-j memproduksi
barang dengan hiaya marginal yang konstan
sebesar c j . Diasumsikan pula hahwa ada dua
kemungkiman tindakan konsumen, yakni tidak
membeli atau membeli tepat satu unit produk
per satuan waktu. Jumlah perusahaan adalah
terbatas finite) dan konsumen i mempunyai
batasan harga tertinggi yang bersedia dibayarkan
untuk satu unit harang yakni harga resewasi,
yang diiotasikan dengan n i .

Dalam persaingan spasial, harga yang ditentukan
oleh perusahaan menentukan jumlah permintam
terhadap produknya. Misalkan ada n perusahaan dan
vektor harga produk dalam industri tersehut
dinotasikan dengan
,..., ,..., p, ) Konsumen i
membeli dari perusahaan j jika dan hanya jika
memenuhi kondisi berikut :
i. pi + t ( s i , s j ) < z i ;

6,

..

1,.

pi

+tki,Sj)= zEn{pX

fki,sk)i

iii. jika ada suatu kondisi k # j sedemikian sehingga

Didehisikan pangsa pasar perusahaan j pada
harga

p

1p , , . . p

yang

dinotasikan

oleh

~,...,p( j ,...,p p a )~ dengan j = 1,2,..., n sebagai
gugus konsumen i e M yang telah memenuhi ketiga
,..., p, ) menyatakan
kondisi di atas. Misalkan A,
gugus konsumen yang tidak membeli harang dari
industri tersebut. Jadi
~

c = 0 menempati lokasi seperti ditunjukkan pada
Gambar 2. Perusahaan 1 dan 2 s e w a berturut-turut
Maka himpunan
berada pada s , dan s 2 , konsumen yang berada di s ,
dj(pl,...,pj ,..., pn),j = ,...,~n
sebanyak ml
sedangkan di s , sebanyak m2
adalah kumpulan m konsumen.
S e l m a tiap konsumen membeli paling konsumen.
Gambar 3 mengilustrasikan permintaan atas
banyak satu unit produk, maka permintaan
perusahaan
1 dengan harga tetap F2 sedemikian
terhadap perusahaan j pada tingkat harga
(PI,.... P . ) adalah Aj(p1 ,...,pj ,...,P,), dan sehingga t ( s l , s 2 ) < F 2 < f f < F 2+ + I ( S , , S ~ ) .
Permintaan atas perusaham 1 tersebut dibagi menjadi
dapat juga dinotasikan dengan ~,(p~,...,~,). 3 wilayah :
wilayah I, untuk p, > n maka permintaan atas.
"'1
m,
perusahaan 1 adalah nol.
S2
wilayah 11, untuk F , - t ( s l , s 2 ) < p, _ z i , v =,...,
l n,)

Gambar 3. Fungsi permintaan perusahaan 1 (atomic distribution).
Dapat dilihat bahwa h g s i permintaan pada
contoh ini tidak kontinu di p, = [0,m). Contoh
ini merupakan perpaduan prinsip mutually
exclusive oleh konsumen dan sebaran konsumen
yang berkelompok pada suatu lokasi (atomic
distribution).
Akan ditunjukkan satu contoh lagi yang
menggambarkan h g s i permintaan perusahaan
yang kontinu dengan menggunakan asumsi
konsumen yang tersebar merata pada setiap
lokasi
pasar
(nonatomic distribution).
Konsumen menyebar merata di sepanjang pasar
( S G S ) dengan fungsi
kepekatan kontinu
~ ( sdan
) setiap konsumen mempunyai harga
reservasi yang sama n(s).

Permintaan terhadap perusahaan j
(p,,...,p , ) diberikan oleh :

pada harga

dengan Aj ( p , ,...,p,,) adalah pangsa pasar bagi
perusahaan j yang memenuhi tiga kondisi yang telah
disebutkan sebelumnya.
Sejumlah konsumen yang semuanya identik
( z ( s )= z , V s E S ) tersebar merata di sepanjang pasar
dengan kepekatan sama dengan 1. Perusahaan 1 dan
perusahaan 2 berturut-turut berada di sl dan di s , .
Dengan menggunakan h g s i biaya transportasi linear
~(~,S~)=C(S-S'(,VS,S~E[S~,S~].

~ n t u kc(s2 -s,) n, maka Dl = 0
ii. jika 2n-P2 -c(s2 - s , ) ~ ~
< n, , maka Dl =-'T-PI
c
iii. jika

P2-c(s2

- s l ) < p , < 2 z - F 2 -c(s2 -sl)maka

iv. jika pl a > 0 ) (lihat
simetris s ' ---adan
Gambar 5).

dengan
:

2

ni~ai - ketika perusahaan 1
ap:
menetapkan harga sebesar pi dan
perusahaan 2 menetapkan harga
F2.

:

2

ni~ai - ketika perusahaan 1
ap:
menetapkan harga sebesar p; dan

I

II

-

- .
s
s,
112 s
s,
1
Gambar 5. Lokasi perusahaan 1 dan 2.

.o

Untuk mendapatkan fungsi permintaan perusahaan 1
maka terlebih dahulu harus digambarkan berbagai
kemungkinan penentuan harga oleh perusahaan I
(lihat Lampiran 4).

Untuk nilai tetap ji, ,maka fungsi permintaan pemsahaan 1 adalah sebagai berikut :
jika p, 2 p; = F2 + 2ac + 2ad;
wilayah 1
0,

f

p2 - p , +2ad+c
, jika p; > p, > p,"= p2 -2ac-4a2d;
D~G~,P~)={
4ad+ZE
ji2 - p l +2ad-2ac ..
,jlkapm,> pl 2 pi"= F2 -2ac-2ad;
4ad
1,
jika p ; 5 pl 2 0

wilayah 3

I

Tampak pada Gambar 6 bahwa fungsi permintaan
pemsahaan I linear. Tapi ketika harga p, = pr ,
1
dengan batas pasar tepat pada s, =-+a, h g s i
2
permintaan menunjukkan kekakuan atau patah

0

I
2

-..(I

-1
2

-1+ a
2

wilayah 4
wilayah 5

sehingga menyebabkan fungsi permintaan menjadi
tidak konkaf. Sedangkan fungsi laba perusahaan 1
dapat diperoleh dengan mengalikan fungsi
pmintaan dengan p , .

1

DI

(PI

2

p2

1

Gambar 6. Fungsi permintaan pemsahaan 1.
Jetas bahwa fungsi labs Perusahaan bergantung
pada p 2 , nilai parameter a Cjarak antara dua
pemsahaan), serta c dan d (yang mengukur
proporsi relatif linear dan kuadratik dari fungsi
biaya transportasi).
~ ~ a b iada
l a harga kesetimbangan ( & , p ; ) ,
maka haruslah P; mervakan tanggapan terbaii
terhadap p; pada daerah asal dengan batas

pas, terletak antara lokasi kedua perusahaan, dan p;
juga merupakan tanggapan terbaik terhadap p;

.

Untuk memastikan bahwa ( P ; ,P; ) mem~akanharga
kesetimbangan, maka pasangan harga tersebut hams
mencegah
perusaham
harganya secara sepihak untuk menarik konsumen
dari wilayah pasar pesaingnya. Perhatikan kedua
gambar GrikuGni :

PI

=pi. pi

P;

P;

pi

PI

Gambar 7. p; harga kesetimbangan.
Berdasarkan nilai a, c, dan d , maka ada dua ha1
yang mungkin terjadi pada saat perusahaan 2
menetapkan p :
Pertama, seperti ditunjukkan pada Gambar 7,
p,(p, ,p;)maksimum pada p;, tidak hanya di
wilayah 3, melainkan juga pada seluruh daerah
asal shategi. Sehingga perusaham 1 tidak akan
mengubah harganya menjadi p, (harga yang
memberikan laba lebii besar dan mengambil
pangsa pasar perusahaan 2 ).
Kedua, seperti ditunjukkan pada Gambar 8,
laba perusahaan 1 lebii besar jika ditetapkan
harga sebesar p, dibandingkan dengan p;

;

.

sehmgga (p; ,pi) bukan harga kesetimbangan .
Proposisi 1 berikut ini menunjukkan bahwa kasus
kedua terjadi bila a < 114 dan c/d > 21711 - 4a.
Proposisi 1
Misalkan t(s, st)= cls -s'l +d(s - s')',

jika c/d > 16a2/(l-2a)' maka tidak ada harga
kesetimbangan.
1
1
ii.Uutuk - < a < - ,
6
4
jika cld > 2a/(l-4a)maka tidak ada harga
kesetimbangan
Bukti : ( l i a t Lampiran 5).

Gambar 8.

p;

bukan harga kesetimbangan.

Dari Proposisi 1, dapat diambil kesimpulan
bahwa harga kesetimbangan tidak ada ketika
lokasi kedua perusahaan berdekatan (nilai a
kecil), dan ketika proporsi linear dari fungsi biaya
hansportasi relatif lebii besar daripada proporsi
kuadratik.
Sedangkan pada saat c = 0 , nantinya akan
ditunjukkan bahwa fungsi permintaan perusahaan 1
konkaf (selama a2~/apIz
= O pada [p;:p;])
sehingga harga kesetimbangan akan dijamin
keberadaannya. Sebalknya, bila d = 0 maka kita
kembali ke model Hotelling. Untuk menjelaskan
kedua kasus ini, akan digunakan model Hotelling
yang ditulis oleh d'Aspremont (1979).
Pada model ini, pasar berbentuk garis lums
dengan panjang & .Pemsahaan 1 terletak di A
dengan jarak dari sebelah kanan titik 0 sebesar a ,
dan pemsahaan 2 terletak di B dengan jarak dari
sebelah kiri titik t adalah sebesar b ,
(a+bse,aro,b?0).
Tanpa mengurangi keumuman, biaya produksi
diasumsikan nol. Konsumen tersebar merata di
sepanjang garis dan mengkonsumsi tepat satu unit
barang per satuan waktu. Karena barang homogen,
konsumen akan membeli produk dengan harga
pembelian (harga produk + biaya hansportasi)
yang terendah.
Jika d = Omaka fungsi biaya hansportasi adalah
linear, dan fungsi laba kedua perusahaan sebagai
berikut :

1
1
1
ap, +-(t-a-b)p, +-plp2 - - p I 2 ,
2
2c
2c
!PI, jika P , < P , -c(e-a-b);
0, jika p, > p 2 +c(t-a-b).

jika

IPI

-pzIsc(e-a-bh

ep2, jika p2 < P , -c(e-a-b);
0, jika p2 z p , +c(e-a-b).

Proposisi berikut ini menunjukkan eksistensi
harga kesetimbangan dengan menggunakan fungsi
biaya transportasi linear.

Proposisi 2: Untuk a +b = B ,titik kesetimbangan
yang tunggal diberikan oleh p; = p; = 0 . Untuk
a + b < !f , ada satu titik kesetimbangan jika dan
hanya jika

dan jika ada titik kesetimbangan ditentukan secara
tunggal oleh :

Bukti :(lil~atLampiran 6).
Berdasmkan Proposisi 2, maka apabila
dipertimbangkan lokasi yang simetris di sekitar
pusat pasar (a = b) maka syarat (2) dan (3) akan
menjadi a = b < t/4. Dengan kata lain, pemsahaan
1 dan peNS&aan 2 hams menempati lokasi di luar
kuartil pasar untuk mendapatkan harga
kesetimbangan .

Jiia c = 0 maka fungsi biaya transportasi adalah
kuadratik, sehimgga fungsi permintaan kedua
peN~kIhaansebagai berikut :

+=

..
, j i a O s a + P2 -PI
k(t!-a-b)
2
2c(&-a-b)
P2 - P I +- e - a - b > & ;
2c(!-a-b)
2
&-a-b
e ;
2
e-0-6
(7)
P~)
Kedua fbngsi laba tersebut menjamin eksistensi
harga kesetimbangan, di setiap lokasi kedua
pemsahaan. Dan pasangan harga kesetimbangan
(p,* ,p2 tersebut ditentukan oleh :

'1

p

-

a

-

(91

(lihat Lampiran 7).
Pasangan harga kesetimbangan
tersebut
merupakan titik kesetimbangan Nash yang tunggal

untuk nilai tetap a dan b , tanpa adanya syarat
kondisi bagi parameter a dan b .Jika kedua harga
kesetimbangan tersebut disubstitusikan ke fbngsi
laba kedua perusahaan maka akan didapatkan nilai
a ~ , ( p , .P20)laa
,
dan a ~ ~ ( p , ' , p ~ * )adalah
lab
negatif (lihat Lampiran 8).
Hal ini menunjukkan adanya kecenderungan
dari setiap perusahaan untuk menjauhi pesaingnya.
Dari penjelasan di atas jelas bahwa eksistensi
harga kesetimbangan bukan disebabkan oleh
kekontinuan h g s i permintaan melainkan lebii
disebabkan oleh kekonkafan fbngsi permintaan.
Dengan h g s i biaya transportasi yang kuadratik
maka eksistensi harga kesetimbangan dijamin
untuk setiap lokasi yang dipilih setiap pemain.

MODEL I1
PERSAINGAN DENGAN VARIABEL LOKASI DAN PARAMETER HARGA
Pada sejumlah industri, pemsahaan tidak
menggunakan harga sebagai strategi karena terikat
oleh perjanjian kartel atau harga ditentukan oleh
mekanisme pasar. Dalam teori lokasi selain dengan
mengurangi harga, untuk menarik konsumen dapat
dilakukan dengan bersaing menentukan lokasi toko
yang memastikan penjualan sebanyak mungkim.
Jika lokasi kedua pemsahaan cukup dekat, maka
permintaan tiap pemsahaan bergantung pada kedua
lokasi pemsahaan. Misalkan ada dua perusahaan
yang masing-masing memiliki satu toko bersaing
pada pasar linear yang panjangnya satu. Lokasi
perusahaan 1 yakni s, < 112 sedangkan perusahaan
2 terletak pada s2 = s, -E,E> 0 dan sangat kecil.
Ukuran pasar bagi pemsahaan 2 adalah sl -c/2.
Kemudian misalkan perusahaan 2 memilih lokasi
S; = s , +E,
maka ukuran pasar pemsahaan 2
menjadi l - s , - 612 yang nilainya lebih besar dari
S , - ~ / 2 selama s1 < 112 . Dengan kata lain
perpindahan perusahaan di luar titik tengah 112
menimbulkan ketidakkontinuan pada ukuran pasar
dan juga fbngsi permintaan.

Dalam ha1 ini ukuran pasar bagi suatu
pemsahaan adalah gugus konsumen yang letaknya
iebii dekat ke perusahaan tersebut daripada ke
pesaingnya. Diasumsikan ada dua perusahaan
terletak pada p a w yang panjangnya sahl dan
konsumen menyebar merata di sepanjang pasar.
Misalkan lokasi pemsahaan 1 di luar titik pusat,
maka pemahaan 2 dapat memaksimumkan
imbalannya dengan menentukan lokasi di dekat
pemsahaan 1 pada sisi yang lebih panjang. Tetapi
kemudian pemsahaan 1 punya insentif untuk
'melompati' pesaingnya selama diizinkan untuk
menambah ukuran pasarnya. Perilaku seperti ini
mencegah lokasi selain titik pusat sebagai lokasi
kesetimbangan. Sedangkan jika kedua pemsahaan
berlokasi di pusat pasar, tiap perusahaan mendapat
112 bagian pasar, sehingga pergerakan suatu
perusahaan secara sepihak akan menyebabkan
pengurangan ukuran pasamya. Dengan kata lain,
satu-satunya lokasi kesetimbangan untuk kedua
perusahaan adalah di tengah-tengah pasar.

MODEL III
PERSAINGAN DENGAN VARIABEL HARGA DAN LOKASI
Jiia sebelumnya perusahaan diasumsikan hanya
menggunakan strategi tunggal yakni harga saja
atau lokasi ~ a h .Maka sekarang perusaham
dibolehkan memilih lokasi dan harga sekaligus.
pembahasan h i dapat dimodelkan menjadi dua,
yakni dengan permainan serentak dan permainan
dua tahap.

Permainan serentak (simultaneous game)
i,
Pada permainan ini, strategi
- bagi
- perusaham
dengan i =1,2 adalah (Pi,~;).Dan kesetimbangan
harga-lokasi adalah strategi (pf,sj) sedemikian
sehingga ,Vp, 2 0,Vs; E S,i = 1,2, i # j :

.P;(~~,S~).(P;,S~))=PJD;(~J.S~).~;,S;))
2 P;.,((P;
Pada permainan serentak ini tidak ada
kesetimbangan harga-lokasi, apapun fimgsi
biaya transportasinya. Untuk membuktiiannya,
misalkan ada kesetimbangan harga-lokasi. Maka
pada kesetimbangan ini tiap perusahaan
mendapatkan laba yang positif dan berimplikasi
p; + 0 dm p; + 0. ~k~ muncul dua kasus:

+

Pertama, s,' + s; .
Tanpa mengurangi keumuman kita asumsikan
laba perusahaan 2 lebii besm atau sama dengan
laba perusahaan 1. Maka perusahaan 1 dapat
meningkatkan labanya dengan memili Fl = sz
dan mengubah harganya menjadi
p, = pp; - E, E > 0 sangat kecil,
sehingga

(61 b 6;

b 6;

PI
,q
,s; ))> P Z ( ~3 s;;
>s;))
dan sekarang permahaan 1 menda~atkanseluruh
pasar dengan harga pl =pi -&, sehingga

).(P;,s;))=p;((P; ,s; )(p;,sj))
~ e d s;~= s;.
~ ,

.Sf

+

Dan haruslah P; = P; # O agar kedua perusaham
mendapatkan laba positif Tetapi dengan argumen
Bertrand, yang menyatakan bahwa ketika kedua
perusahaan berada pada suatu lokasi yang sama maka
memimi harm 1eb.i besar
permahaan
mempunyai insentif untuk mengubah harganya
menjadi lebii kecil dari harga pesaingnya maka pada
& h i m diperoleh p,' = p; = 0 .Hal h i kontradiisi

*

dengan pemyataan p; = p;
.
Permainan dua tahap (M-stage game)
Pada permainan ini, lokasi dipili lebii dahulu (pada
tahap pertama) baru kemudian menentukan harga
@ada tahap kedua).
(sl ,s2 p; (sl ,sz))harga kesetimbangan
Misalkan
berkaitan dengan pasangan lokasi (sl,s,), maka titik
pe+ct equilibrium untuk pasangan harga-lokasi
adalah
s; )(p;,s;))sedemikian sehingga :

(P;

).

(6;.

P~((F,.sI~(P;~~;))>P~(~;~s;~(P;,s;)).

Hal ini kontradiii dengan pernyataan (pf ,sf )
adalah kesetimbangan harga-lokasi.

ii.

=p;(s;,s;)

iii. P;(sf,s;)~~(sf,s;;pj(~f,~j)p;(~f,~;))~p~(~i,s;)~j(si,s;;~f(sj,s;)~;k~,s;))
Meskipun lokasi dipilih pada tahap pertma,
namun pada saat memilih lokasi tiap perusahaan
mengantisipasi konsekuensi pilihan mereka
terhadap pilian harga pada tahap selanjulnya.
Akan digunakan &nisi biaya transportasi

kuadratik, t(s, s')= d(s -s')2;s,sf E s = [o,I~d > 0.
Sehingga fimgsi permintaan tiap perusahaan adalah
sebagai berlkut :

~
-s:)
jika p, > p ; = F +d(s:
D I ( P I , ~ s ,{) =
~ / - p2 ,4+2 d- (S Is) ~ - s, ~j..~)k a p; > p i ? p ; = & - d ( s 2 - s 1 X 2 - s 1 - s , )

dan

1:

~2(jS;,p2)=

jika p, < P;;
jika p2 2 p ; = p l + d ( s 2- s l J 2 - s , -s2A

p, - p 2 +d(s2 - ~ , X z - s ,- s 2 ) , j~ka
.. p ; > p 2 2 p ; = p l - d ( S : - s ; )
2 4 2 -9 )

jika p2 < p ; .

Dari limgsi pennintaan di atas tampak bahwa
untuk setiap lokasi ( s I . s 2 ) , limgsi permintam
konkaf yang berimpliiasi pada limgsi laba yang
kuasikonkaf pada harga, sehiigga menjamin
adanya harga kesetimbangan

(lihat Lampiran 9).
Pasangan harga pada persamaan (10) dan (1 1)
merupakan harga kesetimbangan yang tunggal
(s, , s 2 ) .Lalu substitusikan harga tersebut ke
( P : ( ~ I > ~ ~ X P ; ( ~ I ~ ~ ~ ) ) untuk
.
Dengan menggunakan s p a t turunan pertama limgsi laba (limgsi permintaan dikalikan harga
diperoleh :
kesetimbangan ) keduaperusahaan sehingga limgsi
laba hanya m e ~ p a k a nh g s i dari s, dan s 2 ,
yakni:

(lihat Lampiran 10).
Dengan menggunakan syarat turunan pertama,
ternyata diperoleh aP,/as, bernilai negatif
sedangkan aP2/as2 bernilai positif, yang
artinya pergerakan suatu perusaham menjauh

dari pesaingnya akan mendatangkan laha yang leb'i
besar sehingga perusaham 1 dan perusahaan 2 akan
bergerak sejauh mungkii dari pesaingnya. Hal ini
dapat ditunjukkan sebagai berikut :

Hal ini menyebabkan tiap perusahaan memilih
lok=i perusaham pads titik ujung-ujung Pmar,

sehingga perfect equilibrium untuk pasangan harga
lokasi adalah : ((& ,s; (p;, s;))= ((d,~),(d,l))

1

KESIMPULAN
Pada persaingan spasial duopoli yang
menggunakan variabel strategi harga, eksistensi
barga kesetimbangan ditentukan oleh kekonkafan
fungsi permintaan, bukan oleh kekontinuan fungsi
permintam. Untuk h g s i biaya transportasi yang
linear-kuadratik, eksistensi harga kesetimba&&
ditentukan oleh jar& antara kedua perusahaan,
juga perbandingan antara parameter linear dan
kuadratik. Harga kesetimbangan tidak ada ketika
lokasi kedua perusaham berdekatan (nilai a
kecil), dan ketika proporsi linear dari fimgsi biaya
hansportasi relatif lebih besar daripada proporsi
kuadratik. Sedangkan bila menggunakan fungsi
biaya transportasi Yang kuadratik, maka fungsi

pennintaan konkaf dan harga kesetimbangan
dijamin keberadaannya. Sebaliiya, untuk fungsi
biaya transportasi yang berbentuk linear, harga
kesetimbangan ada untuk kondisi tertentu.
Pada persaingan spasial duopoli yang
menggunakan sha& lokasi, satu-satunya lokasi
kesetimbangan bagi kedua perusahaan adalah di
tengah-tengah pasar. Sedangkan bila kedua
perusahaan menggunakan strategi harga dan lokasi
sekaligus, keset&bangan tidak dicapai apabila
pemilihan lokasi dan harga dilakukan secara
serentak. Namun bila pemilihan strategi dilakukan
secara bertahap, maka kesetimbangan harga-lokasi
dicapai, yakni ((p; ,s;
s;))= ((d,~),(d,lf)

DAFTAR PUSTAKA
Chiang, A. 1984. Fundamental Methods of
Mathematical Economics. Third Edition. Mc
Graw - Hill International Book Company.
.
Singapore.
~

d'Aspremont, C., J. J. Gabszewicz, and J-F
Thisse. 1979. On Hotelling's Stability in
Competition. Econometrics, 47: 1145-1 150.
Friedman, J. W. 1977. Oligopoly and The Theory
of Games. North Holland, Amsterdam.
Gabszewicz, J. J. and J-F Tbisse. 1986. Location
Theory. Hawood Academic Publishers. New
York.

Gibbons, R 1992. Game Theory for Applied
Economist. Pi-imceton University Press. Ney
Jersey.
Purcell, E. J. & D. Varberg. 1996. Kalkulus dun
Geometri Analitis. Jilid I . Terjemahan I
Nyoman S. et a/. Erlangga, Jakarta.
Rasmusen, E. 1990. Games and Information.
Blackwell Ltd. Cambridge.

Lampirau 1.
Definisi (himpunan konveks)
Suatu himpunan K dikatakan himpunan konveksjika Vx, ,x, c K maka X E K ,
dengan X = ~ l + ( l - A ) x , , O s A s l .
Defiuisi dan ilustrasi fungsi kuasikonkaf
Suatu fungsi f merupakan fungsi kuasiionkafjika untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda pada
daerah asal @ang mempakan himpunan konveks) darif , dan untuk OQXU)
j
dan f merupakan fungsi kuasikonkafsempumajika untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda pada
daerah asal @ang merupakan himpunan konveks) darif , dan untuk OQflu) -t ffhu+(l-h)vl >xu).

4 6"'

Kuasikonkaf sempuma

Kuasikonkaf

Lampirau 2.
Bukti syarat cukup untuk fungsi imbalan yang kuasikonkaf
Teoremal :
Misalkanf fungi yang terdehisi pada himpunan konveks Q.
Jikaf fungi konkafmakaf fungsi
kuasikonkaf.
Bukti:
Misalkanf merupakan fungsi konkaf. Maka krdasarkan definisi :
(1) fihu+(l-h)vI> ;\Xu)+ (1-hxv), untuk setiap u, v 6 Q, dan 0SX1.
diasumsikanflv) >Xu) maka
(2) Mu) + (1-hxv) ~ 1 1 ) .
Dari pertidaksamaan (1) dan (2) maka
(3) nhw+(l-h)vl >Xu) denganflv) >Xu).
Berdasarkan pertidaksamaan (3) makaf merupakan fungsi kuasikonkaf. qed.
Akan dibuktikan :
Jika f i g s i permintaan (D) konkaf maka fungsi imbalan ( P = p D ) kuasi konkal:
Pertama kali akan dibuktikan bahwa
Jika D fungsi konkafmaka P =pD merupakan fungsi konkaf.
Bukti :
Diketahui bahwa fungsi permintaan (D) konkcdmaka krdasarkan definisi :
(4) m u ) + (1-h)D(v) < D[hu+(l-h)v], untuk setiap u, v E R, dan OshSl.
Untuk suatu konstanta p 2 0 maka
p m u ) +pfl-h)D(v) 1 6 ~ ~ / ( 1 - 2 a maka
) ~ tidak ada harga kesetimbangan.
6
1
ii.Untuk - s a < A,jika cld > ~ a t ( l - 4 a ) maka tidak ada harga kesetimbangan.
6
4
i.Untuk 0 < a <

Bukti :
Misalkan (p; ,p;)adalah harga kesetimbangan. Ada 3 kasus yang mungkin terjadi :

pmm& (P;,P;)cD1 ={(PI 3 P 2 ) i + a < 4 1.P2)S1}
Dengan menggunakan persamaan p, +c(i-sl )+d(S-s, )Z = p, +c(i-s, )+d(S-s2)2 didapat solusi
p, - p, + 2ad -2ac
p2- pI +2ad -2ac
?(PI P2 =
s e h m g g a ~ , ( P ~ , P , ) = P ~ - 4ad
dan
4ad
p, -p, +2ad+2ac
~ ~ ( P I ~ P ~ ) = P 4ad
z
9

Dengan syarat turunan pertama :

3 =0dan 3=0
didapt fi,

dan

fi2

sedemikian sehmgga

8 ~ 2

@I'

1
F(j,, A ) < ? + a . Jadi (p;,p;)tidak k a d a di dalam Dl, dan karena itu haruslah memenuhi
.!,
~ ( p ; ,p;)= 1, tetapi p; hukan respon terbaik dari perusahaan 2 karena P, (p; ,p;)= 0 . ~ a d tidak
i
ada
harga kesetimbangan di Dl.

Dengan argumen yang sama seperti di atas, tetapi indeks 1 dan 2 d i n g dipxhbrkan, ditunjukkan bahwa
4 tidak memuat harga kesetimbangan.

.

1
Ketiga, ( P ; , P ; ) E ~ ~={(PI.P2ki-aSi(Pl.P2)5

Dengan m e n p a k a n persamaan p, +c(S-s, )+d(F-s,

1
ila}

)2 = p,

+c(s, -i)+d(s2 -5), didapat solusi

p, -p, + 2 a d + c
P ~ ( P , , P ~ ) = P ~ 4ad+2c
~ n g a syarat
n
turunan pertama diperoleh p;

= p; = 2ad + c dan

P,(P;,

p;)=f', (P;, P;

Misalkan diberikan p; ,akan diselidiki tanggapan terbaik dari perusahaan 1 (&)pada

dan pada

Akan diselidiki dallulu tanggapan terbaik dari perusahaan 1 pada A,

.

)= ad +c/:

Nilai maksimum dari p , ~ ( p l p;)pada
,

Fl = 2ad+ac+c/2.

[O,m)dicapai pada harga

Lalu didapat

>--a, jadi tidak ada tanggapan terbaik terhadap p; pada A , .
4ad
2
Sedangkan pada A,, dengan cara yang sama didapat nilai maksimum dari p,Sb,,p;)pada

[0, m) dicapai pada harga pi = 2ad +c/2 -ac

,

Untuk c/d 5 4a/(l - ~ a ) , ~ ( p ;pi)<
,
1sehingga ii, = p;
Untuk c/d > 4a/(l-2a),S(p;, p;)> 1yang berimplikasi pi bukan tanggapan terbaik perusahaan 1
terhadap

pi.

Pada kasus ini jika 1- S(p, ,pi)=0 maka Fl = c(1- 2a).
Jadi F, = 2ad + c/2 - ac untuk c/d 5 4a/(l- 2a)dan
. jj,=c(l-2a) untnk c/d >4ai(l-2a).
1. Pertama, misalkan c/d r 4a/(l-2a)maka
p,b,,p;)> P,(p;,P;)

jika c/d >16a2/(l-2a)Z dan 16a2/(1-20)'

(