Perhitungan Cara Simpson

B. Perhitungan Cara Simpson

1. Cara Simson I

Aturan Simpson I mensyaratkan bahwa bidang lengkung dibagi menjadi 2 bagian yang sama panjangnya seperti gambar di bawah ini.

Gambar 8.3 Bidang Lengkung Cara Simpson I

Luas bidang lengkung seperti gambar di atas menurut Aturan Simpson I adalah

h ( y 0 + 4 y 1 + y 2 ) , dimana

A = luas bidang

h = jarak ordinat y 0 ,y 1 , dan y 2 = panjang ordinat

Angka = angka pengali Simpson I

3 Angka 1, 4, 1

= faktor luas Simpson I

Rumus di atas dapat dibuktikan sebagai berikut :

Pendefinisi A = ∑

dA = ∫ ( a 0 + a 1 x + a 2 x ) dx

o = ( a o dx ) + a 1 xdx + a 2 x dx ∫ ∫ ∫

A = 2 a o h + 2 a 1 h + a 2 h ..... () II

Kita misalkan A = A 1 y o + A 2 y 1 + A 3 + y 2 ........ () III

Kalau harga X dari persamaan I, kita ganti dengan harga 0, h dan

2h dan harganya kita sebut y o , y 1 dan y 2 , maka diperoleh

o = a o ; y 1 = a o + a 1 h + a 2 h dan

Harga-harga ini kita masukkan kepersamaan (III). Maka diperoleh

1 a o + A 2 ( a o + a 1 h + a 2 h ) + A 3 ( a o + 2 a 1 h + 4 a 2 h ) ...... () IV

1 + A 2 + A 3 ) + ( A 2 + 2 A 3 ) a 1 h + .( A 2 + 4 A 3 ) a 2 h

Dari persamaan (II) dan (IV) diperoleh (A 1 +A 2 +A 3 )

h .......( 3 )

dari persamaan 1, 2 dan 3 diatas, kalau kita selesaikan diperoleh : dari persamaan 1, 2 dan 3 diatas, kalau kita selesaikan diperoleh :

A = hy o + hy 1 + hy 2 atau

A = h ( y o + 4 y 1 + y 2 ), dimana

A = Luas bidang .

2. Cara Simpson II

Aturan Simpson II ini mensyaratkan bahwa bidang lengkung dibagi menjadi 3 bagian yang sama panjangnya seperti gambar di bawah ini.

Gambar 8.4 Bidang Lengkung Cara Simpson II

Luas bidang lengkung seperti gambar diatas menurut Aturan Simpson II adalah

h ( y o + 3 y 1 + 3 y 2 + y 3 ) , dimana

A = luas bidang

h = jarak ordinat y o , y 1 , y 2 dan y 3 = panjang ordinat

Aturan Simpson II ini dengan anggapan bahwa garis lengkung tersebut adalah persamaan pangkat 3 Elemen luas

dA = y dx

A = dA ∫ = ydx ∫

o = ( ∫ a o + a 1 x + a 2 x + a 3 x ) dx

A = 3 a o h + 4 a 1 h + 9 a 2 h + a 3 h ........( II )

Diumpamakan luas bidang tersebut :

A = Ay o + By 1 +Cy 2 + Dy 3 ..........(III)

Kalau harga x dari persamaan (I) diganti dengan 0, h, 2h dan 3h dan harganya masing-masing kita sebut y 0, y 1, y 3, maka diperoleh: y o =0

Harga-harga diatas dimasukkan pada persamaan (III), maka diperoleh :

1 h + (B + 4C + 9D)a 2 h + (B + 8C 27D) a 3 3 h ......(IV) Dari prsamaan (II) dan (IV) diperoleh : (A + B + C + D)

A = (A + B + C + D)a o + (B + 2C + 3D)a

(1) (B + 2C + 3D)

=3h

(B + 8C 27D) = 20 1 4 h........(4) Dari persamaan, 1, 2, 3 dan 4 diatas kalau kita selesaikan

diperoleh :

A= h : B = h ; C = h ; D = h .

Kalau harga-harga ini kita memasukkan keperawatan (III) maka diperoleh :

A= hy o + hy 1 + hy 2 + hy 3 .

8 8 8 8 A= 3 h ( y o + 3 y 1 + 3 y 2 + y 3 )

A = Luas bidang

3. Cara Simpson III

Aturan Simpson III ini sama dengan Aturan Simpson I yaitu mensyaratkan bahwa bidang lengkung dibagi menjadi 2 bagian yang sama penjangnya seperti gambar di bawah ini.

Gambar 8.5 Bidang Lengkung Cara Simpson III Gambar 8.5 Bidang Lengkung Cara Simpson III

Luas seluruh bidang = A 1 + A 2

Rumus ini dapat dibuktikan sebagai berikut : Elemen luas dA

= y dx

1 = dA = ydx → A − A o = ( a o + a 1 x + a 2 x ) ∫ ∫ ∫

A 1 = a o h + a 1 h + a 2 h ....( II )

Kita misalkan A = Ay 0 + By 1 + Cy 2 ..... (III) Kalau harga x, kita ganti dengan 0, h dan 2 2h, maka diperoleh :

Harga-harga ini kita masukkan kepersamaan (III), maka diperoleh :

2 A = Aa 2

0 + B (ao + a 1 h+a 2 h ) + (a 0 + 2a 1 h + 4a 2 h )

0 + (B + 2 C) a 1 h + (B + 4C) a 2 h .................. (IV) Dari persamaan (II) dan (IV), diperoleh

Dari persamaan 1,2 dan 3, kalau kita selesaikan diperoleh :

B=

C=

12 Kalau harga-harga ini dimasukkan pada persamaan (III), maka diperoleh :

y 0 + hy 1 − hy 2

A 1 = luas bidang yang dibatasi ABCD

4. Contoh Perhitungan Luas Bidang

a. Cara Trapesium

Diketahui sebuah bidang dengan data-data sebagai berikut :

Gambar 8.6 Bidang Trapesium

Hitunglah luas bidang tersebut diatas dengan Cara Trapesium Penyelesaian Lusa I

= ½ h (y o +y 1 )

Luas II

=½h( y 1 + y 2 )

Luas III =½h( y 2 +y 3 )

= 3.( 45 ) = 135 m 2

Kalau ordinatnya cukup banyak dikerjakan dengan mempergunakan Tabel sebagai berikut:

No Panjang

Faktor luas Hasil I x II

Ordinat Ordinat

(II)

0 3 1 3 A=½h ∑ 1

∑ = 45

Diketahui : Sebuah bidang seperti gambar dibawah.

Gambar 8.7 Bidang Lengkung Cara Simpson I

Hitung : Luas bidang tersebut dengan memakai Aturan Simpson I Penyelesaian : Karena Ordinatnya sudah cukup banyak kita

langsung menghitungnya dengan memakai Tabel sebagai berikut:

No Panjang Ordinat Faktor Luas (III) Hasil I x II Ordinat

Luas (A) = h ∑ 1

2 = 1/3 (6) (125) = 250 m 2 = 1/3 (6) (125) = 250 m

Gambar 8.8 Bidang Lengkung Cara Simpson I

Diketahui : Sebuah kapal dengan bentuk bidang garis air sebagai berikut :

Gambar 8.9 Luas Bidang Garis Air

Hitunglah : Luas bidang garis seperti diatas dengan memakai Aturan Simpson I Penyelesaian : Faktor luasnya dihitung sebagai berikut : FL. I

FL.II

F : 0,2 0,8 1,2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 Harga 0,2 ; 0,8 dan 0,2 pada FL I adalah diperoleh dari 1x 1,2 / 6 ; 4 x 1,2/6 ; 1 x 1,2 /6 = 0,2 ; 0,8 ; 0,2 harga 1 4 1 adalah Faktor luas. Simpson 1, harga jarak ordinal 1,2 m dikonfersi ke jarak ordinat F : 0,2 0,8 1,2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 Harga 0,2 ; 0,8 dan 0,2 pada FL I adalah diperoleh dari 1x 1,2 / 6 ; 4 x 1,2/6 ; 1 x 1,2 /6 = 0,2 ; 0,8 ; 0,2 harga 1 4 1 adalah Faktor luas. Simpson 1, harga jarak ordinal 1,2 m dikonfersi ke jarak ordinat

Hasil I x II Ordinat

No

Panjang

Faktor Luas

Luas (A) = 2 h ∑ 1

1 2 = 2. . 6 . 167 . 2 = 668 , 8 m

Faktor pengali 2, karena bidang garis kapal yang dihitung dan baru harga separuhnya atau harga setengahnya. Jadi untuk luas seluruh bidang garis harus dikalikan 2.

Perhitungan memakai Aturan Simpson I ini adalah yang paling banyak dipakai di dunia perkapalan.

Diketahui : Sebuah bidang dengan bentuk sebagai berikut :

Gambar 8.10 Cara Simpson II

Penyelesaian : FL I

:1 3 3 1 FL II

FL :1 3 3 2 3 3 1

berikut :

Hasil 1 x II Ordinat

No. Panjang

Faktor luas

Luas (A) = . h . ∑ 1

= . 115 , 5 = 259 , 75 m

4. Aturan Simpson III

Diketahui : Sebuah bidang dengan bentuk sebagai berikut :

Gambar 8.11 Cara Simpson III

Luas bidang I

12 = 1 / 12 (6) [(5) (3) + (8) (5) - 7] = 0,5 (15 + 40 - 7) = 24 M 2

Luas bidang II

12 = 1 / 12 (6) [(5) (7) + (8) (5) - 3] = 0,5 (27)

= 36 m 2

Luas I + II 2 = 24 + 36 = 60 m Kalau luas bidang diatas dihitung dengan Aturan Simpson I

diperoleh :

A= h ( y 0 + 4 y 1 − y 2 )

A= . 6 ( 3 + 4 . 5 + 7 )

A = 2 (30)

A = 60 m 2

Suatu bidang dihitung dengan Aturan Simpson I maupun Aturan Simpson III harganya sama besar.