Perhitungan Cara Simpson
B. Perhitungan Cara Simpson
1. Cara Simson I
Aturan Simpson I mensyaratkan bahwa bidang lengkung dibagi menjadi 2 bagian yang sama panjangnya seperti gambar di bawah ini.
Gambar 8.3 Bidang Lengkung Cara Simpson I
Luas bidang lengkung seperti gambar di atas menurut Aturan Simpson I adalah
h ( y 0 + 4 y 1 + y 2 ) , dimana
A = luas bidang
h = jarak ordinat y 0 ,y 1 , dan y 2 = panjang ordinat
Angka = angka pengali Simpson I
3 Angka 1, 4, 1
= faktor luas Simpson I
Rumus di atas dapat dibuktikan sebagai berikut :
Pendefinisi A = ∑
dA = ∫ ( a 0 + a 1 x + a 2 x ) dx
o = ( a o dx ) + a 1 xdx + a 2 x dx ∫ ∫ ∫
A = 2 a o h + 2 a 1 h + a 2 h ..... () II
Kita misalkan A = A 1 y o + A 2 y 1 + A 3 + y 2 ........ () III
Kalau harga X dari persamaan I, kita ganti dengan harga 0, h dan
2h dan harganya kita sebut y o , y 1 dan y 2 , maka diperoleh
o = a o ; y 1 = a o + a 1 h + a 2 h dan
Harga-harga ini kita masukkan kepersamaan (III). Maka diperoleh
1 a o + A 2 ( a o + a 1 h + a 2 h ) + A 3 ( a o + 2 a 1 h + 4 a 2 h ) ...... () IV
1 + A 2 + A 3 ) + ( A 2 + 2 A 3 ) a 1 h + .( A 2 + 4 A 3 ) a 2 h
Dari persamaan (II) dan (IV) diperoleh (A 1 +A 2 +A 3 )
h .......( 3 )
dari persamaan 1, 2 dan 3 diatas, kalau kita selesaikan diperoleh : dari persamaan 1, 2 dan 3 diatas, kalau kita selesaikan diperoleh :
A = hy o + hy 1 + hy 2 atau
A = h ( y o + 4 y 1 + y 2 ), dimana
A = Luas bidang .
2. Cara Simpson II
Aturan Simpson II ini mensyaratkan bahwa bidang lengkung dibagi menjadi 3 bagian yang sama panjangnya seperti gambar di bawah ini.
Gambar 8.4 Bidang Lengkung Cara Simpson II
Luas bidang lengkung seperti gambar diatas menurut Aturan Simpson II adalah
h ( y o + 3 y 1 + 3 y 2 + y 3 ) , dimana
A = luas bidang
h = jarak ordinat y o , y 1 , y 2 dan y 3 = panjang ordinat
Aturan Simpson II ini dengan anggapan bahwa garis lengkung tersebut adalah persamaan pangkat 3 Elemen luas
dA = y dx
A = dA ∫ = ydx ∫
o = ( ∫ a o + a 1 x + a 2 x + a 3 x ) dx
A = 3 a o h + 4 a 1 h + 9 a 2 h + a 3 h ........( II )
Diumpamakan luas bidang tersebut :
A = Ay o + By 1 +Cy 2 + Dy 3 ..........(III)
Kalau harga x dari persamaan (I) diganti dengan 0, h, 2h dan 3h dan harganya masing-masing kita sebut y 0, y 1, y 3, maka diperoleh: y o =0
Harga-harga diatas dimasukkan pada persamaan (III), maka diperoleh :
1 h + (B + 4C + 9D)a 2 h + (B + 8C 27D) a 3 3 h ......(IV) Dari prsamaan (II) dan (IV) diperoleh : (A + B + C + D)
A = (A + B + C + D)a o + (B + 2C + 3D)a
(1) (B + 2C + 3D)
=3h
(B + 8C 27D) = 20 1 4 h........(4) Dari persamaan, 1, 2, 3 dan 4 diatas kalau kita selesaikan
diperoleh :
A= h : B = h ; C = h ; D = h .
Kalau harga-harga ini kita memasukkan keperawatan (III) maka diperoleh :
A= hy o + hy 1 + hy 2 + hy 3 .
8 8 8 8 A= 3 h ( y o + 3 y 1 + 3 y 2 + y 3 )
A = Luas bidang
3. Cara Simpson III
Aturan Simpson III ini sama dengan Aturan Simpson I yaitu mensyaratkan bahwa bidang lengkung dibagi menjadi 2 bagian yang sama penjangnya seperti gambar di bawah ini.
Gambar 8.5 Bidang Lengkung Cara Simpson III Gambar 8.5 Bidang Lengkung Cara Simpson III
Luas seluruh bidang = A 1 + A 2
Rumus ini dapat dibuktikan sebagai berikut : Elemen luas dA
= y dx
1 = dA = ydx → A − A o = ( a o + a 1 x + a 2 x ) ∫ ∫ ∫
A 1 = a o h + a 1 h + a 2 h ....( II )
Kita misalkan A = Ay 0 + By 1 + Cy 2 ..... (III) Kalau harga x, kita ganti dengan 0, h dan 2 2h, maka diperoleh :
Harga-harga ini kita masukkan kepersamaan (III), maka diperoleh :
2 A = Aa 2
0 + B (ao + a 1 h+a 2 h ) + (a 0 + 2a 1 h + 4a 2 h )
0 + (B + 2 C) a 1 h + (B + 4C) a 2 h .................. (IV) Dari persamaan (II) dan (IV), diperoleh
Dari persamaan 1,2 dan 3, kalau kita selesaikan diperoleh :
B=
C=
12 Kalau harga-harga ini dimasukkan pada persamaan (III), maka diperoleh :
y 0 + hy 1 − hy 2
A 1 = luas bidang yang dibatasi ABCD
4. Contoh Perhitungan Luas Bidang
a. Cara Trapesium
Diketahui sebuah bidang dengan data-data sebagai berikut :
Gambar 8.6 Bidang Trapesium
Hitunglah luas bidang tersebut diatas dengan Cara Trapesium Penyelesaian Lusa I
= ½ h (y o +y 1 )
Luas II
=½h( y 1 + y 2 )
Luas III =½h( y 2 +y 3 )
= 3.( 45 ) = 135 m 2
Kalau ordinatnya cukup banyak dikerjakan dengan mempergunakan Tabel sebagai berikut:
No Panjang
Faktor luas Hasil I x II
Ordinat Ordinat
(II)
0 3 1 3 A=½h ∑ 1
∑ = 45
Diketahui : Sebuah bidang seperti gambar dibawah.
Gambar 8.7 Bidang Lengkung Cara Simpson I
Hitung : Luas bidang tersebut dengan memakai Aturan Simpson I Penyelesaian : Karena Ordinatnya sudah cukup banyak kita
langsung menghitungnya dengan memakai Tabel sebagai berikut:
No Panjang Ordinat Faktor Luas (III) Hasil I x II Ordinat
Luas (A) = h ∑ 1
2 = 1/3 (6) (125) = 250 m 2 = 1/3 (6) (125) = 250 m
Gambar 8.8 Bidang Lengkung Cara Simpson I
Diketahui : Sebuah kapal dengan bentuk bidang garis air sebagai berikut :
Gambar 8.9 Luas Bidang Garis Air
Hitunglah : Luas bidang garis seperti diatas dengan memakai Aturan Simpson I Penyelesaian : Faktor luasnya dihitung sebagai berikut : FL. I
FL.II
F : 0,2 0,8 1,2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 Harga 0,2 ; 0,8 dan 0,2 pada FL I adalah diperoleh dari 1x 1,2 / 6 ; 4 x 1,2/6 ; 1 x 1,2 /6 = 0,2 ; 0,8 ; 0,2 harga 1 4 1 adalah Faktor luas. Simpson 1, harga jarak ordinal 1,2 m dikonfersi ke jarak ordinat F : 0,2 0,8 1,2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 Harga 0,2 ; 0,8 dan 0,2 pada FL I adalah diperoleh dari 1x 1,2 / 6 ; 4 x 1,2/6 ; 1 x 1,2 /6 = 0,2 ; 0,8 ; 0,2 harga 1 4 1 adalah Faktor luas. Simpson 1, harga jarak ordinal 1,2 m dikonfersi ke jarak ordinat
Hasil I x II Ordinat
No
Panjang
Faktor Luas
Luas (A) = 2 h ∑ 1
1 2 = 2. . 6 . 167 . 2 = 668 , 8 m
Faktor pengali 2, karena bidang garis kapal yang dihitung dan baru harga separuhnya atau harga setengahnya. Jadi untuk luas seluruh bidang garis harus dikalikan 2.
Perhitungan memakai Aturan Simpson I ini adalah yang paling banyak dipakai di dunia perkapalan.
Diketahui : Sebuah bidang dengan bentuk sebagai berikut :
Gambar 8.10 Cara Simpson II
Penyelesaian : FL I
:1 3 3 1 FL II
FL :1 3 3 2 3 3 1
berikut :
Hasil 1 x II Ordinat
No. Panjang
Faktor luas
Luas (A) = . h . ∑ 1
= . 115 , 5 = 259 , 75 m
4. Aturan Simpson III
Diketahui : Sebuah bidang dengan bentuk sebagai berikut :
Gambar 8.11 Cara Simpson III
Luas bidang I
12 = 1 / 12 (6) [(5) (3) + (8) (5) - 7] = 0,5 (15 + 40 - 7) = 24 M 2
Luas bidang II
12 = 1 / 12 (6) [(5) (7) + (8) (5) - 3] = 0,5 (27)
= 36 m 2
Luas I + II 2 = 24 + 36 = 60 m Kalau luas bidang diatas dihitung dengan Aturan Simpson I
diperoleh :
A= h ( y 0 + 4 y 1 − y 2 )
A= . 6 ( 3 + 4 . 5 + 7 )
A = 2 (30)
A = 60 m 2
Suatu bidang dihitung dengan Aturan Simpson I maupun Aturan Simpson III harganya sama besar.