Model Daya Tahan Parametrik untuk Pasien Leukemia Limfoblastik Akut Anak
MODEL DAYA TAHAN PARAMETRIK UNTUK
PASIEN LEUKEMIA LIMFOBLASTIK AKUT ANAK
OLEH:
SRI INDRA MAIYANTI
PROGRAM PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2002
ABSTRAK
SRI INDRA MAIYANTI. Model Daya Tahan Parametrik untuk Pasien Leukemia
Limfoblastik Akut Anak (Parametric Survival Model for Chilhood Acute
Lymphoblastic Leukemia Patient). Dibimbing oleh KHAIRIL ANWAR
NOTODIPUTRO dan ETM SUDARNIKA.
Dalam penelitian ini model daya tahan parametrik diterapkan untuk
mempelajari faktor-faktor risiko yang berpengaruh terhadap daya tahan pasien
leukemia limfoblastik akut anak. Faktor-faktor tersebut adalah umur pasien, jenis
kelamin, hepatomegali, splenomegali, limfadenopati, kadar hemoglobin, jumlah
leukosit, jumlah trombosit, massa di mediastinum, jenis leukemia limfoblastik dan
leukemia SSP (Sistem Saraf Pusat). Data daya tahan pasien leukemia limfoblastik
akut anak yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder dari penelitian
Kaban (2001) yang diperoleh dari Sub-Bagian Hematologi Ilmu Kesehatan Anak
Fakultas Kedokteran Universitas Indonesia-Rumah Sakit Cipto Mangunkusomo
Jakarta.
Melalui pemeriksaan sebarannya, data diasumsikan mengikuti sebaran
Weibull. Berdasarkan asumsi tersebut model memperlihatkan dua peubah yang
berpengaruh nyata terhadap daya tahan pasien yaitu splenomegali (pembesaran
limpa) dan leukemia SSP (adanya infiltrasi sel leukemia ke sistem saraf pusat).
Pasien yang mengalami splenomegali, leukemia SSP dan kombinasi splenomegali
dan leukemia SSP mempunyai daya tahan lebih rendah dibandingkan pasien yang
tidak mengalami kedua ha1 tersebut. Risiko (hazard) kematian pasien yang
mengalami splenomegali, leukemia SSP dan kombinasi splenomegali dan leukemia
SSP relatif terhadap pasien yang tidak mengalami kedua hal tersebut berturut-turut
adalah sebesar 2.26, 2.61 dan 5.91 kdi.
Kata kunci:
Model daya tahan parametrik, leukemia limfoblastik akut, hazard
kematian.
SURAT PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis saya yang berjudul:
"Model Daya Tahan Parametrik untuk
Pasien Leukemia Limfoblastik Akut Anak"
adalah benar hasil karya sendiri dan belum pernah dipublikasikan. Semua sumber
data dan informasi telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Bogor, Juli 2002
Sri Indra Maiyanti
NRP.98123
MODEL DAYA TAHAN PARAMETRIK UNTUK
PASIEN LEUKEMIA LIMFOBLASTIK AKUT ANAK
SRI INDRA MAIYANTI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
PROGRAM PASCA SARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2002
Judul tesis
: Model
Daya
Tahan
Parametrik
untuk
Pasien
Leukemia
Limfoblastik Akut Anak
Nama
: Sri Indra Maiyanti
NRP
: 98123
Program Studi
: Statistika
Menyetujui,
1. Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Khairil Anwar ~ d o d i ~ u t r M.S.
o.
Ketua '
Ir. Etih Sudarnika, Msi
Anggota
Mengetahui,
2. Ketua Program Studi Statistika
Tanggal Lulus: 3 Juni 2002
Program Pascasarjana
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Bekalik pada tanggal 4 Juli 1972 sebagai anak
kesembilan dari sepuluh bersaudara, dari pasangan Bapak Y. Andah dan Ibu
Syamsinar.
Pendidikan dasar dan menengah penulis selesaikan di Sumatera Barat, yaitu
SD Negeri 1 Kambang, Pesisir Selatan , SMP Negeri Lengayang, Pesisir Selatan dan
SMA Negeri 4 Padang. Pendidikan Sarjana ditempuh di Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran (UNPAD)
Bandung, lulus pada tahun 1997. Pada tahun 1998, penulis diterima di Program Studi
Statistika IPB dengan beasiswa karyasiswa DUE (Development of Undergraduate
Education) DIKTI (Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi).
Penulis diterima sebagai tenaga pengajar di jurusan Matematika FMIPA
Universitas Sriwijaya Palembang terhitung 1 Maret 2000. Penulis menikah dengan
Hartono H pada tanggal 23 April 1999.
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya
sehingga tesis ini berhasil diselesaikan. Sholawat dan salam tercurah kepada
junjungan genulis, Nabi Muhammad SAW.
Ucapan terima kasih dan penghargaan penulis sampaikan kepada:
1. Bapak Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, M.S. dan Ibu Ir. Etih Sudarnika, M.Si.
selaku pembimbing yang telah banyak memberikan saran dan masukan.
2. Risma Kerina Kaban, dr, Sp.A(K) dan Zulbakri, dr, Sp.A(K) atas bantuan
datanya.
3. Seluruh staf Program Studi Statistika PPs IPB.
4. Rekan-rekan diskusi yang telah memberikan sumbangan pikiran.
5. Suamiku, Mas Hartono, atas keikhlasan dan kesabaran dalam penantian,
pengertian, dukungan dan doa-doanya
6. Berbagai pihak yang telah memberikan bantuan fisik, moril maupun materil
sehingga tesis ini dapat diselesaikan.
Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada kedua orang tua serta
seluruh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga tesis ini bermanfaat.
Bogor, 2002
Sri Indra Maiyanti
DAFTAR IS1
Halaman
DAFTAR TABEL ........................................................................................... vi
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang ............................................................................................ 1
Tujuan Penelitian ........................................................................................
3
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Daya Tahan ...................................................................................
Penyensoran ................................................................................................
Sebaran Waktu Daya Tahan ........................................................................
Model Regresi Daya Tahan ........................................................................
Pendugaan Parameter ..................................................................................
Pemeriksaan Sebaran Data ...........................................................................
Leukemia Limfoblastik Akut .......................................................................
Diagnostik Model .........................................................................................
METODE PENELITIAN
Data ..............................................................................................................18
Metode ..........................................................................................................20
HASIL DAN PEMBAHASAN
Deskripsi Data Pasien ..................................................................................
22
Pemeriksaan Sebaran Data ........................................................................... 24
Model Regresi Daya Tahan Pasien LLA Anak ............................................
26
KESIMPULAN DAN SARAN .........................................................................
32
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................34
LAMPIRAN ...................................................................................................... 35
DAFTAR TABEL
Halaman
1. Penyebaran pengamatan tiap karakteristik peubah genjelas kategorik .........
23
2 . Gambaran waktu daya tahan dan peubah bebas yang kontinu .....................
24
3 . Dugaan parameter model loglinear dengan asumsi sebaran Weibull ..........
26
4 . Dugaan parameter model hazard proporsional Weibull ...............................
27
5. Persentase pasien LLA anak berdasarkan kombinasi splenomegali
dan leukemia SSP ........................................................................................ 30
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Plot data terhadap kuantil normal ................................................................
25
2 . Plot data terhadap kuantil lognormal ............................................................ 25
3 . Plot data terhadap kuantil eksponensial ........................................................
25
4 . Plot data terhadap kuantil weibull ............................................................... 25
5. Plot hazard sisaan Cox-Snell ........................................................................ 27
6 . Plot sisaan Devians terhadap urutan waktu daya tahan pasien .....................
27
7 . Plot dugaan peluang daya tahan pasien LLA anak ........................................ 29
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pengamatan yang berkaitan dengan terjadinya suatu kejadian banyak
ditemukan di sekeliling kita, misalnya dalam bidang kedokteran yaitu waktu
terjadinya kematian setelah diagnosa suatu penyakit, waktu terjadinya kesembuhan
setelah pengobatan atau waktu berkembangnya suatu penyakit. Dalam hal ini yang
dicatat adalah waktu antara satu titik awal tertentu sampai terjadinya suatu kejadian
sehingga pengamatan itu selalu bernilai positif
Jangka waktu sampai terjadinya suatu kejadian, dalam statistika dikenal
sebagai waktu daya tahan (survival time). Sedangkan teknik statistika yang digunakan
untuk menganalisis data waktu daya tahan tersebut dikenal dengan analisis daya tahan
(survival analysis).
Ada dua pendekatan yang dapat digunakan dalam analisis daya tahan yaitu
pendekatan parametrik dan nonparametrik. Pendekatan parametrik digunakan jika
pola sebaran data sesuai dengan pola sebaran teoritik tertentu, misalnya sebaran
normal, lognormal, eksponensial atau weibull, sedangkan pendekatan nonparametrik
digunakan jika pola sebaran data tidak dapat didekati dengan pola sebaran teoritik
tertentu .
Jangka waktu sejak pasien didiagnosis menderita penyakit leukemia
limfoblastik akut sampai meninggal dapat dipandang sebagai waktu daya tahan.
Leukemia disebut juga kanker darah, merupakan keganasan pada sistem hemopoetik
(sistem pembentukan sel darah) berupa perkembangan yang luar biasa dari sel
hemopoetik muda, melebihi ukuran normal, yang ditandai oleh kegagalan sumsum
tulang dalam membentuk sel darah normal. Sedangkan Leukemia limfoblastik adalah
leukemia yang terjadi pada sel darah putih jenis limfoblas (Fernbach dalam Kaban,
2001).
Dalam bidang kedokteran di Indonesia, data daya tahan biasanya dianalisis
tanpa memperhatikan pola sebaran data atau dengan pendekatan nonparametrik.
Pendekatan nonparametrik dapat digunakan jika asumsi yang valid tentang
pendekatan parametrik tidak ditemukan atau jika pendekatan parametrik memerlukan
perhitungan yang kompleks sedangkan hasil dibutuhkan dalam waktu cepat
(Daniel, 1990). Tetapi bila pendekatan parametrik valid maka penggunaan pendekatan
nonparametrik akan menyebabkan informasi yang tersedia tidak termanfaatkan secara
maksimal.
Demikian pula menurut Siege1 (1994) kuasa uji yang dihasilkan dengan
metode parametrik lebih besar daripada metode nonparametrik yang berarti peluang
melakukan kesalahan menerima hipotesis no1 padahal salah akan lebih kecil
dibandingkan dengan metode nonparametrik.
Mengingat potensi yang ada pada pendekatan parametrik maka dalam
penelitian ini akan diterapkan analisis daya tahan untuk menganalisis jangka waktu
terjadinya kematian pada pasien leukemia limfoblastik akut anak dengan pendekatan
parametrik.
Tujuan Penelitian
Menyusun model daya tahan parametrik yang akan digunakan untuk
mempelajari faktor risiko kematian pasien leukemia limfoblastik akut anak.
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Daya Tahan
Analisis daya tahan mempakan teknik statistika yang digunakan untuk
menganalisis data daya tahan dari satu atau beberapa kelompok individu. Data daya
tahan adalah data tentang jangka waktu terjadinya suatu kejadian mulai dari waktu
awal sampai waktu akhir. Kejadian-kejadian tersebut bisa berupa kematian,
kambuhnya suatu penyakit, kegagalan suatu komponen, rentang waktu masa
produktif, ketahanan dalam masa pertama laktasi, waktu sampai mendapatkan
pekerjaan, selang waktu kejadian pernikahan dan lain-lain.
Data daya tahan berbeda dengan jenis data lainnya dan memerlukan prosedur
statistika tertentu karena responsnya adalah waktu yang diukur dengan cara yang
tidak sama dengan peubah bebas. Peubah bebas diukur pada saat itu juga dan bebas
terhadap ukuran respons sedangkan respons diamati sampai suatu titik tertentu dan
selalu bernilai positif'. Pengamatan yang lebih besar berarti mempunyai waktu yang
lebih lama. Perbedaan lain adalah adanya data sensor (Hougard, 1999).
Sebaran data daya tahan biasanya tidak simetris dan menjulur ke kanan,
sehingga data tidak bisa diasumsikan normal. Bisa saja dilakukan transformasi untuk
mendapatkan sebaran yang lebih simetrik, tetapi pendekatan yang lebih baik adalah
dengan mengadopsi bentuk sebaran lain (Collet, 1996).
Ada tiga syarat yang hams dipenuhi untuk menentukan waktu daya tahan
yaitu waktu awal (time origin) hams jelas, skala pengukuran waktu hams ditentukan,
dan waktu akhir atau kejadian yang diperhatikan hams didefinisikan dengan jelas
(Cox & Oakes, 1984).
Dalam bidang kedokteran (Collet,1996), waktu awal sering dihubungkan
dengan waktu masuknya pasien kedalam suatu penelitian, waktu pasien datang
berobat dan didiagnosis punya penyakit tertentu, sedangkan waktu akhir dihubungkan
dengan kematian pasien, timbulnya suatu penyakit, sembuh dari sakit, dan lain-lain.
Penyensoran
Dalam penelitian tidak semua individu mengalami kejadian yang diamati atau
waktu akhir individu tidak diketahui. Individu-individu yang tidak mengalami
kejadian yang diamati tersebut dikatakan mempunyai waktu daya tahan tersensor.
Ada tiga jenis penyensoran yaitu sensor kanan (right censoring), sensor kiri (left
censoring) dan sensor selang (interval censoring) (Collet, 1996).
Sensor kanan terjadi apabila individu diketahui masih hidup sampai hilang
dari pengamatan atau sampai penelitian berakhir. Jadi hanya diketahui batas bawah
(waktu awal) dari suatu kejadian.
Sensor kiri terjadi jika kejadian yang diamati sudah terjadi pada suatu individu
sebelum individu tersebut masuk dalam periode penelitian. Misalkan, penelitian
tentang waktu munculnya kembali tumor setelah operasi. Tiga bulan setelah operasi
pasien di uji apakah tumor muncul lagi. Ternyata pada beberapa orang pasien tumor
telah muncul sebelum tiga bulan, jadi waktu munculnya tumor lebih kecil dari tiga
bulan maka waktu munculnya tumor untuk pasien tersebut adalah tersensor dikiri.
Sensor selang adalah sensor yang waktu daya tahannya berada dalam suatu
selang. Misalkan, pada penelitian munculnya kembali tumor setelah operasi pada
kasus sensor kiri diatas. Pasien diamati bebas tumor pada waktu tiga bulan pertama
tapi tumor muncul ketika diuji enam bulan setelah operasi, berarti waktu daya tahan
pasien diketahui antara tiga sampai enam bulan, maka waktu daya tahan pasien
merupakan sensor selang.
Sensor kanan terdiri dari tiga jenis yaitu sensor kanan jenis I, sensor kanan
jenis I1 dan sensor acak. Pada sensor kanan jenis I, jumlah individu pada saat awal
sudah ditentukan dan waktu penelitian ditetapkan dalam suatu selang waktu tertentu,
individu-individu yang tidak mengalami kejadian dalam selang waktu tersebut tidak
dapat ditentukan waktu daya tahannya secara pasti. Misalkan, penelitian waktu
berkembangnya tumor setelah 6 tikus disuntik sel-sel tumor. Peneliti memutuskan
untuk mengakhiri pengamatan setelah 30 minggu, maka tikus yang tidak mengalami
tumor selama 30 minggu dikatakan tersensor. Pada sensor kanan jenis 11, jumlah
individu pada saat awal ditentukan dan waktu penelitian ditentukan sampai terjadinya
kematian dengan jumlah tertentu. Misalkan, pada penelitian 6 tikus yang telah
disebutkan diatas, peneliti memutuskan mengakhiri pengamatan sampai 4 tikus
mengalami tumor, maka 2 tikus lainnya dikatakan tersensor. Sedangkan pada sensor
acak, biasa terjadi dalam percobaan klinis, periode penelitian ditentukan dan individu
(pasien) masuk pada saat yang berbeda selama periode tersebut. Misalkan, 6 pasien
leukemia akut di arnati waktu kematiannya selama setahun. Pasien masuk periode
penelitian pada waktu berbeda. Pasien yang masih hidup selama periode tersebut
dikatakan tersensor (Lee, 1992).
Sebaran Waktu Daya Tahan
Sebaran waktu daya tahan biasanya dinyatakan dalam tiga fbngsi yaitu fbngsi
kepekatan peluang, fbngsi daya tahan (survivor function) dan fbngsi hazard (hazard
function).
Misalkan T adalah peubah acak positif dan kontinu mengenai waktu daya
tahan dan t adalah waktu amatan yang merupakan jangka waktu terjadinya kematian
pasien LLA pada anak, Kt) adalah fungsi kepekatan peluang dari T dan F(t) adalah
fbngsi kepekatan peluang kumulatif dari T yaitu peluang seorang pasien meninggal
hingga atau pada waktu t ditulis sebagai berikut:
(Collet, 1996).
Fungsi daya tahan S(t) didefinisikan sebagai peluang bahwa seorang pasien
dapat bertahan hidup paling sedikit selama kurun waktu t. Fungsi ini dinyatakan
sebagai berikut :
(Collet, 1996).
Fungsi S(t) adalah fbngsi yang tidak naik (nonincreasingfinction) dengan ciri
S(t) = 1 untuk t = 0 dan S(t) = 0 untuk t = oo
Fungsi kepekatan peluang (probability densityfunction) dari waktu daya tahan
T didefinisikan sebagai limit dari peluang pasien yang meninggal pada selang t
sampai At , atau peluang pasien meninggal dalam suatu selang waktu yang pendek.
Fungsi ini dirumuskan sebagai berikut:
f (t) = Lim ht+0
P(trT t)
At
At-0
(4)
=-f(t)
S(t)
(Collet, 1996).
Secara matematis S(t) dan qt) dapat dinyatakan dalam bentuk h(t). Karena f(t)
= -Sy(t)maka
t
sehingga
- h(t)dt = log S(t) ,karena S(0) =1 maka
0
t
S(t) = exp (-j h(u)du)
0
Sedangkan dalam bentuk kngsi hazard kumulatif
t
H(t) = h(u)du atau H(t) = -log S(t)
0
sehingga
S(t) = exp (-H(t))
Karena h(t) 5 0 dan
h(t) = m maka fbngsi kepekatan peluang dapat ditulis
(Lee, 1992).
Model Regresi Daya Tahan
Model regresi daya tahan menghubungkan antara respons yang berupa waktu
bertahan dengan berbagai peubah penjelas. Secara lebih rinci model regresi daya
tahan dijelaskan berikut ini. Jika T mengikuti sebaran teoritik tertentu, digunakan
model hazard proporsional (proportional hazard model) dengan sebaran tertentu
untuk T atau dalam bentuk lain disebut juga model log-linear (log-linear model)
untuk log T . Sedangkan jika T tidak mengikuti sebaran teoritik tertentu atau bebas
sebaran digunakan model hazard proporsional tanpa sebaran tertentu yang dikenal
dengan model regresi Cox (Collet,1996).
Misalkan hazard (risiko) kematian pada waktu t tergantung pada nilai-nilai XI,
x2,...,x, dari p peubah bebas XI, X2,. ..,I?,. Nilai-nilai peubah ini diasumsikan telah
diukur pada waktu awal dan tetap selama penelitian. Maka model hazard proporsional Cox yang menyatakan hazard kematian pada waktu t untuk pasien ke-i adalah
hi(t) = exp(P lxli +
PZXZ~
+ ...+ Pp~pi)h(t),i = 1,2,...,n.
(8)
atau
hi(t) = exp (P'xi) b(t)
(9)
dimana ho(t) merupakan fbngsi hazard dasar yang tidak tergantung pada x atau pada
x = 0, dan
p'= [PI, P2,.. .,Pp]adalah vektor dari koefisien-koefisien peubah penjelas
dalam model. Bentuk
P'x~
disebut juga komponen linear dari model. xi
=
(xl,xz,
...,%)' adalah vektor nilai-nilai peubah penjelas untuk individu ke-i.
Jika fbngsi hazard diasumsikan mengikuti sebaran teoritik tertentu maka
hngsi hazard dasar pada persamaan (8) diasumsikan mengikuti sebaran peluang
tersebut. Misalkan waktu daya tahan diasumsikan megikuti sebaran Weibull dengan
parameter skala h dan parameter bentuk y maka hngsi hazard dasar untuk waktu
daya tahannya adalah
b(t) = hytYY1
dan model hazard proporsional(8) berdasarkan sebaran weibul menjadi
hi(t) = exp (P lxli + j32~2i+ ...+ Ppxpi)hflr-l
atau
hi(t) = exp ($'xi) hvrr'
(12)
sehingga berdasarkan persamaan (12) waktu daya tahan individu ke-i mempunyai
sebaran Weibull dengan parameter skala h exp($'~i) dan parameter bentuk y.
Sedangkan fbngsi daya tahan pasien ke-i adalah
-
Si(t) = exp f exp ($'xi) Atr}
(13)
Model hazard proporsional (8) yang parametrik dapat juga ditulis dalam
bentuk model log-linear sebagai berikut:
Yi = ~1 + C L I +
Xa~2~~ 2 +....
i
+aPxpi+ ~ € i
(I4)
atau
Yi = p + OC'X~f
dimana Yi=log Ti, xi
$1
=
GE~
(I5)
(XI,...,x,)' vektor nilai-nilai peubah penjelas dan a'=[al,.
..,
adalah vektor koefisien regresi , p adalah intersep, a parameter skala dan
E
mempunyai sebaran peluang tertentu.
Jika Ti mengikuti sebaran weibull maka
Ei
mengikuti sebaran nilai ekstrim
(Klein & Moeschberger,l997) dengan fbngsi kepekatan peluang dan kngsi daya
tahan untuk yi=log ti berturut-turut adalah
dan
Pendugaan Parameter.
Untuk mendapatkan nilai dugaan parameter dalam model log-linear
digunakan penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation)
berdasarkan atas fbngsi kemungkinan (Collet, 1996).
Misalkan data dicatat sebagai n pasang amatan untuk individu ke-i yaitu (ti,&),
i-1,2, ...,n. Diamana ti adalah waktu daya tahan individu ke-i dan 8i indikator yang
bernilai 1 untuk waktu daya tahan tidak tersensor dan 0 untuk tersensor, hngsi
kemungkinan dapat dinyatakan dalam bentuk
Fungsi kemungkinan berdasarkan yl, y2, . . ., y, yang merupakan logaritma dari
waktu daya tahan tl, tz, ..., t, dari n individu adalah
dimana f(yi) dan S(y;) hngsi kepekatan dan hngsi daya tahan untuk individu ke-i
pada waktu log ti . Fungsi kemungkinan menjadi
dimana z, =
yi - p - a ' x i
. Dalam bentuk hngsi log kemungkinan menjadi
a
n
log L(a, p,a ) = C {-6i logo. + Gizi - eZi )
i=l
(21)
Dugaan parameter diperoleh dengan memaksimumkan hngsi diatas dengan
menggunakan iterasi Newton-Rhapson.
Pengujian hipotesis Ho:ai=O untuk menguji kontribusi masing-masing peubah
dalam analisis peubah tunggal digunakan uji Wald dengan statistik ujinya adalah
dengan s.e(6) adalah galat baku penduga parameter. Statistik uji ini akan menyebar
Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1 jika HObenar.
Untuk pengujian kontribusi peubah secara bersama-sama dalam analisis
peubah ganda digunakan uji nisbah kemungkinan dengan statistik uji
xZ = -2 [Lnsbm-Lnssa]
(23)
dengan Lsbm adalah kemungkinan pada model lengkap dan Lssd adalah kemungkinan
pada model dasar. Nilai
X2
pada taraf nyata 5% melebihi nilai X2 tabel dengan derajat
bebas tertentu, maka peubah-peubah tersebut berpengaruh nyata pada taraf 5%.
Pemeriksaan Sebaran Data
Pemeriksaan sebaran data adalah memeriksa kesesuaian pola sebaran data
terhadap pola sebaran teoritik tertentu. Untuk memeriksa pola sebaran data secara
informal dilakukan dengan plot kuantil-kuantil, Plot ini akan membandingkan kuantil
yang didasarkan pada data (kuantil empirik) dengan kuantil dari sebaran tertentu
(kuantil teoritik). Pola garis lurus pada plot kuantil-kuantil merupakan indikasi bahwa
sebaran empirik data dapat didekati dengan sebaran kuantil teoritik pada plot tersebut.
Plot kuantil-kuantil terhadap sebaran normal adalah antara t(i,, data yang telah
diurutkan dari yang paling kecil, dengan Q(pi) atau kuantil normal baku dan plot
kuantil-kuantil terhadap sebaran lognormal adalah antara In tci, dengan Q(pi). Untuk
hngsi peluang eksponensial plot tersebut adalah antara t(;, dengan (-ln(1-pi)). Plot
kuantil-kuantil untuk sebaran weibull adalah antara In t o dengan {In(-ln(1-pi))).
Dengan pi=(i-0.5)In (Aunuddin, 1989).
Untuk memeriksa sebaran data secara formal, dilakukan uji kebaikan suai
secara statistik dengan menggunakan statistik uji tertentu. Uji kebaikan suai
dimaksudkan untuk menolak sebaran yang tidak tepat bukan untuk membuktikan
bahwa sebaran yang dipilih benar. Pengujian data dengan penyensoran acak yang
menyebar menurut sebaran tertentu dapat dilakukan dengan statistik uji Hollander &
Proschan (Lee, 1992).
Misalkan t(l) < t~) z d 2atau c*
PASIEN LEUKEMIA LIMFOBLASTIK AKUT ANAK
OLEH:
SRI INDRA MAIYANTI
PROGRAM PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2002
ABSTRAK
SRI INDRA MAIYANTI. Model Daya Tahan Parametrik untuk Pasien Leukemia
Limfoblastik Akut Anak (Parametric Survival Model for Chilhood Acute
Lymphoblastic Leukemia Patient). Dibimbing oleh KHAIRIL ANWAR
NOTODIPUTRO dan ETM SUDARNIKA.
Dalam penelitian ini model daya tahan parametrik diterapkan untuk
mempelajari faktor-faktor risiko yang berpengaruh terhadap daya tahan pasien
leukemia limfoblastik akut anak. Faktor-faktor tersebut adalah umur pasien, jenis
kelamin, hepatomegali, splenomegali, limfadenopati, kadar hemoglobin, jumlah
leukosit, jumlah trombosit, massa di mediastinum, jenis leukemia limfoblastik dan
leukemia SSP (Sistem Saraf Pusat). Data daya tahan pasien leukemia limfoblastik
akut anak yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder dari penelitian
Kaban (2001) yang diperoleh dari Sub-Bagian Hematologi Ilmu Kesehatan Anak
Fakultas Kedokteran Universitas Indonesia-Rumah Sakit Cipto Mangunkusomo
Jakarta.
Melalui pemeriksaan sebarannya, data diasumsikan mengikuti sebaran
Weibull. Berdasarkan asumsi tersebut model memperlihatkan dua peubah yang
berpengaruh nyata terhadap daya tahan pasien yaitu splenomegali (pembesaran
limpa) dan leukemia SSP (adanya infiltrasi sel leukemia ke sistem saraf pusat).
Pasien yang mengalami splenomegali, leukemia SSP dan kombinasi splenomegali
dan leukemia SSP mempunyai daya tahan lebih rendah dibandingkan pasien yang
tidak mengalami kedua ha1 tersebut. Risiko (hazard) kematian pasien yang
mengalami splenomegali, leukemia SSP dan kombinasi splenomegali dan leukemia
SSP relatif terhadap pasien yang tidak mengalami kedua hal tersebut berturut-turut
adalah sebesar 2.26, 2.61 dan 5.91 kdi.
Kata kunci:
Model daya tahan parametrik, leukemia limfoblastik akut, hazard
kematian.
SURAT PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis saya yang berjudul:
"Model Daya Tahan Parametrik untuk
Pasien Leukemia Limfoblastik Akut Anak"
adalah benar hasil karya sendiri dan belum pernah dipublikasikan. Semua sumber
data dan informasi telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Bogor, Juli 2002
Sri Indra Maiyanti
NRP.98123
MODEL DAYA TAHAN PARAMETRIK UNTUK
PASIEN LEUKEMIA LIMFOBLASTIK AKUT ANAK
SRI INDRA MAIYANTI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
PROGRAM PASCA SARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2002
Judul tesis
: Model
Daya
Tahan
Parametrik
untuk
Pasien
Leukemia
Limfoblastik Akut Anak
Nama
: Sri Indra Maiyanti
NRP
: 98123
Program Studi
: Statistika
Menyetujui,
1. Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Khairil Anwar ~ d o d i ~ u t r M.S.
o.
Ketua '
Ir. Etih Sudarnika, Msi
Anggota
Mengetahui,
2. Ketua Program Studi Statistika
Tanggal Lulus: 3 Juni 2002
Program Pascasarjana
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Bekalik pada tanggal 4 Juli 1972 sebagai anak
kesembilan dari sepuluh bersaudara, dari pasangan Bapak Y. Andah dan Ibu
Syamsinar.
Pendidikan dasar dan menengah penulis selesaikan di Sumatera Barat, yaitu
SD Negeri 1 Kambang, Pesisir Selatan , SMP Negeri Lengayang, Pesisir Selatan dan
SMA Negeri 4 Padang. Pendidikan Sarjana ditempuh di Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran (UNPAD)
Bandung, lulus pada tahun 1997. Pada tahun 1998, penulis diterima di Program Studi
Statistika IPB dengan beasiswa karyasiswa DUE (Development of Undergraduate
Education) DIKTI (Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi).
Penulis diterima sebagai tenaga pengajar di jurusan Matematika FMIPA
Universitas Sriwijaya Palembang terhitung 1 Maret 2000. Penulis menikah dengan
Hartono H pada tanggal 23 April 1999.
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya
sehingga tesis ini berhasil diselesaikan. Sholawat dan salam tercurah kepada
junjungan genulis, Nabi Muhammad SAW.
Ucapan terima kasih dan penghargaan penulis sampaikan kepada:
1. Bapak Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, M.S. dan Ibu Ir. Etih Sudarnika, M.Si.
selaku pembimbing yang telah banyak memberikan saran dan masukan.
2. Risma Kerina Kaban, dr, Sp.A(K) dan Zulbakri, dr, Sp.A(K) atas bantuan
datanya.
3. Seluruh staf Program Studi Statistika PPs IPB.
4. Rekan-rekan diskusi yang telah memberikan sumbangan pikiran.
5. Suamiku, Mas Hartono, atas keikhlasan dan kesabaran dalam penantian,
pengertian, dukungan dan doa-doanya
6. Berbagai pihak yang telah memberikan bantuan fisik, moril maupun materil
sehingga tesis ini dapat diselesaikan.
Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada kedua orang tua serta
seluruh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga tesis ini bermanfaat.
Bogor, 2002
Sri Indra Maiyanti
DAFTAR IS1
Halaman
DAFTAR TABEL ........................................................................................... vi
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang ............................................................................................ 1
Tujuan Penelitian ........................................................................................
3
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Daya Tahan ...................................................................................
Penyensoran ................................................................................................
Sebaran Waktu Daya Tahan ........................................................................
Model Regresi Daya Tahan ........................................................................
Pendugaan Parameter ..................................................................................
Pemeriksaan Sebaran Data ...........................................................................
Leukemia Limfoblastik Akut .......................................................................
Diagnostik Model .........................................................................................
METODE PENELITIAN
Data ..............................................................................................................18
Metode ..........................................................................................................20
HASIL DAN PEMBAHASAN
Deskripsi Data Pasien ..................................................................................
22
Pemeriksaan Sebaran Data ........................................................................... 24
Model Regresi Daya Tahan Pasien LLA Anak ............................................
26
KESIMPULAN DAN SARAN .........................................................................
32
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................34
LAMPIRAN ...................................................................................................... 35
DAFTAR TABEL
Halaman
1. Penyebaran pengamatan tiap karakteristik peubah genjelas kategorik .........
23
2 . Gambaran waktu daya tahan dan peubah bebas yang kontinu .....................
24
3 . Dugaan parameter model loglinear dengan asumsi sebaran Weibull ..........
26
4 . Dugaan parameter model hazard proporsional Weibull ...............................
27
5. Persentase pasien LLA anak berdasarkan kombinasi splenomegali
dan leukemia SSP ........................................................................................ 30
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Plot data terhadap kuantil normal ................................................................
25
2 . Plot data terhadap kuantil lognormal ............................................................ 25
3 . Plot data terhadap kuantil eksponensial ........................................................
25
4 . Plot data terhadap kuantil weibull ............................................................... 25
5. Plot hazard sisaan Cox-Snell ........................................................................ 27
6 . Plot sisaan Devians terhadap urutan waktu daya tahan pasien .....................
27
7 . Plot dugaan peluang daya tahan pasien LLA anak ........................................ 29
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pengamatan yang berkaitan dengan terjadinya suatu kejadian banyak
ditemukan di sekeliling kita, misalnya dalam bidang kedokteran yaitu waktu
terjadinya kematian setelah diagnosa suatu penyakit, waktu terjadinya kesembuhan
setelah pengobatan atau waktu berkembangnya suatu penyakit. Dalam hal ini yang
dicatat adalah waktu antara satu titik awal tertentu sampai terjadinya suatu kejadian
sehingga pengamatan itu selalu bernilai positif
Jangka waktu sampai terjadinya suatu kejadian, dalam statistika dikenal
sebagai waktu daya tahan (survival time). Sedangkan teknik statistika yang digunakan
untuk menganalisis data waktu daya tahan tersebut dikenal dengan analisis daya tahan
(survival analysis).
Ada dua pendekatan yang dapat digunakan dalam analisis daya tahan yaitu
pendekatan parametrik dan nonparametrik. Pendekatan parametrik digunakan jika
pola sebaran data sesuai dengan pola sebaran teoritik tertentu, misalnya sebaran
normal, lognormal, eksponensial atau weibull, sedangkan pendekatan nonparametrik
digunakan jika pola sebaran data tidak dapat didekati dengan pola sebaran teoritik
tertentu .
Jangka waktu sejak pasien didiagnosis menderita penyakit leukemia
limfoblastik akut sampai meninggal dapat dipandang sebagai waktu daya tahan.
Leukemia disebut juga kanker darah, merupakan keganasan pada sistem hemopoetik
(sistem pembentukan sel darah) berupa perkembangan yang luar biasa dari sel
hemopoetik muda, melebihi ukuran normal, yang ditandai oleh kegagalan sumsum
tulang dalam membentuk sel darah normal. Sedangkan Leukemia limfoblastik adalah
leukemia yang terjadi pada sel darah putih jenis limfoblas (Fernbach dalam Kaban,
2001).
Dalam bidang kedokteran di Indonesia, data daya tahan biasanya dianalisis
tanpa memperhatikan pola sebaran data atau dengan pendekatan nonparametrik.
Pendekatan nonparametrik dapat digunakan jika asumsi yang valid tentang
pendekatan parametrik tidak ditemukan atau jika pendekatan parametrik memerlukan
perhitungan yang kompleks sedangkan hasil dibutuhkan dalam waktu cepat
(Daniel, 1990). Tetapi bila pendekatan parametrik valid maka penggunaan pendekatan
nonparametrik akan menyebabkan informasi yang tersedia tidak termanfaatkan secara
maksimal.
Demikian pula menurut Siege1 (1994) kuasa uji yang dihasilkan dengan
metode parametrik lebih besar daripada metode nonparametrik yang berarti peluang
melakukan kesalahan menerima hipotesis no1 padahal salah akan lebih kecil
dibandingkan dengan metode nonparametrik.
Mengingat potensi yang ada pada pendekatan parametrik maka dalam
penelitian ini akan diterapkan analisis daya tahan untuk menganalisis jangka waktu
terjadinya kematian pada pasien leukemia limfoblastik akut anak dengan pendekatan
parametrik.
Tujuan Penelitian
Menyusun model daya tahan parametrik yang akan digunakan untuk
mempelajari faktor risiko kematian pasien leukemia limfoblastik akut anak.
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Daya Tahan
Analisis daya tahan mempakan teknik statistika yang digunakan untuk
menganalisis data daya tahan dari satu atau beberapa kelompok individu. Data daya
tahan adalah data tentang jangka waktu terjadinya suatu kejadian mulai dari waktu
awal sampai waktu akhir. Kejadian-kejadian tersebut bisa berupa kematian,
kambuhnya suatu penyakit, kegagalan suatu komponen, rentang waktu masa
produktif, ketahanan dalam masa pertama laktasi, waktu sampai mendapatkan
pekerjaan, selang waktu kejadian pernikahan dan lain-lain.
Data daya tahan berbeda dengan jenis data lainnya dan memerlukan prosedur
statistika tertentu karena responsnya adalah waktu yang diukur dengan cara yang
tidak sama dengan peubah bebas. Peubah bebas diukur pada saat itu juga dan bebas
terhadap ukuran respons sedangkan respons diamati sampai suatu titik tertentu dan
selalu bernilai positif'. Pengamatan yang lebih besar berarti mempunyai waktu yang
lebih lama. Perbedaan lain adalah adanya data sensor (Hougard, 1999).
Sebaran data daya tahan biasanya tidak simetris dan menjulur ke kanan,
sehingga data tidak bisa diasumsikan normal. Bisa saja dilakukan transformasi untuk
mendapatkan sebaran yang lebih simetrik, tetapi pendekatan yang lebih baik adalah
dengan mengadopsi bentuk sebaran lain (Collet, 1996).
Ada tiga syarat yang hams dipenuhi untuk menentukan waktu daya tahan
yaitu waktu awal (time origin) hams jelas, skala pengukuran waktu hams ditentukan,
dan waktu akhir atau kejadian yang diperhatikan hams didefinisikan dengan jelas
(Cox & Oakes, 1984).
Dalam bidang kedokteran (Collet,1996), waktu awal sering dihubungkan
dengan waktu masuknya pasien kedalam suatu penelitian, waktu pasien datang
berobat dan didiagnosis punya penyakit tertentu, sedangkan waktu akhir dihubungkan
dengan kematian pasien, timbulnya suatu penyakit, sembuh dari sakit, dan lain-lain.
Penyensoran
Dalam penelitian tidak semua individu mengalami kejadian yang diamati atau
waktu akhir individu tidak diketahui. Individu-individu yang tidak mengalami
kejadian yang diamati tersebut dikatakan mempunyai waktu daya tahan tersensor.
Ada tiga jenis penyensoran yaitu sensor kanan (right censoring), sensor kiri (left
censoring) dan sensor selang (interval censoring) (Collet, 1996).
Sensor kanan terjadi apabila individu diketahui masih hidup sampai hilang
dari pengamatan atau sampai penelitian berakhir. Jadi hanya diketahui batas bawah
(waktu awal) dari suatu kejadian.
Sensor kiri terjadi jika kejadian yang diamati sudah terjadi pada suatu individu
sebelum individu tersebut masuk dalam periode penelitian. Misalkan, penelitian
tentang waktu munculnya kembali tumor setelah operasi. Tiga bulan setelah operasi
pasien di uji apakah tumor muncul lagi. Ternyata pada beberapa orang pasien tumor
telah muncul sebelum tiga bulan, jadi waktu munculnya tumor lebih kecil dari tiga
bulan maka waktu munculnya tumor untuk pasien tersebut adalah tersensor dikiri.
Sensor selang adalah sensor yang waktu daya tahannya berada dalam suatu
selang. Misalkan, pada penelitian munculnya kembali tumor setelah operasi pada
kasus sensor kiri diatas. Pasien diamati bebas tumor pada waktu tiga bulan pertama
tapi tumor muncul ketika diuji enam bulan setelah operasi, berarti waktu daya tahan
pasien diketahui antara tiga sampai enam bulan, maka waktu daya tahan pasien
merupakan sensor selang.
Sensor kanan terdiri dari tiga jenis yaitu sensor kanan jenis I, sensor kanan
jenis I1 dan sensor acak. Pada sensor kanan jenis I, jumlah individu pada saat awal
sudah ditentukan dan waktu penelitian ditetapkan dalam suatu selang waktu tertentu,
individu-individu yang tidak mengalami kejadian dalam selang waktu tersebut tidak
dapat ditentukan waktu daya tahannya secara pasti. Misalkan, penelitian waktu
berkembangnya tumor setelah 6 tikus disuntik sel-sel tumor. Peneliti memutuskan
untuk mengakhiri pengamatan setelah 30 minggu, maka tikus yang tidak mengalami
tumor selama 30 minggu dikatakan tersensor. Pada sensor kanan jenis 11, jumlah
individu pada saat awal ditentukan dan waktu penelitian ditentukan sampai terjadinya
kematian dengan jumlah tertentu. Misalkan, pada penelitian 6 tikus yang telah
disebutkan diatas, peneliti memutuskan mengakhiri pengamatan sampai 4 tikus
mengalami tumor, maka 2 tikus lainnya dikatakan tersensor. Sedangkan pada sensor
acak, biasa terjadi dalam percobaan klinis, periode penelitian ditentukan dan individu
(pasien) masuk pada saat yang berbeda selama periode tersebut. Misalkan, 6 pasien
leukemia akut di arnati waktu kematiannya selama setahun. Pasien masuk periode
penelitian pada waktu berbeda. Pasien yang masih hidup selama periode tersebut
dikatakan tersensor (Lee, 1992).
Sebaran Waktu Daya Tahan
Sebaran waktu daya tahan biasanya dinyatakan dalam tiga fbngsi yaitu fbngsi
kepekatan peluang, fbngsi daya tahan (survivor function) dan fbngsi hazard (hazard
function).
Misalkan T adalah peubah acak positif dan kontinu mengenai waktu daya
tahan dan t adalah waktu amatan yang merupakan jangka waktu terjadinya kematian
pasien LLA pada anak, Kt) adalah fungsi kepekatan peluang dari T dan F(t) adalah
fbngsi kepekatan peluang kumulatif dari T yaitu peluang seorang pasien meninggal
hingga atau pada waktu t ditulis sebagai berikut:
(Collet, 1996).
Fungsi daya tahan S(t) didefinisikan sebagai peluang bahwa seorang pasien
dapat bertahan hidup paling sedikit selama kurun waktu t. Fungsi ini dinyatakan
sebagai berikut :
(Collet, 1996).
Fungsi S(t) adalah fbngsi yang tidak naik (nonincreasingfinction) dengan ciri
S(t) = 1 untuk t = 0 dan S(t) = 0 untuk t = oo
Fungsi kepekatan peluang (probability densityfunction) dari waktu daya tahan
T didefinisikan sebagai limit dari peluang pasien yang meninggal pada selang t
sampai At , atau peluang pasien meninggal dalam suatu selang waktu yang pendek.
Fungsi ini dirumuskan sebagai berikut:
f (t) = Lim ht+0
P(trT t)
At
At-0
(4)
=-f(t)
S(t)
(Collet, 1996).
Secara matematis S(t) dan qt) dapat dinyatakan dalam bentuk h(t). Karena f(t)
= -Sy(t)maka
t
sehingga
- h(t)dt = log S(t) ,karena S(0) =1 maka
0
t
S(t) = exp (-j h(u)du)
0
Sedangkan dalam bentuk kngsi hazard kumulatif
t
H(t) = h(u)du atau H(t) = -log S(t)
0
sehingga
S(t) = exp (-H(t))
Karena h(t) 5 0 dan
h(t) = m maka fbngsi kepekatan peluang dapat ditulis
(Lee, 1992).
Model Regresi Daya Tahan
Model regresi daya tahan menghubungkan antara respons yang berupa waktu
bertahan dengan berbagai peubah penjelas. Secara lebih rinci model regresi daya
tahan dijelaskan berikut ini. Jika T mengikuti sebaran teoritik tertentu, digunakan
model hazard proporsional (proportional hazard model) dengan sebaran tertentu
untuk T atau dalam bentuk lain disebut juga model log-linear (log-linear model)
untuk log T . Sedangkan jika T tidak mengikuti sebaran teoritik tertentu atau bebas
sebaran digunakan model hazard proporsional tanpa sebaran tertentu yang dikenal
dengan model regresi Cox (Collet,1996).
Misalkan hazard (risiko) kematian pada waktu t tergantung pada nilai-nilai XI,
x2,...,x, dari p peubah bebas XI, X2,. ..,I?,. Nilai-nilai peubah ini diasumsikan telah
diukur pada waktu awal dan tetap selama penelitian. Maka model hazard proporsional Cox yang menyatakan hazard kematian pada waktu t untuk pasien ke-i adalah
hi(t) = exp(P lxli +
PZXZ~
+ ...+ Pp~pi)h(t),i = 1,2,...,n.
(8)
atau
hi(t) = exp (P'xi) b(t)
(9)
dimana ho(t) merupakan fbngsi hazard dasar yang tidak tergantung pada x atau pada
x = 0, dan
p'= [PI, P2,.. .,Pp]adalah vektor dari koefisien-koefisien peubah penjelas
dalam model. Bentuk
P'x~
disebut juga komponen linear dari model. xi
=
(xl,xz,
...,%)' adalah vektor nilai-nilai peubah penjelas untuk individu ke-i.
Jika fbngsi hazard diasumsikan mengikuti sebaran teoritik tertentu maka
hngsi hazard dasar pada persamaan (8) diasumsikan mengikuti sebaran peluang
tersebut. Misalkan waktu daya tahan diasumsikan megikuti sebaran Weibull dengan
parameter skala h dan parameter bentuk y maka hngsi hazard dasar untuk waktu
daya tahannya adalah
b(t) = hytYY1
dan model hazard proporsional(8) berdasarkan sebaran weibul menjadi
hi(t) = exp (P lxli + j32~2i+ ...+ Ppxpi)hflr-l
atau
hi(t) = exp ($'xi) hvrr'
(12)
sehingga berdasarkan persamaan (12) waktu daya tahan individu ke-i mempunyai
sebaran Weibull dengan parameter skala h exp($'~i) dan parameter bentuk y.
Sedangkan fbngsi daya tahan pasien ke-i adalah
-
Si(t) = exp f exp ($'xi) Atr}
(13)
Model hazard proporsional (8) yang parametrik dapat juga ditulis dalam
bentuk model log-linear sebagai berikut:
Yi = ~1 + C L I +
Xa~2~~ 2 +....
i
+aPxpi+ ~ € i
(I4)
atau
Yi = p + OC'X~f
dimana Yi=log Ti, xi
$1
=
GE~
(I5)
(XI,...,x,)' vektor nilai-nilai peubah penjelas dan a'=[al,.
..,
adalah vektor koefisien regresi , p adalah intersep, a parameter skala dan
E
mempunyai sebaran peluang tertentu.
Jika Ti mengikuti sebaran weibull maka
Ei
mengikuti sebaran nilai ekstrim
(Klein & Moeschberger,l997) dengan fbngsi kepekatan peluang dan kngsi daya
tahan untuk yi=log ti berturut-turut adalah
dan
Pendugaan Parameter.
Untuk mendapatkan nilai dugaan parameter dalam model log-linear
digunakan penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation)
berdasarkan atas fbngsi kemungkinan (Collet, 1996).
Misalkan data dicatat sebagai n pasang amatan untuk individu ke-i yaitu (ti,&),
i-1,2, ...,n. Diamana ti adalah waktu daya tahan individu ke-i dan 8i indikator yang
bernilai 1 untuk waktu daya tahan tidak tersensor dan 0 untuk tersensor, hngsi
kemungkinan dapat dinyatakan dalam bentuk
Fungsi kemungkinan berdasarkan yl, y2, . . ., y, yang merupakan logaritma dari
waktu daya tahan tl, tz, ..., t, dari n individu adalah
dimana f(yi) dan S(y;) hngsi kepekatan dan hngsi daya tahan untuk individu ke-i
pada waktu log ti . Fungsi kemungkinan menjadi
dimana z, =
yi - p - a ' x i
. Dalam bentuk hngsi log kemungkinan menjadi
a
n
log L(a, p,a ) = C {-6i logo. + Gizi - eZi )
i=l
(21)
Dugaan parameter diperoleh dengan memaksimumkan hngsi diatas dengan
menggunakan iterasi Newton-Rhapson.
Pengujian hipotesis Ho:ai=O untuk menguji kontribusi masing-masing peubah
dalam analisis peubah tunggal digunakan uji Wald dengan statistik ujinya adalah
dengan s.e(6) adalah galat baku penduga parameter. Statistik uji ini akan menyebar
Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1 jika HObenar.
Untuk pengujian kontribusi peubah secara bersama-sama dalam analisis
peubah ganda digunakan uji nisbah kemungkinan dengan statistik uji
xZ = -2 [Lnsbm-Lnssa]
(23)
dengan Lsbm adalah kemungkinan pada model lengkap dan Lssd adalah kemungkinan
pada model dasar. Nilai
X2
pada taraf nyata 5% melebihi nilai X2 tabel dengan derajat
bebas tertentu, maka peubah-peubah tersebut berpengaruh nyata pada taraf 5%.
Pemeriksaan Sebaran Data
Pemeriksaan sebaran data adalah memeriksa kesesuaian pola sebaran data
terhadap pola sebaran teoritik tertentu. Untuk memeriksa pola sebaran data secara
informal dilakukan dengan plot kuantil-kuantil, Plot ini akan membandingkan kuantil
yang didasarkan pada data (kuantil empirik) dengan kuantil dari sebaran tertentu
(kuantil teoritik). Pola garis lurus pada plot kuantil-kuantil merupakan indikasi bahwa
sebaran empirik data dapat didekati dengan sebaran kuantil teoritik pada plot tersebut.
Plot kuantil-kuantil terhadap sebaran normal adalah antara t(i,, data yang telah
diurutkan dari yang paling kecil, dengan Q(pi) atau kuantil normal baku dan plot
kuantil-kuantil terhadap sebaran lognormal adalah antara In tci, dengan Q(pi). Untuk
hngsi peluang eksponensial plot tersebut adalah antara t(;, dengan (-ln(1-pi)). Plot
kuantil-kuantil untuk sebaran weibull adalah antara In t o dengan {In(-ln(1-pi))).
Dengan pi=(i-0.5)In (Aunuddin, 1989).
Untuk memeriksa sebaran data secara formal, dilakukan uji kebaikan suai
secara statistik dengan menggunakan statistik uji tertentu. Uji kebaikan suai
dimaksudkan untuk menolak sebaran yang tidak tepat bukan untuk membuktikan
bahwa sebaran yang dipilih benar. Pengujian data dengan penyensoran acak yang
menyebar menurut sebaran tertentu dapat dilakukan dengan statistik uji Hollander &
Proschan (Lee, 1992).
Misalkan t(l) < t~) z d 2atau c*