Metode Reduksi Ukuran metode reduksi ukuran pada masalah penugasan kuadratik simetris

=                             33 33 22 33 11 33 32 32 31 32 23 32 21 32 13 32 12 32 32 31 31 31 23 31 21 31 13 31 12 31 32 23 31 23 23 23 21 23 13 23 12 23 33 22 22 22 11 22 32 21 31 21 23 21 21 21 13 21 12 21 32 13 31 13 23 13 21 13 13 13 12 13 32 12 31 12 23 12 21 12 13 12 12 12 D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F . 2 Berikut ini didefinisikan matriks biaya linear, L berukuran N N  , dengan jj ii ijij ij D F C L   , N j i  , yaitu biaya menempatkan fasilitas i ke lokasi j. Disebut biaya “linear”, sebab hanya satu fasilitas yang ditugaskan ke suatu lokasi. Ketika dua fasilitas secara bersamaan ditugaskan ke lokasi yang berbeda, maka biaya yang berkaitan disebut dengan biaya “quadratic”. Sebagai ilustrasi matriks biaya linear pada 3  N yang telah dijabarkan sebelumnya,            33 33 22 33 11 33 33 22 22 22 11 22 33 11 22 11 11 11 D F D F D F D F D F D F D F D F D F L . 3 Dengan 33 22 D F bermakna biaya transportasi penugasan dari fasilitas 2 ke lokasi 3.

4. Metode Reduksi Ukuran

Pada bagian ini akan dibahas mengenai metode memperkecil ukuran matriks biaya C, yang diharapkan dapat mempersingkat jalannya penyelesaian masalah QAP, yaitu metode reduksi ukuran. Untuk mempermudah pemahaman dan penyampaian, diambil 3  N . Yang diharapkan dapat memberi gambaran dari teorema berikutnya yang masih berupa suatu conjecture. Diberikan matriks arus komoditas            33 32 31 23 22 21 13 12 11 F F F F F F F F F F , matriks jarak            33 32 31 23 22 21 13 12 11 D D D D D D D D D D , dan matriks biaya            33 32 31 23 22 21 13 12 11 C C C C C C C C C C yang secara lengkap seperti pada 1 dan 2. Diasumsikan matriks arus, F, berukuran N N  merupakan suatu matriks simetri, matriks jarak, D, berukuran N N  juga merupakan matriks simetri,  ii F atau  jj D , untuk setiap N j i  , . Diasumsikan pula penugasan awal adalah penugasan dari fasilitas 1 ke lokasi 1, yang berakibat            33 32 23 22 11 C C C C C C , 2 dan dari fasilitas k ke lokasi n menjadi tidak bermakna. Demikian pula dengan 31 21 13 , , C C C . Sehingga dapat dihilangkan dari matriks, ditandai dengan . Perhatikan sub blok matriks            1133 1132 1131 1123 1122 1121 1113 1112 1111 11 C C C C C C C C C C            13 13 12 13 11 13 13 12 12 12 11 12 13 11 12 11 11 11 D F D F D F D F D F D F D F D F D F , 12 11 D F berupa biaya transportasi penugasan dari fasilitas 1 ke lokasi 1 dan dari fasilitas 1 ke lokasi 2, yaitu terdapat penugasan dari satu fasilitas ke dua lokasi yang berbeda, sehingga 12 11 D F menjadi tidak bermakna dan dapat dihilangkan dari matriks, ditandai dengan . Demikian pula dengan 13 11 D F , 11 12 D F , dan 11 13 D F dapat dihilangkan dari matriks. Sehingga diperoleh            1133 1132 1123 1122 1111 11 C C C C C C            13 13 12 13 13 12 12 12 11 11 D F D F D F D F D F . Secara sama untuk 32 23 22 , , C C C dan 33 C , sehingga diperoleh            2233 2222 2211 22 C C C C            23 23 22 22 21 21 D F D F D F ,            2332 2323 2311 23 C C C C            32 23 33 22 31 21 D F D F D F ,            3232 3222 3211 32 C C C C            22 33 22 32 21 31 D F D F D F , dan            3333 3322 3311 33 C C C C            33 33 32 32 31 31 D F D F D F . Secara keseluruhan matriks biaya C menjadi C =                             3333 3232 3322 3222 3311 3211 2322 2233 2323 2222 2311 2211 1133 1132 1123 1122 1111 C C C C C C C C C C C C C C C C C =                             33 33 22 33 32 32 22 32 31 31 21 31 32 23 23 23 33 22 22 22 31 21 21 21 13 13 12 13 13 12 12 12 D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F . Karena penugasan awal adalah dari fasilitas 1 ke lokasi 1, maka 11 11 1111 D F C  di dalam literatur QAP disebut menjadi „superleader‟. Sedangkan entri-entri yang lain pada matriks biaya menjadi entri pada matriks biaya linear L yang berukuran 1 1    N N = 2 2  . Namakan        22 21 12 11 L L L L L dengan 11 L adalah total biaya penugasan dari fasilitas 2 ke lokasi 2, 12 L adalah total biaya penugasan dari fasilitas 2 ke lokasi 3, 21 L adalah total biaya penugasan dari fasilitas 3 ke lokasi 2, dan 22 L adalah total biaya penugasan dari fasilitas 3 ke lokasi 3. Sehingga diperoleh 22 22 21 21 12 12 11 D F D F D F L    , 33 22 31 21 13 12 12 D F D F D F L    , 22 33 21 31 12 13 21 D F D F D F L    , dan 33 33 31 31 13 13 22 D F D F D F L    . Yaitu matriks biaya linear        22 21 12 11 L L L L L =               33 33 31 31 13 13 22 33 21 31 12 13 33 22 31 21 13 12 22 22 21 21 12 12 D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F D F . Pada matriks L , entri 1 , 1   j i L adalah biaya-biaya dari penugasan fasilitas 1 ke lokasi 1 dan dari fasilitas i ke lokasi j dengan 3 , 2    N j i . Hal ini hampir sama dengan definisi matriks biaya linear original, dengan ij L menotasikan biaya transportasi penugasan fasilitas i ke lokasi j . Namun dalam maslah ini ditambahkan biaya transportasi penugasan dari fasilitas 1 ke lokasi 1 yang sudah termasuk di dalam matriks biaya linear L . Perhatikan entri-entri matriks biaya linear L , jj ii j i j i j i D F D F D F L      1 1 1 1 1 , 1 , 3 , 2    N j i . Berdasarkan asumsi di awal, yaitu F dan D matriks- matriks simetri, sehingga berlaku j i j i D F D F 1 1 1 1  dan asumsi bahwa  ii F atau  jj D , sehingga berlaku  jj ii D F . Sehingga j i j i D F L 1 1 1 , 1 2    . Berdasrkan hal tersebut, jika diambil i i i F F 1 1 , 1 2    dan j j j D D 1 1 , 1    , 3 , 2    N j i maka diperoleh j i j i D F L 1 1 1 , 1 2    = 1 , 1   i i F . 1 , 1   j j D . Sedangkan entri lain pada F’ dan D’ ditentukan dengan elemen-elemen pada matriks biaya C, karena elemen- elemen tersebut harus masuk di dalam matriks biaya yang baru, C’.     13 32 2 2 F F     13 32 D D Teorema. Conjecture, Choi [4] Jika suatu masalah QAP berukuran N N  memenuhi dua kondisi berikut: i matriks arus F dan matriks jarak D adalah matriks-matriks simetris, ii  jj ii D F dipenuhi jika  ii F atau  jj D , untuk setiap N j i  , , maka ukuran masalah QAP dapat direduksi menjadi 1 1    N N .

5. Simpulan dan Saran