=
33 33
22 33
11 33
32 32
31 32
23 32
21 32
13 32
12 32
32 31
31 31
23 31
21 31
13 31
12 31
32 23
31 23
23 23
21 23
13 23
12 23
33 22
22 22
11 22
32 21
31 21
23 21
21 21
13 21
12 21
32 13
31 13
23 13
21 13
13 13
12 13
32 12
31 12
23 12
21 12
13 12
12 12
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
. 2
Berikut ini didefinisikan matriks biaya linear, L berukuran
N N
, dengan
jj ii
ijij ij
D F
C L
,
N j
i
,
yaitu biaya menempatkan fasilitas i ke lokasi j. Disebut biaya “linear”, sebab hanya satu fasilitas yang ditugaskan ke suatu lokasi. Ketika dua
fasilitas secara bersamaan ditugaskan ke lokasi yang berbeda, maka biaya yang berkaitan disebut dengan
biaya “quadratic”. Sebagai ilustrasi matriks biaya linear pada
3
N
yang telah dijabarkan sebelumnya,
33 33
22 33
11 33
33 22
22 22
11 22
33 11
22 11
11 11
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
L
. 3
Dengan
33 22
D F
bermakna biaya transportasi penugasan dari fasilitas 2 ke lokasi 3.
4. Metode Reduksi Ukuran
Pada bagian ini akan dibahas mengenai metode memperkecil ukuran matriks biaya C, yang diharapkan dapat mempersingkat jalannya penyelesaian masalah QAP, yaitu metode reduksi
ukuran. Untuk mempermudah pemahaman dan penyampaian, diambil
3
N
. Yang diharapkan dapat memberi gambaran dari teorema berikutnya yang masih berupa suatu conjecture.
Diberikan matriks arus komoditas
33 32
31 23
22 21
13 12
11
F F
F F
F F
F F
F F
, matriks jarak
33 32
31 23
22 21
13 12
11
D D
D D
D D
D D
D D
, dan
matriks biaya
33 32
31 23
22 21
13 12
11
C C
C C
C C
C C
C C
yang secara lengkap seperti pada 1 dan 2.
Diasumsikan matriks arus, F, berukuran
N N
merupakan suatu matriks simetri, matriks jarak, D, berukuran
N N
juga merupakan matriks simetri,
ii
F
atau
jj
D
, untuk setiap
N j
i
,
. Diasumsikan pula penugasan awal adalah penugasan dari fasilitas 1 ke lokasi 1, yang berakibat
33 32
23 22
11
C C
C C
C C
,
2 dan dari fasilitas k ke lokasi n menjadi tidak bermakna. Demikian pula dengan
31 21
13
, ,
C C
C
. Sehingga dapat dihilangkan dari matriks, ditandai dengan .
Perhatikan sub blok matriks
1133 1132
1131 1123
1122 1121
1113 1112
1111 11
C C
C C
C C
C C
C C
13 13
12 13
11 13
13 12
12 12
11 12
13 11
12 11
11 11
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
,
12 11
D F
berupa biaya transportasi penugasan dari
fasilitas 1 ke lokasi 1 dan dari fasilitas 1 ke lokasi 2, yaitu terdapat penugasan dari satu fasilitas ke dua lokasi yang berbeda, sehingga
12 11
D F
menjadi tidak bermakna dan dapat dihilangkan dari matriks, ditandai dengan . Demikian pula dengan
13 11
D F
,
11 12
D F
, dan
11 13
D F
dapat dihilangkan dari matriks. Sehingga diperoleh
1133 1132
1123 1122
1111 11
C C
C C
C C
13 13
12 13
13 12
12 12
11 11
D F
D F
D F
D F
D F
.
Secara sama untuk
32 23
22
, ,
C C
C
dan
33
C
, sehingga diperoleh
2233 2222
2211 22
C C
C C
23 23
22 22
21 21
D F
D F
D F
,
2332 2323
2311 23
C C
C C
32 23
33 22
31 21
D F
D F
D F
,
3232 3222
3211 32
C C
C C
22 33
22 32
21 31
D F
D F
D F
,
dan
3333 3322
3311 33
C C
C C
33 33
32 32
31 31
D F
D F
D F
.
Secara keseluruhan matriks biaya C menjadi
C =
3333 3232
3322 3222
3311 3211
2322 2233
2323 2222
2311 2211
1133 1132
1123 1122
1111
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C
=
33 33
22 33
32 32
22 32
31 31
21 31
32 23
23 23
33 22
22 22
31 21
21 21
13 13
12 13
13 12
12 12
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
.
Karena penugasan awal adalah dari fasilitas 1 ke lokasi 1, maka
11 11
1111
D F
C
di dalam literatur QAP disebut menjadi „superleader‟. Sedangkan entri-entri yang lain pada matriks biaya
menjadi entri pada matriks biaya linear
L
yang berukuran
1 1
N
N
=
2 2
. Namakan
22 21
12 11
L L
L L
L
dengan
11
L
adalah total biaya penugasan dari fasilitas 2 ke lokasi 2,
12
L
adalah total biaya penugasan dari fasilitas 2 ke lokasi 3,
21
L
adalah total biaya penugasan dari fasilitas 3 ke lokasi 2, dan
22
L
adalah total biaya penugasan dari fasilitas 3 ke lokasi 3. Sehingga diperoleh
22 22
21 21
12 12
11
D F
D F
D F
L
,
33 22
31 21
13 12
12
D F
D F
D F
L
,
22 33
21 31
12 13
21
D F
D F
D F
L
, dan
33 33
31 31
13 13
22
D F
D F
D F
L
. Yaitu matriks biaya linear
22 21
12 11
L L
L L
L
=
33 33
31 31
13 13
22 33
21 31
12 13
33 22
31 21
13 12
22 22
21 21
12 12
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
. Pada matriks
L
, entri
1 ,
1
j
i
L
adalah biaya-biaya dari penugasan fasilitas 1 ke lokasi 1 dan dari fasilitas i ke lokasi j dengan
3 ,
2
N j
i
. Hal ini hampir sama dengan definisi matriks biaya linear original, dengan
ij
L
menotasikan biaya transportasi penugasan fasilitas i ke lokasi j . Namun dalam maslah ini ditambahkan biaya transportasi penugasan dari fasilitas 1 ke lokasi 1 yang sudah
termasuk di dalam matriks biaya linear
L
. Perhatikan entri-entri matriks biaya linear
L
,
jj ii
j i
j i
j i
D F
D F
D F
L
1 1
1 1
1 ,
1
,
3 ,
2
N j
i
. Berdasarkan asumsi di awal, yaitu F dan D matriks- matriks simetri, sehingga berlaku
j i
j i
D F
D F
1 1
1 1
dan asumsi bahwa
ii
F
atau
jj
D
, sehingga berlaku
jj ii
D F
. Sehingga
j i
j i
D F
L
1 1
1 ,
1
2
. Berdasrkan hal tersebut, jika diambil
i i
i
F F
1 1
, 1
2
dan
j j
j
D D
1 1
, 1
,
3 ,
2
N j
i
maka diperoleh
j i
j i
D F
L
1 1
1 ,
1
2
=
1 ,
1
i
i
F
.
1 ,
1
j
j
D
. Sedangkan entri lain pada
F’ dan D’ ditentukan dengan elemen-elemen pada matriks biaya C, karena elemen- elemen tersebut harus masuk di dalam matriks biaya yang baru,
C’.
13 32
2 2
F F
13 32
D D
Teorema. Conjecture, Choi [4] Jika suatu masalah QAP berukuran
N N
memenuhi dua kondisi berikut:
i matriks arus F dan matriks jarak D adalah matriks-matriks simetris,
ii
jj ii
D F
dipenuhi jika
ii
F
atau
jj
D
, untuk setiap
N j
i
,
, maka ukuran masalah QAP dapat direduksi menjadi
1 1
N
N
.
5. Simpulan dan Saran