Metode himpunan aktif untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik - USD Repository

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  Oleh: Yudith Kase

  NIM: 083114014

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

  

ACTIVE SET METHODS TO SOLVE

QUADRATIC PROGRAMMING PROBLEMS

  Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain The Sarjana Sains Degree in Mathematics

  By: Yudith Kase

  Student Number : 083114014

  

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN PERSEMBAHAN

  !" !#$ Skripsi ini kupersembahkan kepada:

  Tuhan Yesus dan Bunda Maria, juru selamat dan pelindungku Almarhum Bapa yang selalu mendoakanku, Mama dan kedua saudaraku terkasih Engel dan Ewal

  My beloved sister Ima Teme beserta keluarga Universitas kebangganku Sanata Dharma

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRAK

  Penentuan penyelesaian masalah pemrograman nonlinear, seperti masalah pemrograman kuadratik konveks berkendala tidak mudah dilakukan secara ana- litik. Namun, tidak berarti bahwa masalah tersebut tidak dapat diselesaikan. Sa- lah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya adalah Metode Himpunan Aktif. Metode himpunan aktif merupakan metode untuk menyelesai- kan masalah pemrograman kuadratik konveks yang melibatkan kendala berupa persamaan dan pertidaksamaan.

  Dalam metode himpunan aktif, yang diselesaikan adalah submasalah pem- rograman kuadratik konveks, yakni dengan membangun sebuah himpunan kerja yang terdiri dari kendala-kendala pertidaksamaan aktif. Kendala-kendala perti- daksamaan aktif digunakan karena memiliki nilai nol pada penyelesaiannya se- hingga dapat digantikan oleh kendala berupa persamaan, sedangkan kendala per- tidaksamaan tidak aktif dapat dihilangkan dari himpunan kerja. Selanjutnya, di- cari penyelesaian untuk arah layak. Jika arah layak sama dengan nol dan syarat Karush-Kuhn-Tucker dipenuhi maka akan diperoleh penyelesaian yang merupa- kan peminimum dari fungsi objektif pada masalah pemrograman kuadratik kon- veks. Jika tidak, maka perlu dibangun himpunan kerja yang lain dan diselesaikan submasalah baru tersebut.

  Kelebihan dari metode himpunan aktif, yaitu lebih sederhana perhitun- gannya karena tidak semua kendala digunakan. Tetapi jika pemilihan titik awal tidak tepat atau dengan kata lain titik awal menyebabkan tidak ditemukannya kendala aktif maka akan dibutuhkan banyak iterasi untuk mencapai hasilnya.

  Kata Kunci: himpunan aktif, Karush-Kuhn-Tucker, konveks, pengali Lagrange, arah layak.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ABSTRACT

  Determination of the solution of nonlinear programming problems, such as the convex quadratic programming problems that involve constraints is not easy done analitcally. However, it does not mean that the problem can not be completed. One of the methods that can be used to solve this problem is Active Set Methods. Active Set Method is a method to solve the problems of convex quadratic programming with involving constrains in the form of equalities and inequalities.

  In the Active Set Method, the convex quadratic programming subproblems are solved by first building a working set of active ineqaulity constraints. The active inequality constraints are used because it has zero value on the solution so that it can be replaced by equality constraints, whereas inactive inequality constraints can be removed from a working set. Next, looking for a solution for the feasible direction. If the feasible direction equal to zero and the condition of Karush Kuhn Tucker is satisfied, so it will be obtained a solution that is the minimizer of objective function in the convex quadratic programming problems. If not, it is necessary to build another working set and solved the new subprobems.

  The advantages of the Active Set Method that is simpler in its computation because not all constraints are used. But if the selection of starting point is not appropriate or in other words, the starting point causes not to find active constraints then it needs much iteration to achieve the results.

  Keywords: active set, Karush-Kuhn-Tucker, convex, Lagrange multiplier, feasi- ble direction.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, ka- rena atas kasih dan penyertaan-Nya sehingga skripsi berjudul “METODE

  

HIMPUNAN AKTIF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH

PEMROGRAMAN KUADRATIK” dapat penulis selesaikan dengan baik.

  Skripsi ini disusun sebagai syarat kelulusan guna memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma.

  Dalam penyusunan skripsi ini, tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan teri- makasih kepada:

  1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Ka- prodi Matematika yang telah meluangkan waktu serta penuh kesabaran membimbing dan menuntun penulis dalam penyusunan skripsi ini.

  2. P.H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

  3. M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji dan dosen pembim- bing Angkatan 2008.

  4. Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., M.Si., selaku dosen penguji.

  5. Prof. Drs. R. Soemantri, Herry Pribawanto, S.Si., M.Si. dan A. Prasetyadi, S.Si., M.Si., yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  6. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu baik yang berhubu- ngan dengan akademik maupun non akademik.

  7. Staf FST khususnya Pak Tukija, Ibu Linda dan Ibu Rina, Karyawan Per- pustakaan USD serta Mas Susilo selaku Laboran .

  8. Almarhum Bapak yang telah tenang di sisi Bapa, Mama dan kedua sauda- raku Engel, Ewal serta Ka ima yang selalu mendukung penulis.

  9. Teman-teman seperjuangan (Nooppy, Donat, Amel, Marcell, Fenny, Ethus, Moyo dan Widi). Friendship Never Be A Part guys.

  10. Ina dan Adel, anak kos Aulia, Ao, Sende, Novi, Wiwi, Elvira, Tere, Tesa dan Asri, ka Merlin, Pipot serta teman KKN kelompok 31 angkatan XLII.

  11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu yang telah mendu- kung penulis dalam penyusunan skripsi ini.

  Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih sangat jauh dari sempurna. Oleh karena itu kritik dan saran dari berbagai pihak akan penulis terima dengan senang hati. Semoga skripsi ini berguna bagi semua pihak.

  Yogyakarta, 29 Februari 2012 Penulis

  Yudith Kase

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL ................................................................................. i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................ iii HALAMAN PENGESAHAN .................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................... v HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................ vi LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA

  ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS .................................. vii ABSTRAK ................................................................................................. viii ABSTRACT ............................................................................................... ix KATA PENGANTAR ............................................................................... x DAFTAR ISI .............................................................................................. xii DAFTAR GAMBAR ................................................................................. xv DAFTAR TABEL ....................................................................................... xvi

  BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1 A. Latar Belakang .................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ............................................................................ 3 C. Pembatasan Masalah ......................................................................... 3 D. Tujuan penulisan .............................................................................. 3 E. Manfaat Penulisan ............................................................................ 4 F. Metode Penulisan ............................................................................. 4 G. Sistematika Penulisan ....................................................................... 4 BAB II RUANG VEKTOR DAN TEORI OPTIMASI ............................. 6 A. Ruang Vektor .................................................................................... 6 B. Himpunan Konveks dan fungsi Konveks ......................................... 33 C. Teori Optimasi .................................................................................. 60 BAB III METODE HIMPUNAN AKTIF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMROGRAMAN KUADRATIK ....................................... 79 A. Pemrograman Kuadratik ................................................................... 79 B. Metode Himpunan Aktif ................................................................... 85 BAB IV PENUTUP ................................................................................... 117 A. Kesimpulan ....................................................................................... 117 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 119 LAMPIRAN ................................................................................................ 120

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Fungsi = − .................................................. 40Gambar 2.2 Himpunan Konveks dan yang bukan Himpunan Konveks ..... 43Gambar 2.3 Fungsi Konveks dan Bukan Fungsi Konveks ........................ 44Gambar 3.1 Diagram Alir Metode Himpunan Aktif .................................. 95

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Output Penyelesaian contoh 3.3 dengan Matlab ........................ 115Tabel 3.2 Tabel Perbandingan Nilai Awal Metode Himpunan Aktif......... 115

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Optimasi merupakan pokok persoalan yang sering dijumpai dalam kehi-

  dupan. Optimasi menyangkut bagaimana menghadapi berbagai macam kemung- kinan untuk mencapai hasil yang optimal, contohnya pengoptimalan dalam pe- makaian lahan parkir. Dalam pengoptimalan pemakaian lahan parkir terdapat hal-hal yang berpengaruh, misalnya jenis kendaraan dan jumlah kendaraan.

  Permasalahan tersebut dapat dimodelkan secara matematis. Misalkan pengopti- malan pemakaian lahan parkir dinyatakan dengan fungsi f. Hal-hal yang mem- , , … , pengaruhi dinyatakan dengan variabel misalnya . Variabel-variabel

  1

  2

  tersebut perlu diberi batasan yang disebut sebagai kendala sedangkan fungsi , , … , disebut fungsi objektif.

  Fungsi objektif yang sering dijumpai adalah berbentuk linear. Namun dengan adanya perkembangan muncul faktor-faktor yang menyebabkan keti- daklinearan suatu fungsi sehingga memicu munculnya permasalahan nonlinear.

  Permasalahan nonlinear merupakan masalah untuk mengoptimumkan fungsi objektif terhadap himpunan variabel real, di mana salah satu atau keduanya dari fungsi objektif dan kendala berbentuk nonlinear. Dalam permasalahan nonlinear, fungsi objektif dioptimalkan dengan melibatkan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  kendala. Namun, pada masalah-masalah lainnya fungsi objektif dapat pula dioptimalkan walaupun tidak melibatkan kendala.

  Pemrograman kuadratik merupakan salah satu dari masalah pemrograman nonlinear yang melibatkan kendala. Masalah pemrograman kuadratik merupakan masalah optimasi nonlinear dengan fungsi objektif berbentuk kuadratik dan ken- dalanya berbentuk linear. Jika fungsi objektif merupakan fungsi konveks maka dikatakan masalah pemrograman kuadratik konveks. Untuk menyelesaikan ma- salah pemrograman kuadratik, khususnya pemrograman kuadratik konveks dapat digunakan beberapa metode, antara lain Metode Titik Dalam, Metode Dual dan Metode Himpunan Aktif. Dalam penulisan ini akan dipaparkan tentang Metode Himpunan Aktif.

  Metode himpunan aktif adalah metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik dengan kendala berupa persamaan yang dapat digenera- lisasikan untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik dengan kendala yang bersifat umum. Dengan kata lain metode himpunan aktif dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik yang melibatkan kendala berupa persamaan dan pertidaksamaan. Secara intuitif dalam metode himpunan aktif, kendala pertidaksamaan yang tidak aktif tidak berperan dalam pencapaian penyelesaian, sehingga dapat dihilangkan.

  Dalam metode himpunan aktif, dibangun sebuah subhimpunan dari ken- dala berupa persamaan yang diberi indeks dengan suatu himpunan kerja. Salah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Tucker. Jika penyelesaian dari submasalah pemrograman kuadratik dengan kendala persamaan dalam himpunan kerja adalah layak untuk masalah pemrograman kuadratik semula dan syarat Karush-Kuhn-Tucker dipenuhi maka akan diperoleh penyelesaiannya. Jika syarat Karush-Kuhn-Tucker tidak dipenuhi maka himpunan kerja tersebut dihilangkan dan diselesaikan submasalah baru.

B. RUMUSAN MASALAH

  Pokok-pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu: 1. Bagaimana menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik dengan metode himpunan aktif?

2. Bagaimana algoritma metode himpunan aktif dan implementasinya dalam

  MATLAB untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik? C.

PEMBATASAN MASALAH

  Pembahasan metode himpunan aktif dalam tulisan ini hanya dibatasi pada masalah pemrograman kuadratik konveks dan pada masalah optimasi yang meli- batkan kendala.

D. TUJUAN PENULISAN

  Tujuan penulisan ini yaitu untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik yang melibatkan kendala dengan menggunakan metode himpunan aktif

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  dan untuk menyusun algoritma metode himpunan aktif dengan menggunakan ba- hasa pemrograman MATLAB.

  E. MANFAAT PENULISAN

  Manfaat dari tulisan ini yaitu untuk memperoleh pengetahuan tentang metode himpunan aktif yang digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrogra- man kuadratik yang melibatkan kendala serta dapat menggunakan bahasa pemro- graman MATLAB untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik.

  F. METODE PENULISAN

  Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu de- ngan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan metode himpunan aktif un- tuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik.

  G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  G.

  Sistematika Penulisan

BAB II RUANG VEKTOR DAN TEORI OPTIMASI A. Ruang Vektor B. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks C. Teori Optimasi BAB III METODE HIMPUNAN AKTIF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMROGRAMAN KUADRATIK A. Pemrograman Kuadratik B. Metode Himpunan Aktif BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II RUANG VEKTOR DAN TEORI OPTIMASI Dalam Bab II ini akan dibahas tentang ruang vektor, matriks, himpunan dan

  fungsi konveks serta teori optimasi. Matriks yang akan dibahas, yaitu matriks Hesse dan matriks semidefinit positif. Untuk teori optimasi diawali dengan penjelasan opti- masi berkendala dan optimasi tidak berkendala serta penjelasan-penjelasan lain yang berkaitan dengan teori optimasi.

A. Ruang Vektor Definisi 2.1

  Ruang .

  ℝ adalah himpunan dari semua kumpulan terurut , , ⋯ ,

  Definisi 2.2

  Misalkan himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi 1.

  , ∈ , + ∈ . Jumlah: untuk setiap 2.

  ∈ dan skalar ∈ ℝ, ∈ . Perkalian skalar: untuk setiap

  Himpunan dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar dikatakan mem- bentuk suatu ruang vektor atas ℝ jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: a.

• = + , untuk setiap , ∈ .

  b.

• = + + , untuk setiap , , ∈ .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  c.

  Terdapat elemen ∈ sehingga + = , untuk setiap ∈ .

  d.

  Untuk setiap ∈ terdapat elemen – ∈ sehingga + – = 0.

• e.

  = + , untuk setiap skalar ∈ ℝ dan untuk setiap , ∈ .

  f.

  = + , untuk setiap skalar , ∈ ℝ dan untuk setiap ∈ . + (

  ( h.

  g. , untuk setiap skalar = , ∈ ℝ dan untuk setiap ∈ .

  1 = , untuk setiap ∈ .

  Contoh 2.1

  Buktikan bahwa ℝ = , , ⋯ , ∈ ℝ, ∈ ℝ, ⋯ , ∈ ℝ adalah ruang vektor.

  Bukti

  Misalkan dan , maka = , , ⋯ , = , , ⋯ ,

• = + , + , ⋯ , +

  = , , ⋯ , a.

• = + , + , ⋯ , +

  = + , + , ⋯ , + = +

• b.
• = + , + , ⋯ , + , , ⋯ ,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

• , , ⋯ , , , ⋯ , + = , , ⋯ ,
• = , , ⋯ , , , ⋯ , , ,
• = , , ⋯ , , , ⋯ , , , ⋯ ,
• = , , ⋯ , + , + , ⋯ , + = + + c.
• = , , ⋯ , + 0,0, ⋯ ,0

  = + 0, + 0, ⋯ , + 0 = , , ⋯ , = d.

• − = , , ⋯ , + − , − , ⋯ , −

  = + − , + − , ⋯ , + − = 0,0, ⋯ ,0 =

• e.

  = + , + , ⋯ , + = , , ⋯ , , , ⋯ , +

• = , , ⋯ , , , ⋯ ,
• =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  f.

• = + , , ⋯ ,

  = + , + , ⋯ , + = + , + , ⋯ , + = , , ⋯ , + , , ⋯ , = , , ⋯ , + , , ⋯ , = + g.

  = , , ⋯ , = , , ⋯ , = , , ⋯ , = , , ⋯ , = h.

  1 = 1 , , ⋯ , = 1 , 1 , ⋯ , 1 = , , ⋯ , =

  Karena ℝ = , , ⋯ , ∈ ℝ, ∈ ℝ, ⋯ , ∈ ℝ dengan operasi pen- jumlahan dan perkalian skalar memenuhi aksioma-aksioma seperti pada Definisi

  2.2 maka terbukti bahwa ℝ membentuk ruang vektor.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Definisi 2.3

  Misalkan ! = banyaknya baris pada matriks " dan # = banyaknya kolom pada matriks

  " maka matriks " dikatakan bujur sangkar jika ! = #.

  Definisi 2.4 $ $

  Suatu matriks bujur sangkar dengan ada- " dikatakan simetrik jika " = " " lah transpose dari

  ".

  Definisi 2.5 × Misalkan adalah matriks simetrik.

  " ∈ ℝ

  $ " dikatakan definit positif jika " > 0, ∀ ∈ ℝ , ≠ .

  ) " dikatakan semidefinit positif jika " ≥ 0, ∀ ∈ ℝ .

  

$

" dikatakan semidefinit negatif jika " ≤ 0, ∀ ∈ ℝ , ≠ 0.

  " dikatakan indefinit jika tidak semidefinit positif atau semidefinit negatif.

  Contoh 2.2

  Diberikan sebuah matriks simetrik berikut: " = , 4 −2

  −2 30 Untuk mengkaji bahwa matriks

  " bersifat definit positif, maka:

  $

  " = 1 2 , 4 −2 −2 3 0 , 0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  = 1 2 3 4 − 2 −2 + 3 4

  = 4 − 2 − 2 + 3 = 4 − 4 + 3 = 2 − + 2 2.1

  Persamaan (2.1) adalah penjumlahan kuadrat dan oleh karena itu hasilnya tidak negatif. Persamaan (2.1) akan bernilai nol jika dan hanya jika 2 − = 0 dan

  = 0, yang secara tidak langsung menyatakan pula bahwa = 0. Hal ini

  $

  membuktikan bahwa " > 0 untuk semua ≠ 0. Jadi, dapat disimpulkan bahwa matriks

  " bersifat definit positif.

  Contoh 2.3

  Diberikan sebuah matriks simetrik berikut: " = ,2 0 0 20

  Untuk mengkaji bahwa matriks " bersifat semidefinit positif, maka:

  $

  " = 1 2 ,2 0 0 20 , 0 = 1 2 322 4

  2

  = 2 + 2 Berdasarkan hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa matriks

  " bersifat semidefi- nit positif karena ∀ ∈ ℝ jumlahan kuadrat di atas ≥ 0.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Contoh 2.4

  Diberikan sebuah matriks simetrik berikut: 3 0 3 " = 6

  7 0 3 0 3 0 3

  Untuk mengkaji bahwa matriks " bersifat semidefinit positif, maka: 3 0 3

  $

  8

  " = 1 2 6 0 3 0 7 6

  7

  8

  3 0 3 3 + 0 + 3

  8

  = 1

  8 0 + 3 + 0

  8

  7 2 6

  3 + 0 + 3

  8

• = 3 + 0 + 3 0 + 3 + 0 + 3 + 0 + 3

  8

  8

  8

  8

  = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

  8

  8

  8

• = 3 + 2 + 3

  8

  8

• = 3 + 3

8 Berdasarkan hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa matriks

  " bersifat semidefi- nit positif karena ∀ ∈ ℝ jumlahan kuadrat di atas ≥ 0.

  Definisi 2.6

  Diberikan titik ∈ ℝ dan 9 > 0.

  Kitar titik dengan radius

  9 yang diberi notasi : didefinisikan dengan

  ;

  : = ∈ ℝ < − < < 9

  ;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Definisi 2.7

  Barisan di ℝ dikatakan konvergen ke ∈ ℝ, atau dikatakan titik limit da- ri , jika untuk setiap

  > > 0 ada bilangan asli ? > sehingga untuk semua memenuhi # ≥ ? > , barisan − < >.

  Definisi 2.8

  Jika barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut dikatakan konvergen. Jika barisan tidak mempunyai limit, maka barisan tersebut dikatakan divergen.

  Definisi 2.9

  Misalkan @ ⊂ ℝ dan ∈ ℝ. Titik dinamakan titik interior dari @ jika terdapat 9 > 0 sehingga : ⊂ @.

  ; Definisi 2.10

  Himpunan @ dikatakan terbuka dalam ℝ jika setiap titik dari @ adalah titik in- terior

  @.

  Definisi 2.11

  Himpunan @ ⊂ ℝ adalah tertutup jika dan hanya jika komplemennya adalah terbuka.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Definisi 2.12

  Misalkan ∈ ℝ dan misalkan B: ℝ ⟶ ℝ merupakan fungsi bernilai real yang mempunyai turunan parsial orde ke-2 dalam himpunan terbuka

  E yang memuat . Matriks Hesse dari

  B adalah matriks turunan parsial ke-2 yang dievaluasi pada :

  2

  2

  2 ∂ ∂ ∂ f f f

  2 ∂ ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x x

  1

  1

  2 1 n

  2

  2

  2 ∂ ∂ ∂ f f f

  2 =

  H x ( ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x x

  2

  1

  2 2 n

  2

  2

  2 ∂ f ∂ f ∂ f

  2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x x n 1 n 2 n

  Definisi 2.13

  Himpunan vektor F , … , F di ruang vektor V disebut bebas linear jika persa- maan

  H F + … + H F =

  I Hanya dipenuhi oleh bilangan H = ⋯ = H = 0.

  I Contoh 2.5

  Diketahui F = 1,0,1 , F = 2, −3,4 dan F = 3,5,2 . Buktikan bahwa

  8 bebas linear.

  F , F , F

  8

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  6 1 2 3 0 −3 5 1 4 2

  = 0 −3H = 0 H = 0

  8

  = 0

  8

  = 0 H

  8

  7

  6 1 2 3 0 −3 5 0 0 7

  7 Tambahkan 2 kali baris kedua ke 3 dikali baris ketiga untuk memperoleh

  6 1 2 3 0 −3 5 0 2 −1

  7 Tambahkan -1 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh

  8 .

  Bukti

  = 0 Selanjutnya, akan digunakan operasi baris elementer untuk mencari nilai dari H , H dan H

  8

  = 0 H + 4H + 2H

  8

  = 0 −3H + 5H

  8

  H + 2H + 3H

  = K

  8

  8 F

  Untuk membuktikan bahwa kumpulan tersebut bebas linear maka dibentuk per- samaan berikut H F + H F + H

• 7H
• −3H + 5H

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  H = 0 Kerana

  H = H = H = 0 maka dapat disimpulkan bahwa kumpulan vektor

  8 bebas linear.

  F , F , F

8 Definisi 2.14

  Hasil kali dalam (inner product)

  ℝ adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real M , N dengan sepasang vektor dan di ℝ sedemikian ru- pa sehingga aksioma-aksioma berikut ini terpenuhi bagi semua vektor

  , dan di ℝ dan semua bilangan skalar H ∈ ℝ.

  1.

  (Aksioma Kesimetrian) M , N = M , N; 2.

  (Aksioma Penjumlahan) M + , N = M , N + M , N; 3.

  (Aksioma Homogenitas) MH , N = HM , N; 4.

  (Aksioma Positivitas) M , N ≥ 0; M , N = 0 jika dan hanya jika = 0;

  Sebuah ruang vektor real yang memiliki sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam real (Real Inner Product Space).

  Definisi 2.15

  Hasil kali dalam baku untuk ℝ adalah hasil kali skalar

  $

  M , N =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Definisi 2.16

  Norma (norm) atau panjang sebuah vektor di ℝ , dinotasikan dengan < <, dide- finisikan sebagai

  P P

  = ∙ = R + + ⋯ + < < = M , N

  Definisi 2.17

  Dua vektor dan pada ℝ dikatakan ortogonal jika M , N = 0.

  Teorema 2.18 (Teorema Pythagoras)

  Jika dan adalah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasil kali da- lam ℝ , maka

  < + < = < < + < <

  Bukti

  < + < = M + , + N = M , N + M , N + M , N + M , N = M , N + M , N + M , N + M , N = < < + 2M , N + < < = < < + < < □

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Definisi 2.19

  Jika dan adalah vektor-vektor ortogonal di dalam ruang hasil kali dalam di ℝ dan

  ≠ , maka proyeksi skalar dari pada diberikan oleh M , N

  = < < 2.2 dan proyeksi vektor dari pada diberikan oleh

  1 M , N T = U

  < < V = M , N 2.3

  Teorema 2.20

  Jika ≠ , dan T adalah proyeksi vektor dari pada , maka 1.

  − T dan T adalah ortogonal.

  2.

  = T jika dan hanya jika adalah sebuah perkalian skalar dari .

  Bukti 1.

  Karena α α

  MT, TN = M < < , < < N

  α = U

  < <V M , N = α dan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  M , N M , TN =

  M , N =

  Hal ini mengakibatkan M − T, TN = M , TN − MT, TN

  = − = 0 2. Jika = , maka proyeksi vektor dari pada diberikan oleh

  M , N T =

  M , N M , N

  = M , N

  = =

  Sebaliknya, jika = T, menurut persamaan (2.3) maka

  = = < < = T □

  Teorema 2.21 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam

  ℝ ) Jika dan adalah vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam

  ℝ , maka

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Bukti

  Jika = , maka

  M , N = 0 = < << < Jika

  ≠ , maka misalkan T sebagai proyeksi vektor dari pada . Karena T or- togonal pada − T, maka menurut Teorema Pythagoras

  <T< + < − T< = < < Jadi,

  M , N < < = <T<

  = < < − < − T< dan dari sini diperoleh M , N = < < < < − < − T< < <

  ≤ < < < < Dengan mengambil akar diperoleh

  M , N ≤ < << < □

  Teorema 2.22 (Ketaksamaan Cauchy-Buniakowski-Schwarz)

  Misalkan , ∈ ℝ . Maka

  XY X ≤ < < < < 2.4

  Z Z Z[

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Bukti

  Pertidaksamaan (2.4) akan bersifat trivial jika dan hanya jika = atau = . Oleh karena itu, misalkan dan tak nol. Misalkan

  \ adalah sebarang bilangan real. Maka 0 ≤ < + \ < = Y + \

  

Z Z

Z[

  = Y + 2\ Y + \ Y

  Z Z Z Z

Z[ Z[ Z[

  = < < + 2\ Y + \ < <

  Z Z Z[

  Misalkan , dan ] = < < , ^ = _ ` = < < , sehingga pertidaksamaan di

  Z[ Z Z

  atas menjadi ]\ + 2^\ + ` ≥ 0 untuk semua

  \ ∈ ℝ. Hal ini dapat terjadi jika dan hanya jika diskriminan atau @ = 2^ − 4]` = 4^ − 4]` < 0. Karena itu, ^ < ]`.

  Dengan mensubstitusikan nilai ], ^ dan `, maka diperoleh aY b ≤ < < < <

  Z Z Z[

  Selanjutnya dengan mengambil akar diperoleh

  XY X ≤ < < < < □

  Z Z Z[

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Definisi 2.23

  Pemetaan <∙< disebut norm jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut: 1.

  < < ≥ 0, ∀ ∈ ℝ .

  2.

  < < = 0 jika dan hanya jika = 0.

  3.

  <] < = < <, ∀ ∈ ℝ, ∈ ℝ .

  4.

  < + < ≤ < < + < <, ∀ , ∈ ℝ .

  Contoh 2.6 Akan dibuktikan bahwa adalah norm.

  < < = _

  Z[ Z Bukti

  Untuk membuktikan bahwa adalah norm, maka harus ditunjuk- < < = _ Z

  

Z[

kan bahwa memenuhi masing-masing sifat dari Definisi 2.23.

  < < = _

  Z[ Z

  Misalkan dan adalah sebarang vektor di ℝ , # dan adalah sebarang bila- ngan real, maka

1. Akan ditunjukkan bahwa < < ≥ 0.

  Untuk ≥ 0, maka

  Z

  ≥ 0 &lt; &lt; = Y

  Z

Z[

  2.

  = 0 jika dan hanya jika = 0. Akan ditunjukkan bahwa &lt; &lt; = _ Z

  

Z[

  Z

  Jika = 0 maka = 0, ∀c.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

3. Akan ditunjukkan bahwa <] < = < < , ∀ ∈ ℝ, ∈ ℝ .

  Z Z[

  adalah norm.

  Z[ d

  Akan dibuktikan bahwa &lt; &lt; = _ Z

  Contoh 2.7

  &lt; + &lt; ≤ &lt; &lt; + &lt; &lt;

  = &lt; &lt; + &lt; &lt; (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jadi,

  Z Z[

  Z Z[

  ≤ Y

  &lt; + &lt; = Y Z

  b = &lt; &lt; 4. Akan ditunjukkan bahwa &lt; + &lt; ≤ &lt; &lt; + &lt; &lt; , ∀ , ∈ ℝ .

  = aY

  Oleh karena itu, _

  Z[

  &lt; &lt; = Y Z

  = 0 sehingga = 0.

  Z

  = 0 hanya dipenuhi jika

  Z Z[

  ≥ 0, dengan demikian _

  Z

  Karena

  Z Z[ = 0.

  &lt; &lt; = 0 maka _

  = 0 dan &lt; &lt; = 0. Sebaliknya, jika

  Z Z[

• Z Z[
• Y

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Bukti d

  Untuk membuktikan bahwa adalah norm, maka harus di- &lt; &lt; = _

  Z[ Z d

  tunjukkan bahwa memenuhi masing-masing sifat dari De- &lt; &lt; = _ Z

  Z[ finisi 2.23.

  Misalkan dan adalah sebarang vektor di ℝ , # dan adalah sebarang bila- ngan real, maka

1. Akan ditunjukkan bahwa < < ≥ 0.

  Karena , maka ≥ 0 untuk sebarang bilangan real

  Z Z d

  b ≥ 0 &lt; &lt; = aY

  Z

Z[

d 2.

  Akan ditunjukkan bahwa &lt; &lt; = _ = 0 jika dan hanya jika

  Z[ Z = 0.

  Z

  Jika = 0 maka = 0, ∀c.

  Z[ Z

  Oleh karena itu, _ = 0 dan &lt; &lt; = 0.

  &lt; &lt; = 0 maka _

  Z[ Z P

  Sebaliknya, jika = 0.

  Karena ≥ 0, dengan demikian _ = 0 hanya dipenuhi jika

  Z Z[ Z = 0 sehingga = 0. Z 3.

  Akan ditunjukkan bahwa &lt;] &lt; = &lt; &lt; , ∀ ∈ ℝ, ∈ ℝ .

  P

  &lt; &lt; = aY b

  Z Z[

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  = a Y

  Z Z[

  b

  P

  = aY

  Z Z[

  b

  P

  = &lt; &lt; 4.

  Akan ditunjukkan bahwa &lt; + &lt; ≤ &lt; &lt; + &lt; &lt; , ∀ , ∈ ℝ .

• Z Z[
• 2 Y
• Y
• &lt; &lt; (Sifat Nilai Mutlak) ≤ &lt; &lt; + 2&lt; &lt; &lt; &lt; + &lt; &lt;

  = Y

  Z Z[

  &lt; + &lt; = Y Z

  Z Z[

  ≤ &lt; &lt; + 2 _

  Z Z Z[

  (Teorema 2.22) = &lt; &lt; + &lt; &lt;

  Dengan mengambil akar maka diperoleh &lt; + &lt; ≤ &lt; &lt; + &lt; &lt;

  Teorema 2.24

  Misalkan , , adalah sebarang vektor di ℝ , dengan

  &lt; &lt; = aY

  Z

Z[

  b

  d

  maka berlaku

  Z Z Z[

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Z

  Oleh karena itu _

  Z

  −

  Z Z[

  = 0 dan &lt; − &lt; = 0. Sebaliknya, jika

  &lt; − &lt; = 0, maka _

  Z

  −

  Z Z[ = 0.

  Karena

  −

  =

  Z

  ≥ 0, dengan demikian _

  Z

  −

  Z Z[

  = 0 hanya dipenuhi jika

  Z

  −

  Z = 0, ∀c sehingga = .

  3. Akan dibuktikan bahwa &lt; − &lt; ≤ &lt; − &lt; + &lt; − &lt;.

  &lt; − &lt; = &lt; − + − &lt; = M − + − , − + − N = M − , − N + M − , − N + M − , − N + M − , − N

  Z , ∀c.

  1.

  &lt; − &lt; ≥ 0.

  Z Z[

  2.

  &lt; − &lt; = 0 jika dan hanya jika = .

  3.

  &lt; − &lt; ≤ &lt; − &lt; + &lt; − &lt;.

  4.

  &lt; − &lt; = &lt; − &lt;.

  Bukti 1.

  Akan dibuktikan bahwa &lt; − &lt; ≥ 0.

  &lt; − &lt; = aY

  Z

  −

  b

  Jika = maka

  P

  Karena

  Z

  −

  Z

  ≥ 0 untuk sebarang bilangan real

  Z

  dan

  Z

  maka dipero- leh &lt; − &lt; ≥ 0.

  2. Akan dibuktikan bahwa &lt; − &lt; = 0 jika dan hanya jika = .

  Z

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  = &lt; − &lt; + M − , − N + M − , − N + &lt; − &lt; = &lt; − &lt; + 2M − , − N + &lt; − &lt; ≤ &lt; − &lt; + 2&lt; − &lt;&lt; − &lt; + &lt; − &lt; = &lt; − &lt; + &lt; − &lt;

  Dengan mengambil akar maka diperoleh &lt; − &lt; ≤ &lt; − &lt; + &lt; − &lt;.

4. Akan dibuktikan bahwa < − < = < − <.

  − &lt; &lt; − &lt; = &lt; −1

  = 1 &lt; − &lt; = &lt; − &lt;

  Jadi, terbukti bahwa &lt; − &lt; = &lt; − &lt;.

  Teorema 2.25 (Hukum Paralelogram)

  Untuk semua , ∈ ℝ ,

  &lt; + &lt; + &lt; − &lt; = 2 &lt; &lt; + &lt; &lt;

  Bukti:

  &lt; + &lt; + &lt; − &lt; = M + , + N + M − , − N = M , + N + M , + N + M , − N − M , − N = M , N + M , N + M , N + M , N + M , N − M , N − M , N

• M , N

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  = M , N + M , N + M , N + M , N = 2M , N + 2M , N = 2&lt; &lt; + 2&lt; &lt; = 2 &lt; &lt; + &lt; &lt;

  Definisi 2.26

  Barisan ⊂ ℝ disebut barisan Cauchy jika

  I

  lim &lt; −

  h i &lt; = 0 h,i⟶j

  Dengan kata lain untuk setiap k &gt; 0, terdapat sebuah bilangan bulat : sehingga &lt; − h i &lt; &lt; k untuk semua !, l &gt; :.

  Definisi 2.27

  Misalkan m adalah sebuah relasi pada himpunan n, maka m disebut relasi urutan parsial jika memenuhi tiga sifat berikut: 1.

  Refleksif m adalah fefleksif jika dan hanya jika ] m ] untuk setiap ] ∈ n.

  2. Antisimetris m adalah antisimetris jika dan hanya jika ] m ^ dan ^ m ], maka ] = ^ untuk setiap ], ^ ∈ n.

3. Transitif

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  m adalah transitif jika dan hanya jika ] m ^ dan ^ m `, maka ] m ` untuk se- tiap ], ^, ` ∈ n.

  Relasi urutan parsial biasanya dinotasikan dengan ≤; dan ] ≤ ^ dibaca “] men- dahului

  ^”. Relasi ≥, yaitu ] melampaui ^, juga sebuah urutan parsial dari n, disebut urutan dual.

  Definisi 2.28

  Himpunan n bersama-sama dengan suatu relasi urutan parsial m pada n disebut

  himpunan terurut parsial (partially ordered set).

  Contoh 2.8

  Perhatikan bilangan bulat positif ℕ. Dikatakan ] membagi ^ ditulis ]|^, jika ter- dapat

  ` ∈ ℕ sedemikian sehingga ]` = ^. Contoh 2|4, 3|12, 7|21 dan seterus- nya. Tunjukkan bahwa pembagian adalah sebuah pengurutan parsial dari ℕ, yaitu, tunjukkan bahwa a.

  ]|].

  b.

  ]|^ dan ^|] maka ] = ^. Jika c.

  Jika ]|] dan ^|` maka ]|`.

  Penyelesaian a.

  Karena ] ∙ 1 = ], maka ]|]. (Refleksif).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  b.

  Anggap ]|^ dan ^|], misal ^ = p] dan ] = H^. Maka ^ = pH^ sehingga pH = 1. Karena p dan H adalah bilangan bulat positif maka p = 1 dan H = 1.

  Dengan demikian ] = ^. (Antisimetris).

  c.

  ]|^ dan ^|`, misal ^ = p] dan ` = H^. Maka ` = Hp] sehingga ]|`. Anggap (Transitif).

  Definisi 2.29

  Misalkan q adalah subhimpunan dari sebuah himpunan n yang terurut secara par- sial. Definisikan: a.

  Batas atas dan supremum dari q.

  Elemen r dalam n disebut batas atas dari q jika r melampaui (≥) setiap elemen dari q, yaitu r adalah batas atas dari q jika ∀ ∈ q, ≤ r. Jika su- atu batas atas dari q mendahului (≤) setiap batas atas lain dari q maka disebut batas atas terkecil atau supremum dari q dan dinyatakan dengan: sup(q) b. Batas bawah dan infimum dari q.