didefinisikan sebagai berikut
, ,
, .
, j
n d
i k
f n
j d
k i
f
, dengan tujuan mencari penugasan yang jumlah biaya transportasinya seminimum mungkin.
Formulasi umum suatu masalah QAP didefinisikan sebagai berikut: Diberikan
4
N
koefisien biaya
ijkn
C ,
, ,
N n
k j
i
yang akan menentukan suatu matriks penyelesaian
N N
] [
ab
u U
1 Dan disebut dengan penugasan, dan akan meminimumkan fungsi biaya
ijkn kn
ij ijkn
u u
C U
R .
.
2 Terhadap kendala-kendala pada
U 1
,
ij
u ,
N j
i
3
N i
ij
u
1
1 N
j
4
N j
ij
u
1
1 N
i
. 5
3. Matriks-matriks pada QAP
Dari definisi masalah QAP dapat ditentukan matriks-matriks berikut: i
Matriks arus komoditas, F, berukuran
N N
, dengan entri-entri matriks adalah
, k
i f
F
ik
, ii
Matriks jarak, D, berukuran
N N
, dengan entri-entri matriks adalah
, n
j d
D
jn
, iii
Matriks biaya berupa matriks blok berukuran
2 2
N N
, dengan entri-entri matriks adalah
jn ik
ijkn
D F
C .
,
. ,
n j
d k
i f
,
N n
k j
i B
n k
j i
, ,
, ,
, ,
,
.
Sebagai ilustrasi, diambil
3
N
, diperoleh :
matriks arus komoditas
33 32
31 23
22 21
13 12
11
F F
F F
F F
F F
F F
, matriks jarak
33 32
31 23
22 21
13 12
11
D D
D D
D D
D D
D D
, dan matriks biaya
33 32
31 23
22 21
13 12
11
C C
C C
C C
C C
C C
=
3333 3332
3331 3233
3232 3231
3133 3132
3131 3323
3322 3321
3223 3222
3221 3123
3122 3121
3313 3312
3311 3213
3212 3211
3113 3112
3111 2333
2322 2331
2233 2232
2231 2133
2132 2131
2323 2322
2321 2223
2222 2221
2123 2122
2121 2313
2312 2311
2213 2212
2211 2113
2112 2111
1333 1332
1331 1233
1232 1231
1133 1132
1131 1323
1322 1321
1223 1222
1221 1123
1122 1121
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
.
Perhatikan bahwa suatu penugasan hanya boleh dilakukan dari satu fasilitas ke satu lokasi. Sehingga pada matriks sub blok
ij
C
, misal
2233 2232
2231 2223
2222 2221
2213 2212
2211 22
C C
C C
C C
C C
C C
,
21 21
2211
.D F
C
1 ,
2 .
1 ,
2 d
f
berarti terdapat biaya transportasi antara fasilitas 2 dan fasilitas 1, berupa penugasan fasilitas 2 ke lokasi 2 dan fasilitas 1 ke lokasi 1. Hal ini bermakna sebab penugasan
dilakukan dari satu fasilitas ke satu lokasi. Sedangkan pada
22 21
2212
.D F
C
2 ,
2 .
1 ,
2 d
f
, berarti biaya transportasi antara fasilitas 2 dan fasilitas 1, berupa penugasan fasilitas 2 ke lokasi 2 dan fasilitas 1 ke lokasi 2, menjadi tidak
bermakna, sebab terdapat penugasan dari satu fasilitas ke dua lokasi berbeda. Sehingga
2212
C
dapat dihilangkan dari matriks C. Demikian juga dengan beberapa entri dari matriks C yang tidak
bermakna, juga dihilangkan dari matriks C. Secara umum, agar
jj ij
ijkj
D F
C
mempunyai makna, maka i harus sama dengan k, secara sama agar
jn ii
ijin
D F
C
mempunyai makna, maka j harus sama dengan n. Yaitu agar satu fasilitas dapat ditugaskan ke hanya satu lokasi.
Sehingga diperoleh matriks C yang lebih bermakna, setelah beberapa entri tidak bermakna dihilangkan, yang ditandai dengan .
C =
3333 3232
3131 3322
3321 3223
3221 3123
3122 3312
3311 3213
3211 3113
3112 2322
2331 2233
2231 2133
2132 2323
2222 2121
2312 2311
2213 2211
2113 2112
1332 1331
1233 1231
1133 1132
1322 1321
1223 1221
1123 1122
1213 1212
1111
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C C
C
1
=
33 33
22 33
11 33
32 32
31 32
23 32
21 32
13 32
12 32
32 31
31 31
23 31
21 31
13 31
12 31
32 23
31 23
23 23
21 23
13 23
12 23
33 22
22 22
11 22
32 21
31 21
23 21
21 21
13 21
12 21
32 13
31 13
23 13
21 13
13 13
12 13
32 12
31 12
23 12
21 12
13 12
12 12
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
. 2
Berikut ini didefinisikan matriks biaya linear, L berukuran
N N
, dengan
jj ii
ijij ij
D F
C L
,
N j
i
,
yaitu biaya menempatkan fasilitas i ke lokasi j. Disebut biaya “linear”, sebab hanya satu fasilitas yang ditugaskan ke suatu lokasi. Ketika dua
fasilitas secara bersamaan ditugaskan ke lokasi yang berbeda, maka biaya yang berkaitan disebut dengan
biaya “quadratic”. Sebagai ilustrasi matriks biaya linear pada
3
N
yang telah dijabarkan sebelumnya,
33 33
22 33
11 33
33 22
22 22
11 22
33 11
22 11
11 11
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
D F
L
. 3
Dengan
33 22
D F
bermakna biaya transportasi penugasan dari fasilitas 2 ke lokasi 3.
4. Metode Reduksi Ukuran
