Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD)
KAJIAN PERBANDINGAN ARAH RATA-RATA DATA SIRKULAR
(STUDI KASUS: DATA WAKTU KEDATANGAN PASIEN IGD)
EKA PUTRI NUR UTAMI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
RINGKASAN
EKA PUTRI NUR UTAMI. Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus:
Data Waktu Kedatangan Pasien IGD). Pembimbing: I MADE SUMERTAJAYA dan AHMAD
ANSORI MATTJIK.
Perkembangan analisis data saat ini masih bertumpu pada analisis untuk data linear. Disisi lain,
untuk kasus-kasus tertentu pengukuran dilakukan secara sirkular. Data sirkular adalah data hasil
pengukuran yang nilai-nilainya berulang secara periodik. Beberapa contoh data sirkular yaitu, hari,
tanggal, bulan, jam, arah mata angin, letak geografis dan lain-lain.
Dalam penelitian ini akan dikaji waktu kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat (IGD).
Pelayanan IGD seharusnya dikelola secara baik dan teratur, hal ini karena kedatangan pasien tidak
dapat diperkirakan sehingga memungkinkan terjadi penumpukan pasien. Oleh karena itu untuk
memaksimalkan pelayanan perlu diketahui waktu sibuk kedatangan pasien. Penelitian ini betujuan
untuk menerapkan penggunaan prosedur statistika sirkular pada data waktu kedatangan pasien
IGD di empat rumah sakit yaitu rumah sakit AZRA, Karya Bakti, PMI dan rumah sakit Salak.
Metode yang diterapkan untuk membandingkan arah rata-rata sirkular adalah dengan pendekatan
ANOVA dan metode nonparametrik.
Hasil deskripsi statistik menunjukkan masing-masing rumah sakit memiliki arah rata-rata yang
beragam. Arah rata-rata untuk rumah sakit AZRA adalah pukul 19:33 atau berada pada 293o,
sedangkan untuk Karya Bakti, PMI dan Salak berturut-turut pada pukul 15:20, 16:49, dan 15:47
atau arah rata-rata berada pada 230o, 252o dan 237o. Nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil yaitu
berkisar antara 0.38 – 0.64. Pengujian kecocokan sebaran von Mises dengan QQ-plot dan uji
Rayleigh menunjukkan keempat data rumah sakit menyebar von Mises dan pengujian kesamaan
konsentrasi menunjukkan tidak terdapat perbedaan nilai konsentrasi pada keempat rumah sakit.
Sebelum melakukan perbandingan arah rata-rata, tabel kontingensi digunakan untuk menguji
hubungan antara kategori rumah sakit dengan frekuensi kedatangan. Hasil pengujian tabel
kontingensi menunjukkan terdapat hubungan antara jenis rumah sakit dengan frekuensi
kedatangan pasien. Nilai konsentrasi keempat rumah sakit kurang dari 1 sehingga untuk
perbandingan arah rata-rata digunakan uji rasio likelihood.
Hasil uji rasio likelihood dan metode non parametrik menunjukkan terdapat perbedaan arah
rata-rata waktu kedatangan pasien. Uji parsial menunjukkan terdapat kesamaan arah rata-rata
waktu kedatangan antara rumah sakit AZRA dengan PMI dan antara rumah sakit Karya Bakti
dengan rumah sakit Salak.
Kata Kunci : Data Sirkular, Arah Rata-Rata, von Misses, ANOVA Sirkular,
KAJIAN PERBANDINGAN ARAH RATA-RATA DATA SIRKULAR
(STUDI KASUS: DATA WAKTU KEDATANGAN PASIEN IGD)
EKA PUTRI NUR UTAMI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
201
Judul Skripsi : Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular
(Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD)
Nama
: Eka Putri Nur Utami
NIM
: G14070060
Menyetujui:
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr.Ir. I Made Sumertajaya, M.Si
NIP. 19680702 199402 1 001
Prof. Dr.Ir Ahmad Ansori Mattjik, M.Sc
NIP. 19460626 197008 1 002
Mengetahui :
Ketua Departemen Statistika,
Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.S
NIP. 19650421 199002 1 001
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa karena berkat limpahan rahmat
dan karunia Tuhan saya dapat menyelesaikan karya tulis ini yang berjudul ”Kajian Perbandingan
Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD)”.
Sesungguhnya penyelesaian tugas akhir ini semuanya adalah berkat kemudahan dan pertolongan
dari-NYA. Karya tulis ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana statistika
pada fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam.
Tidak lupa saya ucapkan terima kasih kepada semua pihak-pihak yang telah membantu dan
membimbing saya untuk menyelesaikan laporan ini, yaitu :
1. Bapak Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si dan Bapak Prof. Dr. Ir. A.A Mattjik, M.Sc selaku
dosen pembimbing skripsi yang telah banyak membantu dalam penyelesaian skirpsi ini.
2. Bapak Dr.Ir. Aji Hamim Wigena, M.Si yang telah bersedia menjadi dosen penguji.
3. Pihak Dinas Kesehatan, RS AZRA, RS Karya Bakti, RS PMI, dan RS Salak yang telah
membantu perolehan data dan informasi guna mendukung penelitian ini.
4. Keluarga yang selalu memberikan dukungan disetiap saat, serta adik-adik tersayang.
5. Semua pihak yang belum disebutkan namun telah memberikan masukan dan membantu hingga
tersusunnya laporan skripsi ini.
Penulis sadar karya tulis ini masih jauh dari kesempurnaan untuk itu mohon saran dan kritik.
Demikian laporan ini dibuat agar dapat memberikan manfaat bagi semua pihak.
Bogor, Agustus 2011
Penulis
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 21 Januari 1989 sebagai anak sulung dari tiga
bersaudara dari pasangan Isman dan Nuryah. Penulis menyelesaikan sekolah dasar pada tahun
2001 di SDN Bhayangkari Bogor, dan menyelesaikan sekolah menengah pertama pada tahun 2004
di SLTP Negeri 1 Bogor. Pada tahun 2007 penulis menyelesaikan sekolah menengah atasnya di
SMA Negeri 1 Bogor.
Tahun 2007 penulis memasuki perguruan tinggi di Institut Pertanian Bogor dengan memilih
Mayor Statistika di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menjadi mahasiswa penulis aktif dalam himpunan keprofesian Gamma Sigma Beta sebagai
Kepala Departement of Science pada periode kepengurusan 2010. Selain itu penulis juga aktif
mengikuti kegiatan Lingkung Seni Sunda Gentra Kaheman sebagai anggota.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ................................................................................................................................. v
DAFTAR TABEL ......................................................................................................................... vi
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................................................... vi
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................. vi
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG ........................................................................................................... 1
TUJUAN ............................................................................................................................... 1
TINJAUAN PUSTAKA
Data Sirkular ......................................................................................................................... 1
Deskripsi Statistik Data Sirkular. ........................................................................................... 2
Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular. .......................................................................... 4
METODOLOGI
Bahan .................................................................................................................................... 6
Metode .................................................................................................................................. 6
HASIL DAN PEMBAHASAN
Statistika Deskriptif Sirkular .................................................................................................. 6
Uji Kecocokan Sebaran Von Mises ........................................................................................ 9
Uji Kesamaan Parameter Konsentrasi..................................................................................... 10
Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular. .......................................................................... 10
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan ........................................................................................................................... 10
Saran ..................................................................................................................................... 11
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................ 11
LAMPIRAN ......................................................................................................................... 12
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Tabel Kontingensi ....................................................................................................................... 3
2 Tabel Pendekatan ANOVA ......................................................................................................... 4
3 Statistika Deskriptif Waktu Kedatangan Pasien............................................................................ 7
4 Uji Kecocokan Rayleigh. ............................................................................................................ 9
5 Tabel Pendekatan ANOVA Sirkular. ........................................................................................... 10
6 Hasil Uji Parsial. ......................................................................................................................... 10
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Contoh Sebaran Data Sirkular ..................................................................................................... 1
2 Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius ....................................................... 2
3 Contoh Jarak antara Dua Titik pada Data Sirkular. ....................................................................... 3
4 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien AZRA. ..................................................................... 8
5 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Karya Bakti.............................................................. 8
6 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien PMI. ........................................................................ 8
7 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Salak. ....................................................................... 8
8 Diagram Lingkaran Asal Pasien IGD. .......................................................................................... 9
DAFTAR LAMPIRAN
1 Diagram Pencar untuk Waktu Kedatangan Pasien. ....................................................................... 13
2 Histogram Sirkular ...................................................................................................................... 14
3 Pengujian Sebaran Von Mises. .................................................................................................... 15
4 Tabel Frekuensi Kedatangan Masing-Masing Rumah Sakit .......................................................... 16
5 Tabel – Tabel Hasil Perhitungan.................................................................................................. 17
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perkembangan analisis data saat ini masih
bertumpu pada analisis untuk data linear.
Disisi lain, untuk kasus-kasus tertentu
pengukuran dilakukan secara sirkular.
Beberapa ilustrasi data sirkular yaitu arah
migrasi hewan, arah angin, waktu kedatangan
pasien, waktu terjadinya kecelakaan dan lainlain. Data yang diukur dalam statistika
sirkular berupa sudut sehingga analisis yang
dilakukan sedikit berbeda dengan data linear.
Hal ini menunjukkan pentingnya kajian
analisis data sirkular.
Analisis data sirkular awalnya dimulai
pada pertengahan abad ke-18. Pada tahun
1767, seorang pendeta John Mitchell FRS
mengamati posisi antar bintang. Mitchell
ingin membuktikan bahwa arah bintangbintang
tersebut
menyebar
seragam.
Menggunakan konsep statistika sirkular
Mitchell menemukan bahwa jumlah pasangan
bintang yang berdekatan terlalu banyak.
Berdasarkan hal ini Mitchell menyimpulkan
bahwa pasangan bintang-bintang secara fisik
tertata gaya tarik gravitasi (Fisher 1993).
Salah satu kesalahan yang dapat terjadi
jika data sirkular dianalisis menggunakan
metode linear yaitu pada arah rata-rata.
Gambar 1 menunjukkan contoh dari kesalahan
tersebut. Garis putus-putus menunjukkan ratarata dengan metode linear, sedangkan garis
penuh adalah arah rata-rata sirkular. Pada
Gambar 1 rata-rata linear berada di sekitar
180o sedangkan data pengamatan berada di
sekitar 0o.
Dalam penelitian ini akan dikaji waktu
kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat
(IGD). Pelayanan IGD seharusnya dikelola
secara baik dan teratur, hal ini karena
kedatangan pasien tidak dapat diperkirakan
sehingga memungkinkan terjadi penumpukan
pasien. Oleh karena itu, perlu dilakukan
penelitian untuk mengetahui waktu sibuk
kedatangan pasien. Setelah itu pihak rumah
sakit dapat melakukan perencanaan sumber
daya manusia dengan baik.
Berdasarkan situs Dinas Kesehatan Kota
Bogor, dalam lingkungan kota Bogor terdapat
9 rumah sakit yang diakui oleh pemerintah
kota Bogor termasuk rumah sakit bersalin.
Rumah sakit AZRA, Karya Bakti, Palang
Merah Indonesia (PMI) dan Salak merupakan
beberapa rumah sakit umum yang banyak
mendapatkan perhatian dan kunjungan dari
masyarakat. Berdasarkan hal ini rumah sakit
tersebut dipilih sebagai objek penelitian.
0o
270o
90o
180o
Gambar 1 Contoh sebaran data sirkular.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Menerapkan penggunaan konsep
statistika sirkular untuk mengetahui
deskripsi statistik data sirkular setiap
rumah sakit.
2. Melakukan perbandingan arah ratarata antar rumah sakit.
TINJAUAN PUSTAKA
Data Sirkular
Data sirkular adalah data hasil pengukuran
yang nilai-nilainya berulang secara periodik.
Suatu nilai akan kembali ditemukan setelah
menemui satu periode/putaran penuh. Definisi
karakteristik peubah sirkular sendiri adalah
data pada awal dan akhir skala pengukuran
saling bertemu (Martin 2008).
Data sirkular dapat direpresentasikan ke
dalam bentuk sudut dalam lingkaran.
Pengukuran ini dapat digambarkan melalui
pengukuran sudut atau posisi titik pada
keliling lingkaran, dengan memilih arah nol
sebagai titik acuan.
Setiap titik pengamatan dapat dinyatakan
sebagai koordinat kartesius (X, Y) atau dalam
koordinat polar (r, θ), dimana r merupakan
jarak titik pusat ke titik pengamatan dan θ
merupakan arah perpindahan dalam satuan
sudut (Jammalamadaka & SenGupta 2001).
Titik dalam koordinat polar dapat diubah ke
dalam
koordinat
kartesius,
begitupun
sebaliknya, dengan
x= r cos θ, y = r sin θ.
Hubungan antara koordinat polar dengan
koordinat kartesius tersebut dapat dilihat pada
Gambar 2.
2
Deskripsi Statistik Data Sirkular
Y
P
r
r sin θ
θ
X
O
r cos θ
Arah Rata-Rata
Perhitungan untuk mencari rata-rata data
sirkular berbeda dengan prosedur perhitungan
rata-rata pada data linear. Rata-rata data
sirkular diperoleh dengan memperlakukan
data sebagai vektor satuan. Oleh karena itu
dalam statistika sirkular dikenal adanya nilai
vektor resultan R. Rumus dari R adalah:
R= (
Gambar 2 Hubungan antara koordinat polar
dengan koordinat kartesius.
Menurut Mardia (2000), jenis data sirkular
dibedakan menjadi dua yaitu :
1. Data sirkular jenis arah
Merupakan data terjadinya sesuatu hal
yang diukur dalam arah atau derajat.
Contohnya adalah arah angin, arah migrasi
burung dan arah navigasi.
2. Data sirkular jenis waktu
Data yang merupakan data terjadinya
sesuatu hal yang diukur dalam satuan
waktu, dapat berupa jam dalam satu hari,
hari dalam satu bulan, atau bulan dalam
satu tahun. Dalam perhitungannya data
sirkular jenis waktu harus diubah ke
dalam sudut.
Penggambaran Data Sirkular
Sebuah data akan mudah dianalisis apabila
dapat digambarkan dalam sebuah grafik.
Menurut Fisher (1993), representasi data
sirkular dalam bentuk grafis sangat penting.
Bentuk grafis yang biasa digunakan untuk
data sirkular adalah:
1. Diagram pencar
Diagram yang menggambarkan titik-titik
secara sederhana dalam suatu lingkaran.
2. Histogram, dalam data sirkular histogram
dapat dibuat seperti pada data linear
dengan respon sudut sebagai koordinat X.
Histogram yang dibuat dapat berupa
histogram sirkular dan Rose Diagram.
a. Histogram sirkular
Histogram seperti pada data linear
dengan menyatukaan koordinat X
menjadi lingkaran.
b. Rose diagram/Diagram mawar
Histogram dimana masing-masing
kelompok
digambarkan
sebagai
sektor.
Area
setiap
sektor
menunjukkan frekuensi kelompok.
=1 cos � ,
=1 sin �
)= (C, S)
dimana θ1, θ2,......, θn merupakan satu set
observasi sikular yang diukur berdasarkan
sudut, dan menghasilkan
R = ||R|| = � 2 +
2
memperlihatkan panjang dari vektor resultan
R. Vektor resultan adalah jumlah dari dua
vektor atau lebih. Dalam statistika sirkular
juga dikenal adanya panjang vektor rata-rata
( ) yang diperoleh dari :
R
=
Arah dari vektor resultan R yang menjelaskan
arah
rata-rata
sirkular
dilambangkan
dengan �0 , dimana:
�0 = arctan*(S/C) , akan bernilai:
1. arctan (S/C) jika C>0, S 0
2. π/2, jika C=0, S>0
3. arctan (S/C) + π jika C 4.
dimana
cos �
� = =1 2
=
RM =
=1
�
sin �
2
2
+
2
Hipotesis nol akan ditolak jika nilai
�
�
Yp> �2−1 ( ) atau Yp < �2−1 (1 − 2 ). Jika
2
hipotesis nol ditolak artinya paling sedikit
terdapat satu dari µ i berbeda dari yang lain.
dimana:
p
ni
N
�
= menyatakan banyaknya kelompok
= menyatakan ukuran sampel yang
ke-i (i= 1,...,p)
= total keseluruhan data
= menyatakan rata-rata sirkular untuk
kelompok ke-i.
Metode Nonparametrik
Dalam keadaan tertentu dimungkinkan
cukup alasan untuk menduga bahwa sebaran
yang mendasari data identik. Selain itu model
parametrik yang didasari sebaran von Mises
mungkin tidak dapat memberikan deskripsi
yang memadai mengenai data atau distribusi
yang tidak tepat.
Secara nonparametrik untuk menguji arah
rata-rata dua atau lebih sampel dapat
dilakukan dengan beberapa metode. Untuk
Uji Arah Rata-Rata Dua Sampel
Pengujian lanjut setelah uji ANOVA
belum ditemukan dalam konsep statistika
sirkular. Oleh karena itu untuk mengetahui
arah rata-rata 2 kelompok yang berbeda
dilakukan uji parsial 2 kelompok berdasarkan
arah rata-rata yang berdekatan.
Hipotesis:
H0: µ 1=µ 2
H1: µ 1 ≠µ2
Statistik uji:
F=к
−2 ( 1 + 2 − )
− 1− 2
Metode di atas digunakan jika sebaran data
menyebar von Mises dengan nilai к>2 dan
memiliki nilai yang sama untuk kedua sampel.
6
Untuk nilai 1< к
(STUDI KASUS: DATA WAKTU KEDATANGAN PASIEN IGD)
EKA PUTRI NUR UTAMI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
RINGKASAN
EKA PUTRI NUR UTAMI. Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus:
Data Waktu Kedatangan Pasien IGD). Pembimbing: I MADE SUMERTAJAYA dan AHMAD
ANSORI MATTJIK.
Perkembangan analisis data saat ini masih bertumpu pada analisis untuk data linear. Disisi lain,
untuk kasus-kasus tertentu pengukuran dilakukan secara sirkular. Data sirkular adalah data hasil
pengukuran yang nilai-nilainya berulang secara periodik. Beberapa contoh data sirkular yaitu, hari,
tanggal, bulan, jam, arah mata angin, letak geografis dan lain-lain.
Dalam penelitian ini akan dikaji waktu kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat (IGD).
Pelayanan IGD seharusnya dikelola secara baik dan teratur, hal ini karena kedatangan pasien tidak
dapat diperkirakan sehingga memungkinkan terjadi penumpukan pasien. Oleh karena itu untuk
memaksimalkan pelayanan perlu diketahui waktu sibuk kedatangan pasien. Penelitian ini betujuan
untuk menerapkan penggunaan prosedur statistika sirkular pada data waktu kedatangan pasien
IGD di empat rumah sakit yaitu rumah sakit AZRA, Karya Bakti, PMI dan rumah sakit Salak.
Metode yang diterapkan untuk membandingkan arah rata-rata sirkular adalah dengan pendekatan
ANOVA dan metode nonparametrik.
Hasil deskripsi statistik menunjukkan masing-masing rumah sakit memiliki arah rata-rata yang
beragam. Arah rata-rata untuk rumah sakit AZRA adalah pukul 19:33 atau berada pada 293o,
sedangkan untuk Karya Bakti, PMI dan Salak berturut-turut pada pukul 15:20, 16:49, dan 15:47
atau arah rata-rata berada pada 230o, 252o dan 237o. Nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil yaitu
berkisar antara 0.38 – 0.64. Pengujian kecocokan sebaran von Mises dengan QQ-plot dan uji
Rayleigh menunjukkan keempat data rumah sakit menyebar von Mises dan pengujian kesamaan
konsentrasi menunjukkan tidak terdapat perbedaan nilai konsentrasi pada keempat rumah sakit.
Sebelum melakukan perbandingan arah rata-rata, tabel kontingensi digunakan untuk menguji
hubungan antara kategori rumah sakit dengan frekuensi kedatangan. Hasil pengujian tabel
kontingensi menunjukkan terdapat hubungan antara jenis rumah sakit dengan frekuensi
kedatangan pasien. Nilai konsentrasi keempat rumah sakit kurang dari 1 sehingga untuk
perbandingan arah rata-rata digunakan uji rasio likelihood.
Hasil uji rasio likelihood dan metode non parametrik menunjukkan terdapat perbedaan arah
rata-rata waktu kedatangan pasien. Uji parsial menunjukkan terdapat kesamaan arah rata-rata
waktu kedatangan antara rumah sakit AZRA dengan PMI dan antara rumah sakit Karya Bakti
dengan rumah sakit Salak.
Kata Kunci : Data Sirkular, Arah Rata-Rata, von Misses, ANOVA Sirkular,
KAJIAN PERBANDINGAN ARAH RATA-RATA DATA SIRKULAR
(STUDI KASUS: DATA WAKTU KEDATANGAN PASIEN IGD)
EKA PUTRI NUR UTAMI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
201
Judul Skripsi : Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular
(Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD)
Nama
: Eka Putri Nur Utami
NIM
: G14070060
Menyetujui:
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr.Ir. I Made Sumertajaya, M.Si
NIP. 19680702 199402 1 001
Prof. Dr.Ir Ahmad Ansori Mattjik, M.Sc
NIP. 19460626 197008 1 002
Mengetahui :
Ketua Departemen Statistika,
Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.S
NIP. 19650421 199002 1 001
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa karena berkat limpahan rahmat
dan karunia Tuhan saya dapat menyelesaikan karya tulis ini yang berjudul ”Kajian Perbandingan
Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD)”.
Sesungguhnya penyelesaian tugas akhir ini semuanya adalah berkat kemudahan dan pertolongan
dari-NYA. Karya tulis ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana statistika
pada fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam.
Tidak lupa saya ucapkan terima kasih kepada semua pihak-pihak yang telah membantu dan
membimbing saya untuk menyelesaikan laporan ini, yaitu :
1. Bapak Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si dan Bapak Prof. Dr. Ir. A.A Mattjik, M.Sc selaku
dosen pembimbing skripsi yang telah banyak membantu dalam penyelesaian skirpsi ini.
2. Bapak Dr.Ir. Aji Hamim Wigena, M.Si yang telah bersedia menjadi dosen penguji.
3. Pihak Dinas Kesehatan, RS AZRA, RS Karya Bakti, RS PMI, dan RS Salak yang telah
membantu perolehan data dan informasi guna mendukung penelitian ini.
4. Keluarga yang selalu memberikan dukungan disetiap saat, serta adik-adik tersayang.
5. Semua pihak yang belum disebutkan namun telah memberikan masukan dan membantu hingga
tersusunnya laporan skripsi ini.
Penulis sadar karya tulis ini masih jauh dari kesempurnaan untuk itu mohon saran dan kritik.
Demikian laporan ini dibuat agar dapat memberikan manfaat bagi semua pihak.
Bogor, Agustus 2011
Penulis
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 21 Januari 1989 sebagai anak sulung dari tiga
bersaudara dari pasangan Isman dan Nuryah. Penulis menyelesaikan sekolah dasar pada tahun
2001 di SDN Bhayangkari Bogor, dan menyelesaikan sekolah menengah pertama pada tahun 2004
di SLTP Negeri 1 Bogor. Pada tahun 2007 penulis menyelesaikan sekolah menengah atasnya di
SMA Negeri 1 Bogor.
Tahun 2007 penulis memasuki perguruan tinggi di Institut Pertanian Bogor dengan memilih
Mayor Statistika di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menjadi mahasiswa penulis aktif dalam himpunan keprofesian Gamma Sigma Beta sebagai
Kepala Departement of Science pada periode kepengurusan 2010. Selain itu penulis juga aktif
mengikuti kegiatan Lingkung Seni Sunda Gentra Kaheman sebagai anggota.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ................................................................................................................................. v
DAFTAR TABEL ......................................................................................................................... vi
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................................................... vi
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................. vi
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG ........................................................................................................... 1
TUJUAN ............................................................................................................................... 1
TINJAUAN PUSTAKA
Data Sirkular ......................................................................................................................... 1
Deskripsi Statistik Data Sirkular. ........................................................................................... 2
Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular. .......................................................................... 4
METODOLOGI
Bahan .................................................................................................................................... 6
Metode .................................................................................................................................. 6
HASIL DAN PEMBAHASAN
Statistika Deskriptif Sirkular .................................................................................................. 6
Uji Kecocokan Sebaran Von Mises ........................................................................................ 9
Uji Kesamaan Parameter Konsentrasi..................................................................................... 10
Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular. .......................................................................... 10
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan ........................................................................................................................... 10
Saran ..................................................................................................................................... 11
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................ 11
LAMPIRAN ......................................................................................................................... 12
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Tabel Kontingensi ....................................................................................................................... 3
2 Tabel Pendekatan ANOVA ......................................................................................................... 4
3 Statistika Deskriptif Waktu Kedatangan Pasien............................................................................ 7
4 Uji Kecocokan Rayleigh. ............................................................................................................ 9
5 Tabel Pendekatan ANOVA Sirkular. ........................................................................................... 10
6 Hasil Uji Parsial. ......................................................................................................................... 10
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Contoh Sebaran Data Sirkular ..................................................................................................... 1
2 Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius ....................................................... 2
3 Contoh Jarak antara Dua Titik pada Data Sirkular. ....................................................................... 3
4 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien AZRA. ..................................................................... 8
5 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Karya Bakti.............................................................. 8
6 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien PMI. ........................................................................ 8
7 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Salak. ....................................................................... 8
8 Diagram Lingkaran Asal Pasien IGD. .......................................................................................... 9
DAFTAR LAMPIRAN
1 Diagram Pencar untuk Waktu Kedatangan Pasien. ....................................................................... 13
2 Histogram Sirkular ...................................................................................................................... 14
3 Pengujian Sebaran Von Mises. .................................................................................................... 15
4 Tabel Frekuensi Kedatangan Masing-Masing Rumah Sakit .......................................................... 16
5 Tabel – Tabel Hasil Perhitungan.................................................................................................. 17
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perkembangan analisis data saat ini masih
bertumpu pada analisis untuk data linear.
Disisi lain, untuk kasus-kasus tertentu
pengukuran dilakukan secara sirkular.
Beberapa ilustrasi data sirkular yaitu arah
migrasi hewan, arah angin, waktu kedatangan
pasien, waktu terjadinya kecelakaan dan lainlain. Data yang diukur dalam statistika
sirkular berupa sudut sehingga analisis yang
dilakukan sedikit berbeda dengan data linear.
Hal ini menunjukkan pentingnya kajian
analisis data sirkular.
Analisis data sirkular awalnya dimulai
pada pertengahan abad ke-18. Pada tahun
1767, seorang pendeta John Mitchell FRS
mengamati posisi antar bintang. Mitchell
ingin membuktikan bahwa arah bintangbintang
tersebut
menyebar
seragam.
Menggunakan konsep statistika sirkular
Mitchell menemukan bahwa jumlah pasangan
bintang yang berdekatan terlalu banyak.
Berdasarkan hal ini Mitchell menyimpulkan
bahwa pasangan bintang-bintang secara fisik
tertata gaya tarik gravitasi (Fisher 1993).
Salah satu kesalahan yang dapat terjadi
jika data sirkular dianalisis menggunakan
metode linear yaitu pada arah rata-rata.
Gambar 1 menunjukkan contoh dari kesalahan
tersebut. Garis putus-putus menunjukkan ratarata dengan metode linear, sedangkan garis
penuh adalah arah rata-rata sirkular. Pada
Gambar 1 rata-rata linear berada di sekitar
180o sedangkan data pengamatan berada di
sekitar 0o.
Dalam penelitian ini akan dikaji waktu
kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat
(IGD). Pelayanan IGD seharusnya dikelola
secara baik dan teratur, hal ini karena
kedatangan pasien tidak dapat diperkirakan
sehingga memungkinkan terjadi penumpukan
pasien. Oleh karena itu, perlu dilakukan
penelitian untuk mengetahui waktu sibuk
kedatangan pasien. Setelah itu pihak rumah
sakit dapat melakukan perencanaan sumber
daya manusia dengan baik.
Berdasarkan situs Dinas Kesehatan Kota
Bogor, dalam lingkungan kota Bogor terdapat
9 rumah sakit yang diakui oleh pemerintah
kota Bogor termasuk rumah sakit bersalin.
Rumah sakit AZRA, Karya Bakti, Palang
Merah Indonesia (PMI) dan Salak merupakan
beberapa rumah sakit umum yang banyak
mendapatkan perhatian dan kunjungan dari
masyarakat. Berdasarkan hal ini rumah sakit
tersebut dipilih sebagai objek penelitian.
0o
270o
90o
180o
Gambar 1 Contoh sebaran data sirkular.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Menerapkan penggunaan konsep
statistika sirkular untuk mengetahui
deskripsi statistik data sirkular setiap
rumah sakit.
2. Melakukan perbandingan arah ratarata antar rumah sakit.
TINJAUAN PUSTAKA
Data Sirkular
Data sirkular adalah data hasil pengukuran
yang nilai-nilainya berulang secara periodik.
Suatu nilai akan kembali ditemukan setelah
menemui satu periode/putaran penuh. Definisi
karakteristik peubah sirkular sendiri adalah
data pada awal dan akhir skala pengukuran
saling bertemu (Martin 2008).
Data sirkular dapat direpresentasikan ke
dalam bentuk sudut dalam lingkaran.
Pengukuran ini dapat digambarkan melalui
pengukuran sudut atau posisi titik pada
keliling lingkaran, dengan memilih arah nol
sebagai titik acuan.
Setiap titik pengamatan dapat dinyatakan
sebagai koordinat kartesius (X, Y) atau dalam
koordinat polar (r, θ), dimana r merupakan
jarak titik pusat ke titik pengamatan dan θ
merupakan arah perpindahan dalam satuan
sudut (Jammalamadaka & SenGupta 2001).
Titik dalam koordinat polar dapat diubah ke
dalam
koordinat
kartesius,
begitupun
sebaliknya, dengan
x= r cos θ, y = r sin θ.
Hubungan antara koordinat polar dengan
koordinat kartesius tersebut dapat dilihat pada
Gambar 2.
2
Deskripsi Statistik Data Sirkular
Y
P
r
r sin θ
θ
X
O
r cos θ
Arah Rata-Rata
Perhitungan untuk mencari rata-rata data
sirkular berbeda dengan prosedur perhitungan
rata-rata pada data linear. Rata-rata data
sirkular diperoleh dengan memperlakukan
data sebagai vektor satuan. Oleh karena itu
dalam statistika sirkular dikenal adanya nilai
vektor resultan R. Rumus dari R adalah:
R= (
Gambar 2 Hubungan antara koordinat polar
dengan koordinat kartesius.
Menurut Mardia (2000), jenis data sirkular
dibedakan menjadi dua yaitu :
1. Data sirkular jenis arah
Merupakan data terjadinya sesuatu hal
yang diukur dalam arah atau derajat.
Contohnya adalah arah angin, arah migrasi
burung dan arah navigasi.
2. Data sirkular jenis waktu
Data yang merupakan data terjadinya
sesuatu hal yang diukur dalam satuan
waktu, dapat berupa jam dalam satu hari,
hari dalam satu bulan, atau bulan dalam
satu tahun. Dalam perhitungannya data
sirkular jenis waktu harus diubah ke
dalam sudut.
Penggambaran Data Sirkular
Sebuah data akan mudah dianalisis apabila
dapat digambarkan dalam sebuah grafik.
Menurut Fisher (1993), representasi data
sirkular dalam bentuk grafis sangat penting.
Bentuk grafis yang biasa digunakan untuk
data sirkular adalah:
1. Diagram pencar
Diagram yang menggambarkan titik-titik
secara sederhana dalam suatu lingkaran.
2. Histogram, dalam data sirkular histogram
dapat dibuat seperti pada data linear
dengan respon sudut sebagai koordinat X.
Histogram yang dibuat dapat berupa
histogram sirkular dan Rose Diagram.
a. Histogram sirkular
Histogram seperti pada data linear
dengan menyatukaan koordinat X
menjadi lingkaran.
b. Rose diagram/Diagram mawar
Histogram dimana masing-masing
kelompok
digambarkan
sebagai
sektor.
Area
setiap
sektor
menunjukkan frekuensi kelompok.
=1 cos � ,
=1 sin �
)= (C, S)
dimana θ1, θ2,......, θn merupakan satu set
observasi sikular yang diukur berdasarkan
sudut, dan menghasilkan
R = ||R|| = � 2 +
2
memperlihatkan panjang dari vektor resultan
R. Vektor resultan adalah jumlah dari dua
vektor atau lebih. Dalam statistika sirkular
juga dikenal adanya panjang vektor rata-rata
( ) yang diperoleh dari :
R
=
Arah dari vektor resultan R yang menjelaskan
arah
rata-rata
sirkular
dilambangkan
dengan �0 , dimana:
�0 = arctan*(S/C) , akan bernilai:
1. arctan (S/C) jika C>0, S 0
2. π/2, jika C=0, S>0
3. arctan (S/C) + π jika C 4.
dimana
cos �
� = =1 2
=
RM =
=1
�
sin �
2
2
+
2
Hipotesis nol akan ditolak jika nilai
�
�
Yp> �2−1 ( ) atau Yp < �2−1 (1 − 2 ). Jika
2
hipotesis nol ditolak artinya paling sedikit
terdapat satu dari µ i berbeda dari yang lain.
dimana:
p
ni
N
�
= menyatakan banyaknya kelompok
= menyatakan ukuran sampel yang
ke-i (i= 1,...,p)
= total keseluruhan data
= menyatakan rata-rata sirkular untuk
kelompok ke-i.
Metode Nonparametrik
Dalam keadaan tertentu dimungkinkan
cukup alasan untuk menduga bahwa sebaran
yang mendasari data identik. Selain itu model
parametrik yang didasari sebaran von Mises
mungkin tidak dapat memberikan deskripsi
yang memadai mengenai data atau distribusi
yang tidak tepat.
Secara nonparametrik untuk menguji arah
rata-rata dua atau lebih sampel dapat
dilakukan dengan beberapa metode. Untuk
Uji Arah Rata-Rata Dua Sampel
Pengujian lanjut setelah uji ANOVA
belum ditemukan dalam konsep statistika
sirkular. Oleh karena itu untuk mengetahui
arah rata-rata 2 kelompok yang berbeda
dilakukan uji parsial 2 kelompok berdasarkan
arah rata-rata yang berdekatan.
Hipotesis:
H0: µ 1=µ 2
H1: µ 1 ≠µ2
Statistik uji:
F=к
−2 ( 1 + 2 − )
− 1− 2
Metode di atas digunakan jika sebaran data
menyebar von Mises dengan nilai к>2 dan
memiliki nilai yang sama untuk kedua sampel.
6
Untuk nilai 1< к