KAJIAN BIAS SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA WAKTU TAHAN HIDUP DIPERCEPAT DENGAN DATA TERSENSOR TIPE II UNTUK SUATU SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL
A STUDY OF CONFIDENCE INTERVAL BIASES OF ACCELERATED
LIFE TESTING SYSTEM WITH CENSORED DATA TYPE II FOR
EXPONENTIAL DISTRIBUTION
By
Miftah Farid Artama
Abstract
Reliability is a probability of product or system that has good operating for some
period that has been determined without failure. Accelerated life testing is one of
test that used for testing reliability of product or system. Analysis of accelerated
life testing is a method to measure reliability of product or system by increasing
the strains to gain the failure occur sooner than normal condition. Accelerated life
testing can be completed data or censored data. Censored data type II is reliability
data with r observation of failure in random sample n size, where r≤n. In this
research, the Exponential distribution is used as distribution of reliability data.
Estimation of paramater θ is determined by using Maximum Likelihood
Estimation (MLE) method, for confidence interval of paramater θ is determined
by using Povital Quantity. The simulation study for 1000 refrain show that there
are 36 convidence interval consist no parameter θ.
Keyword : Accelerated Life Testing, Exponential Distribution, Maximum
Likelihood Estimation, Povital Quantity.
KAJIAN BIAS SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA WAKTU TAHAN
HIDUP DIPERCEPAT DENGAN DATA TERSENSOR TIPE II UNTUK SUATU
SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Oleh
Miftah Farid Artama
Abstrak
Reliabilitas merupakan peluang suatu produk atau sistem akan beoperasi dengan baik
untuk periode yang telah ditetapkan tanpa kegagalan. Uji hidup dipercepat merupakan
salah satu pengujian yang dapat dilakukan untuk menguji reliabilitas suatu produk atau
sistem. Analisis uji hidup dipercepat adalah metode untuk mengukur keandalan suatu
sistem atau produk dengan cara meningkatkan tegangan supaya diperoleh kegagalan yang
lebih cepat dibandingkan ketika berada dibawah kondisi normal. Uji hidup dipercepat
dapat berbentuk data lengakap atau data tersensor. Data tersensor tipe II adalah data
waktu tahan hidup dengan r observasi kegagalan dalam sampel acak berukuran n dengan
r≤n. Dalam penelitian ini distribusi waktu hidup yang digunakan pada data reliabilitas
adalah distribusi Eksponensial. Pendugaan parameter θ dilakukan dengan Metode
Maksimum Likelihood Estimation (MLE) dan untuk selang kepercayaan dari parameter θ
di tentukan dengan Povital Quantity. Hasil simulasi menunjukkan bahwa dari 1000
ulangan yang dilakukan terdapat 36 selang kepercayaan yang tidak menggandung
paramater θ.
Kata kunci: Uji Hidup Dipercepat, Distribusi Eksponensial, Maksimum Likelihood
Estimation, Povital Quantity.
KAJIAN BIAS SELANG KEPERCAYAAN
RATA-RATA WAKTU TAHAN HIDUP DIPERCEPAT
DENGAN DATA TERSENSOR TIPE II
UNTUK SUATU SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL
(Skripsi)
Oleh
MIFTAH FARID ARTAMA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2014
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
1. Uji Hidup Dipercepat Dengan Tegangan Bertingkat ............................ 28
2. Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂
3. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
5. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
4. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
̂ ........................................... 41
̂ .................................... 42
̂ .................................... 42
̂ .................................... 42
6. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
̂ .................................... 43
8. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
̂ .................................... 43
7. Grafik Selang Kepercayaan ̂
9. Grafik Selang Kepercayaan ̂
10. Grafik Selang Kepercayaan ̂
11. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
̂
̂
̂
̂ .................................... 43
̂ .................................... 44
̂ .................................... 44
̂ .................................. 44
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xv
DAFTAR TABEL ......................................................................................... xvi
I.
II.
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2
Rumusan Masalah ............................................................................ 3
1.3
Tujuan Penelitian.............................................................................. 3
1.4
Manfaat Penulisan ............................................................................ 4
LANDASAN TEORI
2.1
Konsep Dasar Peluang ..................................................................... 5
2.2
Peubah Acak ..................................................................................... 6
2.3
Distribusi Peluang ............................................................................ 7
2.4
Fungsi Distribusi .............................................................................. 8
2.5
Fungsi Pembangkit Momen ............................................................. 8
2.6
Fungsi Densitas Masa Hidup............................................................ 9
2.7
Konsep Dasar dan Fungsi Tahan Hidup Suatu Sistem................... 10
2.8
Fungsi Laju Tingkat Kegagalan (Fungsi Hazzard) ........................ 11
2.9
Data Tersensor................................................................................ 12
2.10 Counting Proses ............................................................................. 14
2.11 Proses Poisson ................................................................................ 15
2.12 Distribusi Gamma .......................................................................... 19
2.13 Distribusi Eksponensial .................................................................. 21
2.14 Distribusi Khi-kuadrat .................................................................... 23
III. METODE PENELITIAN
IV.
V.
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 26
3.2
Metode Penelitian .......................................................................... 26
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Uji Hidup Dipercepat Untuk Data Tersensor Tipe II..................... 28
4.2
Model Data Kegagalan Dipercepat ................................................ 29
4.3
Uji Hidup Sistem Dipercepat Distribusi Eksponensial .................. 30
4.4
Interval konfidensi untuk Rata-rata Waktu Tahan Hidup .............. 36
4.5
Aplikasi Uji Hidup Dipercepat ...................................................... 37
4.6
Simulasi Selang Kepercayaan untuk ̂ ......................................... 41
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1. Data Waktu Kegagalan ......................................................................... 37
2. Data Waktu Kegagalan Setelah Tersensor Tipe II ................................ 38
M O T O
Wahai orang-orang yang beriman, bersabarlah kamu dan kuatkanlah
kesabaranmu dan tetaplah bersiap-siaga dan bertaqwalah kepada Allah, supaya
kamu menang
(
)
“You never fail until you stop trying”
(Albert Einstain)
Hanya ada dua pilihan: menjadi apatis atau mengikuti arus
Tapi, aku memilih untuk menjadi manusia merdeka
(Soe Hok Gie – Catatan seorang demonstran)
Hiduplah seperti pohon kayu yang lebat buahnya
Hidup ditepi jalan dan dilempari orang dengan batu
Tetapi membalas dengan buah
(Abu Bakar Sibli)
“Great Things Never Came From Comfort Zones”
(Miftah Farid Artama)
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT, saya persembahkan
karya kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan cinta kepada
semua orang yang senantiasa mendukung dan dengan tulus
mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.
Papa, Mama, Kyay, Adek Uti, Ami, Reva yang selalu memberikan
semangat serta dukungan dan doa yang amat sangat luar biasa
kepada penulis
Sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada. Terimakasih atas keceriaan,
semangat, serta motivasi yang diberikan kepada penulis.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Way Jepara Kabupaten Lampung Timur pada tanggal 14
Desember 1992. Penulis merupakan anak kedua dari pasangan Bapak Arkam dan
Ibu Muntama, adik dari Chandra Adidya Artama dan kakak dari Rita Putri
Artama.
Penulis memulai pendidikan dari Taman Kanak-kanak Al-Muslimun Way Jepara
Lampung Timur dan lulus pada tahun 1998. Sekolah dasar di SD N 1 Labuhan
Ratu Dua Way Jepara Lampung Timur pada tahun 2004. Sekolah menengah
pertama di SMP N 1 Way Jepara Lampung Timur pada tahun 2007 serta sekolah
menengah atas di SMA N 1 Way Jepara Lampung Timur pada tahun 2010.
Penulis melanjutkan pendidikan perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN pada tahun 2010. Dalam dunia
kampus penulis terlibat aktif dalam organisasi kampus dan pergerakan
kemahasiswaan. Pada periode tahun 2010/2011penulis terdaftar sebagai anggota
GEMATIKA
Himpunan
Mahasiswa
Matematika
(HIMATIKA)
FMIPA
Universitas Lampung dan KBM BEM Universitas Lampung. Penulis menjadi
Kepala Bidang Kaderisasi HIMATIKA pada periode 2011/2012 sekaligus
menjadi anggota aktif di Departemen PSDM BEM FMIPA Universitas Lampung.
Pada periode selanjutnya yaitu 2012/2013 penulis menjabat sebagai Ketua Umum
HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung.
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu penulis telah melakukan Kerja Praktek (KP)
yang dilaksanakan di Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Lampung dan
ditempatkan pada bagian Integrasi Pengolahan dan Diseminasi Statistika (IPDS).
Selanjutnya melalui Kuliah Kerja Nyata Kebangsaan (KKN Kebangsaan) yang
dilaksanakan di Ghampong Lamlhe Kecamatan Suka Makmur Kabupaten Aceh
Besar Provinsi Aceh pada tahun 2013, penulis telah melakukan salah satu bentuk
tri dharma perguruan tinggi yaitu pengabdian masyarakat.
SANWACANA
Alhamdulillahirobbil‘alamin, segala puji dan syukur kepada Allah SWT atas izin
serta ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Kajian Bias
Selang Kepercayaan Rata-rata Waktu Tahan Hidup Dipercepat dengan Data
Tersensor Tipe II untuk Suatu Sistem yang Berdistribusi Eksponensial”.
Shalawat teriring salam kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah
menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua pengikutnya.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan,
kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1. Bapak Rudi Ruswandi, M.Si., selaku pembimbing pertama yang senantiasa
membimbing dan memberikan arahan kepada penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
2. Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak
membantu dan selalu sabar memberikan pengarahan, pembelajaran, semangat,
serta dukungan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan penulis
kritik, saran, dan masukan yang membangun.
4. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing akademik yang tak
pernah letih memberikan masukan, nasihat, juga bimbingannya dalam
menjalani perkuliahan.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
7. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada
penulis.
8. Untuk kedua orang tua yang menjadi semangat hidupku “Papa dan Mama”,
Kyay, Adek uti, Ami, dan Reva terimakasih telah menjadi semangat yang tak
pernah hilang, pendukung yang selalu ada baik raga maupun doa.
9. Sahabat-sahabat penulis dan juga sahabat seperjuangan dalam merangkai asa
dan cita juga harapan Hasby Alkarim, Muhammad Ridho, Rohandi, Sofyan
Saputra, Agustina Ambar Wulan, Agustia Indriani, Christy Engine Nita, Dian
Ekawati, Dinda Ristanti, Tri Handayani.
10. Keluarga Besar, Seluruh Pimpinan, Kepala Bidang, Sekretaris Bidang,
Anggota dan Gematika HIMATIKA periode 2012-2013 serta PSDM BEM
FMIPA Universitas Lampung Periode 2011- 2012.
11. Teman-teman
Matematika
2010
yang
luar
biasa
atas
pengalaman,
kebersamaan serta keceriaan yang diberikan kepada penulis selama
menempuh pendidikan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
12. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Agustus 2014
Penulis,
Miftah Farid Artama
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Uji hidup merupakan kajian daya tahan hidup suatu unit atau individu pada suatu
keadaan tertentu. Analisis statistik uji hidup telah dikembangkan menjadi topik
yang penting diberbagai bidang, terutama di bidang ilmu rekayasa (engineering)
dan ilmu pengetahuan biomedis. Aplikasi analisis distribusi waktu hidup berkisar
pada penyelidikan daya tahan produk atau sistem sampai dengan penelitian
mengenai suatu penyakit.
Pada analisis uji hidup, data waktu hidup dapat berbentuk data lengkap, data
tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Data lengkap jika data yang diamati
secara utuh. Data tersensor tipe I merupakan data uji hidup yang dihasilkan
setelah penelitian berjalan selama waktu yang telah ditentukan. Sedangkan data
tersensor tipe II merupakan data hasil penelitian yang dihentikan setelah sejumlah
kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982).
Data tersensor tipe II adalah data waktu hidup dengan r observasi kegagalan
dalam sampel acak berukuran n dengan r ≤ n. Dalam suatu penelitian daya tahan
hidup, penelitian dihentikan ketika observasi mengalami kegagalan ke-r, sehingga
penelitian dapat menghemat waktu dan biaya.
2
Dalam dunia bisnis atau usaha yang menghasilkan suatu produk, daya tahan
produk yang dihasilkan adalah hal yang sangat penting dan berhubungan erat
dengan proses pemasaran. Misalnya sebelum memasarkan suatu produk,
perusahaan harus mengetahui keandalannya. Untuk mengukur karakteristik daya
tahan hidup suatu produk sehingga diperoleh keandalannya biasanya dilakukan
dengan cara mengoperasikan produk dibawah keadaan normal, akan tetapi karena
cara tersebut mempunyai kelemahan, yaitu penelitian akan memerlukan waktu
yang lama. Untuk mengatasi kelemahan tersebut, dirancang metode untuk
memaksa produk supaya gagal lebih cepat dibandingkan ketika berada dibawah
kondisi normal, yaitu dengan cara membuat model kegagalan produk dan
karakteristik hidupnya. Dengan kata lain mempercepat kegagalan produk atau Uji
Hidup Dipercepat (UHD).
Percepatan kegagalan dapat dilakukan dengan cara percepatan tingkat
penggunaan, yaitu dengan mengoperasikan produk secara terus menerus dan
percepatan tingkat ketegangan, yaitu dengan menaikkan temperatur, voltase,
kelembaban, getaran, dan lain-lain serta dapat juga dilakukan pada kombinasi
kondisi tersebut. Dalam UHD digunakan model yang menghubungkan distribusi
tahan hidup pada kondisi dipercepat dengan distribusi tahan hidup kondisi normal,
yang berarti bahwa pengujian pada kondisi dipercepat harus dirancang sedemikian
rupa sehingga mekanisme kegagalan identik dengan penggunaan dibawah kondisi
normal. Parameter-parameter diestimasi dari data hidup dipercepat. Distribusi
yang sering digunakan dalam UHD adalah distribusi Weibull, Eksponensial, Lognormal, dan Gamma. Dari beberapa distribusi yang ada, skripsi ini menggunakan
3
distribusi waktu hidup Eksponensial, atau data waktu hidup yang mengikuti
distribusi Eksponensial.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian pada sub-bab sebelumnya, maka dapat dirumuskan masalah
sebagai berikut :
1.
Bagaimana model uji hidup dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data
tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial?
2.
Bagaimana menduga parameter dan selang kepercayaan model uji hidup
dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data tersensor tipe II
berdasarkan model distribusi Eksponensial?
3.
Mengkaji bias selang kepercayaan melalui simulasi data tersensor tipe II
berdasarkan model distribusi Eksponensial?
1.3
Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1.
Mendapatkan model uji hidup dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk
data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial.
2.
Mendapatkan selang kepercayaan dari pendugaan parameter model uji hidup
dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data tersensor tipe II
berdasarkan model distribusi Eksponensial.
4
3.
Melakukan kajian bias selang kepercayaan melalui simulasi data tersensor
tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial?
1.4
Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan ini adalah:
1.
Menambah referensi tentang analisis uji hidup dipercepat (Accelerated Life
Testing), khususnya data tersensor tipe II menggunakan distribusi
Eksponensial.
2.
Menambah pengetahuan tentang kajian bias pada analisis uji hidup
dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data tersensor tipe II
menggunakan distribusi Eksponensial.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1
Konsep Dasar Peluang
Pada dasarnya statistika berkaitan dengan penyajian dan penafsiran hasil yang
berkemungkinan (hasil yang belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul
dalam penelitian yang dirancang sebelumnya atau muncul dalam penelitian
ilmiah. Pencacahan atau pengukuran karakteristik suatu objek kajian yang
hasilnya berbentuk bilangan disebut percobaan acak (Abadyo dan Hendro
permadi, 2005).
Definisi 2.1
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan (eksperimen) acak
disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang S. Suatu kejadian adalah
himpunan bagian dari ruang sampel (Bain dan Engehardt, 1992).
Definisi 2.2
Ruang nol atau ruang kosong atau himpunan kosong ialah himpunan bagian dari
ruang sampel yang tidak mengandung satu pun anggota. Kejadian seperti ini
dinyatakan dengan lambang
(Walpole,1995).
Definisi 2.3 : Peluang Secara Aksioma
menunjukkan ruang sampel percobaan dan
menunjukkan kumpulan semua
peristiwa titik-titik sampel yang bisa dibentuk dari . Peluang
adalah sebuah
6
fungsi dengan domain
sebagai berikut:
dan daerah hasilnya [
], yang memenuhi sifat-sifat
i.
ii.
iii.
Jika
adalah m buah peristiwa yang saling lepas dalam
(artinya
⋃
untuk
⋃
) dan
, maka:
∑
⋃
Berdasarkan definisi diatas,
disebut juga fungsi peluang.
dibaca
sebagai “peluang peristiwa A”, “peluang terjadinya peristiwa A”, atau “peluang
bahwa peristiwa A terjadi”. Apabila kita melakukan sebuah percobaan yang
menghasilkan banyak anggota ruang sampelnya berhingga (jadi S merupakan
himpunan berhingga), maka setiap titik sampel bisa dianggap sebagai sebuah
peristiwa yang mempunyai anggota tunggal. Demikian juga setiap anggota yang
termasuk ke dalam sebuah peristiwa bisa dianggap sebagai peristiwa anggota
tunggal.
2.2
Peubah Acak
Definisi 2.4
Peubah acak
adalah suatu fungsi dengan daerah asal , dimana
ruang sampel dan daerah hasil bilangan real sedemikian sehingga
adalah suatu
7
dengan
dan
Misalkan
(Bain dan Engelhardt, 1992).
adalah sebuah percobaan dengan ruang sampelnya . Sebuah fungsi
yang menetapkan setiap anggota
ke sebuah bilangan real
dinamakan
peubah acak.
adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dai
hasil
) berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung, maka
peubah acak diskrit. Nilai-nilai yang mungkin dari
adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dari
merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka
(yaitu ruang
dinamakan
bisa ditulis sebagai:
(yaitu ruang hasil
)
dinamakan peubah
acak kontinu.
2.3
Distribusi Peluang
Definisi 2.5
Jika
range
adalah peubah acak diskrit, maka
untuk setiap
dinamakan fungsi peluang dari . Nilai fungsi peluang dari , yaitu
dalam
,
harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
i.
ii.
Jika
∑
adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan bilangan
real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari
memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
, jika nilai-nilainya, yaitu
,
8
i.
untuk
∫
ii.
iii.
Untuk setiap
dan , dengan
, maka:
∫
2.4
Fungsi Distribusi
Definisi 2.6: Fungsi Distribusi Kumulatif Diskrit
Misalnya
adalah peubah acak diskrit, maka fungsi distribusi kumulatif dari
berbentuk:
∑
dengan
adalah fungsi peluang dari
di .
Definisi 2.7: Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu
adalah peubah acak kontinu, maka fungsi distribusi kumulatif dari
berbentuk:
∫
dengan
2.5
adalah nilai fungsi densitas dari
di .
Fungsi Pembangkit Momen
Definisi 2.8: Fungsi Pembangkit Momen:
Jika
adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit
momen dari
(dinotasikan dengan
) didefinisikan sebagai:
9
untuk
dan
Definisi 2.9: Fungsi Pembangkit Momen Diskrit
Jika
adalah peubah acak diskrit dan
adalah nilai fungsi peluang dari
, maka fungsi pembangkit momen dari
di
didefinisikan sebagai:
∑
Definisi 2.10: Fungsi Pembangkit Momen Kontinu
Jika
adalah peubah acak kontinu dan
, maka fungsi pembangkit momen dari
adalah nilai fungsi densitas dari
di
didefinisikan sebagai:
∫
2.6
Fungsi Densitas Masa Hidup
Fungsi-fungsi pada distribusi waktu hidup merupakan suatu fungsi yang
menggunakan peubah acak waktu hidup. Peubah acak waktu hidup biasanya
dinotasikan dengan huruf T dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi
waktu hidup dijelaskan oleh tiga fungsi, yaitu fungsi hidup R(t), fungsi densitas
peluang f(t) dan fungsi kegagalan/fungsi hazard h(t).
Waktu tahan hidup T mempunyai fungsi densitas peluang yang dinotasikan
dengan f(t) dan didefinisikan sebagai peluang kegagalan suatu objek pada interval
(t, t+∆t) per satuan waktu. Fungsi densitas peluang dinyatakan sebagai
10
[
(
)
[
]
]
yang mempunyai sifat sebagai berikut:
a.
b. ∫
Fungsi
disebut fungsi densitas peluang bagi variabel random kontinu T bila luas
daerah dibawah kurva dan diatas sumbu-t sama dengan 1, dan bila luas daerah
dibawah kurva antara
dan
dan
menyatakan peluang T terletak antara
(Walpole,1995).
Dengan demikian luas daerah yang diarsir adalah:
∫
2.7
dengan
[
Konsep Dasar dan Fungsi Tahan Hidup Suatu Sistem
Daya tahan hidup suatu sistem merupakan selang waktu yang diamati dari suatu
objek saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan sampai dengan objek
tersebut tidak berfungsi atau mati. Misalnya selang waktu yang mengukur
kerusakan suatu produk, matinya suatu makhluk hidup, atau kambuhnya suatu
penyakit.
11
Ketahanan hidup (reliabilitas) adalah peluang suatu produk akan beroperasi
dengan baik untuk periode yang telah ditetapkan dibawah kondisi yang
ditentukan, seperti suhu dan tegangan, tanpa kegagalan. Dirumuskan sebagai:
R(t)
= P(objek hidup lebih dari waktu t)
= P(T>t)
= 1-P(objek gagal sebelum waktu t)
= 1-P(T≤t)
2.8
(2.7.1)
Fungsi Laju Tingkat Kegagalan (Fungsi Hazard)
Fungsi kegagalan dari waktu tahan hidup T dinotasikan dengan h(t) dan
didefinisikan sebagai peluang suatu objek gagal didalam interval waktu (t,t+∆t)
dengan diketahui bahwa objek tersebut telah hidup selama waktu t. Fungsi
kegagalan dinyatakan dengan:
]
[
Jika f(t) adalah fungsi densitas peluang pada waktu t, maka diperoleh:
[
[
]
[
]
]
12
[
[
[
2.9
]
(
)
]
]
Data Tersensor
Sensor dilakukan untuk memperpendek waktu percobaan karena untuk mengukur
waktu kegagalan atau kematian objek memerlukan waktu yang lama dan biaya
yang tidak sedikit. Dalam uji ketahanan terdapat tiga jenis sensor, yaitu:
1.
Sensor Tipe I
Sensor tipe I adalah tipe penyensoran dimana percobaan akan dihentikan
setelah mencapai waktu T yang telah ditentukan untuk mengakhiri semua n
individu yang masuk pada waktu yang sama. Berakhirnya waktu uji T
menjelaskan waktu sensor uji, dengan kata lain jika tidak terdapat individu
yang hilang secara tiba-tiba, maka waktu tahan hidup observasi tersensor
sama dengan waktu pengamatan.
13
2.
Sensor Tipe II
Sensor tipe II adalah tipe penyensoran dimana sampel ke-r merupakan
observasi terkecil dalam sampel random berukuran n (1≤r≤n). Dengan kata
lain jika total sampel berukuran n, maka percobaan akan dihentikan sampai
diperoleh r kegagalan. Semua unit uji n masuk pada waktu yang sama. Pada
sensor tipe II, jika tidak terdapat individu yang hilang, maka waktu tahan
hidup observasi tersensor sama dengan waktu tahan hidup observasi tidak
tersensor. Kelebihan sensor ini dapat menghemat waktu dan biaya.
3.
Sensor Tipe III
Dalam sensor tipe III, individu atau unit uji masuk ke dalam percobaan pada
waktu yang berlainan selama periode waktu tertentu. Beberapa unit uji
mungkin gagal atau mati sebelum pengamatan berakhir sehingga waktu
tahan hidupnya dapat diketahui dengan pasti. Kemungkinan kedua adalah
unit uji keluar sebelum pengamatan berakhir, atau kemungkinan ketiga
adalah unit uji tetap hidup sampai batas waktu terakhir pengamatan. Untuk
objek yang hilang, waktu tahan hidupnya adalah sejak masuk dalam
pengamatan sampai dengan waktu terakhir sebelum hilang. Untuk unit uji
yang tetap hidup, waktu tahan hidupnya adalah dari mulai masuk
pengamatan sampai waktu pengamatan berakhir.
Penyensoran data dapat disebabkan oleh beberapa hal, antara lain:
a.
Data hilang
b.
Data keluar (withdrawls)
c.
Berakhir waktu pengamatan
14
Percobaan juga dapat dilakukan tanpa menggunakan ketiga tipe penyensoran
tersebut, yaitu dengan sampel lengkap. Sampel lengkap berarti bahwa nilai
kegagalan dari semua unit sampel yang diobservasi dapat diketahui. Percobaan
akan berhenti jika semua sampel yang diamati mengalami kegagalan.
2.10 Counting Proses
Definisi 2.11 :
Proses stokastik {
jika
atau
} dikatakan proses menghitung (counting process)
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi selama waktu
(S.Osaki, 1992).
Proses menghitung {
} memenuhi sifat:
i.
ii.
adalah bilangan bulat
iii. Jika
iv. Untuk
, maka
,
interval waktu
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada
⌋
Kenaikan Independen (independent increment)
Suatu proses menghitung disebut kenaikan independen (independent increment)
jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling
bebas. Banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu
banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara
.
dan
yaitu
, yaitu
, bebas dan
15
Kenaikan Stasioner (stationary increment)
Suatu proses menghitung disebut kenaikan stasioner (stationary increment) jika
distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu hanya
tergantung pada panjang dari interval tersebut. Banyaknya kejadian pada interval
⌋ yaitu
waktu
mempunyai distribusi yang
sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu
untuk semua
.
⌋ yaitu
Definisi 2.12:
Fungsi
dikatakan
jika
untuk interval waktu yang kecil
,
∑
(tidak ada kejadian pada interval waktu yang kecil
.
(peluang ada kejadian pada interval waktu yang kecil
.
2.11 Proses Poisson
Definisi 2.13: Proses Poisson (stationary independent increments)
Suatu proses menghitung {
parameter
i.
jika memenuhi:
} dikatakan proses Poisson dengan
16
ii. Proses mempunyai kenaikan bebas stasioner (stationary independent
increments)
iii.
iv.
(S. Osaki, 1992)
Peluang bahwa ada
untuk
kejadian yang terjadi pada interval
berlaku,
⌋, dari definisi 2.13,
∑
karena proses Poisson stationer, maka
untuk sebarang
.
Definisi 2.14: Proses Poisson (independent increments)
Suatu proses menghitung {
parameter
jika memenuhi:
} dikatakan proses Poisson dengan
i.
ii. Proses mempunyai kenaikan bebas (independent increments)
iii. Peluang ada
kejadian dalam interval waktu :
(S. Osaki, 1992)
17
maka
[
[
]
[
]
]
Teorema 1:
Jika jumlah kegagalan mengikuti distribusi Poisson maka suatu variabel random
waktu antar kegagalan mengikuti distribusi eksponensial.
Fungsi peluang distribusi Poisson dengan parameter
adalah
Bukti:
f(t) = fungsi densitas peluang dari interval waktu t antar pemunculan kejadian
yang berurutan,
.
F(t) = fungsi distribusi kumulatif dati t
Jika suatu variabel random waktu antar kedua kegagalan berurutan dimisalkan T,
maka:
{
}
{
}
18
∫
atau menggunakan F(t) sebagai fungsi distribusi kumulatif dari T diperoleh:
{
}
maka fungsi densitasnya adalah
{
Dari fungsi densitas distribusi eksponensial dengan parameter
diatas, maka
diperoleh fungsi pembangkit momen:
∫
∫
]
E(T) diperoleh dari turunan pertama fungsi pembangkit momen, sehingga:
maka:
(
)
19
Jadi waktu kegagalan yang berurutan mengikuti distribusi eksponensial dengan
rata-rata dan varian
.
2.12 Distribusi Gamma
Peubah acak
dikatakan berdistribusi Gamma, jika dan hanya jika fungsi
densitasnya berbentuk:
{
Peubah acak
Peubah acak
yang berdistribusi gamma disebut juga peubah acak gamma.
yang berdistribusi gamma dapat dinotasikan dengan
artinya peubah acak
Peubah acak
berdistribusi gamma dengan parameter
yang berdistribusi Gamma dengan parameternya
,
dan .
dan
bisa juga
ditulis sebagai:
Berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit
momen untuk distribusi Gamma adalah:
∫
∫
∫
20
∫
∫
∫
∫
Misalnya:
, maka
Batas-batas: Untuk
, maka
Untuk
, maka
∫ (
sehingga
)
∫
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah
21
2.13 Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
dan
.
Fungsi Densitas Eksponensial:
{
( )
Fungsi distribusi kumulatif distribusi Eksponensial adalah:
∫
∫
∫
]
Fungsi tahan hidupnya adalah
Fungsi kegagalannya adalah
dengan adalah rata-rata waktu kegagalan dan t adalah waktu percobaan.
22
Berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit
momen untuk distribusi Eksponensial adalah:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Misalkan:
( )
( )
( )
23
Maka:
∫
∫
]
]
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Eksponensial adalah
.
2.14 Distribusi Khi-Khuadrat
Distribusi Khi-kuadrat merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
dan
.
24
Fungsi Densitas Khi-Kuadrat
Peubah Acak X dikatakan berdistribusi Khi-kuadrat, jika dan hanya jika fungsi
densitasnya berbentuk :
{
Peubah acak X yang berdistribusi khi-kuadrat disebut juga peubah acak khikuadrat. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat adalah
, artinya peubah acak
. Peubah acak
berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
yang berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
bisa
juga ditulis sebagai:
Berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit
momen untuk distribusi Khi-kuadrat adalah:
∫
∫
∫
∫
∫
25
∫
∫
Misalkan:
, maka
Batas-batas: Untuk
, maka
Untuk
, maka
∫
∫
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Khi-kuadrat adalah
.
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Akademik 2013/2014,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2
Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara
sistematis yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan
informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini, kemudian
melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menjelaskan teori yang telah didapat.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1.
Menentukan model data kegagalan dipercepat Distribusi Eksponensial
a.
Fungsi distribusi kumulatif
b.
Fungsi densitas peluang
c.
Fungsi kegagalan
27
2.
Menentukan model UHD (Uji Hidup Dipercepat) untuk data tersensor
tipe II berdistribusi eksponensial.
a.
Mencari fungsi peluang bersama t1 ≤ … ≤ tr ≤ yr+1 ≤ … ≤ yn
b.
Menentukan fungsi peluang bersama parameter
dan
dimana
merupakan rata-rata kegagalan dibawah kondisi normal dan
merupakan percepatan linear kondisi normal terhadap kondisi
dipercepat.
c.
Menduga parameter
dan
dengan menggunakan metode
maksimum likelihood.
3.
Menduga selang kepercayaan untuk rata-rata waktu tahan hidup
dipercepat suatu sistem yang berdistribusi Eksponensial.
4.
Aplikasi UHD tegangan bertingkat parsial sampel lengkap berdistribusi
Eksponensial pada pengujian sistem wireless
a.
Uji kecocokan data dengan distribusi Eksponensial
b.
Inferensi statistik UHD tegangan bertingkat pada pengujian sistem
wireless
c.
5.
Interval konfidensi
100% untuk ̂
Simulasi selang pendugaan ̂ dengan data Generating Eksponensial
( ̂=749,4 dan n=25).
BAB V
KESIMPULAN
Dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, maka diperoleh
kesimpulan sebagai berikut:
1. Model uji hidup dipercepat adalah:
2. Rata-rata waktu kegagalan pada kondisi dipercepat bertingkat dinotasikan
dengan θs dan percepatan liniernya dinotasikan dengan
̂
̂
∑
adalah:
̂
∑
dengan derajat bebas 2r, interval konfidensi (1-α)100% untuk ̂ adalah:
̂
3. Berdasarkan aplikasi yang telah dilakukan menggunakan data sistem
wireless diperoleh nilai ̂=749,4 dengan batas bawah sebesar 462,59 dan
batas atas sebesar 1562,88. Simulasi Generate data berdistribusi
Eksponensial dengan ulangan sebanyak 1000 kali diperoleh rata-rata nilai
̂=737,25 dengan rata-rata batas bawah sebesar 431,14 dan batas atas
sebesar 1537,54. Selang kepercayaan yang tidak memuat parameter
sebanyak 36 atau
diantara nilai 0,03-0,07.
0,036 sehingga tidak terjadi bias karena berada
DAFTAR PUSTAKA
Abadyo dan Hendro Permadi. 2005. Metode Statistika Praktis. Malang: UM Press.
Bain, L.J and Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and Mathematical
Statistics. 2nd ed. California: Duxbury Press.
Herrhtanto, Nar. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Bandung: CV.YRAMA
WIDYA.
http://www.goodreads.com/author/show/1472011.Shunji_Osaki/process.poisson
diakses pada 19 mei 2013
Lawless, J. F. 1982.Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Canada:
John Wiley & Sons, Inc.
Lawless, J.F. 2003. Statistical Model and Methods for Lifetime Data. 2nd ed.
New Jersey: John Wiley and Sons Inc.
Shinha, S.K and Kale, B.K. 1980. Life Testing and Reliability Estimation. New
Delhi: WILEY EASTERN LIMITED.
Walpole, Ronald E. 1993. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: Gramedia
Pustaka Utama.
Zanzawi, S.2003.Suatu Studi Tentang Uji Hidup Dipercepat Tegangan
Bertingkat: Perkembangan Mutakhir, Jurnal Matematika, Sains Teknologi,
Volume 4.
LIFE TESTING SYSTEM WITH CENSORED DATA TYPE II FOR
EXPONENTIAL DISTRIBUTION
By
Miftah Farid Artama
Abstract
Reliability is a probability of product or system that has good operating for some
period that has been determined without failure. Accelerated life testing is one of
test that used for testing reliability of product or system. Analysis of accelerated
life testing is a method to measure reliability of product or system by increasing
the strains to gain the failure occur sooner than normal condition. Accelerated life
testing can be completed data or censored data. Censored data type II is reliability
data with r observation of failure in random sample n size, where r≤n. In this
research, the Exponential distribution is used as distribution of reliability data.
Estimation of paramater θ is determined by using Maximum Likelihood
Estimation (MLE) method, for confidence interval of paramater θ is determined
by using Povital Quantity. The simulation study for 1000 refrain show that there
are 36 convidence interval consist no parameter θ.
Keyword : Accelerated Life Testing, Exponential Distribution, Maximum
Likelihood Estimation, Povital Quantity.
KAJIAN BIAS SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA WAKTU TAHAN
HIDUP DIPERCEPAT DENGAN DATA TERSENSOR TIPE II UNTUK SUATU
SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Oleh
Miftah Farid Artama
Abstrak
Reliabilitas merupakan peluang suatu produk atau sistem akan beoperasi dengan baik
untuk periode yang telah ditetapkan tanpa kegagalan. Uji hidup dipercepat merupakan
salah satu pengujian yang dapat dilakukan untuk menguji reliabilitas suatu produk atau
sistem. Analisis uji hidup dipercepat adalah metode untuk mengukur keandalan suatu
sistem atau produk dengan cara meningkatkan tegangan supaya diperoleh kegagalan yang
lebih cepat dibandingkan ketika berada dibawah kondisi normal. Uji hidup dipercepat
dapat berbentuk data lengakap atau data tersensor. Data tersensor tipe II adalah data
waktu tahan hidup dengan r observasi kegagalan dalam sampel acak berukuran n dengan
r≤n. Dalam penelitian ini distribusi waktu hidup yang digunakan pada data reliabilitas
adalah distribusi Eksponensial. Pendugaan parameter θ dilakukan dengan Metode
Maksimum Likelihood Estimation (MLE) dan untuk selang kepercayaan dari parameter θ
di tentukan dengan Povital Quantity. Hasil simulasi menunjukkan bahwa dari 1000
ulangan yang dilakukan terdapat 36 selang kepercayaan yang tidak menggandung
paramater θ.
Kata kunci: Uji Hidup Dipercepat, Distribusi Eksponensial, Maksimum Likelihood
Estimation, Povital Quantity.
KAJIAN BIAS SELANG KEPERCAYAAN
RATA-RATA WAKTU TAHAN HIDUP DIPERCEPAT
DENGAN DATA TERSENSOR TIPE II
UNTUK SUATU SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL
(Skripsi)
Oleh
MIFTAH FARID ARTAMA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2014
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
1. Uji Hidup Dipercepat Dengan Tegangan Bertingkat ............................ 28
2. Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂
3. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
5. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
4. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
̂ ........................................... 41
̂ .................................... 42
̂ .................................... 42
̂ .................................... 42
6. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
̂ .................................... 43
8. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
̂ .................................... 43
7. Grafik Selang Kepercayaan ̂
9. Grafik Selang Kepercayaan ̂
10. Grafik Selang Kepercayaan ̂
11. Grafik Selang Kepercayaan ̂
̂
̂
̂
̂
̂ .................................... 43
̂ .................................... 44
̂ .................................... 44
̂ .................................. 44
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xv
DAFTAR TABEL ......................................................................................... xvi
I.
II.
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2
Rumusan Masalah ............................................................................ 3
1.3
Tujuan Penelitian.............................................................................. 3
1.4
Manfaat Penulisan ............................................................................ 4
LANDASAN TEORI
2.1
Konsep Dasar Peluang ..................................................................... 5
2.2
Peubah Acak ..................................................................................... 6
2.3
Distribusi Peluang ............................................................................ 7
2.4
Fungsi Distribusi .............................................................................. 8
2.5
Fungsi Pembangkit Momen ............................................................. 8
2.6
Fungsi Densitas Masa Hidup............................................................ 9
2.7
Konsep Dasar dan Fungsi Tahan Hidup Suatu Sistem................... 10
2.8
Fungsi Laju Tingkat Kegagalan (Fungsi Hazzard) ........................ 11
2.9
Data Tersensor................................................................................ 12
2.10 Counting Proses ............................................................................. 14
2.11 Proses Poisson ................................................................................ 15
2.12 Distribusi Gamma .......................................................................... 19
2.13 Distribusi Eksponensial .................................................................. 21
2.14 Distribusi Khi-kuadrat .................................................................... 23
III. METODE PENELITIAN
IV.
V.
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 26
3.2
Metode Penelitian .......................................................................... 26
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Uji Hidup Dipercepat Untuk Data Tersensor Tipe II..................... 28
4.2
Model Data Kegagalan Dipercepat ................................................ 29
4.3
Uji Hidup Sistem Dipercepat Distribusi Eksponensial .................. 30
4.4
Interval konfidensi untuk Rata-rata Waktu Tahan Hidup .............. 36
4.5
Aplikasi Uji Hidup Dipercepat ...................................................... 37
4.6
Simulasi Selang Kepercayaan untuk ̂ ......................................... 41
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1. Data Waktu Kegagalan ......................................................................... 37
2. Data Waktu Kegagalan Setelah Tersensor Tipe II ................................ 38
M O T O
Wahai orang-orang yang beriman, bersabarlah kamu dan kuatkanlah
kesabaranmu dan tetaplah bersiap-siaga dan bertaqwalah kepada Allah, supaya
kamu menang
(
)
“You never fail until you stop trying”
(Albert Einstain)
Hanya ada dua pilihan: menjadi apatis atau mengikuti arus
Tapi, aku memilih untuk menjadi manusia merdeka
(Soe Hok Gie – Catatan seorang demonstran)
Hiduplah seperti pohon kayu yang lebat buahnya
Hidup ditepi jalan dan dilempari orang dengan batu
Tetapi membalas dengan buah
(Abu Bakar Sibli)
“Great Things Never Came From Comfort Zones”
(Miftah Farid Artama)
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT, saya persembahkan
karya kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan cinta kepada
semua orang yang senantiasa mendukung dan dengan tulus
mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.
Papa, Mama, Kyay, Adek Uti, Ami, Reva yang selalu memberikan
semangat serta dukungan dan doa yang amat sangat luar biasa
kepada penulis
Sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada. Terimakasih atas keceriaan,
semangat, serta motivasi yang diberikan kepada penulis.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Way Jepara Kabupaten Lampung Timur pada tanggal 14
Desember 1992. Penulis merupakan anak kedua dari pasangan Bapak Arkam dan
Ibu Muntama, adik dari Chandra Adidya Artama dan kakak dari Rita Putri
Artama.
Penulis memulai pendidikan dari Taman Kanak-kanak Al-Muslimun Way Jepara
Lampung Timur dan lulus pada tahun 1998. Sekolah dasar di SD N 1 Labuhan
Ratu Dua Way Jepara Lampung Timur pada tahun 2004. Sekolah menengah
pertama di SMP N 1 Way Jepara Lampung Timur pada tahun 2007 serta sekolah
menengah atas di SMA N 1 Way Jepara Lampung Timur pada tahun 2010.
Penulis melanjutkan pendidikan perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN pada tahun 2010. Dalam dunia
kampus penulis terlibat aktif dalam organisasi kampus dan pergerakan
kemahasiswaan. Pada periode tahun 2010/2011penulis terdaftar sebagai anggota
GEMATIKA
Himpunan
Mahasiswa
Matematika
(HIMATIKA)
FMIPA
Universitas Lampung dan KBM BEM Universitas Lampung. Penulis menjadi
Kepala Bidang Kaderisasi HIMATIKA pada periode 2011/2012 sekaligus
menjadi anggota aktif di Departemen PSDM BEM FMIPA Universitas Lampung.
Pada periode selanjutnya yaitu 2012/2013 penulis menjabat sebagai Ketua Umum
HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung.
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu penulis telah melakukan Kerja Praktek (KP)
yang dilaksanakan di Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Lampung dan
ditempatkan pada bagian Integrasi Pengolahan dan Diseminasi Statistika (IPDS).
Selanjutnya melalui Kuliah Kerja Nyata Kebangsaan (KKN Kebangsaan) yang
dilaksanakan di Ghampong Lamlhe Kecamatan Suka Makmur Kabupaten Aceh
Besar Provinsi Aceh pada tahun 2013, penulis telah melakukan salah satu bentuk
tri dharma perguruan tinggi yaitu pengabdian masyarakat.
SANWACANA
Alhamdulillahirobbil‘alamin, segala puji dan syukur kepada Allah SWT atas izin
serta ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Kajian Bias
Selang Kepercayaan Rata-rata Waktu Tahan Hidup Dipercepat dengan Data
Tersensor Tipe II untuk Suatu Sistem yang Berdistribusi Eksponensial”.
Shalawat teriring salam kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah
menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua pengikutnya.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan,
kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1. Bapak Rudi Ruswandi, M.Si., selaku pembimbing pertama yang senantiasa
membimbing dan memberikan arahan kepada penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
2. Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak
membantu dan selalu sabar memberikan pengarahan, pembelajaran, semangat,
serta dukungan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan penulis
kritik, saran, dan masukan yang membangun.
4. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing akademik yang tak
pernah letih memberikan masukan, nasihat, juga bimbingannya dalam
menjalani perkuliahan.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
7. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada
penulis.
8. Untuk kedua orang tua yang menjadi semangat hidupku “Papa dan Mama”,
Kyay, Adek uti, Ami, dan Reva terimakasih telah menjadi semangat yang tak
pernah hilang, pendukung yang selalu ada baik raga maupun doa.
9. Sahabat-sahabat penulis dan juga sahabat seperjuangan dalam merangkai asa
dan cita juga harapan Hasby Alkarim, Muhammad Ridho, Rohandi, Sofyan
Saputra, Agustina Ambar Wulan, Agustia Indriani, Christy Engine Nita, Dian
Ekawati, Dinda Ristanti, Tri Handayani.
10. Keluarga Besar, Seluruh Pimpinan, Kepala Bidang, Sekretaris Bidang,
Anggota dan Gematika HIMATIKA periode 2012-2013 serta PSDM BEM
FMIPA Universitas Lampung Periode 2011- 2012.
11. Teman-teman
Matematika
2010
yang
luar
biasa
atas
pengalaman,
kebersamaan serta keceriaan yang diberikan kepada penulis selama
menempuh pendidikan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
12. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Agustus 2014
Penulis,
Miftah Farid Artama
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Uji hidup merupakan kajian daya tahan hidup suatu unit atau individu pada suatu
keadaan tertentu. Analisis statistik uji hidup telah dikembangkan menjadi topik
yang penting diberbagai bidang, terutama di bidang ilmu rekayasa (engineering)
dan ilmu pengetahuan biomedis. Aplikasi analisis distribusi waktu hidup berkisar
pada penyelidikan daya tahan produk atau sistem sampai dengan penelitian
mengenai suatu penyakit.
Pada analisis uji hidup, data waktu hidup dapat berbentuk data lengkap, data
tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Data lengkap jika data yang diamati
secara utuh. Data tersensor tipe I merupakan data uji hidup yang dihasilkan
setelah penelitian berjalan selama waktu yang telah ditentukan. Sedangkan data
tersensor tipe II merupakan data hasil penelitian yang dihentikan setelah sejumlah
kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982).
Data tersensor tipe II adalah data waktu hidup dengan r observasi kegagalan
dalam sampel acak berukuran n dengan r ≤ n. Dalam suatu penelitian daya tahan
hidup, penelitian dihentikan ketika observasi mengalami kegagalan ke-r, sehingga
penelitian dapat menghemat waktu dan biaya.
2
Dalam dunia bisnis atau usaha yang menghasilkan suatu produk, daya tahan
produk yang dihasilkan adalah hal yang sangat penting dan berhubungan erat
dengan proses pemasaran. Misalnya sebelum memasarkan suatu produk,
perusahaan harus mengetahui keandalannya. Untuk mengukur karakteristik daya
tahan hidup suatu produk sehingga diperoleh keandalannya biasanya dilakukan
dengan cara mengoperasikan produk dibawah keadaan normal, akan tetapi karena
cara tersebut mempunyai kelemahan, yaitu penelitian akan memerlukan waktu
yang lama. Untuk mengatasi kelemahan tersebut, dirancang metode untuk
memaksa produk supaya gagal lebih cepat dibandingkan ketika berada dibawah
kondisi normal, yaitu dengan cara membuat model kegagalan produk dan
karakteristik hidupnya. Dengan kata lain mempercepat kegagalan produk atau Uji
Hidup Dipercepat (UHD).
Percepatan kegagalan dapat dilakukan dengan cara percepatan tingkat
penggunaan, yaitu dengan mengoperasikan produk secara terus menerus dan
percepatan tingkat ketegangan, yaitu dengan menaikkan temperatur, voltase,
kelembaban, getaran, dan lain-lain serta dapat juga dilakukan pada kombinasi
kondisi tersebut. Dalam UHD digunakan model yang menghubungkan distribusi
tahan hidup pada kondisi dipercepat dengan distribusi tahan hidup kondisi normal,
yang berarti bahwa pengujian pada kondisi dipercepat harus dirancang sedemikian
rupa sehingga mekanisme kegagalan identik dengan penggunaan dibawah kondisi
normal. Parameter-parameter diestimasi dari data hidup dipercepat. Distribusi
yang sering digunakan dalam UHD adalah distribusi Weibull, Eksponensial, Lognormal, dan Gamma. Dari beberapa distribusi yang ada, skripsi ini menggunakan
3
distribusi waktu hidup Eksponensial, atau data waktu hidup yang mengikuti
distribusi Eksponensial.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian pada sub-bab sebelumnya, maka dapat dirumuskan masalah
sebagai berikut :
1.
Bagaimana model uji hidup dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data
tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial?
2.
Bagaimana menduga parameter dan selang kepercayaan model uji hidup
dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data tersensor tipe II
berdasarkan model distribusi Eksponensial?
3.
Mengkaji bias selang kepercayaan melalui simulasi data tersensor tipe II
berdasarkan model distribusi Eksponensial?
1.3
Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1.
Mendapatkan model uji hidup dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk
data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial.
2.
Mendapatkan selang kepercayaan dari pendugaan parameter model uji hidup
dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data tersensor tipe II
berdasarkan model distribusi Eksponensial.
4
3.
Melakukan kajian bias selang kepercayaan melalui simulasi data tersensor
tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial?
1.4
Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan ini adalah:
1.
Menambah referensi tentang analisis uji hidup dipercepat (Accelerated Life
Testing), khususnya data tersensor tipe II menggunakan distribusi
Eksponensial.
2.
Menambah pengetahuan tentang kajian bias pada analisis uji hidup
dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data tersensor tipe II
menggunakan distribusi Eksponensial.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1
Konsep Dasar Peluang
Pada dasarnya statistika berkaitan dengan penyajian dan penafsiran hasil yang
berkemungkinan (hasil yang belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul
dalam penelitian yang dirancang sebelumnya atau muncul dalam penelitian
ilmiah. Pencacahan atau pengukuran karakteristik suatu objek kajian yang
hasilnya berbentuk bilangan disebut percobaan acak (Abadyo dan Hendro
permadi, 2005).
Definisi 2.1
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan (eksperimen) acak
disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang S. Suatu kejadian adalah
himpunan bagian dari ruang sampel (Bain dan Engehardt, 1992).
Definisi 2.2
Ruang nol atau ruang kosong atau himpunan kosong ialah himpunan bagian dari
ruang sampel yang tidak mengandung satu pun anggota. Kejadian seperti ini
dinyatakan dengan lambang
(Walpole,1995).
Definisi 2.3 : Peluang Secara Aksioma
menunjukkan ruang sampel percobaan dan
menunjukkan kumpulan semua
peristiwa titik-titik sampel yang bisa dibentuk dari . Peluang
adalah sebuah
6
fungsi dengan domain
sebagai berikut:
dan daerah hasilnya [
], yang memenuhi sifat-sifat
i.
ii.
iii.
Jika
adalah m buah peristiwa yang saling lepas dalam
(artinya
⋃
untuk
⋃
) dan
, maka:
∑
⋃
Berdasarkan definisi diatas,
disebut juga fungsi peluang.
dibaca
sebagai “peluang peristiwa A”, “peluang terjadinya peristiwa A”, atau “peluang
bahwa peristiwa A terjadi”. Apabila kita melakukan sebuah percobaan yang
menghasilkan banyak anggota ruang sampelnya berhingga (jadi S merupakan
himpunan berhingga), maka setiap titik sampel bisa dianggap sebagai sebuah
peristiwa yang mempunyai anggota tunggal. Demikian juga setiap anggota yang
termasuk ke dalam sebuah peristiwa bisa dianggap sebagai peristiwa anggota
tunggal.
2.2
Peubah Acak
Definisi 2.4
Peubah acak
adalah suatu fungsi dengan daerah asal , dimana
ruang sampel dan daerah hasil bilangan real sedemikian sehingga
adalah suatu
7
dengan
dan
Misalkan
(Bain dan Engelhardt, 1992).
adalah sebuah percobaan dengan ruang sampelnya . Sebuah fungsi
yang menetapkan setiap anggota
ke sebuah bilangan real
dinamakan
peubah acak.
adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dai
hasil
) berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung, maka
peubah acak diskrit. Nilai-nilai yang mungkin dari
adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dari
merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka
(yaitu ruang
dinamakan
bisa ditulis sebagai:
(yaitu ruang hasil
)
dinamakan peubah
acak kontinu.
2.3
Distribusi Peluang
Definisi 2.5
Jika
range
adalah peubah acak diskrit, maka
untuk setiap
dinamakan fungsi peluang dari . Nilai fungsi peluang dari , yaitu
dalam
,
harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
i.
ii.
Jika
∑
adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan bilangan
real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari
memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
, jika nilai-nilainya, yaitu
,
8
i.
untuk
∫
ii.
iii.
Untuk setiap
dan , dengan
, maka:
∫
2.4
Fungsi Distribusi
Definisi 2.6: Fungsi Distribusi Kumulatif Diskrit
Misalnya
adalah peubah acak diskrit, maka fungsi distribusi kumulatif dari
berbentuk:
∑
dengan
adalah fungsi peluang dari
di .
Definisi 2.7: Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu
adalah peubah acak kontinu, maka fungsi distribusi kumulatif dari
berbentuk:
∫
dengan
2.5
adalah nilai fungsi densitas dari
di .
Fungsi Pembangkit Momen
Definisi 2.8: Fungsi Pembangkit Momen:
Jika
adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit
momen dari
(dinotasikan dengan
) didefinisikan sebagai:
9
untuk
dan
Definisi 2.9: Fungsi Pembangkit Momen Diskrit
Jika
adalah peubah acak diskrit dan
adalah nilai fungsi peluang dari
, maka fungsi pembangkit momen dari
di
didefinisikan sebagai:
∑
Definisi 2.10: Fungsi Pembangkit Momen Kontinu
Jika
adalah peubah acak kontinu dan
, maka fungsi pembangkit momen dari
adalah nilai fungsi densitas dari
di
didefinisikan sebagai:
∫
2.6
Fungsi Densitas Masa Hidup
Fungsi-fungsi pada distribusi waktu hidup merupakan suatu fungsi yang
menggunakan peubah acak waktu hidup. Peubah acak waktu hidup biasanya
dinotasikan dengan huruf T dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi
waktu hidup dijelaskan oleh tiga fungsi, yaitu fungsi hidup R(t), fungsi densitas
peluang f(t) dan fungsi kegagalan/fungsi hazard h(t).
Waktu tahan hidup T mempunyai fungsi densitas peluang yang dinotasikan
dengan f(t) dan didefinisikan sebagai peluang kegagalan suatu objek pada interval
(t, t+∆t) per satuan waktu. Fungsi densitas peluang dinyatakan sebagai
10
[
(
)
[
]
]
yang mempunyai sifat sebagai berikut:
a.
b. ∫
Fungsi
disebut fungsi densitas peluang bagi variabel random kontinu T bila luas
daerah dibawah kurva dan diatas sumbu-t sama dengan 1, dan bila luas daerah
dibawah kurva antara
dan
dan
menyatakan peluang T terletak antara
(Walpole,1995).
Dengan demikian luas daerah yang diarsir adalah:
∫
2.7
dengan
[
Konsep Dasar dan Fungsi Tahan Hidup Suatu Sistem
Daya tahan hidup suatu sistem merupakan selang waktu yang diamati dari suatu
objek saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan sampai dengan objek
tersebut tidak berfungsi atau mati. Misalnya selang waktu yang mengukur
kerusakan suatu produk, matinya suatu makhluk hidup, atau kambuhnya suatu
penyakit.
11
Ketahanan hidup (reliabilitas) adalah peluang suatu produk akan beroperasi
dengan baik untuk periode yang telah ditetapkan dibawah kondisi yang
ditentukan, seperti suhu dan tegangan, tanpa kegagalan. Dirumuskan sebagai:
R(t)
= P(objek hidup lebih dari waktu t)
= P(T>t)
= 1-P(objek gagal sebelum waktu t)
= 1-P(T≤t)
2.8
(2.7.1)
Fungsi Laju Tingkat Kegagalan (Fungsi Hazard)
Fungsi kegagalan dari waktu tahan hidup T dinotasikan dengan h(t) dan
didefinisikan sebagai peluang suatu objek gagal didalam interval waktu (t,t+∆t)
dengan diketahui bahwa objek tersebut telah hidup selama waktu t. Fungsi
kegagalan dinyatakan dengan:
]
[
Jika f(t) adalah fungsi densitas peluang pada waktu t, maka diperoleh:
[
[
]
[
]
]
12
[
[
[
2.9
]
(
)
]
]
Data Tersensor
Sensor dilakukan untuk memperpendek waktu percobaan karena untuk mengukur
waktu kegagalan atau kematian objek memerlukan waktu yang lama dan biaya
yang tidak sedikit. Dalam uji ketahanan terdapat tiga jenis sensor, yaitu:
1.
Sensor Tipe I
Sensor tipe I adalah tipe penyensoran dimana percobaan akan dihentikan
setelah mencapai waktu T yang telah ditentukan untuk mengakhiri semua n
individu yang masuk pada waktu yang sama. Berakhirnya waktu uji T
menjelaskan waktu sensor uji, dengan kata lain jika tidak terdapat individu
yang hilang secara tiba-tiba, maka waktu tahan hidup observasi tersensor
sama dengan waktu pengamatan.
13
2.
Sensor Tipe II
Sensor tipe II adalah tipe penyensoran dimana sampel ke-r merupakan
observasi terkecil dalam sampel random berukuran n (1≤r≤n). Dengan kata
lain jika total sampel berukuran n, maka percobaan akan dihentikan sampai
diperoleh r kegagalan. Semua unit uji n masuk pada waktu yang sama. Pada
sensor tipe II, jika tidak terdapat individu yang hilang, maka waktu tahan
hidup observasi tersensor sama dengan waktu tahan hidup observasi tidak
tersensor. Kelebihan sensor ini dapat menghemat waktu dan biaya.
3.
Sensor Tipe III
Dalam sensor tipe III, individu atau unit uji masuk ke dalam percobaan pada
waktu yang berlainan selama periode waktu tertentu. Beberapa unit uji
mungkin gagal atau mati sebelum pengamatan berakhir sehingga waktu
tahan hidupnya dapat diketahui dengan pasti. Kemungkinan kedua adalah
unit uji keluar sebelum pengamatan berakhir, atau kemungkinan ketiga
adalah unit uji tetap hidup sampai batas waktu terakhir pengamatan. Untuk
objek yang hilang, waktu tahan hidupnya adalah sejak masuk dalam
pengamatan sampai dengan waktu terakhir sebelum hilang. Untuk unit uji
yang tetap hidup, waktu tahan hidupnya adalah dari mulai masuk
pengamatan sampai waktu pengamatan berakhir.
Penyensoran data dapat disebabkan oleh beberapa hal, antara lain:
a.
Data hilang
b.
Data keluar (withdrawls)
c.
Berakhir waktu pengamatan
14
Percobaan juga dapat dilakukan tanpa menggunakan ketiga tipe penyensoran
tersebut, yaitu dengan sampel lengkap. Sampel lengkap berarti bahwa nilai
kegagalan dari semua unit sampel yang diobservasi dapat diketahui. Percobaan
akan berhenti jika semua sampel yang diamati mengalami kegagalan.
2.10 Counting Proses
Definisi 2.11 :
Proses stokastik {
jika
atau
} dikatakan proses menghitung (counting process)
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi selama waktu
(S.Osaki, 1992).
Proses menghitung {
} memenuhi sifat:
i.
ii.
adalah bilangan bulat
iii. Jika
iv. Untuk
, maka
,
interval waktu
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada
⌋
Kenaikan Independen (independent increment)
Suatu proses menghitung disebut kenaikan independen (independent increment)
jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling
bebas. Banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu
banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara
.
dan
yaitu
, yaitu
, bebas dan
15
Kenaikan Stasioner (stationary increment)
Suatu proses menghitung disebut kenaikan stasioner (stationary increment) jika
distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu hanya
tergantung pada panjang dari interval tersebut. Banyaknya kejadian pada interval
⌋ yaitu
waktu
mempunyai distribusi yang
sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu
untuk semua
.
⌋ yaitu
Definisi 2.12:
Fungsi
dikatakan
jika
untuk interval waktu yang kecil
,
∑
(tidak ada kejadian pada interval waktu yang kecil
.
(peluang ada kejadian pada interval waktu yang kecil
.
2.11 Proses Poisson
Definisi 2.13: Proses Poisson (stationary independent increments)
Suatu proses menghitung {
parameter
i.
jika memenuhi:
} dikatakan proses Poisson dengan
16
ii. Proses mempunyai kenaikan bebas stasioner (stationary independent
increments)
iii.
iv.
(S. Osaki, 1992)
Peluang bahwa ada
untuk
kejadian yang terjadi pada interval
berlaku,
⌋, dari definisi 2.13,
∑
karena proses Poisson stationer, maka
untuk sebarang
.
Definisi 2.14: Proses Poisson (independent increments)
Suatu proses menghitung {
parameter
jika memenuhi:
} dikatakan proses Poisson dengan
i.
ii. Proses mempunyai kenaikan bebas (independent increments)
iii. Peluang ada
kejadian dalam interval waktu :
(S. Osaki, 1992)
17
maka
[
[
]
[
]
]
Teorema 1:
Jika jumlah kegagalan mengikuti distribusi Poisson maka suatu variabel random
waktu antar kegagalan mengikuti distribusi eksponensial.
Fungsi peluang distribusi Poisson dengan parameter
adalah
Bukti:
f(t) = fungsi densitas peluang dari interval waktu t antar pemunculan kejadian
yang berurutan,
.
F(t) = fungsi distribusi kumulatif dati t
Jika suatu variabel random waktu antar kedua kegagalan berurutan dimisalkan T,
maka:
{
}
{
}
18
∫
atau menggunakan F(t) sebagai fungsi distribusi kumulatif dari T diperoleh:
{
}
maka fungsi densitasnya adalah
{
Dari fungsi densitas distribusi eksponensial dengan parameter
diatas, maka
diperoleh fungsi pembangkit momen:
∫
∫
]
E(T) diperoleh dari turunan pertama fungsi pembangkit momen, sehingga:
maka:
(
)
19
Jadi waktu kegagalan yang berurutan mengikuti distribusi eksponensial dengan
rata-rata dan varian
.
2.12 Distribusi Gamma
Peubah acak
dikatakan berdistribusi Gamma, jika dan hanya jika fungsi
densitasnya berbentuk:
{
Peubah acak
Peubah acak
yang berdistribusi gamma disebut juga peubah acak gamma.
yang berdistribusi gamma dapat dinotasikan dengan
artinya peubah acak
Peubah acak
berdistribusi gamma dengan parameter
yang berdistribusi Gamma dengan parameternya
,
dan .
dan
bisa juga
ditulis sebagai:
Berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit
momen untuk distribusi Gamma adalah:
∫
∫
∫
20
∫
∫
∫
∫
Misalnya:
, maka
Batas-batas: Untuk
, maka
Untuk
, maka
∫ (
sehingga
)
∫
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah
21
2.13 Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
dan
.
Fungsi Densitas Eksponensial:
{
( )
Fungsi distribusi kumulatif distribusi Eksponensial adalah:
∫
∫
∫
]
Fungsi tahan hidupnya adalah
Fungsi kegagalannya adalah
dengan adalah rata-rata waktu kegagalan dan t adalah waktu percobaan.
22
Berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit
momen untuk distribusi Eksponensial adalah:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Misalkan:
( )
( )
( )
23
Maka:
∫
∫
]
]
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Eksponensial adalah
.
2.14 Distribusi Khi-Khuadrat
Distribusi Khi-kuadrat merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
dan
.
24
Fungsi Densitas Khi-Kuadrat
Peubah Acak X dikatakan berdistribusi Khi-kuadrat, jika dan hanya jika fungsi
densitasnya berbentuk :
{
Peubah acak X yang berdistribusi khi-kuadrat disebut juga peubah acak khikuadrat. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat adalah
, artinya peubah acak
. Peubah acak
berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
yang berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
bisa
juga ditulis sebagai:
Berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit
momen untuk distribusi Khi-kuadrat adalah:
∫
∫
∫
∫
∫
25
∫
∫
Misalkan:
, maka
Batas-batas: Untuk
, maka
Untuk
, maka
∫
∫
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Khi-kuadrat adalah
.
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Akademik 2013/2014,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2
Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara
sistematis yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan
informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini, kemudian
melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menjelaskan teori yang telah didapat.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1.
Menentukan model data kegagalan dipercepat Distribusi Eksponensial
a.
Fungsi distribusi kumulatif
b.
Fungsi densitas peluang
c.
Fungsi kegagalan
27
2.
Menentukan model UHD (Uji Hidup Dipercepat) untuk data tersensor
tipe II berdistribusi eksponensial.
a.
Mencari fungsi peluang bersama t1 ≤ … ≤ tr ≤ yr+1 ≤ … ≤ yn
b.
Menentukan fungsi peluang bersama parameter
dan
dimana
merupakan rata-rata kegagalan dibawah kondisi normal dan
merupakan percepatan linear kondisi normal terhadap kondisi
dipercepat.
c.
Menduga parameter
dan
dengan menggunakan metode
maksimum likelihood.
3.
Menduga selang kepercayaan untuk rata-rata waktu tahan hidup
dipercepat suatu sistem yang berdistribusi Eksponensial.
4.
Aplikasi UHD tegangan bertingkat parsial sampel lengkap berdistribusi
Eksponensial pada pengujian sistem wireless
a.
Uji kecocokan data dengan distribusi Eksponensial
b.
Inferensi statistik UHD tegangan bertingkat pada pengujian sistem
wireless
c.
5.
Interval konfidensi
100% untuk ̂
Simulasi selang pendugaan ̂ dengan data Generating Eksponensial
( ̂=749,4 dan n=25).
BAB V
KESIMPULAN
Dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, maka diperoleh
kesimpulan sebagai berikut:
1. Model uji hidup dipercepat adalah:
2. Rata-rata waktu kegagalan pada kondisi dipercepat bertingkat dinotasikan
dengan θs dan percepatan liniernya dinotasikan dengan
̂
̂
∑
adalah:
̂
∑
dengan derajat bebas 2r, interval konfidensi (1-α)100% untuk ̂ adalah:
̂
3. Berdasarkan aplikasi yang telah dilakukan menggunakan data sistem
wireless diperoleh nilai ̂=749,4 dengan batas bawah sebesar 462,59 dan
batas atas sebesar 1562,88. Simulasi Generate data berdistribusi
Eksponensial dengan ulangan sebanyak 1000 kali diperoleh rata-rata nilai
̂=737,25 dengan rata-rata batas bawah sebesar 431,14 dan batas atas
sebesar 1537,54. Selang kepercayaan yang tidak memuat parameter
sebanyak 36 atau
diantara nilai 0,03-0,07.
0,036 sehingga tidak terjadi bias karena berada
DAFTAR PUSTAKA
Abadyo dan Hendro Permadi. 2005. Metode Statistika Praktis. Malang: UM Press.
Bain, L.J and Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and Mathematical
Statistics. 2nd ed. California: Duxbury Press.
Herrhtanto, Nar. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Bandung: CV.YRAMA
WIDYA.
http://www.goodreads.com/author/show/1472011.Shunji_Osaki/process.poisson
diakses pada 19 mei 2013
Lawless, J. F. 1982.Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Canada:
John Wiley & Sons, Inc.
Lawless, J.F. 2003. Statistical Model and Methods for Lifetime Data. 2nd ed.
New Jersey: John Wiley and Sons Inc.
Shinha, S.K and Kale, B.K. 1980. Life Testing and Reliability Estimation. New
Delhi: WILEY EASTERN LIMITED.
Walpole, Ronald E. 1993. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: Gramedia
Pustaka Utama.
Zanzawi, S.2003.Suatu Studi Tentang Uji Hidup Dipercepat Tegangan
Bertingkat: Perkembangan Mutakhir, Jurnal Matematika, Sains Teknologi,
Volume 4.