Uji Perbandingan Rata Rata 2 Populasi

Pengujian Pembandingan
Rata-Rata Dua Populasi

Gambaran Umum
• Dua populasi ingin dibandingkan rata-ratanya.
• Contoh acak diambil dari masing-masing
populasi.
• Menggunakan contoh acak yang berasal dari
x1
populasi pertama diperoleh nilai rata-rata dan
dari contoh acak kedua diperoleh nilai rata-rata
x2

• Pembandingan bisa melibatkan salah satu dari
dua kasus berikut:
– Contoh Saling Bebas
– Contoh Berpasangan

Saling Bebas atau Berpasangan?
• Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan bermaksud
mengevaluasi dan membandingkan motivasi pengembangan

diri guru di sekolah dasar negeri dan sekolah dasar swasta.
• Untuk tujuan tersebut, seratus orang guru dari sekolah
negeri dan seratus orang guru dari sekolah swasta
dilibatkan.
• Setiap orang guru diwawancarai oleh psikolog terlatih untuk
dinilai tingkat motivasi pengembangan dirinya.

Saling Bebas atau Berpasangan?
• Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan bermaksud
mengevaluasi dan membandingkan motivasi
pengembangan diri guru sekolah dasar, sebelum dan
sesudah penerapan sertifikasi guru.
• Sebanyak seratus orang terlibat dan diamati
motivasinya beberapa bulan sebelum penerapan
program sertifikasi. Selanjutnya, guru-guru yang sama
kemudian diamati kembali satu tahun setelah
penerapan program sertifikasi.

Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi
1 ??? 2

Kasus Dua Contoh Saling
Bebas

– Setiap populasi diambil
contoh acak berukuran
tertentu (bisa sama, bisa
juga tidak sama)
– Pengambilan kedua contoh
saling bebas
– Tujuannya adalah menguji
apakah parameter 1 sama
dengan parameter 2

Populasi I
X~N(1,12)

Populasi II
X~N(2,22)

Acak dan
saling bebas

Contoh I
(n1)

Contoh II
(n2)

Bentuk Hipotesis
• Hipotesis
– Hipotesis satu arah (One-Tail Hypothesis)
H0: 1- 2  0 vs H1: 1- 2 < 0
H0: 1- 2  0 vs H1: 1- 2 > 0
– Hipotesis dua arah (Two-Tail Hypothesis)
H0: 1- 2 = 0 vs H1: 1- 2  0

Bentuk Hipotesis
• Jika 0 = 0
– Hipotesis satu arah (One-Tail Hypothesis)

H0: 1  2 vs H1: 1 < 2
H0: 1  2 vs H1: 1 > 2
– Hipotesis dua arah (Two-Tail Hypothesis)
H0: 1 = 2 vs H1: 1  2

Statistik Uji

( x1  x2 )   0
th 
s( x1  x2 )

Jika diasumsikan ragam kedua populasi sama besar atau 21 = 22

s x1  x2  s g

1 1
(n1  1) s12  (n2  1) s22

dengan s g 
n1 n2

n1  n2  2

Jika diasumsikan ragam kedua populasi tidak sama besar atau 21  22

s x1  x2 

s12 s22


n1 n2

• Daerah kritis pada taraf nyata ()
– Pada prinsipnya sama dengan kasus satu contoh,
dimana daerah penolakan H0 sangat tergantung
dari bentuk hipotesis alternatif (H1) dan statistik uji
H1: 1- 2 0  Tolak H0 jika th > t(; db)(tabel)
H1: 1- 2 0  Tolak H0 jika |th | > t(/2; db)(tabel)

Derajat Bebas Pengujian
Jika diasumsikan ragam kedua populasi sama besar

atau 21 = 22
Derajat bebas = n1 + n2 – 2
Jika diasumsikan ragam kedua populasi sama besar
atau 21  22
( s12 / n1  s22 / n2 ) 2
db  2
( s1 / n1 ) 2 ( s22 / n2 ) 2

(n1  1)
(n2  1)
(buang nilai desimalnya)

Teladan
PT MultiKertas mengklaim bahwa kertas produksinya lebih
baik dari pada produk PT Kertasku, dalam artian lebih tahan
dan kuat menahan beban. Guna memeriksa hal tersebut,
dilakukan pengukuran kekuatan kertas yang dipilih acak
masing-masing sebanyak 10 lembar dari kedua perusahaan
tersebut. Data yang didapatkan adalah sebagai berikut:
Kertasku

30

35

50

45

60

25

45

45

50

40

MultiKertas

50

60

55

40

65

60

65

65

50

55

Ujilah apakah klaim MultiKertas didukung oleh data dengan
mengasumsikan ragam kedua populasi berbeda dan
menggunakan taraf nyata 10%

Jawab:

– Rata-rata dan ragam kedua contoh:
n x    x 
30  35    40
10(19025) - (425)
x 
42,5
s 

1

10

50  60    55
x2 
56,5
10

2
1

2
2

s 

2

2
1

i

n(n  1)

n x22 

10(9)

 x 
i

n(n  1)

2

2

106.94

10(32525) - (565) 2

66.94
10(9)

– Perbandingan kekuatan karton
• Hipotesis:

–H0: 1  2 vs H1: 1 < 2

• Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan
12  22 )
( x1  x2 )   0

42.5  56.5  0
th 

 3.36
2
2
106.94 / 10  66.94 / 10
( s1 / n1 )  ( s2 / n2 )
( s12 / n1  s22 / n2 ) 2
(106.94 / 10  66.94 / 10) 2
db  2

2
2
2
( s1 / n1 ) /(n1  1)  ( s2 / n2 ) /(n2  1) (106.94 / 10) 2 / 9  (66.94 / 10) 2 / 9
17.10 17

• Daerah kritis pada taraf nyata 10%:

Tolak H0 jika th 0
–Hipotesis dua arah:
H0: D = 0 vs H1: D0
(catatan D adalah selisih dari kedua pengukuran, D= difference)

Proses Analisis
Contoh 1 (X1)

Contoh 2 (X2)

Selisih (D)

x11

x21

D1

x12

x22

D2

x13

x23

D3

x1n

x2n

Data yang
dikumpulkan

Dn

Data yang
selanjutnya
diuji

Pandang
seperti dalam
pengujian
hipotesis ratarata satu
populasi

• Ilustrasi

Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet,
kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti
program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat
badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu:
Berat Badan

Peserta
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Sebelum (X1)

90

89

92

90

91

92

91

93

92

91

Sesudah (X2)

85

86

87

86

87

85

85

87

86

86

D=X1-X2

5

3

5

4

4

7

6

6

6

5

Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan lebih
dari 5 kg? Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!

Jawab:
• Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan,
maka:
• Hipotesis:

H0 : D  5 vs H1 : D > 5

• Deskripsi:
d

d
n

i

51
 5.1
10

• Statistik uji:

sd2 

2
i

n d 

 d 

2

i

n(n  1)

sd  1.43 1.20
t

d  d
5.1  5

0.26
sd
1.20 / 10
n

10(273)  (51) 2

1.43
10(9)

• Daerah kritis pada =5%
Tolak H0, jika th > t(=5%,db=9)= 1.833

• Kesimpulan:
Terima H0, artinya data tidak mendukung hipotesis
bahwa program diet tersebut dapat mengurangi
berat badan lebih dari 5 kg

Uji Kesamaan Ragam
Dua Populasi
• Pengujian pembandingan rata-rata dua
populasi mengasumsikan kesamaan atau
ketidaksamaan ragam.
• Jika tidak ada alasan untuk membuat asumsi,
diperlukan pengujian terlebih dahulu untuk
melihat apakah kedua populasi dapat dikatakan
memiliki ragam yang sama atau sebaliknya.

Uji Kesamaan Ragam
Dua Populasi
• Bentuk Hipotesis:
H0: 12 = 22
H1: 12  22

• Statistik uji :

f hit

max(s12 , s 22 )

min(s12 , s 22 )

~ f  db1 n1  1;db2 n 2  1

• Tolak H0 jika fhit > F, dengan db1 = n1-1, db2 = n2 - 1

Teladan

Rata-rata hasil biomassa kedua penyinaran

berbeda nyata (significantly different)
Berbeda nyata secara statistik