29
4.1.3 Algoritma Gibbs sampling
Algoritma Gibbs sampling bisa diterapkan jika distribusi probabilitas bersama dari parameternya tidak diketahui, tetapi distribusi bersyarat dari tiap-tiap
parameternya dapat diketahui. Distribusi posterior parameter model INAR1 tidak dapat diketahui, maka akan ditentukan distribusi posterior bersyarat penuh dari
masing-masing parameter. Jika diketahui 2|
∝ 2 1
− 2 ,
maka distribusi posterior bersyarat penuh dari dapat dihitung dari persamaan 4.4
sebagai berikut. |2,
= 2, |
2| ∝
exp −
+ − 1 2
1 − 2
∏ ∑
− 2 1 − 2
2 1
− 2 = exp
− +
− 1 −
2 1 − 2 4.5
Distribusi bersyarat penuh dari tersebut merupakan kombinasi linier dari fungsi
densitas gamma. Jika diketahui
| ∝ exp −
+ − 1
distribusi posterior bersyarat penuh dari 2 dapat dihitung dari persamaan 4.4
sebagai berikut. 2|,
= 2, |
|
∝ exp
− +
− 1 2 1
− 2 ∏
∑ −
2 1 − 2 exp
− +
− 1 =
2 1
− 2 ∏
∑ 2 1 − 2
4.6
30 Distribusi bersyarat penuh dari
2 tersebut merupakan kombinasi linier dari fungsi densitas beta.
Distribusi posterior bersyarat penuh dari masing-masing parameter model INAR1 dapat diketahui. Oleh karena itu algoritma Gibbs sampling dapat diterapkan.
Nilai awal yang digunakan dalam Gibbs sampling adalah hasil estimasi parameter metode CLS. Menurut Brannas 1994, jika
adalah model INAR1 dengan parameter
= {2, }, maka rata-rata bersyarat dari X adalah |
= 2
+ .
Estimator CLS dari θ diperoleh dengan meminimalkan Q θ terhadap θ, dengan
= − 2
− . Estimator CLS dari parameter
dapat diperoleh sebagai berikut 2 =
∑ − ∑
∑ ∑
− ∑ =
∑ − 2 ∑
. Berikut adalah algoritma Gibbs sampling dari model INAR1.
1. Mengambil nilai 2 ,
2. Mencari nilai 2 dari 2| ,
3. Menggunakan nilai 2 untuk mencari dari |2 ,
4. Mencari nilai 2 dari 2| ,
5. Menggunakan nilai 2 untuk mencari dari |2 ,
. . . . . .
. . . 6.
Mencari nilai 2 dari 2| , 7.
Menggunakan nilai 2 untuk mencari dari |2 ,
31
4.1.4 Algoritma ARS
Distribusi posterior bersyarat penuh untuk 2 dan adalah log-concav jika
memenuhi: a.
′ 2|, 2|, adalah monoton turun pada 0, 1. b.
′ |2, |2, adalah monoton turun pada 0, ∞. c.
ln |2, 0 dan ln 2|,
0. Algoritma ARS untuk parameter
2 adalah sebagai berikut. 1.
Langkah Inisialisasi Diasumsikan
2|, kontinu dan terdiferensiasi dalam domain D yaitu 0, 1. Didefinisikan h
2|, =ln 2|, dan h2|, konkav disetiap D. Sebelum menerapkan algoritma ARS, pertama yang harus dilakukan adalah
mengevaluasi h 2|, dan h’2|, pada 2
1
≤ 2
2
≤…≤ 2
k
Î
D. Menginisialisasikan absis dalam T
k
, dengan T
k
= {
2
1
,
2
2
, …,
2
k
}, kemudian mendefinisikan fungsi envelope,
2|,
, yang merupakan batas atas dari garis singgung h
2|,
dan mendefinisikan fungsi squeezing,
2|,
, yang merupakan batas bawah dari garis singgung h
2|,
, dan dapat digambarkan dalam Gambar 4.1.
Gambar 4.1. Fungsi densitas log-konkav, dengan batas atas dan batas bawah yang didasarkan pada tiga titik absis
2 , 2 , 2
: hα : batas atas
: batas bawah
α
1
α
2
α
3
32 Garis singgung pada
2
j
dan
2
j+1
berpotongan di titik =
2 |, − 2 |,
−
2
+1
′ 2 |, +
2
′ 2 |, ′ 2 |,
− ′ 2 |, dengan j = 1, . . . ., k-1 dan
adalah batas bawah dari D, adalah batas atas
dari D. Fungsi batas atas dapat didefinisikan sebagai berikut. 2|,
= 2 |,
+ 2 − 2 ′ 2 |,
dengan 1 ∈ [
, ]. Fungsi batas bawah dapat didefinisikan sebagai berikut.
2|, =
2 − 2 2 |,
+ 2 − 2 2 |,
2 − 2
dengan 2 ∈ [2 , 2
+1
]. 2.
Langkah Penyampelan Mengambil sampel
2
dari s
k
2|,
, dengan
2|, =
exp 2|,
exp 2|,
2 ,
dan mengambil sampel u dari distribusi uniform 0,1. a
Uji squeezing Jika
≤ exp
2
∗
| ,
−
2
∗
| ,
, maka
2
∗
diterima, jika tidak maka mengevaluasi
2
∗
| ,
dan
2
∗
| ,
kemudian dilakukan uji rejection. b
Uji rejection Jika
≤ exp{
2
∗
| ,
−
2
∗
| ,
}, maka
2
∗
diterima, jika tidak maka
2
∗
ditolak. 3.
Langkah Pembaruan Jika
2
∗
| ,
dan
2
∗
| ,
dievaluasi dalam setiap langkah penyampelan, maka memasukkan nilai
2
∗
ke dalam T
k
untuk membentuk T
k+1
. Merekonstruksikan fungsi
2
∗
| ,
,
2
∗
| ,
, dan
2
∗
| ,
dari T
k+1
yang digunakan untuk iterasi selanjutnya.
33 Langkah-langkah dalam algoritma ARS tersebut diulang sampai n iterasi hingga
diperoleh rata-rata
2
∗
yang konvergen. Algoritma yang sama digunakan dalam penentuan
dengan mengganti unsur 2 dengan .
4.1.5 Algoritma ARMS dalam Gibbs sampling.
Kategori