SKRIPSI ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN METODE LINEARISASI (METODE DERET TAYLOR)

  SKRIPSI ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN METODE LINEARISASI (METODE DERET TAYLOR) JULISTRIA PUTRI G1D011014 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS MATARAM 2015

  SKRIPSI ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN METODE LINEARISASI (METODE DERET TAYLOR) THE ESTIMATION OF

2 PARAMETER WEIBULL DISTRIBUTION PARAMETER USING LINEARIZATION METHOD (TAYLOR SERIES METHOD)

  Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam Ilmu Matematika

JULISTRIA PUTRI G1D011014 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS MATARAM 2015

  

PERNYATAAN

  Dengan ini saya menyatakan bahwa didalam skripsi ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah dituliskan atau dipublikasikan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

  Mataram, Maret 2015 Julistria Putri

  HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN METODE LINEARISASI (METODE DERET TAYLOR) Julistria Putri G1D011014 Telah dipertahankan di depan Tim Komisi Penguji

  pada tanggal 7 April 2015 Susunan

  KOMISI PENGUJI 1. Mustika Hadijati, M.Si.

  (Pembimbing I) 2. Desy Komalasari, M.Si.

  (Pembimbing II) 3. Lailia Awalushaumi, M.Si.

  (Penguji) Mengesahkan, Dekan FMIPA Universitas Mataram, a.n Ketua Program Studi Matematika, Sekretaris Prof. Ir. I Made Sudarma, M. Sc., Ph. D. Mamika Ujianita Romdhini, M.Si. NIP. 19600606 198503 1 032 NIP. 19820710 200501 2 001

  

PRAKATA

  Segala puja dan puji bagi Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat, hidayah, dan kasih sayang-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter

  

Menggunakan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor). Dalam kesempatan

  ini, penulis juga banyak mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam pengerjaan skripsi ini, yaitu kepada :

  1. Kedua orang tua tercinta, atas kegigihan, perjuangan, air mata dalam doa, dan kasih sayangnya selama ini.

  2. Prof. Ir. I Made Sudarma, M.Sc., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Mataram yang telah memberikan kesempatan untuk melaksanakan skripsi ini.

  3. Mamika Ujianita Romdhini, M.Si., selaku Sekretaris Program Studi Matematika FMIPA Universitas Mataram.

  4. Mustika Hadijati, M.Si, selaku Dosen Pembimbing I, yang telah meluangkan banyak waktunya untuk memberikan bimbingan, arahan, dan bantuan tak terhingga kepada penulis, sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

  5. Desy Komalasari, M.Si., selaku Dosen Pembimbing II, atas keikhlasan mengarahkan dan membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal hingga akhir.

  6. Lailia Awalushaumi, M.Si., selaku Dosen Penguji atas kesediaannya menguji tugas akhir ini dan selaku Dosen Pembimbing Akademik, atas motivasi dan dukungan untuk melaksanakan skripsi ini.

  7. Para dosen dan staf tata usaha di Program Studi Matematika, atas ilmu dan bantuannya. Semoga jasa bapak dan ibu tercatat sebagai amal dan pahala di sisi-Nya

  8. Keluarga tercinta, Ibu Sudirah, Sulung Fahrial, Fariz Ragil Ananda, Devi, atas canda tawa, doa serta dukungan dan kasih sayang tak terhingga selama penyelesaian skripsi ini.

  9. Sahabat pejuang skripsi My Cebong (Jannah, Asmita, Fauziah, Indi, Aya’, Uyung, Qori’, Puji) dan seluruh teman-teman math’11 unyu’ yang telah banyak membantu dan selalu mendukung serta memberikan nasehat.

  10. Buat Dinda Family dan Rajib Maulana, atas bantuan dan dukungannya.

  11. Buat seluruh GAMATIKA FMIPA Universitas Mataram yang selalu memberi semangat dan motivasi.

  12. Semua pihak yang membantu dan memberikan dukungan dalam proses penyelesaian tugas akhir ini.

  Penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Semoga bantuan dan bimbingan yang telah diberikan kepada penulis selama penyelesaian skripsi ini mendapat balasan setimpal dari Allah SWT dan dapat memberi manfaat bagi pembacanya. Amin.

  Mataram, Maret 2015 Penulis

  Julistria Putri

  

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................... i

PERNYATAAN .......................................................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................... iii

PRAKATA .................................................................................................. iv

DAFTAR ISI ............................................................................................... vi

DAFTAR GAMBAR ................................................................................... viii

DAFTAR TABEL ....................................................................................... ix

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................... x

  

INTI SARI ................................................................................................... xi

ABSTRACT ................................................................................................ xii

BAB I PENDAHULUAN

  1.1 Latar Belakang ...................................................................... 1

  1.2 Rumusan Masalah .................................................................. 2

  1.3 Tujuan Penelitian ................................................................... 2

  1.4 Manfaat Penelitian ................................................................. 3

  1.5 Batasan Masalah .................................................................... 3

  BAB II TINJAUAN PUSTAKA

  2.1 Analisis Regresi ..................................................................... 4

  2.2 Regresi Nonlinear .................................................................. 4

  2.3 Metode Kuadrat Terkecil dalam Kasus Nonliear .................... 5

  2.4 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor) ............................. 6

  2.5 Asumsi Regresi Nonlinear ..................................................... 8

  2.6 Distribusi Weibull .................................................................. 10

  2.6.1 Uji Mann untuk Distribusi Weibull ............................... 10

  2.7 Matriks .................................................................................. 11

  BAB III METODE PENELITIAN

  3.1 Alat ........................................................................................ 13

  3.2 Sumber Data dan Variabel Penelitian ..................................... 13

  3.3 Langkah-Langkah Penelitian .................................................. 13

  BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

  4.1 Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear ....................................... 17

  4.2 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor) ............................. 20

  4.3 Aplikasi pada Data ................................................................. 21

  4.3.1 Uji Distribusi Data ........................................................ 22

  4.3.2 Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal ..................... 22

  4.3.3 Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor) ................... 24

  4.3.4 Perhitungan Mean dan Variansi .................................... 40

  4.4 Interpretasi Model Regresi Nonlinear ..................................... 41

  BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

  5.1 Kesimpulan ............................................................................ 43

  5.2 Saran ...................................................................................... 44

  

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 45

LAMPIRAN-LAMPIRAN

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman Gambar 3.1 Bagan langkah-langkah penelitian.

  14 Gambar 3.2 Bagan aplikasi data pada proses estimasi dengan metode linearisasi (metode deret Taylor).

  15 Gambar 4.1 Plot ACF error.

  37 Gambar 4.2 Plot kenormalan error.

  38 Gambar 4.3 Plot pencaran titik nilai variabel independen dengan nilai error.

  39 Gambar 4.4 Grafik data kecepatan angin terbesar terhadap peluang Weibull.

  42

  

DAFTAR TABEL

  Halaman Tabel 4.1 Ringkasan hasil iterasi.

  34 Tabel 4.2 Ringkasan hasil iterasi menggunakan SAS 9.

  35 Tabel 4.3 Analisis Varian (ANOVA).

  35 Tabel 4.4 Uji t.

  39

DAFTAR LAMPIRAN

  Lampiran 1 : Data kecepatan angin terbesar perbulan di wilayah Nusa Tenggara Barat tahun 2009-2014. Lampiran 2 : Perhitungan uji Mann untuk kecepatan angin. Lampiran 3 : Perhitungan pendugaan nilai awal parameter. Lampiran 4 : Hasil estimasi parameter menggunakan program SAS 9. Lampiran 5 : Pemeriksaan asumsi regresi nonlinear. Lampiran 6 : Perhitungan peluang kumulatif data kecepatan angin.

  ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN METODE LINEARISASI (METODE DERET TAYLOR)

  JULISTRIA PUTRI

  INTISARI

  Estimasi parameter adalah sebuah prosedur untuk mencari parameter dari sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamatan yang ada. Dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter, probability density

  function (pdf) dapat dilihat sebagai suatu model persamaan regresi dengan bentuk

  persamaan nonlinear, sehingga estimasi parameter distribusi sama artinya dengan estimasi parameter regresi nonlinear. Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi nonlinear adalah metode linearisasi (metode deret Taylor). Tujuan penelitian ini adalah melakukan estimasi dan menerapkannya dalam memodelkan data kecepatan angin terbesar per bulan di wilayah NTB. Berdasarkan hasil analisis yang telah dilakukan, estimasi parameter regresi nonlinear menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor) diperoleh nilai parameter = 4.4779 dan = 17.7524 dengan nilai MSE = 0.00269 dan

  = 0.99216 . Didapatkan model dengan persamaan regresi nonlinear sebagai berikut

  .

  4.4779 . = .

  17.7524 − 17.7524 Kata Kunci : Estimasi parameter, distribusi Weibull 2 parameter, regresi nonlinear, metode linearisasi (detode deret Taylor).

THE ESTIMATION OF

2 PARAMETER WEIBULL DISTRIBUTION PARAMETER USING LINEARIZATION METHOD (TAYLOR SERIES METHOD)

  JULISTRIA PUTRI

  ABSTRACT

  Parameter estimation is a procedure to find the parameters of a model that is best suited to an existing observational data. In estimating parameters the Weibull distribution 2 parameters, probability density function (pdf) an be seen as a regression model with the form of nonlinear equations, so the distribution parameter estimation synonymous with nonlinear regression parameter estimates. The method used to estimate the parameters of nonlinear regression model is a method of linearization (Taylor series method). The purpose of this study was to estimate and implement them in modeling largest wind speed data per month in NTB. Based on analysis result that have been done, a nonlinear regression parameter estimation using linearization method (Taylor series method) obtained value of the parameter = 4.4779 and = 17.7524 with MSE = 0.00269 and

  = 0.99216. Obtained models with nonlinear regression equation as follows .

  4.4779 . = .

  17.7524 − 17.7524 Keywords: Parameter estimation, 2 parameter Weibull distribution, nonlinear regression, linearization method (Taylor series method).

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

  Estimasi parameter adalah sebuah prosedur untuk mencari parameter dari sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamatan yang ada. Masalah estimasi menjadi hal yang penting yang dikaji dalam suatu distribusi tertentu.

  Dalam statistika, distribusi probabilitas dapat dibagi dalam dua jenis distribusi, yaitu distribusi variabel acak kontinu dan distribusi variabel acak diskrit. Salah satu distribusi variabel acak kontinu adalah distribusi Weibull 2 parameter yang merupakan pengembangan dari dua distribusi yaitu distribusi Rayleigh dan distribusi Eksponensial. Distribusi Weibull 2 parameter ini banyak digunakan dalam merepresentasikan kecepatan dan distribusi angin, dimana angin sebagai sumber energi yang tidak dapat dikendalikan keberadaannya dan memiliki fluktuasi yang dapat didekati dengan pendekatan probabilistik. Selain itu juga karena cakupannya yang begitu luas dalam keserbagunaan, fleksibilitas dan kemanfaatannya dalam menggambarkan variasi kecepatan angin (Olaofe, 2012). Distribusi lain yang mempunyai aplikasi yang sama dalam merepresentasikan data kecepatan angin adalah distribusi Rayleigh, distribusi Eksponensial, distribusi Gamma, distribusi Lognormal dan distribusi Gaussian.

  Penggunaannya yang sangat luas dalam studi energi angin dan pendekatannya yang dianggap cocok untuk memodelkan kecepatan angin menjadi hal yang penting dalam mengkaji distribusi Weibull 2 parameter ini, yaitu dalam mengkaji masalah estimasi parameternya. Probability density function (pdf) yang merupakan suatu fungsi yang menyatakan nilai kemungkinan terjadinya kejadian tertentu, dapat dilihat sebagai suatu model regresi sehingga estimasi parameter distribusi sama artinya dengan estimasi parameter regresi. Probability density

  

function (pdf) distribusi Weibull 2 parameter merupakan persamaan nonlinear,

maka model regresinya adalah model regresi nonlinear.

  Dalam mengestimasi parameter model regresi nonlinear, salah satu metode yang biasa digunakan adalah kuadrat terkecil nonlinear. Metode kuadrat terkecil nonlinear merupakan metode kuadrat terkecil dalam kasus (intrinsik) nonlinear, yang digunakan untuk menduga parameter model dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat sisaan. Secara konseptual metode kuadrat terkecil nonlinear sama dengan metode kuadrat terkecil pada model regresi linear, namun pada kenyataannya metode kuadrat terkecil nonlinear tidak mudah untuk dapat dikerjakan secara analitik, maka diperlukan metode untuk mengestimasi parameter model regresi nonlinear yaitu salah satunya adalah metode linearisasi (metode deret Taylor).

  Berdasarkan uraian di atas, maka dalam penelitian ini dilakukan suatu kajian mengenai estimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan metode linearisasi (metode deret Taylor) dan memodelkan data kecepatan angin terbesar per bulan di Nusa Tenggara Barat.

  1.2 Rumusan Masalah

  Berdasarkan uraian latar belakang penelitian maka dapat dirumuskan masalah sebagai berikut:

  1. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor)?

  2. Bagaimana penerapannya dalam memodelkan data kecepatan angin terbesar per bulan di Nusa Tenggara Barat yang berdistribusi Weibull 2 parameter?

  1.3 Tujuan

  Berdasarkan rumusan masalah di atas, penelitian ini memiliki tujuan sebagai berikut:

  1. Mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor).

  

2

  2. Menerapkannya dalam memodelkan data kecepatan angin terbesar per bulan di Nusa Tenggara Barat yang berdistribusi Weibull 2 parameter.

  1.4 Manfaat

  Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat untuk menambah wawasan tentang regresi nonlinear khususnya dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor) dan menambah referensi apabila ingin mengembangkan ilmu regresi.

  1.5 Batasan Masalah

  Adapun batasan masalah dalam penelitian ini adalah estimasi parameter menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor) yang dibatasi sampai turunan pertama.

  

3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA Analisis Regresi

  2.1 Analisis regresi adalah teknik analisis yang mencoba menjelaskan bentuk

  hubungan antara variabel-variabel yang mendukung sebab akibat. Prosedur analisisnya didasarkan atas distribusi probabilitas bersama variabel-variabelnya. Secara umum, dapat dikatakan bahwa analisis regresi berkenaan dengan mempelajari ketergantungan suatu variabel, yaitu variabel tak bebas (dependent

  

variable) pada satu atau lebih variabel yang lain, yaitu variabel bebas

(independent variable) dengan maksud menduga dan atau meramalkan nilai rata-

  rata hitung (mean) atau rata-rata (populasi) dari variabel tak bebas (Firdaus, 2004).

  Tujuan utama dari analisis regresi adalah mendapatkan dugaan

  

(estimation) dari suatu variabel dengan menggunakan variabel lain yang

  diketahui. Analisis regresi dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu regresi linear dan regresi nonlinear. Namun yang dibahas dalam penelitian ini adalah regresi nonlinear.

  Regresi Nonlinear

  2.2 Regresi nonlinear mengandung parameter yang bersifat nonlinear, dimana

  turunan persamaan terhadap salah satu parameter adalah fungsi dari parameter lain (masih mengandung parameter itu sendiri). Model regresi nonlinear merupakan bentuk hubungan antara variabel tak bebas (dependent variable) dengan variabel bebas (independent variable) yang tidak linear dalam parameter. Secara umum model nonlinear ditulis sebagai berikut:

  (2.1) = ( ; ) + dengan adalah fungsi ekspektasi, adalah variabel bebas dan adalah parameter (Bates dan Watts, 1988).

2.3 Metode Kuadrat Terkecil dalam Kasus Nonlinear

   Model nonlinear yang dipostulat dengan bentuk:

  (2.2) = ( ; ) + dengan asumsi ( ) = 0, ( ) = dan ~ (0, ) maka jumlah kuadrat sisa untuk model nonlinear di atas didefinisikan sebagai berikut:

  (2.3) ( ) = ∑ { − ( ; )} (Gallant, 1987).

  Bila terdapat sebanyak n amatan data, maka persamaan (2.2) menjadi (2.4)

• = , , … , ; , , … , untuk = 1,2, … , dapat dituliskan dalam bentuk alternatifnya

  (2.5) = ( ; ) + dengan adalah galat ke = 1,2, … , dengan asumsi kenormalan galat dapat dituliskan sebagai ∼ ( , ).

  = ∼ ( , ) ⋮ (Karim, 2009).

  Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi akan dilambangkan dengan . Nilai dugaan ini adalah nilai yang meminimumkan ( ). Untuk mendapatkan nilai dugaan kuadrat terkecil yaitu dengan mendiferensialkan persaman (2.3) terhadap , sehingga mempunyai bentuk

  ( ) ( ; )

  (2.6) = ∑ (−2){ − ( ; )} −

  ( ; )

  (2.7) ∑ { − ( ; )} = 0

  Persamaan (2.7) disebut persamaan normal untuk model nonlinear yang merupakan hasil estimasi parameter (Draper dan Smith, 1992).

  Model nonlinear seringkali tidak dapat diselesaikan secara analitik, maka perlu dilakukan metode iterasi untuk menduga parameter di dalam suatu sistem nonlinear.

  Pada sebagian masalah nonlinear, cara yang sering dilakukan dan ternyata berhasil adalah menuliskan persamaan normal secara terperinci dan mengembangkan suatu teknik iteratif untuk memecahkannya bergantung pada persamaan normalnya dan metode iterasi yang digunakan dalam memperoleh taksiran parameter, diantaranya adalah metode linearisasi (metode deret Taylor), metode turunan terjal (Stepest descent) dan metode jalan tengah Marquadrt (Marquadrt’s compromise).

2.4 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)

  Metode linearisasi menggunakan hasil dari kuadrat terkecil dalam beberapa tahap. Misalkan model yang ditentukan berbentuk: (2.8)

  = ( ; ) + Dan , , … , adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter , , … . Nilai-nilai awal itu merupakan taksiran kasar atau mungkin pula nilai-nilai dugaan awal berdasarkan informasi yang tersedia, misalnya perkiraan berdasarkan informasi yang diperoleh dari perhitungan lain yang serupa atau yang diperkirakan benar oleh peneliti berdasarkan pengalaman dan pengetahuannya.

  Nilai-nilai awal itu diharapkan akan diperbaiki dalam proses iterasi (Draper dan Smith, 1992).

• ^{( )}

  Maka persamaan (2.10) dapat dituliskan sebagai berikut − = ∑ +

  ( )

  ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

  ⋮ ⋮

  ⋮ ⋯

  ⋮ ⋯

  ⋮ ⋮

  ⋮ ⋮

  … …

  ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡

  , = 1,2, … dengan cara menerapkan teori kuadrat terkecil sebagai berikut = ⟨ ⟩ =

  (2.11) Persamaan (2.11) merupakan persamaan regresi linear. Oleh karena itu dapat ditaksir parameter-parameter

  ( ; )

  Bentuk deret Taylor adalah sebagai berikut: (

  = − =

  Bila ditetapkan = ( ; )

  ( − ) (2.10)

  ( ; )

  ( ; ) = ( ; ) + ∑

  Bila dilakukan penguraian deret Taylor bagi ( ; ) disekitar titik = ( , , … , ) dan penguraian sampai turunan pertama, maka dapat dikatakan bahwa bila dekat pada maka :

  ( − ) (2.9)

  ( ) !

  ( − ) + ⋯

  ( ) !

  ) = ( ) + ( )( − ) +

  (2.12)

  ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  (2.13) = = =

  ⎢ ⎥ ⋮

  ⋮ ⎢ ⎥

  ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  ⎣ ⎦ ⎡ − ⎤

  − ⎢ ⎥

  ⋮ ⎢ ⎥

  (2.14) = ⟨ − ⟩ =

  − ⎢ ⎥

  ⋮ ⎢ ⎥ ⎣ − ⎦

  Maka taksiran bagi diberikan oleh = ( ) ( − ) dengan demikian vektor akan meminimumkan jumlah kuadrat galat.

  (2.15) ( ) = ∑ − ( , ) − ∑ (Karim, 2009).

  Proses iteratif ini dilanjutkan terus sampai solusi yang diperoleh konvergen, dengan kata lain sampai langkah iterasi dan ( + 1) berlaku (2.16)

  ( ) − / < , = 1,2, … ,

  Dimana adalah suatu bilangan positif yang telah ditetapkan sebelumnya (misalnya 0.000001). Pada setiap tahap prosedur iterasi, sebaiknya ( ) dihitung untuk melihat apakah terjadi penurunan nilainya (Draper dan Smith, 1992).

2.5 Asumsi Regresi Nonlinear

  Untuk melakukan analisis regresi linear maupun nonlinear yang benar berdasarkan metode kuadrat terkecil, maka diperlukan asumsi-asumsi dasar yang sering disebut dengan asumsi klasik yang harus dipenuhi diantaranya adalah:

  1. Asumsi independen Untuk menguji error independen yaitu dengan melihat plot ACF nya. Jika nilai autokorelasi berada dalam batas selang kepercayaan dari korelasi

  , maka korelasi bernilai 0 atau dapat yang telah ditentukan yaitu − ,

  √ √

  dikatakan tidak ada korelasi, jadi error independen (Bates dan Watts, 1988).

  2. Asumsi kenormalan Uji normalitas bertujuan untuk menguji apakah variabel error berdistribusi normal atau tidak dalam model regresi tersebut. Pengujian normalitas data dilakukan dengan menggunakan metode chart (normal P-Plot). Jika pada grafik normal P-Plot data mengikuti garis lurus maka dapat dikatakan berdistribusi normal (Gujarati, 1999).

  3. Asumsi identik Uji asumsi identik bertujuan untuk menguji adanya gejala homoskedastisitas yaitu varian variabel error homogen, yang dilakukan dengan cara mengamati scatter plot di mana sumbu horizontal menggambarkan nilai variabel independen sedangkan sumbu vertikal menggambarkan nilai error. Jika pada scatter plot membentuk pola tertentu maka terjadi heteroskedastisitas pada model regresi yang terbentuk. Sebaliknya jika pada scatter plot menyebar secara acak maka tidak terjadi heteroskedastisitas atau memenuhi homoskedastisitas. Uji heteroskedastisitas dapat juga dilakukan dengan uji Glejser yaitu dengan meregresikan semua variabel independen terhadap nilai mutlak errornya.

  Jika terdapat pengaruh variabel independen yang signifikan terhadap nilai mutlak errornya maka dalam model terdapat masalah heterokedastisitas (Suliyanto, 2011).

2.6 Distribusi Weibull

  Distribusi Weibull telah secara luas digunakan untuk beberapa kejadian acak. Prinsip utilitas distribusi Weibull adalah menghasilkan sebuah pendekatan yang baik untuk hukum probabilitas dari beberapa variabel random (Hines dan Montgomery, 1989).

  

Probability density function (pdf) yang merupakan suatu fungsi yang menyatakan

  nilai kemungkinan terjadinya kejadian tertentu dari distribusi Weibull diberikan sebagai: (2.17)

  ( | , ) = − ; ≥ 0, , > 0

  

Cumulative density function (cdf) yang menyatakan probabilitas terjadinya

  kejadian sampai kejadian tertentu dari distribusi Weibull diberikan sebagai berikut: (2.18)

  ( | , ) = ∫ ( | , ) = 1 − − (Rinne, 2009).

  Misalkan X variabel acak berdistribusi Weibull dengan parameter dan , maka (2.19)

  ( ) = Γ 1 + (2.20)

  ( ) = Γ 1 + − Γ 1 + (Hines dan Montgomery, 1989).

2.6.1 Uji Mann untuk Distribusi Weibull

  Untuk menguji data berdistribusi Weibull, hipotesa dalam uji Mann adalah: (Ebeling, 1997)

  : Data berdistribusi Weibull. : Data tidak berdistribusi Weibull.

  . Nilai F Wilayah kritis untuk uji ini adalah terima apabila <

  ( , , ) ini diperoleh dari tabel distribusi F.

  Uji statistik untuk uji Mann adalah

  ∑

  (2.21) =

  ∑

  Dimana = dan = = − . = − 1 − . Dengan keterangan sebagai berikut:

  = Nilai pendekatan Mann untuk data ke- = Banyaknya data

  = Data ke- (data kecepatan angin yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar)

2.7 Matriks Berikut adalah beberapa definisi terkait dengan matriks.

  

Definisi 2.1 (Anton dan Rorres, 2004). Sebuah matriks adalah susunan

segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan

tersebut dinamakan entri matriks. Matriks berukuran × dituliskan sebagai

  ⋯ ⋯

  (2.22) = =

  ×

  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

  ⋯ Entri disebut elemen matriks pada baris ke- dan kolom ke- . Jika = , maka matriks tersebut dinamakan matriks bujur sangkar.

  

Definisi 2.2 (Anton, 2000). Jika adalah sebarang matriks × , maka

transpos , dinyatakan dengan , didefinisikan sebagai matriks × yang

didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari yaitu, kolom pertama

dari adalah baris pertama dari , kolom kedua dari adalah baris kedua

dari , dan seterusnya.

  

Definisi 2.3 (Anton dan Rores, 2004). Diberikan adalah matriks bujur

sangkar. Jika terdapat matriks yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga

  = = , maka disebut dapat dibalik (invertible or nonsingular) dan disebut sebagai invers (inverse) dari .

BAB III METODE PENELITIAN

  3.1 Alat

  Alat yang digunakan dalam proses pengolahan data adalah software SAS 9 dan Minitab 16.

  3.2 Sumber Data dan Variabel Penelitian

  Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder, yaitu data kecepatan angin terbesar per bulan di Nusa Tenggara Barat pada tahun 2009 sampai tahun 2014 yang didapatkan dari Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) Stasiun Klas I Kediri Nusa Tenggara Barat.

  Adapun variabel yang digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut t adalah waktu (bulan) dan s adalah kecepatan angin terbesar per bulan (knot).

  3.3 Langkah-Langkah Penelitian

  Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

  Persiapan Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)

  Aplikasi pada Data Interpretasi Model

  Kesimpulan

Gambar 3.1 Bagan Langkah-Langkah Penelitian

  Dari bagan yang tertera di atas, berikut diberikan penjelasan dari masing-masing tahapan.

  1. Persiapan Pada tahap persiapan ini, dilakukan studi literatur yang memberikan informasi- informasi yang dibutuhkan oleh peneliti sesuai dengan permasalahan yang diangkat.

  2. Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear Pada tahap ini, dilakukan estimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan metode kuadrat terkecil nonlinear.

  3. Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Linearisasi (metode Deret Taylor) Pada tahap ini, dilakukan estimasi secara iterasi dengan penguraian deret Taylor, sehingga didapatkan suatu model regresi nonlinear.

  4. Aplikasi Pada Data Berikut diberikan bagan dari aplikasi data pada proses estimasi parameter dengan metode linearisasi (metode deret Taylor).

  Mulai Data

  Tidak Uji Distribusi Data

  Ya Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal

  Iterasi dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor) Perhitungan Mean dan Varian

  Selesai

Gambar 3.2 Bagan Aplikasi Data pada Proses Estimasi dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor). Berikut ini diberikan penjelasan pada bagan di atas:

a. Data yang digunakan adalah data kecepatan angin terbesar per bulan yaitu pada Januari 2009 sampai September 2014 dengan jumlah = 69.

  b. Uji Distribusi Data Pada tahap ini, data kecepatan angin terbesar yang diperoleh akan diuji apakah mengikuti distribusi Weibull 2 parameter atau tidak. Uji yang digunakan adalah uji Mann.

  c. Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal Prosedur pendugaan nonlinear membutuhkan nilai dugaan parameter awal.

  d. Melakukan iterasi dengan metode linearisasi (metode deret Taylor) sampai hasilnya konvergen. Apabila proses konvergensinya tercapai, estimasi parameter dapat dimasukkan ke dalam model regresi nonlinear.

  e. Perhitungan Mean dan Varian Pada tahap ini dilakukan proses perhitungan mean dan varian dari model yang didapat.

  5. Interpretasi Model Regresi Nonlinear Menginterpretasikan hasil analisis (model regresi nonlinear yag diperoleh).

  6. Menarik Kesimpulan.

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan regresi nonlinear dengan bentuk

  = ( ; ) + memiliki nilai parameter yaitu yang akan diestimasi. Pada bab ini dibahas mengenai estimasi parameter regresi nonlinear menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor) dengan menggunakan data kecepatan angin terbesar dan diolah menggunakan software SAS 9.

4.1 Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear

  Estimasi parameter distribusi Weibull dapat diketahui dengan metode kuadrat terkecil nonlinear. Untuk mencari nilai estimasi parameter, perlu diketahui

  cumulative density function (cdf) Weibull.

  Cumulative density function (cdf) dapat diketahui dari probability density function (pdf) Weibull seperti pada persamaan (2.18)

  (4.1) −

  ( | , ) = ( ) = − sehingga ( ) = ∫ ( ) ( ) = ∫ −

  ( )

  maka , jadi sehingga Misalkan = = = diperoleh exp( ) ( ) = ∫

  ( ) = ∫ − ( ) = ∫ exp(− )

  (4.2) ( ) = 1 −

  Cumulative density function (cdf) Weibull yang merupakan fungsi

  yang terdiri dari dua nonlinear dengan bentuk ( ) = 1 − − parameter. Digunakan metode kuadrat terkecil untuk meminimumkan jumlah kuadrat sisa dengan terlebih dahulu menaksir parameter pada model tersebut dan selanjutnya menyelesaikan persamaan normalnya dengan metode linearisasi (metode deret Taylor).

  Model cumulative density function (cdf) tersebut akan dibentuk kedalam model probability density function (pdf) sehingga menghasilkan persamaan regresi nonlinear yaitu sebagai berikut:

  = − + Prosedur estimasi parameter regresi nonlinear menggunakan metode kuadrat terkecil dalam kasus nonlinear adalah sebagai berikut:

  1. Membentuk sebuah fungsi dan = ; , = ∑

  = ∑ − (4.3)

  = ∑ − ( ; , )

  2. Menentukan turunan dari terhadap dan , kemudian hasil turunannya disamakan dengan nol

  ; ,

  = ∑ − ; , (−2)

  ; ,

  ∑ (4.4)

  − ; , = 0

  ; ,

  = ∑ (−2) − ; ,

  ; ,

  (4.5) ∑ − ; , = 0

  3. Menentukan turunan terhadap parameter dan

  ; ,

  (4.6) = −

  ; ,

  (4.7) = −

  Dari persamaan (4.4) dan (4.5) didapat persamaan normal dari turunan di atas yaitu sebagai berikut: ∑

  − − ∑

  (4.8) 1 − − = 0 ∑

  ⎛− ⎞ − ⎝ ⎠

  ∑ (4.9) 1 − ⎛− ⎞ = 0

  ⎝ ⎠ Karena persamaan normal di atas tidak linear di dalam parameter dan maka cara yang tepat untuk menyelesaikan persamaan normal di atas adalah dengan menggunakan metode numerik untuk melakukan penaksiran secara iterasi. Metode numerik yang sering dipakai untuk menyelesaikan permasalahan di dalam penaksiran parameter model nonlinear adalah metode linearisasi (metode deret Taylor).

4.2 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)

  Estimasi parameter menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor) mengharuskan untuk menentukan nilai awal bagi parameter karena berpengaruh terhadap proses iterasi mencapai konvergen atau tidaknya, dan diharapkan akan diperbaiki dalam proses iterasi.

  Dilakukan penguraian deret Taylor bagi ; , disekitar nilai awal dan . Penguraian deret Taylor dilakukan sampai turunan pertama fungsi terhadap parameter-parameternya karena akan dihasilkan grafik berbentuk garis lurus yang merupakan hasil dari penguraian deret Taylor turunan pertama suatu persamaan regresi linear yang dihasilkan. _{; , ; ,}

  ; , = ; , + ∑ ( − ) ( − ) (4.10)

  Bila disederhanakan notasi menjadi = ; ,

  = 1 −

  ; , ; ,

  = = − −

  = ( − )( − ) Dari persamaan (4.10) maka bentuknya menjadi

  (4.11)

• − = ∑ Persamaan (4.11) sudah terbentuk menjadi model regresi linear. Oleh karena itu dapat ditaksir parameter-parameter dengan menerapkan metode kuadrat terkecil.

  = ⟨ − ⟩ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − 1 −

  ⋮ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤

  Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder yang diperoleh dari Badan Meteorologi dan Geofisika (BMKG) Stasiun Klas I Kediri Nusa Tenggara Barat tahun 2009 sampai tahun 2014. Penggunaan data kecepatan angin terbesar per bulan yang digunakan yaitu pada Januari 2009 sampai September 2014, dengan jumlah sampel = 69. Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah waktu (t) dalam bulan dan kecepatan angin (s) dalam knot.

  ( ) = ∑ − ( , ) − ∑ (4.16)

  = ( ) ( − ) (4.15) dengan demikian vektor akan meminimumkan jumlah kuadrat galat.

  (4.14) Maka taksiran bagi diberikan oleh

  ⋮ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

  = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡

  = = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡

  − 1 − ⋮

  (4.13)

  ⎠ ⎞ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

  

⎝

⎛

⋮ −

  − − − − ⋮ −

  = ⟨ ⟩ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡

  (4.12)

  − 1 − ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

4.3 Aplikasi Pada Data

  4.3.1 Uji Distribusi Data

  Data kecepatan angin terbesar per bulan diuji apakah mengikuti distribusi Weibull atau tidak. Uji yang digunakan adalah uji Mann. Berikut adalah perhitungan dalam melakukan uji Mann untuk kecepatan angin.

  a. Hipotesis : Data kecepatan angin berdistribusi Weibull.

  : Data kecepatan angin tidak berdistribusi Weibull.

  b. Statistik uji Statistik uji yang digunakan adalah uji Mann yang mengikuti persamaan (2.21).

  ∑

  =

  ∑ . ( . )

  =

  ( . )

  = 1.203010611

  c. Kriteria keputusan dan kesimpulan Jika nilai maka diterima dan ditolak.

  < = . , . Berdasarkan perhitungan di atas diperoleh

  < = 1.203010611 < 1.7721 maka diterima dan dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi Weibull.

  4.3.2 Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal Prosedur pendugaan nonlinear membutuhkan nilai dugaan parameter awal.

  Nilai-nilai awal itu diharapkan akan diperbaiki dalam proses iterasi sampai menghasilkan solusi yang konvergen. Pada penelitian ini menggunakan garis resisten untuk penentuan nilai dugaan parameter awal. Dibandingkan dengan menggunakan kuadrat terkecil, garis resisten tidak terpengaruh terhadap outlier dan menghasilkan jumlah harga mutlak error lebih kecil daripada metode kuadrat terkecil, sehingga penggunaan garis resisten baik untuk penentuan nilai dugaan parameter awal karena semakin baik nilai dugaan awal maka semakin cepat proses konvergensinya. Jadi dari persamaan (4.2) dapat ditentukan nilai dugaan parameter awalnya.

  ( ) = 1 − =

  ( )

  =

  ( )

  = −

  ( )

  Misalkan = = ln (−ln(1 − ( )))

  ( ) ( . )

  yang merupakan peluang kumulatif dengan ( ) = =

  = b a = - b Maka dengan menggunakan persamaan garis resisten didapatkan nilai median (pada Lampiran 3). Median digunakan karena resisten terhadap pencilan, sehingga diperoleh b = .

  = .

  = 4.76502755

  ( ) ( )

  a =

  . . ( . ) =

  = −13.80869704 Karena = b dan a = - b maka

  = 4.76502755 dan = 18.13643312 Dari nilai dan yang diperoleh dapat digunakan sebagai nilai dugaan parameter awal.

  

4.3.3 Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode

Linearisasi (Metode Deret Taylor)

  Dengan bentuk persamaan = − + dapat mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan metode linearisasi

  (metode deret Taylor), sehingga dari persamaan (4.11), (4.12), (4.13) dan (4.14) didapat iterasinya adalah sebagai berikut Iterasi 0 Substitusi fungsi kumulatif Weibull dengan adalah kecepatan angin dan nilai

  = 4.76502755, = 18.13643312 maka diperoleh yaitu 0.185038

  ⎡ ⎤ 0.79683

  ⎢ ⎥ 0.332785

  ⎢ ⎥ =

  = ; , = 1 − 0.185038

  ⎢ ⎥ ⎢ 0.185038 ⎥ ⎢ ⎥

  ⋮ ⎣

  0.618887⎦ Substitusi peluang distribusi Weibull sehingga diperoleh

  −0.0763426 ⎡ ⎤

  −0.0359602 ⎢ ⎥

  0.0367799 ⎢ ⎥

  = ⟨ − ⟩ = −0.0618499

  ⎢ ⎥ −0.0473571

  ⎢ ⎥ ⋮

  ⎣ 0.112997 ⎦ Dihitung turunan masing-masing parameter dan sehingga diperoleh =

  ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡

  −0.055524216 −0.043811372 0.031670184 −0.085071416

  −0.051262566 −0.055524216 −0.055524216

  ⋮ −0.002776095

  0.070933611 −0.043811372

  0.043811372 ⋮

  −0.096592131⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

  Dilakukan perhitungan untuk memperoleh penduga bagi menggunakan persamaan (4.15) yaitu sebagai berikut = 0.109035 0.0874322

  0.0874322 0.302567 ( ) = 11.9375

  −3.449555 −3.44955 4.301871

  ( − ) = −0.0736243 −0.139734

  = −0.396869237 −0.347144613

  Maka akan diperoleh nilai dugaan untuk dan sebagai berikut = 4.36816

  17.7893 Nilai SSE untuk iterasi 0 sebagai berikut

  ( )

  = ∑ − ; , = 0.255267494 Untuk melihat kekonvergenannya, maka dengan menggunakan persamaan (2.16) diperoleh yaitu < = . .

  .

  0.37795732 0.224378935 0.224378935

  ⋮ −0.080849619⎦

  −0.115683283 −0.050519989 −0.008392103 −0.101190529 −0.086697776

  ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡

  Substitusi peluang distribusi Weibull sehingga diperoleh = ⟨ − ⟩ =

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

  ⋮ 0.651034439⎦

  0.224378935 0.811389554

  > 0.0001 = |0.08328783| > 0.0001

  = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡

  = 4.36816 dan = 17.7893 maka diperoleh yaitu = ; , = 1 −

  Iterasi 1 Substitusi fungsi kumulatif Weibull dengan adalah kecepatan angin dan nilai

  Karena nilai error parameter dan lebih dari 0.0001 solusi konvergen belum diperoleh maka proses iterasi dilanjutkan.

  > 0.0001 = |0.01940732| > 0.0001

  .

  < = . .

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Dihitung turunan masing-masing parameter dan sehingga diperoleh =

  ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡

  −0.061813105 −0.048392663 0.036852753 −0.077253954

  −0.050364478 −0.061813105 −0.061813105

  ⋮ 0.004326047

  −0.072514078 −0.048392663 −0.048392663

  ⋮ −0.090211384⎦

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤