Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan

KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN MOMENTS
METHOD DAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR; SUATU TERAPAN DATA
PARUH WAKTU DAN DATA SIMULASI SEBAGAI PERBANDINGAN

SKRIPSI

REHDAMENTA S TARIGAN
080803067

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015

KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN
MOMENTS METHOD DAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR; SUATU
TERAPAN DATA PARUH WAKTU DAN DATA SIMULASI SEBAGAI
PERBANDINGAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
REHDAMENTA S TARIGAN
080803067

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015

iii
PERSETUJUAN

Judul

: Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan
Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan
Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan

Simulasi Sebagai Perbandingan
Kategori
: Skripsi
Nama
: Rehdamenta S
NomorIndukMahasiswa : 080803067
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematikadan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sumatera Utara

Disetujui di
Medan, Juli 2015

Komisi Pembimbing

:

Pembimbing 2,

Dr. Pasukat Sembiring, M.Si
NIP. 19511227198503 1 002

Pembimbing 1,

Dr. Open Darnius Sembiring, M.Sc
NIP. 1964104199103 1 004

Disetujui oleh
DepartemenMatematika FMIPA USU
Ketua,

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D
NIP. 196209011988031 002

iv

PERNYATAAN

KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN
PENDUGA METODE MOMEN DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM;
SUATU TERAPAN DATA PARUH WAKTU DAN SIMULASI SEBAGAI
PERBANDINGAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Juli 2015

Rehdamenta S Tarigan

v

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Ucapan terima kasih penulissampaikan kepada bapak Dr. Open Darnius
Sembiring, M.Sc., dan kepada bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si. selaku
pembimbing penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh
kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas,
padat dan professional telah diberikan kepada saya telah diberikan kepada saya
agar tulisan ini dapat terselesaikan. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada
Ketua dan Sekretaris Departemen Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D
dan ibu Dra. Mardiningsih, M.Si., Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, seluruh
dosen Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan
rekan-rekan kuliah seperjuangan. Akhirnya, tidak terlupakan bapak, ibu dan adikadikku yang membantu memotivasi dengan tiada henti-hentinya. Semoga Tuhan
Yang Maha Esa memberi apa yang dibutuhkan dalam hidupnya.

vi

ABSTRAK

Estimasi adalah suatu proses untuk menemukan karakteristik yang dapat
menggambarkan suatu keadaan secara efektif dan efisien. Karakteristik yang
diperoleh bisa bernilai yang sebenarnya atau nilai pendekatan. Dalam prakteknya,
hasil estimasi merupakan nilai pendekatan terhadap keadaan yang sebenarnya.
Metode estimasi momen dan maksimum likelihood diterapkan kedalam
distribusi gamma. Tahapan penyelesaian menghasilkan karakteristik yang disebut
dengan parameter 𝑟𝑟̂ dan �λ. Pada kedua estimasi momen diperoleh 𝑟𝑟̂ =
4.09016193 , �λ = 0.002513199 , E[X] = 1627.475 dan V[X] = 647569.9189.
Estimasi maksimum menghasilkan 𝑟𝑟̂ = 3.860568854 , �λ = 1627.475, E[X] =
1627.475 dan V[X] = 687313.0827.
Berdasarkan bangkitan data pada R, diperoleh nilai ekspektasi dan varians
yang mendekati nilai ekspektasi dan varians yang diestimasi pada data
sebelumnya. Data tersebut dibangkitkan dengan n=100 dan n=1000 selanjutnya
dengan menentukan nilai 𝑟𝑟̂ dan �λ yang dimodifikasi selanjutnya dibandingkan
ekspekstasi dan varians sebanyak 40 data bangkitan yang dimodifikasi.

vii
ABSTRACT

Estimation is a process finding charakteristics and process in describe a
phenomen effectively and efficiently. Charakteristics can be an approximation
number or true one. Practically, the yield of estimation was an approaching
number into the true phenomen.
Moments method and maximum likelihood estimation applied into gamma
distribution. The solving steps result characteristics called with parametrics
𝑟𝑟̂ dan �λ. Moments estimaton yield 𝑟𝑟̂ = 4.09016193 , �λ = 0.002513199 , E[X]
= 1627.475 dan V[X] = 647569.9189. Maximum likelihood estimation yield
𝑟𝑟̂ = 3.860568854 , �λ = 1627.475, E[X] = 1627.475 dan V[X] = 687313.0827.
Based on generating data in R programme , the result expectation dan
variance number that aprocahing expectation and variance in the estimation at
data before. The data generating with 100 times and 1000 times, next finding
expectation and variance with modification 𝑟𝑟̂ and �λ about 40 times. Based on
the generating data finally by compare the result expectation and variance.

viii

DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan

Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar
Daftar Lampiran
Bab 1 Pendahuluan
1.1 LatarBelakang
1.2 RumusanMasalah
1.3 BatasanMasalah
1.4 TujuanPenelitian
1.5 KontribusiPenelitian
1.6 MetodologiPenelitian
1.7 TinjauanPustaka
Bab 2 LandasanTeori
2.1 Probabilitas Dasar
2.2 Peubah Acak
2.2.1 peubah acak diskrit

2.2.2 pubah acak kontinu
2.3 Ekspektasi dan Varians
2.3.1Ekspektasi
2.3.2Varians
2.4 Distribusi Gamma dan Turunan Kalkulus
2.4.1 Distribusi dan Fungsi gamma
2.5 Estimasi
2.5.1 Moments estimator
2.5.1.1 Prosedur Metode Moments
2.5.2 Maximum Likelihood Estimator
2.5.2.1 Prosedur Metode MLE
2.5.3 Sifat-sifat Estimator
Bab 3 Hasil dan Pembahasan
3.1 Metode Moments Estimator
3.2 Metode Maximum Likelihood Estimator
3.3 Aplikasi terhadap data
3.3.1 Aplikasi Estimasi Moments
3.3.2 Aplikasi Estimasi Maksimum Likelihood
3.4 Simulasi Data
Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
DaftarPustaka

iii
iv
v
vi
vii
viii
ix
x
xi
1
4
4
4
4
5
6

9
10
10
11
11
14
14
15
17
25
25
26
27
28
29
31
31
39
45
45
48
52
54
55
56

ix

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1
Tabel 3.2
Tabel 3.3
Tabel 3.4
Tabel 3.4

Data umur hidup bola lampu
Perhitungan data
Tabel bangkitan data
Tabel bangkitan data
Tabel bangkitan data

44
44
LAMPIRAN A
LAMPIRAN B
LAMPIRAN C

x

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Karakteristik Kurva Distribusi Gamma
Gambar 3.1 Plot distribusi gamma dengan 𝑟𝑟 = 4.0901 dan 𝜆𝜆 = 0.0025
Gambar 3.2 Plot distribusi gamma dengan 𝑟𝑟 = 3.86 dan 𝜆𝜆 = 0.0023

7
50
51

xi

DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN A
LAMPIRAN B
LAMPIRAN C
LAMPIRAN D

xii
xiii
xiv
xv

vi

ABSTRAK

Estimasi adalah suatu proses untuk menemukan karakteristik yang dapat
menggambarkan suatu keadaan secara efektif dan efisien. Karakteristik yang
diperoleh bisa bernilai yang sebenarnya atau nilai pendekatan. Dalam prakteknya,
hasil estimasi merupakan nilai pendekatan terhadap keadaan yang sebenarnya.
Metode estimasi momen dan maksimum likelihood diterapkan kedalam
distribusi gamma. Tahapan penyelesaian menghasilkan karakteristik yang disebut
dengan parameter 𝑟𝑟̂ dan �λ. Pada kedua estimasi momen diperoleh 𝑟𝑟̂ =
4.09016193 , �λ = 0.002513199 , E[X] = 1627.475 dan V[X] = 647569.9189.
Estimasi maksimum menghasilkan 𝑟𝑟̂ = 3.860568854 , �λ = 1627.475, E[X] =
1627.475 dan V[X] = 687313.0827.
Berdasarkan bangkitan data pada R, diperoleh nilai ekspektasi dan varians
yang mendekati nilai ekspektasi dan varians yang diestimasi pada data
sebelumnya. Data tersebut dibangkitkan dengan n=100 dan n=1000 selanjutnya
dengan menentukan nilai 𝑟𝑟̂ dan �λ yang dimodifikasi selanjutnya dibandingkan
ekspekstasi dan varians sebanyak 40 data bangkitan yang dimodifikasi.

vii
ABSTRACT

Estimation is a process finding charakteristics and process in describe a
phenomen effectively and efficiently. Charakteristics can be an approximation
number or true one. Practically, the yield of estimation was an approaching
number into the true phenomen.
Moments method and maximum likelihood estimation applied into gamma
distribution. The solving steps result characteristics called with parametrics
𝑟𝑟̂ dan �λ. Moments estimaton yield 𝑟𝑟̂ = 4.09016193 , �λ = 0.002513199 , E[X]
= 1627.475 dan V[X] = 647569.9189. Maximum likelihood estimation yield
𝑟𝑟̂ = 3.860568854 , �λ = 1627.475, E[X] = 1627.475 dan V[X] = 687313.0827.
Based on generating data in R programme , the result expectation dan
variance number that aprocahing expectation and variance in the estimation at
data before. The data generating with 100 times and 1000 times, next finding
expectation and variance with modification 𝑟𝑟̂ and �λ about 40 times. Based on
the generating data finally by compare the result expectation and variance.

1

BAB I
\
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun
penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut
dengan data.. Data yang akan diteliti pada umumnya memiliki karakteristik yang
spesifik, sehingga ketika data dianalisa diperoleh model yang sesuai dengan
karakteristik data tersebut. Fungsi yang menggambarkan data tersebut dikatakan
sebagai distribusi data. Variasi distribusi data dalam statistika menunjukkan
bahwa data-data memiliki karakteristik tertentu yang hanya bisa dijelaskan oleh
distibusi yang bersesuaian. Misalkan data yang berdistribusi seragam akan sulit
dijelaskan oleh distribusi gamma, data yang berdistribusi normal akan sulit
dijelaskan oleh distribusi beta maupun sebaliknya.

Bermacam-macam distribusi memperlihatkan betapa banyaknya variasi
data. Kajian distribusi statistik yang spesifik akan memperlihatkan karakteristik
dari suatu distribusi. Maka, kaidah-kaidah dalam statistik diperlukan untuk
memahami kajian distribusi statistik.

Menurut Brase statistika adalah

metode yang digunakan untuk

mengumpulkan, menyajikan, menganalisa, menginterpretasi data serta menarik
kesimpulan yang valid. Penarikan kesimpulan tanpa menggunakan metode
statistik

merupakan

dugaan subjektif, dan kemungkinan kesimpulan yang

diperoleh tidak reliabel. Seperti kebanyakan cabang ilmu-ilmu lainnya, statistika
terdiri atas dua aspek penting: teoritis dan aplikasi. Secara teoritis

statistika

berkaitan dengan pengembangan, penurunan, pembuktian teorema, rumus, aturan

2
dan hukum. Aplikasi statistik melibatkan penggunaan teorema, rumus, aturan,
hukum untuk menyelesaikan permasalahan kehidupan nyata.

Statistika secara didikotomi menjadi statistika deskriptif dan statistika
inferesia. Statistika deskriptif meliputi metode pengumpulan, pengelompokan,
pengolahan dan penyajian data, sedangkan statistika inferensia meliputi metode
analisis, interpretasi dan prediksi berdasarkan hasil sampel dalam membantu
penarikan kesimpulan suatu populasi. Statistika inferensia dapat dibagi menjadi
dua kategori umum yaitu estimasi parameter dan pengujian hipotesis. Teknik ini
menggunakan informasi sampel dalam menentukan kesimpulan. Dalam teori
keputusan, inferensi didasarkan pada kombinasi informasi sampel beserta bagianbagian lainnya yang dianggap relevan dengan suatu persoalan tertentu agar
dihasilkan keputusan terbaik. Hal yang dianggap relevan dengan informasi sampel
adalah konsekuensi yang timbul dari keputusan yang diambil.

Dalam pendekatan klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada informasi
yang diperoleh

melalui sampel acak yang diambil dari suatu populasi yang

berdistribusi tertentu. Adalah penting menentukan keputusan dan kebijakan
berdasarkan hasil analisis data sehingga hasil yang diperoleh sesuai harapan atau
setidaknya dapat meminimumkan resiko akibat kegagalan suatu perlakuan.
Kesimpulan yang

akurat

memerlukan informasi sebanyak mungkin. Sebaik

mengambil populasi untuk dianalisis, namun jika ukuran populasi sangat besar
akan menjadi masalah baru. Apakah berkaitan dengan dana maupun sumber daya
yang dimiliki. Pada kondisi tersebut, penggunaan
terbaik

menentukan

karakteristik

populasi

sampel adalah alternatif

dalam

mengefektifkan

dan

mengefisienkan baik sumber daya dan waktu. Sampel diharapkan dapat mewakili
karakteristik populasi sedekat sebisa mungkin, sehingga keputusan yang diperoleh
sahih dan tepat.

Berdasarkan analisa statistik, estimasi populasi memainkan peranan yang
sangat signifikan terutama pada terapan masalah. Suatu karakteristik numerik
yang merupakan fenomena fisis yang mungkin diperlukan, dilain pihak fenomena

3
tersebut bisa saja tidak terobservasi secara langsung. Observasi dari satu atau
lebih peubah acak yang distribusinya bergantung kepada karakteristik yang
diperlukan sehingga akan mempermudah memahaminya. Untuk mengembangkan
metode yang digunakan dalam menyelidiki nilai peubah acak berdasarkan sampel
data dan menggali informasi mengenai karakteristik populasi yang tidak diketahui
dan tidak terobservasi maka dibutuhkan kajian mendalam mengenai hal tersebut.

Estimasi merupakan suatu metode dimana peneliti dapat memperkirakan
nilai populasi dengan menggunakan nilai sampel atau aturan yang pada umumnya
diekspresikan sebagai sebuah formula yang menyatakan bagaimana menghitung
nilai estimasi berdasarkan muatan pengukuran dalam sampel. Estimator adalah
suatu statistik yang dapat berupa mean, median, modus varians, simpangan baku
maupun ukuran proporsi lainnya. Di mana sampel digunakan untuk melakukan
penaksiran suatu parameter populasi. Konsep populasi dan variabel acak sangatlah
penting terhadap interpretasi yang tepat pada data statistik dan analisnya.

Karakteristik suatu populasi dapat diketahui dengan melakukan estimasi
terhadap sampelnya. Sedangkan nilai sampel statistik yang digunakan untuk
mengestimasi parameter populasi disebut dengan estimator. Tujuan dari banyak
investigasi statistik adalah untuk mengestimasi satu atau lebih parameter yang
relevan. Karakteristik yang berkaitan dengan sampel disebut sebagai statistik,
sedangkan karakteristik yang berkaitan dengan populasi disebut dengan
parameter. Parameter adalah ukuran seluruh populasi yang diwakili oleh nilai
estimasi. Parameter populasi pada umumnya tidak diketahui karena banyaknya
anggota populasi.

Sering kali ciri, sifat maupun karakteristik suatu pengamatan dilihat
berdasarkan ukuran pusatnya, katakanlah seperti rataan μ, varians σ2 dan deviasi
σ. Demi memperoleh hasil pengamatan yang lebih akurat, nilai sekitar μ juga turut
diamati. Hal ini menunjukkan bahwa hasil pengamatan akan menjadi lebih
bermanfaaat jika memberikan informasi yang lebih banyak dalam pengambilan
keputusan.

4

Perhatikan bahwa proses antrian, waktu tunggu, paruh waktu merujuk
kepada distribusi Poisson. Pembahasan lebih lanjut menunjukkan bahwa proses
Poisson dapat ditransformasikan kedalam distribusi gamma. Untuk mengetahui
karakteristik distribusi gamma diperlukan analisa. Analisa yang digunakan adalah
dengan melakukan penaksiran terhadap parameternya.
.
Berdasarkan uraian diatas maka penulis mengajukan judul :”Kajian
estimasi parameter distribusi gamma berdasarkan

moments method estimator

(MMEs) dan maximum likelihood estimator (MLE); suatu terapan pada data paruh
waktu dan Simulasi sebagai perbandingan.”

2. Rumusan Masalah

Akan dikaji estimasi parameter distribusi gamma dengan metode moments
estimator dan maximum likelihood estimator dengan melakukan perbandingan
berdasarkan data paruh waktu dan data simulasi

3. Batasan Masalah

Pembatasan masalah pada tulisan ini yakni fungsi padat peluang berdistribusi
gamma dengan parameter r dan λ. Hasil penurunan kedua metode estimasi
diterapakan dalam rata-rata time travel kerja pekerja. Membandingkan hasil kedua
estimasi tersebut dengan data yang telah ditetapkan Dengan memperhatikan sifatsifat penduga yaitu tidak bias, efisien dan konsisten. Dan dengan melakukan
bangkitan data dengan nilai r dan λ tertentu.
4. Tujuan penelitian

Berdasarkan penjabaran sebelumnya, maka tujuan penelitian adalah
sebagai berikut:
a) Memahami langkah-langkah pendugaan kedua estimasi.

5
b) Mengetahui hasil dari kedua estimasi tersebut
c) Melihat karakteristik terhadap kasus tertentu pada kedua metode estimasi
yang telah diberikan.

5. Kontribusi Peneltian

a) Bagi penulis

Kontribusi penelitian bagi penulis adalah menambah dan memperdalam
pemahaman tentang statistika inferensia khususnya estimasi parameter pada
distribusi gamma serta aplikasinya statistiknya dalam kehidupan sehari-hari,
sehingga menambah minat memperdalam ilmu dalam bidang statistik.

b) Bagi pembaca

Menambah

pustaka kepada pembaca yang ingin memahami tentang estimasi

kedua parameter yang diajukan. Serta pembanding untuk peneliti yang ingin
parameter pada distribusi yang serupa dalam menambah cakrawala ilmu
pengetahuan didalam analisis statistik khususnya dengan disribusi yang berkaitan.

6. Metode Penelitian

Berdasarkan buku Fundamental of Research Methodology and Statistics, Kumar
mengemukakan tiga aspek penelitian, yakni:
a) Aspek teoretis
b) Aspek faktual
c) Aspek terapan
Berdasarkan aspek tersebut maka metode yang digunakan penulis adalah sebagai
berikut:
a) Menentukan permasalahan yang akan diteliti
b) Mencari dan menggunakan literatur,

baik yang menjadi acuan utama

maupun acuan tambahan untuk membangun hasil yang terbaik.

6
c) Telaah teori pada literatur utama dan tambahan
d) Untuk mengarahkan peneltian maka penulis, melaksanakan prosedur sebagai
berikut:
1. Mendefinisikan fungsi densitas distribusi gamma
2. Melakukan estimasi momen estimator:
a)

Menentukan persamaan umum momen populasi dan momen
sampel

b)

Momen pertama , momen kedua pupulasi dan momen sampel
disamakan

c)

Melakukan manipulasu aljabar untuk memperoleh hasil
penyelesaian sistem pertidaksamaan yaitu nilai dari parameter
𝑟𝑟 dan λ

3. Melakukan estimasi maksimum likelihood
a)

Menentukan fungsi likelihood fungsi densitas

b)

Menentukan fungsi maksimum likelihood fungsi distribusi

c)

Melakukan diferensial 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 likelihood sebagai konsekuensi

memaksimumkan parameter distribusi gamma terhadap
parameter 𝑟𝑟 dan λ

4. Mensubstitusi data paruh waktu dari lightbulbs kedalam kedua estimasi,
sehingga diketahui parameter 𝑟𝑟̂ dan λ�

5. Berdasarkan hasil pada kedua estimasi dilakukan simulasi data secara acak
pada distribusi gamma dengan menggunakan program R, dimodifikasi
sebanyak empat puluh kali dengan bangkitan data 𝑛𝑛 = 100 dan 𝑛𝑛 = 1000
kali

e) Penarikan kesimpulan

7.) Tinjauan Pustaka

Perancangan suatu sistem kompleks melibatkan pemilihan berbagai alternatif
yang dapat dilaksanakan. Pemilihan yang dilakukan berdasakan kepada criteriakriteria yang ditentukan. Evaluasi kuantitatif kriteria tersebut jarang dilakukan
terhadap implementasi terkini beserta

evaluasi eksperimental pilihan yang

7
dikonfigurasi. Pengambilan keputusan dilakukan berdasarkan estimasi yang
diperoleh menggunakan model alternatif.

Suatu Model adalah representasi yang ditaksir berdasarkan keadaan fisik.
Model diharapkan dapat menjelaskan sifat-sifat pengamatan menggunakan
sekelompok aturan sederhana dan dimerngerti. Aturan tersebut diharapkan dapat
memprediksi keluaran dari sebuah eksperimen yang melibatkan keadaan fisik
sebelumnya. Model bermanfaat menjelaskan segala aspek relevan dari situasi
yang diberikan.

Model matematis digunakan pada kejadian observasional yang memiliki
sifat-sifat mengukuran. Model matematis terdiria atas sekelompok asumsi
tenatang bagaimana suatu sistem atau proses fisik bekerja. Asumsi tersebut
diterapkan dalam bentuk relasi matematis yang melibatkan parameter dan variabel
penting.

Untuk lebih memahami terapan statistika ini adalah lebih baik untuk
memahami karakteristik distribusi statistika sebelum diaplikasikan kedalam
berbagai permasalahan sehari-hari.

Satu konsep dasar dalam statistika adalah eksperimen acak. Untuk semua
eksperimen acak, setidaknya terdapat satu ruang sampel yang sesuai terhadap
eksperimen acak di bawah perlakuan. Dalam banyak kasus, banyak pengamatan
dapat dilakukan tanpa referensi terhadap ruang sampel eksplisit. Untuk
memahami kuantitas tersebut maka didefinisikan variabel acak. Variabel acak
merupakan fungsi bernilai riil dan terdefinisi pada sebuah ruang sampel. Variabel
acak adalah alat utama dalam pemodelan kuantitas-kuantitas yang tidak diketahui
dalam analisis statistikater. Variabel acak pada umumnya dituliskan dengan huruf
besar, seperti X, Y, Z dengan atau tanpa indeks. Variabel acak didikotomi menjadi
dua yaitu diskrit dan kontinu.

8
Fungsi Kepadatan peluang atau

probability density function p.d.f

merupakan variabel acak kontinu dan terdefenisi pada himpuan bilangan riil,
jika:
1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0,
∞

∀𝑥𝑥 ∈ ℝ

2. � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
−∞

𝑏𝑏

3. 𝑃𝑃(𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑎𝑎

Andaikan bahwa barisan kejadian saling bebas terjadi dalam konstanta λ
perunit waktu. Jika variabel acak 𝑋𝑋 menyatakan interval antara jarak kejadian

𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 > 0, maka X dapat diintrepretasikan sebagai waktu tunggu
untuk

kejadian

pertama.

Bagian

ini

membangkitkan

hubungan

Poisson/eksponensial dan terpusat pada interval, atau waktu tunggu, yang
dibutuhkan untuk terjadinya kejadian ke-r.
𝑋𝑋

Definisi 1.1
Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, variabel acak X dikatakan sebagai
gamma p.d.f dengan parameter r dan λ jika:
𝜆𝜆 𝑟𝑟

𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = (𝑟𝑟−1)! 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝑥𝑥

, 𝑥𝑥 > 0

Berikut ini merupakan karakteristik kurva distribusi gamma untuk beberapa nilai
parameter r dan 𝜆𝜆

9

Gambar 1.1

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Probabilitas Dasar

Andrei Kolgomorov (1903-1987) meletakkan landasan matematis teori
peobabilitas dan teori acak. Dalam tulisannya, Kolgomorov menggunakan teori
probabilitas dalam mempelajari pergerakan planet dan turbulensi aliran udara.
Kontribusi penting lainnya adalah proses stokastik, informasi, mekanika statistik
dan dinamika nonlinear.
Konsep probabilitas memungkinkan peneliti dalam mengolah statistika
deskriptif ke dalam statistika inferensial. Asal teori probabilitas adalah modelisasi
peluang permainan, pada pengambilan kartu dari satu set kartu atau permainan
dadu. Probabilitas muncul dari kolaborasi antara Blaise Pascal dan Pierre de
Fermat dalam menentukan peluang dari suatu permainan. Sejak kolaborasi
tersebut probabilitas lebih banyak digunakan kepada permainan hingga abad ke-

10
18, ketika Pierre de Laplace dan Karl F Gauss menggunakan aturan dasar
probabilitas terhadap masalah fisis lainnya.
Beberapa definisi dan aksioma yang akan digunakan dalam hal ini
berkaitan dengan peristiwa dan probabilitas acak.
Definisi 2.1
Eksperimen adalah suatu proses yang hasil dari keluarannya tidak diketahui secara
pasti di mana eksperimen tersebut diasumsikan dapat di ulang dalam suatu waktu
dan dibawah kondisi yang identik. Setiap pengulangan disebut sebagai repetisi.
Eksperimen acak memenuhi tiga keadaan berikut:

a) Himpunan seluruh keluaran tidak diketahui pasti dalam tiap percobaan.
b) Dalam kedaan khusus, tidak diketahui keluaran mana yang akan terjadi.
c) Eksperimen dapat diulang dengan keadaan yang mirip.

2.2 Peubah Acak
Suatu eksperimen memuat sejumlah karakteristik yang terukur. Tetapi peneliti
pada umumnya berkonsentrasi pada beberapa karakteristik tertentu pada suatu
eksperimen. Apakah pada nilai karakteristik di sekitar pusat data atau pada
penyebaran data. Pengelompokan keluaran suatu eksperimen diwakili oleh
bilangan sederhana bertujuan untuk memudahkan deskripsi. Deskripsi tersebut
diperlukan, tetapi di lain kasus hal itu berguna untuk menyatakan suatu bilangan
sebagai perwakilan suatu keluaran di ruang sample.
Definisi 2.2
Peubah acak adalah seluruh nilai bernilai riil yang tiap-tiap nilainya diasosiasikan
dengan keluaran dari suatu eksperimen acak.

2.2.1 Peubah Acak Diskrit

Definisi 2.3

11
Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari peubah acak 𝑋𝑋 adalah suatu
himpunan yang dapat dicacah sedemikian rupa, 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 atau

𝑥𝑥1 ,

𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … sehingga X disebut sebagai variabel acak diskrit. Bagi suatu peubah acak
diskrit 𝑋𝑋, didefinisikan fungsi massa peluang 𝑃𝑃𝑥𝑥 (𝑥𝑥) sebagai:

𝑃𝑃𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 =
𝑥𝑥)

2.

Fungsi massa peluang 𝑃𝑃(𝑥𝑥) bernilai positif , untuk sejumlah nilai 𝑥𝑥 tercacah.

Dengan kata lain, jika 𝑋𝑋 mengambil salah satu dari nilai𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … maka peubah

acak diskrit X dengan nilai yang mungkin 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 fungsi massa peluang
adalah fungsi yang memenuhi kriteria berikut:
1). 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) ≥ 0, 𝑖𝑖 = 1,2, …
𝑛𝑛

2). � 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 1
𝑖𝑖=1

3). 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 )

2.2.2 Peubah Acak Kontinu

Definisi 2.5
Suatu peubah acak 𝑋𝑋 berdistribusi kontinu jika terdapat fungsi 𝑓𝑓 taknegatif,

terdefinisi pada garis bilangan riil, sehingga setiap interval pada bilangan riil
(berbatas atau tak berbatas), probabilitas bahwa X yang berada pada interval
tersebut merupakan jumlahan daerah f pada interval tersebut. Sebagai contoh,
keadaan yang menggambarkan definisi diatas, dengan batas dalam interval
tertutup [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].

𝑏𝑏

𝑃𝑃(𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏) = ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
Berimplikasi pada:

12
∞

𝑃𝑃(𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎) = ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) dan
𝑏𝑏

∫−∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑏𝑏) =

2.2

Berdasarkan karakteristik f distribusi variabel acak kontinu dengan cara yang
sama menyatakan bahwa fungsi probabilitas berkarakteristik distribusi peubah
acak

kontinu.

Fungsi

kepadatan

peluang

𝑓𝑓

dapat

digunakan

untuk

menggambarkan distribusi probabibilitas peubah acak kontinu. Jika suatu interval
memuat kemiripan nilai X, probabilitasnya besar dan berkorespondensi dengan
𝑓𝑓(𝑥𝑥). Memenuhi ketiga kaidah berikut:
1). 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0
∞

2). � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
−∞

𝑏𝑏

3). 𝑃𝑃(𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑎𝑎

Distribusi probabilitas adalah visualisasi peubah acak 𝑋𝑋 dalam bentuk

kurva. Ketika 𝑋𝑋 merupakan peubah acak berbatas, himpunan probabilitas yang
digambarkan terhadap nilai yang mungkin disebut distribusi probablitas 𝑋𝑋.

Jika 𝑋𝑋 adalah peubah acak berbatas, dengan nilai-nilai 𝑛𝑛1 , 𝑛𝑛2 , … maka daftar

distribusi probabilitas berkaitan dengan 𝑋𝑋 = 𝑛𝑛1 , 𝑋𝑋 = 𝑛𝑛2 , …. Jumlah seluruh
probabilitas selalu sama dengan 1.

Ingat bahwa 𝑋𝑋 merupakan variabel acak, sedangkan 𝑥𝑥 merupakan nilai spesifik
dari variabel acak 𝑋𝑋. Berakibat jika 𝑥𝑥 = 2 maka probabilitas 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥) berarti

𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 2), probabilitas bahwa 𝑋𝑋 adalah 2. Hal yang sama jika 𝑌𝑌 merupakan
peubah acak maka 𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 𝑦𝑦) probabilitas 𝑌𝑌 dengan nilai khusus 𝑦𝑦.
2.3 Ekspektasi dan Varians
2.3.1 Ekspektasi

13
Dalam suatu pengukuran eksperimen, hasil pengukuran eksperimen
seringkali

menghasilkan

variasi.

Ukuran-ukuran

yang

menggambarkan

karakteristik sampel berkorespondensi dengan karakteristik populasi. Secara
sederhana karakteristik tersebut digambarkan sebagai nilai harapan atau lebih
dikenal dengan mean. Secara matematis dinyatakan oleh formula berikut:
1). Peubah acak diskrit
𝜇𝜇𝑥𝑥 = 𝐸𝐸[𝑋𝑋]
𝑛𝑛

= � 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑃𝑃(𝑥𝑥𝑖𝑖 )

2.3

𝑖𝑖=1

2). Peubah acak kontinu
𝜇𝜇𝑥𝑥 = 𝐸𝐸[𝑋𝑋]
∞

= � 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

2.4

−∞

Sifat-sifat nilai ekspektasi
𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏

1.

𝐸𝐸[𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏] = 𝑎𝑎𝑎𝑎[𝑋𝑋] + 𝑏𝑏

2.

𝐸𝐸[𝑋𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑋𝑛𝑛 ] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋1 ] + ⋯ + 𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑛𝑛 ]

3.

𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋, 𝑌𝑌) ± h(𝑋𝑋, 𝑌𝑌)] = 𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋, 𝑌𝑌)] ± E[h(𝑋𝑋, 𝑌𝑌)]

4.

𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = 𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋)] ± E[h(𝑋𝑋)]

5.
6.
Bukti sifat 1.

𝐸𝐸(𝑋𝑋. 𝑌𝑌) = 𝐸𝐸(𝑋𝑋) E(𝑌𝑌)

Pada peubah acak kontinu berlaku;
∞

𝐸𝐸[𝑋𝑋] = � 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞

Sustitusi
berlaku

𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏

∞

𝑋𝑋 = 𝑏𝑏 maka 𝐸𝐸[𝑏𝑏] = ∫−∞ 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 , karena b merupakan konstanta
∞

𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞

14
∞

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1

−∞

𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏
Bukti sifat 5.

𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = 𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋)] ± E[h(𝑋𝑋)]
∞

𝐸𝐸[𝑋𝑋] = � 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞

Substitusi Y = 𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)
∞

∞

−∞

−∞

𝐸𝐸[𝑌𝑌] = � 𝑌𝑌𝑌𝑌(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � [ 𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

Berlaku

∞

∞

−∞

−∞

𝐸𝐸[𝑌𝑌] = � 𝑔𝑔[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 ± � ℎ[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
∞

∞

𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = � 𝑔𝑔[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 ± � ℎ[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞

−∞

𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = 𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋)] ± 𝐸𝐸[ℎ(𝑋𝑋)]
2.3.2 Varians.

Pengukuran suatu variabel memungkinkan untuk mempermudah pemahaman
mengenai suatu data. Untuk mengetahui seberapa besar tingkat variabilitas
sampel yang berhubungan dengan populasi dinyatakan didefinisikan oleh
Var[X] = 𝐸𝐸[(𝑋𝑋 − 𝜇𝜇)2 ], secara jelas diperlihatkan oleh:
1). Variabel acak diskrit
𝜎𝜎

2

𝑥𝑥

𝑛𝑛

= Var[X] = � (𝑋𝑋
𝑖𝑖=10

− 𝜇𝜇)2 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖 )

2). Variabel acak kontinu

2.5

15
∞

𝜎𝜎 2 𝑥𝑥 = Var[X] = �(𝑋𝑋
−∞

− 𝜇𝜇)2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

Varians untuk kasus kontinu dapat dijabarkan sebagai berikut

2.6

Var[X] = 𝐸𝐸[(𝑋𝑋 − 𝜇𝜇)2 ]
∞

Var[X] = � (𝑋𝑋 − 𝜇𝜇)2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞

∞

= � (𝑋𝑋 2 − 2𝑋𝑋𝜇𝜇 + 𝜇𝜇 2 )𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞

∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

= � 𝑋𝑋 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 − 2𝜇𝜇 � 𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜇𝜇 2 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
Var[X] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋 2 ] − 2𝜇𝜇𝜇𝜇[𝑋𝑋] + 𝜇𝜇 2

Karena 𝜇𝜇 = 𝐸𝐸[X] maka diperoleh:
Var[X] =

𝐸𝐸[𝑋𝑋 2 ] − (𝐸𝐸[X])2

Sifat-sifat varians:
1.
2.
3.
4.

Var[c] = 0

Var[𝑐𝑐X] = 𝑐𝑐 2 Var[X]
Var[X + c] = Var[X]

Var[X1 + ⋯ + X𝑛𝑛 ] = Var[X1 ] + ⋯ + Var[X𝑛𝑛 ]

2.4 Distribusi Gamma dan Turunan Kalkulus
Definisi 2.4

2.7

16
Jika 𝑓𝑓 adalah sebuah fungsi dan 𝑐𝑐 merupakan satu titik interior pada domain 𝑓𝑓.
Jika 𝑓𝑓 memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di 𝑐𝑐, maka
𝑓𝑓 ′ (𝑐𝑐) = 0 atau 𝑓𝑓 ′ (𝑐𝑐) tidak ada
2.8

Teknik pengintegralan parsial
𝑑𝑑
[𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)]
𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)

+ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)

2.9

Misalkan
𝑢𝑢 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) dan 𝑣𝑣 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) dan 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

Persamaan 2.9 menjadi
𝑑𝑑
[𝑢𝑢𝑢𝑢]
𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑢𝑢′ 𝑣𝑣
+ 𝑢𝑢𝑣𝑣 ′

Perhatikan persamaan (2.9) untuk memperoleh formula integral parsial, ruas kiri
dan kanan dilakukan pengintegralan, sehingga diperoleh:
�

𝑑𝑑
[𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)] = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑

� 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)

− � 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

17
� 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑢𝑢𝑢𝑢 − � 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑

2.10

Definisi improper integral tipe-I
𝑘𝑘

(a) Jika ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 ada untuk setiap bilangan 𝑘𝑘 ≥ 𝑎𝑎, maka;
∞

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑎𝑎

𝑘𝑘

= lim � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞ 𝑎𝑎

Menyatakan bahwa limit tersebut eksis.
𝑏𝑏

(b) Jika ∫𝑘𝑘 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 eksis untuk setiap bilangan 𝑘𝑘 ≤ 𝑏𝑏, maka
𝑏𝑏

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞

𝑏𝑏

= lim � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→−∞ 𝑘𝑘

Menyatakan limit tersebut eksis
∞

𝑏𝑏

Improper integral ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 dan ∫−∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 dikatakan konvergen jika limit
yang dikaitkan ada dan divergen jika limitnya tidak ada.
∞

𝑎𝑎

(c) Jika ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 dan ∫−∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 konvergen, maka didefinisikan:
∞

𝑎𝑎

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞

−∞

∞

+ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑎𝑎

2.4.1 Distribusi dan Fungsi Gamma
Andaikan suatu peristiwa Poisson terjadi dengan konstanta rate 𝜆𝜆 per unit waktu.

Misalkan variabel acak X menyatakann sebagai waktu tunggu kejadian ke − 𝑟𝑟.

Maka X memiliki pdf 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥), di mana
𝜆𝜆 𝑟𝑟

𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = (𝑟𝑟−1)! 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥

𝑥𝑥 > 0
Bukti

,

2.10

18
Pembuktian formula untuk 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) dilakukan dengan mendifferensialkan fungsi
kumulatif, 𝐹𝐹𝑥𝑥 (𝑥𝑥). Misalkan 𝑋𝑋 sebagai waktu tunggu peristiwa ke-r. Maka,

𝐹𝐹𝑋𝑋 (𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥) = 1 − 𝑃𝑃(𝑋𝑋 > 𝑥𝑥)
𝐹𝐹𝑋𝑋 (𝑥𝑥)

= 1 − (sedikitnya ada 𝑟𝑟 kejadian terjadi pada interval [0, 𝑥𝑥])

=1

𝑟𝑟−1

− � 𝑒𝑒 −(𝜆𝜆𝜆𝜆 )
𝑘𝑘=0

(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘
𝑘𝑘!

2.11

Untuk memperoleh fungsi padat peluannya maka fungsi kumulatif pada kejadian
yang berlangsung dalam interval [0, x] adalah variabel acak Poisson dengan
parameter λx, diturunkan terhadap x, diperoleh fungsi padat peluang sebagai
berikut
𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 ′ 𝑥𝑥 (𝑥𝑥)

=

𝑑𝑑
�1
𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑟𝑟−1

− � 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑘𝑘=0

(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘
�
𝑘𝑘!

2.12

Berdasarkan aturan differensial dari perkalian dua buah fungsi pada persamaan
(2.9), misalkan 𝑢𝑢 = 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 , 𝑣𝑣 =
𝑟𝑟−1

𝑓𝑓𝑋𝑋 (𝑥𝑥) = ��� 𝜆𝜆𝜆𝜆 −𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑘𝑘=0

𝑟𝑟−1

= � �𝜆𝜆𝑒𝑒
𝑘𝑘=0

−𝜆𝜆𝜆𝜆

𝑟𝑟 −2

𝑟𝑟−1

𝑘𝑘=0

𝑟𝑟−1

(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘
(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘−1
� − � �𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
�
𝑘𝑘!
(𝑘𝑘 − 1)!
𝑘𝑘=1

𝑟𝑟−2

(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘
(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑟𝑟−1
(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘
� + �𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
�� − �� 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
��
(𝑟𝑟 − 1)!
𝑘𝑘!
𝑘𝑘!

𝑟𝑟−2
= ���∑𝑘𝑘=0
𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆

= �𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆

𝑘𝑘!

(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘
(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘−1
−𝜆𝜆𝜆𝜆
� − �� 𝜆𝜆𝜆𝜆
��
𝑘𝑘!
(𝑘𝑘 − 1)!

= ���� 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑘𝑘=0

(𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑘𝑘

(𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑘𝑘

(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑟𝑟−1
�
(𝑟𝑟 − 1)!

𝑘𝑘!

� + �𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆

(𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑟𝑟−1

𝑘𝑘=0

𝑟𝑟−2
�� − �∑𝑘𝑘=0
𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝑟𝑟 −1)!

(𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑘𝑘
𝑘𝑘!

��

19
=

𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 (𝜆𝜆)𝑟𝑟−1 (𝑥𝑥)𝑟𝑟−1
(𝑟𝑟 − 1)!

(𝜆𝜆)𝑟𝑟−1+1 (𝑥𝑥)𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
=
(𝑟𝑟 − 1)!

𝜆𝜆𝑟𝑟
𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) =
𝑥𝑥 𝑟𝑟 −1 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝑟𝑟 − 1)!

, 𝑥𝑥 > 0

Definisi 2.5
Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, peubah acak X dikatakan sebagai fungsi
gamma pdf dengan parameter r dan λ jika:
𝜆𝜆𝑟𝑟
𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) =
𝑥𝑥 𝑟𝑟 −1 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝑟𝑟 − 1)!
Fungsi Gamma

𝜆𝜆𝑟𝑟 𝑟𝑟−1 −𝜆𝜆𝜆𝜆
, 𝑥𝑥 > 0 atau 𝐺𝐺(𝑥𝑥: 𝑟𝑟, 𝜆𝜆) =
𝑥𝑥 𝑒𝑒
, 𝑥𝑥 > 0
Γ(𝑟𝑟)

Γ(𝑟𝑟)

∞

= � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

2.13

0

Beberapa pembuktian fungsi gamma untuk membantu penurunan rumus dalam
1

1

distribusi gamma. Mula-mula akan dicari nilai dari Γ �2�, substitusi nilai 𝑟𝑟 = 2

ke pers. (2.13)

∞

1
1
Γ � � = � 𝑥𝑥 2−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
2

1
Γ� �
2

0

𝑘𝑘

1

= lim � 𝑥𝑥 −2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

0

2.14

Fungsi diatas dijadikan kedalam bentuk polar, maka pertama-tama misalkan
sebagai berikut:
𝑑𝑑𝑑𝑑

Substitusi 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢2 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑢𝑢 ke persamaan (2.14)
𝑘𝑘

1
1
2 1
Γ � � = lim �(𝑢𝑢2 )−2 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑘𝑘→∞
2
2
0

20
𝑘𝑘

𝑘𝑘

1
1
2 1
2
Γ � � = lim � 𝑢𝑢−1 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 = lim � 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞
2
2
2 𝑘𝑘→∞
2

∞

𝐼𝐼 = � 𝑒𝑒
2

0

𝐼𝐼 = �

−𝑢𝑢 2

2𝜋𝜋

0

0

∞

𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑒𝑒

∞

� 𝑒𝑒
0

0

−𝑟𝑟 2

𝑘𝑘

−𝑣𝑣 2

∞

∞

0

𝑑𝑑𝑑𝑑 = � �� 𝑒𝑒 −𝑢𝑢
0

𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = �

2𝜋𝜋

0

0

∞

2 −𝑣𝑣 2

𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑑𝑑𝑑𝑑

2

𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑒𝑒 −𝑟𝑟 2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 4π
0

𝑘𝑘

1
1
1
2 1
2
Γ � � = lim � 𝑢𝑢−1 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 = lim � 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �2√𝜋𝜋�
𝑘𝑘→∞
2
2
2 𝑘𝑘→∞
2
0

0

1

Dihasilkan Γ �2� = √𝜋𝜋

Substitusi 𝑟𝑟 = 1 ke pers (2.13) diperoleh:
∞

Γ(1) = � 𝑥𝑥1−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

∞

= � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

𝑘𝑘

= lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

0

= lim �−𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 � = lim {(−𝑒𝑒 −𝑘𝑘 ) − (−𝑒𝑒 −0 )}
𝑘𝑘→∞

=−

1
+ 𝑒𝑒 0
𝑒𝑒 ∞

𝑘𝑘→∞

=0+1

=1

Dihasilkan Γ(1) = 1
Substitusi 𝑟𝑟 = 2 ke pers (2.13) diperoleh:
∞

Γ(2) = � 𝑥𝑥 2−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

21
∞

Γ (2) = � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

𝑘𝑘

= lim � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

0

= lim − 𝑥𝑥𝑒𝑒
𝑘𝑘→∞

−𝑥𝑥

𝑘𝑘

+ lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

= lim �−𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 � + lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘

0

= lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

Γ(2) = (−∞𝑒𝑒 −∞ + 0𝑒𝑒 0 ) + lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (0 + 0) + 1
𝑘𝑘→∞

∞

Γ(2 ) = � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

0

∞

Diperoleh nilai Γ(2) = � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
0

Substitusi 𝑟𝑟 = 3 ke pers (2.13) diperoleh:
∞

Γ(3) = � 𝑥𝑥 3−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

𝑘𝑘

Γ(3) = lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

= − lim � 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑥𝑥
𝑘𝑘→∞

0

2 −𝑥𝑥

= − lim 𝑥𝑥 𝑒𝑒
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘

+ 2 lim � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

0

22

Γ(3) =

− lim �𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 �
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘

+ lim � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

Γ(3) = −{(∞2 𝑒𝑒 −∞ ) − (02 𝑒𝑒 −0 )} + 2 lim � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘

0

Γ(3) = (0 + 0) + 2 lim � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

Γ(2) =

∞
∫0

𝑘𝑘→∞

0

𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 maka

∞

Γ(3) = 2 � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

Γ(3) = 2Γ(2)
Γ(3) = 2

∞

Diperoleh Γ(3) = � 𝑥𝑥 3−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2
0

Substitusi 𝑟𝑟 = 4 ke pers (2.13) diperoleh:
∞

Γ(4) = � 𝑥𝑥 4−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

𝑘𝑘

Γ(4) = lim � 𝑥𝑥 3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

𝑘𝑘

Γ(4) = lim � 𝑥𝑥 3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − lim � 𝑥𝑥 3 𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑥𝑥
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘

0

= − lim 𝑥𝑥 3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 + 3 lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

=

−lim𝑥𝑥 3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

+ 3 lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

= lim (−𝑘𝑘 3 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 + 03 𝑒𝑒 −0 ) + 3 lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘→∞

0

23
3 −∞

= −∞ 𝑒𝑒

3 −0

+ 0 𝑒𝑒

𝑘𝑘

𝑘𝑘

+ 3 lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

0

= (0 + 0) + 3 lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘→∞

Γ(4) = (0 + 0) + 3Γ(3)

0

Γ(4) = 6

∞

Diperoleh Γ(4) = � 𝑥𝑥 4−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 6
0

Akan dicari formula ke-r untuk fungsi gamma sebagai berikut:
∞

𝚪𝚪(𝒓𝒓) = � 𝒙𝒙𝒓𝒓−𝟏𝟏 𝒆𝒆−𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝟎𝟎

𝑘𝑘

𝑘𝑘

Γ(𝑟𝑟) = lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑥𝑥
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

0

Γ(𝑟𝑟) = − lim 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 + lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑟𝑟−1
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘→∞

0

∞

= −∞𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −∞ + 0𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 0 + (𝑟𝑟 − 1) � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘

0

Γ(𝑟𝑟) = 0 + 0 + (𝑟𝑟 − 1) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘

𝑘𝑘→∞

0

Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−2 𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑥𝑥
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1) � lim 𝑥𝑥 𝑟𝑟−2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 − (𝑟𝑟 − 2) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 �
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘→∞

0

24
Γ(𝑟𝑟)

= −(𝑟𝑟 − 1) �(∞𝑟𝑟−2 𝑒𝑒 −∞ ) − (0𝑟𝑟−2 𝑒𝑒 −0 )
𝑘𝑘

− (𝑟𝑟 − 2) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 �
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1) �0 − 0 − (𝑟𝑟 − 2) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 �
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘

0

Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) � lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑�
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) � lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −3 𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑥𝑥 �
Γ(𝑟𝑟)

𝑘𝑘→∞

0

= −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) �lim⁡𝑥𝑥 𝑟𝑟 −3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 − (𝑟𝑟
𝑘𝑘→∞

𝑘𝑘

− 3) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −4 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑�
𝑘𝑘→∞

0

Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) �(∞𝑟𝑟−3 𝑒𝑒 −∞ ) − (0𝑟𝑟−3 𝑒𝑒 −0 ) − (𝑟𝑟
𝑘𝑘

− 3) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−4 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑�
𝑘𝑘→∞

0

𝑘𝑘

Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) �0 − 0 − (𝑟𝑟 − 3) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−4 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑�
𝑘𝑘

𝑘𝑘→∞

0

Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3) � lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−4 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑�
𝑘𝑘→∞
∞

0

Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3) �� 𝑥𝑥 (𝑟𝑟−3)−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑�
0

25
Pada persamaan terakhir diketahui bahwa nilai terakhir adalah perkalian berulang
menurun maka untuk nilai 𝑟𝑟 > 1 maka gamma 𝑟𝑟 menjadi:
Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3){Γ(𝑟𝑟 − 3)}
Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)Γ(𝑟𝑟 − 1)
Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3) … 3.2.1
Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)!, di mana 𝑟𝑟 > 1
Γ(𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥Γ(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥!

Γ(𝑥𝑥 + 1)
𝑥𝑥
Γ(𝑥𝑥 + 𝑛𝑛)
Γ(𝑥𝑥) =
𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1)
(𝑥𝑥 + 𝑛𝑛)!
𝑥𝑥! =
(𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛

Γ(𝑥𝑥) =

𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 > 0

di mana (𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) untuk 𝑛𝑛 > 0

𝑥𝑥! =

𝑛𝑛! (𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥
𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥 (𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥
=
(𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛
(𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛
𝑛𝑛 𝑥𝑥

𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥
𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥
= lim
𝑛𝑛→∞ (𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛
𝑛𝑛→∞ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1)
lim

Diperoleh identitas

𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥
𝑛𝑛→∞ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1)

Γ(𝑥𝑥) = lim

Identitas Weierstrass

𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥
𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1)
=

1 1
1
(𝑛𝑛)−1− − −⋯− � 1
2 3
𝑛𝑛
𝑒𝑒 𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑒𝑒 1
𝑒𝑒 2
𝑒𝑒 𝑛𝑛
⋯
𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥/1 1 + 𝑥𝑥/2 1 + 𝑥𝑥/𝑛𝑛

26
𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥
lim
𝑛𝑛→∞ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1)
=

Γ(𝑥𝑥) =

Γ(𝑥𝑥) =

1 1
1
(𝑛𝑛)−1− − −⋯− � 1
2 3
𝑛𝑛
lim 𝑒𝑒 𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛 →∞
𝑥𝑥 1

1 1
1
𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑛𝑛)−1− − −⋯− � 1
2 3
𝑛𝑛
lim 𝑒𝑒
𝑛𝑛→∞
𝑥𝑥 1
𝑘𝑘=𝑛𝑛
1
𝑒𝑒 𝑥𝑥/𝑘𝑘
𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 lim �
𝑥𝑥 𝑛𝑛→+∞
1 + 𝑥𝑥/𝑘𝑘
𝑘𝑘=1
∞
1
𝑒𝑒 𝑥𝑥/𝑛𝑛
−𝛾𝛾𝛾𝛾

Γ(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒

�

𝑥𝑥
1 + 𝑛𝑛
Kedua ruas dilogaritmakan diperoleh
𝑥𝑥

𝑛𝑛 =1

𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑒𝑒 1
𝑒𝑒 2
𝑒𝑒 𝑛𝑛
⋯
+ 𝑥𝑥/1 1 + 𝑥𝑥/2 1 + 𝑥𝑥/𝑛𝑛

𝑒𝑒 1
𝑒𝑒 2
𝑒𝑒 𝑛𝑛
⋯
+ 𝑥𝑥/1 1 + 𝑥𝑥/2 1 + 𝑥𝑥/𝑛𝑛

∞

𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑙𝑙𝑙𝑙{Γ(𝑥𝑥)} = −log(𝑥𝑥) − γ𝑥𝑥 + � � − 𝑙𝑙𝑙𝑙 �1 + ��
𝑝𝑝
𝑝𝑝
𝑝𝑝=1

Berdasarkan persamaan terakhir diperoleh 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 atau 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 yang
dinotasikan oleh ψ(𝑥𝑥) untuk suatu bilangan bulat tak nol atau negatif dinyatakan
dalam turunan logaritma Γ(𝑥𝑥)
𝑑𝑑
{log⁡
[Γ(𝑥𝑥)]}
𝑑𝑑𝑑𝑑
∞
Γ′(𝑥𝑥)
1
1
1
ψ(x) =
= −γ − + � −
Γ(𝑥𝑥)
𝑥𝑥
𝑝𝑝 𝑥𝑥 + 𝑝𝑝

ψ(x) =

∞

𝑝𝑝=1

Γ′(𝑥𝑥)
1
1
= −γ + � −
Γ(𝑥𝑥)
𝑝𝑝 𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 − 1
𝑝𝑝=1

𝑥𝑥 ≠ 0, 1, 2, …

1
1
𝛾𝛾 = lim �1 + + ⋯ + − log⁡
(𝑝𝑝)� = 0.5772156649 …
𝑝𝑝→∞
2
𝑝𝑝

2.5 Estimasi

Estimator dalah kuantitas yang didasarkan dari observasi sampel yang nilainya
diambil
sebagai indikator dari nilai parameter populasi yang tidak diketahui (sebagai
contoh, rata-rata
sampel 𝑥𝑥̅ sering digunakan sebagai estimator dari mean populasi yang tidak
diketahui 𝜇𝜇) semakin lama semakin besar. Peubah acak dalam bentuk