Tri Rusdiyono, S.Pd. http:berbagimedia.wordpress.com
D E F I N I S I
Vektor adalah besaran yang mempunyai besarnilai dan arah. Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis
menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor . B
Contoh : Vektor AB . A
Titik A disebut titik pangkal dan titik B dinamakan titik ujung atau titik tangkap vektor.
A . BEBERAPA VEKTOR KHUSUS
1. Vektor Nol : adalah vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tertentu. 2. Vektor Posisi
Vektor posisi titik A adalah vektor yang titik pangkalnya di O dan ujungnya di titik A. Vektor
posisi dari titik A dilambangkan dengan
OA
atau
a
atau
a
. Sembarang vektor AB dapat dinyatakan dalam
bentuk hasil pengurangan dari vektor posisi sbb:
a b
AB
3. Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat.
Vektor basis yang searah dengan sumbu x dinamakan vektor
i
atau vektor
i
. Vektor basis yang searah dengan sumbu y dinamakan vektor
j
atau vektor
j
. Vektor basis yang searah dengan sumbu z dinamakan vektor
k
atau vektor
k
.
O A
x y
O A
x y
B
x y
z
Tri Rusdiyono, S.Pd. http:berbagimedia.wordpress.com
Secara aljabar sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sbb : 1. Vektor kolom matriks kolom
Jika
, ,
A A
A
z y
x A
dan
, ,
B B
B
z y
x B
maka
A A
A
z y
x a
OA
dan
B B
B
z y
x b
OB
,
sehingga :
A B
A B
A B
z z
y y
x x
a b
AB
2. Vektor baris matriks baris Jika
, ,
A A
A
z y
x A
dan
, ,
B B
B
z y
x B
maka
A A
A
z y
x a
OA
dan
B B
B
z y
x b
OB
, sehingga :
A B
A B
A B
z z
y y
x x
a b
AB
3. Vektor basis Jika
, ,
A A
A
z y
x A
dan
, ,
B B
B
z y
x B
maka k
z j
y i
x a
OA
A A
A
dan k
z j
y i
x b
OB
B B
B
, sehingga : k
z z
j y
y i
x x
a b
AB
A B
A B
A B
Diketahui titik-titik A10,3,7 , B6,2,5 dan C8,4,1 1 . Nyatakan vektor
a OA
dengan vektor kolom. 2 . Nyatakan vektor
BC
dengan vektor baris. 3 . Nyatakan vektor
AB
dengan vektor basis.
1 . Vektor
a OA
dinyatakan dengan vektor kolom :
7 3
10 a
OA
2 . Vektor
BC
dinyatakan dengan vektor baris :
b
c BC
8 4 1 6 2 5 = 14 6 4
3 . Vektor
AB
dinyatakan dengan vektor basis :
a
b AB
5 2
6 k
j i
7 3
10 k
j i
=
k j
i 2
5 4
1. Diketahui titik-titik K 2 , 4 , 1 , L 8 , 6 , 2 dan M 5 , 7 , 3 . Nyatakan vektor-vektor berikut dengan menggunakan vektor kolom :
a.
OM
b. KL c. ML
d. MK 2. Diketahui titik-titik D 6 , 8 , 1 , E 4 , 3 , 2 dan F 5 , 0 , 4 .
Nyatakan vektor-vektor berikut dengan menggunakan vektor basis : a.
OF
b. DE c. DF
d. EF
Tri Rusdiyono, S.Pd. http:berbagimedia.wordpress.com
B . MODULUS VEKTOR PANJANG VEKTOR
Jika
, ,
A A
A
z y
x A
dan
, ,
B B
B
z y
x B
maka panjang vektor
OA
adalah
OA
atau
a
, yaitu :
2 2
2 A
A A
z y
x a
Dan panjang vektor
AB
adalah :
2 2
2 A
B A
B A
B
z z
y y
x x
AB
1 . Hitunglah panjang vektor
k j
i r
5 2
14
2 . Jika
4 ,
8 ,
10
A
dan
1 ,
3 ,
2
B
hitunglah panjang vektor
AB
1 . Panjang vektor
k j
i r
5 2
14
adalah :
2 2
2
5 2
14
r
25 4
169
15 225
2 . Jika
4 ,
8 ,
10
A
dan
1 ,
3 ,
2
B
panjang vektor
AB
adalah :
2 2
2
4 1
8 3
10 2
AB
=
2 2
2
5 5
8
= 25
25 64
= 114
1. Hitunglah panjang vektor-vektor berikut :
a.
k j
i 3
2 6
d.
4 3
e.
10
4 8
b.
k j
i 2
4 4
c.
k j
i 5
5 7
2. Diketahui titik : A 1 , 3 , 6 , B 12 , 2 , 7 dan C 5 , 4 , 8 .
Hitunglah panjang vektor-vektor berikut : a.
OC
b. AB c.
AC
d.
CB
3. Diketahui titik D 3 , 6 , 1 dan E m , 4 , 2 .
Jika panjang vektor DE sama dengan 11, hitunglah nilai m
Tri Rusdiyono, S.Pd. http:berbagimedia.wordpress.com
C . PEMBAGIAN RUAS GARIS
Diketahui ruas garis AB. Titik P terletak pada ruas garis tersebut sedemikian hingga AP : PB = m : n .
Maka :
n m
b m
a n
p
Jika
, ,
A A
A
z y
x A
dan
, ,
B B
B
z y
x B
, maka :
n m
x m
x n
x
B A
P
n
m y
m y
n y
B A
P
n
m z
m z
n z
B A
P
Pada perbandingan AP : PB = m : n , 1. Jika P terletak di antara A dan B , maka m 0 dan n 0 .
2. Jika P terletak pada perpanjangan AB , maka m 0 dan n 0 . 3. Jika P terletak pada perpanjangan BA , maka m 0 dan n 0 .
Jika A 6 , 2 , 4 dan B 10 , 8 , 12 . P terletak pada AB sedemikian hingga AP : PB = 3 : 2 . Tentukan koordinat titik P
Koordinat P dapat ditentukan sbb :
Cara 1 :
5 42
5 30
12 5
10 3
6 2
5 3
2
B A
P
x x
x
4 5
24 4
5 8
3 2
2 5
3 2
B A
P
y y
y 5
28 5
36 8
5 12
3 4
2 5
3 2
B A
P
z z
z Jadi P
5 28
, 4
, 5
42
Cara 2 :
5
28 4
5 42
5 28
5 20
5 42
5 28
20 42
5 36
8 24
4 30
12
5 36
24 30
8 4
12
5 12
8 10
3 4
2 6
2 5
3 2
b a
p
Jadi P
5 28
, 4
, 5
42
P
A B
m n
O
Tri Rusdiyono, S.Pd. http:berbagimedia.wordpress.com
1. Tentukan koordinat titik P jika diketahui : a. A 3 , 2 , 4 , B 6 , 5 , 10 , dan AP : PB = 2 : 1
b. R 8 , 3 , 1 , S 1 , 9 , 2 , dan RP : PS = 4 : 2 c. K 4 , 1 , 3 , L 4 , 2 , 1 , dan KP : PL = 3 : 5
d. M 7 , 11 , 5 , N -2 , 5 , 8 , dan MP : PN = 4 : 3 e. C 1 , 5 , 3 , D 2 , 1 , 1 , dan CP : PD = 6 : 3
2. Titik A 6 , 5 , 4 dan B 5 , 3 , 4 . Titik P terletak pada ruas garis AB sedemikian hingga AP : PB = 1 : 3 . Tentukan koordinat titik B
D . OPERASI VEKTOR 1. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Riil
Diketahui vektor
a
dan
R k
. Secara geometris
vektor
a k
adalah vektor yang panjangnya
k
kali panjang vektor
a
dan arahnya searah dengan vektor
a
. Secara aljabar
, jika
A A
A
z y
x a
maka :
A A
A A
A A
z k
y k
x k
z y
x k
a k
1 . Jika
12
3 7
a
maka
72
18 42
12 6
3 6
7 6
12 3
7 6
6 a
2 . Jika
k j
i b
2 4
8
, maka
k j
i k
j i
b 4
8 16
2 4
8 2
2
2. Penjumlahan Vektor
