Ringkasan Materi dan Soal soal Matematik

D E F I N I S I

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah.

Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor .

B

Contoh : Vektor AB . A

Titik A disebut titik pangkal dan titik B dinamakan titik ujung atau titik tangkap vektor.

A . BEBERAPA VEKTOR KHUSUS

1. Vektor Nol : adalah vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tertentu.

2. Vektor Posisi

Vektor posisi titik A adalah vektor yang titik pangkalnya di O dan ujungnya di titik A. Vektor posisi dari titik A dilambangkan dengan OA atau a atau a.

Sembarang vektor AB dapat dinyatakan dalam

bentuk hasil pengurangan dari vektor posisi sbb:

AB ba

3. Vektor Basis

Vektor basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat.

Vektor basis yang searah dengan sumbu x dinamakan vektor i atau vektor i.

Vektor basis yang searah dengan sumbu y dinamakan vektor j atau vektor j.

Vektor basis yang searah dengan sumbu z dinamakan vektor k atau vektor k.

O

A

x

y

O

A

x

y

B

x

y

z

Secara aljabar sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sbb : 1. Vektor kolom ( matriks kolom )

Jika A(x_A,y_A,z_A) dan B(x_B,y_B,z_B) maka

           

A A A

z y x a

OA dan

           

B B B

z y x b

OB ,

sehingga :

     

   

   

 

A B

A B

A B

z z

y y

x x a b AB

2. Vektor baris ( matriks baris )

Jika A(x_A,y_A,z_A) dan B(x_B,y_B,z_B) maka OA  a 



x_A y_A z_A



dan



xB yB zB



b

OB   , sehingga :AB ba



xB  xA yB yA zB  zA



3. Vektor basis

Jika A(x_A,y_A,z_A) dan B(x_B,y_B,z_B) maka OA  a  xA i yA j  zA k dan k

z j y i x b

OB   B  B  B , sehingga :

k z z j y y i x x a b

AB    ( B  A)  ( B  A)  ( B  A)

Diketahui titik-titik A(10,3,7) , B(6,2,5) dan C(8,4,1) 1 . Nyatakan vektor OA  a dengan vektor kolom. 2 . Nyatakan vektor BC dengan vektor baris. 3 . Nyatakan vektor AB dengan vektor basis.

1 . Vektor OA  a dinyatakan dengan vektor kolom :

           

7 3 10 a OA

2 . Vektor BC dinyatakan dengan vektor baris : BC cb  ( 8 4 1 )  ( 6 2 5 ) = ( 14 6 4 )

3 . Vektor AB dinyatakan dengan vektor basis : AB ba  (6i 2j 5k) (10i 3j 7k) = 4 i  5j  2k

1. Diketahui titik-titik K ( 2 , 4 , 1 ) , L ( 8 ,  6 , 2 ) dan M ( 5 , 7 ,  3 ) . Nyatakan vektor-vektor berikut dengan menggunakan vektor kolom : a. OM b. KL c. ML d. MK 2. Diketahui titik-titik D ( 6 , 8 , 1 ) , E ( 4 ,  3 , 2 ) dan F ( 5 , 0 , 4 ) . Nyatakan vektor-vektor berikut dengan menggunakan vektor basis : a. OF b. DE c. DF d. EF

B . MODULUS VEKTOR ( PANJANG VEKTOR )

Jika A(x_A,y_A,z_A) dan B(x_B,y_B,z_B) maka panjang vektor OA adalah OA atau a , yaitu :

a  xA2 yA2 zA2

Dan panjang vektor AB adalah :

AB  (x_B x_A )2  (y_B y_A )2  (z_B z_A )2

1 . Hitunglah panjang vektor r14i 2j 5k !

2 . Jika A(10,8,4) dan B(2,3,1) hitunglah panjang vektor AB !

1 . Panjang vektor r14i 2j 5k adalah : r  142 22 (5)2 25 4 169 



15 225 



2 . Jika A(10,8,4) dan B(2,3,1) panjang vektor AB adalah : 2

2

2 _{(3 8) ( 1 4)} )

) 10 ( 2

(       



AB

= 82 (5)2(5)2 = 642525= 114

1. Hitunglah panjang vektor-vektor berikut :

a. 6 i  2j 3k d.

          

4 0 3

e.

         



10 4 8

b. 4 i  4 j  2k c. 7 i  5j  5k

2. Diketahui titik : A ( 1 , 3 , 6 ) , B ( 12 ,  2 , 7 ) dan C ( 5 , 4 , 8 ) . Hitunglah panjang vektor-vektor berikut :

a. OC b. AB c. AC d. CB

3. Diketahui titik D ( 3 , 6 , 1 ) dan E ( m , 4 , 2 ) .

C . PEMBAGIAN RUAS GARIS

Diketahui ruas garis AB. Titik P terletak pada ruas garis tersebut sedemikian hingga AP : PB = m : n .

Maka : n m b m a n p   

Jika A(x_A,y_A,z_A) dan B(x_B,y_B,z_B) , maka :

n m x m x n

x_P A B

   n m y m y n

y_P A B

   n m z m z n

z_P A B

  

Pada perbandingan AP : PB = m : n ,

1. Jika P terletak di antara A dan B , maka m > 0 dan n > 0 . 2. Jika P terletak pada perpanjangan AB , maka m < 0 dan n > 0 . 3. Jika P terletak pada perpanjangan BA , maka m > 0 dan n < 0 .

Jika A ( 6 , 2 , 4 ) dan B ( 10 , 8 , 12 ) . P terletak pada AB sedemikian hingga AP : PB = 3 : 2 . Tentukan koordinat titik P !

Koordinat P dapat ditentukan sbb :

Cara 1 :

5 42 5 30 12 5 10 3 6 2 5 3 2        

 A B

P x x x 4 5 24 4 5 8 3 ) 2 ( 2 5 3 2          

 A B

P y y y 5 28 5 36 8 5 ) 12 ( 3 4 2 5 3 2          

 A B

P

z z z Jadi P (

5 28 , 4 , 5 42  )

Cara 2 :

                                                                                                                 5 28 4 5 42 5 28 5 20 5 42 5 28 20 42 5 36 8 24 4 30 12 5 36 24 30 8 4 12 5 12 8 10 3 4 2 6 2 5 3

2a b

p

Jadi P (

5 28 , 4 , 5 42  ) P A B m n O

1. Tentukan koordinat titik P jika diketahui : a. A ( 3 , 2 , 4 ) , B ( 6 , 5 , 10 ) , dan AP : PB = 2 : 1 b. R ( 8 , 3 , 1 ) , S ( 1 , 9 , 2 ) , dan RP : PS = 4 : 2 c. K ( 4 , 1 , 3 ) , L ( 4 , 2 , 1 ) , dan KP : PL = 3 : 5 d. M ( 7 , 11 , 5 ) , N ( -2 , 5 , 8 ) , dan MP : PN = 4 : 3 e. C ( 1 , 5 , 3 ) , D ( 2 , 1 , 1 ) , dan CP : PD = 6 : 3

2. Titik A ( 6 , 5 , 4 ) dan B ( 5 , 3 , 4 ) . Titik P terletak pada ruas garis AB sedemikian hingga AP : PB = 1 : 3 . Tentukan koordinat titik B !

D . OPERASI VEKTOR

1. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Riil

Diketahui vektor a dan k R .

Secara geometris vektor k a adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor a dan arahnya searah dengan vektor a .

Secara aljabar , jika

          

A A A

z y x

a maka :

                     

A A A

A A A

z k

y k

x k z

y x k a k

1 . Jika

          

12 3 7

a maka

                

   

 

             

72 18 42

12 6

3 6

) 7 ( 6

12 3 7 6 6a

2 . Jika b  8 i 4j  2k , maka 2b 2(8 i 4j  2k ) 16 i 8j 4k

2. Penjumlahan Vektor

Diketahui vektor a dan b .

Secara geometris vektor a dan b dapat dijumlahkan dengan cara sbb : Dengan aturan jajaran genjang . Dengan aturan segitiga

Contoh : Contoh :

Jika

          

A A A

z y x

a dan

          

B B B

z y x

Secara aljabar hasil penjumlahan antara vektor a dan b , adalah :

                                     B A B A B A B B B A A A z z y y x x z y x z y x b a

Diketahui titik-titik A ( 12 , 3 , 6 ) , B ( 8 , 6 , 10 ) dan C ( 3 , -9 , 14 ) . Hitunglah : ABCB3AC !

c b a a c c b a b AC CB

AB 3 (  )(  )3(  )4 2 2                                                   32 6 38 14 9 3 2 10 6 8 2 6 3 12 4

3. Pengurangan Vektor

Diketahui vektor a dan b . Pengurangan vektora b dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan vektor a + ( b ) , dengan vektor b adalah vektor yang panjangnya sama dengan vektor b dan arahnya berlawanan dengan vektor b .

Contoh : Jika            A A A z y x

a dan

           B B B z y x

b . Secara aljabar hasil

pengurangan a  b , adalah :

                                     B A B A B A B B B A A A z z y y x x z y x z y x b a

Diketahui titik-titik K ( 9 , 4 , 3 ) , L ( 16 , 5 , 10 ) dan M ( 8 , 20 , -12 ) . Hitunglah : MLKL !

                                          15 16 1 12 20 8 3 4 9 ) ( )

(l m l k k m

KL ML

1. Diketahui titik A ( 24 , 18 ,  12 ) , B ( 14 , 21 , 18 ) , C ( 6 ,  5 , 1 ) dan D ( 22 , 16 , 10 ). Hitunglah :

a. AD CB b. BA 10 AC c. BD 6 DA 4AB d. 8AD DB OB e. CA7AD 3AO

f. DA DB g. 2AC  3CB h. 5 OA2CD 9AD

2. Diketahui a  50i 12 j  k , b  36 i 18 j  40k , dan k

j i

c  25 10  16 Hitunglah :

a. c  a  2b b. b 8a 3c

c. 4b 6c

3. Diketahui :

           

11 9 7 r ,

           

5 8 13

s , dan

          

40 12 16

t , hitunglah :

a. t  r b. s 8t  9r

4. Diketahui titik H ( m , 6 ,  2 ) , I ( 12 , n , 10 ) , dan J ( 3 , -4 , r ). Jika HI 4JH 6JI , hitunglah m , n , dan r !

E . PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

Definisi

: Perkalian skalar antara vektor a dan b adalah a  b , dengan : a  b  a b cos

Dengan  adalah sudut antara vektor a dan b .

Jika

          

A A A

z y x

a dan

          

B B B

z y x

b , maka : a  b  xA.xB yA.yB zA.zB

Sifat-sifat perkalian skalar 1. a  b  b  a

2. a  ( b  c )  a  b  a  c 3. a  a  a 2

1. Diketahui a 5 dan b 12, sudut antara vektor a dan b adalah 60  , hitunglah b

a  !

2. Diketahui titik-titik R ( 6 , 1 , 7 ) , S ( 9 , 4 , 0 ) dan T ( 21 , 11 , 2 ), hitunglah RT  TS

3. Diketahui vektor a  mi 4j 2k tegak lurus pada vektor b  7i m j 6k , hitunglah nilai m !

1. Jika a 5 dan b 12, sudut antara vektor a dan b adalah 60  , maka :

30

2 1 . 12 . 5 60 cos . 12 . 5

cos    



 b a b 

a

2. Diketahui titik-titik R ( 6 , 1 , 7 ) , S ( 9 , 4 , 0 ) dan T ( 21 , 11 , 2 ).

         

            

            

                                         

2 15 12

5 10 27 )

2 11 21

0 4 9 ( ) 7 1 6

2 11 21 ( ) ( ) (t r s t TS

RT

= 27 . ( 12 ) + ( 10 ) . 15 + ( 5 ) . ( 2 ) = 464

3. Vektor a  mi 4 j 2k tegak lurus pada vektor b  7i m j 6k , maka nilai m

dapat ditentukan sebagai berikut : 0

  b a

0 ) 6 7

( ) 2 4

(       

 mi j k i m j k

0 12 4

7   



 m m

 3m  12  m  4

1. Hitunglah nilai ab jika diketahui : a. a 8 , b  4 dan  = 30  b. a 7, b  3 dan  = 150  c. a 20, b 12 dan  = 225 

d. a 3, b  13 dan  = 330 

2. Hitunglah nilai pq jika diketahui :

a. p  16i 4j 2k dan q  15i 6 j  k b. p  8i 6k dan q  9j 28 k

3. Hitunglah nilai

r



s

jika diketahui : a.

          

3 26 5 r dan

          

56 15 90

s b.

          

16 0 11 r dan

          

4 6 37 s

4. Diketahui titik A ( 24 , 18 ,  12 ) , B ( 14 , 21 , 18 ) , C ( 6 ,  5 , 1 ) dan D ( 22 , 16 , 10 ). Hitunglah :

a. AB  CD

b. (DB AB )(BC AD )

c. (8BD 3BA )(2DA5DC ) d AC (5BA CA) 5. Tentukan nilai m jika vektor-vektor berikut saling tegaklurus :

a. h  2mi 8 j 7k dan g  5i 3m j 2k b. x  2mi 4m j 4k dan q  mi 3j 4k



F . SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

Jika  adalah sudut antara vektor vektor a dan b , maka nilai  dapat ditentukan dari :

b a

b a 

 

cos

Hitunglah nilai dari cos , jika  adalah sudut antara vektor a  5i 4 j 3k dan k

j i

b 2 2  !

Jika  adalah sudut antara vektor a  5i 4 j 3k dan b 2i 2 j  k , maka nilai kosinus  dapat ditentukan sebagai berikut :

9 50

5 1 4 4 9 16 25

3 8 10 )

1 ( ) 2 ( 2 ) 3 ( 4 5

) 1 ( . ) 3 ( ) 2 ( . 4 2 . 5 cos

2 2

2 2 2

2

    

  

    

 

     

 

b a

b a



2 3 1 2 5 . 3

5 _



Besar sudut  = 61,87 

1. Hitunglah nilai kosinus sudut antara vektor-vektor berikut : a. p  8i 6j 2k dan q  4i 3j 8k

b. p  3i 7j  k dan q  10i  j 9k c.

          

3 12 5

r dan

           

4 6 12 s

d.

          

16 18 14

r dan

           

1 2 2 s

2. Jika besar sudut antara vektor a  mi 12 j 3k dan b  8i 2j  k adalah 120 . Hitunglah nilai m !

3. Jika  adalah sudut antara vektor

           

4 7 15 c dan

          

20 6 3

d , hitunglah cos  , sin  , dan tan  !

G . PROYEKSI VEKTOR ORTOGONAL

Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah ‘bayangan tegak lurus’ dari vektor a pada vektor b.

Ada dua macam proyeksi vektor ortogonal , yaitu :

1. Proyeksi vektor .

Proyeksi vektor ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah vektor ‘bayangan’ nya , yaitu vektor c , dengan :

b b

b a

c _

  

   _ 

2

2. Proyeksi skalar ortogonal

.

Proyeksi skalar ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah panjang ( modulus ) dari vektor

‘bayangan’ nya , yaitu c , dengan :

b b a

c  

Diketahui vektor : a  10i 6 j 3k dan b  4i 8j 6k Tentukan : a . proyeksi vektor a pada vektor b !

b . proyeksi skalar a pada vektor b !

a . Proyeksi vektor a pada b adalah

b b

b a

c _

  

   _ 

2





(4 8 6 )

36 64 16

18 48 40

2 _ i  j  k

   

  

 

  

(4 8 6 ) 116

10

k j

i  

      

) 6 8 4 ( 58

5

k j

i  



i j k

58 30 58 40 58 20

 



k j i

29 15 29 20 29 10

  

b . Proyeksi skalar a pada b adalah 29

29 5 29 2

10 116

10 36

64 16

18 48 40

 

  

    

b b a c

1. Diketahui vektor p  4i 7 j 2k dan q  3i 6j 6k , tentukan : a. Proyeksi vektor p pada q b. Proyeksi vektor q pada p

2. Diketahui vektor

          

6 8 12

k dan

          

2 4 3

m , tentukan :

a. Proyeksi vektor m pada k b. Proyeksi skalar k pada m

3. Diketahui K ( 14 , 3 , 8 ) , L ( 10 , 1 , 6 ) , M ( 4 , 7 , 0 ) dan N ( 8 , 12 , -6 ). Tentukan : a. Proyeksi vektor KN pada LK

b. Proyeksi skalar LM pada KL

c. Proyeksi vektor MN pada NL d. Proyeksi skalar LM 2MK pada LN

4. Proyeksi skalar a  28i m j 16k pada b  4i 3j 5k sama dengan 2 5 2

.

Secara aljabar hasil penjumlahan antara vektor a dan b , adalah :                                      B A B A B A B B B A A A z z y y x x z y x z y x b a

Diketahui titik-titik A ( 12 , 3 , 6 ) , B ( 8 , 6 , 10 ) dan C ( 3 , -9 , 14 ) . Hitunglah : ABCB3AC !

c b a a c c b a b AC CB

AB 3 (  )(  )3(  )4 2 2

                                                  32 6 38 14 9 3 2 10 6 8 2 6 3 12 4

3. Pengurangan Vektor

Diketahui vektor a dan b . Pengurangan vektora b dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan vektor a + ( b ) , dengan vektor b adalah vektor yang panjangnya sama dengan vektor b dan arahnya berlawanan dengan vektor b .

Contoh : Jika            A A A z y x

a dan

           B B B z y x

b . Secara aljabar hasil

pengurangan a  b , adalah :

                                     B A B A B A B B B A A A z z y y x x z y x z y x b a

Diketahui titik-titik K ( 9 , 4 , 3 ) , L ( 16 , 5 , 10 ) dan M ( 8 , 20 , -12 ) . Hitunglah : MLKL !

                       1 8 9

1. Diketahui titik A ( 24 , 18 ,  12 ) , B ( 14 , 21 , 18 ) , C ( 6 ,  5 , 1 ) dan D ( 22 , 16 , 10 ). Hitunglah :

a. AD CB b. BA 10 AC c. BD 6 DA 4AB d. 8AD DB OB e. CA7AD 3AO

f. DA DB g. 2AC  3CB h. 5 OA2CD 9AD

2. Diketahui a  50i 12 j  k , b  36 i 18 j  40k , dan k

j i

c  25 10  16

Hitunglah : a. c  a  2b b. b 8a 3c

c. 4b 6c

3. Diketahui :

           

11 9 7

r ,

           

5 8 13

s , dan

          

40 12 16

t , hitunglah :

a. t  r b. s 8t  9r

4. Diketahui titik H ( m , 6 ,  2 ) , I ( 12 , n , 10 ) , dan J ( 3 , -4 , r ). Jika HI 4JH 6JI , hitunglah m , n , dan r !

E . PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

Definisi

: Perkalian skalar antara vektor a dan b adalah a  b , dengan : a  b  a b cos

Dengan  adalah sudut antara vektor a dan b .

Jika

          

A A A

z y x

a dan

          

B B B

z y x

b , maka : a  b  xA.xB yA.yB zA.zB

Sifat-sifat perkalian skalar

1. a  b  b  a

2. a  ( b  c )  a  b  a  c 3. a  a  a 2

1. Diketahui a 5 dan b 12, sudut antara vektor a dan b adalah 60  , hitunglah b

a  !

2. Diketahui titik-titik R ( 6 , 1 , 7 ) , S ( 9 , 4 , 0 ) dan T ( 21 , 11 , 2 ), hitunglah RT  TS

3. Diketahui vektor a  mi 4j 2k tegak lurus pada vektor b  7i m j 6k , hitunglah nilai m !

1. Jika a 5 dan b 12, sudut antara vektor a dan b adalah 60  , maka :

30

2 1 . 12 . 5 60 cos . 12 . 5

cos    



 b a b 

a

2. Diketahui titik-titik R ( 6 , 1 , 7 ) , S ( 9 , 4 , 0 ) dan T ( 21 , 11 , 2 ).

         

            

            

                                         

2 15 12

5 10 27 )

2 11 21

0 4 9 ( ) 7 1 6

2 11 21 ( ) ( ) (t r s t TS

RT

= 27 . ( 12 ) + ( 10 ) . 15 + ( 5 ) . ( 2 ) = 464

3. Vektor a  mi 4 j 2k tegak lurus pada vektor b  7i m j 6k , maka nilai m

dapat ditentukan sebagai berikut :

0

  b a

0 ) 6 7

( ) 2 4

(       

 mi j k i m j k

0 12 4

7   



 m m

 3m  12  m  4

1. Hitunglah nilai ab jika diketahui : a. a 8 , b  4 dan  = 30  b. a 7, b  3 dan  = 150  c. a 20, b 12 dan  = 225 

d. a 3, b  13 dan  = 330 

2. Hitunglah nilai pq jika diketahui :

a. p  16i 4j 2k dan q  15i 6 j  k b. p  8i 6k dan q  9j 28 k

3. Hitunglah nilai

r



s

jika diketahui : a.

          

3 26 5

r dan

          

56 15 90

s b.

          

16 0 11

r dan

          

4 6 37

s

4. Diketahui titik A ( 24 , 18 ,  12 ) , B ( 14 , 21 , 18 ) , C ( 6 ,  5 , 1 ) dan D ( 22 , 16 , 10 ). Hitunglah :

a. AB  CD

b. (DB AB )(BC AD )

c. (8BD 3BA )(2DA5DC )

d AC (5BA CA)

5. Tentukan nilai m jika vektor-vektor berikut saling tegaklurus : a. h  2mi 8 j 7k dan g  5i 3m j 2k

F . SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

Jika  adalah sudut antara vektor vektor a dan b , maka nilai  dapat ditentukan dari :

b a

b a   

cos

Hitunglah nilai dari cos , jika  adalah sudut antara vektor a  5i 4 j 3k dan k

j i

b 2 2  !

Jika  adalah sudut antara vektor a  5i 4 j 3k dan b 2i 2 j  k , maka nilai kosinus  dapat ditentukan sebagai berikut :

9 50

5 1 4 4 9 16 25

3 8 10 )

1 ( ) 2 ( 2 ) 3 ( 4 5

) 1 ( . ) 3 ( ) 2 ( . 4 2 . 5 cos

2 2

2 2 2

2

    

  

    

 

     

 

b a

b a 

2 3 1 2 5 . 3

5 _



Besar sudut  = 61,87 

1. Hitunglah nilai kosinus sudut antara vektor-vektor berikut : a. p  8i 6j 2k dan q  4i 3j 8k

b. p  3i 7j  k dan q  10i  j 9k

c.

          

3 12 5

r dan

           

4 6 12

s

d.

          

16 18 14

r dan

           

1 2 2

s

2. Jika besar sudut antara vektor a  mi 12 j 3k dan b  8i 2j  k adalah 120 . Hitunglah nilai m !

3. Jika  adalah sudut antara vektor

           

4 7 15

c dan

          

20 6 3

d , hitunglah cos  , sin  ,

G . PROYEKSI VEKTOR ORTOGONAL

Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah ‘bayangan tegak lurus’ dari vektor a pada vektor b.

Ada dua macam proyeksi vektor ortogonal , yaitu :

1. Proyeksi vektor .

Proyeksi vektor ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah vektor ‘bayangan’ nya , yaitu vektor c , dengan :

b b

b a

c _

  

   _ 

2

2. Proyeksi skalar ortogonal .

Proyeksi skalar ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah panjang ( modulus ) dari vektor

‘bayangan’ nya , yaitu c , dengan :

b b a c  

Diketahui vektor : a  10i 6 j 3k dan b  4i 8j 6k Tentukan : a . proyeksi vektor a pada vektor b !

b . proyeksi skalar a pada vektor b !

a . Proyeksi vektor a pada b adalah b

b b a

c _

  

   _ 

2





(4 8 6 )

36 64 16

18 48 40

2 _ i  j  k 

  

  

 

  

(4 8 6 ) 116

10

k j i   

     

) 6 8 4 ( 58

5

k j

i  



i j k

58 30 58 40 58 20

 



k j i

29 15 29 20 29 10

  

b . Proyeksi skalar a pada b adalah 29

29 5 29 2

10 116

10 36

64 16

18 48 40

 

  

    

b b a c

1. Diketahui vektor p  4i 7 j 2k dan q  3i 6j 6k , tentukan : a. Proyeksi vektor p pada q b. Proyeksi vektor q pada p

2. Diketahui vektor

          

6 8 12

k dan

          

2 4 3

m , tentukan :

a. Proyeksi vektor m pada k b. Proyeksi skalar k pada m 3. Diketahui K ( 14 , 3 , 8 ) , L ( 10 , 1 , 6 ) , M ( 4 , 7 , 0 ) dan N ( 8 , 12 , -6 ). Tentukan : a. Proyeksi vektor KN pada LK

b. Proyeksi skalar LM pada KL

c. Proyeksi vektor MN pada NL d. Proyeksi skalar LM 2MK pada LN

4. Proyeksi skalar a  28i m j 16k pada b  4i 3j 5k sama dengan 2 5 2

. Hitunglah nilai m!