RINGKASAN MATERI LINGKARAN DAN 15 SOAL b

Nama : Bama
Nurrochman

RINGKASAN MATERI LINGKARAN No
DAN 15 SOAL

beserta

: 16

PEMBAHASANNYA

RINGKASAN MATERI.

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)
Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap
satu titik tertentu.
Persamaan umum lingkaran adalah:

Mencari jarak antara 2 titik A (x1,y1) dan B (x2,y2):

Mencari jarak antara titik A (x1,y1) dan garis Ax+By+C=0 :

Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran

Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:

Kedudukan garis terhadap lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis
terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.
Lihat diskriminannya:
Jika


D0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:


Tentukan posisi garis:
o

Jawab:

terhadap lingkaran

:

Karena

, maka garis berada di luar lingkaran.

Persamaan garis singgung lingkaran
Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran


Jika persamaan lingkaran

, maka persamaan garis singgungnya:



Jika persamaan lingkaran
singgungnya:



Jika persamaan lingkaran berbentuk
persamaan garis singgungnya:

, maka persamaan garis

Persamaan lingkaran

, maka

dapat juga diubah menjadi
dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus

dihafalkan jadi lebih sedikit.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m
atau

15 Soal dan pembahasannya
1. Persamaan umum lingkaran dengan pusat (-2,3) berjari –jari 1 cm
adalah… ?
a. x2 + y2 - 4x + 6y = -6
b. x2 + y2 + 4x + 6y = 6
c. x2 + y2 - 4x - 6y = -12
d. x2 + y2 + 4x - 6y = 7
e. x2 + y2 - 4x + 6y = 7
jawab :
persamaan umum lingkaran = (x-a)2 + (y-b)2= r2
diket :

a = -2, b = 3, r= 1cm. Maka = (x+2)2 + (y-3)2= 12

= x2 + y2 + 4x - 6y -6 = 1

D

x2 + y2 + 4x - 6y = 7

2. Tentukan dan jari – jari lingkaran x2 + y2 = 169 :
a. 13
b. 12
c. 14
d. 10
e. 11
Jawab : Persamaan umum lingkaran dengan pusat (0,0) = x2 + y2 = r2
Diket :

persamaan lingkaran x2 + y2 = 169.

Maka x2 + y2 = 169 sama saja x2 + y2 = 132. Berarti r = 13
A
3. Tentukan jari – jari lingkaran dengan persaman (x + 3)2 + (y + 2)2 = 45
a. 15
b. 3 √ 5

c. 4 √ 5
d. 3 √ 2
e. 7
Jawab : Persamaan umum lingkaran dengan pusat (a,b) = (x-a)2 + (y-b)2= r2
Diket :

(x + 3)2 + (y + 2)2 = 45. Berarti r2 = 45

R=

√ 45 sama saja r = 3 √ 5
B

4. Dari soal nomor 3 tentukan pusat lingkarannya.
a. (-3,2)
b. (-5,-2)
c. (-3,-2)
d. (-2,-3)
e. (3,2)
Jawab : Diket :

persamaan lingkarannya (x + 3)2 + (y + 2)2 = 45

Padahal persamaan umum lingkaran dengan pusat (a,b) (x-a)2 + (y-b)2= r2
Berarti a = -3, b = -2
C
5. Tentukan jari – jari lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y = 0
a. 6
b. 7
c. 4
d. 5
e. 3
Jawab :

menentukan jari – jari dengan rumus =

Diketahui : A = -6, B = 8, C = 0, maka r =
r=

√ 32+(−4 )2

r=

√ 25 maka r = 5

=

√(

√(

−1 2 −1 2
A +(
B) −C
2
2

)

2

−1
−1 2
(−6) +(
8) −0
2
2

)

√ 9+16

D
6. Jika titik (2,-1) terletak pada lingkaran x2 + y2 + hx + 8y + 11 = 0,
maka nilai h ?
a. 4
b. 3
c. -4
d. -3
e. -5
Diket :

x1 = 2, y1 = -1. titik (2,-1) terletak pada lingkaran A x2 + y2 + hx
+ 8y + 11 = 0

Disubstitusikan : 22 + -12 + 2h + 8(-1) + 11 = 0 → 4 + 1 + 2h – 8 + 11 = 0
2h + 8 = 0 → 2h = -8, berarti h = -4
C
7. jika titik (2,-1) terletak diluar lingkaran x2 + y2 + kx + 8y + 13 = 0,
maka nilai k ?
a. K > -3
b. K > 3
c. K > -5
d. K < 5
e. K < -4
Titik (2,-1) terletak diluar lingkaran x2 + y2 + kx + 8y + 13 = 0, berarti (x a)2 + (y - b)2 > r2
Disubstitusikan 22 + (-1)2 + 2k + 8(-1) + 13 > 0 → 2k + 10 > 0
2k > -10 berarti k > -5
C
8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 13 di titik (2,3)
a. -2x + 3y = -13
b. -2x + 3y = -13

c. 2x - 3y = -13
d. 3x – 2y = 13
e. 3x – 2y = -13
Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0,0) = x1x + y1y = r2
Diket :
x1 = -2, y1 = 3, r2 = 13. Maka -2x + 3y = 13 ( dikalikan -1 semua
agar koefisien x menjadi positif ) berarti = 2x – 3y = -13
C
9. Persamaan garis singgung di titik ( 3,2) pada lingkaran x2 + y2 + 2x –
4y – 20 = 0 adalah …
a. 4x – 21 = 0
b. 4x – 5y – 21 = 0
c. 2x – 2y – 25 = 0
d. 4y – 30 = 0
e. 2x – 2y – 14 = 0
Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a,b) adalah (x-a)(x1-a) +
(y-b)(y1-b) = r2

Diket :
0

x1 = 3, y1 = 2, dan persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 20 =

Berarti kita harus mencari pusat lingkarannya dan jari – jari terlebih dahulu!
Pusat = (-

√(

1
1
1
1
A ), (B ) maka ( 2 ), ( - (−4 ) ) Pusat = ( -1,2), r=
2
2
2
2

−1 2 −1 2
A +(
B) −C
2
2

)

√ (−1 ) +( 2 ) −(−20)
2

r=

2

→r=

√ 25 berarti r = 5

(x - a)(x 1- a) + (y - b)(y1 - b) = r2

→

(x+1)(3+1) + (y-2)(2-2) = 52

(x+1) 4 + (y-2) 0 = 25 → 4x+4 = 25. Jadi persamaan lingkarannya 4x-21 = 0
A
10.
a.
b.
c.
d.
e.

Diketahui lingkaran x2 + y2 + 2px +10y + 9 = 36, maka nilai p adalah….
2 √3
2 √5
√5
2
-2 √ 5

(

Kita pakai rumus r2=
r2 =

(

2

)(

−1 2 −1 2
A +
B −C
2
2

) (

)

2

)

−1
−1
2p +
10 −9
2
2

→ 36 = p2 + 25-9

36 = p2 + 16 maka p2 = 20, p = 2
B

√5

11.
Persamaan lingkaran dengan pusat P (3,1) dana menyinggung
garis 3x + 4y +7 = 0 ??
a. x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0
b. x2 + y2 - 6x - 2y + 9 = 0
c. x2 + y2 - 6x - 2y - 6 = 0
d. x2 + y2 + 6x - 2y -9 = 0
e. x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0
persamaan dengan pusat (3,1)
(x-a)2 + (y-b)2 = r2,

a = 3, b = 1

Menyinggung garis 3x + 4y +7 = 0 garis ini identik dengan Ax + By + C = 0
Aa+ Bb+ C
√ A 2+ B 2

A = 3, B = 4, C = 7. r =
r=

20
5

→r=

3.3+ 4.1+7
√ 32 +4 2

→ r=

20
√25

maka r = 4, sehingga persamaan lingkarannya (x-3)2 + (y-1)2 = 42.

X2 + y2 – 6x – 2y + 9 + 1 = 16 jadi persamaannya adalah x2 + y2 - 6x - 2y - 6 = 0
C
12. Persamaa garis singgung lingkaran x2 + y2 + 10x – 12y + 20 = 0 yang melalui titik (-9.1)?
a. 4x – 5y + 31 = 0
d. 4x + 5y + 31 = 0
b. 4x – 5y + 41 = 0
e. 4x + 5y + 42 = 0
c. 4x – 5y - 31 = 0
diket : x1 = -9, y1 = 1, A = 10, B = -12, C = 20
x1x + y1y +
+ -9) +

1
2

1
2

A (x + x1) +

1
2

B (y + y1) + C = 0

→ -9x + y +

1
2

10 (x

-12 (y + 1) + 20 = 0

-9x + y + 5x -45 -6y -6 + 20 = 0
-4x – 5y -31 = 0 ⇔ 4x + 5y + 31 = 0

D

13. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x – 2 )2 + (y + 1 )2 = 13 dititik berabsis -1 ??
a. 3x – 2y – 3 = 0
b. 3x – 2y – 5 = 0
c. 3x + 2y – 9 = 0

D. 3x + 2y + 9 = 0
E. 3x + 2y + 5 = 0

titik berabis -1, berarti x = -1. Lalu substitusikanlah
(x – 2 )2 + (y + 1 )2 = 13

→

(-1 – 2 )2 + (y + 1 )2 = 13

(y + 1)2 = 4

→

( y + 1) = 2 maka y = 1

→

( y + 1) = -2 atau y = -3

Maka titik – titiknya ( -1, 3) atau (-1, 1)
(x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2 →
13

(x – 2)(-1 – 2) + (y + 1)(-3 + 1) =

-3x + 6 – 2y – 2 = 13

- 3x – 2y – 9

→

Dikalikan -1 semua
D

→

3x + 2y + 9

14. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y + 1 = 0 yang tegak lurus garis 3x
– y =0?
a. y – 3 = -3 (x-1) ± 3 √ 10
b. y – 3 = -3 (x-1) ± √ 10
1
c. y – 3 = (x-1) ± √ 10
3
1
d. y – 3 = (x-1) ± 3 √ 10
3
1
e. y – 3 = (x-1) ± 9 √ 10
3
1
tegak lurus dengan 3x – y = 0 berarti y = -3x
m1 = 3, m2 = 3
tegak lurus berarti kita gunakan m2
pusat lingkaran (1, 3), r = 3
1
3
−¿
¿
1+ ¿

y–3=

→

y – b = m (x – a ) ± r

y–3=

−1
( x−1 ) ± 3 √ ¿
3

y–3=

√ 1+m2

√

−1
1
10
x+ ±3
3
3
9

−1
1
x + ± √ 10
3
3

C

15.
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran dari titik (0,4) pada
lingkaran x2 + y2 = 4
A. y = x + 4
B. y = 2x + 4

C. y = -x + 4
D. y = -x 3 + 4

Jawab:
titik (0,4) berada di luar lingkaran :
karena 02 + 42 > 4
persamaan garis singgung melalui titik (0,4):
y = mx +c
x1 = 0; y1 = 4
y – y1 = m ( x – x1 ) ;
y – 4 = m(x-0)
y = mx+4
maka c = 4
cari nilai m

E. y = -x 2 + 4

y1 - b = m (x1 - a) + c ; dimana c = r √ 1+ m2
c = r √ 1+ m2 ⇔ c2 = r2 (1 + m2 )
16 = 4 (1+ m2 )
16 = 4 + 4m2
12 = 4m2
M2 = 3
m=± 3
masukkan ke dalam persamaan y = mx+4.
jika m= 3 � y = 3 x +4
jika m = - 3 � y = -3 x + 4

D