BILANGAN DALAM BENTUK AKAR (IRRASIONAL)
1.4 BILANGAN DALAM BENTUK AKAR (IRRASIONAL)
Pada bagian ini dibahas mengenai bentuk akar, misalnya .
Bentuk akar ditulis menggunakan tanda radikal dengan simbul . Sedangkan kata akar merupakan terjemahan dari kata root dalam bahasa
Inggris.
DEFINISI 1.4.1 : Akar kuadrat suatu bilangan real a non negatif adalah bilangan non
negatif b yang kalau dipangkatkan dua, menjadi bilangan semula a. Secara notasi matematika:
jika b 2 = a; dan b bilangan positif
Tulisan dibaca “akar kuadrat dari a” atau “akar dari a”.
Jadi mencari akar suatu bilangan merupakan kebalikan dari pemangkatan.
CONTOH 1.4.1 :
a. 2 , karena 3 =9
b. 2 , karena 5 = 25
CONTOH 1.4.2 : Tentukan hasil akar kuadrat berikut ini.
a. Pertama, difaktorkan 1296. Karena akhir bilangan tersebut adalah
2, maka 2 merupakan faktor. (648 difaktorkan)
Jadi 2 karena 36 = 1296
b. Faktorkan bilangan 194481 menjadi 194481 =
Jadi 2 karena 441 = 194481 Kalau kita lihat definisi akar di atas, berlaku bahwa:
i. ii.
Untuk x bilangan real, tentukan hasil dari . Penyelesaian:
= x + 1, jika (x+1) 0 atau x -1 = -(x+1), jika (x+1) < 0 atau x < -1
1.4.1 OPERASI ALJABAR PADA BILANGAN BERBENTUK AKAR
Bilangan dalam bentuk akar juga dapat dikenakan operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Karena pada dasarnya bilangan dalam bentuk akar adalah suatu bilangan real yang dapat dioperasikan.
Perkalian dan Pembagian Bilangan Bentuk Akar
Jika a dan b merupakan bilangan real positif, maka berlaku:
i.
ii.
d. jika a > 0.
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bentuk Akar
Jika a, b merupakan bilangan real dan c merupakan bilangan real positif, maka berlaku:
i.
ii.
Jika kita lihat sifat di atas, maka penjumlahan dan pengurangan bilangan dalam bentuk akar hanya dapat dilakukan pada dua bilangan yang
sejenis (pada ekspresi i & ii di atas
dikatakan bilangan sejenis ). Lihat
kembali sifat distributif pada bilangan real, sebenarnya operasi jumlah dan kurang di atas sama dengan yang telah lalu.
CONTOH 1.4.6 : Tentukan hasil dari pengoperasian bilangan bentuk akar di bawah ini.
a.
b.
c.
Penyelesaian: Jika bilangan dalam tanda akar belum sejenis, maka kita rubah sebisa
mungkin untuk dapat sejenis.
Sederhanakanlah bentuk
Penyelesaian: Sifat distributif pada bilangan real dapat dipakai, karena bilangan dalam
bentuk akar juga merupakan bilangan real.
1.4.2 MERASIONALKAN PENYEBUT
Pada pembagian yang memuat bentuk akar, hasilnya dapat berupa pecahan dengan penyebut bentuk akar. Bentuk akar pada penyebut itu Pada pembagian yang memuat bentuk akar, hasilnya dapat berupa pecahan dengan penyebut bentuk akar. Bentuk akar pada penyebut itu
i. ii.
CONTOH 1.4.8 : Rasionalkan penyebut pada bilangan:
a. b. c.
Penyelesaian:
a. Pada kasus ini, kalikan penyebutnya dengan bilangan yang sama dengan penyebut tersebut, yaitu
. Agar tidak merubah nilai bilangan, pembilang juga dikalikan
b. Pada kasus ini, kalikan penyebutnya dengan bilangan yang sama dengan penyebut tersebut, yaitu
. Agar tidak merubah nilai bilangan, pembilang juga dikalikan
c. Pada kasus ini, gunakan bentuk . Oleh karena itu, kalikan penyebutnya dengan bilangan
dan kalikan pembilang dengan
CONTOH 1.4.9 :
Rasionalkan penyebut pada bilangan
Penyelesaian: Pada kasus ini, penyebut memuat dua bilangan yang berbentuk akar.
Bentuk akar ini akan kita hilangkan satu per satu.
Penyebut
, sehingga kita buat seperti berikut ini.
; penyebut hanya memuat ; penyebut hanya memuat
1. Dengan memfaktorkan bilangan dalam tanda akar, carilah nilai akarnya.
2. Dengan memfaktorkan bilangan dalam tanda akar, carilah nilai akarnya.
3. Carilah nilai akar dari
4. Jika x merupakan bilangan real positif, maka tentukan nilai akar berikut ini.
a. b.
c. d.
5. Carilah tiga contoh bilangan, apabila bilangan tersebut dikuadratkan berakhir dengan angka 1 atau 9 ?.
6. Carilah contoh bilangan, apabila bilangan tersebut dikuadratkan berakhir dengan angka 2, 3, 7, atau 8 ?.
7. Jelaskan bahwa bilangan bulat yang berakhir dengan angka nol sebanyak ganjil bukan merupakan bilangan kuadrat.
8. Tentukan hasil dari operasi aljabar pada bilangan bentuk akar di bawah ini.