Pengoptimuman berbasis dual masalah penjadwalan tiga hari kerja dalam seminggu secara siklis
PENGOPTIMUMAN BERBASIS DUAL MASALAH
PENJADWALAN TIGA HARI KERJA DALAM SEMINGGU
SECARA SIKLIS
NUR HADI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengoptimuman
Berbasis Dual Masalah Penjadwalan Tiga Hari Kerja dalam Seminggu Secara
Siklis adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, November 2014
Nur Hadi
NIM G54080039
4
ABSTRAK
NUR HADI. Pengoptimuman Berbasis Dual Masalah Penjadwalan Tiga Hari
Kerja dalam Seminggu Secara Siklis. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan
BIB PARUHUM SILALAHI.
Solusi dual dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi
penjadwalan tiga hari kerja dengan empat hari libur secara turut-turut dalam
seminggu. Pertama masalah dual diselesaikan untuk meminimumkan banyaknya
total pekerja. Setelah itu solusi dual digunakan untuk menetapkan pola kerja yang
meminimumkan biaya total pekerja. Dari kedua tahap itu dirumuskan algoritme
solusi dual untuk menyelesaikan masalah optimasi penjadwalan tersebut.
Kata kunci: dual, integer programming, optimasi, penjadwalan tenaga kerja.
ABSTRACT
NUR HADI. Dual-Based Optimization of Cyclic Three-Day Workweek
Scheduling. Supervised by FARIDA HANUM dan BIB PARUHUM SILALAHI.
The dual solution can be utilized in solving optimization problem of labor
scheduling for three consecutive workdays and four consecutive off days per week.
Firstly, the dual solution is used to minimize the number of workers. Then, the
solution provides the calculation to set work load that minimizes labor cost. An
algorithm of dual solution is formulated to solve optimization problem of labor
scheduling.
Keywords: dual, integer programming, optimization, workforce scheduling.
5
PENGOPTIMUMAN BERBASIS DUAL MASALAH
PENJADWALAN TIGA HARI KERJA DALAM SEMINGGU
SECARA SIKLIS
NUR HADI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULATAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
6
7
Judul Skripsi : Pengoptimuman Berbasis Dual Masalah Penjadwalan Tiga Hari
Kerja dalam Seminggu Secara Siklis
Nama
: Nur Hadi
NIM
: G54080039
Disetujui
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing I
Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
8
9
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala
berkah-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Terima
kasih banyak dan penghargaan penulis sampaikan kepada Ibu Dra Farida Hanum,
MSi dan Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom selaku pembimbing serta Drs
Prapto Tri Supriyo, MKom sebagai penguji yang telah banyak memberi saran. Di
samping itu, terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua dosen dan staf di
Departemen Matematika atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama
masa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu,
serta seluruh keluarga, atas segala dukungannya, doa dan kasih sayangnya. Tak
lupa ucapan terima kasih juga kepada teman-teman Matematika 45, kakak/adik
kelas dan seluruh pihak yang telah mendukung penulis menyelesaikan karya
ilmiah ini. Mohon maaf penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu.
Akhir kata, semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi yang membutuhkannya.
Bogor, November 2014
Nur Hadi
10
11
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
v
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
1
MODEL PENJADWALAN
3
SOLUSI DUAL MASALAH (3,7)
5
Penentuan Total Pekerja Minimum
6
Penetapan Pola Kerja Berdasarkan Biaya
7
Algoritme Solusi Dual
10
CONTOH KASUS
12
SIMPULAN
14
DAFTAR PUSTAKA
14
LAMPIRAN
15
RIWAYAT HIDUP
24
12
DAFTAR TABEL
1. Pola penjadwalan masalah (3,7)
3
2. Hasil penyelesaian model dengan LINGO 11.0
4
3. Empat variabel berurutan
7
4. Biaya pekerja
8
5. Nilai
untuk semua kemungkinan nilai W
11
6. Hasil penjadwalan Contoh 2
12
7. Hasil penjadwalan Contoh 3
13
DAFTAR LAMPIRAN
1. Sintak dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk
masalah (3,7)
15
2. Bentuk lain persamaan (9)
3. Penetapan pola kerja untuk
4. Penetapan pola kerja untuk
16
∑
17
18
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Masalah penjadwalan pekerja merupakan masalah praktis yang muncul
dalam sebuah perusahaan yang beroperasi tujuh hari dalam seminggu. Karena itu
pekerja perlu diberikan pola penjadwalan kerja yang jelas dan terperinci.
Secara umum masalah penjadwalan pekerja dapat diklasifikasikan menjadi
tiga jenis, yaitu days-off, shift, dan tour scheduling (Baker 1976). Days-off
scheduling ialah masalah menentukan hari kerja dan waktu istirahat pekerja dalam
waktu tertentu. Sementara itu shift scheduling ialah masalah menentukan waktu
awal kerja, lamanya shift, interval dan waktu awal istirahat pekerja. Bila dalam
days-off dan shift scheduling harus ditentukan dalam suatu pola, maka masalahnya
menjadi masalah menentukan rute penjadwalan atau tour scheduling.
Dalam karya ilmiah ini penjadwalan pekerja yang digunakan adalah days-off
scheduling. Secara umum days-off scheduling yang banyak diterapkan oleh
sebuah perusahaan yang beroperasi tujuh hari dalam seminggu adalah pola
penjadwalan kerja dengan lima hari kerja dan dua hari libur secara berturut-turut
(Alfares 2001) atau atau empat hari kerja dan tiga hari libur secara berturut-turut
(Alfares 2000).
Masalah days-off scheduling dapat diselesaikan dengan beberapa cara, di
antaranya integer programming (IP) dan solusi dual. Dengan merujuk jurnal yang
berjudul Dual-based optimization of cycling three-day workweek scheduling, yang
ditulis oleh Hesham K. Alfares, karya ilmiah ini selanjutnya akan membahas pola
penjadwalan kerja dengan tiga hari kerja dan empat hari libur dalam seminggu
secara burturut-turut dengan solusi dual.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah meminimumkan banyaknya total pekerja
dan menetapkan pola kerja yang meminimumkan biaya total pekerja dengan
menggunakan solusi dual.
LANDASAN TEORI
Untuk memahami masalah dalam karya ilmiah ini diperlukan beberapa
pengertian sebagai berikut.
Pemrograman Linear Integer
Pemrograman integer atau Integer Programming (IP) adalah suatu model
pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat
(integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut
dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa
2
integer, maka disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya
harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.
(Winston 2004)
Dualitas
Terkait dengan suatu masalah optimasi linear, terdapat masalah optimasi
linear lain yang berpadanan. Kedua masalah ini dikenal dengan masalah primal
dan masalah dual dari suatu optimasi linear.
Bentuk standar dari masalah primal untuk kasus maksimisasi adalah:
terhadap
max ∑
∑
Bentuk standar dari masalah dual untuk masalah primal di atas adalah:
terhadap
min ∑
∑
(Chvatal 1983)
Bila dibandingkan, maka dua hubungan antara masalah primal dan dual,
yaitu:
1. Koefisien fungsi tujuan pada primal menjadi konstanta ruas kanan pada
dual. Sebaliknya, konstanta ruas kanan pada primal menjadi koefisien
fungsi tujuan pada dual.
2. Tanda ketidaksamaan pada pembatas menjadi terbalik, jika pada primal
berubah menjadi pada dual.
3. Fungsi tujuan berubah bentuk, maksimisasi pada primal akan berubah
menjadi minimisasi pada dual.
4. Setiap kolom kendala pada primal berhubungan dengan baris kendala pada
dual. Sebaliknya, setiap baris kendala pada primal akan menjadi kolom
kendala pada dual.
5. Dual dari dual adalah primal.
Teorema 1 (Complementary Slackness)
Solusi fisibel masalah primal
hanya jika terdapat bilangan-bilangan
∑
bila
adalah solusi optimal jika dan
sehingga
3
bila ∑
dan
∑
(Chvatal 1983)
MODEL PENJADWALAN
Secara umum pola penjadwalan pekerja yang banyak digunakan oleh sebuah
perusahaan yang beroperasi tujuh hari kerja dalam seminggu adalah lima hari
kerja dengan dua hari libur berturut-turut atau empat hari kerja dengan tiga hari
libur berturut-turut. Namun dalam karya ilmiah ini pola penjadwalan pekerja yang
digunakan adalah pola penjadwalan tiga hari kerja dengan empat hari libur secara
beturut-turut dalam seminggu atau biasa disebut dengan masalah (3,7). Jadi,
pekerja hanya bekerja selama tiga hari secara berturut-turut dalam seminggu
kemudian libur selama empat hari berturut-turut. Pola penjadwalan masalah (3,7)
dapat dilihat pada Tabel 1 berikut:
Misalkan hari 1 = Senin, 2 = Selasa, 3 = Rabu, 4 = Kamis, 5 = Jumat, 6 = Sabtu, 7
= Minggu.
Tabel 1 Pola penjadwalan masalah (3,7)
Pola ke
1
2
3
4
5
6
7
Hari Kerja
5, 6, 7
1, 6, 7
1, 2, 7
1, 2, 3
2, 3, 4
3, 4, 5
4, 5, 6
Hari Libur
1, 2, 3, 4
2, 3, 4, 5
3, 4, 5, 6
4, 5, 6, 7
1, 5, 6, 7
1, 2, 6, 7
1, 2, 3, 7
Masalah (3,7) dapat diformulasikan ke dalam integer programming,
dengan menyatakan indeks untuk hari
, ialah indeks untuk pola
kerja
, menyatakan banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada
hari , dan menyatakan banyaknya pekerja yang bekerja pada pola kerja .
Formulasi integer programming (IP) masalah (3,7) ialah sebagai berikut:
min
∑
4
terhadap
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Senin harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Senin)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Selasa harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Selasa)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Rabu harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Rabu)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Kamis harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Kamis)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada Jumat
harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Jumat)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Sabtu harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Sabtu)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Minggu harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Minggu)
Sebagai ilustrasi diberikan contoh IP masalah (3,7)
Contoh 1
Misalkan
,
,
,
,
,
,
Dengan bantuan software LINGO 11.0 (Lampiran 1), solusi masalah (3,7) adalah
seperti pada Tabel 2.
Tabel 2 Hasil penyelesaian model dengan LINGO 11.0
Hari Kerja
Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Minggu
Senin-Selasa-Rabu
Selasa-Rabu-Kamis
Rabu-Kamis-Jumat
Kamis-Jumat-Sabtu
W
Hari Libur
Senin-Selasa-Rabu-Kamis
Selasa-Rabu-Kamis-Jumat
Rabu-Kamis-Jumat-Sabtu
Kamis-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Rabu-Minggu
Jumlah Pekerja
2
7
0
0
3
5
0
17
Berdasarkan ilustrasi di atas diketahui bahwa masalah (3,7) dapat
diselesaikan dengan bantuan software LINGO 11.0. Meski begitu, masalah (3,7)
juga dapat diselesaikan dengan penyelesaian lain, yaitu solusi dual. Solusi dual
memiliki dua keunggulan dibandingkan dengan integer programming (IP).
5
Pertama, jika diselesaikan secara manual, algoritme yang dihasilkan dari solusi
dual lebih cepat menyelesaikan masalah (3,7) karena diselesaikan tanpa iterasi
(Alfares 2001). Kedua, jika ada kasus yang sama dengan masalah yang lebih besar,
solusi dual mempunyai kelebihan efisiensi komputasi yang signifikan (Alfares
dan Bailey 1997). Karena itu karya ilmiah ini selanjutnya akan membahas
penyelesaian masalah (3,7) dengan solusi dual.
SOLUSI DUAL MASALAH (3,7)
Untuk menyelesaikan masalah (3,7) dengan solusi dual digunakan
pemrograman linear dual dan hubungan primal-dual (complementary slackness).
Pemrograman linear masalah (3,7) adalah sebagai berikut.
Indeks
i = hari, i = 1, 2, ..., 7
j = pola kerja, j = 1, 2, ..., 7.
Parameter
banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari i
= banyaknya pekerja yang libur pada hari i
Variabel Keputusan
= banyaknya pekerja yang bekerja pada pola kerja j
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah (3,7) adalah meminimumkan banyaknya total
∑
.
(1)
pekerja selama seminggu (W), yaitu min
Kendala
Kendala-kendala masalah (3,7) adalah sebagai berikut:
1 Banyaknya pekerja yang bekerja pada hari i harus lebih besar atau sama dengan
banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari i
.
∑
.
(2)
Karena masalah (3,7) bersifat siklis, yaitu dalam seminggu hanya ada tujuh
pola kerja dan berulang setiap minggunya, maka untuk semua subscript dari
berlaku kelipatan 7. Misalkan jika
, maka dari (2) diperoleh
. Karena bersifat siklis, maka pertaksamaan tersebut dapat
dituliskan
. Demikian pula untuk
(menjadi
) dan
(menjadi
). Hal itu juga berlaku pada
variabel dualnya.
6
2 Banyaknya pekerja yang bekerja pada pola kerja j harus lebih besar atau sama
dengan nol,
(3)
Dengan demikian secara umum pemrograman linear primal masalah (3,7)
adalah sebagai berikut:
terhadap
∑
min
∑
.
Masalah dual dari masalah (3,7) adalah sebagai berikut:
terhadap
max ̂
∑
.
Secara umum pemrograman linear dual masalah (3,7) adalah sebagai
berikut:
(4)
max ̂ ∑
∑
terhadap
(5)
Penentuan Total Pekerja Minimum
Ada dua kemungkinan solusi dual untuk menentukan banyaknya total
pekerja, dan kemungkinan tersebut dipengaruhi oleh banyaknya pekerja yang
Kedua kemungkinan tersebut selanjutnya akan
dibutuhkan pada hari i
dibahas sebagai berikut:
1 Karena fungsi objektif dual masalah (3,7) adalah maksimisasi, maka solusi
masalah dual dapat diperoleh dengan membuat kendala dual masalah (3,7)
dalam bentuk persamaan.
∑
.
(6)
Karena setiap kendala (5) hanya terdiri atas tiga variabel dual, maka
dimungkinkan untuk memperoleh solusi dengan cara memberi nilai setiap
variabel dual dengan 1/3 dari nilai ruas kanan. Dengan begitu diperoleh semua
7
variabel dual
optimal, nilai
masalah (3,7) bernilai 1/3. Dengan demikian dalam kondisi
∑
, sehingga
∑ .
2 Mengingat pola penjadwalan masalah (3,7) hanya terdiri atas tiga hari kerja
dalam tujuh hari, maka sedikitnya ada satu dari empat variabel berurutan harus
}
{
Empat variabel
termasuk dalam himpunan
berurutan tersebut merupakan variabel yang merepresentasikan empat hari
libur berturut-turut. Dengan demikian sedikitnya terdapat satu dari empat
variabel berurutan yang tidak terdapat dalam kendala dual tapi termasuk ke
dalam himpunan (lihat Tabel 3).
Tabel 3 Empat variabel berurutan
{
Variabel Berurutan
Kendala Dual
}
Karena setiap kendala dual masalah (3,7) hanya terdapat satu variabel dual
anggota himpunan , maka dimungkinkan memberi nilai 1 untuk kedua
variabel dual anggota himpunan pada kendala dual, yaitu
.
(7)
Bila
didefinisikan
maka akan dipilih
dengan
{
} yang memaksimalkan
yaitu
Kemudian nilai
variabel dual
lainnya sama dengan 0, dan banyaknya total
pekerja minimum adalah
Berdasarkan dua kemungkinan tersebut, banyaknya pekerja total (W) dapat
diperoleh dengan rumus sebagai berikut:
{ ∑
dengan
min {
{
}
},
(8)
}.
Penetapan Pola Kerja Berdasarkan Biaya
Penetapan pola kerja masalah (3,7) dipengaruhi oleh beberapa hal. Salah
satu di antaranya adalah biaya pekerja. Bila diasumsikan bahwa biaya pekerja
yang bekerja di hari biasa adalah A dan di akhir pekan (Sabtu-Minggu) adalah
A(1+B) maka biaya setiap pola kerja bisa dilihat pada Tabel 4.
8
Tabel 4 Biaya pekerja
Pola
1
2
3
4
5
6
7
Hari kerja
5, 6, 7
1, 6, 7
1, 2, 7
1, 2, 3
2, 3, 4
3, 4, 5
4, 5, 6
Biaya pekerja per minggu
(3+2B)A
(3+2B)A
(3+B)A
3A
3A
3A
(3+B) A
Dari Tabel 4 diketahui bahwa biaya pekerja termurah adalah pola kerja 4, 5, dan 6,
kemudian disusul pola 3 dan 7, sedangkan pola kerja paling mahal adalah pola
kerja 1 dan 2. Selain biaya pekerja, penetapan pola kerja juga dipengaruhi oleh
banyaknya total pekerja (W) atau dalam hal ini dipengaruhi nilai ruas kanan dari
(8). Selanjutnya akan dibahas sebagai berikut:
∑
}
, maka berlaku persamaan (6)
1 Bila
{ ∑
yaitu semua variabel dual masalah (3,7) adalah bernilai positif (
Berdasarkan teorema complementary slackness, jika
suatu variabel dual
bernilai
, maka kendala primal yang berpadanan
akan berbentuk suatu persamaan pada keadaan optimum.
∑
.
(9)
Persamaan (9) dapat dinyatakan dalam bentuk lain. Misalkan
adalah
banyaknya pekerja yang libur pada hari i dan
, maka persamaan (9)
dapat dituliskan sebagai berikut:
∑
∑
∑
∑
∑
.
(10)
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 2)
Dengan menggunakan persamaan (10), penetapan pola kerja dapat diketahui
sebagai berikut:
Bila
, maka
∑
9
Dengan cara yang sama untuk
∑
adalah
, penetapan pola kerja untuk
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 3)
2 Bila
{ ∑
}
maka berlaku persamaan (7) yaitu
nilai
dan
sama dengan 1. Berdasarkan teorema complementary
slackness, maka pada keadaan optimum kendala primal dan
adalah
dalam bentuk persamaan. Selain itu, karena biaya pekerja di akhir pekan lebih
mahal, maka untuk meminimumkan banyaknya pekerja yang bekerja di hari itu,
kendala primal untuk
selalu dibuat dalam bentuk persamaan.
Dengan demikian penetapan pola kerja untuk kasus
kemungkinan
yang terpilih, yaitu
Bila
dan kendala primal bentuk lain (10) untuk
persamaan.
ada tujuh
maka
dalam bentuk
(11.a)
(11.b)
(11.c)
(11.d)
(11.e)
(11.f)
(11.g)
, maka W didapat dengan menjumlahkan (11.a) dan (11.d)
Karena
Sementara pengurangan (11.f) dari penjumlahan (11.a) dan (11.d) adalah
Dari (11.b) diperoleh
.
Dengan mengeksplorasi (11.a) sampai (11.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
(11.h)
10
{
{
untuk
}
}
Dengan cara yang sama untuk
adalah seperti pada Tabel 5.
, penetapan pola kerja
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 4)
Algoritme Solusi Dual
Berdasarkan pembahasan di atas algoritme solusi dual untuk menyelesaikan
masalah (3,7) adalah sebagai berikut:
1. Tentukan total pekerja minimum W dengan menggunakan rumus
{ ∑
}.
}
∑
{∑
, maka
2. Jika
∑
a) Jika
bukan bilangan bulat, tambahkan nilai terkecil (hindari
∑ untuk membuat ∑ menjadi
memilih dan ) dengan
kelipatan 3.
b) Hitung
dengan menggunakan rumus
, lalu hitung
∑
sebagaimana dalam Tabel 5.
}
{∑
, maka lakukan langkah 2b, lalu hitung
3. Jika
sebagaimana dalam Tabel 5.
11
untuk semua kemungkinan nilai W
Tabel 5 Nilai
W
∑
{
0
{
0
{
{
0
}
{
}
0
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
}
{
}
{
{
{
{
0
{
}
}
0
}
}
{
}
}
0
11
12
CONTOH KASUS
Contoh 2
Misalkan
,
,
,
,
,
,
.
∑
∑
Karena ∑
terkecil (
adalah
{ ∑
{
}
}
bukan bilangan bulat, maka harus dibulatkan dengan menambah
dengan 1 untuk membuat ∑ menjadi kelipatan 3. Jadi terbaru
,
Dari Tabel 5, nilai
,
,
,
untuk ∑
,
,
,
,
adalah
,
,
,
,
Tabel 6 Hasil penjadwalan Contoh 2
Pekerja
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Senin
Selasa Rabu
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
9
7
6
Keterangan: 0 = Libur dan 1 = Masuk
Kamis
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
Jumat
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
3
Sabtu
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
Minggu
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
6
13
Contoh 3
Misalkan
,
,
,
,
,
,
.
∑
∑
{ ∑
}
Dengan menghitung
,
Dari Tabel 5, nilai
,
diperoleh
,
,
untuk
adalah
,
,
{
}
,
,
,
,
,
,
Tabel 7 Hasil penjadwalan Contoh 3
Pekerja
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Senin
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
9
Selasa
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
7
Rabu
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
2
Kamis
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
6
Jumat
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
8
Sabtu
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
7
Minggu
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
14
SIMPULAN
Masalah penjadwalan tiga hari kerja dan empat hari libur secara berturutturut atau biasa disebut masalah (3,7) dapat diselesaikan dengan solusi dual.
Algoritme optimasi yang dihasilkan dari masalah dual (3,7) dapat digunakan
untuk meminimumkan banyaknya total pekerja dan menetapkan pola kerja untuk
meminimumkan biaya total pekerja secara manual tanpa menggunakan software.
DAFTAR PUSTAKA
Alfares HK and Bailey JE. 1997. Integrated project task and manpower
scheduling. IIE Transactions. 29: 711-718. doi: 10.1080/07408179708966381.
Alfares HK. 2000. Dual-based optimization of cycling three-day workweek
scheduling. Asia-Pacific Journal of Operational Research. 17: 137-148. doi:
10.1002/mcda.420.
Alfares HK. 2001. Efficient optimization of cyclic labor days-off scheduling. OR
Spektrum. 23: 283-294. doi: 10.1007/PL00013353.
Alfares HK. 2000. Dual-based optimization of cyclic four-day workweek
scheduling. IMA Journal of Mathematics Applied in Business & Industry. 11:
269-283. doi: 10.1093/imaman/11.4.269.
Baker KR. 1976. Workforce allocation in cyclical scheduling problem: a survey.
Operational Research Quarterly. 27: 155-167. doi: 10.1057/jors.1976.30.
Chvatal V. 1983. Linear Programming. New York (US): WH Freeman &
Company.
Nash SG and Sofer A. 1996. Linear and Nonlinear Programming. New York
(US): McGraw-Hill.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms 4thed. New
York (US): Duxbury.
15
Lampiran 1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah
(3,7)
x2+x3+x4>=9;
x3+x4+x5>=7;
x4+x5+x6>=2;
x5+x6+x7>=6;
x6+x7+x1>=8;
x7+x1+x2>=7;
x1+x2+x3>=3;
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);
!xj=banyaknya pekerja yang bekerja pada pola kerja j
!ri=banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari i
Hasil yang diperoleh sebagai berikut:
Global optimal solution found.
Objective value:
Objective bound:
Infeasibilities:
Extended solver steps:
Total solver iterations:
Variable
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X1
Row
1
2
3
4
5
6
7
8
17.00000
17.00000
0.000000
0
4
Value
2.000000
7.000000
0.000000
0.000000
3.000000
5.000000
0.000000
Slack or Surplus
0.000000
0.000000
1.000000
2.000000
0.000000
0.000000
6.000000
17.00000
Reduced Cost
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
DualPrice
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
-1.000000
16
Lampiran 2 Bentuk lain persamaan (9)
Bila
, maka
∑
Bila
∑
∑
, maka
∑
Bila
∑
∑
∑
, maka
∑
17
Bila
∑
, maka
∑
Bila
∑
∑
, maka
∑
Bila
∑
∑
, maka
∑
∑
∑
Bila
, maka
∑
∑
∑
Lampiran 3 Penetapan pola kerja untuk
Bila
, maka
∑
Bila
, maka
∑
∑
18
Bila
, maka
∑
Bila
, maka
∑
Bila
, maka
∑
Bila
, maka
∑
Lampiran 4 Penetapan pola kerja untuk
Bila
, maka
dalam bentuk persamaan.
dan kendala primal untuk
adalah
(12.a)
(12.b)
(12.c)
(12.d)
(12.e)
(12.f)
(12.g)
19
, maka W didapat dengan menjumlahkan (12.b) dan (12.e)
Karena
Sementara pengurangan (12.g) dari penjumlahan (12.b) dan (12.e) adalah
Dari (12.d) diperoleh
(12.h)
Dengan mengeksplorasi (12.a) sampai (12.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
{
{
Bila
persamaan.
}
, maka
}
dan kendala primal untuk
dalam bentuk
(13.a)
(13.b)
(13.c)
(13.d)
(13.e)
(13.f)
(13.g)
Karena
, maka W didapat dengan menjumlahkan (11.c) dan (11.f)
20
Sementara pengurangan (13.g) dari penjumlahan (13.c) dan (13.f) adalah
Dari (13.d) diperoleh
(13.h)
Dengan mengeksplorasi (13.a) sampai (13.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
{
}
{
{
Bila
persamaan.
, maka
}
}
dan kendala primal untuk
dalam bentuk
(14.a)
(14.b)
(14.c)
(14.d)
(14.e)
(14.f)
(14.g)
Karena
, maka W didapat dengan menjumlahkan (14.d) dan (14.g)
Sementara pengurangan (14.f) dari penjumlahan (14.d) dan (11.g) adalah
Dari (14.b) diperoleh
21
(14.h)
Dengan mengeksplorasi (14.a) sampai (14.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
{
{
}
{
}
}
Bila
, maka
bentuk persamaan.
dan kendala primal untuk
dalam
(15.a)
(15.b)
(15.c)
(15.d)
(15.e)
(15.f)
(15.g)
Karena
, maka W didapat dengan menjumlahkan (15.a) dan (15.e)
Sementara pengurangan (15.g) dari penjumlahan (15.a) dan (15.e) adalah
Dari (15.d) diperoleh
(15.h)
Dengan mengeksplorasi (15.a) sampai (15.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
22
{
{
Bila
persamaan.
}
, maka
}
dan kendala primal untuk
dalam bentuk
(16.a)
(16.b)
(16.c)
(16.d)
(16.e)
(16.f)
(16.g)
, maka W didapat dengan menjumlahkan (16.b) dan (11.f)
Karena
Sementara pengurangan (16.g) dari penjumlahan (16.b) dan (16.f) adalah
Dari (16.d) diperoleh
(16.h)
Dengan mengeksplorasi (16.a) sampai (16.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
{
{
{
}
}
}
23
Bila
persamaan.
, maka
dan kendala primal untuk
dalam bentuk
(17.a)
(17.b)
(17.c)
(17.d)
(17.e)
(17.f)
(17.g)
, maka W didapat dengan menjumlahkan (17.c) dan (17.g)
Karena
Sementara pengurangan (17.f) dari penjumlahan (17.c) dan (14.g) adalah
Dari (17.b) diperoleh
(17.h)
Dengan mengeksplorasi (17.a) sampai (17.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
{
{
{
}
}
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di kampung pesisir Bulu, Kabupaten Tuban, Jawa
Timur, pada 10 Oktober 1990. Penulis merupakan anak bungsu dari lima
bersaudara dari pasangan Bapak Abdul Rahman dan Ibu Nur Rahmah. Tahun
2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tuban kemudian diterima sebagai
mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk
IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).
Semasa menjadi mahasiswa, penulis tidak banyak aktif di organisasi
kemahasiswaan. Di tingkat pertama penulis sempat aktif di BEM KM IPB dan
UKM BKIM IPB, sebelum kemudian keluar lantaran kemerdekaan berpikir
penulis dibatasi. Selanjutnya penulis bebas beraktivitas penulis sendiri. Dalam
aktivitas yang tak jelas itu penulis menelurkan sebuah buku berjudul “Nabi Drop
Out Mahasiswa Cumlaude” dan sejumlah artikel yang tersebar di beberapa media
massa.
PENJADWALAN TIGA HARI KERJA DALAM SEMINGGU
SECARA SIKLIS
NUR HADI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengoptimuman
Berbasis Dual Masalah Penjadwalan Tiga Hari Kerja dalam Seminggu Secara
Siklis adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, November 2014
Nur Hadi
NIM G54080039
4
ABSTRAK
NUR HADI. Pengoptimuman Berbasis Dual Masalah Penjadwalan Tiga Hari
Kerja dalam Seminggu Secara Siklis. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan
BIB PARUHUM SILALAHI.
Solusi dual dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi
penjadwalan tiga hari kerja dengan empat hari libur secara turut-turut dalam
seminggu. Pertama masalah dual diselesaikan untuk meminimumkan banyaknya
total pekerja. Setelah itu solusi dual digunakan untuk menetapkan pola kerja yang
meminimumkan biaya total pekerja. Dari kedua tahap itu dirumuskan algoritme
solusi dual untuk menyelesaikan masalah optimasi penjadwalan tersebut.
Kata kunci: dual, integer programming, optimasi, penjadwalan tenaga kerja.
ABSTRACT
NUR HADI. Dual-Based Optimization of Cyclic Three-Day Workweek
Scheduling. Supervised by FARIDA HANUM dan BIB PARUHUM SILALAHI.
The dual solution can be utilized in solving optimization problem of labor
scheduling for three consecutive workdays and four consecutive off days per week.
Firstly, the dual solution is used to minimize the number of workers. Then, the
solution provides the calculation to set work load that minimizes labor cost. An
algorithm of dual solution is formulated to solve optimization problem of labor
scheduling.
Keywords: dual, integer programming, optimization, workforce scheduling.
5
PENGOPTIMUMAN BERBASIS DUAL MASALAH
PENJADWALAN TIGA HARI KERJA DALAM SEMINGGU
SECARA SIKLIS
NUR HADI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULATAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
6
7
Judul Skripsi : Pengoptimuman Berbasis Dual Masalah Penjadwalan Tiga Hari
Kerja dalam Seminggu Secara Siklis
Nama
: Nur Hadi
NIM
: G54080039
Disetujui
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing I
Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
8
9
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala
berkah-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Terima
kasih banyak dan penghargaan penulis sampaikan kepada Ibu Dra Farida Hanum,
MSi dan Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom selaku pembimbing serta Drs
Prapto Tri Supriyo, MKom sebagai penguji yang telah banyak memberi saran. Di
samping itu, terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua dosen dan staf di
Departemen Matematika atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama
masa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu,
serta seluruh keluarga, atas segala dukungannya, doa dan kasih sayangnya. Tak
lupa ucapan terima kasih juga kepada teman-teman Matematika 45, kakak/adik
kelas dan seluruh pihak yang telah mendukung penulis menyelesaikan karya
ilmiah ini. Mohon maaf penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu.
Akhir kata, semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi yang membutuhkannya.
Bogor, November 2014
Nur Hadi
10
11
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
v
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
1
MODEL PENJADWALAN
3
SOLUSI DUAL MASALAH (3,7)
5
Penentuan Total Pekerja Minimum
6
Penetapan Pola Kerja Berdasarkan Biaya
7
Algoritme Solusi Dual
10
CONTOH KASUS
12
SIMPULAN
14
DAFTAR PUSTAKA
14
LAMPIRAN
15
RIWAYAT HIDUP
24
12
DAFTAR TABEL
1. Pola penjadwalan masalah (3,7)
3
2. Hasil penyelesaian model dengan LINGO 11.0
4
3. Empat variabel berurutan
7
4. Biaya pekerja
8
5. Nilai
untuk semua kemungkinan nilai W
11
6. Hasil penjadwalan Contoh 2
12
7. Hasil penjadwalan Contoh 3
13
DAFTAR LAMPIRAN
1. Sintak dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk
masalah (3,7)
15
2. Bentuk lain persamaan (9)
3. Penetapan pola kerja untuk
4. Penetapan pola kerja untuk
16
∑
17
18
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Masalah penjadwalan pekerja merupakan masalah praktis yang muncul
dalam sebuah perusahaan yang beroperasi tujuh hari dalam seminggu. Karena itu
pekerja perlu diberikan pola penjadwalan kerja yang jelas dan terperinci.
Secara umum masalah penjadwalan pekerja dapat diklasifikasikan menjadi
tiga jenis, yaitu days-off, shift, dan tour scheduling (Baker 1976). Days-off
scheduling ialah masalah menentukan hari kerja dan waktu istirahat pekerja dalam
waktu tertentu. Sementara itu shift scheduling ialah masalah menentukan waktu
awal kerja, lamanya shift, interval dan waktu awal istirahat pekerja. Bila dalam
days-off dan shift scheduling harus ditentukan dalam suatu pola, maka masalahnya
menjadi masalah menentukan rute penjadwalan atau tour scheduling.
Dalam karya ilmiah ini penjadwalan pekerja yang digunakan adalah days-off
scheduling. Secara umum days-off scheduling yang banyak diterapkan oleh
sebuah perusahaan yang beroperasi tujuh hari dalam seminggu adalah pola
penjadwalan kerja dengan lima hari kerja dan dua hari libur secara berturut-turut
(Alfares 2001) atau atau empat hari kerja dan tiga hari libur secara berturut-turut
(Alfares 2000).
Masalah days-off scheduling dapat diselesaikan dengan beberapa cara, di
antaranya integer programming (IP) dan solusi dual. Dengan merujuk jurnal yang
berjudul Dual-based optimization of cycling three-day workweek scheduling, yang
ditulis oleh Hesham K. Alfares, karya ilmiah ini selanjutnya akan membahas pola
penjadwalan kerja dengan tiga hari kerja dan empat hari libur dalam seminggu
secara burturut-turut dengan solusi dual.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah meminimumkan banyaknya total pekerja
dan menetapkan pola kerja yang meminimumkan biaya total pekerja dengan
menggunakan solusi dual.
LANDASAN TEORI
Untuk memahami masalah dalam karya ilmiah ini diperlukan beberapa
pengertian sebagai berikut.
Pemrograman Linear Integer
Pemrograman integer atau Integer Programming (IP) adalah suatu model
pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat
(integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut
dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa
2
integer, maka disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya
harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.
(Winston 2004)
Dualitas
Terkait dengan suatu masalah optimasi linear, terdapat masalah optimasi
linear lain yang berpadanan. Kedua masalah ini dikenal dengan masalah primal
dan masalah dual dari suatu optimasi linear.
Bentuk standar dari masalah primal untuk kasus maksimisasi adalah:
terhadap
max ∑
∑
Bentuk standar dari masalah dual untuk masalah primal di atas adalah:
terhadap
min ∑
∑
(Chvatal 1983)
Bila dibandingkan, maka dua hubungan antara masalah primal dan dual,
yaitu:
1. Koefisien fungsi tujuan pada primal menjadi konstanta ruas kanan pada
dual. Sebaliknya, konstanta ruas kanan pada primal menjadi koefisien
fungsi tujuan pada dual.
2. Tanda ketidaksamaan pada pembatas menjadi terbalik, jika pada primal
berubah menjadi pada dual.
3. Fungsi tujuan berubah bentuk, maksimisasi pada primal akan berubah
menjadi minimisasi pada dual.
4. Setiap kolom kendala pada primal berhubungan dengan baris kendala pada
dual. Sebaliknya, setiap baris kendala pada primal akan menjadi kolom
kendala pada dual.
5. Dual dari dual adalah primal.
Teorema 1 (Complementary Slackness)
Solusi fisibel masalah primal
hanya jika terdapat bilangan-bilangan
∑
bila
adalah solusi optimal jika dan
sehingga
3
bila ∑
dan
∑
(Chvatal 1983)
MODEL PENJADWALAN
Secara umum pola penjadwalan pekerja yang banyak digunakan oleh sebuah
perusahaan yang beroperasi tujuh hari kerja dalam seminggu adalah lima hari
kerja dengan dua hari libur berturut-turut atau empat hari kerja dengan tiga hari
libur berturut-turut. Namun dalam karya ilmiah ini pola penjadwalan pekerja yang
digunakan adalah pola penjadwalan tiga hari kerja dengan empat hari libur secara
beturut-turut dalam seminggu atau biasa disebut dengan masalah (3,7). Jadi,
pekerja hanya bekerja selama tiga hari secara berturut-turut dalam seminggu
kemudian libur selama empat hari berturut-turut. Pola penjadwalan masalah (3,7)
dapat dilihat pada Tabel 1 berikut:
Misalkan hari 1 = Senin, 2 = Selasa, 3 = Rabu, 4 = Kamis, 5 = Jumat, 6 = Sabtu, 7
= Minggu.
Tabel 1 Pola penjadwalan masalah (3,7)
Pola ke
1
2
3
4
5
6
7
Hari Kerja
5, 6, 7
1, 6, 7
1, 2, 7
1, 2, 3
2, 3, 4
3, 4, 5
4, 5, 6
Hari Libur
1, 2, 3, 4
2, 3, 4, 5
3, 4, 5, 6
4, 5, 6, 7
1, 5, 6, 7
1, 2, 6, 7
1, 2, 3, 7
Masalah (3,7) dapat diformulasikan ke dalam integer programming,
dengan menyatakan indeks untuk hari
, ialah indeks untuk pola
kerja
, menyatakan banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada
hari , dan menyatakan banyaknya pekerja yang bekerja pada pola kerja .
Formulasi integer programming (IP) masalah (3,7) ialah sebagai berikut:
min
∑
4
terhadap
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Senin harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Senin)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Selasa harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Selasa)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Rabu harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Rabu)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Kamis harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Kamis)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada Jumat
harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Jumat)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Sabtu harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Sabtu)
(banyaknya pekerja yang bekerja pada hari
Minggu harus lebih besar atau sama dengan banyak pekerja yang
dibutuhkan pada hari Minggu)
Sebagai ilustrasi diberikan contoh IP masalah (3,7)
Contoh 1
Misalkan
,
,
,
,
,
,
Dengan bantuan software LINGO 11.0 (Lampiran 1), solusi masalah (3,7) adalah
seperti pada Tabel 2.
Tabel 2 Hasil penyelesaian model dengan LINGO 11.0
Hari Kerja
Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Minggu
Senin-Selasa-Rabu
Selasa-Rabu-Kamis
Rabu-Kamis-Jumat
Kamis-Jumat-Sabtu
W
Hari Libur
Senin-Selasa-Rabu-Kamis
Selasa-Rabu-Kamis-Jumat
Rabu-Kamis-Jumat-Sabtu
Kamis-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Rabu-Minggu
Jumlah Pekerja
2
7
0
0
3
5
0
17
Berdasarkan ilustrasi di atas diketahui bahwa masalah (3,7) dapat
diselesaikan dengan bantuan software LINGO 11.0. Meski begitu, masalah (3,7)
juga dapat diselesaikan dengan penyelesaian lain, yaitu solusi dual. Solusi dual
memiliki dua keunggulan dibandingkan dengan integer programming (IP).
5
Pertama, jika diselesaikan secara manual, algoritme yang dihasilkan dari solusi
dual lebih cepat menyelesaikan masalah (3,7) karena diselesaikan tanpa iterasi
(Alfares 2001). Kedua, jika ada kasus yang sama dengan masalah yang lebih besar,
solusi dual mempunyai kelebihan efisiensi komputasi yang signifikan (Alfares
dan Bailey 1997). Karena itu karya ilmiah ini selanjutnya akan membahas
penyelesaian masalah (3,7) dengan solusi dual.
SOLUSI DUAL MASALAH (3,7)
Untuk menyelesaikan masalah (3,7) dengan solusi dual digunakan
pemrograman linear dual dan hubungan primal-dual (complementary slackness).
Pemrograman linear masalah (3,7) adalah sebagai berikut.
Indeks
i = hari, i = 1, 2, ..., 7
j = pola kerja, j = 1, 2, ..., 7.
Parameter
banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari i
= banyaknya pekerja yang libur pada hari i
Variabel Keputusan
= banyaknya pekerja yang bekerja pada pola kerja j
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah (3,7) adalah meminimumkan banyaknya total
∑
.
(1)
pekerja selama seminggu (W), yaitu min
Kendala
Kendala-kendala masalah (3,7) adalah sebagai berikut:
1 Banyaknya pekerja yang bekerja pada hari i harus lebih besar atau sama dengan
banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari i
.
∑
.
(2)
Karena masalah (3,7) bersifat siklis, yaitu dalam seminggu hanya ada tujuh
pola kerja dan berulang setiap minggunya, maka untuk semua subscript dari
berlaku kelipatan 7. Misalkan jika
, maka dari (2) diperoleh
. Karena bersifat siklis, maka pertaksamaan tersebut dapat
dituliskan
. Demikian pula untuk
(menjadi
) dan
(menjadi
). Hal itu juga berlaku pada
variabel dualnya.
6
2 Banyaknya pekerja yang bekerja pada pola kerja j harus lebih besar atau sama
dengan nol,
(3)
Dengan demikian secara umum pemrograman linear primal masalah (3,7)
adalah sebagai berikut:
terhadap
∑
min
∑
.
Masalah dual dari masalah (3,7) adalah sebagai berikut:
terhadap
max ̂
∑
.
Secara umum pemrograman linear dual masalah (3,7) adalah sebagai
berikut:
(4)
max ̂ ∑
∑
terhadap
(5)
Penentuan Total Pekerja Minimum
Ada dua kemungkinan solusi dual untuk menentukan banyaknya total
pekerja, dan kemungkinan tersebut dipengaruhi oleh banyaknya pekerja yang
Kedua kemungkinan tersebut selanjutnya akan
dibutuhkan pada hari i
dibahas sebagai berikut:
1 Karena fungsi objektif dual masalah (3,7) adalah maksimisasi, maka solusi
masalah dual dapat diperoleh dengan membuat kendala dual masalah (3,7)
dalam bentuk persamaan.
∑
.
(6)
Karena setiap kendala (5) hanya terdiri atas tiga variabel dual, maka
dimungkinkan untuk memperoleh solusi dengan cara memberi nilai setiap
variabel dual dengan 1/3 dari nilai ruas kanan. Dengan begitu diperoleh semua
7
variabel dual
optimal, nilai
masalah (3,7) bernilai 1/3. Dengan demikian dalam kondisi
∑
, sehingga
∑ .
2 Mengingat pola penjadwalan masalah (3,7) hanya terdiri atas tiga hari kerja
dalam tujuh hari, maka sedikitnya ada satu dari empat variabel berurutan harus
}
{
Empat variabel
termasuk dalam himpunan
berurutan tersebut merupakan variabel yang merepresentasikan empat hari
libur berturut-turut. Dengan demikian sedikitnya terdapat satu dari empat
variabel berurutan yang tidak terdapat dalam kendala dual tapi termasuk ke
dalam himpunan (lihat Tabel 3).
Tabel 3 Empat variabel berurutan
{
Variabel Berurutan
Kendala Dual
}
Karena setiap kendala dual masalah (3,7) hanya terdapat satu variabel dual
anggota himpunan , maka dimungkinkan memberi nilai 1 untuk kedua
variabel dual anggota himpunan pada kendala dual, yaitu
.
(7)
Bila
didefinisikan
maka akan dipilih
dengan
{
} yang memaksimalkan
yaitu
Kemudian nilai
variabel dual
lainnya sama dengan 0, dan banyaknya total
pekerja minimum adalah
Berdasarkan dua kemungkinan tersebut, banyaknya pekerja total (W) dapat
diperoleh dengan rumus sebagai berikut:
{ ∑
dengan
min {
{
}
},
(8)
}.
Penetapan Pola Kerja Berdasarkan Biaya
Penetapan pola kerja masalah (3,7) dipengaruhi oleh beberapa hal. Salah
satu di antaranya adalah biaya pekerja. Bila diasumsikan bahwa biaya pekerja
yang bekerja di hari biasa adalah A dan di akhir pekan (Sabtu-Minggu) adalah
A(1+B) maka biaya setiap pola kerja bisa dilihat pada Tabel 4.
8
Tabel 4 Biaya pekerja
Pola
1
2
3
4
5
6
7
Hari kerja
5, 6, 7
1, 6, 7
1, 2, 7
1, 2, 3
2, 3, 4
3, 4, 5
4, 5, 6
Biaya pekerja per minggu
(3+2B)A
(3+2B)A
(3+B)A
3A
3A
3A
(3+B) A
Dari Tabel 4 diketahui bahwa biaya pekerja termurah adalah pola kerja 4, 5, dan 6,
kemudian disusul pola 3 dan 7, sedangkan pola kerja paling mahal adalah pola
kerja 1 dan 2. Selain biaya pekerja, penetapan pola kerja juga dipengaruhi oleh
banyaknya total pekerja (W) atau dalam hal ini dipengaruhi nilai ruas kanan dari
(8). Selanjutnya akan dibahas sebagai berikut:
∑
}
, maka berlaku persamaan (6)
1 Bila
{ ∑
yaitu semua variabel dual masalah (3,7) adalah bernilai positif (
Berdasarkan teorema complementary slackness, jika
suatu variabel dual
bernilai
, maka kendala primal yang berpadanan
akan berbentuk suatu persamaan pada keadaan optimum.
∑
.
(9)
Persamaan (9) dapat dinyatakan dalam bentuk lain. Misalkan
adalah
banyaknya pekerja yang libur pada hari i dan
, maka persamaan (9)
dapat dituliskan sebagai berikut:
∑
∑
∑
∑
∑
.
(10)
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 2)
Dengan menggunakan persamaan (10), penetapan pola kerja dapat diketahui
sebagai berikut:
Bila
, maka
∑
9
Dengan cara yang sama untuk
∑
adalah
, penetapan pola kerja untuk
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 3)
2 Bila
{ ∑
}
maka berlaku persamaan (7) yaitu
nilai
dan
sama dengan 1. Berdasarkan teorema complementary
slackness, maka pada keadaan optimum kendala primal dan
adalah
dalam bentuk persamaan. Selain itu, karena biaya pekerja di akhir pekan lebih
mahal, maka untuk meminimumkan banyaknya pekerja yang bekerja di hari itu,
kendala primal untuk
selalu dibuat dalam bentuk persamaan.
Dengan demikian penetapan pola kerja untuk kasus
kemungkinan
yang terpilih, yaitu
Bila
dan kendala primal bentuk lain (10) untuk
persamaan.
ada tujuh
maka
dalam bentuk
(11.a)
(11.b)
(11.c)
(11.d)
(11.e)
(11.f)
(11.g)
, maka W didapat dengan menjumlahkan (11.a) dan (11.d)
Karena
Sementara pengurangan (11.f) dari penjumlahan (11.a) dan (11.d) adalah
Dari (11.b) diperoleh
.
Dengan mengeksplorasi (11.a) sampai (11.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
(11.h)
10
{
{
untuk
}
}
Dengan cara yang sama untuk
adalah seperti pada Tabel 5.
, penetapan pola kerja
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 4)
Algoritme Solusi Dual
Berdasarkan pembahasan di atas algoritme solusi dual untuk menyelesaikan
masalah (3,7) adalah sebagai berikut:
1. Tentukan total pekerja minimum W dengan menggunakan rumus
{ ∑
}.
}
∑
{∑
, maka
2. Jika
∑
a) Jika
bukan bilangan bulat, tambahkan nilai terkecil (hindari
∑ untuk membuat ∑ menjadi
memilih dan ) dengan
kelipatan 3.
b) Hitung
dengan menggunakan rumus
, lalu hitung
∑
sebagaimana dalam Tabel 5.
}
{∑
, maka lakukan langkah 2b, lalu hitung
3. Jika
sebagaimana dalam Tabel 5.
11
untuk semua kemungkinan nilai W
Tabel 5 Nilai
W
∑
{
0
{
0
{
{
0
}
{
}
0
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
}
{
}
{
{
{
{
0
{
}
}
0
}
}
{
}
}
0
11
12
CONTOH KASUS
Contoh 2
Misalkan
,
,
,
,
,
,
.
∑
∑
Karena ∑
terkecil (
adalah
{ ∑
{
}
}
bukan bilangan bulat, maka harus dibulatkan dengan menambah
dengan 1 untuk membuat ∑ menjadi kelipatan 3. Jadi terbaru
,
Dari Tabel 5, nilai
,
,
,
untuk ∑
,
,
,
,
adalah
,
,
,
,
Tabel 6 Hasil penjadwalan Contoh 2
Pekerja
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Senin
Selasa Rabu
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
9
7
6
Keterangan: 0 = Libur dan 1 = Masuk
Kamis
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
Jumat
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
3
Sabtu
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
Minggu
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
6
13
Contoh 3
Misalkan
,
,
,
,
,
,
.
∑
∑
{ ∑
}
Dengan menghitung
,
Dari Tabel 5, nilai
,
diperoleh
,
,
untuk
adalah
,
,
{
}
,
,
,
,
,
,
Tabel 7 Hasil penjadwalan Contoh 3
Pekerja
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Senin
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
9
Selasa
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
7
Rabu
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
2
Kamis
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
6
Jumat
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
8
Sabtu
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
7
Minggu
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
14
SIMPULAN
Masalah penjadwalan tiga hari kerja dan empat hari libur secara berturutturut atau biasa disebut masalah (3,7) dapat diselesaikan dengan solusi dual.
Algoritme optimasi yang dihasilkan dari masalah dual (3,7) dapat digunakan
untuk meminimumkan banyaknya total pekerja dan menetapkan pola kerja untuk
meminimumkan biaya total pekerja secara manual tanpa menggunakan software.
DAFTAR PUSTAKA
Alfares HK and Bailey JE. 1997. Integrated project task and manpower
scheduling. IIE Transactions. 29: 711-718. doi: 10.1080/07408179708966381.
Alfares HK. 2000. Dual-based optimization of cycling three-day workweek
scheduling. Asia-Pacific Journal of Operational Research. 17: 137-148. doi:
10.1002/mcda.420.
Alfares HK. 2001. Efficient optimization of cyclic labor days-off scheduling. OR
Spektrum. 23: 283-294. doi: 10.1007/PL00013353.
Alfares HK. 2000. Dual-based optimization of cyclic four-day workweek
scheduling. IMA Journal of Mathematics Applied in Business & Industry. 11:
269-283. doi: 10.1093/imaman/11.4.269.
Baker KR. 1976. Workforce allocation in cyclical scheduling problem: a survey.
Operational Research Quarterly. 27: 155-167. doi: 10.1057/jors.1976.30.
Chvatal V. 1983. Linear Programming. New York (US): WH Freeman &
Company.
Nash SG and Sofer A. 1996. Linear and Nonlinear Programming. New York
(US): McGraw-Hill.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms 4thed. New
York (US): Duxbury.
15
Lampiran 1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah
(3,7)
x2+x3+x4>=9;
x3+x4+x5>=7;
x4+x5+x6>=2;
x5+x6+x7>=6;
x6+x7+x1>=8;
x7+x1+x2>=7;
x1+x2+x3>=3;
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);
!xj=banyaknya pekerja yang bekerja pada pola kerja j
!ri=banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari i
Hasil yang diperoleh sebagai berikut:
Global optimal solution found.
Objective value:
Objective bound:
Infeasibilities:
Extended solver steps:
Total solver iterations:
Variable
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X1
Row
1
2
3
4
5
6
7
8
17.00000
17.00000
0.000000
0
4
Value
2.000000
7.000000
0.000000
0.000000
3.000000
5.000000
0.000000
Slack or Surplus
0.000000
0.000000
1.000000
2.000000
0.000000
0.000000
6.000000
17.00000
Reduced Cost
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
DualPrice
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
-1.000000
16
Lampiran 2 Bentuk lain persamaan (9)
Bila
, maka
∑
Bila
∑
∑
, maka
∑
Bila
∑
∑
∑
, maka
∑
17
Bila
∑
, maka
∑
Bila
∑
∑
, maka
∑
Bila
∑
∑
, maka
∑
∑
∑
Bila
, maka
∑
∑
∑
Lampiran 3 Penetapan pola kerja untuk
Bila
, maka
∑
Bila
, maka
∑
∑
18
Bila
, maka
∑
Bila
, maka
∑
Bila
, maka
∑
Bila
, maka
∑
Lampiran 4 Penetapan pola kerja untuk
Bila
, maka
dalam bentuk persamaan.
dan kendala primal untuk
adalah
(12.a)
(12.b)
(12.c)
(12.d)
(12.e)
(12.f)
(12.g)
19
, maka W didapat dengan menjumlahkan (12.b) dan (12.e)
Karena
Sementara pengurangan (12.g) dari penjumlahan (12.b) dan (12.e) adalah
Dari (12.d) diperoleh
(12.h)
Dengan mengeksplorasi (12.a) sampai (12.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
{
{
Bila
persamaan.
}
, maka
}
dan kendala primal untuk
dalam bentuk
(13.a)
(13.b)
(13.c)
(13.d)
(13.e)
(13.f)
(13.g)
Karena
, maka W didapat dengan menjumlahkan (11.c) dan (11.f)
20
Sementara pengurangan (13.g) dari penjumlahan (13.c) dan (13.f) adalah
Dari (13.d) diperoleh
(13.h)
Dengan mengeksplorasi (13.a) sampai (13.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
{
}
{
{
Bila
persamaan.
, maka
}
}
dan kendala primal untuk
dalam bentuk
(14.a)
(14.b)
(14.c)
(14.d)
(14.e)
(14.f)
(14.g)
Karena
, maka W didapat dengan menjumlahkan (14.d) dan (14.g)
Sementara pengurangan (14.f) dari penjumlahan (14.d) dan (11.g) adalah
Dari (14.b) diperoleh
21
(14.h)
Dengan mengeksplorasi (14.a) sampai (14.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
{
{
}
{
}
}
Bila
, maka
bentuk persamaan.
dan kendala primal untuk
dalam
(15.a)
(15.b)
(15.c)
(15.d)
(15.e)
(15.f)
(15.g)
Karena
, maka W didapat dengan menjumlahkan (15.a) dan (15.e)
Sementara pengurangan (15.g) dari penjumlahan (15.a) dan (15.e) adalah
Dari (15.d) diperoleh
(15.h)
Dengan mengeksplorasi (15.a) sampai (15.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
22
{
{
Bila
persamaan.
}
, maka
}
dan kendala primal untuk
dalam bentuk
(16.a)
(16.b)
(16.c)
(16.d)
(16.e)
(16.f)
(16.g)
, maka W didapat dengan menjumlahkan (16.b) dan (11.f)
Karena
Sementara pengurangan (16.g) dari penjumlahan (16.b) dan (16.f) adalah
Dari (16.d) diperoleh
(16.h)
Dengan mengeksplorasi (16.a) sampai (16.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
{
{
{
}
}
}
23
Bila
persamaan.
, maka
dan kendala primal untuk
dalam bentuk
(17.a)
(17.b)
(17.c)
(17.d)
(17.e)
(17.f)
(17.g)
, maka W didapat dengan menjumlahkan (17.c) dan (17.g)
Karena
Sementara pengurangan (17.f) dari penjumlahan (17.c) dan (14.g) adalah
Dari (17.b) diperoleh
(17.h)
Dengan mengeksplorasi (17.a) sampai (17.h), penetapan pola kerja untuk
adalah:
{
{
{
}
}
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di kampung pesisir Bulu, Kabupaten Tuban, Jawa
Timur, pada 10 Oktober 1990. Penulis merupakan anak bungsu dari lima
bersaudara dari pasangan Bapak Abdul Rahman dan Ibu Nur Rahmah. Tahun
2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tuban kemudian diterima sebagai
mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk
IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).
Semasa menjadi mahasiswa, penulis tidak banyak aktif di organisasi
kemahasiswaan. Di tingkat pertama penulis sempat aktif di BEM KM IPB dan
UKM BKIM IPB, sebelum kemudian keluar lantaran kemerdekaan berpikir
penulis dibatasi. Selanjutnya penulis bebas beraktivitas penulis sendiri. Dalam
aktivitas yang tak jelas itu penulis menelurkan sebuah buku berjudul “Nabi Drop
Out Mahasiswa Cumlaude” dan sejumlah artikel yang tersebar di beberapa media
massa.