Penentuan Hedge Ratio Harga Emas Dunia Menggunakan Opsi Tipe Eropa

PENENTUAN HEDGE RATIO HARGA EMAS DUNIA
MENGGUNAKAN OPSI TIPE EROPA

SAMBODO RIO SASONGKO

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Hedge Ratio
Harga Emas Dunia Menggunakan Opsi Tipe Eropa adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015
Sambodo Rio Sasongko
NIM G54090056

ABSTRAK
SAMBODO RIO SASONGKO. Penentuan Hedge Ratio Harga Emas Dunia
Menggunakan Opsi Tipe Eropa. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan
DONNY CITRA LESMANA.
Investasi merupakan cara masyarakat untuk mengelola pendapatan atau aset
yang dimiliki sehingga mendapatkan keuntungan yang lebih di masa yang akan
datang. Salah satu aset yang dapat diinvestasikan adalah emas. Harga emas
memiliki nilai fluktuatif sehingga dibutuhkan aktivitas lindung nilai. Salah satu
aktivitas lindung nilai yang digunakan adalah opsi. Opsi adalah suatu perjanjian
atau kontrak antara penjual dengan pembeli opsi, di mana penjual opsi menjamin
adanya hak dari pembeli opsi untuk membeli atau menjual aset yang mendasari
pada waktu tertentu dengan harga yang telah ditetapkan. Tujuan penelitian ini
adalah menentukan nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa dengan emas sebagai
aset yang mendasari serta menentukan rasio lindung nilai terhadap harga emas
tersebut. Opsi tipe Eropa akan dihitung menggunakan model Black-Scholes. Salah

satu kegunaan model Black-Scholes adalah mengendalikan risiko (hedging) dalam
suatu opsi. Dalam penelitian ini, hanya digunakan greeks berupa delta hedging.
Kata kunci: hedge ratio, harga emas, opsi tipe Eropa, model Black-Scholes

ABSTRACT
SAMBODO RIO SASONGKO. A Hedge Ratio Determination of the World Gold
Price Using the European Option. Supervised by RETNO BUDIARTI and
DONNY CITRA LESMANA.
Investment can be used to manage income or assets in order to get more
benefits in the future. There are many assets in the market that can be chosen by
investors, one of which is gold. The price of gold is fluctuating and it causes risks.
To manage the risks, a hedge ratio is used, where option can be used as an
instrument for hedging. Option is a covenant or contract between sellers and
buyers of the option, where the option sellers guarantee the rights of buyers to buy
or sell its underlying assets at a particular time with a fixed price. The aim of this
research is to determine the European call and put options with the gold as the
underlying assets as well as to determine the hedge ratio toward the gold price.
The European option will be priced using the Black-Scholes model, where one of
the advantages Black-Scholes model is to control the risk (hedging) in an option.
In this research, we only use greeks in the form of hedging delta.

Keywords: hedge ratio, gold price, European option, Black-Scholes model

PENENTUAN HEDGE RATIO HARGA EMAS DUNIA
MENGGUNAKAN OPSI TIPE EROPA

SAMBODO RIO SASONGKO

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan karunia-Nya penulis
dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Penentuan Hedge Ratio Harga Emas
Dunia Menggunakan Opsi Tipe Eropa. Penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1 Keluarga tercinta yang menjadi sumber semangat terbesar, Bapak Hernowo
dan Ibu Suhartatik dan Kakak Hergarini Oktivasari yang selalu memberikan
doa, nasihat, dan semangat kepada penulis.
2 Ir Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing I dan Dr Donny Citra
Lesmana, SSi MFinMath selaku dosen pembimbing II, yang telah sabar
memberikan bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat
terselesaikan dengan baik.
3 Dr Dra Berlian Setiawaty, MS selaku moderator dalam seminar sekaligus
menjadi dosen penguji.
4 Seluruh dosen Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah Bapak
dan Ibu berikan kepada penulis.
5 Staff Tata Usaha dan Perpustakaan Departemen Matematika yang telah
membantu memperlancar administrasi akademik penulis.
6 Teman-teman Matematika 46, 47 dan 48 yang telah banyak memberikan
bantuan dan pengalaman yang berharga.
7 Teman-teman Maya, Ocha, Wiwid, Nisa, Dini, Lia, Nouval, Ghina dan
keluarga besar UKM Karate IPB terima kasih untuk bantuan dan semangat

yang diberikan.
8 Semua pihak yang ikut membantu penulis dan tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, dibutuhkan kritik dan saran yang membangun untuk
pembaca.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2015
Sambodo Rio Sasongko

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
TINJAUAN PUSTAKA
Penilaian Emas

Keuntungan dan Kerugian Menyimpan Emas
Harga Emas Dunia
Definisi dan Istilah Matematis
Model untuk Harga Emas
Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dari Harga Emas
Opsi
Penilaian Opsi
Model Black-Scholes untuk Opsi Tipe Eropa
Volatilitas
Future Value (Akumulasi)
Greeks
Lindung Nilai (Hedge Ratio)
PEMBAHASAN
Deskripsi Data
Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa
Delta Untuk Opsi Call Tipe Eropa
Delta Untuk Opsi Put Tipe Eropa
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran

DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN

iii
iii
iv
1
1
2
2
2
2
3
3
6
6
6
8
9
10

11
11
11
13
13
14
17
19
22
22
22
23
24

DAFTAR TABEL
1 Keuntungan dan kerugian menyimpan emas
2 Data harga emas tahun 2010-2014
3 Volatilitas harga emas tahun 2010-2014
4 Hasil perhitungan cash flow saat ST = $1300 dengan jumlah opsi call
yang berbeda

5 Hasil perhitungan cash flow saat ST = $1100 dengan jumlah opsi call
yang berbeda
6 Hasil perhitungan cash flow saat ST = $1300 dengan jumlah opsi put
yang berbeda
7 Hasil perhitungan cash flow saat ST = $1100 dengan jumlah opsi put
yang berbeda
8 Data harga emas dan transformasinya tahun 2010-2011
9 Data harga emas dan transformasinya tahun 2012-2013
10 Data harga emas dan transformasinya tahun 2014
11 Keputusan penolakan H0
12 Perhitungan volatilitas harga emas tahun 2010
13 Perhitungan volatilitas harga emas tahun 2011
14 Perhitungan volatilitas harga emas tahun 2012
15 Perhitungan volatilitas harga emas tahun 2013
16 Perhitungan volatilitas harga emas tahun 2014

2
13
14
18

19
20
21
24
25
25
28
29
30
31
32
33

DAFTAR GAMBAR
1 Diagram payoff opsi call (c) tipe Eropa
2 Diagram payoff opsi put (p) tipe Eropa
3 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa
4 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa
5 Rata-rata harga emas dunia tahun 2010-2014 (troy/ounce)
6 Diagram payoff opsi call tipe Eropa dengan K = 1200

7 Diagram payoff opsi put tipe Eropa dengan K = 1200
8 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa dengan K =1200
9 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa dengan K = 1200
10 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2010
11 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2011
12 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2012
13 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2013
14 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2014

8
9
12
13
14
16
17
18
19
26
26
27
27
28

DAFTAR LAMPIRAN
1 Uji lognormal harga emas
2 Perhitungan volatilitas
3 Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call
pasar $1300
4 Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call
pasar $1100
5 Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put
pasar $1300
6 Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put
pasar $1100

24
29
dengan harga
34
dengan harga
39
dengan harga
44
dengan harga
49

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dewasa ini masyarakat mengelola pendapatan agar tepat guna sesuai dengan
kebutuhannya. Cara yang banyak dilakukan masyarakat adalah dengan menabung,
hal tersebut digunakan untuk memenuhi kebutuhan jangka pendek seperti
kebutuhan primer. Selain itu juga masyarakat merencanakan bagaimana
memenuhi kebutuhan jangka menengah maupun jangka panjang. Salah satu hal
yang dapat dilakukan adalah dengan berinvestasi (Gunawan dan Wirawati 2013).
Investasi adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya
yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di
masa datang (Tandelilin 2010). Umumnya investasi dibagi menjadi dua jenis yaitu
investasi finansial dan investasi riil. Investasi finansial adalah investasi yang
dilakukan di bidang finansial atau keuangan seperti deposito, reksadana dan emas.
Investasi riil adalah investasi yang dilakukan pada benda fisik seperti bangunan,
tanah, mesin maupun pertambangan. Investasi di bidang finansial bukan berarti
tanpa risiko. Risiko yang ada pada instrumen investasi finansial menuntut kejelian
para investor sebagai pemilik dana untuk memutuskan di mana akan berinvestasi.
Faktor risiko inilah yang memunculkan instrumen pengendali risiko yang
fungsinya untuk melindungi nilai atau hedging yaitu instrumen derivatif
(BAPPETI 2009).
Di Indonesia aktivitas lindung nilai yang fungsinya mengendalikan atau
menurunkan risiko investasi diatur dalam Pedoman Standar Akuntansi Keuangan
Nomor 55. Lindung nilai di Indonesia belum begitu populer dibandingkan di
negara-negara lain seperti Amerika Serikat, Jepang dan negara-negara Eropa.
Aktivitas lindung nilai dilakukan dengan menggunakan instrumen derivatif.
Instrumen yang paling sering digunakan adalah forward, future, swap, komitmen
dan opsi (option). Dari semua aktivitas lindung nilai yang paling populer adalah
opsi (Sherlita 2007).
Model Black-Scholes merupakan model yang digunakan untuk menentukan
harga opsi tipe Eropa yang telah banyak diterima oleh masyarakat keuangan.
Model ini pertama kali diperkenalkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada
tahun 1973 bersamaan dengan dibukanya pasar opsi terbesar di dunia yang
berada di Chicago Board Options Exchange (CBOE), USA pada tahun 1973 dan
telah mencapai sukses dengan total perdagangan sebanyak 16 jenis saham. Dalam
lima tahun, para pemodal melakukan perdagangan opsi mencapai 10 juta lembar
per hari (Andriani 2009).
Salah satu jenis aset yang dapat dijadikan aset dasar dalam perdagangan
opsi adalah emas (Irwan 2013). Emas memiliki nilai jual yang fluktuatif sama
halnya seperti saham, karena harga emas dipengaruhi oleh beberapa faktor yang
diantaranya adalah permintaan dan penawaran, suasana ekonomi di Amerika
Serikat dan negara-negara Eropa (Pangabean et al. 2013). Adanya fakta tersebut
mendasari diperlukannya suatu instrumen keuangan agar nilai jualnya tidak jatuh.
Salah satu solusi masalah tersebut adalah dengan menggunakan instrumen
derivatif yaitu opsi tipe Eropa yang menggunakan formula Black-Scholes
(Sutrima 2009). Oleh karena itu peneliti tertarik mengetahui penentuan hedge
ratio harga emas dunia melalui opsi tipe Eropa.

2
Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:
1. Menentukan nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa menggunakan model
Black-Scholes dengan emas sebagai aset yang mendasari.
2. Menentukan rasio lindung nilai terhadap harga emas.

TINJAUAN PUSTAKA
Penilaian Emas
Emas digunakan sebagai standar keuangan di banyak negara dan juga
sebagai alat tukar yang relatif abadi, dan diterima di semua negara di dunia.
Penggunaan emas dalam bidang moneter dan keuangan berdasarkan nilai moneter
absolut dari emas itu sendiri terhadap berbagai mata uang di seluruh dunia,
meskipun secara resmi di bursa komoditas dunia, harga emas dicantumkan dalam
mata uang dolar Amerika. Bentuk emas dalam bidang moneter lazimnya berupa
batangan emas dalam berbagai satuan berat gram sampai kilogram (Diantoro
2010).
Keuntungan dan Kerugian Menyimpan Emas
Ketika dunia perdagangan semakin maju, emas semakin tidak memadai
digunakan sebagia mata uang, sebab produksi barang dan jasa jauh melebihi
produksi emas itu sendiri. Maka salah satu fungsi emas di zaman sekarang adalah
sebagai alat investasi. Untuk konteks Indonesia ada beberapa keuntungan dan
kerugian dalam menyimpan emas (Tanuwidjaja 2009).
Tabel 1 Keuntungan dan kerugian menyimpan emas
No.
Keuntungan
1
Mengamankan nilai kekayaan dari
ancaman inflasi
2
Perlindungan nilai aset dari
gejolak nilai tukar rupiah
3
Sarana praktis dan efektif untuk
menabung dengan tujuan tertentu
serta prestige bagi pemiliknya
4
Sebagai cadangan untuk keperluan
darurat
5
Mudah dijual, mudah digadaikan
dan dimiliki dengan jumlah
terbatas

Kerugian
Tidak memberikan dividen
atau penghasilan yang rutin
Ketika perekonomian stabil,
kenaikan cenderung lambat
Sebagai perhiasan, terbebani
ongkos pembuatan dan biaya
susut
Tidak fleksibel dan tidak
praktis
Memberikan handling, biaya
penyimpanan dan perawatan
khusus

3
Harga Emas Dunia
Sejak tahun 1968, harga emas yang dijadikan patokan seluruh dunia adalah
harga emas berdasarkan standar pasar emas London. Sistem ini dinamakan
London Gold Fixing. London Gold Fixing adalah prosedur di mana harga emas
ditentukan dua kali sehari setiap hari kerja di pasar London oleh lima anggota
Pasar London Gold Fixing Ltd. Kelima anggota tersebut adalah:
1. Bank of Nova Scottia
2. Barclays Capital
3. Deutsche Bank
4. HSBC
5. Societe Generale
Proses penentuan harga adalah melalui lelang diantara kelima anggota
tersebut. Pada setiap awal periode perdagangan, Presiden London Gold Fixing Ltd.
akan mengumumkan suatu harga tertentu. Kemudian kelima anggota tersebut
akan mengumumkan harga tersebut kepada agen. Agen inilah yang berhubungan
langsung dengan para pembeli sebenarnya dari emas yang diperdagangkan
tersebut. Posisi akhir harga yang ditawarkan oleh setiap agen kepada anggota
Gold London Fixing merupakan posisi bersih dari hasil akumulasi permintaan dan
penawaran klien mereka. Dari sinilah harga emas akan terbentuk. Apabila
permintaan lebih banyak dari penawaran, secara otomatis harga akan naik,
demikian pula sebaliknya. Penentuan harga yang pasti menunggu hingga
tercapainya titik keseimbangan.
Proses penentuan harga emas dilakukan dua kali sehari, yaitu pada pukul
10.30 (harga emas Gold a.m.) dan pukul 15.00 (harga emas Gold p.m.). Harga
emas ditentukan dalam mata uang Dollar Amerika Serikat, Poundsterling Inggris,
dan Euro. Pada umumnya Gold p.m. dianggap sebagai harga penutupan pada hari
perdagangan dan sering digunakan sebagai patokan nilai kontrak emas di seluruh
dunia. Dalam standar dunia ukuran perhitungan berat emas menggunakan troy
ounce (Oz) yang setara dengan 31,1034 gram.
Definisi dan Istilah Matematika
Proses Stokastik
Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu
peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu. Untuk memahami
proses stokastik diperlukan definisi berikut.
Definisi 1 (Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
acak dan dinotasikan dengan Ω (Grimmett dan Stirzaker 2001).
Definisi 2 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω (Grimmett dan
Stirzaker 2001).

4
Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah himpunan F yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari
ruang contoh Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut:
1
F,
2 Jika
F maka
F, dengan menyatakan komplemen dari himpunan A,
dan
F.
F, maka ⋃
3 Jika
(Hogg et al. 2005)
Ukuran Peluang
Ukuran peluang P pada ruang (Ω, F) adalah fungsi P: F → [0, ] yang memenuhi:
1. (
0, (Ω
, dan
2. Jika , , , adalah himpunan anggota-anggota F yang saling lepas,
, untuk setiap i, j dengan i ≠ j maka
yaitu
∑
P(⋃
(
Pasangan (Ω, F, P) disebut dengan ruang peluang (probability space) (Grimmett
dan Stirzaker 2001).
Definisi 4 (Proses Stokastik)
Proses stokastik X = {X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak. Untuk
setiap t pada himpunan indeks T, ( adalah suatu peubah acak dan t adalah
interpretasi dari waktu (Ross 2010).
Gerak Brown
Proses stokastik X = {X(t), t T} disebut gerak Brown jika:
1. (0 0,
2. Untuk 0
, peubah acak (
(
,
, , , saling
bebas, dan
0, ( berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian .
3. Untuk
(Ross 2010)
Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1. Suatu peubah
acak X mengikuti proses Wiener mempunyai 2 sifat berikut :
1. Perubahan ∆x selama waktu periode kecil ∆t adalah ∆x = √ , dengan
berdistribusi normal standar (0,1)
2. Nilai dari ∆x untuk dua interval waktu yang berbeda adalah bebas.
Proses Wiener baku untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut:
(
( .
(1)
dengan
: komponen deterministik,
( : komponen stokastik,
W(t) : proses Wiener,
: rataan dari X, dan
b
: standar deviasi dari X.
(Hull 2009)

5
Untuk proses stokastik X(t) yang didefinisikan pada ruang peluang (Ω, F, P)
berlaku
(
(
.
(2)
∫ ( (
∫ ( (
Proses Itô
Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan parameter a dan b merupakan
fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Itô dapat dinyatakan
sebagai berikut:
(
( (
( (
(
(3)

Lema 1 (Lema Itô)
Misalkan proses X(t) memenuhi persamaan (3) dan fungsi (
( (
( (
adalah kontinu serta turunan-turunan
(

( (

( (

( (

( (

( (

(

(

( (

( (

( (

( (

Bukti:
(
dan

(

, maka

kontinu,
Lema Itô berikut:

( .
(

(
(

(

Kemudian menguadratkan persamaan (3)
( (
(
(
(( (
( (
(
(
(
(
Karena (
(
( (
(
( (
(
(

( (

,

( (

( (
( (

memenuhi

( (

(

(

(4)

(

( )
(

maka

(5)

Lalu menyubstitusikan persamaan (3) dan (5) ke persamaan (4), sehingga
diperoleh
( (
( (
( (
(
(
( ( )
(

(
Terbukti.

( (

( (

( (

( (

( (

( (
(

( ( (

( (

( (

( (

( (

(
(

( (

(

( (

6
Model untuk Harga Emas
Harga emas yang berubah secara acak menurut waktu diasumsikan sebagai
suatu proses stokastik. Selain itu diasumsikan tidak ada pembayaran dividen atas
emas. Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga emas. Misalkan S(t)
adalah harga emas pada waktu t. Maka model dari harga emas dapat dinyatakan
sebagai
(
(
(
( ,
(6)
dengan
(
(

(

: komponen deterministik,
: komponen stokastik,
: volatilitas harga emas,
: tingkat rata-rata pertumbuhan harga emas.

Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dari Harga Emas
Pada bagian ini diberikan bentuk persamaan diferensial stokastik bagi suatu
peubah yang nilainya bergantung pada harga emas S(t) dan waktu t. Misalkan
diberikan suatu peubah Y(t) yang bergantung pada peubah harga emas S(t) dan
waktu t. Menurut Hull (2009) apabila harga emas S(t) mengikuti model harga
emas seperti pada persamaan (6), maka bentuk Persamaan Diferensial Stokastik
untuk Y(t) ditentukan oleh teorema berikut.
Teorema 1
Misalkan diberikan (
( (
dengan
[0,
dan S(t) memiliki
diferensial stokastik (6), maka persamaan diferensial stokastik bagi fungsi Y(t)
dapat dinyatakan dalam bentuk
(

(

Bukti dapat dilihat di Hull (2009).

(

(

(

(7)

Opsi
Opsi adalah suatu perjanjian atau kontrak antara penjual opsi dengan
pembeli opsi, dengan penjual opsi menjamin adanya hak dari pembeli opsi untuk
membeli atau menjual aset yang mendasari pada waktu tertentu (waktu jatuh
tempo) dan harga yang telah ditetapkan (harga strike). Ada enam variabel yang
berpengaruh dalam menentukan harga opsi. (Rahman 2010)
1. Harga aset yang mendasari (S)
2. Harga strike (K)
3. Waktu jatuh tempo (T)
4. Tingkat suku bunga bebas risiko (r)
5. Volatilitas harga aset ( )
6. Dividen (q).

7
Berdasarkan hak pemegangnya, opsi dibedakan menjadi dua yaitu:
1. Opsi beli (call option) adalah opsi yang memberi hak kepada pemegangnya
untuk membeli sejumlah aset yang mendasari dari penjual opsi pada tanggal
tertentu dengan harga tertentu.
2. Opsi jual (put option) adalah opsi yang memberi hak kepada pemegangnya
untuk menjual sejumlah aset yang mendasari kepada penjual opsi pada
tanggal tertentu dengan harga tertentu.
Berdasarkan waktu jatuh temponya, opsi dibedakan menjadi dua yaitu:
1. Opsi tipe Eropa (European Option) adalah opsi yang bisa dipergunakan
hanya pada waktu jatuh tempo.
2. Opsi tipe Amerika (American Option) adalah opsi yang bisa dipergunakan
sebelum waktu jatuh tempo atau pada waktu jatuh tempo.
Dalam merumuskan nilai opsi, Fisher Black dan Myron Scholes dalam Hull
(2009) menggunakan beberapa asumsi:
1. Sebaran harga aset yang mendasari adalah lognormal dan varian dari return
pada aset yang mendasari adalah konstan,
2. Tipe opsi yang digunakan adalah tipe Eropa,
3. Tidak ada biaya transaksi untuk menjual atau membeli aset yang mendasari
atau opsi,
4. Tidak ada pembayaran dividen pada aset yang mendasari dan tidak ada
kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah tindakan membeli
sekuritas yang berharga rendah di suatu pasar dan pada saat yang sama
menjualnya dengan harga yang lebih tinggi di pasar yang berbeda sehingga
memperoleh keuntungan tanpa risiko,
5. Investor diperbolehkan meminjam sejumlah dana untuk membeli aset yang
mendasari pada tingkat suku bunga bank, dan
6. Tingkat suku bunga bebas risiko jangka pendek diketahui dan nilainya
konstan.
7. Suku bunga pinjaman dan deposito adalah sama.
8. Penjualan pendek diizinkan.
Dengan asumsi-asumsi di atas, nilai opsi hanya bergantung pada harga aset
yang mendasari, waktu, dan parameter lain yang nilainya konstan. Pada karya
ilmiah ini aset yang mendasari adalah emas. Harga emas diasumsikan sebagai
proses stokastik dan menyebar lognormal. Dari pernyataan di atas, diperoleh
teorema berikut:
Teorema 2
Logaritma harga emas yang memenuhi persamaan (6) pada saat t memiliki
sebaran normal dengan rataan µ = ln 0 (
dan varian
.
Bukti dapat dilihat di Hull (2009).

8
Penilaian Opsi
Penilaian opsi merupakan suatu masalah yang sudah berkembang cukup
lama. Terdapat suatu riset yang memfokuskan mengenai ada tidaknya hubungan
antara aset dengan kontrak opsi yang tertulis. Masalah ini dipecahkan oleh Fisher
Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 yang kemudian modelnya dikenal
dengan model Black-Scholes, sehingga diperoleh teorema berikut:
Teorema 3
Misalkan ( , menyatakan nilai opsi pada waktu t, maka V memenuhi
persamaan diferensial parsial Black-Scholes.
(8)
Bukti dapat dilihat di Hull (2009)
Pada waktu opsi call jatuh tempo, apabila
, opsi dikatakan dalam
keadaan in the money. Pemegang kontrak opsi atau investor akan mengeksekusi
opsi call, yaitu dengan membeli emas dari penjual opsi sesuai dengan kontrak opsi
dengan harga
kemudian menjualnya dengan harga
sehingga investor
memperoleh keuntungan sebesar
. Sebaliknya apabila
pada saat
jatuh tempo, opsi dikatakan dalam keadaan out of the money. Investor tidak akan
mengeksekusi opsi call karena investor akan memperoleh kerugian sebesar
. Untuk kondisi ini opsi tidak memiliki nilai pada saat jatuh tempo. Lalu apabila
maka opsi dikatakan dalam keadaan at the money yaitu tidak untung dan
tidak rugi atau impas. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat dituliskan
sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi investor sebagai berikut:
ma (
,0 .
(9)
c

ST
K
Gambar 1 Diagram payoff opsi call (c) tipe Eropa
maka investor
Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila
akan mengeksekusi opsi put karena investor bisa memperoleh keuntungan sebesar
maka kondisi ini disebut dengan keadaan in the money. Sebaliknya apabila
pada saat jatuh tempo
maka investor tidak akan mengeksekusi opsi put,
karena investor akan memperoleh kerugian sebesar
, sehingga opsi ini
dikatakan dalam keadaan out of the money. Untuk kondisi ini opsi tidak memiliki
nilai pada saat jatuh tempo. Kondisi impas atau at the money opsi put terjadi jika

9
. Jadi nilai opsi put pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu
payoff atau penerimaan bagi investor sebagai berikut:
ma (

,0

(10)

p

ST
K
Gambar 2 Diagram payoff opsi put (p) tipe Eropa
Model Black-Scholes untuk Opsi Tipe Eropa
Nilai dari opsi call dan opsi put dapat diperoleh dengan menggunakan
model Black-Scholes.
Teorema 4
Model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa pada emas yang tidak
membayarkan dividen
(
( ,
(11)
dengan
(

)

(12)

(

)

(13)

√

dan

√

Keterangan
c
: harga opsi call Eropa,
: harga emas saat ini,
0
K
: strike price,
r
: tingkat suku bunga bebas risiko,
T
: jangka waktu berlakunya opsi,
: volatilitas harga emas, dan
N(x) : fungsi sebaran kumulatif normal baku

N(x) =
(Hull 2009).

√

∫

(14)

10
Teorema 5 (Put-Call Parity)
Teorema ini menghubungkan nilai dari opsi call dan opsi put karena dari definisi
opsi call dan opsi put serta persamaan (11) dan (15) terlihat adanya perilaku yang
bertolak belakang. Teorema put-call parity mengombinasikan opsi call dan opsi
put dalam suatu bentuk persamaan.
.
(15)
0
Bukti dapat dilihat di Hull (2009).
Dengan menggunakan konsep ini, jika nilai opsi call diketahui, maka nilai opsi
put juga dapat ditentukan, sehingga diperoleh teorema berikut.
Teorema 6
Model Black-Scholes untuk opsi put Eropa adalah
p=
(

0

(

(16)

dengan dan seperti pada persamaan (12) dan (13).
Bukti dapat dilihat di Hull (2009).
Volatilitas

Hull (2009) menyatakan bahwa volatilitas yang biasa disimbolkan dengan
dari emas adalah ukuran dari ketidakpastian return yang dari investasi emas. Dari
Teorema 2, volatilitas emas dapat didefinisikan sebagai standar deviasi return dari
investasi emas dalam 1 tahun.
Perhitungan Volatilitas
Untuk memperkirakan volatilitas harga emas secara empirik, harga emas
biasanya diamati pada interval waktu tertentu seperti harian, mingguan, atau
bulanan. Didefinisikan:
n + 1 : Jumlah pengamatan,
0, , , , , dan
: Harga emas pada waktu ke-t dengan
T
: Panjang interval amatan dalam tahun.
Misalkan:
ln
Pendugaan standar deviasi dari

adalah
√

atau
√

, , ,

untuk

∑(
∑

̅
(

(∑

.

Pada Teorema 2, standar deviasi dari adalah √ . Oleh karena itu
̂
adalah penduga dari √ , sehingga ̂
dengan kesalahan dugaannya yaitu .
√
√

11
Future Value (Akumulasi)
Akumulasi dari sejumlah dana sebesar C untuk periode yang panjangnya
satuan waktu adalah
(
,

dengan merupakan suku bunga efektif per satuan waktu.
Greeks

Salah satu kegunaan formula Black Scholes ini adalah sebagai alat untuk
mengendalikan risiko dalam suatu opsi portofolio. Dalam setiap mengukur nilai
pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh beberapa perubahan seperti harga
yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu.
Teknik dalam mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai
sensitivitas nilai opsi (greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega,
dan rho. Delta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham.
Gamma adalah tingkat perubahan delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga
saham. Theta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap waktu. Vega
adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap volatilitas, sedangkan rho
adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku bunga. Dalam karya
ilmiah ini hanya akan dibahas delta.
Lindung Nilai (Hedge Ratio)
Rasio lindung nilai (delta) adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi
terhadap harga emas. Berdasarkan definisi dan dengan menggunakan model
Black-Scholes, didapat rasio lindung nilai (delta) sebagai berikut:

dengan V adalah total nilai opsi dalam portofolio, yaitu jumlah semua nilai opsi
dalam portofolio. Rasio lindung nilai (delta) berhubungan dengan analisis BlackScholes. Black-Scholes menunjukkan bahwa ada kemungkinan membuat
portofolio yang bebas risiko yang terdiri atas opsi dan emas. Risiko lindung nilai
(delta) untuk opsi call tipe Eropa didapat dengan menggunakan nilai opsi call tipe
Eropa dalam teorema 4, sehingga diperoleh teorema berikut.
Teorema 7
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa diberikan oleh
(

dengan (
adalah fungsi distribusi kumulatif normal baku dengan d1 seperti
persamaan (12), yaitu
(

√

12
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call nilainya selalu tak negatif, yaitu
0
Ini dikarenakan peningkatan harga aset yang mendasari akan
mempengaruhi peningkatan harga opsi call, sehingga dapat dimengerti bahwa
meningkatnya harga aset yang mendasari akan meningkatkan peluang nilai imbal
hasil opsi positif.
(∆c)

1

0

(ST)
(K)

Gambar 3 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa
Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin tinggi harga emas akan meningkatkan
nilai dari delta opsi call. Sedangkan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe
Eropa didapat dengan menggunakan teorema 8 berikut.
Teorema 8
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa diberikan oleh
(

adalah fungsi distribusi kumulatif normal baku dengan d1 seperti
dengan (
persamaan (12), yaitu
(

√

Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put nilainya selalu tak positif, yaitu

13
(∆p)

(K)
(

0

)

-1

Gambar 4 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa
Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin tinggi harga emas akan meningkatkan
nilai dari delta opsi put.

PEMBAHASAN
Deskripsi Data
Pada karya ilmiah ini, data yang digunakan merupakan data rata-rata harga
emas pada London Gold Fixing yang diperoleh dari website www.priceoz.com.
Data diambil antara Januari 2010 sampai Desember 2014.
Tabel 2 Data harga emas tahun 2010-2014
2010

2011

2012

2013

2014

Januari

Harga emas
(USD)
1117.96

Harga emas
(USD)
1356.40

Harga emas
(USD)
1656.12

Harga emas
(USD)
1670.95

Harga emas
(USD)
1244.80

Februari

1095.41

1372.73

1742.62

1627.59

1300.98

Maret

1113.34

1424.01

1673.77

1592.86

1336.08

April

1148.69

1473.81

1650.07

1485.08

1299.00

Mei

1205.43

1510.44

1585.50

1413.50

1287.53

Juni

1232.92

1528.66

1596.70

1342.36

1279.10

Juli

1192.97

1572.81

1593.91

1286.72

1310.97

Agustus

1215.81

1755.81

1626.03

1347.10

1295.99

September

1270.98

1771.85

1744.45

1348.80

1238.82

Oktober

1342.02

1665.21

1747.01

1316.18

1222.49

November

1369.89

1738.98

1721.14

1275.82

1176.30

Desember

1390.55

1652.31

1688.53

1225.40

1202.29

Bulan

14
2000.00
1800.00
1600.00
1400.00
1200.00
1000.00
800.00
600.00
400.00
200.00
0.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

Gambar 5 Rata-rata harga emas dunia tahun 2010-2014 (troy/ounce)
Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa
Pada subbab ini dibahas penentuan nilai opsi tipe Eropa dengan emas
sebagai aset yang mendasari menggunakan model Black-Scholes. Langkah
pertama, dilakukan uji kenormalan harga emas yang telah dilogaritmakan. Hal ini
dilakukan untuk memastikan bahwa model Black-Scholes dapat digunakan.
Ternyata benar bahwa harga emas menyebar normal, hasilnya dapat dilihat pada
lampiran 1. Selanjutnya disajikan terlebih dahulu volatilitas harga emas pada
tahun 2010-2014. Perhitungan Volatilitas ini dapat dilihat pada lampiran 2.
Tabel 3 Volatilitas harga emas tahun 2010-2014
Tahun
2010
2011
2012
2013
2014

Volatilitas
0.09283
0.15961
0.11981
0.10023
0.10688

Dari tabel 3 terlihat bahwa volatilitas harga emas tertinggi terjadi pada
tahun 2011. Semakin tinggi tingkat volatilitasnya menunjukkan bahwa harga emas
semakin berfluktuasi artinya semakin tinggi ketidakpastian harga emas. Kontrak
opsi tipe Eropa merupakan instrumen penting untuk melindungi investor dari
ketidakpastian harga emas.

15
Opsi Call Tipe Eropa
Misalkan pada tanggal 3 Maret 2015 seorang investor A dan B membuat
perjanjian kontrak opsi call. Kontrak tersebut menyebutkan bahwa A mempunyai
hak untuk membeli emas dari B artinya A sebagai pembeli opsi call dan B sebagai
penjual opsi call. Harga yang disepakati di dalam kontrak opsi call seharga $1200
dengan masa berlaku kontrak tersebut selama 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 3
September 2015 dengan harga emas saat ini sebesar $1210. Misalkan suku bunga
8% dan volatilitas dari harga emas mengikuti volatilitas tahun 2014 yaitu 0.10688.
Dari ilustrasi ini, diperoleh parameter-parameter sebagai berikut
= $1210
= $1200
= 6 bulan = 0.5 tahun
= 8% = 0.08
= 0.10688
Mencari nilai dan :

S0
Kc
T
r

√

√

Perhitungan nilai N(x) menggunakan metode interpolasi dan tabel sebaran
normal:
(
(
(
(
( (
(
(
(
(
(
(
(
(

(
(

( (
(

0.726178864
(

(

)

Nilai opsi call tipe Eropa adalah
(
=(
= 71.16613114

(

16
Payoff opsi call

2500

2000

1500

1000

500

0

ST

500

1000

1500

2000

2500

Gambar 6 Diagram payoff opsi call tipe Eropa dengan K = 1200
Dari diagram terlihat bahwa pada ST > K maka pemegang kontrak opsi akan
mengeksekusi kontraknya karena pemegang kontrak opsi akan memperoleh
keuntungan sebesar ST – K.
Put-call parity
Dari ilustrasi pada opsi call tipe Eropa nilai opsi put tipe Eropa dihitung
menggunakan persamaan put-call parity, menjadi sebesar

Opsi Put Tipe Eropa
Misalkan pada tanggal 3 Maret 2015 seorang investor A dan B membuat
perjanjian kontrak opsi put. Kontrak tersebut menyebutkan bahwa A mempunyai
hak untuk menjual emas ke B artinya A sebagai pembeli opsi put dan B sebagai
penjual opsi put. Harga yang disepakati di dalam kontrak opsi put seharga $1200
dengan masa berlaku kontrak tersebut selama 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 3
September 2015 dengan harga emas sebesar $1210. Misalkan suku bunga 8 % dan
volatilitas dari harga emas mengikuti volatilitas tahun 2014 yaitu 0.10688. Dari
ilustrasi ini, diperoleh parameter-parameter sebagai berikut
= $1210
= $1200
= 6 bulan = 0.5 tahun
= 8% = 0.08
= 0.10688
Mencari nilai dan :

S0
Kc
T
r

√

√

17
Perhitungan nilai N(x) menggunakan metode interpolasi dan tabel sebaran
normal:
(
(
(
(
( (
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(

(
(

( (
(

(

0.726178864
1− 0.726178864 = 0.273821136

(
(
)
Nilai opsi put tipe Eropa adalah
–

=
= 14.11345814.

(

Payoff opsi put

2500

2000

1500

1000

500

0
ST
500

1000

1500

2000

2500

Gambar 7 Diagram payoff opsi put tipe Eropa dengan K = 1200
Dari diagram terlihat bahwa pada ST ≥ K maka pemegang kontrak opsi tidak
akan mengeksekusi kontraknya karena pemegang kontrak opsi akan memperoleh
kerugian sebesar ST – K
Delta Untuk Opsi Call Tipe Eropa
Berdasarkan perhitungan sebelumnya pada Opsi call Tipe Eropa diperoleh
nilai opsi call sebesar 71.16. Perhitungan tersebut diperoleh dengan memisalkan
harga emas saat ini adalah 1210, harga strike sebesar 1200, suku bunga yang
digunakan 0.08 per tahun dan harga volatilitas tahun 2014 serta waktu jatuh
tempo selama 6 bulan. Misalkan pula pada saat T = 6 bulan harga emas naik

18
menjadi 1300 atau harga emas turun menjadi 1100, maka delta untuk opsi call tipe
Eropa adalah
∆c = N(d1) = 0.7507.
∆c

1.0
0.8
0.6
0.4

0.2

0

S
500

1000

1500

2000

2500

Gambar 8 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa dengan K =1200
Dari diagram terlihat bahwa semakin meningkatnya harga emas akan
meningkatkan nilai dari opsi call. Misalkan investor B menjual opsi call kepada
investor A. Kasus 1 saat T = 6 bulan harga emas menjadi $1300. Berikut
ditampilkan hasil perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call dengan
harga pasar $1300. Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call
dengan harga pasar $1300 dapat dilihat pada lampiran 4.
Tabel 4 Hasil perhitungan cash flow saat
yang berbeda
Investor melakukan delta
hedging
Banyaknya opsi
Saat T = 0
Delta hedging
Cash flow
Saat T = 6 bulan
Cash flow opsi
Cash flow emas
Cash flow utang
Total cash flow
Investor tidak melakukan
delta hedging
Saat T = 0
Cash flow
Saat T = 6 bulan
Cash flow opsi
Cash flow emas
Cash flow tabungan
Total cash flow

= $1300 dengan jumlah opsi call

100

300

500

800

1000

75
-83634

225
-250902

375
-418170

600
-669072

750
-836340

-10000
97500
-86915.0023
584.9977

-30000
292500
-260745.0070
1754.9930

-50000
487500
-434575.0117
2924.9883

-80000
780000
-695320.0188
4679.9812

-100000
975000
-869150.0234
5849.9766

7116

21348

35580

56928

71160

-10000
0
7395.1641
-2604.8359

-30000
0
22185.4924
-7814.5076

-50000
0
36975.8206
-13024.1794

-80000
0
59161.3130
-20838.6870

-100000
0
73951.6413
-26048.3587

19
Dari Tabel 4 terlihat saat ST = $1300 pada opsi call, investor B lebih baik
melakukan delta hedging karena mendapatkan cash flow yang lebih baik
dibandingkan tidak melakukan delta hedging.
Selanjutnya, kasus 2 saat T = 6 bulan harga emas menjadi $1100. Berikut
ditampilkan hasil perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call dengan
harga pasar $1300. Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call
dengan harga pasar $1300 dapat dilihat pada lampiran 5.
Tabel 5 Hasil perhitungan Cash flow saat
yang berbeda
Investor melakukan delta
hedging
Banyaknya opsi
Saat T = 0
Delta hedging
Cash flow
Saat T = 6 bulan
Cash flow opsi
Cash flow emas
Cash flow utang
Total cash flow
Investor tidak melakukan
delta hedging
Saat T = 0
Cash flow
Saat T = 6 bulan
Cash flow opsi
Cash flow emas
Cash flow tabungan
Total cash flow

= $1100 dengan jumlah opsi call

100

300

500

800

1000

75
-83634

225
-250902

375
-418170

600
-669072

750
-836340

0
82500
-86915.0023
-4415.0023

0
247500
-260745.0070
-13245.0070

0
412500
-434575.0117
-22075.0117

0
660000
-695320.0188
-35320.0188

0
825000
-869150.0234
-44150.0234

7116

21348

35580

56928

71160

0
0
7395.1641
7395.1641

0
0
22185.4924
22185.4924

0
0
36975.8206
36975.8206

0
0
59161.3130
59161.3130

0
0
73951.6413
73951.6413

Dari tabel 5 terlihat jika ST = 1100 pada opsi call, lebih baik investor B tidak
melakukan delta hedging sebab cash flow yang diperoleh lebih baik jika tidak
melakukan delta hedging dibandingkan investor melakukan delta hedging.
Delta Untuk Opsi Put Tipe Eropa
Berdasarkan perhitungan sebelumnya pada Opsi Put Tipe Eropa diperoleh
nilai opsi put sebesar 14.11. Perhitungan tersebut diperoleh dengan memisalkan
harga emas saat ini adalah 1210, harga strike sebesar 1200, suku bunga yang
digunakan 0.08 per tahun dan harga volatilitas tahun 2014 serta waktu jatuh
tempo selama 6 bulan. Misalkan pula pada saat T = 6 bulan harga emas naik
menjadi $1300 atau harga emas turun menjadi $1100, maka delta untuk opsi put
tipe Eropa adalah
∆p = N(d1) −
− 0 49 .

20
∆c

500

1000

1500

2000

2500

ST

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Gambar 9 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa dengan K = 1200
Dari diagram terlihat bahwa semakin meningkatnya harga emas akan
meningkatkan nilai dari opsi put. Misalkan investor B menjual opsi put kepada
investor A. Kasus 1 saat T = 6 bulan harga emas menjadi $1300. Berikut
ditampilkan hasil perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put dengan
harga pasar $1300. Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put
dengan harga pasar $1300 dapat dilihat pada lampiran 6.
Tabel 6 Hasil perhitungan cash flow saat
berbeda
Investor melakukan delta
hedging
Banyaknya opsi
Saat T = 0
Delta hedging
Cash flow
Saat T = 6 bulan
Cash flow opsi
Cash flow emas
Cash flow utang
Total cash flow
Investor tidak melakukan
delta hedging
Saat T = 0
Cash flow
Saat T = 6 bulan
Cash flow opsi
Cash flow emas
Cash flow tabungan
Total cash flow

= $1300 dengan jumlah opsi put yang

100

300

500

800

1000

-25
31661

-75
94983

-125
158305

-200
253288

-250
316610

0
-32500
32903.0764
403.0764

0
-97500
98709.2291
1209.2291

0
-162500
164515.3819
2015.3819

0
-260000
263224.6110
3224.6110

0
-325000
329030.7637
4030.7637

1411

4233

7055

11288

14110

0
0
1466.3542
1466.3542

0
0
4399.0626
4399.0626

0
0
7331.7711
7331.7711

0
0
11730.8337
11730.8337

0
0
14663.5421
14663.5421

Dari Tabel 6 terlihat bahwa saat
= $1300 pada opsi put investor B lebih
baik tidak melakukan delta hedging karena cash flow yang diperoleh lebih baik
dibandingkan melakukan delta hedging.

21
Selanjutnya, kasus 2 saat T = 6 bulan harga emas menjadi $1100. Berikut
ditampilkan hasil perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put dengan
harga pasar $1300. Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put
dengan harga pasar $1300 dapat dilihat pada lampiran 7.
Tabel 7 Hasil perhitungan cash flow saat
berbeda
Investor melakukan delta
hedging
Banyaknya opsi
Saat T = 0
Delta hedging
Cash flow
Saat T = 6 bulan
Cash flow opsi
Cash flow emas
Cash flow utang
Total cash flow
Investor tidak melakukan
delta hedging
Saat T = 0
Cash flow
Saat T = 6 bulan
Cash flow opsi
Cash flow emas
Cash flow tabungan
Total cash flow

= $1100 dengan jumlah opsi put yang

100

300

500

800

1000

-25
31661

-75
94983

-125
158305

-200
253288

-250
316610

-10000
-27500
32903.0764
-4596.9236

-30000
-82500
98709.2291
-13790.7709

-50000
-137500
164515.3819
-22984.6181

-80000
-220000
263224.6110
-36775.3890

-100000
-275000
329030.7637
-45969.2363

1411

4233

7055

11288

14110

-10000
0
1466.3542
-8533.6458

-30000
0
4399.0626
-25600.9374

-50000
0
7331.7711
-42668.2289

-80000
0
11730.8337
-68269.1663

-100000
0
14663.5421
-85336.4579

Dari Tabel 7 terlihat bahwa saat
= $1100 pada opsi put investor B lebih
baik melakukan delta hedging karena cash flow yang diperoleh lebih baik
dibandingkan tidak melakukan delta hedging

22

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dalam karya ilmiah ini model Black-Scholes dapat digunakan untuk harga
emas sebab harga emas memiliki karakteristik yang mirip dengan harga saham
yang berfluktuasi setiap waktu. Model Black-Scholes dapat digunakan untuk
menentukan nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa. Selain itu dapat menentukan
rasio lindung nilai (delta) dari opsi tipe Eropa. Pada opsi call investor lebih baik
melakukan delta hedging saat harga pasar lebih tinggi daripada harga strike,
sedangkan pada opsi put investor lebih baik melakukan delta hedging saat harga
pasar lebih rendah dibandingkan dengan harga strike.
Saran
Dari karya ilmiah ini ada beberapa hal yang dapat diteliti lebih lanjut yaitu
penentuan nilai opsi call dan put menggunakan opsi tipe Amerika dan
pengendalian risiko lainnya seperti gamma, theta, vega dan rho

23

DAFTAR PUSTAKA
Andriani G. 2009. Penentuan Hedge Ratio untuk Opsi Call dan Opsi Put dengan
Opsi Tipe Eropa dengan menggunakan Model Black-Scholes. [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
[BAPPETI] Badan Pengawas Perdagangan Berjangka Komoditi. 2009. Ragam
Instrumen Pengendali Risiko. Bull (2009). [internet]. [diunduh 2015 Feb
22]; 104 (9): 26-27. Tersedia pada: http//www.bappeti.go.id.
Diantoro Y. 2010. Emas: Investasi dan Pengolahannya. Jakarta (ID): Gramedia
Pustaka Utama.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. New York
(US): Clarendon Press Oxford.
Gunawan AI, Wirawati NGP. 2013. Perbandingan Berinvestasi antara Logam
Mulaia dengan Saham Perusahaan Pertambangan Emas. E-Jurnal
Akuntasi Unversitas Udhayana (2013). [internet]. [diunduh 2015 Feb
22]; 4.2 (2013): 406-420. Tersedia pada: http//download.portalgaruda.org.
Hogg RV, Mc Kean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics,
Edisi ke-6. Upper Saddle River (US): Pearson Prentice Hall.
Hull, JC. 2009. Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Ed. Prentice-Hall.
New Jersey (ID): Upper Saddle River.
Irwan. 2013. Penentuan Nilai Eksak dari Harga Opsi Tipe Eropa dengan
menggunakan Model Black-Scholes. Jurnal Teknosains. (2013).
[internet]. [diunduh 2015 Jan 12]; 7(1): 20-32. Tersedia pada:
http//www.uni.alauddin.ac.id.
Pangabean V, Nababan E, Bu’ ulolo F 0
Analisis Fundamental dan Analisis
Teknikal pada Investasi Trading Emas Online dengan Value at Risk.
Saintia Matematika. Peranan Aktivitas Lindung Nilai dalam
menggunakan Risiko. (2013). [internet]. [diunduh 2014 Feb 22]; 1(4):
369-382. Tersedia pada: http//jurnal.usu.ac.id.
Rahman, A. 2010. Model Black Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa
Dengan Pembagian Dividen. [skripsi]. Surakarta (ID): Universitas
Sebelas Maret Surakarta.
Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models, Edisi ke-10. California (US):
Elsevier Inc.
Sherlita E. 2007. Peranan Aktivitas Lindung Nilai dalam menggunakan Risiko
Perdagangan Internasional. Jurnal Bisnis, Manajemen dan Ekonomi.
(2007). [internet]. [diunduh 2014 Des 20]; 8(3): 1227-1238. Tersedia
pada: http//repository.widyatama.ac.id.
Sutrima. 2009. Eksistensi dan Ketunggalan Solusi Harga Opsi Eropa. Di dalam:
Sutrima. Prosiding Seminar Nasional, Eksistensi dan Ketunggalan Solusi
Harga Opsi Eropa; 2007 Mei 16; Bogor, Indonesia. Yogyakarta (ID):
Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta. Hlm. 287-294. [internet].
[diunduh
2014
Feb
22].
Tersedia
pada:
https://sciencemathematicseducation.files.
Tandelilin E. 2010. Portofolio dan Investasi. Yogyakarta (ID): Kanisius.
Tanuwidjaja W. 2009. Cerdas Investasi Emas. Yogyakarta (ID): Media Pressindo.

24

LAMPIRAN
Lampiran 1 Uji lognormal harga emas
Salah satu asumsi dari perumusan nilai opsi oleh Fisher Black dan Myron
Scholes yaitu sebaran harga emas adalah lognormal. Cara menguji asumsi tersebut
yaitu dengan mentransformasi data harga emas menjadi logaritma harga emas
kemudian menguji kernomalannya dengan menggunakan bantuan Minitab 16.0.
Selain itu diperlukan suatu hipotesis untuk menentukan normal tidaknya logaritma
harga emas tersebut.
0 data mengikuti sebaran normal
data tidak mengikuti sebaran normal
Kriteria penolakan adalah sebagai berikut, jika p-value yang dihasilkan
kurang dari (5% = 0.05), maka tolak 0 , artinya data tidak menyebar normal.
Sebaliknya, jika p-value yang dihasilkan lebih dari = 5% = 0.05, maka data
menyebar normal.
Tabel 8 Data harga emas dan transformasinya tahun 2010-2011
2010
Bulan
Januari

Harga emas
(USD)
1117.96

Februari

2011

7.019263

Harga emas
(USD)
1356.40

7.212589

1095.41

6.998886

1372.73

7.224553

Maret

1113.34

7.015117

1424.01

7.261233

April

1148.69

7.046375

1473.81

7.295603

Mei

1205.43

7.094595

1510.44

7.320155

Juni

1232.92

7.117141

1528.66

7.332146

Juli

1192.97

7.084198

1572.81

7.360619

Agustus

1215.81

7.103165

1755.81

7.470684

September

1270.98

7.147541

1771.85

7.479781

Oktober

1342.02

7.201934

1665.21

7.417709

November

1369.89

7.222483

1738.98

7.461052

Desember

1390.55

7.237457

1652.31

7.409927

Ln

Ln

25

Tabel 9 Data harga emas dan transformasinya tahun 2012-2013
2012
Bulan
Januari

Harga emas
(USD)
1656.12

Februari

1742.62

Maret

2013

7.412232

Harga emas
(USD)
1670.95

7.42115

7.463144

1627.59

7.394854

1673.77

7.422835

1592.86

7.373288

April

1650.07

7.40857

1485.08

7.303226

Mei

1585.50

7.368658

1413.50

7.253824

Juni

1596.70

7.375693

1342.36

7.202186

Juli

1593.91

7.373945

1286.72

7.159855

Agustus

1626.03

7.393899

1347.10

7.205706

September

1744.45

7.464195

1348.80

7.206969

Oktober

1747.01

7.465662

1316.18

7.182493

November

1721.14

7.45074

1275.82

7.151346

Desember

1688.53

7.431613

1225.40

7.111025

Ln

Ln

Tabel 10 Data harga emas dan transformasinya tahun 2014
2014
Bulan
Januari

Harga emas
(USD)
1244.80

7.126727

Februari

1300.98

7.170869

Maret

1336.08

7.197498

April

1299.00

7.16935

Mei

1287.53

7.160477

Juni

1279.10

7.153908

Juli

1310.97

7.178521

Agustus

1295.99

7.167028

September

1238.82

7.121913

Oktober

1222.49

7.108644

November

1176.30

7.070129

Desember

1202.29

7.091983

Ln

26

Gambar 10 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2010

Gambar 11 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2011

27

Gambar 12 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2012

Gambar 13 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2013

28

Gambar 14 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2014

Tabel 11 Keputusan penolakan H0
Harga Emas (Ln)
Ln Harga Emas 2010
Ln Harga Emas 2011
Ln Harga Emas 2012
Ln Harga Emas 2013
Ln Harga Emas 2014

p-value
> 0.1
> 0.1
> 0.1
> 0.1
> 0.1

Keputusan
Tidak tolak H0
Tidak tolak H0
Tidak tolak H0
Tidak tolak H0
Tidak tolak H0

Dari gambar 10 sampai 14 terlihat bahwa semua data logaritma harga emas
setiap tahunnya mempunya p-value > 0.05, sehingga dapat dikatakan bahwa
logaritma harga emas setiap tahunnya menyebar normal. Asumsi perumusan nilai
opsi oleh Fisher Black dan Myron Scholes terpenuhi.

29
Lampiran 2 Perhitungan Volatilitas
Tabel 12 Perhitungan volatilitas harga emas tahun 2010
Harga
Price
Emas
Relative
Januari
1117.96
Februari
1095.41
0.97983
Maret
1113.34
1.01636
April
1148.69
1.03175
Mei
1205.43
1.04940
Juni
1232.92
1.02280
Juli
1192.97
0.96759
Agustus
1215.81
1.01915
September
1270.98
1.04538
Oktober
1342.02
1.05590
November
1369.89
1.02076
Desember
1390.55
1.01509
Total
Standar Deviasi Monthly Return
Standar Deviasi Per Tahun
Bulan

Monthly
Return
-0.02038
0.01623
0.03126
0.04822
0.02255
-0.03294
0.01897
0.04438
0.05439
0.02055
0.01497
0.21819
0.02680
0.09283

Monthly
Return2
0.00042
0.00026
0.00098
0.00233
0.00051
0.00109
0.00036
0.00197
0.00296
0.00042
0.0002242
0.01151

Tabel diatas berisi langkah-langkah perhitungan volatilitas untuk harga
emas tahun 2010 secara ringkas. Berikut dijelaskan contoh perhitungan secara
manual:
1. Price relative = St /
Februari
:1095.41/1117.96 = 0.97983
Maret
:1113.34/1095.41 = 1.01636
2. Monthly return = ln(price relative)
Februari
: ln(0.97983) = -0.02038
Maret
: ln(1.01636) = 0.01623
3. Standar deviasi monthly return
√
√

00

∑

(

(∑ )
( 0

0

(

4. Menghitung standar deviasi per tahun: √
5. Standar deviasi atau volatilitas harga emas tahun 2010
0.02680 (12)1/2 = 0.09283

30
Tabel 13 Perhitungan volatilitas harga emas tahun 2011
Harga
Price
Emas
Relative
Januari
1356.40
Februari
1372.73
1.01204
Maret
1424.01
1.03736
April
1473.81
1.03497
Mei
1510.44
1.02486
Juni
1528.66
1.01206
Juli
1572.81
1.02888
Agustus
1755.81
1.11635
September
1771.85
1.00914
Oktober
1665.21
0.93982
November
1738.98
1.04430
Desember
1652.31
0.95016
Total
Standar Deviasi Monthly Return
Standar Deviasi Per Tahun
Bulan

Monthly
Return
0.01196
0.03668
0.03437
0.02455
0.01199
0.02847
0.11006
0.00910
-0.06207
0.04334
-0.05113
0.19734
0.04608
0.15961

Monthly
Return2
0.00014
0.00135
0.00118
0.00060
0.00014
0.00081
0.01211
0.00008
0.00385
0.00188
0.0026138
0.02477

Tabel diatas berisi langkah-langkah perhitungan volatilitas untuk harga
emas tahun 2011 secara ringkas. Berikut dijelaskan contoh perhitungan secara
manual:
1. Price relative = St /
Februari
:1372.73/1356.40 = 1.01204
Maret
:1424.01/1372.73 = 1.03736
2. Monthly return = ln(price relative)
Februari
: ln(1.01204) = 0.01196
Maret
: ln(1.03736) = 0.03668
3. Standar deviasi monthly return
√
√

0 04 0

∑

(

(∑ )
( 0

(

4. Menghitung standar deviasi per tahun: √
5. Standar deviasi atau volatilitas harga emas tahun 2011
0.046