I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di beberapa negara, ruang operasi menjadi hambatan di sebagian besar rumah sakit.
Permintaan operasi yang besar, keterbatasan peralatan operasi dan ketersediaan dari ruang
operasi dan juga ahli bedah mempersulit manajemen rumah sakit mengambil keputusan
untuk membuat proses penjadwalan operasi bedah Ayag et al. 2010.
Biasanya, di rumah sakit sudah ada angka pasti untuk waktu penggunaan ruang operasi
yang tersedia dikarenakan keterbatasan ruang operasi dan aturan rumah sakit Magerlalein
Martin 1978. Alokasi waktu ruang operasi dan jadwal bedah umumnya ditentukan
dengan dua strategi penjadwalan yang berbeda: strategi blok dan strategi nonblok.
Blok didefinisikan sebagai unit waktu terkecil untuk ruang operasi tertentu yang dapat
diberikan kepada ahli bedah tertentu. Dalam strategi penjadwalan blok, jumlah waktu yang
tetap di hari tertentu ditugaskan untuk ahli bedah di waktu ruang operasi blok, sedangkan
strategi penjadwalan nonblok, ahli bedah bersaing untuk waktu ruang operasi karena
memiliki sistem siapa yang pertama datang itulah yang pertama dilayani.
Sistem nonblok
memiliki beberapa
kelemahan seperti menunggu lama karena memiliki sistem siapa yang pertama datang
itulah yang pertama dilayani Magerlalein Martin 1978. Namun, sistem blok juga
memiliki
beberapa kelemahan,
seperti menunda operasi bedah darurat karena operasi
pasien yang
sudah terjadwal
harus diselesaikan
terlebih dahulu
sebelum dilakukan
operasi bedah
lainnya, dan
menghilangkan kesempatan
untuk menyediakan waktu mempergunakan ruang
operasi yang tidak terpakai bagi prosedur pembedahan lainnya jika ahli bedahnya
membatalkan operasi terlalu dekat dengan jadwal operasi bedah atau tidak menggunakan
seluruh
waktu yang
dialokasikan dan
menyelesaikan pembedahan
lebih awal
Ozkarahan 1995. Meskipun
memiliki kekurangan,
penjadwalan blok adalah strategi yang paling banyak digunakan ketika mengalokasikan
waktu ruang operasi untuk kelompok bedah dan operasi dikarenakan penjadwalan blok
memiliki kelebihan,
yaitu penurunan
persaingan untuk mendapatkan waktu ruang operasi diantara para ahli bedah. Model
integer digunakan untuk meminimalkan total waktu underallocation penalty pada batasan
jumlah ruang operasi yang ditugaskan. Di sini, perbedaan antara jam target yang ditetapkan
untuk setiap ahli bedah dan waktu sebenarnya yang telah ditetapkan didefinisikan sebagai
“waktu operasi underallocation”. Umumnya, ketika jadwal tersebut dibuat
tanpa prosedur metodologis, konflik mungkin terjadi antara ahli bedah dan perawat ruang
operasi selama jadwalnya subyektif dan tidak konsisten. Selain itu, ketika perawat ruang
operasi tidak ada maka akan terjadi hambatan dan kemungkinan kualitas dari penjadwalan
akan rendah. Penjadwalan waktu ruang operasi yang tidak efisien bisa mengakibatkan
penundaan operasi yang membuat biaya rumah sakit menjadi mahal bagi pasien dan
rumah sakit itu sendiri.
Pada dasarnya, penjadwalan tersebut adalah bentuk suatu perencanaan dari pihak
rumah sakit dalam hal operasi bedah untuk mengetahui apakah fasilitas-fasilitas yang
tersedia di rumah sakit sudah memadai atau belum di saat permintaan operasi cukup besar.
Permasalahan penjadwalan operasi bedah ini akan dimodelkan sebagai masalah Integer
Programming
dengan masalah
kendala spesifik didasarkan pada ketersediaan ahli
bedah, peralatan, dan ketersediaan ruang operasi yang terbatas untuk mengalokasikan
waktu ruang operasi dengan strategi blok. Model ini berdasarkan pada artikel berjudul
“Determining Master Schedule of Surgical Operations by Integer Programming: A Case
Study ” yang ditulis oleh Z Ayag tahun 2007.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah memodelkan masalah penjadwalan operasi
bedah dalam bentuk Integer Programming IP dengan meminimumkan waktu operasi
underallocation dan menentukan perencanaan penjadwalan operasi bedah untuk mengetahui
apakah fasilitas-fasilitas yang dimiliki rumah sakit sudah memadai atau belum.
II LANDASAN TEORI
Untuk membangun penjadwalan ruang operasi bedah diperlukan pemahaman teori
Pemrograman Linear PL atau Linear Programming LP dan Pemrograman Linear
Integer PLI
atau Integer
Linear Programming ILP.
2.1 Pemrograman Linear
Fungsi linear dan pertidaksamaan linear merupakan salah satu konsep dasar yang harus
dipahami terkait dengan konsep pemrograman linear.
Definisi 1 Fungsi Linear
Suatu fungsi f dalam variabel-variabel �
1
, �
2
, … , � adalah suatu fungsi linear jika
dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta
1
,
2
, … , , f dapat ditulis sebagai
��
1
, �
2
, … , � =
1
�
1
+
2
�
2
+ +
� . Winston 2004
Sebagai contoh, ��
1
, �
2
= 10 �
1
+ 3 �
2
merupakan fungsi
linear, sementara
��
1
, �
2
= �
1 2
�
2
bukan fungsi linear. Definisi 2 Pertidaksamaan dan Persamaan
Linear Untuk sembarang fungsi linear f dan
sembarang bilangan
c, pertidaksamaan
��
1
, �
2
, … , �
dan ��
1
, �
2
, … , �
adalah pertidaksamaan linear, sedangkan suatu
persamaan ��
1
, �
2
, … , � =
merupakan persamaan linear. Winston 2004
Pemrograman Linear PL adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi hal-hal
berikut: a.
Tujuan masalah
tersebut adalah
memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel
keputusan. Fungsi
yang akan
dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.
b. Nilai variabel-variabel keputusannya harus
memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear
atau pertidaksamaan linear.
c. Ada pembatasan tanda untuk setiap
variabel dalam
masalah ini. Untuk
sembarang variabel � , pembatasan tanda
menentukan � harus tak-negatif �
atau tidak dibatasi tandanya unrestricted in sign.
Winston 2004
Definisi 3 Bentuk Standar Pemrograman Linear
Misalkan diberikan suatu PL dengan m kendala dan n variabel dilambangkan dengan
�
1
, �
2
, … , � . Bentuk standar dari PL tersebut
adalah: max z =
1
�
1
+
2
�
2
+ +
� atau min
s. t.
11
�
1
+
12
�
2
+ +
1
� =
1
1
21
�
1
+
22
�
2
+ +
2
� =
2
2
1
�
1
+
2
�
2
+ +
� = 3
� 0, = 1, 2, . . . ,
Jika didefinisikan:
A =
11 1
⋱
1
, � = �
1
�
2
� ,
=
1 2
,
maka kendala pada 1, 2, dan 3 dapat ditulis dengan sistem persamaan
Ax = b
4 Winston 2004
Solusi Pemrograman Linear Suatu masalah PL dapat diselesaikan
dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode
simpleks. Metode
ini dapat
menghasilkan suatu solusi optimum bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh
Dantzig sejak tahun 1947 Winston 2004, dan dalam perkembangannya merupakan
metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode
iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar.
Pada masalah PL 4, vektor x yang
memenuhi kendala
� = disebut solusi PL 4. Misalkan matriks A dinyatakan sebagai A
= B N, dengan B adalah matriks taksingular berukuran m × m yang elemennya berupa
koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran m × n
– m yang elemen- elemennya berupa koefisien variabel nonbasis
pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks B disebut matriks basis untuk PL 4.
Misalkan x dinyatakan sebagai vektor x =
� �
�
, dengan � adalah vektor variabel
basis dan �
�
adalah vektor variabel nonbasis, maka
� = dapat dinyatakan sebagai:
� = � �
�
�
= B� + N�
�
= b . 5
Karena matriks
B adalah
matriks
taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari 5
� dapat dinyatakan sebagai: � =
−�
−
−�
N �
�
6 Kemudian, fungsi objektifnya berubah
menjadi: min z =
�
� +
� �
�
�
Winston 2004 Definisi 4 Daerah Fisibel
Daerah fisibel dari suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua
kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut.
Winston 2004 Definisi 5 Solusi Basis
Solusi basis adalah solusi pada PL yang didapatkan dengan mengatur variabel n
–m sama
dengan nol
dan nilai
untuk penyelesaiannya adalah dari sisa variabel m.
Hal ini dengan mengasumsikan bahwa mengatur variabel n
–m sama dengan nol akan membuat nilai yang unik untuk sisa variabel
m atau sejenisnya, dan kolom-kolom untuk sisa dari variabel m merupakan bebas linear.
Winston 2004 Definisi 6 Solusi Fisibel Basis
Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya tak-
negatif. Winston 2004
Definisi 7 Solusi Optimum Untuk
masalah maksimisasi,
solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi
optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif
terkecil.
Winston 2004 Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis
diberikan dalam Contoh 1. Contoh 1
Misalkan diberikan PL berikut: Minimumkan z =
−2�
1
− 3�
2
dengan kendala −�
1
+ 2 �
2
+ �
3
= 10 −2�
1
+ �
2
+ �
4
= 2 2
�
1
+ �
5
= 3 �
1
, �
2
, �
3
, �
4
, �
5
0 7 Dari PL tersebut diperoleh:
A = −1 2 1
−2 1 0 2
1 1
, b =
10 2
3 .
Misalkan dipilih: � = �
1
�
2
�
3 �
dan �
�
= �
4
�
5 �
. Sehingga diperoleh:
B = −1 2 1
−2 1 0 2
,
−1
=
1 2
1 1
1 −2
−3 2
,
N = 1
1
,
�
= −2 −3 0 ,
� �
= 0 0 ,
�
�
= 0 0
�
, � =
−�
=
3 2
5
3 2
�
. 8 � =
� −�
= −18.
Solusi 8 merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala PL 7 dan
kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari 8,
yaitu B bebas linear kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain.
Solusi 8 juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau
sama dengan nol. 2.2 Pemrograman Linear Integer
Pemrograman linear integer adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel
yang digunakan berupa bilangan bulat integer. Jika semua variabel harus berupa
integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya
sebagian yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming MIP.
PLI dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 PLI.
Garfinkel Nemhauser 1972
Definisi 8 Relaksasi Pemrograman Linear
Relaksasi pemrograman linear atau sering disebut
relaksasi-PL merupakan
suatu pemprograman linear yang diperoleh dari
suatu PLI dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada setiap
variabelnya.
Untuk masalah
maksimisasi, nilai
optimum fungsi objektif relaksasi-PL lebih besar atau sama dengan nilai optimum fungsi
objektif PLI, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimum fungsi objektif
relaksasi-PL lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif PLI.
Winston 2004
2.3 Metode Branch and Bound
Kategori