2.3 Metode Branch and Bound
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah PLI
digunakan software LINGO 11.0, yaitu sebuah program yang dirancang untuk
menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer. Software LINGO 11.0
ini menggunakan metode branch-and-bound untuk menyelesaikan masalah PLI.
Prinsip dasar metode branch-and-bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah
relaksasi-PL dengan membuat subproblem- subproblem. Terdapat dua konsep dasar dalam
algoritma branch-and-bound. 1.
Branch Cabang Branching pencabangan adalah proses
membagi permasalahan
menjadi subproblem-subproblem yang mungkin
mengarah ke solusi. 2.
Bound Batas Bounding pembatasan adalah suatu
proses untuk mencari atau menghitung batas atas dalam masalah minimisasi dan
batas bawah dalam masalah maksimisasi untuk solusi optimum pada subproblem
yang mengarah ke solusi. Metode branch-and-bound diawali dari
menyelesaikan relaksasi-PL
dari suatu
pemrograman linear integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimum sudah
berupa integer,
maka solusi
tersebut merupakan solusi optimum PLI. Jika tidak,
dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada relaksasi-PLnya
kemudian diselesaikan.
Winston 2004 menyebutkan bahwa untuk masalah maksimisasi nilai fungsi objektif
optimum untuk PLI lebih kecil atau sama dengan nilai fungsi objektif optimum untuk
relaksasi-PL, sehingga nilai fungsi objektif optimum relaksasi-PL merupakan batas atas
bagi nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI. Diungkapkan pula oleh Winston
2004 untuk masalah maksimisasi bahwa nilai fungsi objektif optimum untuk suatu
kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI
asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi
kendala integer pada masalah PLI, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah
bernilai integer.
Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut
Winston 2004, suatu subproblem dikatakan terukur fathomed jika salah satu kondisi
berikut terpenuhi: a. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga
tidak dapat menghasilkan solusi optimum bagi PLI.
b. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya
bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih
baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi
kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah dalam
masalah maksimisasi dan batas atas dalam masalah minimisasi nilai fungsi
objektif optimum bagi masalah PLI pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini
menghasilkan
solusi optimum
untuk masalah PLI.
c. Nilai fungsi objektif optimum untuk subproblem tersebut tidak melebihi batas
bawah saat
itu untuk
masalah maksimisasi dan tidak melebihi batas atas
saat itu untuk masalah minimisasi. Suatu subproblem dapat dieliminasi apabila
subproblem tersebut takfisibel dan batas bawah kandidat solusi lebih besar untuk
masalah maksimisasi dari nilai fungsi objektif
optimum untuk
subproblem tersebut.
Berikut ini
adalah langkah-langkah
penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound:
• Langkah 0 Didefinisikan z sebagai batas bawah dari
solusi PLI yang optimum. Pada awalnya tetapkan z =
−∞ dan i = 0. • Langkah 1
Subproblem PL
dipilih sebagai bagian masalah
berikutnya untuk
diperiksa. Subproblem
PL diselesaikan dan diukur
dengan kondisi yang sesuai. a Jika
PL terukur, maka batas bawah z
dapat diperbarui. Batas bawah z dapat diperbaharui jika solusi PLI yang lebih
baik telah ditemukan. Jika tidak, maka bagian masalah subproblem baru i dipilih
dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diteliti, maka proses
dihentikan.
b Jika PL
tidak terukur, lanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabangan
PL .
• Langkah 2 Dipilih salah satu variabel
� yang nilai optimumnya adalah
�
∗
yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi
PL . Bidang
�
∗
� �
∗
+ 1 dipecah menjadi dua subproblem, yaitu
� �
∗
dan � �
∗
+ 1 dengan
�
∗
didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan
�
∗
. Jika PL
masih tidak terukur, maka kembali ke Langkah 1.
Taha 1996 Untuk
memudahkan pemahaman
mengenai metode
branch-and-bound diberikan contoh sebagai berikut:
Contoh 2 Misalkan diberikan PLI berikut:
maksimumkan z = 8
�
1
+ 5 �
2
dengan kendala �
1
+ �
2
6 9
�
1
+ 5 �
2
45 �
1
, �
2
�
1
dan �
2
integer 9 Solusi optimum relaksasi-PL dari masalah
PLI 9 adalah �
1
= 3.75, �
2
= 2.25, dan � = 41.25 lihat Lampiran 1. Batas atas nilai
optimum fungsi objektif masalah ini adalah � = 41.25. Daerah fisibel masalah 9
ditunjukkan pada Gambar 1. Solusi optimum berada pada titik perpotongan dua garis dari
kendala pertidaksamaan masalah 9.
x
1
=3.75 x
2
=2.25 x
1
+x
2
= 6 9x
1
+5x
2
= 45 Daerah fisibel
Gambar 1 Daerah Fisibel PLI 9. Langkah berikutnya adalah memartisi
daerah fisibel relaksasi-PL menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang bernilai
pecahan non-integer. Dipilih salah satu variabel karena kedua variabel bernilai
pecahan,
misalkan �
1
, sebagai
dasar pencabangan. Jika masalah relaksasi-PL dari
PLI 9 diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan dua
subproblem, yaitu:
• Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala
�
1
3, • Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah
kendala �
1
4, Daerah fisibel untuk kedua subproblem di
atas diilustrasikan secara grafis pada Gambar 2.
Subproblem 2
Subproblem 3 x
1
+x
2
= 6 9x
1
+5x
2
= 45
Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3.
Setiap titik solusi fisibel dari PLI 9 termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2
dan Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Sekarang dipilih subproblem
yang belum diselesaikan, misalkan dipilih Subproblem
2. Solusi
optimum untuk
Subproblem 2 adalah �
1
= 3, �
2
= 3, dan � = 39 lihat Lampiran 1. Dapat dilihat
bahwa solusi
optimal subproblem
ini semuanya berupa integer maka tidak perlu
dilakukan pencabangan di Subproblem 2. Solusi dari Subproblem 2 menjadi batas
bawah bagi nilai optimum PLI.
Saat ini
subproblem yang
belum diselesaikan adalah Subproblem 3. Solusi
optimum untuk Subproblem 3 adalah �
1
= 4, �
2
= 1.8, dan � = 41 lihat Lampiran 1.
Nilai z pada Subproblem 3 lebih besar dibandingkan dengan Subproblem 2, maka
ada kemungkinan nilai z pada Subproblem 3 lebih optimum. Oleh karena itu, Subproblem 3
dicabangkan atas
�
2
, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu:
• Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah kendala
�
2
1, • Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah
kendala �
2
2, Selanjutnya
diselesaikan masalah
Subproblem 4 dan Subproblem 5 satu per satu. Subproblem 5 takfisibel lihat Lampiran
1, maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimum.
Solusi optimum untuk Subproblem 4 adalah
�
1
= 4.4, �
2
= 1, dan � = 40.5 lihat
Lampiran 1. Karena �
1
= 4.4 bukan integer, maka dilakukan kembali pencabangan atas
�
1
, sehingga diperoleh dua subproblem lagi,
yaitu: • Subproblem 6: Subproblem 4 ditambah
kendala �
1
4,
• Subproblem 7: Subproblem 4 ditambah kendala
�
1
5, Penyelesaian Subproblem 6 menghasilkan
solusi optimum �
1
= 4, �
2
= 1, dan � = 37
lihat Lampiran 1. Dapat dilihat bahwa solusi optimal subproblem ini semuanya berupa
integer, namun
solusi optimum
dari subproblem ini lebih kecil dari batas bawah
bagi nilai optimum PLI yang terdapat pada Subproblem 2 sehingga tidak perlu dilakukan
pencabangan di Subproblem 6.
Solusi optimum dari Subproblem 7 adalah �
1
= 5, �
2
= 0, dan � = 40 lihat Lampiran
1. Batas bawah yang ditetapkan dari solusi optimum Subproblem 2 tidak lebih baik dari
nilai solusi
optimum yang
dihasilkan Subproblem 7. Dengan demikian, nilai solusi
optimum Subproblem 7, yakni � = 40
menjadi batas bawah yang baru. Semua solusi optimum telah berupa integer dan tidak perlu
dilakukan pencabangan kembali, sehingga solusi optimum dari Subproblem 7 merupakan
solusi optimum PLI 9, yakni
�
1
= 5, �
2
= 0, dan � = 40. Pohon pencabangan yang
menunjukkan proses penyelesaian masalah PLI 9 secara keseluruhan ditunjukkan pada
Gambar 3.
Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode branch and bound untuk menentukan solusi PLI 9.
� = 1
Subproblem 1 �
1
= 3.75, �
2
= 2.25, dan � = 41.25
� = 3 � = 2
Subproblem 2 �
1
= 3, �
2
= 3, dan � = 39
Subproblem 3 �
1
= 4, �
2
= 1.8, dan � = 41
� = 4 � = 5
Subproblem 4 �
1
= 4.4, �
2
= 1, dan � = 40.5
Subproblem 5 Solusi
takfisibel
� = 7 � = 6
Subproblem 7 �
1
= 5, �
2
= 0, dan � = 40
Subproblem 6 �
1
= 4, �
2
= 1, dan � = 37
�
1
3 �
1
4
�
2
1 �
2
2
�
1
4 �
1
5
1, jika ahli bedah ditugaskan di ruang = operasi pada hari di blok .
0, selainnya.
i j k l
j x
l k
i
III PEMODELAN
3.1 Deskripsi Masalah
Kategori