8
I. PENDAHULUAN
Latar Belakang Pada kehidupan sehari-hari, banyak kejadian
yang bersifat stokastik. Setiap kejadian terkait erat dengan penyebab kejadian,
hanya saja terkadang penyebabnya tidak diamati secara langsung. Penyebab kejadian
bisa membentuk berbagai model matematis, diantaranya model rantai Markov. Pasangan
kejadian dan penyebabnya disebut dengan model hidden Markov.
Model hidden Markov ini sudah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu,
salah satunya yaitu di bidang telekomunikasi. Contohnya yaitu transnisi
siaran radio yang ditransmisikan pada channel komunikasi yang sibuk. Penggunaan
model
hidden Markov di bidang
telekomunikasi ini telah dikembangkan oleh Rabiner, 1989. Selain telekomunikasi, model
hidden Markov juga dikembangkan dalam bidang ekonomi, biologi dan lain
sebagainya. Model hidden Markov dibangun oleh
parameter-parameter yang akan digunakan untuk memprediksi kejadian di masa yang
akan datang. Berdasarkan data-data yang diperoleh, maka dapat diduga parameter dari
model hidden Markov. Salah satu metode yang digunakan untuk
menduga parameter model hidden Markov adalah algoritma EM Expectation
Maximization. Dengan algoritma EM, diharapkan akan diperoleh pendugaan
parameter yang akan memaksimumkan prediksi terhadap kejadian di masa yang
akan datang. Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menentukan parameter yang akan
memaksimumkan peluang suatu kejadian berdasarkan barisan kejadian sebelumnya
dengan men ggunakan algoritma EM Expectation Maximization.
II. LANDASAN TEORI
2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan
pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan
hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak
dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam
kondisi yang sama disebut percobaan acak .
[Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 1.1 Ruang Contoh dan Kejadian Himpunan dari semua kemungkinan hasil
dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan
Ω . Suatu
kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 1.2 Medan- σ
Medan- σ
adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω
, yang memenuhi kondisi berikut:
1.
F
∈ φ
, 2. Jika
F
∈ K
, ,
2 1
A A
maka
F
∈
∞ =
U
1 i
i
A ,
3. Jika
F
∈ A
maka
F
∈
c
A .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 1.3 Ukuran Peluang
Misal
F
adalah m edan- σ
dari ruang contoh Ω
. Ukuran peluang adalah suatu fungsi
[ ]
1 ,
: →
F
P pada
F
, Ω
yang memenuhi: 1.
= φ
P ,
1 =
Ω P
, 2. Jika
F
∈ K
, ,
2 1
A A
adalah himpunan yang saling lepas yaitu
φ =
I
j i
A A
untuk setiap pasangan j
i ≠
, maka
9
∑ =
∞ =
∞ =
1 1
i i
i i
A P
A P U
. Pasangan
P ,
,
F
Ω disebut ruang peluang .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 1.4 Kejadian Saling Bebas Misal
P ,
,
F
Ω ruang peluang
dan
F
∈ B
A, . Kejadian A dan B dikatakan
saling bebas jika B
P A
P B
A P
. =
I .
Misal I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian
{ }
I i
A
i
∈ ,
dikatakan saling bebas jika
∏ =
∈ ∈
J i
i J
i i
A P
A P I
untuk setiap himpunan bagian berhingga J dar i I.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Teorema 1.5 Teorema Bayes Misal
P ,
,
F
Ω ruang peluang
dan F
∈
i
C
,
k i
,.., 2
, 1
=
.
Misalkan kejadian C terjadi hanya dengan salah satu kejadian
i
C . Maka peluang bersyarat dari
j
C setelah diketahui C adalah
∑
=
= ∩
=
k i
i i
j j
j j
C C
P C
P C
C P
C P
C P
C C
P C
C P
1
[bukti lihat Hogg dan Craig, 1992] Teorema 1.6 Peluang Bersyarat Dari
Dua Kejadian Saling Bebas Misal
P ,
,
F
Ω ruang peluang
dan
F
∈ B
A, . Jika A dan B merupakan
kejadian yang saling bebas, maka peluang bersyarat dari A setelah diketahui B adalah
A P
B A
P =
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Teorema 1.7 Absolut Kontinu Jika v dan
µ merupakan ukuran peluang
pada
F
, Ω
. Ukuran peluang v dikatakan absolut kontinu ke ukuran peluang
µ jika
= A
µ maka
= vA
, untuk setiap
F
∈ A
. Dinotasikan
µ v
[Royden, 1963]
Teorema 1.8 Radon-Nikodym
Jika P dan P merupakan dua ukuran peluang pada
F
, Ω
sehingga untuk setiap
F
∈ B
, =
B P
menyebabkan =
B P
, akibatnya ada peubah acak tak-negatif
Λ ,
sehingga
∫
Λ =
C
dP C
P untuk semua
F
∈ C
. Dinotasikan Λ
=
F
dP P
d .
[Bukti lihat Wong dan Hajek, 1985] 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 2.1 Peubah Acak Misal
F
adalah m edan- σ
dari ruang contoh Ω
. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi
ℜ →
Ω :
X dengan sifat
{ }
F
∈ ≤
Ω ∈
x X
ω ω
; , untuk setiap
ℜ ∈
x .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]. Peubah acak dinotasikan dengan huruf
besar seperti Z
Y X
, ,
. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil
seperti z
y x
, ,
.
Definisi 2.2 Fungsi Sebaran Misal
P ,
,
F
Ω ruang peluang. Fungsi
sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi
[ ]
1 ,
: →
ℜ F
yang didefinisikan oleh x
X P
x F
X
≤ =
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 2.3 Peubah Acak Diskret
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang
terhitung dari ℜ
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Catatan
: Suatu himpunan bilangan
C disebut
terhitung jika C terdiri atas bilangan berhingga anggota C dapat
dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
Definisi 2.4 Fungsi Kerapatan Peluang Misal
P ,
,
F
Ω ruang peluang. Fungsi
kerapatan peluang dari peubah acak diskret X
adalah fungsi
[ ]
1 ,
: →
ℜ p
yang diberikan oleh
x X
P x
p
X
= =
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 2.5 Peubah Acak Kontinu
Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai
10
, du
u f
x F
x X
X
∫ =
∞ −
ℜ ∈
x ,
dengan ∞
→ ℜ
, :
f adalah fungsi yang
terintegralkan. Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X
[Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 2.6 Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan
Y adalah suatu fungsi
[ ]
1 ,
: →
ℜ F
yang didefinisikan oleh y
Y x
X P
y x
F ≤
≤ =
, ,
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 2.7 Fungsi Kepekatan Peluang Bersama dan Fungsi Kepekatan Peluang
Marjinal Misalkan X dan Y adalah peubah acak
kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y adalah fungsi yang
didefinisikan oleh
y x
y x
F f
X Y
∂ ∂
∂ =
,
2
dan dx
y x
f y
f
XY Y
, ∫
=
∞ ∞
−
adalah fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak Y.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 2.8 Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat
Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
marjinal y
f
Y
, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat
y Y
= adalah
, y
f y
x f
y x
f
Y XY
Y X
= dengan
XY
f fungsi kepekatan peluang
bersama dari X dan Y. [Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 2.9 Nilai Harapan Jika X adalah peubah acak diskret dengan
fungsi kerapatan peluang x
X P
x p
X
= =
maka nilai harapan dari X adalah
[ ]
∑ =
x X
x p
x X
E ,
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. [Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 2.10 Nilai Harapan Jika X adalah peubah acak kontinu dengan
fungsi kepekatan peluang x
f
X
maka nilai harapan dari X adalah
[ ]
dx x
f x
X E
X
∫ =
∞ ∞
−
, asalkan integralnya ada.
[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2.11 Nilai Harapan Bersyarat
Jika X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan
y x
f
Y X
adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat
y Y
= , maka nilai harapan dari X dengan
syarat y
Y =
adalah
[ ]
dx y
x f
x y
Y X
E
Y X
∫ =
=
∞ ∞
−
. [Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 2.12 Nilai Harapan Bersyarat Misal
P ,
,
F
Ω ruang peluang dan
A
sub- medan-
σ dari
F
.
Jika X
peubah acak tak negatif dan terintegralkan maka
A
X E
didefinisikan sebagai peubah acak yang terukur-
A
dan bersifat tunggal kecuali pada kejadian peluang nol, serta memenuhi
[ ]
∫ ∫
=
A A
dP X
E dP
X
A
,
A
∈ ∀
A [Elliot, Lakhdar dan Moo re, 1995]
Lemma 2.13 Penentuan Nilai Harapan melalui Nilai Harapan Bersyarat
Jika X dan Y adalah peubah acak, maka nilai harapan dari X dapat ditentukan lewat nilai
harapan X dengan syarat Y sebagai berikut:
[ ]
[ ] [
]
Y X
E E
X E
= .
[Hogg dan Craig, 1995] Lemma 2.14 Ragam dari Fungsi Linear
Misalkan
i
X peubah acak dengan rataan
i
µ dan ragam
2 i
σ ,
k i
,..., 2
, 1
= . Jika
k
X X
X ,
, ,
2 1
L saling bebas dan
k
c c
c ,
, ,
2 1
L adalah konstanta, maka rataan
dan ragam dari fungsi linear
k k
X c
X c
X c
Y +
+ +
= L
2 2
1 1
adalah
∑
=
=
k i
i i
Y
c
1
µ µ
dan
∑
=
=
k i
i i
Y
c
1 2
2 2
σ σ
[bukti lihat Hogg dan Craig, 1992]
11
Lemma 2.15 Misalkan X peubah acak dari sebaran
normal baku, 1
, ~ N
X , maka
aX Y
= adalah peubah acak sebaran normal dengan
rataan nol dan ragam
2
a , ,
~
2
a N
aX ,
dan b
aX Y
+ =
adalah peubah acak sebaran normal dengan rataan b dan ragam
2
a , ,
~
2
a b
N b
aX +
. [bukti lihat Hogg dan Craig, 1992]
2.3 Rantai Markov Definisi 3.1 Ruang State
Misalkan
N
S ℜ
⊂ ,
Ν ∈
N , merupakan nilai
dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state
[Grimmett dan Stirzaker, 1992
Definisi 3.2 Proses Stokastik Proses Stokastik
} :
{ Ν
∈ k
X
k
yang terdefinisi pada ruang peluang
P ,
F
, Ω
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh
Ω ke
ruang state S . [Ross, 1996]
Definisi 3.3 Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Misal P
, ,
F
Ω ruang peluang dan S ruang
state . Proses stokastik }
: {
Ν ∈
k X
k
dengan ruang state
{ }
N
e e
e S
, ,
,
2 1
K =
, disebut Rantai Markov dengan waktu diskret jika
untuk setiap k = {0, 1,....} berlaku ,
, ,
1 1
1
i X
i X
i X
j X
P
k k
k k
= =
= =
− −
+
L
1
i X
j X
P
k k
= =
=
+
untuk semua kemungkinan nilai dari S
j i
i i
i
k
∈
−
, ,
, ,
,
1 1
L .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 3.4 Matriks Transisi Misalkan
} :
{ Ν
∈ k
X
k
rantai Markov dan S ruang state yang berukuran N. Matriks
transisi
ji
p P
=
berukuran N x N adalah matriks dari peluang transisi
i X
j X
P p
k k
ji
= =
=
+ 1
untuk N
j i
..., ,
2 ,
1 ,
= [Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 3.5 Rantai Markov yang Homogen
Rantai Markov
{ }
k
X disebut homogen jika
ji k
k
p i
X j
X P
i X
j X
P =
= =
= =
=
+ 1
1
untuk semua N
k ∈
dan S
j i
∈ ,
[Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 3.6 Martingale Proses Stokastik
} :
{ Ν
∈ k
X
k
disebut proses Martingale jika
[ ]
∞
k
X E
untuk semua k dan
[ ]
k k
k
X X
X X
X E
=
+
, ,
,
2 1
1
L [Ross, 1996]
Definisi 3.7
Inkremen Bebas dan Inkremen Stasioner
1 Suatu proses stokastik }
: {
Ν ∈
k X
k
dengan waktu kontinu disebut inkremen bebas jika untuk semua
k
k k
k k
L
2 1
peubah acak
1 1
, ,
−
− −
t t
k k
k k
X X
X X
L adalah
bebas. 2 Suatu proses stokastik
} :
{ Ν
∈ k
X
k
dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika
k l
k
X X
−
+
memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai
Ν ∈
l k ,
[Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 3.8 Filtrasi
Misalkan
{ }
K ,
,
1
G G
G
= merupakan
barisan submedan - σ
dari
F
,
G
disebut filtrasi jika
1 +
⊆
k k
G G
untuk semua N
k ∈
[Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 3.9 Measurable terukur
Misal P
, ,
F
Ω ruang peluang. Jika
{ }
F
∈ ≤
Ω ∈
x X
ω ω
; untuk setiap
ℜ ∈
x maka X dikatakan terukur-
F
[Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Definisi 3.10 Adapted
Misal P
,
F
, Ω
ruang peluang. Barisan peubah acak
{ }
Ν ∈
= k
X X
k
: dikatakan
adapted ke filtrasi
F
jika
k
X merupakan terukur-
F
untuk semua k [Grimmett dan Stirzaker, 1992].
Defnisi 3.11 Predictable
Misal P
,
F
, Ω
ruang peluang. Barisan peubah acak
{ }
k
Φ dikatakan predictable ke
12
filtrasi
k
F
jika
{ }
k
Φ adalah terukur -
1 −
k
F
untuk setiap N
k ∈
. [Elliot, Lakhdar dan Moore, 1995]
2.4 Ruang Perkalian Dalam Definisi 4.1 Ruang Vektor
V disebut ruang vektor, jika untuk setiap vektor
V w
v u
∈ ,
, dan sebarang skalar k dan
l dipenuhi aksioma berikut: 1. Jika
V v
u ∈
, , maka
V v
u ∈
+ 2.
u v
v u
+ =
+ 3.
w v
u w
v u
+ +
= +
+ 4. Ada
V ∈
sehingga u
u u
= +
= +
, V
u ∈
∀ 5. Untuk
V u
∈ ∀
, ada V
u ∈
− yang
dinamakan negatif u
sehingga =
+ −
= −
+ u
u u
u 6. jika k adalah sebarang skalar dan
V u
∈ , maka
V k u
∈ 7.
k v k u
v u
k +
= +
8. lu
k u u
l k
+ =
+ 9.
u k l
lu k
= 10.
u u
= 1
[H. Anton,1997]
Definisi 4.2 Perkalian Dalam Jika
n
u u
u u
K ,
,
2 1
= dan
n
v v
v v
, ,
,
2 1
K =
adalah sebarang vektor pada
n
ℜ , maka hasil
kali dalam euclid v
u . didefinisikan dengan
n n
v u
v u
v u
v u
+ +
+ =
L
2 2
1 1
. .
[H. Anton,1997] Definisi 4.3 Ruang Hasil Kali Dalam
Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah fungsi yang mengasosiasikan
bilangan real v
u, dengan masing –
masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma
berikut dipenuhi untuk semua V
w v
u ∈
, ,
skalar k. 1.
u v
v u
, ,
= 2.
w v
w u
w v
u ,
, ,
+ =
+ 3.
v u
k v
k u ,
, =
4. ,
; ,
= ≥
v v
dan v
v jika dan hanya jika
= v
Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali
dalam real
[H. Anton,1997]
III. PEMBAHASAN
Kategori