Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = B N , dengan B adalah
matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks
yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B
disebut matriks basis untuk LP 1. Berikut definisi matriks Basis :
Definisi 3 Matriks Basis
Matriks B disebut matriks basis untuk LP 1 jika B adalah matriks tak singular, yaitu
matriks yang determinannya tidak sama dengan nol.
[Garfinkel Nemhauser, 1972] Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai
vektor xB
x xN
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
dengan x
B
adalah vektor variabel basis dan x
N
adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax=b dapat dinyatakan
sebagai xB
Ax B
N xN
Bx Nx
b B
N ⎛
⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= +
= …2
Karena B adalah matriks tak singular, maka B memiliki invers, sehingga dari 2 x
B
dapat dinyatakan sebagai 1
1 x
B b
B NxN
b −
− =
− …3
Definisi 4 Solusi Basis
Vektor x disebut solusi basis jika : i.
x memenuhi kendala persamaan Ax=b dari LP.
ii. Kolom-kolom dari matriks koefisien
yang berpadanan dengan komponen tak nol dari x adalah bebas linear.
[Nash Sofer, 1996]
Definisi 5 Solusi Fisibel Basis
Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x merupakan solusi basis dan
x ≥
. [Nash Sofer, 1996]
Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis dapat dilihat dalam contoh berikut :
Contoh 1
Misalkan diberikan LP berikut: Minimumkan 2
3 1
2 z
x x
= − −
terhadap : 2 4
1 2
3 x
x x
− +
+ =
2 11
1 2
4 x
x x
− + +
= 5
5 1
x x
+ =
, ,
, ,
5 1 2 3 4
x x x
x x
≥ …4
Dari LP tersebut didapatkan : 2 1 1 0 0
4 1 2 0 1 0 ,
11 1
0 0 0 1 5
A b
− ⎛
⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ = −
= ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝
⎠ ⎝ ⎠
Misalkan dipilih dan
5 3
4 1
2 T
T x
x x
x x
x x
B N
= =
maka matriks basisnya adalah 1 0 0
0 1 0 0 0 1
B ⎛
⎞ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ Dengan menggunakan matriks basis tersebut,
diperoleh 0 0
, 1
4 11 5 T
xN T
x B
b B
= −
= =
…5 Solusi 5 merupakan solusi basis, karena solusi
tersebut memenuhi kendala pada LP 4 dan kolom-kolom pada matriks kendala yang
berpadanan dengan komponen taknol dari 5 yaitu B adalah bebas linear kolom yang satu
bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain. Solusi 5 juga merupakan solusi fisibel
basis, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
2.2 Integer Linear Programming ILP
Model ILP atau disingkat Integer Programming
IP, adalah suatu model LP yang menggunakan bilangan bulat integer sebagai
variabel keputusanya. Jika model mengharapkan semua variabel bernilai integer,
maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming.
Jika model hanya mengharapkan variabel-variabel tertentu bernilai integer, maka
masalah tersebut dinamakan mixed integer programming
. Jika model hanya mengharapkan nilai 0 dan 1 untuk variabelnya, maka masalah
tersebut dinamakan zero one integer programming.
[Garfinkel Nemhauser, 1972]
Definisi 5Linear Programming Relaksasi
LP-Relaksasi dari suatu IP merupakan LP yang diperoleh dari IP tersebut dengan
menghilangkan kendala integer atau kendala 0- 1 pada variabelnya.
[Winston, 1995]
2.3 Metode Branch and Bound untuk
menyelesaikan masalah Integer Programming
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimal dari masalah IP
digunakan software Lingo 8.0 yaitu sebuah program yang didesain untuk menentukan
solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer menjadi lebih cepat,
mudah, dan lebih efisien.
Software Lingo 8.0 ini menggunakan
metode branch and bound
untuk menyelesaikan masalah ILP.
Prinsip dasar metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah
LP-relaksasi dengan membuat subproblem- subproblem
.
Ö
Branch Membuat partisi daerah solusi ke dalam
subproblem . Tujuannya untuk menghapus
daerah solusi yang tidak fisibel. Hal ini dicapai dengan menentukan kendala yang
penting untuk menghasilkan solusi IP, secara tidak langsung titik integer yang tidak fisibel
terhapus. Dengan kata lain, hasil pengumpulan dari subproblem-subproblem
yang lengkap menunjukkan setiap titik integer
yang fisibel dari masalah asli. Karena sifat alami partisi itu, maka proses
tersebut dinamakan branching.
Ö
Bound Misalkan masalahnya diasumsikan
merupakan tipe maksimisasi, nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem
dibuat dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang
dihubungkan dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk
mengatur dan menempatkan solusi optimum. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan
bounding
. [Taha, 1975]
Aspek kunci dari metode branch and bound
adalah sebagai berikut: Langkah 1 : Periksa apakah IP memenuhi
kondisi berikut : 1
Subproblem tidak fisibel. 2
Subproblem menghasilkan solusi optimal dengan semua variabel bernilai integer.
3 Nilai optimal untuk subproblem lebih
kecil dari dalam masalah memaksimumkan batas bawah lower
boundLB .
Jika ketiga kondisi tersebut tidak terpenuhi maka cabang subproblem tidak diperlukan.
Langkah 2 : Sebuah subproblem mungkin dapat dihapuskan dari pertimbangan dengan kondisi
sebagai berikut : 1
Subproblem tidak fisibel. 2
Batas bawah yang menunjukkan nilai optimal dari kandidat terbaik setidaknya
lebih besar dari nilai optimal subproblem. [Winston, 1995]
Contoh 2
Misalkan diberikan IP berikut: Maksimumkan 7
5 1
2 z
x x
= +
Terhadap : 2
13 1
2 x
x +
≤ 9
5 41
1 2
x x
+ ≤
, 1 2
x x ≥
dan integer Daerah fisibel untuk masalah IP di atas
diberikan pada gambar berikut :
2 4
6 8
10 12
14 x
1
2 4
6 8
x
2
Gambar 1. Daerah Fisibel IP Metode branch and bound dimulai dengan
menentukan solusi LP-relaksasi subproblem 1. Solusi LP-relaksasi untuk masalah di atas
adalah x
1
= 1,31, x
2
= 5,85, dan z = 38,42. Solusi tersebut tidak memenuhi kendala integer.
Oleh karena itu, harus dibuat subproblem yang baru dengan memilih variabel yang tidak
memenuhi kendala integer. Dengan memilih x
2
= 5,85 secara sembarang, diketahui bahwa daerah 5x
2
6 dari daerah fisibel subproblem 1 tidak akan memuat solusi IP yang fisibel
karena tidak memenuhi kendala integer. Subproblem
yang baru adalah sebagai berikut :
Subproblem 2 : Subproblem 1 + kendala
2
6
x
≥
Subproblem 3 : Subproblem 1 + kendala
2
5
x
≤
Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan subproblem
3 diberikan pada gambar berikut:
x
1
= 1,31 x
2
= 5,85 Solusi Optimal Subproblem 1
2 4
6 8
10 12
14 x
1
2 4
6 8
x
2
Gambar 2. Daerah Fisibel untuk Subproblem
2 dan Subproblem 3 Subproblem
2 dan subproblem 3 tidak dapat diselesaikan secara bersamaan, sehingga harus
diselesaikan dengan dua masalah linear programming
yang berbeda. Pada subproblem 2 diperoleh solusi x
1
= 1, x
2
= 6, dan z = 37. Karena semua variabel bernilai integer
solusinya memenuhi kendala integer, maka tidak perlu membuat subproblem baru. Pada
subproblem 3 diperoleh solusi x
1
= 1,7778, x
2
= 5, dan z = 37,4446 Karena variabelnya tidak
memenuhi kendala integer, maka harus dibuat subproblem
baru. Subproblem untuk masalah IP di atas diberikan pada gambar berikut:
Gambar 3. Metode branch and bound untuk menentukan solusi IP Pada Gambar 3, subproblem 2 dan
subproblem 5 merupakan kandidat terbaik
karena semua variabelnya bernilai integer. Subproblem
2 dan subproblem 5 merupakan solusi optimal untuk masalah IP di atas
karena mempunyai nilai z sama besar. Solusi lengkapnya dapat dilihat pada lampiran 1.
III PEMODELAN
Langkah awal membangun model perencanaan jaringan logistik adalah
mendeskripsikan masalah tersebut secara jelas dan lengkap. Selanjutnya masalah
tersebut diformulasikan dalam bentuk MIP mixed integer programming
yang siap diselesaikan dengan metode yang sesuai.
Model perencanaan jaringan logistik dapat dilihat dalam gambar 4. Model ini
menunjukan alur pengiriman produk dari pabrik sampai ke pengecer N. Produk I yang
dihasilkan dari produksi pabrik J akan dikirimkan ke pengecer N lewat grosir M.
Beberapa hal yang akan diselesaikan guna memenuhi permintaan konsumen dan sekaligus
meminimumkan total biaya pengiriman produk adalah menentukan berapa banyak produk yang
akan dikirimkan melewati masing-masing rute pengiriman produk dan melalui grosir mana
saja. x
1
= 1,31, x
2
= 5,85 dan z = 38,42
x
1
= 1, x
2
= 6 dan z = 37 x
1
= 1,7778, x
2
= 5 dan z = 37,4446
Solusi tak fisibel x
1
= 2, x
2
= 4,6 dan z = 37 Subproblem
1
Subproblem 2
∗ Subproblem
3
Subproblem 4
Subproblem
5
∗
6 2
x ≥
5 2
x ≤
2 1
x ≥
1 1
x ≤
Gambar 4. Gambar perencanaan jaringan logistik Fungsi objektif model MIP mixed
integer programming bertujuan untuk
memperkecil total biaya yang meliputi komponen berikut :
1. Biaya pengiriman poduk dari pabrik ke
grosir 2.
Biaya penyimpanan tak tetap yang disepakati oleh grosir
3. Biaya pengiriman produk dari grosir ke
pengecer Sedangkan kendala tambahan yaitu:
1. Jumlah produk yang dikirim dari pabrik
ke grosir tidak boleh melebihi kapasitas produksi pada pabrik tersebut.
2. Jumlah produk yang dikirimkan dari
grosir ke pengecer tidak boleh melebihi kapasitas penyimpanan produk pada
grosir. 3.
Jumlah produk yang dikirimkan grosir harus lebih kecil dari jumlah produk
yang diterima grosir. Misalkan:
Indeks: i
= Indeks produk j
= Indeks pabrik m
= Indeks grosir n
= Indeks pengecer Parameter:
I = Banyaknya produk
J = Banyaknya pabrik
M = Banyaknya grosir
N = Banyaknya pengecer
ij
P = Kapasitas produksi untuk produk i
pada pabrik j
im
K = Kapasitas penyimpanan untuk produk i
pada grosir m
in
D =
Permintaan untuk produk i pada pengecer n
1 ijm
C = Biaya pengiriman unit produk untuk
produk i dari pabrik j ke grosir m
im
F =
Biaya penyimpanan tetap untuk produk i pada grosir m
im
C = Biaya penyimpanan yang tak tetap
untuk unit produk i pada grosir m
im
I =
Tingkat penyimpanan
rata-rata untuk
produk i pada grosir m
2 imn
C
= Biaya pengiriman unit produk
untuk produk i dari grosir m ke pengecer n.
Variabel keputusan:
1 ijm
x
= Banyaknya produk i yang dikirimkan dari pabrik j ke grosir m
2 imn
x
= Banyaknya produk i yang dikirimkan dari grosir m ke pengecer n
Jika produk dikirimkan melalui grosir
selainnya
1, 0,
⎧ ⎪
= ⎨ ⎪
⎩
im
i m
y
Model di atas dapat diformulasikan sebagai berikut:
1 1
2 2
1 1 1
1 1 1
1 1 +
+ +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ = = =
= = =
= = M
J I
M I
N M I
Minimum C
x y
F C
I C
x ijm ijm
im im
im im imn
imn m
j i
m i
n m
i
1
M
J
J
2
M
M
M
2
J
1
J
1
N
2
N
N
N Permintaan konsumen
1 2
Produk , ,...,
l
P P P
Pabrik Grosir
Pengecer
dengan kendala sebagai berikut: 1.
Jumlah produk yang dikirimkan dari pabrik tidak boleh melebihi kapasitas
poduksi pada pabrik tersebut.
1
, ,
1 ≥
∀ ∑
= M
P x
i j ij
ijm m
2. Jumlah produk yang dikirimkan keluar
dari grosir tidak boleh melebihi kapasitas penyimpanannya.
2
, ,
1 ≥
∀ ∑
= N
K x
i m im
imn n
3. Karena grosir tidak memproduksi
produk, maka jumlah produk yang dikirimkan keluar dari grosir tidak boleh
melebihi jumlah produk yang dikirimkan ke grosir tersebut.
1 2
, ,
1 1
≥ ∀
∑ ∑
= =
J N
x x
i m ijm
imn j
n 4.
Memastikan bahwa semua permintaan konsumen pada pengecer sudah dipenuhi.
2
, ,
1 =
∀ ∑
= M
D x
i n in
imn m
5. Memastikan semua variabel keputusan
2
x imn adalah tak negatif.
2
, , ≥
∀ x
i m n imn
6. Memastikan semua variabel keputusan
1
x ijm adalah tak negatif.
1
, , ≥
∀ x
i j m ijm
7. Memastikan variabel keputusan y
im adalah biner.
{ }
0,1 ,
y i m
im ∈ ∀
IV. STUDI KASUS MASALAH PEMODELAN JARINGAN LOGISTIK
Suatu pabrik menghasilkan dua macam produk. Produk tersebut akan dikirimkan ke
tiga grosir yang berbeda, kemudian dari grosir produk tersebut akan dikirimkan ke
delapan pengecer yang berbeda.
Asumsi yang digunakan dalam memodelkan jaringan logistik ini terdiri dari:
satu pabrik
1 J
, dua produk
, 1 2
I I
, tiga grosir
, ,
1 2
3 M
M M
dan delapan pengecer
, ,
, ,
, ,
, 1
2 3
4 5
6 7
8 N N
N N
N N
N N
. Data hipotetik yang dibangkitkan secara
acak untuk memodelkan jaringan logistik dengan model MIP mixed integer
programming diberikan sebagai berikut :
Tabel 1. Kapasitas produksi produk i pada pabrik j dalam satuan Pabrik
Produk
1
J
1
I
705
2
I
811 Tabel 2. Kapasitas penyimpanan produk i pada grosir m dalam satuan
Grosir Produk
1
M
2
M
3
M
1
I
246 389 422
2
I
253 494 312 Tabel 3. Permintaan untuk produk i pada pengecer n dalam satuan
Pengecer Produk
1
N
2
N
3
N
4
N
5
N
6
N
7
N
8
N
1
I
72 25 44 89 40 12 52 65
2
I
52 10 100 79 32 93 60 32
