Solusi suatu Linear Programming

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Dalam sepuluh tahun terakhir, masalah jaringan logistik di bagian distribusi telah menarik perhatian peneliti dan praktisi. Perencanaan jaringan logistik diperlukan untuk meneliti keadaan pasar dan memahami pemintaan konsumen, sehingga dapat memulai merencanakan proses produksi dan mengorganisir penyimpanan dengan sungguh- sungguh. Hal ini dilakukan supaya dapat memaksimalkan laba dan memenangkan kompetisi dalam globalisasi ekonomi. Ada beberapa jenis model perencanaan jaringan logistik yang dikembangkan oleh para peneliti, seperti distribusi produksi jaringan logistik produk tunggal dengan menggunakan metode pemograman matematika untuk menemukan penempatan fasilitas dengan meminimumkan biaya atau memaksimalkan laba Chohen dan Lee, 1985; Geotschalkx et al, 1995. Sedangkan Model stokhastik dengan mengambil permintaan konsumen sebagai variabel acak dan menggunakan bilangan bulat stokhastik untuk memprogram perencanaan distribusi produksi jaringan logistik logistics network, Escudero dan Galindo, 1999; MirHassani et al., 2000. Tulisan ini akan membahas bagaimana mengoptimalkan jaringan logistik banyak produk menggunakan model MIP mixed integer programming sedemikian sehingga memenuhi fungsi objektif dan kendalanya. Proses perencanaan jaringan logistik tersebut dilakukan dengan cara mengirimkan produk yang dihasilkan oleh pabrik ke grosir, kemudian dari grosir produk tersebut akan dikirimkan ke masing-masing pengecer yang berbeda.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan ini adalah membahas model jaringan logistik banyak produk dengan menggunakan MIP mixed integer programming guna memenuhi permintaan konsumen dan sekaligus meminimumkan total biaya pengiriman.

II. LANDASAN TEORI

Untuk membuat model perencanaan jaringan logistik, diperlukan beberapa pemahaman teori seperti linear programming LP, integer linear programming ILP, dan metode branch and bound. Berikut ini akan dibahas satu persatu.

2.1 Linear Programming

LP merupakan tindakan untuk memperoleh hasil yang optimal dari tujuan yang diinginkan terhadap kendala yang ada. Model LP meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear. Pada tulisan ini, suatu LP mempunyai bentuk standar seperti berikut : Minimumkan fungsi objektif z = c T x Terhadap kendala Ax = b x ≥ dengan b ≥ ....1 dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m x n yang disebut juga matriks kendala. [Nash Sofer, 1996]

2.1.1 Solusi suatu Linear Programming

Untuk menyelesaikan suatu masalah LP, metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini dikembangkan oleh Dantzig pada tahun 1947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan masalah LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar. Pada LP 1, vektor x yang memenuhi kendala Ax b = disebut solusi dari LP 1. Definisi 1 Solusi Fisibel Suatu solusi dikatakan fisibel jika memenuhi semua kendala pada LP. [Nash Sofer, 1996] Definisi 2 Daerah FisibelHimpunan Fisibel Daerah fisibel atau himpunan fisibel adalah himpunan dari semua solusi fisibel. [Nash Sofer, 1996] Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = B N , dengan B adalah matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP 1. Berikut definisi matriks Basis : Definisi 3 Matriks Basis Matriks B disebut matriks basis untuk LP 1 jika B adalah matriks tak singular, yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. [Garfinkel Nemhauser, 1972] Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai vektor xB x xN ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dengan x B adalah vektor variabel basis dan x N adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax=b dapat dinyatakan sebagai xB Ax B N xN Bx Nx b B N ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + = …2 Karena B adalah matriks tak singular, maka B memiliki invers, sehingga dari 2 x B dapat dinyatakan sebagai 1 1 x B b B NxN b − − = − …3 Definisi 4 Solusi Basis Vektor x disebut solusi basis jika : i. x memenuhi kendala persamaan Ax=b dari LP. ii. Kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen tak nol dari x adalah bebas linear. [Nash Sofer, 1996] Definisi 5 Solusi Fisibel Basis Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x merupakan solusi basis dan x ≥ . [Nash Sofer, 1996] Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis dapat dilihat dalam contoh berikut : Contoh 1 Misalkan diberikan LP berikut: Minimumkan 2 3 1 2 z x x = − − terhadap : 2 4 1 2 3 x x x − + + = 2 11 1 2 4 x x x − + + = 5 5 1 x x + = , , , , 5 1 2 3 4 x x x x x ≥ …4 Dari LP tersebut didapatkan : 2 1 1 0 0 4 1 2 0 1 0 , 11 1 0 0 0 1 5 A b − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Misalkan dipilih dan 5 3 4 1 2 T T x x x x x x x B N = = maka matriks basisnya adalah 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh 0 0 , 1 4 11 5 T xN T x B b B = − = = …5 Solusi 5 merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada LP 4 dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari 5 yaitu B adalah bebas linear kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain. Solusi 5 juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.

2.2 Integer Linear Programming ILP