Ayudantia 3 algebra 2 ingemat

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de C.C. y Matemática
Ingenierı́a Matemática

Ayudantı́a 3
Álgebra II
10 de noviembre 2015
Profesor: Marcel Saintard
Ayudante: Jaime Tobar M.

1. Obtenga los valores reales de x para que det(A) = det(B) = det(C). con:






x y 0 0
1
x

x
0 x y
0 x y 0

A = y 0 x , B = −x −2 x  , C = 
0 0 x y 
−x −x −3
x y 0
y 0 0 x
2. (a) Si A ∈ Mn (R) invertible. Pruebe que det(A−1 · At ) + det(At · A−1 ) = 2.


a
a+1 a+2
(b) Desmuestre que ∀a ∈ R, la matriz A = a + 1 a + 2 a + 3 no es
a+2 a+3 a+4
invertible.
3. Considere las siguientes matrices:





x −1 0
0
1 x x 2 x3

a 1 x x 2 
0 

 , B =  0 x −1
A=
0 0
p b 1 x 
x
−1 
q r c 1
a b
c x+d
(a) Demuestre que det(A) = (1 − ax) · (1 − bx) · (1 − cx).
(b) Demuestre que det(B) = a + bx + cx2 + dx3 + x4 .

4. Para k ∈ R, se definen las matrices




1
2
−1 1
4 2 k
A = −1 2 1  , B = k − 1 k − 4 3 −1
2
1
1
k
−5 10 10
.
Si se sabe que el rango de B es 2, ¿es A una matriz invertible? Justifique su
respuesta.

1

5. Muestre que ∀n ∈ no existen matrices A, B ∈ Mn , tales que
AB − BA = In
.




6. Demuestre que 





1
1
1
1

β

γ
α
1
1
cos(γ) cos(β) 
= −16sen2 ( )sen2 ( )sen2 ( ).

1 cos(γ)
1
cos(α) 
2
2
2

1 cos(β) cos(α)
1

2