Pelabelan total ajaib sisi pada Graf Cycle - USD Repository
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYCLE
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh
Gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi
Pendidikan Matematika
Oleh :
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
NIM
: 141414105
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
EDGE MAGIC TOTAL LABELLING ON CYCLE
SKRIPSI
Submitted As The Partial Fulfillment Of The Requirements
To Obtain A Bachelor Of Education Degree
On Mathematics Education Study Program
By :
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
NIM
: 141414105
MATHEMATICS EDUCATION STUDY PROGRAM
MAJORING IN MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES EDUCATION
FACULTY OF TEACHER TRAINING AND EDUCATION
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2019
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN TUGAS AKHIR
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam skripsi ini tidak memuat karya
atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan
daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 14 Januari 2019
Penulis,
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI
KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
NIM
: 141414105
Demi mengembangkan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada
Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYCLE
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,
mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan
data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau
media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya
maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya
sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenar-benarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 14 Januari 2019
Yang menyatakan
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kata Kata Motivasi
Greget itu Prinsip
~Mad Dog~
Tidak Ada Skripsi Tanpa Revisi
~Dony Putra Perkasa~
Hidup Seperti Lary
~Spongebob Squarepants~
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa. 2019. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada
Graf Cycle. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Graf merupakan himpunan pasangan
dimana merupakan
himpunan tak kosong titik dan
merupakan himpunan pasangan elemen yang
berbeda pada . Elemen disebut titik atau vertex dan elemen disebut sisi atau
edge . Jika
maka merupakan himpunan pasangan
dimana
dengan dan masing masing merupakan ujung dari , atau dengan
kata lain menghubungkan titik dan titik . Setiap elemen pada dan elemen
pada dapat diberikan label, dan dinamakan dengan pelabelan graf.
| | | |} dengan | |
Misalkan A merupanan himpunan {
adalah banyaknya titik pada graf, dan | | merupakan banyaknya sisi pada graf,
sehingga pelabelan total sisi ajaib pada graf atau edge magic total labelling
merupakan sebuah pemetaan bijektif yang memetakan setiap elemen titik dan
garis ke himpunan bilangan asli , atau dapat dituliskan untuk fungsi
. sedemikian hingga untuk konstanta ajaib dapat dicari dengan
( )
untuk setiap
dan
merupakan konstanta
ajaib yang apabila dievaluasi tiap sisi pada graf tersebut akan memiliki nilai
konstanta yang sama.
Tujuan penelitian ini adalah untuk : (1) untuk mengetahui apakah
pelabelan ajaib sisi juga berlaku pada graf Cycle, (2) mengetahui cara pelabelan
pada graf Cycle, (3) mengetahui rentang konstanta ajaib pada graf Cycle.
Hasil yang diperoleh dari penelitian ini adalah : (1) graf Cycle
Memiliki pelabelan ajaib bila
, (2) graf Cycle Memiliki pelabelan ajaib
sisi yang terbagi menjadi 2 bagian, yaitu untuk
,
,
dan
,(3) nilai konstanta
ajaib pada graf Cycle
dengan
ganjil memiliki interval nilai
ajaib pada graf Cycle
yaitu :
dengan
dan untuk nilai konstanta
genap memiliki interval nilai
yaitu :
. Dan langkah untuk memetakan setiap elemen titik dan sisi ini dengan
menggunakan program MATLAB 7.1 .
Kata kunci : Pelabelan total sisi ajaib pada graf Cycle
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa. 2019. Edge Magic Total Labeling On
Cycle. Majoring In Mathematics And Natural Sciences Education. Faculty
Of
Teacher
Training
And
Education.
Sanata
Dharma
University,Yogyakarta.
The graph is a set of pairs
where is an empty set of points
and is a set of different element pairs on . Element is called vertex and
element is called edge or edge. If
then is the set of pairs
where
with
and
are each end of , or in other words e connects
point and point . Each element in and the element in can be labeled, and
is called labeling graph.
Let be a set of {
| | | |} with | | is the number of points
on the graph, and | | is the number of sides on the graph, so that the labeling of
the total magic side on the graph or edge labeling total magic is a wise mapping
that maps each element of point and line to the set of natural numbers , or can be
written for the function
. so that for magic constants to be found
with
for each
and
are magic
constants which if evaluated on each side of the graph will have a value the same
constant.
The purpose of this study is to: (1) to find out whether side magic
labeling also applies to the Cycle graph, (2) to know how to label the Cycle graph,
(3) to find out the magic constant range of the Cycle graph.
The results obtained from this study are: (1) graph Cycle
It has magic
labeling if
, (2) graf Cycle
It has side magic labeling which is divided
into 2 parts, namely for
, and
,
(3) the value of the magic k constant in the
Cycle graph with odd has an
interval of
values, namely:
value in the Cycle
and for the magic
graph with even
has an interval of
constant
values, namely:
. And steps to map each point and side element using the
MATLAB 7.1 program.
Keywords: Edge Magic Total Labeling on Cycle
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Terimakasih Tuhan atas penyertaan mu saya dapat menyelesaikan skripsi
ini dengan lancar, oleh karena itu puji dan syukur saya harturkan ke hadirat mu.
Selama melakukan penelitian ini, penulis mendapat berbagai bantuan dari
sana sini oleh banyak pihak yang mendukung peuh usaha saya dalam
menyelesaikan skripsi ini guna menyelesaikan studi S1 saya di jurusan Pendidikan
Matematika. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2.
Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku Ketua Program Studi Pendidikan
Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
3.
Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si., selaku Dosen Pembimbing
Skripsi yang selalu memberi petunjuk dan arah serta yang memberi
inspirasi dalam memilih judul skripsi.
4.
Pius Sutrisno dan Heronima Sri Lestari Rahayu selaku orang tua penulis
yang selalu memberi doa, semangat dan dukungan kepada penulis selama
penyusunan skripsi ini.
5.
Erina Wulansari dan Monica Septiani Eka Yunitasari sebagai teman
seperjuangan satu pembimbing dan memberi motivasi untuk menyusul
mereka lulus.
6.
Seluruh teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2014.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7.
Anastasia Ana Ayu Kusuma Jati yang selalu memberi semangat dan
motivasi dalam menyelesaikan skripsi.
8.
Yohanes Endra Permana dan Ignasius Dwi Cahyo Nugroho yang selaku
kakak kandung saya yang selalu memotivasi saya untuk menyelesaikan
skripsi.
9.
Sahabat sahabat saya yang setia menemani setiap langkah saya dari saya
memilih jurusan di pendidikan matematika sampai saya mengerjakan
skripsi hingga selesai
10. Saudara saya yang tidak bisa saya sebutkan satu per satu yang telah
membant saya dalam doa.
11. Serta semua pihak yang tidak mungkin disebutkan satu persatu.
Penulis berharap agar hasil karya ini dapat berguna bagi para pembaca.
Terima kasih.
Yogyakarta, 14 Januari 2019
Penulis
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
PERNYATAAN KEASLIAN TUGAS AKHIR ..................................................... iii
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI............................................................... v
KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ..................................v
Kata Kata Motivasi ................................................................................................. vi
ABSTRAK ............................................................................................................. vii
ABSTRACT .......................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ............................................................................................ ix
BAB I ...................................................................................................................... 1
PENDAHULUAN .................................................................................................. 1
A. Latar belakang .............................................................................................. 1
B. Batasan masalah .......................................................................................... 5
C. Rumusan masalah......................................................................................... 5
D. Tujuan penelitian .......................................................................................... 5
E. Manfaat penelitian ........................................................................................ 6
F.
Metode penelitian ......................................................................................... 6
G. Sistematika penulisan ................................................................................... 6
BAB II ..................................................................................................................... 8
KAJIAN PUSTAKA ............................................................................................... 8
A. Pengertian Himpunan ................................................................................... 8
B. Pengertian Relasi .......................................................................................... 9
C. Pengertian Fungsi ......................................................................................... 9
D. Pengertian Graf .......................................................................................... 10
E. Pelabelan Graf ............................................................................................ 16
BAB III ................................................................................................................. 20
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYLE .................................. 20
A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total ............................................................ 20
B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle ................ 23
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1.
Batas jumlah label titik atau
2.
Batas nilai konstanta ajaib ...................................................................... 23
............................................................. 23
C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle .............................................. 26
1.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle ganjil
.......... 26
2.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap
.......... 29
3.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap
.......... 29
BAB IV ................................................................................................................. 31
ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI GRAF CYCLE ................. 31
A. Proses pelabelan pada graf Cycle ............................................................... 31
B. Diagram alur pelabelan pada graf Cycle
.............................................. 32
C. Deskripsi Algoritma Pelabelan Total Sisi Ajaib Menggunakan MATLAB
7.1 41
D. Simulasi Pelabelan Total Sisi Ajaib Dengan Menggunakan Aplikasi
MATLAB 7.1 .................................................................................................... 46
E. Kekurangan pada pelabelan sisi graf Cycle ............................................... 49
F.
Pemanfaatan Pelabelan Ajaib pada Graf Cycle .......................................... 50
BAB V................................................................................................................... 57
PENUTUP ............................................................................................................. 57
A. Kesimpulan ................................................................................................ 57
B. Saran ........................................................................................................... 57
Daftar Pustaka ....................................................................................................... 58
LAMPIRAN .......................................................................................................... 59
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Denah rumah ....................................................................................... 1
Gambar 1.2 Denah ilustrasi waktu perjalanan ........................................................ 2
Gambar 1.3 Pelabelan toal ajaib sisi graf Cycle
dengan
Gambar 1.4 Pelabelan total tidak ajaib sisi graf Cycle
= 9 ........................... 4
..................................... 5
Gambar 2.1 graf .................................................................................................... 11
Gambar 2.2 gelang atau loop ................................................................................ 12
Gambar 2.3 Graf
dengan sisi atau rusuk ganda ................................................. 12
Gambar 2.4 Graf Cycle ......................................................................................... 13
Gambar 2.5 Graf Berarah ...................................................................................... 14
Gambar 2.6 Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle...................................... 18
Gambar 2.7 Pelabelan total ajaib titik graf roda ................................................... 19
Gambar 2.8 Pelabelan total ajaib .......................................................................... 19
Gambar 3.1 Graf Cycle
................................................................................... 21
Gambar 4.1 Diagram flowcart............................................................................... 33
Gambar 4.2 Diagram flowcart 2............................................................................ 34
Gambar 4.3 Diagram Flowcart 3 ........................................................................... 35
Gambar 4.4 Diagram folwcart 4............................................................................ 36
Gambar 4.5 Diagram flowcart 5............................................................................ 36
Gambar 4.6 Diagram flowcart 6............................................................................ 37
Gambar 4.7 Diagram flowcart 7............................................................................ 38
Gambar 4. 8 Diagram flowcart 8........................................................................... 38
Gambar 4.9 Diagram flowcart 9............................................................................ 39
Gambar 4.10 Diagram flolwcart 10 ...................................................................... 40
Gambar 4.11 Diagram flowcart 11........................................................................ 40
Gambar 4.12 Diagram flowcart 12........................................................................ 41
Gambar 4.13 Input matlab..................................................................................... 46
Gambar 4.14 Hasil output ..................................................................................... 47
Gambar 4.15 Graf Cycle
................................................................................. 47
Gambar 4.16 pelabelan pada graf Cycle
......................................................... 48
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.17 Pelabelan ajaib sisi graf cycle
................................................... 48
Gambar 4.18 letak tatanan komputer .................................................................... 51
Gambar 4.19 hasil output dengan
Gambar 4.20 hasil output untuk
............................................................ 52
............................................................... 54
Gambar 4.21 contoh penerapan............................................................................. 55
Gambar 4.22 hasil output untuk
............................................................ 56
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar belakang
Sebagai petugas atau karyawan sebuah kantor pos, menjadi hal
yang biasa bagi petugas untuk mengantarkan sebuah paket barang ke
tempat yang menjadi tujuan dari pengirim paket barang tersebut. Dan
untuk mengantarkan paket barang tersebut, petugas biasanya menyusun
nya berdasarkan alamat yang dituju dari sang pengirim paket barang, agar
saat mengantarkan barang dapat menjadi satu jalur, atau tidak berlawanan
arah. Semisal dalam pengiriman barang tersebut, diilustrasikan seperti
gambar dibawah ini :
Gambar 1.1 Denah rumah
Dalam gambar ilustrasi di atas, seorang petugas pengantar barang
harus mengirimkan paket barang menuju ke rumah 1, rumah 2, rumah 3
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
dengan jalur yang sudah ditetapkan. Dalam perjalanan seorang petugas
pengantar barang tersebut, waktu yang diperlukan untuk mengirim semua
paket barang digambarkan seperti ilustrasi dibawah ini :
Gambar 1.2 Denah ilustrasi waktu perjalanan
Dari gambar ilustrasi di atas, terlihat bahwa disetiap jalan dan
persimpangan terdapat waktu untuk dilalui seorang pengantar paket
barang. Dan bila dicermati lagi, gambar diatas terdiri dari titik dan garis
yang masing-masing diberi label waktu tempuh, dan dapat dikatakan
gambar diatas merupakan sebuah pelabelan graf. Dan karena jalur yang
digambarkan pada ilustrasi di atas merupakan jalur yang tertutup, dengan
kata lain jalur yang dilalui dari kantor pos dan kembali ke kantor pos lagi,
maka jalur pada ilustrasi di atas dapat dikatakan sebagai graf Cycle.
Graf dalam matematika didefinisikan sebagai pasangan dua
himpunan. Himpunan
atau bisa disebut dengan himpunan tak kosong
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
titik, dan himpunan
atau bisa disebut dengan himpunan tak kosong
garis. dan setiap elemen
dan
pada graf tersebut dapat
diberikan label atau penomoran, pemberian label pada graf tersebut
dikatakan sebagai pelabelan graf.
Pelabelan pada graf pertama kali dikembangkan oleh Sedlacek
pada tahun 1963, dan mendefinisikan graf dengan label sisi ajaib dengan
rentang nilai tertentu, dengan menjumlahkan 2 titik yang dihubungkan
dengan garis tersebut. Kemudian pelabelan graf juga dikaji oleh Stewart
pada tahun 1966, kemudian Kotzig dan Rosa juga mengkaji pelabelan graf
ini pada tahun 1970 dengan istilah valution. Kemudian Kotzig dan Rosa
mendefinisikan pelabelan total ajib dengan label mulai dari 1 sampai
dengan
, atau kalau dinyatakan dalam bentuk himpunan
sebagai himpunan
{
| |
| |}
Pelabelan graf ini memiliki aplikasi yang cukup luas seperti
dibidang jaringan komunikasi, pengkodean, dan lain lain. Contohnya saja
aplikasi penggunaan pelabelan graf ini adalah pada pembuatan user ID
sebuah game online, maupun sebagai pembuatan voucher isi ulang kuota.
Pelabelan ajaib sisi graf merupakan fungsi bijektif yang
memetakan himpunan
ke himpunan
{
Sedemikian hingga untuk konstanta ajaib
| |
| |}.
berlakulah
. Bila penjumlahan label sisi dan titik pada graf
tersebut memenuhi sebuah konstanta tertentu untuk setiap sisi dan titik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
pada graf tersebut, maka dapat dikatakan pelabelan tersebut adalah
pelabelan ajaib. Contohnya saja pada graf Cycle
dibawah ini.
Gambar 1.3 Pelabelan toal ajaib sisi graf Cycle
dengan
=9
Dari gambar 1.1 di atas terlihat bahwa untuk konstanta ajaib pada
graf Cycle
adalah 9, perhatikan bahwa jumlah dari 2 titik dan garis yang
menghubungkan tersebut diberi label sedemikian hingga untuk setiap sisi
pada graf tersebut memiliki jumlah label yang sama yaitu 9. Maka dapat
dikatakan untuk pelabelan graf Cycle
seperti gambar 1.1 di atas adalah
pelabelan sisi ajaib dengan nilai konstanta ajaibnya adalah 9.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Gambar 1.4 Pelabelan total tidak ajaib sisi graf Cycle
Pada gambar 1.2 di atas bukan pelabelan ajaib sisi pada graf
Cycle
, karena bila di evaluasi
,maka pelabelan
untuk gambar 1.2 tersebut bukan pelabelan ajaib sisi.
Berdasarkan hal tersebut, peneliti tertarik untuk meneliti tentang
pelabelan ajaib pada graf Cycle.
B. Batasan masalah
Pada skripsi ini akan membahas graf Cycle
total ajaib sisi dengan konstanta ajaib
dan pelabelan
dengan batas terkecil dan batas
terbesar.
C. Rumusan masalah
Berdasarkan rumusan masalah dan batasan masalah yang sudah
dijabarkan di atas, maka untuk rumusan masalah yang diambil adalah :
1. Apakah pelabelan ajaib sisi berlaku pada graf Cycle?
2. Bagaimana cara memberikan pelabelan terhadap graf Cycle?
3. Bagaimana menentukan nilai konstanta ajaib
pada graf Cycle ?
D. Tujuan penelitian
1.
Mengetahui apakah pelabelan ajaib juga berlaku pada graf Cycle
2.
Mengetahui cara pelabelan ajaib sisi pada graf Cycle
3.
Mengetahui rentang nilai kontanta ajaib
pada graf Cycle
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
E. Manfaat penelitian
1.
Menambah pengetahuan mengenai pelabelan ajaib pada graf
.
2.
Sebagai motivasi mengajarkan kepada anak anak untuk menyukai
pelajaran menghitung.
3.
Mengetahui bahwa terdapat konstanta ajaib pada pelabelan sisi graf
.
4.
Mengetahui aturan untuk memberi pelabelan pada graf
agar
dapat menemukan konstanta ajaib.
F. Metode penelitian
1.
Mengumpulkan beberapa dokumen yang berhubungan dengan
pelabelan ajaib pada graf Cycle.
2.
Membaca dan mempelajari dokumen tersebut.
3.
Menganalisis rentan nilai konstanta ajaib pada graf Cycle.
4.
Mengetahui cara memberi label pada graf Cycle.
5.
Bereksperimen untuk graf Cycle.
6.
Menentukan konstanta ajaib untuk graf Cycle.
7.
Menemukan aturan pelabelan sisi.
G. Sistematika penulisan
BAB 1 : Pendahuluan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Pada bab 1 ini diisikan dengan pendahuluan, batasan masalah,
rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan
metode penelitian.
BAB 2 : Kajian Pustaka
Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi mulai dari graf,
bobot titik, bobot sisi, sampai pelabelan pada graf.
BAB 3 : Pelabelan Total Ajaib pada Graf Cycle
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai cara menentukan
konstanta ajaib
, rentang nilai kontata ajaib .
BAB 4 : Algoritma Pelabelan Total Ajaib pada Graf Cycle
Pada bab 4 ini menjelaskan mengenai algoritma pelabelan total
sisi ajaib pada graf Cycle dengen menggunaka program MATLAB
7.1.
BAB 5 : Penutup
Pada bab 5 ini berisikan kesimpulan dan saran dari hasil
penelitian ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Pengertian Himpunan
Menurut George cantor, himpunan adalah sekelompok objek yang
memiliki kesamaan sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas. Sebagai
contoh :
Himpunan hewan berkaki 4
{
}
Himpunan bilangan asli atau
{
}
Berikut adalah beberapa istilah yang biasanya digunakan dalam himpunan:
Misal
{
} ,
{
1. Himpunan semesta
} , dan
{
} maka :
Himpunan semesta adalah himpunan yang menunjukan semua
anggota, maka dalam kasus di atas himpunan semestanya
adalah
itu sendiri
2. Komplemen
Jika
dengan
{
3. Gabungan
} , maka komplemen dari himunan
{
ditunjukan
}
Gabungan dari himpunan disimbolkan dengan notasi
.San
dalam contoh di atas maka, himpunan A gabungan himpunan B
{
8
}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
4. Irisan
Irisan dari himpunan disimbolkan dengan notasi
. dan
dalam contoh di atas maka , himpunan A irisan himpunan B
{ }
5. Selisih
Selisih dari himpunan disimbolkan dengan notasi
. dan
dalam contoh di atas maka , himpunan A selisih himpunan B
{ }
B. Pengertian Relasi
Misal
dan
silang kartesius
dengan
merupakan himpunan tak kosong. Maka hasil kali
dengan
dan
dan
himpunan semua pasangan
(Bartle, 2010 : Halaman 5).
{
|
}
Relasi itu sendiri dapat dinyatakan menjadi 3, yatu : diagram
panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius.
C. Pengertian Fungsi
Dalam matematika, fungsi merupakan relasi yang bersifat khusus.
Misal
dan
merupakan sebuah himpunan, maka
dikatakan fungsi, untuk setiap
berpasangan dengan tepat satu
(Bartle, 2010 : Halaman 5). Fungsi dibagi menjadi 3, yaitu :
dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
1) Pemetaan Injektif
Misal
merupakan sebuah fungsi, dengan
,
dikatakan sebagai pemetaan injektif atau pemetaan satu-satu jika
memenuhi :
Sebagai contoh, misal
merupakan sebuah fungsi :
2) Pemetaan Surjektif
Misal
merupakan sebuah fungsi, dengan
. dapat
dikatakan sebagai pemetaan surjektif atau pemetaan pada jika
memenuhi :
Sebagai contoh, misal
merupakan sebuah fungsi :
3) Pemetaan Bijektif
Misal
merupakan sebuah fungsi, dengan
. dapat
dikatakan sebagai fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu, bila
fungsi
tersebut memenuhi sifat injektif dan surjektif.
D. Pengertian Graf
Graf merupakan kumpulan atau himpunan dari titik yang kemudian
dihubungkan dengan sebuah garis (Zakira, 2006). Googaire dan Parmenter
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
juga mendefinisikan graf sebagai himpunan pasangan
dimana
merupakan himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen yang
berbeda pada
. Elemen
disebut titik atau vertex dan elemen
sisi atau edge . Jika
maka
dimana
merupakan ujung dari
dan titik
disebut
merupakan himpunan pasangan
dengan
dan
, atau dengan kata lain
masing masing
menghubungkan titik
.
Graf terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik
yang tidak kosong atau dapat disimbolkan dengan notasi
himpunan garis yang dapat disimbolkan dengan notasi
dan
yang
menghubungkan antara 2 titik (Siang, 2002 : Halaman 187). Jadi suatu
graf
adalah pasangan himpunan tak kosong titik atau
dan himpunan
tak kosong garis atau , dan dituliskan G = (V,E) .
Graf terdiri dari himpunan tak kosong titik atau
tak kosong garis atau
ke tepat satu titik
dan setiap sisi pada graf
dan titik
, dengan
dan himpunan
akan dipasangkan
, dan titik x dan titik y
merupakan ujung dari ruas garis e (Van Lith J. H. : Halaman 1) .
𝑣
𝑒
𝑣
𝑒
𝑒
𝑣
𝑒
𝑒
Gambar 2.1 graf
𝑒
𝑣
𝑒6
𝑒
𝑣
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Berikut beberapa definisi yang berhubungan dengan graf ( Munir , 2001)
1.
Gelang atau Loop
Suatu sisi dikatakan memiliki gelang atau loop jika ujung salah
satu sisinya berawal dan berakhir pada titik yang sama (Munir , 2005).
Lihat gambar 2.2 dibawah ini :
𝑒
𝑣
Gambar 2.2 gelang atau loop
2. Rusuk ganda
Suatu graf dikatakan memiliki rusuk ganda bila terdapat sepasang
titik, katakanlah titik
dan
yang menjadi sebuah ujung titik atau
simpul dari 2 buah garis.
𝑒
𝑣
𝑣
𝑒
𝑒
𝑣
𝑒
𝑒
Gambar 2.3 Graf
𝑒6
𝑣
dengan sisi atau rusuk ganda
3. Bertetangga atau Adjacent
Suatu titik pada graf G dikatakan bertetangga apabila pada titik
tersebut terhubung dengan ruas garis atau sisi . sebagai contoh, lihat
gambar 2.1 , pada gambar tersebut
bertetangga dengan
.
bertetangga dengan
,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
4.
Berisian atau Incident
Untuk sebarang sisi pada graf dapat dikatakan bersisian apabila
terdapat sisi
yang memiliki ujung sisi yaitu titik
dan titik
dimana
(Munir, 2001). Dan apabila suatu sisi memiliki ujung yang
sama, maka dapat dikatakan sebagai gelang atau loop .
5.
Lintasan atauPath
Lintasan pada graf G adalah barisan titik atau vertex yang
membentuk sebuah jalur pada graf tersebut. Sebagai contoh, lihat gambar
2.1 , pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa
merupakan sebuah lintasan, sedangkan untuk
merupakan lintasan tertutup.
6.
Lingkaran atau Cycle
Graf lingkaran atau Cycle merupakan graf dengan lintasan tertutup
dan dinotasikan dengan
𝑣
dengan v buah garis atau sisi.
𝑒
𝑒
𝑒
𝑣
𝑣
𝑒
𝑣
Gambar 2.4 Graf Cycle
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Sebagai contoh lihat gambar 2.4, gambar di atas adalah gambar
graf lingkaran atau Cycle
, yaitu graf tertutup dengan lintasan
.
7.
Graf tak berarah
Sebuah graf dikatakan sebagai graf tidak berarah apabila pada ruas
garis atau sisi pada graf tersebut yang menghubungkan antara 2 titik tidak
diberi arah. Sehingga urutan pasangan titik pada graf tersebut tidak
diperhatikan. Sebagai contoh lihat pada gambar 2.4 . pada gambar di atas
terlihat bahwa pasangan titik
dan
sama, karena sisi yang
menghubungkan antara 2 titik tersebut tidak terdapat arah.
8.
Graf berarah
Sebuah graf G dikatakan berarah apabila pada ruas garis atau sisi
yang menghubungkan antara 2 titik tersebut diberi arah. Sehingga
mengakibatkan urutan pasangan titik tersebut juga diperhatikan.
𝑣
𝑒
𝑣
𝑒
𝑒
𝑣
𝑒
Gambar 2.5 Graf Berarah
𝑒
𝑣
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Pada gambar di atas maka terlihat jelas bahwa untuk titik
sebagai titik awal, dan titik
dinotasikan dengan
9.
adalah
sebagai titik terminal, atau dapat
.
Graf berbobot
Suatu graf dikatakan graf berbobot apabila tiap sisi dan titik pada
graf tersebut diberi label. Tiap 1 titik hanya diberikan 1 label dan tiap 1
sisi juga diberikan label, sehingga semua elemen sisi dan titik pada graf
akan memiliki label yang berbeda satu sama lain.
Pada graf berbobot ini, terdapat 2 jenis yaitu bobot titik dan bobot
sisi. Untuk bobot titik dengan menghitung :
∑
Dimana
dan
. Dan untuk bobot sisi dengan
menghitung
Dimana
(
)
dan
.
(
)
( )
Masing masing dari bobot titik dan bobot sisi tersebut memiliki
keunikan tersendiri, yaitu memiliki nilai yang sama apa bila menghitung
bobot sisi atau bobot titik pada graf tersebut. Dan keunikan ini yang
dinamakan dengan pelabelan ajaib.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Untuk bobot titik, maka dinamakan dengan pelabelan ajaib pada
titik graf , dan untuk bobot sisi, maka dinamakan dengan pelabelan ajaib
pada graf.
10.
Bobot Titik
Bobot titik merupakan jumlah dari label yang diperoleh dari titik
dengan menjumlahkan semua ruas sisi yang memiliki ujung titik
yang sama dengan
( Stewart , 1966) , sehingga dapat dinotasikan
dengan :
∑
11.
Bobot Sisi
Bobot sisi merupakan jumlah dari label yang diperoleh dengan
menjumlahkan label yang terdapat pada 2 buah titik yang bertetangga yang
dihubungkan dengan label ruas garis yang menghubungkan kedua titik
tersebut ( Stewart , 1966 ) .sehingga dapat dinotasikan dengan :
E. Pelabelan Graf
Pelabelan graf pada titik dan sisi dengan memetakan setiap elemen
titik dan sisi ke tepat satu label. Sehingga banyak label yang diperlukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
untuk memberikan label pada tiap titik dan sisi pada graf yang mungkin
akan ada sebanyak {
| |
| |} .
Pelabelan graf apabila di evaluasi, maka akan ada yang namanya
bobot titik dan bobot sisi (Walis, W. D. 2001) . Misal
fungsi dengan
{
disimbolkan dengan
. Misal
himpunan dengan
| |
| |} dan
merupakan sebuah
merupakan sebuah
, sehingga untuk bobot titik dan bobot sisi
dan
merupakan sisi pada graf
yang salah satu ujung dari sisi tersebut adalah titik
, sehingga untuk
bobot titik diperoleh :
∑
Misal untuk
dan
tersebut adalah titik
dan titik
(
(
)
dengan ujung dari sisi
, sehingga untuk bobot sisi diperoleh :
)
(
)
Berdasarkan bobot titik dan bobot sisi, maka pelabelan graf dibagi
menjadi :
1. Pelabelan tidak ajaib
Suatu graf dikatakan tidak memiliki pelabelan ajaib jika
label pada titik dan label pada garis graf tersebut dievaluasi
dengan menggunakan bobot titik atau bobot sisi tidak memiliki
nilai konstanta yang sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
2. Pelabelan ajaib
Suatu graf dapat dikatakan memiliki pelabelan ajaib jika
label tidak titik dan tiap sisinya di evaluasi dengan bobot sisi
maupun dengan bobot titik, akan memiliki nilai yang sama.
Berdasarkan pelabelan ajaib pada graf, maka pelabelan ajaib pada
graf dibagi menjadi 3, yaitu :
1.
Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf
Pelabelan ajaib pada sisi graf ini dengan memulai pelabelannya
terhadap tiap titik pada graf tersebut, dengan syarat dan ketentuan
tertentu sedemikian hingga tiap titik pada graf tersebut memiliki label
yang tepat untuk menentukan nilai kontanta ajaib , dan kemudian
dilanjutkan dengan memberi label pada sisi graf dengan cara
untuk setiap
yang sudah dibeli label.
Gambar 2.6 Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle
2.
Pelabelan Total Ajaib Titik Pada Graf
Pelabelan ajaib pada
titik graf
ini
dengan memulai
pelabelannya terhadap sisi graf tersebut, dengan syarat dan ketentuan
tertentu sedemikian hingga tiap sisi pada graf tersebut memiliki label
yang tepat untuk menentukan nilai kontanta ajaib, kemudian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
dilanjutkan dengan memberi label pada tiap titik pada graf tersebut
dengan cara
∑
untuk setiap
yang sudah diberi label.
Gambar 2.7 Pelabelan total ajaib titik graf roda
3.
Pelabelan Total Pada Graf
Pelabelan total pada graf ini adalah pelabelan dengan memberi
pelabelannya langsung terhadap sisi dan titik pada graf tersebut,
namun dengan syarat dan ketentuan tertentu sedemikian hingga pada
graf tersebut bila dievaluasi dengan menggunakan bobot titik dan
bobot sisi akan memiliki nilai yang masing masing sama.
Gambar 2.8 Pelabelan total ajaib
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYLE
A.
Perhitungan Dasar Pelabelan Total
Karena pada graf
Cycle
, banyaknya elemen titik sama
dengan banyaknya elemen sisi, misal | | menyatakan banyaknya
elemen titik dan | | menyatakan banyaknya elemen sisi, sehingga
| |
| |
dengan
.
Berdasarkan defisini, pelabelan total sisi pada graf
merupakan
{
titik dan
sebuah
}
fungsi
bijektif
, dengan
. Karena pada graf
memiliki
buah sisi, sehingga untuk
buah
dan
, maka konstanta ajaib pada graf
tersebut dapat dicari dengan :
(3.1)
Dengan
adalah konstanta ajaib pada graf
untuk setiap garis
dan
dan pada sisi
dikatakan bahwa
merupakan konstanta ajaib dari graf
tersebut,
. maka dapat
tersebut (W.
D. Wallis : hal 17).
Karena graf
memiliki
buah titik dan
buah sisi yang sama
banyak, maka banyaknya label yang diperlukan untuk memberi label
pada
dan
akan ada sebanyak
20
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Gambar 3.1 Graf Cycle
Misal
adalah total label titik, dan
dan pada graf Cycle
adalah total label sisi,
, perhitungan label titik dihitung 2 kali,
sedangkan label sisi di hituung 1 kali, sehingga:
Karena pada graf Cycle memiliki
buah titik dan
buah sisi,
maka
∑
(3.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Karena pada pelabelan graf
, jumlah nilai untuk label
titiknya juga terbatas, misalkan saja
adalah himpunan terbatas dengan
{
} untuk label titiknya, dan
adalah jumlah dari semua
label titik pada graf tersebut.
Misal untuk titik 1 sampai titik
diberi label dengan
bilangan
asli pertama, maka jumlah label titik tersebut :
∑
Kemudian bisa juga untuk label titiknya diberikan label dengan
label
sampai
, sehingga untuk label
:
∑
Karena
dapat diberi label
bilangan asli pertama, maka
akan memiliki jumlah label titik yang terkecil dari pada dengan label
sampai
. Sehingga
akan berada pada interval :
∑
Bila
∑
merupakan label untuk titik di graf
merupakan label sisi pada graf
, dan
, maka dengan dualitas
graf, dapat dibuat sebuah pelabelan baru dengan aturan :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
B.
Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle
Graf Cycle
adalah graf reguler dengan derajat 2, sehingga
banyak titik dan garis nya sama.
1. Batas jumlah label titik atau
Karena
Cycle
adalah jumlah semua label titiknya, dan pada graf
banykanya titik dan sisi sama.
maka dengan menggunakan jumlahan notasi sigma, batas
menjadi :
∑
∑
Sehingga diperolehlah batas untuk jumlah total label titik pada
graf Cycle
dengan batas jumlah titiknya diantara :
Dengan
(3.4)
2. Batas nilai konstanta ajaib
Karena
terbatas, maka untuk konstanta ajaib nya juga
terbatas, karena konstanta ajaib
titik atau
pada graf Cylce
diperolehlah :
dipengaruhi oleh batas jumlah label
. dan berdasarkan persamaan (3.2) maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Subtitusikan
kedalam pertidaksamaan (3.4)
Ketiga ruas dibagi dengan
, sehingga diperoleh
Dan untuk batas konstanta ajaib
genap juga berbeda, untuk batas
pada graf Cycle dengan
∑
∑
pada graf Cycle dengan
genap :
∑
Sehingga diperolehlah batas untuk jumlah total label titik pada
graf Cycle dengan
genap :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Dengan
(3.6)
Kemudian dengan cara
yang sama, subtitusikan
pada persamaan (3.6) sehingga diperolehlah batas
ajaib pada graf Cycle dengan
genap
(3.7)
Sehingga sekarang diperolehlah batas atas dan batas bawah
untuk konstanta ajaib
pada graf Cycle dengan masing masing untuk
ganjil dan genap. Untuk batas konstanta ajaib
pada
ganjil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
. Dan untuk batas konstanta ajaib
pada
genap yaitu
.
C.
Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle
Pada pelabelan total sisi ajaib pada graf
cara untuk menentukan konstanta ajaib
ini ada banyak
. Dari pertidaksamaan di atas,
dapat dilihat bahwa untuk konstanta ajaib
memiliki batas atas dan
batas bawah, namun tidak selalu untuk setiap
yang berada diantara
batas bawah dan batas atas tersebut selalu terdapat konstanta ajaib
Kontanta ajaib
pada graf Cycle memiliki
ajaib, maka dari itu konstanta ajaib
.
buah kontanta
dapat diperoleh dari persamaan
(3.2) menjadi :
(3.8)
1.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle ganjil
Untuk jumlah label titik pada graf Cycle dengan
titik nya
ganjil, label
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
, sehingga diperolehlah
Misal
, maka
Karena
subtitusikan
ke persamaan (3.8).
(
Karena
)
, maka
. kemudian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Untuk
ganjil dengan
ditentukan konstanta ajaib
, maka dapat
.
Untuk jumlah label titik pada graf Cycle dengan
genap, maka
diperolehlah :
Misal
Karena
subtitusikan
, sehingga diperolehlah
, maka
ke persamaan (3.8).
. kemudian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
(3.9)
2.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap
Untuk konstanta ajaib
, maka
pada graf Cycle dengan
. kemudian subtitusikan kedalam persamaan
(3.9) sehingga diperolehlah
Untuk
genap dengan
ditentukan konstanta ajaib
3.
, maka dapat
.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap
Untuk konstanta ajaib
maka
pada graf Cycle dengan
.
kemudian
persamaan (3.9) sehingga diperolehlah :
subtitusikan
,
kedalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Untuk
genap dengan
ditentukan konstanta ajaib
.
, maka dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI GRAF
CYCLE
Pada pelabelan total sisi ajaib graf Cycle, label yang diberikan
untuk tiap titik dan sisi graf Cycle
{
| |
akan ada sebanyak
| |}, dengan aturan tertentu yang membuat jumlah tiap
total tiap titik pada graf Cycle mempengaruhi untuk nilai k ajaib, dimana k
merupakan konstanta ajaib dengan menjumlahkan
( )
dan
, dimana
( ) masing masing merupakan label titik
merupakan label sisi.
pada graf Cycle dan
A. Proses pelabelan pada graf Cycle
Pada pelabelan ini, tiap titik dan tiap sisi dinotasikan sendiri
dengan
dan , dengan
dan
akan ada sebanyak
simbol yang akan digunakan pada pelabelan graf Cycle
Simbol
. berikut simbol
.
Keterangan
Label titik pada graf Cycle yang dimulai dari
,
,
...... ,
Label sisi pada graf Cycle yang dimulai dari
, ...... ,
31
,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Konstanta ajaib pada graf Cycle
Matrik yang berisikan hasil dari label yang sudah diperoleh
Matrik berukuran
yang berisikan bilangan noll yang
yang akan digunakan untuk membuat label titik
Matrik berukuran
yang berisikan bilangan noll yang
yang akan digunakan untuk label titik
Matrik berukuran
yang berisikan bilangan noll yang
yang akan digunakan untuk membuat label sisi
B. Diagram alur pelabelan pada graf Cycle
Dalam memangun sebuah program untuk algoritma ini, diperlukan
sebuah rancangan terlebih dahulu untuk memulainya, dengan mula mula
merancang program tersebut dengan menggambar diagram
flowcart,
kemudian membuat sebuah algoritma dari diagram flowcart tersebut, dan
yang terakhir adalah membahasakan kembali program tersebut kedalam
bahasa pemrograman MATLAB 7.1 .
Berikut adalah diagram flowcart alur pelabelan graf. Dan pada
diagram tersebut dibagi menjadi beberapa bagian, yaitu input, proces,
output.
32
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Gambar 4.1 Diagram flowcart
Dalam diagram flowcart diatas, pelabelan menjadi 3 bagian, yaitu
bagian input, proses, dan output.
1.
Bagian input
Pada bagian input ini, diawali dengan memasukan banyak titik
yang diinginkan, dalam hal ini banyak nilai
dengan syarat
.
setelah memasukan nilai v, maka akan program akan membaca nilai
apakah nilai
memenuhi syarat
, apabila nilai
sudah
memenuhi makan langkah selanjutnya program akan membaca apakah
nilai
tersebut
. dan apabila nilai
atau
atau
tidak memenuhi maka langkah
selanjutnya program akan mengulangi dengan memasukan nilai v
kembali.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Gambar 4.2 Diagram flowcart 2
2.
Bagian proses
Setelah program membaca nilai v, maka langkah selanjutnya
adalah bagian proses. Berdasarkan diagram flowcart diatas terbagi
menjadi 3 bagian yang terdiri dari
,
. Pada pelabelan ini, matrik
,
yang berukuran
akan digunakan untuk penomoran pada graf cycle, dan matrik
berukuran
dan matrik
yang
akan digunakan untuk label tiap titik pada graf cycle,
yang berukuran
akan digunakan untuk label tiap
sisi pada graf cycle
a.
Pada bagian ini, program akan membaca
sebagai nilai
ganjil. mula mula pelabelan dari titik pertama sampai titik
berselisih 2, kemudian untuk label titik tersebut diberi label mulai
dari 1 sampai
. selanjutnya untuk label selanjutnya dimulai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
dari titik ke 2 sampai titik
dengan selisih 2, kemudian untuk
label titik tersebut, dengan membalik matrik V terlebih dahulu,
dan kemudian diberikan label dari
sampai
, setelah itu
matrik V tersebut dibalik kembali.
Gambar 4.3 Diagram Flowcart 3
Karena akan dibuat pelabelan dengan
ajaib terkecil,
sehingga untuk label sisi pada graf cycle dengan mengurangkan
dengan 2 label titik nya,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Gambar 4.4 Diagram folwcart 4
Dan setelah mendapatkan nilai V dan E, kemudian
dibuatlah pelabelan baru dengan
ajaib terbesarnya, yaitu dengan
menggunakan Duallity
Gambar 4.5 Diagram flowcart 5
b.
Pada bagian ini, program akan membaca v sebagai
kelipatan 4. matrik
di isikan pelabelan dari titik 1 sampai
dengan selisih 2 , dan kemudian dilanjutkan dengan pelabelan
pada matrik
yang dimulai dari
sampai dengan selisih 2
.Kemudian pelabelan dilanjutkan dari titik 4 sampai
selisih 2 , lalu dilanjutkan lagi dari titik
6
selisih 2 . Untuk pelabelan pada titik 2 dengan
dengan
sampai v-1 dengan
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Gambar 4.6 Diagram flowcart 6
Kemudian cara untuk memberi label pada tiap sisi nya
juga sama dengan mencari label sisi pada
mengurangkan
ganjil, yaitu dengan
ajaib dengan 2 titik ujung sisi tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Gambar 4.7 Diagram flowcart 7
Dan setelah mendapatkan nilai V dan E, kemudian
dibuatlah pelabelan baru dengan
ajaib terbesarnya, yaitu dengan
menggunakan Duallity
Gambar 4. 8 Diagram flowcart 8
c.
Pada bagian ini, program akan membaca nilai
nilai genap yang selain bilangan kelipatan 4. matrik
pelabelan dari titik 1 sampai
diteruskan pada titik
matrik
di isikan
dengan selisih 2 , dan kemudian
,dilanjutkan dengan pelabelan pada
yang dimulai dari
di lanjutkan pada titik
sebagai
sampai -1 dengan selisih 2 , dan
. pelabelan dilanjutkan dari titik 4 sampai
dengan selisih 2 , lalu dilanjutkan lagi dari titik
6
v-2 dengan selisih 2 . Untuk pelabelan pada titik 2 dengan
sampai
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Gambar 4.9 Diagram flowcart 9
Kemudian untuk label sisinya juga menggunakan cara
yang sama, yaitu dengan mengurangkan nilai
titik pada ujung sisi tersebut.
ajaib dengan 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 4.10 Diagram flolwcart 10
Dan setelah mendapatkan nilai V dan E, kemudian
dibuatlah pelabelan baru dengan
ajaib terbesarnya, yaitu dengan
menggunakan Duallity.
Gambar 4.11 Diagram flowcart 11
3.
Bagian output
Setelah selesai dengan pelabelan di atas, kemudian dapat
dilakukan pelabelan kembali dengan cara setiap label pada titik
ditambah dengan dengan konstanta sehingga memperoleh nilai
ajaib
yang baru.
Setelah mendapatkan label titik dan label sisi dari bagian proses,
maka
langkah
selanjutnya
menampilkan matrik
dengan
adalah
bagian
outoutnya,
yaitu
yang berisikan
. .
merupakan nomor bagi titik pada graf cycle dengan
penomorannya berlawanan jarum jam.
dan
merupakan berturut
turut adalah label titik dan label sisi pada 1 graf yang sama, dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
dan
merupakan label titik dan label sisi yang baru pada graf yang
berbeda.
Gambar 4.12 Diagram flowcart 12
C. Deskripsi
AlgoritmaPelabelan
Total
Sisi
Ajaib
Menggunakan
MATLAB 7.1
1. Bagian input
Langkah 1
: Masukkan nilai
Langkah 2
: Membaca nilai
Jika
maka ulangi langkah 1
Langkah 3
: Menampilkan matrik
2. Bagian proses
berisikan bilangan noll [
dan matrik
yang
] sebanyak
a.) Bagian
Langkah 1
: Membuat penomoran pada matrik
dari 1 sampai
dengan selisih 2
Langkah 2
: Membuat label berdasarkan nomor yang telah
dibuat pada matrik
pada matrik
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Langkah 3
: Mebuat matrik
matrik
dengan isian nomor 2 dan
dengan label yang sesuai dengan isian
matrik A yang baru
Langkah 4
: Membuat matrik
dengan penomoran lagi mulai
dari nomor 4 sampai dengan selisih 2
Langkah 5
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
Langkah 6
yaitu dengan
: Membuat matrik
sampai
dari nomor
Langkah 7
yaitu dengan
: Membuat matrik
dari nomor
Lngkah 9
dengan selisih 2
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
Langkah 8
dengan penomoran lagi mulai
6
dengan penomoran lagi mulai
sampai
dengan selisih 2
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
yaitu dengan
Langkah 10
: Membuat
ajaib terkecilnya dengan
Langkah 11
: Membuat label sisi dengan
Langkah 12
:Membuat pelabelan titik yang baru dengan
dan pelabelan sisi yang baru dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Langkah 13
:Membuat pelabelan baru dengan langkah 1 sampai
langkah 12 dengan setiap
{
b.) Bagian
Langkah 1
: Membuat penomoran pada matrik
dari 1 sampai
dengan selisih 2
Langkah 2
: Membuat label berdasarlan nomor yang telah
dibuat pada matrik
Langkah 3
pada matrik
: Mebuat matrik
dengan
dengan isian nomor 2 dan matrik
dengan label yang sesuai dengan isian matrik A
yang baru
Langkah 4
: Mebuat matrik
dengan isian nomor
dan matrik
dengan label yang sesuai dengan isian matrik A
yang baru
Langkah 5
: Mebuat matrik
matrik
Langkah 6
dengan isian nomor
dan
dengan label yang sesuai dengan isian
matrik A yang baru
6
: Membuat matrik
dengan penomoran lagi mulai
dari nomor 4 sampai
dengan selisih 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Langkah 7
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
Langkah 8
yaitu dengan
: Membuat matrik
dari nomor
Langkah 9
dengan selisih 2
yaitu dengan
: Membuat matrik
dari nomor
Langkah 11
sampai
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
Langkah 10
dengan penomoran lagi mulai
6
dengan penomoran lagi mulai
sampai
dengan selisih 2
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
yaitu dengan
Langkah 12
: Membuat
ajaib terkecilnya dengan
Langkah 13
: Membuat label sisi dengan
Langkah 14
: Membuat pelabelan titik yang baru dengan
dan pelabelan sisi yang baru dengan
Langkah 15
:Membuat pelabelan baru dengan langkah 1 sampai
langkah 14 dengan setiap
{
c.) Bagian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Langkah 1
: Membuat matrik
berisikan nomor dari 1 sampai
dengan berselisih 2
Langkah 2
: Membuat label yang sesuai dengan matrik
matrik
Langkah 3
pada
dengan
: Membuat matrik
penomoran lagi dari 2 sampai
dengan selisih 2
Langkah 4
: Balik terlebih dahulu matrik
sebelum melukukan
pelabelan terhadap matrik
Langkah 5
: Membuat label yang sesuai dengan matrik
matrk
pada
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYCLE
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh
Gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi
Pendidikan Matematika
Oleh :
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
NIM
: 141414105
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
EDGE MAGIC TOTAL LABELLING ON CYCLE
SKRIPSI
Submitted As The Partial Fulfillment Of The Requirements
To Obtain A Bachelor Of Education Degree
On Mathematics Education Study Program
By :
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
NIM
: 141414105
MATHEMATICS EDUCATION STUDY PROGRAM
MAJORING IN MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES EDUCATION
FACULTY OF TEACHER TRAINING AND EDUCATION
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2019
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN TUGAS AKHIR
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam skripsi ini tidak memuat karya
atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan
daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 14 Januari 2019
Penulis,
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI
KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
NIM
: 141414105
Demi mengembangkan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada
Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYCLE
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,
mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan
data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau
media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya
maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya
sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenar-benarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 14 Januari 2019
Yang menyatakan
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kata Kata Motivasi
Greget itu Prinsip
~Mad Dog~
Tidak Ada Skripsi Tanpa Revisi
~Dony Putra Perkasa~
Hidup Seperti Lary
~Spongebob Squarepants~
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa. 2019. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada
Graf Cycle. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Graf merupakan himpunan pasangan
dimana merupakan
himpunan tak kosong titik dan
merupakan himpunan pasangan elemen yang
berbeda pada . Elemen disebut titik atau vertex dan elemen disebut sisi atau
edge . Jika
maka merupakan himpunan pasangan
dimana
dengan dan masing masing merupakan ujung dari , atau dengan
kata lain menghubungkan titik dan titik . Setiap elemen pada dan elemen
pada dapat diberikan label, dan dinamakan dengan pelabelan graf.
| | | |} dengan | |
Misalkan A merupanan himpunan {
adalah banyaknya titik pada graf, dan | | merupakan banyaknya sisi pada graf,
sehingga pelabelan total sisi ajaib pada graf atau edge magic total labelling
merupakan sebuah pemetaan bijektif yang memetakan setiap elemen titik dan
garis ke himpunan bilangan asli , atau dapat dituliskan untuk fungsi
. sedemikian hingga untuk konstanta ajaib dapat dicari dengan
( )
untuk setiap
dan
merupakan konstanta
ajaib yang apabila dievaluasi tiap sisi pada graf tersebut akan memiliki nilai
konstanta yang sama.
Tujuan penelitian ini adalah untuk : (1) untuk mengetahui apakah
pelabelan ajaib sisi juga berlaku pada graf Cycle, (2) mengetahui cara pelabelan
pada graf Cycle, (3) mengetahui rentang konstanta ajaib pada graf Cycle.
Hasil yang diperoleh dari penelitian ini adalah : (1) graf Cycle
Memiliki pelabelan ajaib bila
, (2) graf Cycle Memiliki pelabelan ajaib
sisi yang terbagi menjadi 2 bagian, yaitu untuk
,
,
dan
,(3) nilai konstanta
ajaib pada graf Cycle
dengan
ganjil memiliki interval nilai
ajaib pada graf Cycle
yaitu :
dengan
dan untuk nilai konstanta
genap memiliki interval nilai
yaitu :
. Dan langkah untuk memetakan setiap elemen titik dan sisi ini dengan
menggunakan program MATLAB 7.1 .
Kata kunci : Pelabelan total sisi ajaib pada graf Cycle
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa. 2019. Edge Magic Total Labeling On
Cycle. Majoring In Mathematics And Natural Sciences Education. Faculty
Of
Teacher
Training
And
Education.
Sanata
Dharma
University,Yogyakarta.
The graph is a set of pairs
where is an empty set of points
and is a set of different element pairs on . Element is called vertex and
element is called edge or edge. If
then is the set of pairs
where
with
and
are each end of , or in other words e connects
point and point . Each element in and the element in can be labeled, and
is called labeling graph.
Let be a set of {
| | | |} with | | is the number of points
on the graph, and | | is the number of sides on the graph, so that the labeling of
the total magic side on the graph or edge labeling total magic is a wise mapping
that maps each element of point and line to the set of natural numbers , or can be
written for the function
. so that for magic constants to be found
with
for each
and
are magic
constants which if evaluated on each side of the graph will have a value the same
constant.
The purpose of this study is to: (1) to find out whether side magic
labeling also applies to the Cycle graph, (2) to know how to label the Cycle graph,
(3) to find out the magic constant range of the Cycle graph.
The results obtained from this study are: (1) graph Cycle
It has magic
labeling if
, (2) graf Cycle
It has side magic labeling which is divided
into 2 parts, namely for
, and
,
(3) the value of the magic k constant in the
Cycle graph with odd has an
interval of
values, namely:
value in the Cycle
and for the magic
graph with even
has an interval of
constant
values, namely:
. And steps to map each point and side element using the
MATLAB 7.1 program.
Keywords: Edge Magic Total Labeling on Cycle
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Terimakasih Tuhan atas penyertaan mu saya dapat menyelesaikan skripsi
ini dengan lancar, oleh karena itu puji dan syukur saya harturkan ke hadirat mu.
Selama melakukan penelitian ini, penulis mendapat berbagai bantuan dari
sana sini oleh banyak pihak yang mendukung peuh usaha saya dalam
menyelesaikan skripsi ini guna menyelesaikan studi S1 saya di jurusan Pendidikan
Matematika. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2.
Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku Ketua Program Studi Pendidikan
Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
3.
Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si., selaku Dosen Pembimbing
Skripsi yang selalu memberi petunjuk dan arah serta yang memberi
inspirasi dalam memilih judul skripsi.
4.
Pius Sutrisno dan Heronima Sri Lestari Rahayu selaku orang tua penulis
yang selalu memberi doa, semangat dan dukungan kepada penulis selama
penyusunan skripsi ini.
5.
Erina Wulansari dan Monica Septiani Eka Yunitasari sebagai teman
seperjuangan satu pembimbing dan memberi motivasi untuk menyusul
mereka lulus.
6.
Seluruh teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2014.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7.
Anastasia Ana Ayu Kusuma Jati yang selalu memberi semangat dan
motivasi dalam menyelesaikan skripsi.
8.
Yohanes Endra Permana dan Ignasius Dwi Cahyo Nugroho yang selaku
kakak kandung saya yang selalu memotivasi saya untuk menyelesaikan
skripsi.
9.
Sahabat sahabat saya yang setia menemani setiap langkah saya dari saya
memilih jurusan di pendidikan matematika sampai saya mengerjakan
skripsi hingga selesai
10. Saudara saya yang tidak bisa saya sebutkan satu per satu yang telah
membant saya dalam doa.
11. Serta semua pihak yang tidak mungkin disebutkan satu persatu.
Penulis berharap agar hasil karya ini dapat berguna bagi para pembaca.
Terima kasih.
Yogyakarta, 14 Januari 2019
Penulis
Albertus Magnus Dony Putra Perkasa
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
PERNYATAAN KEASLIAN TUGAS AKHIR ..................................................... iii
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI............................................................... v
KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ..................................v
Kata Kata Motivasi ................................................................................................. vi
ABSTRAK ............................................................................................................. vii
ABSTRACT .......................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ............................................................................................ ix
BAB I ...................................................................................................................... 1
PENDAHULUAN .................................................................................................. 1
A. Latar belakang .............................................................................................. 1
B. Batasan masalah .......................................................................................... 5
C. Rumusan masalah......................................................................................... 5
D. Tujuan penelitian .......................................................................................... 5
E. Manfaat penelitian ........................................................................................ 6
F.
Metode penelitian ......................................................................................... 6
G. Sistematika penulisan ................................................................................... 6
BAB II ..................................................................................................................... 8
KAJIAN PUSTAKA ............................................................................................... 8
A. Pengertian Himpunan ................................................................................... 8
B. Pengertian Relasi .......................................................................................... 9
C. Pengertian Fungsi ......................................................................................... 9
D. Pengertian Graf .......................................................................................... 10
E. Pelabelan Graf ............................................................................................ 16
BAB III ................................................................................................................. 20
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYLE .................................. 20
A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total ............................................................ 20
B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle ................ 23
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1.
Batas jumlah label titik atau
2.
Batas nilai konstanta ajaib ...................................................................... 23
............................................................. 23
C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle .............................................. 26
1.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle ganjil
.......... 26
2.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap
.......... 29
3.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap
.......... 29
BAB IV ................................................................................................................. 31
ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI GRAF CYCLE ................. 31
A. Proses pelabelan pada graf Cycle ............................................................... 31
B. Diagram alur pelabelan pada graf Cycle
.............................................. 32
C. Deskripsi Algoritma Pelabelan Total Sisi Ajaib Menggunakan MATLAB
7.1 41
D. Simulasi Pelabelan Total Sisi Ajaib Dengan Menggunakan Aplikasi
MATLAB 7.1 .................................................................................................... 46
E. Kekurangan pada pelabelan sisi graf Cycle ............................................... 49
F.
Pemanfaatan Pelabelan Ajaib pada Graf Cycle .......................................... 50
BAB V................................................................................................................... 57
PENUTUP ............................................................................................................. 57
A. Kesimpulan ................................................................................................ 57
B. Saran ........................................................................................................... 57
Daftar Pustaka ....................................................................................................... 58
LAMPIRAN .......................................................................................................... 59
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Denah rumah ....................................................................................... 1
Gambar 1.2 Denah ilustrasi waktu perjalanan ........................................................ 2
Gambar 1.3 Pelabelan toal ajaib sisi graf Cycle
dengan
Gambar 1.4 Pelabelan total tidak ajaib sisi graf Cycle
= 9 ........................... 4
..................................... 5
Gambar 2.1 graf .................................................................................................... 11
Gambar 2.2 gelang atau loop ................................................................................ 12
Gambar 2.3 Graf
dengan sisi atau rusuk ganda ................................................. 12
Gambar 2.4 Graf Cycle ......................................................................................... 13
Gambar 2.5 Graf Berarah ...................................................................................... 14
Gambar 2.6 Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle...................................... 18
Gambar 2.7 Pelabelan total ajaib titik graf roda ................................................... 19
Gambar 2.8 Pelabelan total ajaib .......................................................................... 19
Gambar 3.1 Graf Cycle
................................................................................... 21
Gambar 4.1 Diagram flowcart............................................................................... 33
Gambar 4.2 Diagram flowcart 2............................................................................ 34
Gambar 4.3 Diagram Flowcart 3 ........................................................................... 35
Gambar 4.4 Diagram folwcart 4............................................................................ 36
Gambar 4.5 Diagram flowcart 5............................................................................ 36
Gambar 4.6 Diagram flowcart 6............................................................................ 37
Gambar 4.7 Diagram flowcart 7............................................................................ 38
Gambar 4. 8 Diagram flowcart 8........................................................................... 38
Gambar 4.9 Diagram flowcart 9............................................................................ 39
Gambar 4.10 Diagram flolwcart 10 ...................................................................... 40
Gambar 4.11 Diagram flowcart 11........................................................................ 40
Gambar 4.12 Diagram flowcart 12........................................................................ 41
Gambar 4.13 Input matlab..................................................................................... 46
Gambar 4.14 Hasil output ..................................................................................... 47
Gambar 4.15 Graf Cycle
................................................................................. 47
Gambar 4.16 pelabelan pada graf Cycle
......................................................... 48
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.17 Pelabelan ajaib sisi graf cycle
................................................... 48
Gambar 4.18 letak tatanan komputer .................................................................... 51
Gambar 4.19 hasil output dengan
Gambar 4.20 hasil output untuk
............................................................ 52
............................................................... 54
Gambar 4.21 contoh penerapan............................................................................. 55
Gambar 4.22 hasil output untuk
............................................................ 56
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar belakang
Sebagai petugas atau karyawan sebuah kantor pos, menjadi hal
yang biasa bagi petugas untuk mengantarkan sebuah paket barang ke
tempat yang menjadi tujuan dari pengirim paket barang tersebut. Dan
untuk mengantarkan paket barang tersebut, petugas biasanya menyusun
nya berdasarkan alamat yang dituju dari sang pengirim paket barang, agar
saat mengantarkan barang dapat menjadi satu jalur, atau tidak berlawanan
arah. Semisal dalam pengiriman barang tersebut, diilustrasikan seperti
gambar dibawah ini :
Gambar 1.1 Denah rumah
Dalam gambar ilustrasi di atas, seorang petugas pengantar barang
harus mengirimkan paket barang menuju ke rumah 1, rumah 2, rumah 3
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
dengan jalur yang sudah ditetapkan. Dalam perjalanan seorang petugas
pengantar barang tersebut, waktu yang diperlukan untuk mengirim semua
paket barang digambarkan seperti ilustrasi dibawah ini :
Gambar 1.2 Denah ilustrasi waktu perjalanan
Dari gambar ilustrasi di atas, terlihat bahwa disetiap jalan dan
persimpangan terdapat waktu untuk dilalui seorang pengantar paket
barang. Dan bila dicermati lagi, gambar diatas terdiri dari titik dan garis
yang masing-masing diberi label waktu tempuh, dan dapat dikatakan
gambar diatas merupakan sebuah pelabelan graf. Dan karena jalur yang
digambarkan pada ilustrasi di atas merupakan jalur yang tertutup, dengan
kata lain jalur yang dilalui dari kantor pos dan kembali ke kantor pos lagi,
maka jalur pada ilustrasi di atas dapat dikatakan sebagai graf Cycle.
Graf dalam matematika didefinisikan sebagai pasangan dua
himpunan. Himpunan
atau bisa disebut dengan himpunan tak kosong
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
titik, dan himpunan
atau bisa disebut dengan himpunan tak kosong
garis. dan setiap elemen
dan
pada graf tersebut dapat
diberikan label atau penomoran, pemberian label pada graf tersebut
dikatakan sebagai pelabelan graf.
Pelabelan pada graf pertama kali dikembangkan oleh Sedlacek
pada tahun 1963, dan mendefinisikan graf dengan label sisi ajaib dengan
rentang nilai tertentu, dengan menjumlahkan 2 titik yang dihubungkan
dengan garis tersebut. Kemudian pelabelan graf juga dikaji oleh Stewart
pada tahun 1966, kemudian Kotzig dan Rosa juga mengkaji pelabelan graf
ini pada tahun 1970 dengan istilah valution. Kemudian Kotzig dan Rosa
mendefinisikan pelabelan total ajib dengan label mulai dari 1 sampai
dengan
, atau kalau dinyatakan dalam bentuk himpunan
sebagai himpunan
{
| |
| |}
Pelabelan graf ini memiliki aplikasi yang cukup luas seperti
dibidang jaringan komunikasi, pengkodean, dan lain lain. Contohnya saja
aplikasi penggunaan pelabelan graf ini adalah pada pembuatan user ID
sebuah game online, maupun sebagai pembuatan voucher isi ulang kuota.
Pelabelan ajaib sisi graf merupakan fungsi bijektif yang
memetakan himpunan
ke himpunan
{
Sedemikian hingga untuk konstanta ajaib
| |
| |}.
berlakulah
. Bila penjumlahan label sisi dan titik pada graf
tersebut memenuhi sebuah konstanta tertentu untuk setiap sisi dan titik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
pada graf tersebut, maka dapat dikatakan pelabelan tersebut adalah
pelabelan ajaib. Contohnya saja pada graf Cycle
dibawah ini.
Gambar 1.3 Pelabelan toal ajaib sisi graf Cycle
dengan
=9
Dari gambar 1.1 di atas terlihat bahwa untuk konstanta ajaib pada
graf Cycle
adalah 9, perhatikan bahwa jumlah dari 2 titik dan garis yang
menghubungkan tersebut diberi label sedemikian hingga untuk setiap sisi
pada graf tersebut memiliki jumlah label yang sama yaitu 9. Maka dapat
dikatakan untuk pelabelan graf Cycle
seperti gambar 1.1 di atas adalah
pelabelan sisi ajaib dengan nilai konstanta ajaibnya adalah 9.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Gambar 1.4 Pelabelan total tidak ajaib sisi graf Cycle
Pada gambar 1.2 di atas bukan pelabelan ajaib sisi pada graf
Cycle
, karena bila di evaluasi
,maka pelabelan
untuk gambar 1.2 tersebut bukan pelabelan ajaib sisi.
Berdasarkan hal tersebut, peneliti tertarik untuk meneliti tentang
pelabelan ajaib pada graf Cycle.
B. Batasan masalah
Pada skripsi ini akan membahas graf Cycle
total ajaib sisi dengan konstanta ajaib
dan pelabelan
dengan batas terkecil dan batas
terbesar.
C. Rumusan masalah
Berdasarkan rumusan masalah dan batasan masalah yang sudah
dijabarkan di atas, maka untuk rumusan masalah yang diambil adalah :
1. Apakah pelabelan ajaib sisi berlaku pada graf Cycle?
2. Bagaimana cara memberikan pelabelan terhadap graf Cycle?
3. Bagaimana menentukan nilai konstanta ajaib
pada graf Cycle ?
D. Tujuan penelitian
1.
Mengetahui apakah pelabelan ajaib juga berlaku pada graf Cycle
2.
Mengetahui cara pelabelan ajaib sisi pada graf Cycle
3.
Mengetahui rentang nilai kontanta ajaib
pada graf Cycle
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
E. Manfaat penelitian
1.
Menambah pengetahuan mengenai pelabelan ajaib pada graf
.
2.
Sebagai motivasi mengajarkan kepada anak anak untuk menyukai
pelajaran menghitung.
3.
Mengetahui bahwa terdapat konstanta ajaib pada pelabelan sisi graf
.
4.
Mengetahui aturan untuk memberi pelabelan pada graf
agar
dapat menemukan konstanta ajaib.
F. Metode penelitian
1.
Mengumpulkan beberapa dokumen yang berhubungan dengan
pelabelan ajaib pada graf Cycle.
2.
Membaca dan mempelajari dokumen tersebut.
3.
Menganalisis rentan nilai konstanta ajaib pada graf Cycle.
4.
Mengetahui cara memberi label pada graf Cycle.
5.
Bereksperimen untuk graf Cycle.
6.
Menentukan konstanta ajaib untuk graf Cycle.
7.
Menemukan aturan pelabelan sisi.
G. Sistematika penulisan
BAB 1 : Pendahuluan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Pada bab 1 ini diisikan dengan pendahuluan, batasan masalah,
rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan
metode penelitian.
BAB 2 : Kajian Pustaka
Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi mulai dari graf,
bobot titik, bobot sisi, sampai pelabelan pada graf.
BAB 3 : Pelabelan Total Ajaib pada Graf Cycle
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai cara menentukan
konstanta ajaib
, rentang nilai kontata ajaib .
BAB 4 : Algoritma Pelabelan Total Ajaib pada Graf Cycle
Pada bab 4 ini menjelaskan mengenai algoritma pelabelan total
sisi ajaib pada graf Cycle dengen menggunaka program MATLAB
7.1.
BAB 5 : Penutup
Pada bab 5 ini berisikan kesimpulan dan saran dari hasil
penelitian ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Pengertian Himpunan
Menurut George cantor, himpunan adalah sekelompok objek yang
memiliki kesamaan sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas. Sebagai
contoh :
Himpunan hewan berkaki 4
{
}
Himpunan bilangan asli atau
{
}
Berikut adalah beberapa istilah yang biasanya digunakan dalam himpunan:
Misal
{
} ,
{
1. Himpunan semesta
} , dan
{
} maka :
Himpunan semesta adalah himpunan yang menunjukan semua
anggota, maka dalam kasus di atas himpunan semestanya
adalah
itu sendiri
2. Komplemen
Jika
dengan
{
3. Gabungan
} , maka komplemen dari himunan
{
ditunjukan
}
Gabungan dari himpunan disimbolkan dengan notasi
.San
dalam contoh di atas maka, himpunan A gabungan himpunan B
{
8
}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
4. Irisan
Irisan dari himpunan disimbolkan dengan notasi
. dan
dalam contoh di atas maka , himpunan A irisan himpunan B
{ }
5. Selisih
Selisih dari himpunan disimbolkan dengan notasi
. dan
dalam contoh di atas maka , himpunan A selisih himpunan B
{ }
B. Pengertian Relasi
Misal
dan
silang kartesius
dengan
merupakan himpunan tak kosong. Maka hasil kali
dengan
dan
dan
himpunan semua pasangan
(Bartle, 2010 : Halaman 5).
{
|
}
Relasi itu sendiri dapat dinyatakan menjadi 3, yatu : diagram
panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius.
C. Pengertian Fungsi
Dalam matematika, fungsi merupakan relasi yang bersifat khusus.
Misal
dan
merupakan sebuah himpunan, maka
dikatakan fungsi, untuk setiap
berpasangan dengan tepat satu
(Bartle, 2010 : Halaman 5). Fungsi dibagi menjadi 3, yaitu :
dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
1) Pemetaan Injektif
Misal
merupakan sebuah fungsi, dengan
,
dikatakan sebagai pemetaan injektif atau pemetaan satu-satu jika
memenuhi :
Sebagai contoh, misal
merupakan sebuah fungsi :
2) Pemetaan Surjektif
Misal
merupakan sebuah fungsi, dengan
. dapat
dikatakan sebagai pemetaan surjektif atau pemetaan pada jika
memenuhi :
Sebagai contoh, misal
merupakan sebuah fungsi :
3) Pemetaan Bijektif
Misal
merupakan sebuah fungsi, dengan
. dapat
dikatakan sebagai fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu, bila
fungsi
tersebut memenuhi sifat injektif dan surjektif.
D. Pengertian Graf
Graf merupakan kumpulan atau himpunan dari titik yang kemudian
dihubungkan dengan sebuah garis (Zakira, 2006). Googaire dan Parmenter
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
juga mendefinisikan graf sebagai himpunan pasangan
dimana
merupakan himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen yang
berbeda pada
. Elemen
disebut titik atau vertex dan elemen
sisi atau edge . Jika
maka
dimana
merupakan ujung dari
dan titik
disebut
merupakan himpunan pasangan
dengan
dan
, atau dengan kata lain
masing masing
menghubungkan titik
.
Graf terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik
yang tidak kosong atau dapat disimbolkan dengan notasi
himpunan garis yang dapat disimbolkan dengan notasi
dan
yang
menghubungkan antara 2 titik (Siang, 2002 : Halaman 187). Jadi suatu
graf
adalah pasangan himpunan tak kosong titik atau
dan himpunan
tak kosong garis atau , dan dituliskan G = (V,E) .
Graf terdiri dari himpunan tak kosong titik atau
tak kosong garis atau
ke tepat satu titik
dan setiap sisi pada graf
dan titik
, dengan
dan himpunan
akan dipasangkan
, dan titik x dan titik y
merupakan ujung dari ruas garis e (Van Lith J. H. : Halaman 1) .
𝑣
𝑒
𝑣
𝑒
𝑒
𝑣
𝑒
𝑒
Gambar 2.1 graf
𝑒
𝑣
𝑒6
𝑒
𝑣
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Berikut beberapa definisi yang berhubungan dengan graf ( Munir , 2001)
1.
Gelang atau Loop
Suatu sisi dikatakan memiliki gelang atau loop jika ujung salah
satu sisinya berawal dan berakhir pada titik yang sama (Munir , 2005).
Lihat gambar 2.2 dibawah ini :
𝑒
𝑣
Gambar 2.2 gelang atau loop
2. Rusuk ganda
Suatu graf dikatakan memiliki rusuk ganda bila terdapat sepasang
titik, katakanlah titik
dan
yang menjadi sebuah ujung titik atau
simpul dari 2 buah garis.
𝑒
𝑣
𝑣
𝑒
𝑒
𝑣
𝑒
𝑒
Gambar 2.3 Graf
𝑒6
𝑣
dengan sisi atau rusuk ganda
3. Bertetangga atau Adjacent
Suatu titik pada graf G dikatakan bertetangga apabila pada titik
tersebut terhubung dengan ruas garis atau sisi . sebagai contoh, lihat
gambar 2.1 , pada gambar tersebut
bertetangga dengan
.
bertetangga dengan
,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
4.
Berisian atau Incident
Untuk sebarang sisi pada graf dapat dikatakan bersisian apabila
terdapat sisi
yang memiliki ujung sisi yaitu titik
dan titik
dimana
(Munir, 2001). Dan apabila suatu sisi memiliki ujung yang
sama, maka dapat dikatakan sebagai gelang atau loop .
5.
Lintasan atauPath
Lintasan pada graf G adalah barisan titik atau vertex yang
membentuk sebuah jalur pada graf tersebut. Sebagai contoh, lihat gambar
2.1 , pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa
merupakan sebuah lintasan, sedangkan untuk
merupakan lintasan tertutup.
6.
Lingkaran atau Cycle
Graf lingkaran atau Cycle merupakan graf dengan lintasan tertutup
dan dinotasikan dengan
𝑣
dengan v buah garis atau sisi.
𝑒
𝑒
𝑒
𝑣
𝑣
𝑒
𝑣
Gambar 2.4 Graf Cycle
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Sebagai contoh lihat gambar 2.4, gambar di atas adalah gambar
graf lingkaran atau Cycle
, yaitu graf tertutup dengan lintasan
.
7.
Graf tak berarah
Sebuah graf dikatakan sebagai graf tidak berarah apabila pada ruas
garis atau sisi pada graf tersebut yang menghubungkan antara 2 titik tidak
diberi arah. Sehingga urutan pasangan titik pada graf tersebut tidak
diperhatikan. Sebagai contoh lihat pada gambar 2.4 . pada gambar di atas
terlihat bahwa pasangan titik
dan
sama, karena sisi yang
menghubungkan antara 2 titik tersebut tidak terdapat arah.
8.
Graf berarah
Sebuah graf G dikatakan berarah apabila pada ruas garis atau sisi
yang menghubungkan antara 2 titik tersebut diberi arah. Sehingga
mengakibatkan urutan pasangan titik tersebut juga diperhatikan.
𝑣
𝑒
𝑣
𝑒
𝑒
𝑣
𝑒
Gambar 2.5 Graf Berarah
𝑒
𝑣
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Pada gambar di atas maka terlihat jelas bahwa untuk titik
sebagai titik awal, dan titik
dinotasikan dengan
9.
adalah
sebagai titik terminal, atau dapat
.
Graf berbobot
Suatu graf dikatakan graf berbobot apabila tiap sisi dan titik pada
graf tersebut diberi label. Tiap 1 titik hanya diberikan 1 label dan tiap 1
sisi juga diberikan label, sehingga semua elemen sisi dan titik pada graf
akan memiliki label yang berbeda satu sama lain.
Pada graf berbobot ini, terdapat 2 jenis yaitu bobot titik dan bobot
sisi. Untuk bobot titik dengan menghitung :
∑
Dimana
dan
. Dan untuk bobot sisi dengan
menghitung
Dimana
(
)
dan
.
(
)
( )
Masing masing dari bobot titik dan bobot sisi tersebut memiliki
keunikan tersendiri, yaitu memiliki nilai yang sama apa bila menghitung
bobot sisi atau bobot titik pada graf tersebut. Dan keunikan ini yang
dinamakan dengan pelabelan ajaib.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Untuk bobot titik, maka dinamakan dengan pelabelan ajaib pada
titik graf , dan untuk bobot sisi, maka dinamakan dengan pelabelan ajaib
pada graf.
10.
Bobot Titik
Bobot titik merupakan jumlah dari label yang diperoleh dari titik
dengan menjumlahkan semua ruas sisi yang memiliki ujung titik
yang sama dengan
( Stewart , 1966) , sehingga dapat dinotasikan
dengan :
∑
11.
Bobot Sisi
Bobot sisi merupakan jumlah dari label yang diperoleh dengan
menjumlahkan label yang terdapat pada 2 buah titik yang bertetangga yang
dihubungkan dengan label ruas garis yang menghubungkan kedua titik
tersebut ( Stewart , 1966 ) .sehingga dapat dinotasikan dengan :
E. Pelabelan Graf
Pelabelan graf pada titik dan sisi dengan memetakan setiap elemen
titik dan sisi ke tepat satu label. Sehingga banyak label yang diperlukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
untuk memberikan label pada tiap titik dan sisi pada graf yang mungkin
akan ada sebanyak {
| |
| |} .
Pelabelan graf apabila di evaluasi, maka akan ada yang namanya
bobot titik dan bobot sisi (Walis, W. D. 2001) . Misal
fungsi dengan
{
disimbolkan dengan
. Misal
himpunan dengan
| |
| |} dan
merupakan sebuah
merupakan sebuah
, sehingga untuk bobot titik dan bobot sisi
dan
merupakan sisi pada graf
yang salah satu ujung dari sisi tersebut adalah titik
, sehingga untuk
bobot titik diperoleh :
∑
Misal untuk
dan
tersebut adalah titik
dan titik
(
(
)
dengan ujung dari sisi
, sehingga untuk bobot sisi diperoleh :
)
(
)
Berdasarkan bobot titik dan bobot sisi, maka pelabelan graf dibagi
menjadi :
1. Pelabelan tidak ajaib
Suatu graf dikatakan tidak memiliki pelabelan ajaib jika
label pada titik dan label pada garis graf tersebut dievaluasi
dengan menggunakan bobot titik atau bobot sisi tidak memiliki
nilai konstanta yang sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
2. Pelabelan ajaib
Suatu graf dapat dikatakan memiliki pelabelan ajaib jika
label tidak titik dan tiap sisinya di evaluasi dengan bobot sisi
maupun dengan bobot titik, akan memiliki nilai yang sama.
Berdasarkan pelabelan ajaib pada graf, maka pelabelan ajaib pada
graf dibagi menjadi 3, yaitu :
1.
Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf
Pelabelan ajaib pada sisi graf ini dengan memulai pelabelannya
terhadap tiap titik pada graf tersebut, dengan syarat dan ketentuan
tertentu sedemikian hingga tiap titik pada graf tersebut memiliki label
yang tepat untuk menentukan nilai kontanta ajaib , dan kemudian
dilanjutkan dengan memberi label pada sisi graf dengan cara
untuk setiap
yang sudah dibeli label.
Gambar 2.6 Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle
2.
Pelabelan Total Ajaib Titik Pada Graf
Pelabelan ajaib pada
titik graf
ini
dengan memulai
pelabelannya terhadap sisi graf tersebut, dengan syarat dan ketentuan
tertentu sedemikian hingga tiap sisi pada graf tersebut memiliki label
yang tepat untuk menentukan nilai kontanta ajaib, kemudian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
dilanjutkan dengan memberi label pada tiap titik pada graf tersebut
dengan cara
∑
untuk setiap
yang sudah diberi label.
Gambar 2.7 Pelabelan total ajaib titik graf roda
3.
Pelabelan Total Pada Graf
Pelabelan total pada graf ini adalah pelabelan dengan memberi
pelabelannya langsung terhadap sisi dan titik pada graf tersebut,
namun dengan syarat dan ketentuan tertentu sedemikian hingga pada
graf tersebut bila dievaluasi dengan menggunakan bobot titik dan
bobot sisi akan memiliki nilai yang masing masing sama.
Gambar 2.8 Pelabelan total ajaib
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYLE
A.
Perhitungan Dasar Pelabelan Total
Karena pada graf
Cycle
, banyaknya elemen titik sama
dengan banyaknya elemen sisi, misal | | menyatakan banyaknya
elemen titik dan | | menyatakan banyaknya elemen sisi, sehingga
| |
| |
dengan
.
Berdasarkan defisini, pelabelan total sisi pada graf
merupakan
{
titik dan
sebuah
}
fungsi
bijektif
, dengan
. Karena pada graf
memiliki
buah sisi, sehingga untuk
buah
dan
, maka konstanta ajaib pada graf
tersebut dapat dicari dengan :
(3.1)
Dengan
adalah konstanta ajaib pada graf
untuk setiap garis
dan
dan pada sisi
dikatakan bahwa
merupakan konstanta ajaib dari graf
tersebut,
. maka dapat
tersebut (W.
D. Wallis : hal 17).
Karena graf
memiliki
buah titik dan
buah sisi yang sama
banyak, maka banyaknya label yang diperlukan untuk memberi label
pada
dan
akan ada sebanyak
20
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Gambar 3.1 Graf Cycle
Misal
adalah total label titik, dan
dan pada graf Cycle
adalah total label sisi,
, perhitungan label titik dihitung 2 kali,
sedangkan label sisi di hituung 1 kali, sehingga:
Karena pada graf Cycle memiliki
buah titik dan
buah sisi,
maka
∑
(3.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Karena pada pelabelan graf
, jumlah nilai untuk label
titiknya juga terbatas, misalkan saja
adalah himpunan terbatas dengan
{
} untuk label titiknya, dan
adalah jumlah dari semua
label titik pada graf tersebut.
Misal untuk titik 1 sampai titik
diberi label dengan
bilangan
asli pertama, maka jumlah label titik tersebut :
∑
Kemudian bisa juga untuk label titiknya diberikan label dengan
label
sampai
, sehingga untuk label
:
∑
Karena
dapat diberi label
bilangan asli pertama, maka
akan memiliki jumlah label titik yang terkecil dari pada dengan label
sampai
. Sehingga
akan berada pada interval :
∑
Bila
∑
merupakan label untuk titik di graf
merupakan label sisi pada graf
, dan
, maka dengan dualitas
graf, dapat dibuat sebuah pelabelan baru dengan aturan :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
B.
Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle
Graf Cycle
adalah graf reguler dengan derajat 2, sehingga
banyak titik dan garis nya sama.
1. Batas jumlah label titik atau
Karena
Cycle
adalah jumlah semua label titiknya, dan pada graf
banykanya titik dan sisi sama.
maka dengan menggunakan jumlahan notasi sigma, batas
menjadi :
∑
∑
Sehingga diperolehlah batas untuk jumlah total label titik pada
graf Cycle
dengan batas jumlah titiknya diantara :
Dengan
(3.4)
2. Batas nilai konstanta ajaib
Karena
terbatas, maka untuk konstanta ajaib nya juga
terbatas, karena konstanta ajaib
titik atau
pada graf Cylce
diperolehlah :
dipengaruhi oleh batas jumlah label
. dan berdasarkan persamaan (3.2) maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Subtitusikan
kedalam pertidaksamaan (3.4)
Ketiga ruas dibagi dengan
, sehingga diperoleh
Dan untuk batas konstanta ajaib
genap juga berbeda, untuk batas
pada graf Cycle dengan
∑
∑
pada graf Cycle dengan
genap :
∑
Sehingga diperolehlah batas untuk jumlah total label titik pada
graf Cycle dengan
genap :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Dengan
(3.6)
Kemudian dengan cara
yang sama, subtitusikan
pada persamaan (3.6) sehingga diperolehlah batas
ajaib pada graf Cycle dengan
genap
(3.7)
Sehingga sekarang diperolehlah batas atas dan batas bawah
untuk konstanta ajaib
pada graf Cycle dengan masing masing untuk
ganjil dan genap. Untuk batas konstanta ajaib
pada
ganjil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
. Dan untuk batas konstanta ajaib
pada
genap yaitu
.
C.
Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle
Pada pelabelan total sisi ajaib pada graf
cara untuk menentukan konstanta ajaib
ini ada banyak
. Dari pertidaksamaan di atas,
dapat dilihat bahwa untuk konstanta ajaib
memiliki batas atas dan
batas bawah, namun tidak selalu untuk setiap
yang berada diantara
batas bawah dan batas atas tersebut selalu terdapat konstanta ajaib
Kontanta ajaib
pada graf Cycle memiliki
ajaib, maka dari itu konstanta ajaib
.
buah kontanta
dapat diperoleh dari persamaan
(3.2) menjadi :
(3.8)
1.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle ganjil
Untuk jumlah label titik pada graf Cycle dengan
titik nya
ganjil, label
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
, sehingga diperolehlah
Misal
, maka
Karena
subtitusikan
ke persamaan (3.8).
(
Karena
)
, maka
. kemudian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Untuk
ganjil dengan
ditentukan konstanta ajaib
, maka dapat
.
Untuk jumlah label titik pada graf Cycle dengan
genap, maka
diperolehlah :
Misal
Karena
subtitusikan
, sehingga diperolehlah
, maka
ke persamaan (3.8).
. kemudian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
(3.9)
2.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap
Untuk konstanta ajaib
, maka
pada graf Cycle dengan
. kemudian subtitusikan kedalam persamaan
(3.9) sehingga diperolehlah
Untuk
genap dengan
ditentukan konstanta ajaib
3.
, maka dapat
.
Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap
Untuk konstanta ajaib
maka
pada graf Cycle dengan
.
kemudian
persamaan (3.9) sehingga diperolehlah :
subtitusikan
,
kedalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Untuk
genap dengan
ditentukan konstanta ajaib
.
, maka dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI GRAF
CYCLE
Pada pelabelan total sisi ajaib graf Cycle, label yang diberikan
untuk tiap titik dan sisi graf Cycle
{
| |
akan ada sebanyak
| |}, dengan aturan tertentu yang membuat jumlah tiap
total tiap titik pada graf Cycle mempengaruhi untuk nilai k ajaib, dimana k
merupakan konstanta ajaib dengan menjumlahkan
( )
dan
, dimana
( ) masing masing merupakan label titik
merupakan label sisi.
pada graf Cycle dan
A. Proses pelabelan pada graf Cycle
Pada pelabelan ini, tiap titik dan tiap sisi dinotasikan sendiri
dengan
dan , dengan
dan
akan ada sebanyak
simbol yang akan digunakan pada pelabelan graf Cycle
Simbol
. berikut simbol
.
Keterangan
Label titik pada graf Cycle yang dimulai dari
,
,
...... ,
Label sisi pada graf Cycle yang dimulai dari
, ...... ,
31
,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Konstanta ajaib pada graf Cycle
Matrik yang berisikan hasil dari label yang sudah diperoleh
Matrik berukuran
yang berisikan bilangan noll yang
yang akan digunakan untuk membuat label titik
Matrik berukuran
yang berisikan bilangan noll yang
yang akan digunakan untuk label titik
Matrik berukuran
yang berisikan bilangan noll yang
yang akan digunakan untuk membuat label sisi
B. Diagram alur pelabelan pada graf Cycle
Dalam memangun sebuah program untuk algoritma ini, diperlukan
sebuah rancangan terlebih dahulu untuk memulainya, dengan mula mula
merancang program tersebut dengan menggambar diagram
flowcart,
kemudian membuat sebuah algoritma dari diagram flowcart tersebut, dan
yang terakhir adalah membahasakan kembali program tersebut kedalam
bahasa pemrograman MATLAB 7.1 .
Berikut adalah diagram flowcart alur pelabelan graf. Dan pada
diagram tersebut dibagi menjadi beberapa bagian, yaitu input, proces,
output.
32
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Gambar 4.1 Diagram flowcart
Dalam diagram flowcart diatas, pelabelan menjadi 3 bagian, yaitu
bagian input, proses, dan output.
1.
Bagian input
Pada bagian input ini, diawali dengan memasukan banyak titik
yang diinginkan, dalam hal ini banyak nilai
dengan syarat
.
setelah memasukan nilai v, maka akan program akan membaca nilai
apakah nilai
memenuhi syarat
, apabila nilai
sudah
memenuhi makan langkah selanjutnya program akan membaca apakah
nilai
tersebut
. dan apabila nilai
atau
atau
tidak memenuhi maka langkah
selanjutnya program akan mengulangi dengan memasukan nilai v
kembali.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Gambar 4.2 Diagram flowcart 2
2.
Bagian proses
Setelah program membaca nilai v, maka langkah selanjutnya
adalah bagian proses. Berdasarkan diagram flowcart diatas terbagi
menjadi 3 bagian yang terdiri dari
,
. Pada pelabelan ini, matrik
,
yang berukuran
akan digunakan untuk penomoran pada graf cycle, dan matrik
berukuran
dan matrik
yang
akan digunakan untuk label tiap titik pada graf cycle,
yang berukuran
akan digunakan untuk label tiap
sisi pada graf cycle
a.
Pada bagian ini, program akan membaca
sebagai nilai
ganjil. mula mula pelabelan dari titik pertama sampai titik
berselisih 2, kemudian untuk label titik tersebut diberi label mulai
dari 1 sampai
. selanjutnya untuk label selanjutnya dimulai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
dari titik ke 2 sampai titik
dengan selisih 2, kemudian untuk
label titik tersebut, dengan membalik matrik V terlebih dahulu,
dan kemudian diberikan label dari
sampai
, setelah itu
matrik V tersebut dibalik kembali.
Gambar 4.3 Diagram Flowcart 3
Karena akan dibuat pelabelan dengan
ajaib terkecil,
sehingga untuk label sisi pada graf cycle dengan mengurangkan
dengan 2 label titik nya,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Gambar 4.4 Diagram folwcart 4
Dan setelah mendapatkan nilai V dan E, kemudian
dibuatlah pelabelan baru dengan
ajaib terbesarnya, yaitu dengan
menggunakan Duallity
Gambar 4.5 Diagram flowcart 5
b.
Pada bagian ini, program akan membaca v sebagai
kelipatan 4. matrik
di isikan pelabelan dari titik 1 sampai
dengan selisih 2 , dan kemudian dilanjutkan dengan pelabelan
pada matrik
yang dimulai dari
sampai dengan selisih 2
.Kemudian pelabelan dilanjutkan dari titik 4 sampai
selisih 2 , lalu dilanjutkan lagi dari titik
6
selisih 2 . Untuk pelabelan pada titik 2 dengan
dengan
sampai v-1 dengan
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Gambar 4.6 Diagram flowcart 6
Kemudian cara untuk memberi label pada tiap sisi nya
juga sama dengan mencari label sisi pada
mengurangkan
ganjil, yaitu dengan
ajaib dengan 2 titik ujung sisi tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Gambar 4.7 Diagram flowcart 7
Dan setelah mendapatkan nilai V dan E, kemudian
dibuatlah pelabelan baru dengan
ajaib terbesarnya, yaitu dengan
menggunakan Duallity
Gambar 4. 8 Diagram flowcart 8
c.
Pada bagian ini, program akan membaca nilai
nilai genap yang selain bilangan kelipatan 4. matrik
pelabelan dari titik 1 sampai
diteruskan pada titik
matrik
di isikan
dengan selisih 2 , dan kemudian
,dilanjutkan dengan pelabelan pada
yang dimulai dari
di lanjutkan pada titik
sebagai
sampai -1 dengan selisih 2 , dan
. pelabelan dilanjutkan dari titik 4 sampai
dengan selisih 2 , lalu dilanjutkan lagi dari titik
6
v-2 dengan selisih 2 . Untuk pelabelan pada titik 2 dengan
sampai
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Gambar 4.9 Diagram flowcart 9
Kemudian untuk label sisinya juga menggunakan cara
yang sama, yaitu dengan mengurangkan nilai
titik pada ujung sisi tersebut.
ajaib dengan 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 4.10 Diagram flolwcart 10
Dan setelah mendapatkan nilai V dan E, kemudian
dibuatlah pelabelan baru dengan
ajaib terbesarnya, yaitu dengan
menggunakan Duallity.
Gambar 4.11 Diagram flowcart 11
3.
Bagian output
Setelah selesai dengan pelabelan di atas, kemudian dapat
dilakukan pelabelan kembali dengan cara setiap label pada titik
ditambah dengan dengan konstanta sehingga memperoleh nilai
ajaib
yang baru.
Setelah mendapatkan label titik dan label sisi dari bagian proses,
maka
langkah
selanjutnya
menampilkan matrik
dengan
adalah
bagian
outoutnya,
yaitu
yang berisikan
. .
merupakan nomor bagi titik pada graf cycle dengan
penomorannya berlawanan jarum jam.
dan
merupakan berturut
turut adalah label titik dan label sisi pada 1 graf yang sama, dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
dan
merupakan label titik dan label sisi yang baru pada graf yang
berbeda.
Gambar 4.12 Diagram flowcart 12
C. Deskripsi
AlgoritmaPelabelan
Total
Sisi
Ajaib
Menggunakan
MATLAB 7.1
1. Bagian input
Langkah 1
: Masukkan nilai
Langkah 2
: Membaca nilai
Jika
maka ulangi langkah 1
Langkah 3
: Menampilkan matrik
2. Bagian proses
berisikan bilangan noll [
dan matrik
yang
] sebanyak
a.) Bagian
Langkah 1
: Membuat penomoran pada matrik
dari 1 sampai
dengan selisih 2
Langkah 2
: Membuat label berdasarkan nomor yang telah
dibuat pada matrik
pada matrik
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Langkah 3
: Mebuat matrik
matrik
dengan isian nomor 2 dan
dengan label yang sesuai dengan isian
matrik A yang baru
Langkah 4
: Membuat matrik
dengan penomoran lagi mulai
dari nomor 4 sampai dengan selisih 2
Langkah 5
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
Langkah 6
yaitu dengan
: Membuat matrik
sampai
dari nomor
Langkah 7
yaitu dengan
: Membuat matrik
dari nomor
Lngkah 9
dengan selisih 2
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
Langkah 8
dengan penomoran lagi mulai
6
dengan penomoran lagi mulai
sampai
dengan selisih 2
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
yaitu dengan
Langkah 10
: Membuat
ajaib terkecilnya dengan
Langkah 11
: Membuat label sisi dengan
Langkah 12
:Membuat pelabelan titik yang baru dengan
dan pelabelan sisi yang baru dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Langkah 13
:Membuat pelabelan baru dengan langkah 1 sampai
langkah 12 dengan setiap
{
b.) Bagian
Langkah 1
: Membuat penomoran pada matrik
dari 1 sampai
dengan selisih 2
Langkah 2
: Membuat label berdasarlan nomor yang telah
dibuat pada matrik
Langkah 3
pada matrik
: Mebuat matrik
dengan
dengan isian nomor 2 dan matrik
dengan label yang sesuai dengan isian matrik A
yang baru
Langkah 4
: Mebuat matrik
dengan isian nomor
dan matrik
dengan label yang sesuai dengan isian matrik A
yang baru
Langkah 5
: Mebuat matrik
matrik
Langkah 6
dengan isian nomor
dan
dengan label yang sesuai dengan isian
matrik A yang baru
6
: Membuat matrik
dengan penomoran lagi mulai
dari nomor 4 sampai
dengan selisih 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Langkah 7
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
Langkah 8
yaitu dengan
: Membuat matrik
dari nomor
Langkah 9
dengan selisih 2
yaitu dengan
: Membuat matrik
dari nomor
Langkah 11
sampai
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
Langkah 10
dengan penomoran lagi mulai
6
dengan penomoran lagi mulai
sampai
dengan selisih 2
: Membuat label baru yang sesuai dengan matrik
pada matrik
yaitu dengan
Langkah 12
: Membuat
ajaib terkecilnya dengan
Langkah 13
: Membuat label sisi dengan
Langkah 14
: Membuat pelabelan titik yang baru dengan
dan pelabelan sisi yang baru dengan
Langkah 15
:Membuat pelabelan baru dengan langkah 1 sampai
langkah 14 dengan setiap
{
c.) Bagian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Langkah 1
: Membuat matrik
berisikan nomor dari 1 sampai
dengan berselisih 2
Langkah 2
: Membuat label yang sesuai dengan matrik
matrik
Langkah 3
pada
dengan
: Membuat matrik
penomoran lagi dari 2 sampai
dengan selisih 2
Langkah 4
: Balik terlebih dahulu matrik
sebelum melukukan
pelabelan terhadap matrik
Langkah 5
: Membuat label yang sesuai dengan matrik
matrk
pada