PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM.

(1)

PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM

Oleh :

Johan Wijaya Simangunsong NIM. 4103230017 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN 2015

(2)

(3)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk setiap berkat dan anugerah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul “Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen yang Diperumum”. Disusun untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan Situmorang, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

2. Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika serta Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA UNIMED.

3. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik. 4. Bapak Mulyono, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah

banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan dan saran kepada penulis.

5. Bapak Drs. Zul Amry, M.Si, Ph.D., Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., dan Bapak Said Iskandar Al Idrus, S.Si, M.Si., selaku Dosen Penguji yang telah banyak memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.

6. Bapak Drs. Banu Susanto, M.Si selaku Kassubag Tata Usaha Perpustakaan Universitas Negeri Medan yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian atau observasi di UPT Perpustakaan Universitas Negeri Medan dan membantu penulis selama penelitian berlangsung

7. Teristimewa buat Orangtuaku tercinta (Ayahanda A. Simangunsong dan Ibunda M. Simanjuntak) yang telah memberikan kasih sayang yang tak

(4)

ternilai yang selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam segala hal, juga untuk saudara-saudaraku (Abangku Sintong Wijaya Simangunsong, Adik-adikku: Aldo Wijaya Simangunsong, Putri Ayu Simangunsong, Aldi Wijaya Simangunsong), atas semua dukungan dan doanya.

8. Teman hidup Lerin Riwanti Sitohang S.Pd yang memberikan dukungan doa dan motivasi.

9. Kakak Chusnul Noeriansyah Poetri yang membantu dalam proses pengerjaan skripsi.

10. Sahabat-sahabatku: BUNCIL (Jhon Barnes, Ismael, Tornados, Ebenezer, Erisfan, Juneidi, David, Tommy), KEONG (Anggi, Marixson, Marcell, Roiman, Aam), Kos Metro (Roy, Herman, Parlin, Andi, Alberto, Bene) yang telah memberikan semangat, saran dan bantuan serta teman-teman seperjuangan Matematika NonDik’10 atas kebersamaan selama perkuliahan dan penyusunan skripsi ini (Ade, Fauziah, Maria Situmorang, Friska, Rikky, Wani, Sari, Yohana, dan yang lainnya yang tidak disebutkan).

Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyusunan skripsi ini, maupun penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari segi isi maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan di masa datang.

Medan, Juni 2015 Penulis

Johan W Simangunsong NIM. 4103230017

(5)

iii

Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen yang Diperumum

Johan Wijaya Simangunsong 4103230017

Matematika

ABSTRAK

Misalkan G adalah sebuah graf dengan himpunan titik � =� � dan himpunan sisi � =�(�). Suatu pelabelan total titik ajaib (vertex-magic total labeling) pada graf �(�,�) adalah pemetaan bijektif � dari � ∪ � ke himpunan bilangan integer {1,2,3,…,�+�} sedemikian sehingga terdapat bilangan bulat positif � yang memenuhi �( ) +��( ) =� untuk setiap , ∈ �. Selanjutnya � disebut konstanta ajaib pada G dan G disebut graf total titik ajaib. Hasil kajian menyatakan bahwa untuk graf Petersen 4� , memiliki bilangan konstanta ajaib � = 39 + 2 untuk Teorema 4.1.1(a) dan � = 40 + 2 untuk Teorema 4.1.1(b), untuk graf Petersen 5�( , ) memiliki bilangan konstanta ajaib �= 49 + 2 untuk Teorema 4.2.1(a) dan � = 50 + 2 Teorema 4.2.1(b) dan untuk graf Petersen 6�( , ) memiliki bilangan konstanta ajaib � = 59 + 2 untuk Teorema 4.3.1(a) dan �= 60 + 2 Teorema 4.3.1(b). Sehingga graf Petersen ��( , ) untuk 4≤ � ≤ 6 dapat dikenakan pelabelan total titik ajaib.

(6)

DAFTAR ISI

Halaman

Lembar Pengesahan i

Daftar Riwayat Hidup ii

Abstrak iii

Kata Pengantar iv

Daftar Isi vi

Daftar Gambar ix

Daftar Tabel xi

BAB I. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah 1

1.2 Rumusan Masalah 4

1.3 Pembatasan Masalah 4

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 5

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 6

2.1 Konsep Dasar Graf 6

2.1.1 Pengertian Graf 6

2.1.2 Karakteristik Graf 7

2.1.3 Keterhubungan dan Insidensi 8

2.1.4 Derajat Titik 9

2.1.5 Walk, Trail, Path, Cycle 9

2.1.6 Graf Terhubung dan Graf tidak Terhubung 10

2.2 Jenis-jenis Graf 11

2.2.1 Graf Lengkap 11

2.2.2 Graf Teratur 11

(7)

vii

2.3 Graf Sederhana Khusus 13

2.4 Representasi Graf dalam Bentuk Matriks 14

2.5 Operasi pada Graf 16

2.6 Pemetaan 16

2.7 Persegi Ajaib 17

2.7.1 Dekomposisi Persegi Latin 19

2.8 Pelabelan Graf 22

2.8.1 Jenis-jenis Pelabelan Graf 22

2.9 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen tP(n,m) untuk 1≤ � ≤ 3 25 2.9.1 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen P(n,m) 25 2.9.2 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 2P(n,m) 27 2.9.3 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 3P(n,m) 29

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 32

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian 32

3.2 Jenis Penelitian 32

3.3 Langkah-langkah Penelitian 32

BAB IV. PEMBAHASAN 34

4.1 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 4�( , ) 34 4.1.1 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 4�(6,2) 34 4.1.2 Hasil Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 4�(6,2) 64 4.2 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 5�( , ) 67 4.2.1 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 5�(6,2) 67 4.2.2 Hasil Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 5�(6,2) 102 4.3 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 6�( , ) 104 4.3.1 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 6�(6,2) 104 4.3.2 Hasil Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 6�(6,2) 146

(8)

viii

BAB V. PENUTUP 150

5.1 Kesimpulan 150

5.2 Saran 150

DAFTAR PUSTAKA 151

(9)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Beberapa Contoh Graf 6

Gambar 2.2 Karakteristik Graf 8

Gambar 2.3 Keterhubungan dan Insidensi 8

Gambar 2.4 Graf G 10

Gambar 2.5 Graf Terhubung dan tidak terhubung 10

Gambar 2.6 Graf Lengkap 11

Gambar 2.7 Graf Teratur (Regular Graph) 12

Gambar 2.8 Contoh Graf Isomorfik 12

Gambar 2.9 Graf Petersen P(5,2) 13

Gambar 2.10 Gabungan Dua Graf 16

Gambar 2.11 Graf Pelabelan Titik 23

Gambar 2.12 Graf Pelabelan Sisi 23

Gambar 2.13 Graf Pelabelan Total 24

Gambar 2.14 Graf Pelabelan Total Titik Ajaib 24

Gambar 2.15 Graf Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen �(5,2) 26 Gambar 2.16 Graf Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen �(6,2) 26 Gambar 2.17 Graf Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen �(5,2) 27 Gambar 2.18 Graf Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen �(6,2) 27 Gambar 2.19 Graf Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 2�(5,2) 28 Gambar 2.20 Graf Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 3�(6,2) 29 Gambar 2.21 Graf Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 3�(6,2) 31 Gambar 3.1 Langkah-langkah Alur Pengerjaan Pembahasan 33 Gambar 4.1 Cara Pelabelan Titik Luar pada Graf Petersen 4�(6,2) 35 Gambar 4.2 Cara Pelabelan Titik Luar dan Titik Dalam pada Graf Petersen

4�(6,2) 36

Gambar 4.3 Cara Pelabelan Titik Luar, Titik Dalam dan Sisi Luar pada Graf

(10)

Gambar 4.4 Cara Pelabelan Titik Luar, Titik Dalam dan Sisi Luar yang Menghubungkan Titik Luar dan Titik Dalam pada Graf Petersen

4�(6,2) 39

Gambar 4.5 Pelabelan Total Ajaib pada Graf Petersen 4�(6,2) 39 Gambar 4.6 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 4�(6,2) dengan

� = 39�+ 2 ₆₅

Gambar 4.7 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 4�(6,2) dengan

� = 40�+ 2 ₆₆

Gambar 4.8 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 5�(6,2) dengan

� = 49�+ 2 ₁₀₂

Gambar 4.9 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 5�(6,2) dengan

� = 50�+ 2 ₁₀₃

Gambar 4.10 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 6�(6,2) dengan

� = 59�+ 2 ₁₄₇

Gambar 4.11 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen 6�(6,2) dengan

(11)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2.1 Persegi ajaib dekomposisi latin order 3 20

Tabel 2.2 Persegi ajaib order 3 20

Tabel 2.3 Persegi ajaib dekomposisi latin order 4 21

(12)

1 BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang Masalah

Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Saat itu dia memikirkan untuk menyeberangi semua jembatan di kota Kaliningrad, Rusia, tepat satu kali dan kembali ketempat semula. Publikasi atas permasalahan ini dikenal dengan teori graf. Graf merupakan pasangan himpunan titik dan himpunan sisi. Pengaitan titik-titik pada graf membentuk sisi dan dapat direpresentasikan pada gambar sehingga membentuk pola graf tertentu. Pola-pola yang terbentuk didefinisikan dan dikelompokkan menjadi kelas-kelas graf. Beberapa kelas graf menurut banyaknya sisi yang insiden terhadap titik antara lain graf reguler, yang derajat setiap titiknya adalah sama dan graf irreguler, yang derajat setiap titiknya ada yang tidak sama.

Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan asli yang disebut label. Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan oleh Sadlàck (1964), kemudian Stewart (1966), Kotzig dan Rosa (1970). Pelabelan merupakan pemetaan injektif yang memetakan unsur himpunan titik dan atau unsur himpunan sisi ke bilangan asli yang disebut label. Pelabelan titik adalah pelabelan dengan domain himpunan titik, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan himpunan titik dan himpunan sisi.

Hingga kini dikenal beberapa jenis pelabelan pada graf, antara lain pelabelan gracefull, pelabelan harmoni, pelabelan total tak beraturan, pelabelan ajaib, dan pelabelan anti ajaib. Dalam pengembangan pelabelan ajaib, dikenal pula pelabelan total titik-ajaib, pelabelan total titik ajaib super, pelabelan total sisi-ajaib, dan pelabelan total sisi-ajaib super. Hingga saat ini pemanfaatan teori pelabelan graf sangat dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan transportasi, navigasi geografis, radar, penyimpanan data komputer, dan desain integrated circuit pada komponen elektronik.

(13)

2 Pada sistem pengaturan frekuensi radio, permintaan yang besar atas pelayanan wireless dan terbatasnya frekuensi yang tersedia memerlukan penggunaan yang efisien. Masalah yang muncul adalah bagaimana agar gelombang sinyal yang digunakan dapat efisien dan tidak terjadi interferensi. Topik pengoptimalan label pada graf sedemikian hingga membuat setiap bobot titiknya berbeda, dipelajari melalui Total Vertex Strenght (TVS), pada sistem pengaturan frekuensi radio, tvs dapat berupa jarak terkecil yang memungkinkan dua pemancar untuk melakukan transmisi data tanpa mengalami interferensi. Salah satu graf yang dapat diaplikasikan pada sistem pengaturan frekuensi radio adalah generalisasi graf petersen.

Terdapat beberapa macam graf yang dapat dikaji untuk dikenai pelabelan total titik ajaib, dalam penulisan skripsi ini graf dipilih adalah graf Petersen. Ini dikarenakan Graf Petersen merupakan graf lengkap yang saling isomorfik dan tidak terhubung sehingga lebih mudah dalam melakukan pelabelan. Graf Petersen juga merupakan graf yang telah diperumum dan dinyatakan sebagai �( , ) dengan nilai menyatakan banyaknya simpul luar (sama dengan banyak simpul dalam) dan nilai menyatakan lompatan busur dalam, dimana 3 �

1 −1

2 dan merupakan graf yang terdiri dari himpunan titik dan

himpunan sisi. Graf Petersen yang diperumum pertama kali di definisikan oleh Watkins, dengan memuat sebanyak � buah graf Petersen yang dapat dinyatakan dengan ��( , ) yang mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi.

Terdapat beberapa pembahasan kajian skripsi yang pernah dilakukan oleh peneliti sebelumnya yaitu mengenai pelabelan titik ajaib pada graf yaitu Pelabelan Total Titik Ajaib (Magic Labeling) pada Gabungan Dua Generalisasi Graf Petersen oleh Ambarini (2005) yang menyimpulkan bahwa pelabelan total titik ajaib pada gabungan graf Petersen dapat di definisikan sebagai pemberian label sisi dan titik pada generalisasi graph Petersen �( , ) dengan angka-angka 1,2, …, 5n sehingga jumlah label sebuah titik dan label-label sisi yang terkait pada titik tersebut adalah sama.

Penelitian lain oleh Novi (2010), Pelabelan Total Titik Ajaib pada Complete Graph mendapatkan hasil kajian yaitu untuk melakukan pelabelan total titik ajaib pada complete graph � untuk ganjil dan genap menggunakan

(14)

3 algoritma yang disusun dari algoritma penyusunan persegi ajaib yang dimodifikasi. Sedangkan Gesti (2005), Pelabelan Total Titik Ajaib pada Gabungan Dua Graf Dua Partisi Lengkap yang mendapatkan hasil bahwa untuk melakukan pelabelan total titik ajaib pada gabungan dua graph dua partisi lengkap digunakan suatu rumus atau pola pelabelan dengan langkah-langkah proses pelabelannya, yaitu dengan mencari interval nilai konstanta.

Penelitian mengenai pelabelan total titik ajaib dilakukan oleh Ni’mah (2010), Pelabelan Total Titik Tak Beraturan pada Gabungan Dua Graf �2, atau (2�2, ) yang menyatakan bahwa untuk setiap titik graf 2 K2,n dimana 4, bentuk umum dari nilai bobotnya berbeda sehingga mengakibatkan nilai bobot masing-masing juga berbeda.

Penelitian mengenai graf Petersen telah dikaji sebelumnya oleh Willy (2011), Graf Petersen dan Beberapa Sifat-sifat yang Berkaitan (Petersen Graph and Some Related Properties) mendapatkan hasil bahwa graf Petersen tidak Eulerian, graf Petersen tidak planar, graf Petersen tidak terfaktor-1, himpunan automorfisma graf Petersen isomorfik dengan grup simetrik berelemen lima, graf Petersen transitif-titik, graf Petersen transitif-garis, graf Petersen merupakan komplemen graf garis dari graf lengkap orde 5, graf Petersen bukan graf bipartif, graf Petersen tidak hamiltonian, graf Petersen merupakan graf hipohamiltonian terkecil dengan sepuluh titik.

Penelitian lain yaitu Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen Irma (2010) dengan hasil yang menyatakan bahwa untuk 3� 1 −1

2 ,

3 buah graf Petersen yang diperumum 3�( , ) mempunyai pelabelan total titik ajaib dengan konstanta ajaib �= 29 + 2. Untuk 3 � 1 −1

2 , 3

buah graf Petersen yang diperumum 3�( , ) mempunyai pelabelan total titik ajaib dengan konstanta ajaib � = 30 + 2. Berdasarkan penelitian-penelitian tersebut maka dalam kajian ini akan membahas “Pelabelan Total Titik Ajaib Pada Graf Petersen Yang Diperumum (��( , )) untuk � � �”, dimana perbedaannya terletak pada banyaknya � pada graf Petersen dan bentuk konsatanta ajaib pada setiap � graf Petersen sehingga pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen ��( , ) untuk 4 � 6 dapat terpenuhi.

(15)

4 1.2.Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas maka muncul beberapa permasalahan yang akan dikaji lebih lanjut. Permasalahan-permasalahan yang muncul akan menjadi acuan untuk melakukan penelitian dan memfokuskan masalah yang akan diteliti. Sebelum melakukan penelitian seorang peneliti harus menentukan rumusan masalah terlebih dahulu. Hal ini bertujuan agar penelitian yang akan dilakukan sesuai dengan latar belakang. Adapun rumusan masalahnya adalah sebagai berikut:

a. Bagaimana menentukan nilai konstanta ajaib pada graf Petersen ��( , ) untuk 4 � 6 ?

b. Bagaimana bentuk pola untuk pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen ��( , ) untuk 4 � 6 ?

1.3.Pembatasan Masalah

Graf yang akan dikaji merupakan graf Petersen, sedangkan graf Petersen merupakan generalisasi graf yang saling isomorfik dan tidak terhubung maka batasan masalah yang diberikan adalah:

a. Jenis pelabelan yang dijadikan pokok pembahasan dalam pada skripsi ini adalah pelabelan total titik ajaib (vertex-magic total labeling).

b. Pembahasan yang dilakukan banyaknya � pada graf Petersen sehingga pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen ��( , ) untuk 4 � 6 . c. Graf petersen yang digunakan graf �(6,2).

d. Pembahasan yang dilakukan agar dapat menemukan nilai konstanta ajaib dan tidak menimbulkan masalah baru dan terfokuskan pada masalah yang telah diajukan.

1.4.Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka tujuan dari penulisan ini adalah untuk mendeskripsikan:

a. Menentukan nilai konstanta ajaib pada graf Petersen ��( , ) untuk

(16)

5 b. Bentuk pola untuk pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen ��( , )

untuk 4 � 6 sehingga dapat dikenakan pelabelan total titik ajaib.

1.5.Manfaat Penelitian

Dengan penulisan skripsi ini yang berjudul pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen ��( , ) untuk 4 � 6 diharapkan dapat memberikan manfaat bagi masyarakat umum. Adapun manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini antara lain :

a. Memberikan tambahan informasi atau pengetahuan mengenai pelabelan total titik ajaib graf pada umumnya dan pada graf Petersen pada khususnya.

b. Dapat dijadikan referensi tambahan bagi peneliti selanjutnya dalam melabeli graf yang sejenis.

(17)

150 BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil kajian mengenai pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen �( , ) untuk 4≤ ≤ 6 dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Bentuk pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen �( , ) untuk 4≤ ≤6

mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi, namun yang membedakan pola-pola tersebut pada graf Petersen 4�( , ), graf Petersen 5�( , ), dan graf Petersen 6�( , ) terletak pada langkah pola yang ketiga � ₊₁ = +

1 + + − 5 dan langkah pola yang kelima � ₊ = 3 + 1 + +

− 5 .

2. Bilangan konstanta ajaib berturut-turut sebagai berikut :

a. Untuk graf Petersen �( , ) dengan = 4 didapatkan bilangan konstanta ajaib = 39 + 2 untuk Teorema 4.1.1(a) dan = 40 + 2 Teorema 4.1.1(b).

b. Untuk graf Petersen �( , ) dengan = 5 didapatkan bilangan konstanta ajaib = 49 + 2 untuk Teorema 4.2.1(a) dan = 50 + 2 Teorema 4.2.1(b).

c. Untuk graf Petersen �( , ) dengan = 6 didapatkan bilangan konstanta ajaib = 59 + 2 untuk Teorema 4.3.1(a) dan = 60 + 2 Teorema 4.3.1(b).

5.2 Saran

Pelabelan dari sebuah graf merupakan suatu permasalahan yang memiliki cakupan masalah cukup luas. Sehingga penelitian mengenai pelabelan graf masih dapat dilakukan pada jenis-jenis pelabelan lainnya seperti pelabelan graceful (graceful labeling), pelabelan harmoni (harmonious labeling), pelabelan sisi ajaib dan anti-ajaib (edge-magic and adge-antimagic labeling), dan pelabelan titik ajaib dan anti-ajaib (vertex-magic and vertex-antimagic labeling) serta peneliti selanjutnya dapat meneliti dengan yang berbeda.

(18)

151

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir, dkk. 2009. Teori Graf. Malang: UIN-Malang Press

Aldous, Joan M and Robin J. Wilson. 2004. Graph and Applications: an Introductory Approach. Great Britian: Springer

Ali, Gohar. 2005. Graph Labelings. Abdus Salam School of Mathematical Sciences GC University Lahore: Pakistan

Ambarini, Hepy. 2005. Pelabelan Total Titik Ajaib (Magic Labeling) pada Gabungan Dua Generalisasi Graph Petersen. Skripsi S1 Pendidikan Matematika dan Komputasi. Universitas Muhammadiyah Malang

C. Balbuena, E. Barker, K. C. Das, Y. Lin, M. Miller, J. Ryan, Slamin, K. Sugeng, M. Tkac. On the degrees of a super vertex-magic graph. Discrete Mathematics 306(2006) 539-559.

Chartand, G. And L. Lesniak. 2000. Graph and Digraph 3rdEdition. California: Wadsworth, Inc

Fibriatanty, Gesti. 2005. Pelabelan Total Titik Ajaib pada Gabungan Dua Graph Dua Partisi Lengkap. Skripsi S1 Pendidikan Matematika dan Komputasi. Universitas Muhammadiyah Malang

Gallian, Joseph. A. 2012. A Dynamic Survey of Graph Labeling. The Electronical Journal of Combinatorics. Vol. 18 Tahun 2012. #DS6

Hermawati, Ni’mah. 2010. Skripsi S1 Pendidikan Matematika. Universitas Negeri

Malang

Irawati Novi. 2010. Pelabelan Total Titik Ajaib pada Complete Graph. S1 Matematika. Universitas Diponegoro

J. A. MacDougall, Mirka Miller, Slamin, W. D. Wallis, (2002) Vertex-Magic Total Labeling of Graphs, Utilitas Math 61: 3-21

J. A. MacDougall, Mirka Miller, K. Sugeng, Super Vertex-Magic Total Labeling of Graphs, Proc. 15th Australasian Workshop on Combinatorial Algorithms (2004)

Jhonsonbaugh, Richard. 1997. Matematika Diskrit Edisi Kedua Bahasa Indonesia. Jakarta: Prehalinndo

(19)

152 M. Baĉa, M. Miller and Slamin. Vertex-magic total labelings of generalized Petersen graphs. Int. J. of Computer Mathematics 79. Issue 12, (2002) 1259-1264

M. E. Watkins. A Theorem on Tait Colorings with an Application to the Generalized Petersen Graphs. J. Combin. Theory 6 (1969) 152-164.

Marr, A.M and Wallis, W.D. 2013. Magic Graphs, DOI 10.1007/978-0-8176-8391-72. New York: Springer Science+Business Media

Miller, Baca, MacDougall. 2005. Vertex-magic Total Labeling of Generalized Petersen Graphs and Convex Polytopes

Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit Logika, Himpunan, Matriks, Relasi, Fungsi, Algoritma, Kombinatorial, Peluang Diskrit Edisi Kelima. Bandung : Informatika

Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit Edisi Ketiga. Bandung: Informatika Bandung

Siang, JJ. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: Andi Yogyakarta

Slamin, A.C. Prihandoko, T.B Setiawan, F. Rosita, B. Shaleh. 2006. Vertex-Magic Total Labeling of Disconnected Graphs. Journal of Prime Research in Mathematics, to appear.

Vasudev, C. 2006. Graph Theory with Applications. New Delhi: New Age International Publisher.

Yandi Wijaya, Willy. 2011. Graf Petersen dan Beberapa Sifat-sifat yang Berkaitan (Petersen Graph and Some Related Properties). Skripsi S1 Matematika. Universitas Gadjah Mada Yogyakarta

Zuhria, Irma. 2010. Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen. Skripsi S1 Pendidikan Matematika. Universitas Negeri Malang

(20)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Medan pada 22 Mei 1993. Ayah bernama Anggiat Simangunsong dan Ibu bernama Maria Simanjuntak. Penulis merupakan anak Kedua dari Lima bersaudara. Pada tahun 1997 penulis bersekolah di TK Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan. Pada tahun 1998 penulis bersekolah di SD Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan. Pada tahun 2004, penulis melanjutkan sekolah di SMP Swasta Katolik Budi Murni-1 Medan. Pada tahun 2007, penulis melanjutkan sekolah di SMA Swasta Katolik Budi Murni-1 Medan. Pada tahun 2010, penulis diterima di Jurusan Matematika Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.

(1)