31
BAB III MODEL ALIRAN FLUIDA SECARA SEDERHANA
A. Bentuk Sederhana Model Aliran Fluida
Fenomena mengenai pergerakan gelombang atau transportasi adveksi dari suatu zat dapat dimodelkan secara matematis dengan sistem persamaan diferensial
parsial hiperbolik. Perhatikan persamaan adveksi skalar dengan nilai awal diskontinyu berikut,
+ =
3.1.1 = { ,
jika , jika
3.1.2 dengan
−∞, ∞ , , dan
. Persamaan tersebut merupakan model aliran fluida yang paling sederhana dengan merupakan kuantitas tekanan, debit
aliran, volume, dan lain-lain yang nilainya tidak diketahui. Konstanta merupakan kecepatan aliran fluida. Jika positif maka fluida mengalir ke arah sumbu positif
kanan, dan jika negatif maka fluida mengalir ke arah sumbu negatif kiri. Persamaan 3.1.1 merupakan persamaan diferensial parsial hiperbolik jika
merupakan konstanta real. Persamaan tersebut merupakan salah satu contoh hukum kekekalan
+ = ,
3.1.3 dengan
= merupakan fungsi fluks. Misal,
≈ ,
3.1.4 atau
≈ ∆ ∫ ,
�+ ⁄ �− ⁄
3.1.5 merupakan pendekatan nilai rata-rata pada interval ke-
� dan waktu . Dengan menggunakan pendekatan numeris,
dan dapat ditulis menjadi
≈ ,
+
− ,
∆ ≈
+
− ∆
3.1.6
dan
≈
+
, −
−
, ∆
≈
+
−
−
∆ .
3.1.7
Dengan substitusi persamaan 3.1.6 dan 3.1.7 ke dalam persamaan 3.1.3, didapatkan solusi metode volume hingga
+
= −
∆ ∆
+
−
−
3.1.8
dengan
+
merupakan pendekatan fluks rata-rata pada
interface
+
yang dapat didefinisikan dalam berbagai cara, diantaranya adalah definisi fluks Lax-Friedrichs
dan fluks Upwind. Fluks Lax-Friedrichs didefinisikan sebagai berikut ,
+
=
+
, +
, −
∆ ∆
+
, −
, 3.1.9
dan
−
= ,
+
−
, −
∆ ∆
, −
−
, . 3.1.10
Sedangkan fluks Upwind didefinisikan secara lebih sederhana, yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
+
= ,
3.1.11 dan
−
=
−
, .
3.1.12 Berikut ini adalah gambar solusi numeris persamaan adveksi skalar 3.1.1
dengan nilai awal 3.1.2, = , ∆ = .
, dan ∆ = . ∆ pada waktu
= . Yoman, 2014.
Gambar 3.1.1. Solusi numeris dengan definisi fluks Lax-Friedrichs
Gambar 3.1.2. Solusi numeris dengan definisi fluks Upwind
Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa solusi numeris menghasilkan galat yang cukup besar di sekitar titik diskontinyu.
B. Persamaan Termodifikasi
Kategori