Penurunan Model Aliran Darah

40

BAB IV PEMODELAN DAN SOLUSI NUMERIS ALIRAN DARAH

A. Penurunan Model Aliran Darah

Untuk memodelkan aliran darah, perhatikan ilustrasi bentuk arteri manusia pada Gambar 4.1.1. Agar lebih sederhana, asumsikan bahwa luas penampang arteri , tidak bergantung pada variabel ruang dan . Gambar 4.1.1. Ilustrasi bentuk arteri manusia dengan asumsi penyederhanaan Selanjutnya, diasumsikan bentuk arteri manusia adalah silindris dengan bentuk setiap penampang melintangnya adalah lingkaran, dan koordinat sejajar sumbu silinder. , merupakan penampang melintang arteri untuk sebarang dan . Pada pembahasan selanjutnya, Gambar 4.1.1 disebut volume kontrol. Pada setiap didefinisikan, � , = ∫ � � , 4.1.1 , = �∫ ̂ � � , 4.1.2 , = �∫ ̂ �, � 4.1.3 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dengan � adalah luas penampang arteri , adalah kecepatan aliran darah rata-rata pada , adalah tekanan darah rata-rata pada , ̂ adalah kecepatan aliran darah di titik , ̂ adalah tekanan darah di titik . Kemudian, didefinisikan fluks volume , = � , , . Asumsikan bahwa darah merupakan fluida yang tak termampatkan sehingga kekentalan dan massa jenis darah konstan. Selanjutnya sifat struktural arteri seperti panjang arteri, tebal dinding arteri, dan lain-lain, diasumsikan konstan.

1. Hukum Kekekalan Massa

Hukum kekekalan massa, seperti yang dikutip pada Sari 2016, menyatakan bahwa massa tidak dapat diciptakan dan tidak dapat dimusnahkan, sehingga laju perubahan massa dalam volume kontrol ditambah netto fluks massa yang keluar dari volume kontrol sama dengan nol. Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai + , − , = , 4.1.4 dengan definisi volume sebagai berikut = ∫ � , . 4.1.5 Perhatikan bahwa , − , = ∫ � � . 4.1.6 Jika persamaan 4.1.5 dan 4.1.6 disubstitusikan ke dalam persamaan 4.1.4, maka didapatkan ∫ � , + ∫ � � = . 4.1.7 Karena adalah konstan, maka ∫ �� � + � � = . 4.1.8 Karena persamaan tersebut dipenuhi untuk sebarang konstan , maka �� � + � � = . 4.1.9

2. Hukum Kekekalan Momentum

Hukum Newton yang kedua, seperti yang dikutip pada Sari 2016, menyatakan bahwa perubahan momentum dari suatu sistem sama dengan total gaya yang bekerja. Diasumsikan bahwa tidak ada fluks yang melalui dinding arteri, sehingga laju perubahan momentum dalam volume kontrol ditambah netto fluks momentum yang keluar dari volume kontrol sama dengan total gaya yang bekerja dalam volume kontrol. Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai berikut ∫ , + , , − , , = , 4.1.10 dengan , adalah momentum, dan adalah faktor koreksi fluks momentum. Kemudian, total gaya didefinisikan sebagai berikut Sherwin dkk., 2003 = , � , − , � , + ∫ �� � + ∫ , 4.1.11 dengan adalah gaya gesek darah dengan permukaan dalam dinding arteri per satuan panjang. Substitusi persamaan 4.1.11 ke dalam persamaan 4.1.10 akan menghasilkan persamaan berikut ∫ , + , , − , , = , � , − , � , + ∫ �� � + ∫ . 4.1.12 Perhatikan bahwa , , − , , = ∫ � � 4.1.13 dan , � , − , � , = − ∫ � � � . 4.1.14 Substitusi persamaan 4.1.13 dan 4.1.14 ke dalam persamaan 4.1.12, didapatkan ∫ , + ∫ � � = − ∫ � � � + ∫ �� � + ∫ . 4.1.15 Karena dan adalah konstan tak nol, persamaan tersebut dapat ditulis menjadi ∫ � � + � � = ∫ − � � � + �� � + . 4.1.16 Persamaan tersebut dipenuhi untuk sebarang konstan , sehingga � � + � � = − � � � + �� � + . 4.1.17 Perhatikan bahwa − � � � = − �� � − � � � , 4.1.18 sehingga persamaan 4.1.17 dapat ditulis menjadi � � + � � = − � � � + 4.1.19 atau � � + � � � + � � � − = . 4.1.20 Berdasarkan hukum kekekalan massa dan momentum di atas, didapatkan model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia sebagai berikut �� � + � � = , 4.1.21 � � + � � � + � � � = , 4.1.22 dengan asumsi tambahan yaitu = dan = . Model ini disebut model sistem �, . Perhatikan bahwa = � . Dengan asumsi bahwa � dan merupakan fungsi halus, ruas kiri persamaan 4.1.22 dapat ditulis menjadi � � + � � � + � � � = � � � + � � � + � � � = � � � + �� � + � � � + �� � + � � � PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = � � � + �� � + � � � + � � � + �� � + � � � = � � � + � � � + �� � + � � � + � � � = � � � + � � � + � � � . Dengan kata lain, persamaan 4.1.22 dapat ditulis ulang menjadi � � � + � � � + � � � = 4.1.23 sehingga didapatkan model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia berikut �� � + �� � = , 4.1.24 � � + � � + � � = . 4.1.25 Model ini disebut model sistem �, .

B. Metode Volume Hingga