Metode Volume Hingga PEMODELAN DAN SOLUSI NUMERIS ALIRAN DARAH

= � � � + �� � + � � � + � � � + �� � + � � � = � � � + � � � + �� � + � � � + � � � = � � � + � � � + � � � . Dengan kata lain, persamaan 4.1.22 dapat ditulis ulang menjadi � � � + � � � + � � � = 4.1.23 sehingga didapatkan model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia berikut �� � + �� � = , 4.1.24 � � + � � + � � = . 4.1.25 Model ini disebut model sistem �, .

B. Metode Volume Hingga

Mencari solusi secara analitis dari suatu model tidak selalu mudah. Karena itu, solusi tersebut didekati secara numeris sehingga didapat solusi pendekatan atau sering disebut solusi numeris. Dalam skripsi ini, metode yang digunakan adalah metode volume hingga. Metode ini dapat digunakan untuk mencari solusi kontinyu maupun diskontinyu sehingga cocok digunakan untuk mencari solusi numeris dari model dalam bentuk persamaan diferensial parsial, dimana model seperti itu dapat menghasilkan solusi diskontinyu meskipun nilai awalnya kontinyu. Berikut akan dicari masing-masing solusi dari model aliran darah sistem �, dan �, dengan metode volume hingga dengan definisi fluks Lax-Friedrichs. Perhatikan model aliran darah sistem �, untuk , dan berikut { �� � + � � = � � + � � � + � � � = . 4.2.1 Di sini �, , dan berturut-turut adalah luas penampang arteri , fluks volume, dan tekanan darah. Kemudian adalah massa jenis darah, adalah variabel ruang, dan adalah variabel waktu. Model ini terdiri dari dua persamaan dengan tiga variabel bergantung yaitu �, , dan . Untuk mendapatkan dua persamaan dengan dua variabel bergantung maka didefinisikan suatu relasi yang menghubungkan tekanan darah dengan luas penampang arteri lihat Formaggia dkk., 2002, = ext + √� − √� 4.2.2 dengan ext adalah tekanan eksternal dan � adalah luas penampang arteri pada saat = . Pada skripsi ini diasumsikan bahwa ext bernilai nol dan � adalah konstan, sehingga bentuk arteri adalah silinder tabung pada saat = . Kemudian adalah parameter yang berhubungan dengan sifat elastisitas dinding arteri yang didefinisikan sebagai berikut, = √ ℎ � 4.2.3 dengan adalah modulus Young dan ℎ adalah tebal dinding arteri. Untuk mencari solusi numeris model aliran darah ini, diperhatikan diskritisasi domain ruang pada Gambar 4.2.1 dengan = �∆ , ∆ = + − − = − − , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dan diskritisasi domain waktu = ∆ untuk sebarang bilangan bulat tak negatif � dan . − − + + − + Gambar 4.2.1. Diskritisasi domain ruang Lalu, perhatikan operasi aljabar berikut � � = � � √� − √� = � + � − �� � − � . 4.2.4 Dengan mengalikan masing-masing ruas dengan faktor � � maka didapatkan � � � = � + � �� � − � � . 4.2.5 Karena merupakan fungsi terhadap dan � merupakan variabel yang bergantung pada dan , maka didapatkan persamaan � � � + � √� − √� = � + � �� � − � � . 4.2.6 Berdasarkan persamaan 4.2.5 dan 4.2.6 maka didapatkan persamaan � � � = � � � + � √� − √� , 4.2.7 sehingga model aliran darah 4.2.1 dapat ditulis ulang menjadi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI { �� � + � � = � � + � � � + � = � √� − √� 4.2.8 Model aliran darah di atas dapat ditulis dalam hukum kesetimbangan sebagai berikut ̅ + ̅ ̅ = ̅ ̅ 4.2.9 dengan kuantitas, fluks, dan suku sumbernya secara berturut-turut adalah ̅ = [�], 4.2.10 ̅ ̅ = [ � + � ], 4.2.11 dan ̅ ̅ = [� √� − √�]. 4.2.12 Misalkan ̅ , ̅ ̅ , dan ̅ berturut-turut adalah nilai pendekatan dari ̅ , , ̅ ̅ , , dan ̅ ̅ , . Hukum kesetimbangan 4.2.9 merupakan bentuk umum dari hukum kekekalan dengan suku sumber tak nol, sehingga solusi numerisnya didapat secara analog seperti yang telah dijelaskan pada Bab III yaitu ̅ + = ̅ − ∆ ∆ ̅ + − ̅ − + ∆ ̅ 4.2.13 dengan definisi fluks Lax-Friedrichs ̅ + = ̅ ̅ + + ̅ ̅ − ∆ ∆ ̅ + − ̅ 4.2.14 dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ̅ − = ̅ ̅ + ̅ ̅ − − ∆ ∆ ̅ − ̅ − . 4.2.15 Jadi, berdasarkan persamaan 4.2.13-4.2.15, skema numeris model aliran darah 4.2.1 dapat ditulis secara lebih detil yaitu � + = � − ∆ ∆ + − − 4.2.16 dengan definisi fluks Lax-Friedrichs + = + + − ∆ ∆ � + − � , 4.2.17 − = + − − ∆ ∆ � − � − , 4.2.18 dan + = − ∆ ∆ ℱ + − ℱ − + ∆ � √� − √� 4.2.19 dengan definisi fluks Lax-Friedrichs ℱ + = [ + � + + � + + � + � ] − ∆ ∆ + − , 4.2.20 ℱ − = [ � + � + − � − + � − ] − ∆ ∆ − − . 4.2.21 Lebih lanjut, perhatikan fungsi fluks model aliran darah sistem �, pada persamaan 4.2.11. Matriks Jacobian fungsi fluks tersebut adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = � ̅ ̅ � ̅ = [ � �� � � � �� � + � � � � + � ] = [ � − � � ]. 4.2.22 Nilai eigen dari matriks dapat dicari melalui persamaan karakteristik det − � = , sehingga didapatkan � − � � − [ � − � ] = , � = � ± √ √�. Karena , �, , dan bernilai real positif, maka didapatkan dua nilai eigen real yang berbeda. Menurut Teorema 2.5.2, matriks dapat didiagonalisasi. Jadi, model aliran darah sistem �, merupakan sistem persamaan diferensial parsial hiperbolik. Selanjutnya, diperhatikan model aliran darah sistem �, untuk , dan berikut { �� � + � � � = � � + � � = − � � , 4.2.23 dengan �, , dan berturut-turut adalah variabel luas penampang arteri , kecepatan rata-rata pada , dan tekanan darah rata-rata pada , serta adalah massa jenis darah. Relasi antara tekanan darah rata-rata dan luas penampang arteri , serta didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada persamaan 4.2.2 dan 4.2.3. Model aliran darah 4.2.23 dapat ditulis dalam bentuk hukum kekekalan �̅ + �̅ �̅ = ̅ 4.2.24 dengan kuantitas dan fluks secara berturut-turut adalah �̅ = [�], 4.2.25 �̅ �̅ = [ � + ]. 4.2.26 Misalkan �̅ dan �̅ �̅ berturut-turut adalah nilai pendekatan untuk �̅ , dan �̅�̅ , . Hukum kekekalan 4.2.24 memiliki solusi yang serupa dengan hukum kekekalan 3.1.3, sehingga didapatkan solusi numeris sebagai berikut �̅ + = �̅ − ∆ ∆ Ϝ ̅ + − Ϝ̅ − 4.2.27 dengan definisi fluks Lax-Friedrichs Ϝ̅ + = �̅ �̅ + + �̅ �̅ − ∆ ∆ � ̅ + − �̅ 4.2.28 dan Ϝ̅ − = �̅ �̅ + �̅ �̅ − − ∆ ∆ � ̅ − �̅ − . 4.2.29 Jadi, berdasarkan persamaan 4.2.27-4.2.29, skema numeris untuk model aliran darah 4.2.23 dapat ditulis secara lebih detil yaitu � + = � − ∆ ∆ + − − 4.2.30 dengan definisi fluks Lax-Friedrichs + = � + + + � − ∆ ∆ � + − � , 4.2.31 − = � + � − − − ∆ ∆ � − � − , 4.2.32 dan + = − ∆ ∆ ℱ + − ℱ − 4.2.33 dengan definisi fluks Lax-Friedrichs ℱ + = [ + + + + + ] − ∆ ∆ + − , 4.2.34 ℱ − = [ + + − + − ] − ∆ ∆ − − . 4.2.35 Lebih lanjut, diperhatikan fungsi fluks model aliran darah sistem �, pada persamaan 4.2.26. Matriks Jacobian fungsi fluks tersebut adalah = ��̅ ̅ � ̅ = [ � �� � � � � � �� + � � + ] = [ � � �� ]. 4.2.36 Nilai eigen dari matriks dapat dicari melalui persamaan karakteristik det − � = , sehingga didapatkan � − � + − � � �� = , � = ± √ √�. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Karena , �, , dan bernilai real positif, maka didapatkan dua nilai eigen real yang berbeda. Menurut Teorema 2.5.2, matriks dapat didiagonalisasi. Jadi, model aliran darah sistem �, merupakan sistem persamaan diferensial parsial hiperbolik.

C. Hasil Simulasi dan Analisis