berada pada x = a dan x = b. Apabila daerah pengukuran dari
sampai dengan
maka peluang hasil pengukuran adalah sama dengan 1
1 dx
x f
Gambar 16: dua grafik distribusi, pertama untuk presisi yang tinggi dan yang kedua untuk presisi yang rendah.
B. Distribusi Normal
Perbedaan tipe pengukuran mempunyai perbedaan curva distribusi. Tidak semua curva distribusi mempunyai bell shape yang simetri. Distribusi binomila dan poisson sebagai
contoh distibusi yang tidak simetry. Namun demikian, banyak pengukuran yang memiliki kurva bell shape yang simetri untuk pembatasan distribusinya.
Fungsi matematis yang mendiskripsikan kurva bell shape disebut distribusi normal atau distribusi gauss. Bentuk Fungsi ini ditunjukan sebagai berikut
2 2
2
x
e
3.1 Ketika nilai x = 0, fungsi gauss bernilai 1. Nilai x yang bergerak dari salah satu arah
menjauh dari nilai nol 0,
2 2
2
x
nilainya meningkat, secara cepat apabila nilai
kecil
sempit, dan lambat apabila
lebar. Semakin menjauh perubahan nilai x dari nol maka
persamaan
2 2
2
x
e
mengecil kearah nol.
Gambar 17: Fungsi Gauss bell-shape dan berpusat pada x = 0. kurva bell-shape lebar jika
besar dan sempit jika
kecil.
Fundi gauss dapat dirubah pusat curva beel shape dari x = 0 ke sembarang titik x = X. kita merubah nilai x dalam persamaan 3.1 dengan x
– X, sehingga fungsi maksimum pada x = X dan simetri pada titik tersebut.
Gambar 18: fungsi gauss bell-shape bentuk lonceng dan berpusat pada X
Suatu fungsi harus ternormalisasi. Fungsi gauss juga harus ternormalisasi. Secara umum funsi ternormalisasi memenuhi persamaaan sebagai berikut
1 dx
x f
3.2
Kita misalkan
2 2
2
X x
Ne x
f
. Fungsi ini akan ternormalisasi jika memenuhi persamaan 3.2, sehingga diperoleh persamaan:
1
2 2
2
dx Ne
dx x
f
X x
3.3
Perhitungan persamaan 3.3 akan lebih sederhana apabila nilai x-X diubah menjadi y dan dari casus persamaan ini dy = dx sehingga diperoleh
1
2 2
2
dy e
N
y
3.4
kemudian mensubtitusi
y
= z dalam casus ini dy =
dz, sehingga diperoleh
1
2
2
dz e
N
z
, untuk nilai
2
2
2
dz e
z
Hasil akhir perhitungan diperoleh
2
2
2
N dz
e N
z
3.5
Berdasarkan persamaan 3.4 dan 3.5 diperoleh
1 2
N
, sehingga nilai
2
1
N
Dapat kita simpulkan, fungsi Gaus atau normal yang ternormalisasi adalah sebagai berikut:
2 2
2
2 1
X x
e x
f
3.6 Dengan x = besaran fisika yang diukur
X = nilai benar x yang dicari f = frekuensi perolehan nilai x dalam pengukuran
2 1
= nilai maksimum f
= parameter percobaan yang berkaitan dengan kehalusan alat ukur yang digunakan
Nilai x = X benar hanya diperoleh jika cacah datanya =
Nilai
x
diperoleh setelah melakukan banyak percobaan. Nilai
x
diperoleh dengan persamaan sebagai berikut:
dx
x xf
x
, sehingga untuk distrbusi Gauss nilai
x
ditunjukan oleh:
dx xe
x
X x
2 2
2
2 1
3.7 Jika kita subtitusikan y = x
– X atau x = y + X, kemudian dx=dy maka integral pada persamaan 3.7 menjadi dua bagian.
2 1
2 2
2 2
2 2
dy e
X dy
ye x
y y
3.8
Nilai
2 2
2
dy ye
y
dan
2
2 2
2
dy e
y
, sehingga persamaam 3.8 dapat diperoleh hasil sebagai berikut:
2 .
. 2
1 X
x
sehingga hasil akhir diperoleh
X x
Nilai standar deviasi x
diperoleh dari persamaan berikut ini:
dx x
f x
x
x 2
2
, dengan cara perhitungan yang sama dengan
perhitungan
x
diperoleh nilai 2
2
x .
C. Integral kebolehjadian dan tingkat kepercayaan
