E. Trigonometri 1. Tujuan
Tujuan mempelajari materi ini adalah agar Anda dapat memahami fungsi trigonometri beserta aplikasinya, yang rinciannya adalah:
a Memahami fungsi trigonometri dan nilainya b Menentukan kaitan antar fungsi trigonometri
c Menentukan luas segitiga dengan fungsi trigonometri d Menentukan fungsi trigonometri untuk penjumlahan dua sudut, selisih dua sudut, dan
sudut ganda e Mengaplikasikan fungsi trigonometri dalam kehidupan nyata
2. Uraian Materi
Trigonometri merupakan bagian dari matematika yang diawali dengan perbandingan sisi-sisi suatu segitiga siku-siku, yang selanjutnya diperluas untuk semua sudut di semua
kuadran.Pemecahan masalah atau bukti-bukti pada trigonometri dikerjakan seperti halnya pembuktian pada aljabar. Selain itu, trigonometri juga dapat digunakan untuk
memecahkan masalah dalam kehidupan nyata.
a. Fungsi Trigonometri dan Nilainya 1 Ukuran Sudut
Berikut ini ada beberapa gambar sudut. Ukurlah besar masing-masing sudut berikut ini dengan menggunakan busur derajat.
Berapa derajatkah besar
∠ABC, ∠ PQR, dan ∠ KLM?
Ukuran sudut yang telah kita bicarakan adalah derajat yang notasinya adalah “
o
”. Perhatikan lingkaran di samping ini. Titik M adalah
pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran adalah r. Titik P dan Q adalah titik-titik pada lingkaran. Panjang busur
PQ sama dengan panjang jari-jari lingkaran, atau PQ = MR = MP= r.
Berapakah besar ∠PMQ?
M L
K R
Q P
A
B C
Q P
M
Ingat perbandingan yang berlaku pada lingkaran:
lingkaran Keliling
pusat sudut
depan di
busur Panjang
360 pusat
sudut Besar
=
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
283
Dari perbandingan tersebut didapatkan: r
r PMQ
besar
π
2 360
= ∠
besar ∠PMQ =
π π
2 360
2 360
= ×
r r
Kalau π = 3,1459, maka besar ∠PMQ = 57,296
. Selanjutnya besar
∠PMQ dengan panjang busur PQ sama dengan panjang jari-jari lingkaran dan yang sama dengan 57,296
disebut 1 radian. Jadi radian merupakan
satuan sudut selain derajat.
Didapatkan: 1 radian =
π 2
360
atau 2 π radian = 360
dan π radian = 180
.
2 Sinus, Cosinus, dan Tangens Sudut Pada Segitiga Siku-Siku
Perhatikan segitiga ABC di samping. ∆ ABC siku-siku di B. Jika ∠BAC = α , maka
perbandingan panjang sisi BC dan sisi AC disebut
sin
α, dibaca sinus alpha, perbandingan panjang sisi AB dan sisi AC disebut
cos
α, dibaca cosinus alpha, dan perbandingan panjang sisi BC dan sisi AB disebut
tan α atau tgα, dibaca tangens alpha.
Atau Secara umum
Selain sin
α, cos α, dan tan α, juga dikenal cotangens α disingkat cotanα, secans α
disingkat sec
α, dan cosecansα disingkat cosec α, didefinisikan sebagai: cotan α =
α α
sudut depan
di siku
- siku
sisi panjang
sudut pada
siku -
siku sisi
panjang
sin
α =
AC AB
cos
α =
AC BC
tan
α =
AB BC
π radian =180 1 radian adalah satu satuan ukuran sudut di pusat lingkaran yang
panjang busur dihadapannya sama dengan panjang jari-jari
α A
C
B
sin α =
miring sisi
panjang sudut
depan di
siku -
siku sisi
panjang
α
cos α =
miring sisi
panjang sudut
pada siku
- siku
sisi panjang
α
tan α =
α α
sudut pada
siku -
siku sisi
panjang sudut
depan di
siku -
siku sisi
panjang
284
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
Ingat apa yang disebut dengan dua sudut yang
saling berpenyiku
sec α =
α
sudut pada
siku -
siku sisi
panjang miring
sisi panjang
cosec α =
α
sudut depan
di siku
- siku
sisi panjang
miring sisi
panjang Dari definisi tersebut Anda dapat mencari hubungan antara sin
α dan cosec α, cos α dan
sec
α, tan α dan cotan α. Carilah hubungan tersebut
Latihan 1
Diketahui ∆ PQR dengan
PQ = 4 cm dan QR = 3 cm. Berapakah sin
∠ RPQ, cos ∠ RPQ, dan tan
∠ RPQ?
Penyelesaian
sin ∠ RPQ =
PR QR
QR = 3 cm, tetapi panjang PR belum diketahui . Perhatikan
∆ PQR siku-siku di Q. Dengan rumus Pythagoras didapatkan: PR
2
= PQ
2
+ QR
2
. PR
2
= 16 + 9 = 25 Jadi PR =
√25 = 5 cm. sin
∠ RPQ = 5
3 =
PR QR
atau sin ∠P =
5 3
cos ∠ RPQ =
5 4
= PR
PQ atau cos
∠P = 5
4 tan
∠ RPQ =
4 3
= PQ
QR
atau tan ∠P =
4 3
Dapatkah Anda mencari hubungan antara sin ∠P dan cos ∠R, dan hubungan antara cos
∠P dan sin ∠R? Apakah yang Anda dapatkan?
Bagaimanakah hubungan antara ∠P dan ∠R? Atau,
berapakah ∠P + ∠R?
Atau: ∠P = 90 -
∠R atau ∠R = 90 -
∠P Jadi: sin
∠P = cos ∠R = cos 90 -
∠P cos
∠P = sin ∠R = sin 90 -
∠P Kesimpulan:
R
P Q
sin ∠P = cos 90
- ∠P
cos ∠P = sin 90
- ∠P
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
285
3 Penggunaan Perbandingan Trigonometri
Banyak sekali kegunaan konsep perbandingan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari, terutama pada kasus-kasus yang melibatkan segitiga siku-siku meliputi
panjang sisi dan besar sudut. Salah satu kegunaan trigonometri adalah menghitung tinggi atau jarak pada kasus terapan seperti yang akan dicontohkan berikut ini.
Latihan 2 Sebuah tangga disandarkan pada suatu tembok vertikal. Sudut yang dibentuk oleh tangga
itu dengan lantai horizontal adalah 60
. Jika jarak kaki tangga ke tembok tadi adalah 6 m, hitunglah:
a. Panjang tangga itu b. Tinggi tembok dari ujung tangga ke lantai
Penyelesaian Situasi contoh di atas dapat digambarkan
seperti gambar di samping. Pandang
∆ABC yang terbentuk, maka ∆ABC merupakan segitiga siku-siku di A.
BC adalah panjang tangga dan AC adalah tinggi tembok ke lantai, sehingga :
a. menurut perbandingan cosinus : cos 60
= BC
AB =
BC 6
⇔ cos 60 . BC = 6
⇔ 2
1 . BC = 6
⇔ BC = 12 Jadi panjang tangga tersebut adalah 12 m.
b. menurut perbandingan tangens: tan 60
= AB
AC =
6 AC
⇔ tan 60 . 6 = AC
⇔ AC =
3
. 6 = 6
3
Jadi panjang tembok dari ujung tangga ke lantai adalah 6
3
m ≈ 10,392 m.
Dari contoh ini, Anda dapat mencari tinggi menara pada permasalahan awal. Apakah semua unsur untuk mencari
tinggi menara sudah diketahui? Anda dapat menggambar situasi tersebut seperti gambar di samping.
Berapakah panjang PQ? PQ = 505 m mengapa?
Ambil
∠Q = 55
. Dengan kalkulator, Anda dapat menghitung sin
∠Q = sin 55
Karena panjang PQ dan sin ∠Q sudah diketahui, maka
B A
C
60
R
P Q
286
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
dengan kalkulator Anda dapat mencari panjang PR, yaitu tinggi menara. Selanjutnya Anda dapat mencari cos
∠Q = cos 55 dengan kalkulator.
Karena cos ∠Q dan panjang PQ sudah diketahui, maka Anda dapat menghitung panjang
QR, yaitu jarak antara tempatnya orang berdiri tersebut dengan lampu. 4 Sinus, Cosinus, dan Tangens Sudut Istimewa
Sudut istimewa di sini adalah sudut-sudut yang besarnya 0 , 30
, 45 , dan 60
. Untuk mencari nilai sinus, cosinus dan tangens dari sudut-sudut istimewa di atas, marilah
kita perhatikan dua segitiga siku-siku di bawah ini.
Segitiga siku-siku yang pertama dibentuk dari segitiga sama sisi dengan panjang
sisi 2 satuan, yang dipotong menurut salah satu garis sumbunya. Sedangkan siku-siku yang kedua dibentuk dari persegi dengan panjang 1 satuan, yang dipotong menurut salah
satu diagonalnya. Cara menentukan nilai dari sinus, cosinus dan tangen adalah sebagai berikut.
Pada segitiga I :
sin 30 =
BC AB
= 2
1 ; sin 60
= BC
AC =
2 3
= 2
1
3
cos 60 =
BC AB
= 2
1 ; cos 60
= BC
AC =
2 3
= 2
1
3
tan 30 =
AC AB
=
3 1
= 3
1
3
; tan 60 =
AB AC
= 1
3 =
3
Pada segitiga II: sin 45
=
QR PQ
=
QR PR
=
2 1
= 2
1
2
cos 45 =
QR PR
=
QR PQ
=
2 1
= 2
1
2
tan 45 =
PR PQ
= PQ
PR =
1 1
= 1 Untuk sudut nol dan siku-siku, cara memperoleh nilai sinus, cosinus dan tangen adalah
sebagai berikut. Misalkan diketahui lingkaran yang berpusat di 0,0 dan berjari-jari r satuan. Ambil
sebarang titik pada lingkaran yaitu titik T x,y.
I II
A B
C
P Q
R 2
1
1 1
2 3
30
60 45
45
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
287
Tx,y α
Y
X r
Pada gambar di samping akan di dapat nilai : sin α =
r y
; cos α =
r x
; tan α =
x y
Sudut nol terjadi jika titik T berimpit dengan sumbu X, sehingga :
sin 0 =
r = 0 ; cos 0
= r
x =
r r
= 1; tan 0 =
x = 0.
Sedangkan sudut siku-siku terjadi jika titik T berimpit dengan sumbu Y, sehingga:
sin 90 =
r y
= r
r =
1 ; cos 90 =
r x
= r
= 0 ; tan 90
=
x y
= r
= tak terdefinisikan
artinya tan 90 tidak mempunyai nilai.
Dari uraian di atas dapat dibuat tabel nilai sinus, cosinus dan tangen sebagai berikut. Diskusikan dengan teman Anda.
Apakah nilai perbandingan trigonometri yang didapatkan dengan menggunakan kalkulator merupakan nilai yang sesungguhnya ataukah nilai pendekatan?
5 Sinus, Cosinus, dan Tangens di Semua Kuadran
Sistem kuadran pada bidang kartesius terbagi menjadi 4 bagian yang ditetapkan sebagai berikut.
Kuadran I: daerah yang dibatasi oleh sumbu X positif dan Y positif. Kuadran II: daerah yang dibatasi oleh sumbu X negatif dan Y positif.
Kuadran III: daerah yang dibatasi oleh sumbu X negatif dan Y negatif. Kuadran IV : daerah yang dibatasi oleh sumbu X positif dan Y negatif.
Sedangkan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran di atas, ditetapkan seperti pada gambar berikut ini.
SUDUT SIN
COS TAN
1 30
2 1
2 1
3
3 1
3
45 2
1
2
2 1
2
1 60
2 1
3
2 1
3
90 1
∼
288
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
O X
III
-x,-y A
Y
r -x
-y
Kuadran I : Pada kuadran I, besar sudut A lebih dari 0
dan kurang dari 90 , atau
A 90 .
Kuadran II : Pada kuadran II. besar sudut A lebih dari 90
dan kurang dari 180 , atau
90 A 180
Kuadran III: Pada kuadran III. besar sudut A lebih dari 180
dan kurang dari 270 , atau 180
A 270
sin A = -
r y
, bernilai negatif cos A = -
r x
, bernilai negatif tan A =
x y
, bernilai positif sin A =
r y
, bernilai positif cos A =
r x
−
=
r x
−
, bernlai negatif tan A =
x y
−
=
x y
−
, bernilai negatif sin A =
r y
, bernilai positif cos A =
r x
, bernilai positif tan A =
x y
, bernilai positif y
x O
r A
I Y
X x,y
-x y
r X
II A
Y -x,y
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
289
Kudran IV: Pada kuadran IV. besar sudut A lebih dari 270
dan kurang dari 360 , atau 270
A 360
6 Hubungan Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut di Semua Kuadran Perhatikan gambar berikut.
Di kuadran II atau sudut 180
– A, hanya sinus yang positif.
sin A = -
r y
, bernilai negatif cos A =
r x
, bernilai positif tan A =
x y
−
, bernilai negatif
y
r
P
3
-x,-y P
1
x,y
x
+
x
y
+
P
2
-x,y
A y
r r
x r
360 - 180 +
180 -
P
4
x,-y
sin 180 – A =
r y
= sin A cos 180
– A =
r x
−
= -cos A tan 180
– A =
x y
−
= -tan A IV
Y
A X
x,-y x
-y r
290
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
Di kuadran III atau sudut 180 + A, hanya
tangen yang positif.
Di kuadran IV atau sudut 360 - A, hanya cosinus yang positif.
b. Aturan Sinus dan Cosinus 1 Aturan Sinus
Mencari Rumus Sinus Misalkan
∆ABC sebarang segitiga dengan ∠CAB =
α ; ∠ABC = β dan ∠BCA = γ serta panjang BC, AC dan AB berturut-turut adalah a,
b dan c. Tarik garis melalui titik C di luar garis AB tegak
lurus garis tersebut, misal
CD
. sin A =
AC CD ⇔ CD = AC. sin A
⇔ CD = b sin A ………1 sin B =
BC CD ⇔ CD = BC. sin B ⇔ CD = a sin B……….2
Dari 1 dan 2 didapat: b sin A = a sin B
⇔ A
a sin
= B
b sin
……….3 Tarik garis melalui titik B di luar garis AC tegak lurus garis tersebut, misal BE .
sin A = AB
BE ⇔ BE = AB. sin A ⇔ BE = c sin A…….4 sin C =
BC BE ⇔ BE = BC. sin C ⇔ BE = a sin C…….5
Dari 4 dan 5 didapat: c sinA = a sin C
⇔
A a
sin
= C
c sin
…………..6
D B
c A
C
a b
α γ
β E
sin 180 + A = -
r y
= -sin A cos 180
+ A =
r x
−
= -cos A tan 180
+ A =
x y
= tan A
sin 360 – A =
r y
−
= -sin A cos 360
– A =
r x
= cos A tan 360
– A =
x y
−
= -tan A
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
291
a
2
= b
2
+ c
2
– 2 bc cos α
b
2
= a
2
+ c
2
– 2 ac cos β
c
2
= a
2
+ b
2
– 2 ab cos γ
Dari 3 dan 6 di dapat: A
a sin
= B
b sin
= C
c sin
⇔
α
sin a
=
β
sin b
= γ
sin c
; disebut juga rumus aturan sinus.
2 Aturan Cosinus
Mencari Rumus Cosinus Misalkan
∆ABC sebarang segitiga dengan ∠CAB = α ; ∠ABC = β dan ∠BCA = γ serta panjang BC, AC
dan AB berturut-turut adalah a, b dan c. Tarik garis melalui titik C di luar garis AB tegak
lurus garis tersebut, misal
CD
. sin A =
AC CD ⇔ CD = b.sinA………1
cos A = AC
AD ⇔ AD = b. cos A BD = AB – AD = c – b. CosA………2
Pandang ∆BDC siku-siku di D. Berlaku teorema Phytagoras : BC
2
= BD
2
+ CD
2
a
2
= c – b cos A
2
+ b sin A
2
= c
2
–2bc cos A + b
2
cos
2
A + b
2
sin
2
A = c
2
–2bc cos A + b
2
cos
2
A + sin
2
A = c
2
–2bc cos A + b
2
1 a
2
= b
2
+ c
2
–2bc cos A Dengan cara yang sama, kita akan memperoleh rumus cosinus yang lain yaitu:
b
2
= a
2
+ c
2
– 2 ac cos α
c
2
= a
2
+ b
2
– 2 ab cos α
Buktikanlah rumus tersebut Rumus cosinus :
Penggunaan Aturan Sinus Aturan sinus sangat bermanfaat untuk menghitung panjang sisi atau besar sudut pada
suatu segitiga. Latihan 3
1. Diketahui
∆ ABC dengan AB = 4 cm, ∠CAB = 30 dan
∠BCA = 45 .
Tentukan panjang BC
C
B c
A a
b
α γ
β D
α
sin a
= β
sin b
= γ
sin c
292
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
Penyelesaian
Berdasarkan aturan sinus: 30
sin BC
= 45
sin AB
2 1
BC
=
2 4
2 1
2 1
2
. BC = 4 x 2
1 BC = 2
2
. Jadi, panjang BC adalah 2
2
cm. 2. Diketahui
∆ PQR dengan ∠PQR = 60 , PQ =
6 4
3 cm dan PR =
4 9
cm. Tentukan besar sudut
∠PRQ dan ∠RPQ
Penyelesaian
Berdasarkan aturan sinus: 60
sin PR
= PRQ
PQ ∠
sin 3
2 1
4 9
= PRQ
∠ sin
6
4 3
sin ∠PRQ =
2 1
2
⇔ ∠PRQ = 45 .
∠RPQ =180
-65 +45
= 70
.
Penggunaan Aturan Cosinus Seperti halnya aturan sinus, aturan cosinus sangat bermanfaat untuk menghitung panjang
sisi atau besar sudut pada suatu segitiga. Latihan 4
a. Diketahui ∆ ABC dengan AB = 4 cm dan AC = 2
2
cm, ∠CAB = 30
. Tentukan
panjang BC Penyelesaian
Berdasarkan aturan cosinus: a
2
= b
2
+ c
2
– 2 bc cos α
= 2
2
2
+ 4
2
– 2. 2
2
. 4. cos 30 = 8 + 16 - 16
2
. 2
1
3
= 24 – 8
6
a =
6 8
24 −
= 2
6 2
6 −
Jadi panjang BC adalah 2
6 2
6 −
cm. b. Diketahui
∆ PQR dengan PR =
3
cm, PQ = 1 cm dan QR = 2 cm. Tentukan besar ∠PQR
C
B A
4 cm 30
45
P Q
R
4 3
6 cm 60
4 9
cm
A B
C
4 cm 30
2 2 cm
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
293
Penyelesaian
PR
2
= PQ
2
+ QR
2
– 2 PQ.QR cos Q
3
2
= 1
2
+ 2
2
– 2. 1.2 cos Q 3 = 5 – 4 cos Q
4cos Q= 2 cos Q =
2 1
∠PQR = 60 Jadi besar
∠PQR adalah 60 .
c. Identitas Trigonometri Dalam aljabar, variabel dan konstanta biasanya merepresentasikan bilangan real.
Nilai fungsi trigonometri juga bilangan real. Oleh karena itu, operasi di aljabar juga digunakan dalam trigonometri. Pernyataan aljabar memuat operasi penjumlahan,
pengurangan, perAnda, pembagian, dan perpangkatan. Operasi-operasi tersebut digunakan untuk membentuk pernyataan trigonometri.
Suatu kesamaan antara dua pernyataan yang bernilai benar untuk semua nilai dari variabel dimana pernyataan tersebut didefinisikan disebut identitas. Suatu identitas yang memuat
pernyataan trigonometri disebut identitas trigonometri. 1 Identitas Resiprokal
Seperti telah dijelaskan di depan, kaitan antara fungsi sin, cos, dan tan, dengan fungsi cotan, sec, dan cosec, untuk semua nilai A, kecuali untuk fungsi yang tidak
terdefinisi adalah seperti berikut. cosec A =
A sin
1 sec A =
A cos
1 ctg A =
A tg
1
atau sin A = A
ec cos
1 cos A =
A sec
1 tg A =
A ctg
1
Identitas tersebut dinamakan identitas resiprokal. Diskusikan
Diskusikan dengan teman Anda Apakah cosec A mempunyai nilai untuk A = 0
dan A = 180 ? Mengapa?
Apakah sec A mempunyai nilai untuk setiap sudut A? Mengapa? Apakah cotan A mempunyai nilai untuk setiap sudut A? Mengapa?
Kerja Kelompok
Kerjakanlah bersama teman Anda Pada sudut berapakah sec A tidak terdefinisi?
Carilah juga dimana tan A dan cotan A tidak terdefinisi Anda dapat menggunakan identitas resiprokal untuk mencari nilai-nilai fungsi
trigonometri
R
P Q
1 cm 2 cm
3 cm
294
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
ABC siku-siku di B. Berapakah sin
2
α + cos
2
α ? Apakah kesimpulan Anda?
2 Identitas Hasil Bagi Eksplorasi
Perhatikan segitiga ABC berikut ini. AB
BC dan
AC AB
AC BC
= =
=
α α
α
tan ,
cos ,
sin Apakah Anda dapat mencari hubungan antara sin, cos, dan
tan?
Anda akan mendapatkan bahwa
α α
α
cos sin
tan =
atau sin α = tan α. cos α.
Dapatkah Anda mencari hubungan antara sin, cos, dan cotan? Dari hubungan tersebut Anda mendapatkan identitas, yang disebut dengan identitas hasil
bagi. Identitas berikut ini berlaku untuk semua nilai A kecuali untuk fungsi yang tidak terdefinisi.
3 Identitas Pythagoras Eksplorasi
Kerjakanlah Perhatikan segitiga ABC di bawah.
Komunikasi Matematika
Jelaskan, apakah identitas sin
2
α + cos
2
α = 1 berlaku juga untuk α 90 ?
Perhatikan identitas sin
2
α + cos
2
α = 1, kedua ruas dibagi dengan cos
2
α, dengan cos
2
α ≠ 0
α α
2 2
cos sin
+
α α
2 2
cos cos
=
α
2
cos 1
tan
2
α + 1 = sec
2
α identitas resiprokal
tan A =
A A
cos sin
sin A = cos A . tan A cotan A =
A A
sin cos
cos A = sin A. cotan A α
A C
B
C
a B
A
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
295
Kerja Kelompok Dari identitas sin
2
α + cos
2
α = 1, bagilah kedua ruas dengan sin
2
α. Apakah yang Anda dapatkan? Apakah kesimpulannya?
Kesimpulan Apakah Identitas trigonometri berikut ini berlaku untuk
semua nilai
α ? Latihan 5
Diketahui tg α =
5 2
, hitunglah cos α.
Penyelesaian
Untuk mencari cos α, terlebih dahulu dicari sec α. tan
2
α + 1 = sec
2
α identitas Pythagoras 5
2
2
+ 1 = sec
2
α tan α diganti dengan 5
2 sec
2
α = 25
29 ,
cos α =
α sec
1
identitas hasil bagi = ±
29 5
atau kira-kira ± 0,93
4 Identitas Simetri
Untuk menentukan tanda nilai suatu fungsi, perlu diketahui besar sudutnya atau kuadran yang memuat letak salah satu kaki sudutnya kaki sudut yang lain terletak pada
sumbu X. Untuk menentukan nilai fungsi ini diperlukan identitas simetri dari sin α dan
cos α. Untuk nilai fungsi yang lain mengikuti nilai dari sin α dan cos α.
Berikut ini adalah identitas trigonometri yang berlaku untuk sebarang bilangan bulat k dan semua nilai A.
Identitas Pythagoras 1. sin
2
α + cos
2
α = 1 2. tan
2
α + 1 = sec
2
α 3. 1 + cotan
2
α = cosec
2
α
296
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
Bagaimanakah menggambar sudut yang lebih dari 360 ?
Didapatkan: sin A+360
= sin A cos A+360
= cos A Apakah juga berlaku untuk kelipatan 360
? Bentuk Umum:
Kerjakan dengan teman Anda Untuk bilangan bulat k,
1. apakah berlaku tanA+k.360 = tan A?
2. apakah berlaku tanA+k.180 = tan A?
Latihan 6 Nyatakan nilai berikut ini sebagai fungsi dari suatu sudut di kuadran I.
a. sin 765
b. tan 315
Penyelesaian
a. 765 = 2360
+ 45 . Jadi sin 765
= sin 45 b. 315
= 360 - 45
tan 315 =
315 cos
315 sin
=
45 cos
45 sin
−
= - tg 45
sin A + k.360 = sin A cos A + k.360
= cos A dengan k bilangan bulat.
x y
A 360
+
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
297
Latihan 7 Sederhanakanlah : sin
2
x + sin
2
x tan
2
x
Penyelesaian
sin
2
x + sin
2
x tan
2
x = sin
2
x 1 + tan
2
x pemfaktoran = sin
2
x sec
2
x identitas Pythagoras = sin
2
x x
2
cos 1
identitas resiprokal = tan
2
x identitas hasil bagi Latihan 8
Masalah Lintasan Bola
Lintasan bola berikut rumusnya adalah h =
θ θ
2 2
2
sec 2
tan g
v
, Sederhanakanlah rumus tersebut.
h =
θ θ
2 2
2
sec 2
tan g
v
h = cos
1 2
cos sin
2 2
2 2
θ θ
θ
g v
=
θ θ
θ
2 2
2 2
cos 2
cos sin
g v
=
g v
2 sin
2 2
θ
Jadi rumus yang lebih sederhana adalah h =
g v
2 sin
2 2
θ
d. Luas Segitiga Luas suatu segitiga dapat dinyatakan dengan 2 sisi segitiga tersebut dan sudut