b. Sifat-sifat Perpangkatan
Jika a dan b adalah bilangan real dan m, n adalah bilangan Asli, maka berlaku: 1
n m
a n
a m
a +
= ×
2 ≠
− =
a untuk
n m
a n
a m
a
3
n m
a n
m a
× =
4 m
b m
a m
b a
× =
×
5 ≠
=
b untuk
m b
m a
m b
a
Bukti: 1
a a
a a
a a
a a
n a
m a
× ×
× ×
× ×
× ×
× =
×
. .
. .
. .
= a
a a
a a
a a
a ×
× ×
× ×
× ×
× ×
. .
. .
. .
=
n m
a +
. 2
Untuk m = n
1 =
=
m m
n m
a a
a a
1 =
=
−
a a
n m
karena a tidak nol Jadi untuk m=n,
n m
n m
a a
a
−
= .
3 Untuk mn
n m
n m
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
−
= ×
× ×
= ×
× ×
× ×
× ×
× ×
= .
. .
. .
. .
. .
4 Untuk mn coba sendiri
5 .
. .
b a
b a
b a
b a
b a
m
× ×
× ×
× ×
× ×
= ×
=
. .
. .
. b
b b
b a
a a
× ×
× ×
× ×
× ×
=
m m
b a
×
. Contoh 3:
a 3
3
× 3
4
= 3
7
b
5 3
8
7 7
7 = c
6 3
2
4 4
=
m-n m - faktor
n - faktor
m - faktor m - faktor
m - faktor sebanyak m-faktor
sebanyak n-faktor
sebanyak m+n-faktor
248
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
d
3 3
3
5 3
5 3
× =
×
e
4 4
4
4 9
4 9
=
Sifat-sifat perpangkatan di atas juga berlaku untuk pangkat bilangan real. Sifat- sifat tersebut adalah sebagai berikut.
Jika a dan b adalah bilangan real positif dan x, y adalah bilangan real, maka berlaku: 1
y x
y x
a a
a
+
= .
2 ≠
=
−
a untuk
a a
a
n m
n m
3
y x
y x
a a
.
=
4
x x
x
b a
b a
. .
= 5
;
x x
y
a a
b b
b =
≠
Contoh 4: a
5 3
5 2
5 5
2 5
2 2
2 .
2 =
=
+
b
2 1
3 2
1 3
4 4
×
=
=
3 2
1
4
×
=
3 2
1
4
=
3
2
.
c
3 7
3 1
2
3 3
. 3
=
d
3 2
4 2
3 4
2 2
5 .
5 3
. 3
5 .
3 5
. 3
=
− −
5 6
5 3
= .
Contoh 5:
Jika x=4 dan y=
9 1
, hitung
2 1
2 3
2 1
2
. .
.
− −
−
y x
y x
Jawab:
2 1
2 3
2 1
2
. .
.
− −
−
y x
y x
=
− −
2 2
3 1
. y
x y
x =
1 2
1
.
−
y x
= 9
1 4
2 1
= y
x = 18.
Contoh 6: Sederhanakan berikut ini.
a
y x
y x
. .
3 1
2 −
−
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
249
b
3 2
2 2
1
−
b a
c
2 1
2 2
1 2
. .
−
n m
n m
Jawab:
a
y x
y x
. .
3 1
2 −
−
=
1 1
3 2
.
− −
− −
y x
=
2 5
.
−
y x
=
2 5
y x
b
3 2
2 2
1
−
b a
=
3 4
3 1
−
b a
=
3 4
3 1
.b a
c
2 1
2 2
1 2
. .
−
n m
n m
=
2 1
2 2
1 2
. .
.
− −
n m
n m
=
1 2
1 1
2 1
. .
.
− −
−
n m
n m
=
2 2
1 n
n =
−
.
Contoh 7:
Sederhanakan
3 2
3
1
− −
−
+
−
+ −
b a
a b
b a
b a
Jawab:
3 2
3
1
− −
−
+
−
+ −
b a
a b
b a
b a
=
3 2
2 3
. .
b a
a b
b a
b a
+ −
+ −
− −
−
3 2
2 3
. .
. b
a b
a b
a b
a +
+ −
− =
− −
.
1
b a
b a
+ −
=
−
b a
b a
− +
=
.
Contoh 8:
Sederhanakan
6 7
5
1 1
. 1
1 .
1 1
− −
+ −
−
+
p p
p p
Jawab:
6 7
5
1 1
. 1
1 .
1 1
− −
+ −
−
+
p p
p p
6 6
7 5
1 .
1 .
1 .
1 p
p p
p +
− −
+ =
− −
6 7
6 5
1 .
1
− +
−
− +
= p
p
1 .
1 p
p −
+ =
2
1 p
− =
.
250
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
Contoh 9:
Nyatakan
1 2
2 1
2 3
− −
− −
+ −
y x
y x
dalam bentuk yang tidak memuat pangkat negatif.
Jawab:
1 2
2 1
2 3
− −
− −
+ −
y x
y x
=
y x
x y
xy x
y
y x
y x
2 2
2 2
2 2
2 3
2 1
1 3
+ −
= +
−
+
− =
2 2
2 2
2 .
3 x
y y
x xy
x y
2 .
3
2 2
x y
y x
y x
+ −
=
.
c. Bentuk Akar Kita akan mendefinisikan bentuk akar suatu bilangan dikaitkan dengan fungsi
kuadrat. Kuadrat dari 2 adalah 4 dan kuadrat dari –2 juga 4. Oleh karena itu, jika ditanyakan “bilangan berapa yang kuadratnya 4?”, jawabnya adalah 2 dan –2. Perhatikan
diagram berikut Kalau relasi di atas dibalik, maka diperoleh:
Tentu relasi itu buka fungsi. Agar relasi kebalikannya merupakan fungsi, kita dapat membatasi range-nya hanya merupakan bilangan yang tidak negatif. Relasi kebalikan
dengan membatasi range-nya itu kita sebut dengan bentuk akar. Jadi kita katakan “akar kuadrat dari 4 adalah 2 -2 tidak termasuk”. Selanjutnya notasi akar pangkat dua dari
suatu bilangan a ≥ 0 dinotasikan dengan
2
a
atau hanya ditulis
a
. Definisi yang “analog” digunakan untuk akar pangkat n n adalah bilangan genap dari suatu bilangan
a
≥ 0. Sedangkan untuk bilangan bulat ganjil n tidak mempergunakan syarat a tidak negatif , karena untuk n ganjil merupakan fungsi satu-satu. Definisi tersebut diuraikan
berikut ini. •
2
•
-2 • 4
kuadratkan
•
2
•
-2 • 4
kuadrat dari
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
251
Definisi 2.1 Misalkan a
≥ 0 dan n adalah bilangan Asli genap. Maka akar pangkat n dari a adalah
bilangan tidak negatif b sehingga
a b
n
=
, ditulis
b a
n
=
.
Contoh 1:
3 9
=
, karena 3 tidak negatif dan kuadratnya sama dengan 9. Walaupun kuadrat dari –3 juga 9 tetapi karena bilangan itu negatif, maka –3 tidak
memenuhi.
4
16
=2, karena 2 tidak negatif dan
16 2
4
=
. Walaupun
4
2 −
juga 16 tetapi karena bilangan itu negatif, maka –2 tidak memenuhi.
16 −
tidak ada, karena tidak ada bilangan tak negatif yang kuadratnya sama dengan –
16. Secara umum tertuang dalam kalimat berikut ini.
Definisi 2.2 Misalkan a adalah bilangan real dan n adalah bilangan Asli ganjil. Maka akar pangkat n
dari a adalah bilangan b sehingga
a b
n
=
, ditulis
b a
n
=
. Contoh 2:
3
8 −
= -2 karena
8 2
3
= −
.
3
27
= 3 karena
27 3
3
=
.
3
27 −
= -3 karena
27 3
3
− =
−
.
Catatan: Untuk
0, a ≥
atau
a
dan m adalah bilangan genap atau
a
dan n
adalah bilangan ganjil,
n
a
sering kali ditulis dengan
n a
1
.
n m a
sering kali ditulis dengan
n m
a
Perlu diingat:
Khusus untuk n=2,
n
a
hanya ditulis dengan
a
.
Perlu diingat: Akar pangkat dua dari suatu bilangan negatif
tidak ada, karena tidak ada
bilangan real tak negatif yang kuadratnya merupakan bilangan negatif.
252
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
Contoh 3:
12
dapat ditulis dengan
2 1
12 3
27 −
=
3 3
3 −
=
3 3
3 −
= -3.
5 4
2 5
1 4
2 5
1 16
5 16 =
= =
Dengan memperhatikan definisi 2.1 dan 2.2 di atas, maka bentuk
n m
a
tidak selalu mempunyai makna. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh 4:
2 3
2 −
tidak mempunyai makna tidak ada karena
8 3
2 2
3 2
− =
− =
−
. Sedangkan
8 − tidak ada, karena tidak ada bilangan real tak negatif yang kuadratnya
sama dengan –8. Contoh 5:
Jika 25
= x
dan
64 =
y
, tentukan nilai .
3 3
2
x y
x x
y −
Jawab:
.
3 3
2
x y
x x
y −
=
25 64
. 25
25 64
3 3
2
− 5
4 .
5 .
25 2
3 12
− =
125 16
125 16
− =
− =
.
Diskusi Nyatakan benar atau salah untuk setiap pernyataan berikut, sertakan argumentasinya.
Jika x, y dan z adalah bilangan real, maka:
1.
. .
x y x
y =
2.
2
x x
− =
Persamaan Sebelun mempelajari materi ini anda diharap telah mengingat dan memahami
pengertian kalimat terbuka dan kalimat pernyataan. Coba anda jelaskan pengertian dua istilah dan berikan beberapa contoh
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi “=”. Persamaan linier adalah persamaan yang variabelnya berderajad satu.
Coba anda definisikan “Persamaan kuadrat” Berilah beberapa contoh persamaan linier
Berilah beberapa contoh persamaan kuadrat Coba jelaskan apa arti penyelesaian suatu persamaan
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
253
Tiga hal berikut dapat kita lakukan dalam menentukan penyelesaian dari persamaan,
a. Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama. b. Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
c. Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang sama dan
bukan nol.
Suatu persamaan yang kedua ruasnya ditambah, dikurangi, dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama akan menghasilkan
persamaan linear yang setara ekivalen dengan persamaan linear semula.
Ekuivalen artinya adalah mempunyai penyelesaian yang sama.
Coba cari persamaan linear yang setara ekivalen dengan persamaan: a. 3x + 4 = 5 b. 5t - 7 = 6 c. 7z = 8
Coba selesaikan persamaan linier 3 +
1 2
�
2; � ≠ 0.
d. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel
� adalah ��
2
+ �� + � =
0; �, �, � ∈ �, � ≠ 0.
Beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat sebagai berikut. 1 Cara Memfaktorkan
Contoh 1:
�
2
+ 2 � − 15 = 0
⇔ � + 5� − 3 = 0 ⇔ � = −5 atau � = 3.
Contoh 2: 2
�
2
− 11� + 15 = 0 ⇔ 2� − 5� − 3 = 0
⇔ � =
5 2
atau � = 3.
2 Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Contoh 3: �
2
+ 3 � − 18 = 0
⇔ �
2
+ 3 � = 18
⇔ �
2
+ 3 � + �
3 2
�
2
= 18 + �
3 2
�
2
⇔ �� +
3 2
�
2
=
81 4
⇔ � +
3 2
= ±
9 2
⇔ �
1
= 3, �
2
= −6
Contoh 4: 2
�
2
+ 6 � + 3 = 0
⇔ 2�
2
+ 6 � = −3
⇔ �
2
+ 3 � = −
3 2
254
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
⇔ �
2
+ 3 � + �
3 2
�
2
= −
3 2
+ �
3 2
�
2
⇔ �� + 3
2 �
2
= 3
4 ⇔ � +
3 2
= ±
√3 2
⇔ �
1
= −
3 2
+
√3 2
, �
2
= −
3 2
−
√3 2
.
3 Cara Menggunakan Rumus
Berikut ini diberikan penurunan rumus menentukan akar-akar persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � = 0; �, �, � ∈ �, � ≠ 0. Perhatikan dan amati setiap langkah Adakah
langkah yang salah? Jika ada jelaskan mengapa salah kemudian buatlah penurunan yang benar
��
2
+ �� + � = 0. Karena � tidak nol,maka dapat ditulis,
⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔
2
2 4 2
4 b
b ac
x a
a −
+ = ±
⇔
2
2 4 2
4 b
b ac
x a
a −
= − ±
Sehingga dipeloleh dua nilai � yaitu,
1 2
2 4 2
4 b
b ac
x a
a −
= − +
dan
2 2
2 4 2
4 b
b ac
x a
a −
= − −
⇔
2 1
4 2
2 b
b ac
x a
a −
= − +
dan
2 2
4 2
2 b
b ac
x a
a −
= − −
Dengan menyederhanakan bentuk diatas, diperoleh ⇔
2 1
4 2
b b
ac x
a +
− = −
dan
2 2
4 2
b b
ac x
a −
− = −
JIka
2
4 b
ac −
disingkat dengan D, maka diperoleh akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah
1,2
2 b
D x
a ±
= −
Contoh 5: 2
�
2
− 5� − 12 = 0 2
2
2 2
2
= +
− +
+ a
c a
b a
b x
a b
x
a c
a b
a b
x a
b x
− =
+ +
2 2
2
2 2
2 2
2 2
4 4
4 2
a ac
a b
a b
x −
= +
2 2
2
4 4
2 a
ac b
a b
x −
= +
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
255
�
1,2
= 5 ±
�25 − 4.2−12 2.2
�
1,2
= 5 ±
√121 4
�
1
= 5 + 11
4 ,
�
2
= 5
− 11 4
�
1
= 4 , �
2
= −
3 2
Kita ingat kembali bahwa akar-akar persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � = 0
adalah �
1,2
= −� ± √�
2
− 4� 2
� Atau dapat ditulis dengan,
�
1,2
= −� ± √�
2 �
Berdasarkan rumus tersebut diperoleh, �
1
=
−�+√� 2
�
dan �
2
=
−�−√� 2
�
. Dengan demikian jumlah akar-akarnya adalah
�
1
+ �
2
= −� − √�
2 �
+ −� − √�
2 �
= −
2 �
. Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
�
1
. �
2
= −� − √�
2 �
. −� − √�
2 �
= �
� .
Coba jelaskan banyak akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminannya
Contoh 6: Jika
� dan � merupakan akar-akar persamaan 6�
2
+ 5 � − 6 = 0, tentukan nilai:
a �
2
+ �
2
b �
2
� + ��
2
Jawab: � �
2
+ �
2
= � + �
2
− 2�� = −
5 12
2
− 2 �−
6 6
� =
939 432
. � �
2
� + ��
2
= � + ��� = −
5 12
−1 =
5 12
.
256
MODUL PLPG 2014 | PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
e. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarnya