Bifurkasi Hopf Pada Sistem Persamaan Van Der Pol Dengan Gaya Luar Yang Periodik
BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PERSAMAAN VAN DER POL
DENGAN GAYA LUAR YANG PERIODIK
Oleh :
IKHE SULISTIYANIK
G54102024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2007
ABSTRACT
IKHE SULISTIYANIK. Hopf Bifurcation on the Van der Pol system equation with periodic
outer forced. Guided by ALI KUSNANTO and JAHARUDDIN.
Research toward a vacuum tubes, Van der Pol invented a model of non linear differential
equation, which is known as Van der Pol equation.
In this paper, we study about Van der Pol equation not only with an outer forced that has
periodic function, but also without outer forced. With time scale, Van Der Pol equation system is
derived to obtain a simpler one. Then we analyzed the stability at the later equation.
In the form of Van der Pol equation without an outer forced, the existence of the limit cycle
can be shown by using Lienard Theorem. While for Van der Pol equation system that involves
periodic outer forced, the existence of the limit cycle alteration of some parameter values. For
several parameter values, the system doesn’t have a limit cycle. In this condition, the system has a
fixed point which has saddle point. The determine existence of a limit cycle for Van der Pol
system equation with periodic outer forced was done by Hopf bifurcation.
ABSTRAK
IKHE SULISTIYANIK. Bifurkasi Hopf pada sistem persamaan Van der Pol dengan gaya luar
yang periodik. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan JAHARUDDIN.
Dalam penelitian terhadap suatu tabung triode tertutup, Van der Pol menemukan suatu
model berupa persamaan diferensial tak linear yang selanjutnya dikenal dengan persamaan Van
der Pol.
Dalam tulisan ini dipelajari persamaan van der Pol tanpa gaya luar dan dengan gaya luar
yang berupa fungsi periodik. Dengan pengskalaan waktu diturunkan sistem persamaan Van der Pol
yang lebih sederhana yang selanjutnya dianalisis kestabilannya.
Dalam bentuk persamaan Van der Pol tanpa gaya luar, eksistensi limit cycle dapat
ditunjukkan dengan Teorema Lienard. Sedangkan untuk sistem persamaan Van der Pol yang
melibatkan gaya luar yang periodik, eksistensi limit cycle dipengaruhi oleh perubahan nilai
parameter tertentu. Untuk beberapa nilai parameter sistem tidak mempunyai limit cycle. Dalam
kondisi ini sistem tersebut mempunyai suatu titik tetap yang bersifat sadel. Penentuan eksistensi
limit cycle untuk sistem persamaan Van der pol dengan melibatkan gaya luar yang periodik
dilakukan dengan bifurkasi Hopf.
BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PERSAMAAN VAN DER POL
DENGAN GAYA LUAR YANG PERIODIK
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh :
IKHE SULISTIYANIK
G54102024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2007
Judul
Nama
NIM
: Bifurkasi Hopf pada Sistem Persamaan Van der Pol dengan Gaya
Luar yang Periodik
: Ikhe Sulistiyanik
: G54102024
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. Ali Kusnanto, M.Si
NIP 131913135
Dr. Jaharuddin, M.Si
NIP 132045530
Mengetahui,
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.
NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus : …………………..
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Trenggalek pada tanggal 24 Oktober 1984 sebagai anak pertama dari
dua bersaudara, anak dari Sujiyono (alm) dan Murdiati.
Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar pada tahun 1996 di SD Negeri Arosbaya
03, melanjutkan ke SLTP Negeri 1 Karangan (lulus tahun 1999), kemudian melanjutkan ke SMU
Negeri 1 Bangkalan (lulus tahun 2002) dan diterima sebagai mahasiswa di Departemen
Matematika Fakultas Matematika dan IPA Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI pada tahun
yang sama.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten untuk mata kuliah
Pengantar Matematika. Penulis juga aktif dalam kepengurusan organisasi antara lain: staf
Departemen Kesekretariatan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) pada tahun 2003.
Penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan, antara lain: kepanitiaan dalam rangkaian kegiatan
SAINS EXPO yakni Pelatihan 3D Studio Max sebagai Bendahara.
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT. yang selalu memberikan rahmat dan
karunia sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul ”Bifurkasi hopf pada
Sistem Persamaan Van der Pol dengan Gaya Luar yang Periodik”. Sholawat serta salam tidak lupa
penulis panjatkan kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat dan keluarga, serta para pengikutnya
sampai akhir zaman.
Keterbatasan dan ketidaksempurnaan membuat penulis membutuhkan bantuan, dukungan
dan semangat dari orang-orang, baik secara langsung ataupun tidak langsung, berkontribusi besar
dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada:
1.
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing pertama, Dr. Jaharuddin, M.Si. selaku
pembimbing kedua, terima kasih atas kesabaran dan bimbingannya selama ini.
2.
Drs. Siswandi, M.Si. selaku penguji dan moderator seminar.
3.
Orang tua tercinta yang selalu memberikan dukungan serta doa restunya selama penulis
menempuh pendidikan selama ini. Adikku tercinta, teruslah berjuang untuk mencapai citacita juga keluarga besar yang selalu mendoakan.
4.
Miftahus Surur, terima kasih atas dukungan dan motifasi yang bisa membuat penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini juga atas kesabaran, kesetiaan, perhatian, semangat dan
doanya.
5.
Keluarga Bulek Asih, Paklek Mugi, Mas Noer, Mbak Sri dan Mbak Deni terimakasih
selalu memberikan dukungan dan semangat kepada penulis selama ini..
6.
Lucky Hendarwan, terima kasih atas doa dan kebersamaannya selama penulis menempuh
kuliah di Bogor.
7.
Sahabat-sahabat yang selalu memberikan dukungan dan semangatnya serta nasehat-nasehat
yang berharga bagi penulis. Wenny, Nita, Gresi dan Ekam, yang selalu setia mendengar
keluh kesah penulis selama ini.
8.
Rachmat agustian dan Rismanto yang telah banyak membantu dalam segala hal sehingga
penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.
9.
Sahabat-sahabat penulis yang nun jauh disana. Mbak Didu’, Mia, Mas Helmi, Vavan,
Andi, Fauzul, Karyadi, Widya dan Cristina, semoga kita bisa selalu menjaga tali
silaturahim ini.
10.
Ari, Uve, Elis, Dany, Rusli, Walidah, Diah, terima kasih atas bantuan kalian.
11.
Febrian, Berri, dan Vina, terima kasih telah bersedia menjadi pembahas.
12.
Teman-teman kost-an. Ria dan Rina, terima kasih atas kebersamaannya.
13.
Teman-teman angkatan 39, Desy, Neli, Mega, Mere, Mbak’e, Dina, Rany, Irwan, Unre,
dan semuanya yang tak bisa disebutkan satu persatu.
14.
Teman-teman 40, 41, dan semua kakak kelas yang pernah melengkapi perjalanan penulis
selama kuliah.
15.
Seluruh Dosen Departemen Matematika IPB yang telah bersusah payah memberikan
ilmunya kepada kami. Staf Departemen Matematika IPB (Bu Susi, Bu Ade, Mas Bono,
Mas Yono, Mas Denny, dll.) yang senantiasa direpotkan.
Dan semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat
bermanfaat bagi semua pihak.
Bogor, Mei 2007
Ikhe Sulistiyanik
DAFTAR ISI
halaman
DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................. ix
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................ ix
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang.........................................................................................................
1.2 Tujuan .....................................................................................................................
1.3 Sistematika Penulisan .............................................................................................
1
1
1
II LANDASAN TEORI ...................................................................................................
1
III PEMBAHASAN
3.1 Model ......................................................................................................................
3.2 Titik Tetap................................................................................................................
3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap................................................................................
5
6
7
IV SIMPULAN ..................................................................................................................
11
DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................................
11
LAMPIRAN..........................................................................................................................
13
ix
DAFTAR GAMBAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
halaman
Limit cycle stabil ............................................................................................................... 1
Limit cycle tak stabil ......................................................................................................... 2
Limit cycle setengah stabil ................................................................................................ 2
Titik Pelana (saddle point) ................................................................................................ 3
Simpul tak sejati tak stabil ................................................................................................. 3
Simpul tak sejati stabil ...................................................................................................... 4
Spiral tak stabil ................................................................................................................. 4
Spiral stabil ....................................................................................................................... 4
Simpul sejati tak stabil ....................................................................................................... 4
Simpul sejati stabil ............................................................................................................ 4
Degenerate ........................................................................................................................ 4
Center .............................................................................................................................. 4
Medan vektor disekitar titik tetap pada sistem persamaan (25) ........................................ 7
Bidang fase disekitar titik tetap pada sistem persamaan (25) .......................................... 7
Medan vektor disekitar titik tetap pada sistem persamaan (26) .......................................... 8
Bidang fase disekitar titik tetap pada sistem persamaan (26) ............................................ 8
Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (25), dengan a = −1.1 .................... 9
Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (25) dengan a = −1 ...................... 9
Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (25) dengan a = −0.5 .................... 10
Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (25) dengan a = 1 ......................... 10
Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (25) dengan a = 1.1 ...................... 11
Diagram Bifurkasi Hopf pada sistem persamaan (25) ........................................................ 11
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Program untuk menganalisis titik tetap pada sistem persamaan (25)
dan sistem persamaan (26) ................................................................................................. 14
2. Program untuk menggambarkan medan vektor dan bidang fase disekitar
titik tetapnya pada sistem persamaan (25) dan sistem persamaan (26) ............................. 19
3. Hasil running dari program untuk menganalisis titik tetap pada sistem persamaan (25)
pada contoh kasus nilai θ = 0.25 , ε = 1 , dan −2 < a < 2 . ..................................................... 20
4. Program untuk menggambarkan medan vektor dan bidang fase disekitar titik tetapnya
pada contoh kasus nilai θ = 0.25 , ε = 1 , dengan nilai a = −1.1 , a = −1 , a = −0.5 , a = 1
dan a = 1.1 ........................................................................................................................... 31
1.
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Penelitian yang dilakukan oleh Van der
Pol pada sebuah tabung triode tertutup, yaitu
sebuah alat yang
digunakan untuk
mengendalikan arus listrik dalam suatu
sirkuit pada transmitter dan receiver
menghasilkan suatu perilaku penyelesaian
yang unik dan berbeda dengan perilaku
penyelesaian persamaan diferensial linear.
Van der Pol mengusulkan model yang dikaji
dalam
penelitian
berupa
persamaan
diferensial tak linear yang selanjutnya
disebut persamaan Van der Pol. Dalam
penelitiannya tersebut, Van der Pol
memberikan kontribusi pada pengembangan
metode matematika, khususnya pada
masalah persamaan diferensial. Dalam hal
ini, ia berkontribusi pada teori kestabilan
penyelesaian
persamaan
diferensial.
Penelitian Van der pol tersebut memberikan
motivasi bagi Cartwright dan Littlewood
untuk mengkaji kestabilan persaman Van
der Pol khususnya yang memuat gaya luar
[Cartwright 1945]. Persamaan van der Pol
ini hingga sekarang masih dikaji oleh
beberapa peneliti, khususnya pada masalah
perturbasi dan relaksasi osilasi. Persamaan
ini juga dijadikan model pada beberapa
fenomena fisika, biologi dan seismology
[Guckeinheimer 2000]. Akan tetapi masalah
bifurkasi dari sistem persamaan ini masih
sangat sedikit kajiannya.
Dalam karya ilmiah ini, persamaan van
der Pol akan dinyatakan dalam suatu sistem
persamaan diferensial orde satu untuk
mengklasifikasi bifurkasi Hopf dari orbit
periodik dalam sistem yang telah tereduksi.
Reduksi ke dalam sistem persamaan
diferensial yang dilakukan didasarkan pada
alur
yang
terdapat
dalam
paper
[Guckeinheimer 2003].
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini
adalah mengkaji persamaaan Van der Pol
yang memuat gaya luar dengan cara
menyatakan persamaan tersebut ke dalam
suatu persamaan diferensial orde satu.
Persamaan yang dihasilkan akan digunakan
untuk mengklasifikasi bifurkasi Hopf yang
memberikan orbit periodik dalam sistem
yang telah tereduksi tersebut.
1.3 Sistematika Penulisan
Pada bab pertama dijelaskan latar
belakang dan tujuan dari penulisan karya
ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori
yang menjadi konsep dasar dalam
penyusunan pembahasan. Pada bab tiga akan
dibahas persamaan Van der Pol dan
mereduksi persamaan tersebut menjadi suatu
sistem persamaan diferensial orde satu.
Selain itu, pada bab ini juga akan dianalisis
bifurkasi Hopf dengan menggunakan
persamaan yang telah tereduksi. Simpulan
dari karya ilmiah ini akan dibahas pada bab
empat.
II LANDASAN TEORI
Persamaan van der Pol adalah suatu
persamaan diferensal tak linear yang dapat
didekati dengan bentuk sistem persamaan
diferensial linear. Teori sistem persamaan
diferensial
linear
dan
kestabilannya
disarikan dari buku [Anton 1995], [Farlow
1994], [Szidarovszky & Bahill 1998], [Tu
1994] dan [Verhulst 1990]. Sebelum
membahas
teori
sistem
persamaan
diferensial linear, maka berikut ini akan
dibahas konsep limit cycle.
Penjelasan tentang limit cycle terdapat
dalam buku [Strogatz 1994]. Limit cycle
adalah suatu bentuk trayektori tertutup dan
terisolasi.
Pada
umumnya
untuk
menggambarkan
limit
cycle,
sistem
persamaan diferensial dituliskan sebagai
persamaan diferensial dalam koordinat
kutub. Jika semua lingkungan trayektori
mendekati limit cycle maka limit cycle
disebut limit cycle stabil (lihat gambar 1).
Pada keadaan sebaliknya limit cycle disebut
limit cycle tak stabil (lihat gambar 2).
Sedangkan pada kasus tertentu limit cycle
disebut limit cycle setengah stabil (lihat
gambar 3).
Gambar 1. Limit cycle stabil.
2
Selanjutnya akan dibahas kestabilan
suatu titik dari suatu sistem dinamik.
Misalkan diberikan sistem persamaan
diferensial (SPD) berikut.
dx
n
= x = f ( x ), x ∈ R .
(6)
dt
Titik x* disebut titik tetap jika f ( x* ) = 0 .
Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik
keseimbangan. Selanjutnya, misalkan titik
x* adalah titik tetap SPD mandiri (6) dan
x (t ) adalah solusi yang memenuhi kondisi
Gambar 2. Limit cycle tak stabil.
Gambar 3 Limit cycle setengah stabil.
Eksistensi limit cycle dijamin oleh Teorema
Lienard berikut:
Teorema Lienard
Tinjau persamaan Lienard berikut.
d2x
dx
(3)
+ f ( x) + g ( x) = 0 .
dt
dt
Persamaan (3) dapat dinyatakan sebagai
sistem persamaan berikut
x =y
.
y =−g(x)− f (x)y
(4)
Jika fungsi f dan g memenuhi kondisi:
1) f dan g terturunkan dan kontinu,
2) − g ( x ) = g ( − x ) , untuk setiap x.
3)
4)
g ( x ) > 0 untuk x > 0
f ( x ) = f ( − x ) , untuk setiap x.
5) Fungsi ganjil F ( x) = f ( u )du , benilai
∫
x
0
nol untuk x = a , negatif untuk 0 < x < a ,
F (a) = 0 , positif dan tak turun untuk
x > a , dan F ( x) → ∞ untuk x → ∞ ,
maka sistem persamaan (4) memiliki
penyelesaian tunggal dan mempunyai limit
cycle stabil. Bukti secara lengkap dapat
dilihat dalam [Perko 1991].
Misalkan diberikan suatu sistem
persamaan diferensial orde satu sebagai
berikut
dx
= x = f ( x, y ),
dt
(5)
dy
= y = g ( x, y ).
dt
Jika fungsi f dan g kontinu bernilai real
dan dinyatakan dalam x dan y saja serta
tidak bergantung pada waktu, maka sistem
persamaan (5) disebut sistem persamaan
diferensial mandiri. Sistem persamaan van
der Pol salah satu contoh sistem persamaan
diferensial mandiri.
x0 ≠ x* . Titik x*
awal x(0) = x0 dan
dikatakan titik tetap stabil, jika terdapat
ε 0 > 0 , yang memenuhi sifat berikut: untuk
setiap ε1 , 0 < ε1 < ε 0 , terdapat ε > 0
sedemikian sehingga jika x* − x0 < ε maka
x* − x(t ) < ε1
,
untuk
setiap
t > t0 .
Sebaliknya titik x* dikatakan titik
tidak stabil, jika terdapat ε 0 > 0 ,
memenuhi sifat berikut: untuk setiap ε
0 < ε < ε 0 , sedemikian sehingga,
x* − x0 < ε maka
tetap
yang
>0 ,
jika
x* − x(t ) < ε 0 , untuk
setiap t > t0 .
Untuk menganalisis kestabilan titik
tetap dari sistem persamaan diferensial tak
linear, dapat dilakukan dengan pelinearan
pada sistem persamaan diferensialnya.
Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai
berikut.
x=f(x)
(7)
dengan
f:U → R n , U ⊂ R n .
Dengan menggunakan uraian Taylor dari f
*
di titik tetap x , maka persamaan (6) dapat
ditulis sebagai berikut.
x = Ax + ϕ ( x) .
(8)
Persamaan tersebut merupakan SPD
taklinear dengan A adalah matriks Jacobi,
3
A = Df ( x * ) = Df ( x ) x = x *
⎡ ∂f1
⎢ ∂x
⎢ 1
=⎢ #
⎢
⎢ ∂f n
⎢⎣ ∂x1
⎡ a11
= ⎢⎢ #
⎢⎣ an1
∂f1 ⎤
∂xn ⎥
⎥
%
# ⎥
⎥
∂f n ⎥
"
∂xn ⎥⎦ x = x*
" a1n ⎤
⎥
%
#⎥
" ann ⎥⎦
"
dan ϕ ( x) suku berorde tinggi yang bersifat
lim ϕ ( x) = 0.
Selanjutnya
Ax
pada
x →0
persamaan (8) disebut pelinearan dari sistem
taklinear persamaan (7) dan didapatkan
bentuk
x = Ax .
(9)
Untuk sistem yang berada dalam bidang
R 2 , diperoleh
x = f (x) = Ax + ϕ ( x)
dengan
x1 = f1 ( x) = ax1 + bx2 + ϕ1 ( x1 , x2 )
x2 = f 2 ( x) = cx1 + dx2 + ϕ 2 ( x1 , x2 )
dimana
∂f
∂f
a = 1 = a11 ,
b = 1 = a12
∂x1
∂x2
c=
dan lim
r →0
∂f 2
= a21 ,
∂x1
ϕ1 ( x1 , x2 )
r
d=
= lim
r →0
∂f 2
= a22
∂x2
ϕ 2 ( x1 , x2 )
r
Persamaan
(12)
disebut
persamaan
karakteristik.
Nilai eigen yang diperoleh dari hasil
pelinearan tersebut dapat digunakan untuk
menganalisis kestabilan di sekitar titik tetap
yang diperoleh, yang kemudian dapat
digambarkan orbitnya. Misalkan diberikan
matriks A berukuran 2 × 2 sebagai berikut.
⎛a b⎞
A=⎜
⎟.
⎝c d⎠
Persamaan karakteristiknya berbentuk
b ⎞
⎛a −λ
det ⎜
⎟=0
d −λ⎠
⎝ c
atau
λ 2 − τλ + A = 0
dengan
τ = trace( A) = a + d
dan
A = det( A) = ad − bc .
Sehingga diperoleh nilai eigen dari A
adalah
λ=
τ ± τ 2 − 4A
.
2
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan
untuk setiap nilai eigen yang diperoleh.
Dalam tulisan ini akan diperlihatkan 6 kasus
sebagai berikut:
1. Jika A < 0 , nilai eigen mempunyai akar
real yang yang berbeda tanda, maka titik
tetap bersifat titik pelana (saddle point)
(lihat Gambar 4).
=0
dengan r = x12 − x2 2 . Nilai ϕ1 dan ϕ2
kecil sekali, sehingga dapat diabaikan.
Selanjutnya, misalkan A adalah matriks
n × n , maka suatu vektor taknol x di dalam
R n disebut vektor eigen dari A , jika untuk
suatu skalar λ , yang disebut nilai eigen dari
A , berlaku:
Ax = λ x .
(10)
Vektor x disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen λ . Untuk
mencari niali eigen dari matriks A yang
berukuran n × n , maka persamaan (10)
dapat dituliskan sebagai berikut:
(A − λ I)x = 0
(11)
dengan I matriks identitas. Persamaan (10)
mempunyai solusi tak nol jika dan hanya
jika
det (A − λ I) = 0 .
(12)
Gambar 4. Titik Pelana (saddle point).
2.
Jika A > 0,τ > 0 dan memenuhi kondisi
τ 2 − 4A > 0 , berarti kedua nilai eigen
mempunyai nilai yang sama, maka titik
tetap merupakan simpul tak sejati
(nodes) tak stabil (lihat Gambar 5). Jika
τ < 0 maka titik tetap merupakan nodes
stabil (lihat Gambar 6).
Gambar 5. Simpul tak sejati tak stabil.
4
5.
Gambar 6. Simpul tak sejati stabil.
3.
6.
Jika A > 0,τ > 0 dan memenuhi kondisi
τ 2 − 4A < 0 , berarti nilai eigennya
merupakan complex conjugate, maka
titik tetap bersifat spiral tak stabil (lihat
Gambar 7). Jika τ < 0 maka titik tetap
bersifat spiral stabil (lihat Gambar 8).
Jika τ 2 − 4A = 0 , τ > 0 dan ada satu
vektor eigen bebas linear, maka titik
tetap bersifat degenerate node tak stabil.
Jika τ < 0 , maka titik tetap bersifat
degenerate node stabil (lihat Gambar
11).
Jika τ = 0 , nilai eigen merupakan
imajiner murni, maka titik tetap bersifat
center yang selalu stabil (lihat Gambar
12).
Gambar 11. Degenerate.
Gambar 7. Spiral takstabil.
Gambar 12. Center.
Gambar 8. Spiral stabil.
4.
Jika τ 2 − 4A = 0 , τ > 0 , dan ada 2
vektor eigen bebas liear, maka bersifat
simpul sejati (star node) tak stabil (lihat
Gambar 9). Jika τ < 0 , maka titik tetap
bersifat simpul sejati stabil (lihat
Gambar 10).
Berdasarkan
uraian
di
atas
dapat
disimpulkan bahwa kestabilan titik tetap
mempunyai 3 prilaku sebagai berikut:
1. Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah
negatif ( λi < 0 untuk setiap i).
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks bagian realnya lebih kecil
atau
sama
dengan
nol,
( Re ( λi ) ≤ 0 untuk setiap i).
2.
Gambar 9. Simpul sejati tak stabil.
3.
Tak stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah positif
( λi > 0 untuk setiap i).
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks bagian realnya lebih
besar dari nol, ( Re(λi ) > 0 untuk
setiap i).
Sadel, jika
Perkalian dua buah nilai eigen real
sembarang adalah negatif ( λi λ j < 0
untuk i dan j sembarang).
Gambar 10. Simpul sejati stabil.
Dalam karya ilmiah ini juga akan
dilakukan analisis untuk Bifurkasi Hopf.
Penjelasan mengenai Bifurkasi Hopf
terdapat dalam buku [Borelli 1998].
Misalkan diberikan suatu sistem :
x = α ( c ) x + β ( c ) y + P ( x, y, c )
(13)
y = − β ( c ) x + α ( c ) y + Q ( x, y, c )
5
dengan P dan Q setidaknya merupakan
orde kedua dalam x dan y dan terturunkan
dua kali secara kontinu dalam x , y dan c .
cukup kecil dimana c mendekati nol dari
kiri. Periode dari cycle mendekati nilai
2π β untuk c ≥ 0 yang kecil.
Fungsi α ( c ) dan β ( c ) adalah fungsi yang
Teorema di atas diperkuat dengan
teorema berikut ini:
Misalkan A operator linear pada ruang
vektor dimensi dua dengan λ = α ± i β ,
merupakan nilai eigen dari A , maka terdapat
matriks R sehingga
⎡ α β⎤
R≡⎢
⎥ ≡αI + βJ
⎣−β α ⎦
dengan
⎡ 0 1⎤ .
J ≡⎢
⎥
⎣ −1 0 ⎦
Penjelasan dan bukti teorema di atas dapat
dilihat pada [Tu 1994].
kontinu dan terturunkan pada c . Nilai eigen
untuk matriks Jacobi dari sistem persamaan
(13) adalah α ( c ) ± i β ( c ) . Selanjutnya,
perhatikan Teorema Bifurkasi Hopf berikut.
Teorema Bifurkasi Hopf
Misalkan
α ( 0) = 0 ,
α ′ (0) > 0
dan
β ( 0 ) ≠ 0 , dimana sistem persamaan (13)
stabil asimtotik di titik awal untuk c = 0 ,
maka titik awal tidak stabil dan
menghasilkan limit cycle yang besarnya
k ( c ) , dengan k ( 0 ) = 0 dan k ( c ) fungsi
konstan dan naik untuk setiap c ≥ 0 yang
III PEMBAHASAN
Dengan demikian persamaan Van der Pol
(14) mempunyai penyelesaian tunggal dan
limit cycle stabil.
Selanjutnya perhatikan bentuk
x′′ + μ ( x 2 − 1) x′ .
3.1 Model
Tinjau persamaan Van der Pol berikut
x ′′ + μ
(x
2
)
− 1 x′ + x = 0
(14)
dengan μ 1 .
Berikut ini akan diperlihatkan bahwa
persamaan (14) memiliki limit cycle yang
stabil berdasarkan Teorema Lienard. Untuk
itu, dimisalkan
(
Tuliskan bentuk di atas sebagai
(
)
⎛ x3
F ( x) = μ ⎜
⎝ 3
Premis dari Teorema Lienard terpenuhi,
sebab:
1) Fungsi f ( x ) dan g ( x ) terturunkan
(
5)
F ( x) =
∫
x
f ( u )du =
∫
x
0
(16)
⎠
⎛ x3
μ ( u 2 − 1) = μ ⎜
Jika dimisalkan w = μ y ,
persamaan (18) diperoleh
⎞
− x⎟
⎝ 3
⎠
Fungsi F ( x ) berupa fungsi ganjil dan
mempunyai tepat satu akar positif, yaitu
bernilai
a = 3 . Selanjutnya
F ( x)
negatif untuk 0 < x < 3 , bernilai positif
dan tak turun untuk x > 3 , dan
F ( x ) → ∞ , bila x → ∞ .
0
⎞
− x⎟ .
w = x′ + μ F ( x ) .
)
4)
(15)
dengan
f ( x ) = f ( − x ) = μ x − 1 , untuk setiap
x
g ( x ) > 0 untuk x > 0
( x′+μ F ( x ) ) .
Persamaan (15) dapat dituliskan dalam
bentuk
(17)
x′′ + μ ( x 2 − 1) x′ = w′
dan kontinu,.
2) − g ( x ) = g ( − x ) , untuk setiap x
3)
d
dt
dengan
2
f ( x ) = μ x − 1 dan g ( x ) = x .
2
)
x′′ + μ x 2 − 1 x′ =
(18)
maka
dari
x′ = w − μ F ( x )
atau
x′ = μ ( y − F ( x) )
atau
x′
μ
⎛ x3
= y −⎜
⎝ 3
⎞
− x⎟ .
(19)
⎠
Selanjutnya gunakan pengskalaan waktu
berikut
t =τ μ
maka diperoleh
6
x′ =
dan
dx 1 dx 1
=
= x
dτ μ dt μ
y=
dx′ d ⎛ dx ⎞ 1 .
=
x
x′′ =
⎜ ⎟=
dτ dτ ⎝ dτ ⎠ μ 2
Sehingga persamaan (19) menjadi
x
⎛ x3
⎞
= y −⎜ − x⎟
2
μ
⎝ 3
⎠
atau
x x 3
(20)
y= 2 +
−x.
3
μ
Selanjutnya, tinjau persamaan Van der
Pol dengan gaya luar yang melibatkan fungsi
yang berosilasi berikut
2
x ′′ + μ ( x − 1) x ′ + x = a sin ( 2πυτ ) . (21)
Persamaan van der Pol (21) akan ditulis
dalam peubah y . Untuk itu, turunkan kedua
ruas pada persamaan (20) secara implisit
terhadap t sehingga diperoleh
x
(22)
+ ( x 2 − 1) x .
μ2
Jika digunakan kembali pengskalaan waktu
t = τ μ , maka persamaan (22) menjadi
y =
(
)
y = x′′ + μ x 2 − 1 x′ .
(23)
Dengan demikian persamaan van der Pol
(21) dapat ditulis
(24)
y = − x + a sin ( 2πυτ )
dimana y ≡ dy dt .
Selanjutnya, gunakan parameter baru
ε = 1 μ 2 dan ω = υμ . Kemudian digunakan
θ = ωt , maka persamaan (24) menjadi
y = − x + a sin ( 2πθ ) .
Dari persamaan (20) diperoleh
x3
ε x = y − + x .
3
Karena θ = ωt , maka
θ = ω .
Dengan
demikian
diperoleh
persamaan diferensial mandiri
berikut
x3
ε x = y − + x
3
y = − x + a sin ( 2πθ )
sistem
sebagai
(25)
θ = ω
dimana x dan y bilangan riil, sedangkan
θ ∈ ( 0,1) dan ε suatu parameter kecil.
Untuk kasus ε = 0 , maka berdasarkan
sistem persamaan (25), didapatkan
x3
−x.
3
Jika persamaan di atas diturunkan
terhadap t secara implisit, maka diperoleh
y = ( x 2 − 1) x .
Selanjutnya,
waktu berikut
gunakan
pengskalaan
t = ( x 2 − 1) T ,
maka diperoleh
y =
θ =
dx
dT
1
dθ .
( x − 1) dt
2
Dengan demikian sistem persamaan
(25) untuk ε = 0 menjadi
dθ
= ω ( x 2 − 1)
.
(26)
dT
dx
= − x + a sin ( 2πθ )
dT
Berikut ini akan dicari titik tetap dari
sistem persamaan (25) dan sistem persamaan
(26). Kemudian akan dianalisis kestabilan di
sekitar titik tetap tersebut. Dengan bantuan
software Mathematica akan dicari dan
dianalisis kestabilan di titik tetapnya.
3.2 Titik tetap
Berikut ini akan ditentukan titik tetap
dari sistem persamaan (25). Karena
persamaan ketiga pada sistem persamaan
(25) turunannya bernilai konstan yang tak
nol, maka untuk memperoleh titik tetap dari
sistem persamaan (25) cukup berdasarkan
persamaan berikut
x =
dx
= 0 dan
dt
y =
dy
= 0.
dt
Masing-masing
persamaan
memberikan
3
⎞
1⎛
x
y−
+ x⎟ = 0
⎜
3
ε⎝
⎠
dan
− x + a sin ( 2πθ ) = 0 .
di
atas
Sehingga titik tetap dari sistem persamaan
(25) adalah
1
2 ⎞.
⎛
Τ = a sin ( 2πθ ) , a sin ( 2πθ ) −3 + a 2 sin ( 2πθ )
1
⎜
⎝
(
3
) ⎟⎠
Selanjutnya akan dihitung titik tetap
dari sistem persamaan (26). Titik tetap dari
sistem persaman (26) diperoleh berdasarkan
persamaan berikut
dθ
dx
= 0 dan
=0.
dT
dT
7
Masing-masing
memberikan
persamaan
di
atas
ω ( x − 1) = 0
2
dan
− x + a sin ( 2πθ ) = 0 .
Sehingga titik tetap dari sistem persamaan
(26) adalah
⎛
⎞
−1 ⎛ 1 ⎞
⎜ sin ⎜⎝ a ⎟⎠
⎟
Τ2 = ⎜ −
, −1 ⎟
2π
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
A= ⎡ 2
2⎤
.
⎢ −1 0 ⎥
⎣
⎦
Persamaan karakteristik dari A adalah
det ( A − λΙ ) = 0
atau
λ 2 − 2λ + 2 = 0 .
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari
A sebagai berikut
λ1 = 1 + i
λ = 1− i .
2
Karena λ dan λ2 bilangan kompleks, maka
dapat disimpulkan bahwa sistem persamaan
(25) dengan titik tetap Τ1 memberikan titik
1
⎛ −1 ⎛ 1 ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜⎝ a ⎟⎠ ⎟ .
Τ3 = ⎜
,1 ⎟
⎜ 2π
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
tetap yang bersifat spiral tak stabil.
Berdasarkan titik-titik tetap yang
diperoleh di atas, berikut ini akan dianalisis
kestabilannya.
gambar
1 8 a, ε , θ < = 8 y1.00 ,
0.50 ,
0.50 <
4
2
3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Pada bagian ini akan dianalisis
kestabilan titik tetap dari sistem persamaan
(25) dan (26). Untuk itu, sistem persamaan
(25) dan (26) terlebih dahulu dilinearkan.
Untuk sistem persamaan (25) tuliskan
x
-4
-2
-4
⎞
1⎛
x3
−
+ x⎟
y
⎜
3
ε⎝
⎠
y = g ( x, y ) = − x + a sin ( 2πθ ) .
Gambar 13
gambar
Sehingga bentuk linear dari sistem
persamaann (25) adalah
x = Ax
dengan x = ( x, y ) dan A matriks Jacobi
1 8 a, ε , θ < = 8 y 1.00 ,
0.50 ,
0.50 <
4
2
x
-4
berikut
-2
2
4
-2
∂f ⎤
∂y ⎥
-4
⎥
∂g ⎥
Gambar 14
∂y ⎥⎦ x =T
1
⎡1
2
= ⎢ (1 − x )
ε
⎢
−1
⎣
1⎤
ε⎥
⎥
0 ⎦ x =T
1
1⎤
⎡1
= ⎢ ε (1 − a sin ( 2πθ ) ) ε ⎥ .
⎢
⎥
−1
0⎦
⎣
Studi kasus untuk a = 1 , ε = 0.5 , dan
diperoleh
titik
tetap
θ = 0.5 ,
−16
−16
dengan
matriks
Τ1 = (1.22 ⋅10 , −1.22 ⋅10 )
Jacobi
4
-2
x = f ( x, y ) =
⎡ ∂f
⎢
A = ⎢ ∂x
⎢ ∂g
⎢ ∂x
⎣
2
Medan vektor di sekitar titik tetap
) dapat dilihat
(
Τ1 = 1.22 ⋅10−16 , −1.22 ⋅10−16
pada Gambar 13, sedangkan Gambar 14
merupakan bidang fasenya.
Selanjutnya
perhatikan
sistem
persamaan (26). Dalam hal ini tuliskan
p (θ , x ) = ω ( x 2 − 1)
.
q (θ , x ) = − x + a sin ( 2πθ )
Bentuk linear persamaan (26) di sekitar
titik tetapnya adalah
x = Jx
8
Dengan x = (θ , x ) dan J matriks Jacobi
x
2 8 a, ω < = 8 − 2.00 ,
gambar
untuk titik tetap T2 dan T3 . Untuk T2 ,
diperoleh matriks jacobi
0
2 xω ⎤
.
J 2 = ⎡⎢
⎥
2
cos
π
a
πθ
−1 ⎦
2
(
)
⎣
x =T2
Studi kasus untuk a = −2 dan ω = 1 ,
1.00 <
1.5
1
0.5
θ
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-0.5
diperoleh titik tetap Τ = ⎛ 1 , −1⎞ dengan
2
⎜
⎟
⎝ 12
⎠
matriks Jacobi
−2⎤
⎡ 0
J2 = ⎢
⎥.
⎣−2π 3 −1⎦
-1
-1.5
Gambar 15
Persamaan karakteristik dari J 2 adalah
det ( J 2 − λΙ ) = 0
atau
λ 2 + λ − 4π 3 = 0 .
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari
A sebagai berikut
λ1, 2 = −
1 1
±
1 + 16π 3 .
2 2
Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem
persamaan (26) dengan titik tetap Τ2
memberikan titik tetap yang bersifat sadel.
Sedangkan untuk T3 , diperoleh matriks
jacobi
J 3 = ⎡⎢
0
2 xω ⎤
⎥
⎣ 2π a cos ( 2πθ ) −1 ⎦ x =T3
Studi kasus untuk a = −2 dan ω = 1 ,
diperoleh titik tetap Τ = ⎛ − 1 ,1⎞ dengan
3
⎜
⎟
⎝ 12 ⎠
matriks Jacobi
2⎤
⎡ 0
J3 = ⎢
⎥
⎣−2π 3 −1⎦
Persamaan karakteristik dari J 3 adalah
det ( J 3 − λΙ ) = 0
atau
λ 2 + λ + 4π 3 = 0 .
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari
J 3 sebagai berikut
λ1, 2 = −
1 1
± i −1 + 16π 3 .
2 2
Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem
persamaan (26) dengan titik tetap Τ3
memberikan titik tetap yang bersifat spiral
stabil.
Gambar 16
Medan vektor di sekitar titik tetap
⎛1
⎞
⎛ 1 ⎞
Τ2 = ⎜ , −1⎟ dan Τ3 = ⎜ − ,1⎟ dapat
⎝ 12
⎝ 12 ⎠
⎠
dilihat pada Gambar 15, sedangkan Gambar
16 merupakan bidang fasenya.
Telah dibuktikan berdasarkan Teorema
Lienard bahwa sistem persamaan Van der
Pol mempunyai limit cycle. Berikut ini akan
dianalisis bifurkasi Hopf yang terjadi pada
sistem persamaan (25) berdasarkan nilai
eigen dan parameter yang digunakan. Pada
sistem persamaan (25) terdapat tiga
parameter yaitu a , ε , dan θ . Analisis
kestabilan dilakukan untuk nilai a ∈ \ ,
0 < θ < 1 , dan 0 < ε < 1 , yang hasilnya dapat
dilihat pada lampiran 3.
Untuk melakukan analisis bifurkasi
Hopf, maka dipilih kasus dengan
sin ( 2πθ ) = −1 dan sin ( 2πθ ) = 1 . Karena
θ ∈ ( 0,1) ,
maka parameter θ yang terpenuhi
adalah θ = 1 4 dan θ = 3 4 . Jika θ = 1 4 , maka
diperoleh titik tetap berikut
(
)
2 ⎞
⎛ 1
Τ = ⎜ a, a sin ( 2πθ ) −3 + a 2 sin ( 2πθ ) ⎟
1 ⎝ 3
⎠
sedangkan untuk θ = 3 4 diperoleh titik tetap
(
)
1
2 ⎞
⎛
Τ = ⎜ − a, a sin ( 2πθ ) −3 + a 2 sin ( 2πθ ) ⎟ .
1 ⎝
3
⎠
Matriks eigen dari kedua titik tetap tersebut
adalah
9
⎡1
1⎤
ε⎥
⎢
⎥
0⎦
−1
⎣
Sehingga nilai eigen dari A adalah
sekawan, maka menurut teorema pada
landasan
pustaka
terdapat
matriks
⎡ α β ⎤ , dengan
R=
2
A = ⎢ ε (1 − a )
λ1,2 =
⎢−β
⎣
2
1
(1 − a 2 ) ± 12 ε12 (1 − a 2 ) − 4 ⎛⎜⎝ ε1 ⎞⎟⎠
2ε
atau dapat juga dituliskan
λ1,2
2
1
=
(1 − a 2 ) ± 12 i 4 ⎛⎜⎝ ε1 ⎞⎟⎠ − ε12 (1 − a 2 ) .
2ε
Kedua nilai eigen tersebut bergantung pada
nilai a dan ε . Jika a = 1 dan a = −1 , maka
untuk 0 < ε < 1 titik tetapnya bersifat center
dan selalu stabil. Untuk a ∈ \ − {−1,1}
•
Jika 0 < ε < 1 dan a < −1 , maka
sistemnya berbentuk spiral stabil
dan simpul stabil, lihat Gambar 17.
•
Jika 0 < ε < 1 dan −1 < a < 1 , maka
sistemnya berbentuk spiral tak
stabil, lihat Gambar 19.
• Jika 0 < ε < 1 dan a > 1 , maka
sistemnya berbentuk spiral stabil
dan simpul stabil, lihat Gambar 21.
Karena nilai eigen dari matriks A yang
diperoleh berbentuk bilangan kompleks
gambar
y1.10 ,
1 8a, ε, θ, :−
, 1>>>
4 è!!!
3! π
4 è!!!
3! π
classify2D[eq1]
unstable - saddle
ArcCsc@aD
, 1>
2π
eq2=eqstates[[2]]
:
parmval={-2,1}
{-2,1}
eq2=eqstateval[eq2]
:−
1
, 1>
12
"#######################
"#######################
i
è!!!! # y 1 i
è!!!! # y
j
j
− 1 + 16 3 π z
− 1 + 16 3 π z
z,
z>,
j−1 +
j− 1 −
{ 2 k
{
k
"########################
"########################
è!!!!
è!!!!
1−
−1 + 16 3 π
1+
− 1 + 16 3 π
, 1>, :−
, 1>>>
::−
è!!!
!
4 3π
4 è!!!
3! π
eigsys[eq2]
::
1
2
classify2D[eq2]
strictly stable - spiral
16
Lampiran 2. Program untuk menggambarkan medan vektor dan bidang fase disekitar titik
tetapnya pada sistem persamaan (25) dan sistem persamaan (26).
Program ini menggunakan paket Mathematica yaitu Dynpac yang dapat didownload dari
www.wolfram.com
2.1 Sistem Persamaan (25)
sysid
Mathematica
5.2 . 0 , DynPac
10.71 ,
intreset;
plotreset;
setstate@8x, y
DENGAN GAYA LUAR YANG PERIODIK
Oleh :
IKHE SULISTIYANIK
G54102024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2007
ABSTRACT
IKHE SULISTIYANIK. Hopf Bifurcation on the Van der Pol system equation with periodic
outer forced. Guided by ALI KUSNANTO and JAHARUDDIN.
Research toward a vacuum tubes, Van der Pol invented a model of non linear differential
equation, which is known as Van der Pol equation.
In this paper, we study about Van der Pol equation not only with an outer forced that has
periodic function, but also without outer forced. With time scale, Van Der Pol equation system is
derived to obtain a simpler one. Then we analyzed the stability at the later equation.
In the form of Van der Pol equation without an outer forced, the existence of the limit cycle
can be shown by using Lienard Theorem. While for Van der Pol equation system that involves
periodic outer forced, the existence of the limit cycle alteration of some parameter values. For
several parameter values, the system doesn’t have a limit cycle. In this condition, the system has a
fixed point which has saddle point. The determine existence of a limit cycle for Van der Pol
system equation with periodic outer forced was done by Hopf bifurcation.
ABSTRAK
IKHE SULISTIYANIK. Bifurkasi Hopf pada sistem persamaan Van der Pol dengan gaya luar
yang periodik. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan JAHARUDDIN.
Dalam penelitian terhadap suatu tabung triode tertutup, Van der Pol menemukan suatu
model berupa persamaan diferensial tak linear yang selanjutnya dikenal dengan persamaan Van
der Pol.
Dalam tulisan ini dipelajari persamaan van der Pol tanpa gaya luar dan dengan gaya luar
yang berupa fungsi periodik. Dengan pengskalaan waktu diturunkan sistem persamaan Van der Pol
yang lebih sederhana yang selanjutnya dianalisis kestabilannya.
Dalam bentuk persamaan Van der Pol tanpa gaya luar, eksistensi limit cycle dapat
ditunjukkan dengan Teorema Lienard. Sedangkan untuk sistem persamaan Van der Pol yang
melibatkan gaya luar yang periodik, eksistensi limit cycle dipengaruhi oleh perubahan nilai
parameter tertentu. Untuk beberapa nilai parameter sistem tidak mempunyai limit cycle. Dalam
kondisi ini sistem tersebut mempunyai suatu titik tetap yang bersifat sadel. Penentuan eksistensi
limit cycle untuk sistem persamaan Van der pol dengan melibatkan gaya luar yang periodik
dilakukan dengan bifurkasi Hopf.
BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PERSAMAAN VAN DER POL
DENGAN GAYA LUAR YANG PERIODIK
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh :
IKHE SULISTIYANIK
G54102024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2007
Judul
Nama
NIM
: Bifurkasi Hopf pada Sistem Persamaan Van der Pol dengan Gaya
Luar yang Periodik
: Ikhe Sulistiyanik
: G54102024
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. Ali Kusnanto, M.Si
NIP 131913135
Dr. Jaharuddin, M.Si
NIP 132045530
Mengetahui,
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.
NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus : …………………..
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Trenggalek pada tanggal 24 Oktober 1984 sebagai anak pertama dari
dua bersaudara, anak dari Sujiyono (alm) dan Murdiati.
Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar pada tahun 1996 di SD Negeri Arosbaya
03, melanjutkan ke SLTP Negeri 1 Karangan (lulus tahun 1999), kemudian melanjutkan ke SMU
Negeri 1 Bangkalan (lulus tahun 2002) dan diterima sebagai mahasiswa di Departemen
Matematika Fakultas Matematika dan IPA Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI pada tahun
yang sama.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten untuk mata kuliah
Pengantar Matematika. Penulis juga aktif dalam kepengurusan organisasi antara lain: staf
Departemen Kesekretariatan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) pada tahun 2003.
Penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan, antara lain: kepanitiaan dalam rangkaian kegiatan
SAINS EXPO yakni Pelatihan 3D Studio Max sebagai Bendahara.
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT. yang selalu memberikan rahmat dan
karunia sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul ”Bifurkasi hopf pada
Sistem Persamaan Van der Pol dengan Gaya Luar yang Periodik”. Sholawat serta salam tidak lupa
penulis panjatkan kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat dan keluarga, serta para pengikutnya
sampai akhir zaman.
Keterbatasan dan ketidaksempurnaan membuat penulis membutuhkan bantuan, dukungan
dan semangat dari orang-orang, baik secara langsung ataupun tidak langsung, berkontribusi besar
dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada:
1.
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing pertama, Dr. Jaharuddin, M.Si. selaku
pembimbing kedua, terima kasih atas kesabaran dan bimbingannya selama ini.
2.
Drs. Siswandi, M.Si. selaku penguji dan moderator seminar.
3.
Orang tua tercinta yang selalu memberikan dukungan serta doa restunya selama penulis
menempuh pendidikan selama ini. Adikku tercinta, teruslah berjuang untuk mencapai citacita juga keluarga besar yang selalu mendoakan.
4.
Miftahus Surur, terima kasih atas dukungan dan motifasi yang bisa membuat penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini juga atas kesabaran, kesetiaan, perhatian, semangat dan
doanya.
5.
Keluarga Bulek Asih, Paklek Mugi, Mas Noer, Mbak Sri dan Mbak Deni terimakasih
selalu memberikan dukungan dan semangat kepada penulis selama ini..
6.
Lucky Hendarwan, terima kasih atas doa dan kebersamaannya selama penulis menempuh
kuliah di Bogor.
7.
Sahabat-sahabat yang selalu memberikan dukungan dan semangatnya serta nasehat-nasehat
yang berharga bagi penulis. Wenny, Nita, Gresi dan Ekam, yang selalu setia mendengar
keluh kesah penulis selama ini.
8.
Rachmat agustian dan Rismanto yang telah banyak membantu dalam segala hal sehingga
penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.
9.
Sahabat-sahabat penulis yang nun jauh disana. Mbak Didu’, Mia, Mas Helmi, Vavan,
Andi, Fauzul, Karyadi, Widya dan Cristina, semoga kita bisa selalu menjaga tali
silaturahim ini.
10.
Ari, Uve, Elis, Dany, Rusli, Walidah, Diah, terima kasih atas bantuan kalian.
11.
Febrian, Berri, dan Vina, terima kasih telah bersedia menjadi pembahas.
12.
Teman-teman kost-an. Ria dan Rina, terima kasih atas kebersamaannya.
13.
Teman-teman angkatan 39, Desy, Neli, Mega, Mere, Mbak’e, Dina, Rany, Irwan, Unre,
dan semuanya yang tak bisa disebutkan satu persatu.
14.
Teman-teman 40, 41, dan semua kakak kelas yang pernah melengkapi perjalanan penulis
selama kuliah.
15.
Seluruh Dosen Departemen Matematika IPB yang telah bersusah payah memberikan
ilmunya kepada kami. Staf Departemen Matematika IPB (Bu Susi, Bu Ade, Mas Bono,
Mas Yono, Mas Denny, dll.) yang senantiasa direpotkan.
Dan semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat
bermanfaat bagi semua pihak.
Bogor, Mei 2007
Ikhe Sulistiyanik
DAFTAR ISI
halaman
DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................. ix
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................ ix
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang.........................................................................................................
1.2 Tujuan .....................................................................................................................
1.3 Sistematika Penulisan .............................................................................................
1
1
1
II LANDASAN TEORI ...................................................................................................
1
III PEMBAHASAN
3.1 Model ......................................................................................................................
3.2 Titik Tetap................................................................................................................
3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap................................................................................
5
6
7
IV SIMPULAN ..................................................................................................................
11
DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................................
11
LAMPIRAN..........................................................................................................................
13
ix
DAFTAR GAMBAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
halaman
Limit cycle stabil ............................................................................................................... 1
Limit cycle tak stabil ......................................................................................................... 2
Limit cycle setengah stabil ................................................................................................ 2
Titik Pelana (saddle point) ................................................................................................ 3
Simpul tak sejati tak stabil ................................................................................................. 3
Simpul tak sejati stabil ...................................................................................................... 4
Spiral tak stabil ................................................................................................................. 4
Spiral stabil ....................................................................................................................... 4
Simpul sejati tak stabil ....................................................................................................... 4
Simpul sejati stabil ............................................................................................................ 4
Degenerate ........................................................................................................................ 4
Center .............................................................................................................................. 4
Medan vektor disekitar titik tetap pada sistem persamaan (25) ........................................ 7
Bidang fase disekitar titik tetap pada sistem persamaan (25) .......................................... 7
Medan vektor disekitar titik tetap pada sistem persamaan (26) .......................................... 8
Bidang fase disekitar titik tetap pada sistem persamaan (26) ............................................ 8
Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (25), dengan a = −1.1 .................... 9
Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (25) dengan a = −1 ...................... 9
Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (25) dengan a = −0.5 .................... 10
Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (25) dengan a = 1 ......................... 10
Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (25) dengan a = 1.1 ...................... 11
Diagram Bifurkasi Hopf pada sistem persamaan (25) ........................................................ 11
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Program untuk menganalisis titik tetap pada sistem persamaan (25)
dan sistem persamaan (26) ................................................................................................. 14
2. Program untuk menggambarkan medan vektor dan bidang fase disekitar
titik tetapnya pada sistem persamaan (25) dan sistem persamaan (26) ............................. 19
3. Hasil running dari program untuk menganalisis titik tetap pada sistem persamaan (25)
pada contoh kasus nilai θ = 0.25 , ε = 1 , dan −2 < a < 2 . ..................................................... 20
4. Program untuk menggambarkan medan vektor dan bidang fase disekitar titik tetapnya
pada contoh kasus nilai θ = 0.25 , ε = 1 , dengan nilai a = −1.1 , a = −1 , a = −0.5 , a = 1
dan a = 1.1 ........................................................................................................................... 31
1.
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Penelitian yang dilakukan oleh Van der
Pol pada sebuah tabung triode tertutup, yaitu
sebuah alat yang
digunakan untuk
mengendalikan arus listrik dalam suatu
sirkuit pada transmitter dan receiver
menghasilkan suatu perilaku penyelesaian
yang unik dan berbeda dengan perilaku
penyelesaian persamaan diferensial linear.
Van der Pol mengusulkan model yang dikaji
dalam
penelitian
berupa
persamaan
diferensial tak linear yang selanjutnya
disebut persamaan Van der Pol. Dalam
penelitiannya tersebut, Van der Pol
memberikan kontribusi pada pengembangan
metode matematika, khususnya pada
masalah persamaan diferensial. Dalam hal
ini, ia berkontribusi pada teori kestabilan
penyelesaian
persamaan
diferensial.
Penelitian Van der pol tersebut memberikan
motivasi bagi Cartwright dan Littlewood
untuk mengkaji kestabilan persaman Van
der Pol khususnya yang memuat gaya luar
[Cartwright 1945]. Persamaan van der Pol
ini hingga sekarang masih dikaji oleh
beberapa peneliti, khususnya pada masalah
perturbasi dan relaksasi osilasi. Persamaan
ini juga dijadikan model pada beberapa
fenomena fisika, biologi dan seismology
[Guckeinheimer 2000]. Akan tetapi masalah
bifurkasi dari sistem persamaan ini masih
sangat sedikit kajiannya.
Dalam karya ilmiah ini, persamaan van
der Pol akan dinyatakan dalam suatu sistem
persamaan diferensial orde satu untuk
mengklasifikasi bifurkasi Hopf dari orbit
periodik dalam sistem yang telah tereduksi.
Reduksi ke dalam sistem persamaan
diferensial yang dilakukan didasarkan pada
alur
yang
terdapat
dalam
paper
[Guckeinheimer 2003].
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini
adalah mengkaji persamaaan Van der Pol
yang memuat gaya luar dengan cara
menyatakan persamaan tersebut ke dalam
suatu persamaan diferensial orde satu.
Persamaan yang dihasilkan akan digunakan
untuk mengklasifikasi bifurkasi Hopf yang
memberikan orbit periodik dalam sistem
yang telah tereduksi tersebut.
1.3 Sistematika Penulisan
Pada bab pertama dijelaskan latar
belakang dan tujuan dari penulisan karya
ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori
yang menjadi konsep dasar dalam
penyusunan pembahasan. Pada bab tiga akan
dibahas persamaan Van der Pol dan
mereduksi persamaan tersebut menjadi suatu
sistem persamaan diferensial orde satu.
Selain itu, pada bab ini juga akan dianalisis
bifurkasi Hopf dengan menggunakan
persamaan yang telah tereduksi. Simpulan
dari karya ilmiah ini akan dibahas pada bab
empat.
II LANDASAN TEORI
Persamaan van der Pol adalah suatu
persamaan diferensal tak linear yang dapat
didekati dengan bentuk sistem persamaan
diferensial linear. Teori sistem persamaan
diferensial
linear
dan
kestabilannya
disarikan dari buku [Anton 1995], [Farlow
1994], [Szidarovszky & Bahill 1998], [Tu
1994] dan [Verhulst 1990]. Sebelum
membahas
teori
sistem
persamaan
diferensial linear, maka berikut ini akan
dibahas konsep limit cycle.
Penjelasan tentang limit cycle terdapat
dalam buku [Strogatz 1994]. Limit cycle
adalah suatu bentuk trayektori tertutup dan
terisolasi.
Pada
umumnya
untuk
menggambarkan
limit
cycle,
sistem
persamaan diferensial dituliskan sebagai
persamaan diferensial dalam koordinat
kutub. Jika semua lingkungan trayektori
mendekati limit cycle maka limit cycle
disebut limit cycle stabil (lihat gambar 1).
Pada keadaan sebaliknya limit cycle disebut
limit cycle tak stabil (lihat gambar 2).
Sedangkan pada kasus tertentu limit cycle
disebut limit cycle setengah stabil (lihat
gambar 3).
Gambar 1. Limit cycle stabil.
2
Selanjutnya akan dibahas kestabilan
suatu titik dari suatu sistem dinamik.
Misalkan diberikan sistem persamaan
diferensial (SPD) berikut.
dx
n
= x = f ( x ), x ∈ R .
(6)
dt
Titik x* disebut titik tetap jika f ( x* ) = 0 .
Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik
keseimbangan. Selanjutnya, misalkan titik
x* adalah titik tetap SPD mandiri (6) dan
x (t ) adalah solusi yang memenuhi kondisi
Gambar 2. Limit cycle tak stabil.
Gambar 3 Limit cycle setengah stabil.
Eksistensi limit cycle dijamin oleh Teorema
Lienard berikut:
Teorema Lienard
Tinjau persamaan Lienard berikut.
d2x
dx
(3)
+ f ( x) + g ( x) = 0 .
dt
dt
Persamaan (3) dapat dinyatakan sebagai
sistem persamaan berikut
x =y
.
y =−g(x)− f (x)y
(4)
Jika fungsi f dan g memenuhi kondisi:
1) f dan g terturunkan dan kontinu,
2) − g ( x ) = g ( − x ) , untuk setiap x.
3)
4)
g ( x ) > 0 untuk x > 0
f ( x ) = f ( − x ) , untuk setiap x.
5) Fungsi ganjil F ( x) = f ( u )du , benilai
∫
x
0
nol untuk x = a , negatif untuk 0 < x < a ,
F (a) = 0 , positif dan tak turun untuk
x > a , dan F ( x) → ∞ untuk x → ∞ ,
maka sistem persamaan (4) memiliki
penyelesaian tunggal dan mempunyai limit
cycle stabil. Bukti secara lengkap dapat
dilihat dalam [Perko 1991].
Misalkan diberikan suatu sistem
persamaan diferensial orde satu sebagai
berikut
dx
= x = f ( x, y ),
dt
(5)
dy
= y = g ( x, y ).
dt
Jika fungsi f dan g kontinu bernilai real
dan dinyatakan dalam x dan y saja serta
tidak bergantung pada waktu, maka sistem
persamaan (5) disebut sistem persamaan
diferensial mandiri. Sistem persamaan van
der Pol salah satu contoh sistem persamaan
diferensial mandiri.
x0 ≠ x* . Titik x*
awal x(0) = x0 dan
dikatakan titik tetap stabil, jika terdapat
ε 0 > 0 , yang memenuhi sifat berikut: untuk
setiap ε1 , 0 < ε1 < ε 0 , terdapat ε > 0
sedemikian sehingga jika x* − x0 < ε maka
x* − x(t ) < ε1
,
untuk
setiap
t > t0 .
Sebaliknya titik x* dikatakan titik
tidak stabil, jika terdapat ε 0 > 0 ,
memenuhi sifat berikut: untuk setiap ε
0 < ε < ε 0 , sedemikian sehingga,
x* − x0 < ε maka
tetap
yang
>0 ,
jika
x* − x(t ) < ε 0 , untuk
setiap t > t0 .
Untuk menganalisis kestabilan titik
tetap dari sistem persamaan diferensial tak
linear, dapat dilakukan dengan pelinearan
pada sistem persamaan diferensialnya.
Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai
berikut.
x=f(x)
(7)
dengan
f:U → R n , U ⊂ R n .
Dengan menggunakan uraian Taylor dari f
*
di titik tetap x , maka persamaan (6) dapat
ditulis sebagai berikut.
x = Ax + ϕ ( x) .
(8)
Persamaan tersebut merupakan SPD
taklinear dengan A adalah matriks Jacobi,
3
A = Df ( x * ) = Df ( x ) x = x *
⎡ ∂f1
⎢ ∂x
⎢ 1
=⎢ #
⎢
⎢ ∂f n
⎢⎣ ∂x1
⎡ a11
= ⎢⎢ #
⎢⎣ an1
∂f1 ⎤
∂xn ⎥
⎥
%
# ⎥
⎥
∂f n ⎥
"
∂xn ⎥⎦ x = x*
" a1n ⎤
⎥
%
#⎥
" ann ⎥⎦
"
dan ϕ ( x) suku berorde tinggi yang bersifat
lim ϕ ( x) = 0.
Selanjutnya
Ax
pada
x →0
persamaan (8) disebut pelinearan dari sistem
taklinear persamaan (7) dan didapatkan
bentuk
x = Ax .
(9)
Untuk sistem yang berada dalam bidang
R 2 , diperoleh
x = f (x) = Ax + ϕ ( x)
dengan
x1 = f1 ( x) = ax1 + bx2 + ϕ1 ( x1 , x2 )
x2 = f 2 ( x) = cx1 + dx2 + ϕ 2 ( x1 , x2 )
dimana
∂f
∂f
a = 1 = a11 ,
b = 1 = a12
∂x1
∂x2
c=
dan lim
r →0
∂f 2
= a21 ,
∂x1
ϕ1 ( x1 , x2 )
r
d=
= lim
r →0
∂f 2
= a22
∂x2
ϕ 2 ( x1 , x2 )
r
Persamaan
(12)
disebut
persamaan
karakteristik.
Nilai eigen yang diperoleh dari hasil
pelinearan tersebut dapat digunakan untuk
menganalisis kestabilan di sekitar titik tetap
yang diperoleh, yang kemudian dapat
digambarkan orbitnya. Misalkan diberikan
matriks A berukuran 2 × 2 sebagai berikut.
⎛a b⎞
A=⎜
⎟.
⎝c d⎠
Persamaan karakteristiknya berbentuk
b ⎞
⎛a −λ
det ⎜
⎟=0
d −λ⎠
⎝ c
atau
λ 2 − τλ + A = 0
dengan
τ = trace( A) = a + d
dan
A = det( A) = ad − bc .
Sehingga diperoleh nilai eigen dari A
adalah
λ=
τ ± τ 2 − 4A
.
2
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan
untuk setiap nilai eigen yang diperoleh.
Dalam tulisan ini akan diperlihatkan 6 kasus
sebagai berikut:
1. Jika A < 0 , nilai eigen mempunyai akar
real yang yang berbeda tanda, maka titik
tetap bersifat titik pelana (saddle point)
(lihat Gambar 4).
=0
dengan r = x12 − x2 2 . Nilai ϕ1 dan ϕ2
kecil sekali, sehingga dapat diabaikan.
Selanjutnya, misalkan A adalah matriks
n × n , maka suatu vektor taknol x di dalam
R n disebut vektor eigen dari A , jika untuk
suatu skalar λ , yang disebut nilai eigen dari
A , berlaku:
Ax = λ x .
(10)
Vektor x disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen λ . Untuk
mencari niali eigen dari matriks A yang
berukuran n × n , maka persamaan (10)
dapat dituliskan sebagai berikut:
(A − λ I)x = 0
(11)
dengan I matriks identitas. Persamaan (10)
mempunyai solusi tak nol jika dan hanya
jika
det (A − λ I) = 0 .
(12)
Gambar 4. Titik Pelana (saddle point).
2.
Jika A > 0,τ > 0 dan memenuhi kondisi
τ 2 − 4A > 0 , berarti kedua nilai eigen
mempunyai nilai yang sama, maka titik
tetap merupakan simpul tak sejati
(nodes) tak stabil (lihat Gambar 5). Jika
τ < 0 maka titik tetap merupakan nodes
stabil (lihat Gambar 6).
Gambar 5. Simpul tak sejati tak stabil.
4
5.
Gambar 6. Simpul tak sejati stabil.
3.
6.
Jika A > 0,τ > 0 dan memenuhi kondisi
τ 2 − 4A < 0 , berarti nilai eigennya
merupakan complex conjugate, maka
titik tetap bersifat spiral tak stabil (lihat
Gambar 7). Jika τ < 0 maka titik tetap
bersifat spiral stabil (lihat Gambar 8).
Jika τ 2 − 4A = 0 , τ > 0 dan ada satu
vektor eigen bebas linear, maka titik
tetap bersifat degenerate node tak stabil.
Jika τ < 0 , maka titik tetap bersifat
degenerate node stabil (lihat Gambar
11).
Jika τ = 0 , nilai eigen merupakan
imajiner murni, maka titik tetap bersifat
center yang selalu stabil (lihat Gambar
12).
Gambar 11. Degenerate.
Gambar 7. Spiral takstabil.
Gambar 12. Center.
Gambar 8. Spiral stabil.
4.
Jika τ 2 − 4A = 0 , τ > 0 , dan ada 2
vektor eigen bebas liear, maka bersifat
simpul sejati (star node) tak stabil (lihat
Gambar 9). Jika τ < 0 , maka titik tetap
bersifat simpul sejati stabil (lihat
Gambar 10).
Berdasarkan
uraian
di
atas
dapat
disimpulkan bahwa kestabilan titik tetap
mempunyai 3 prilaku sebagai berikut:
1. Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah
negatif ( λi < 0 untuk setiap i).
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks bagian realnya lebih kecil
atau
sama
dengan
nol,
( Re ( λi ) ≤ 0 untuk setiap i).
2.
Gambar 9. Simpul sejati tak stabil.
3.
Tak stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah positif
( λi > 0 untuk setiap i).
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks bagian realnya lebih
besar dari nol, ( Re(λi ) > 0 untuk
setiap i).
Sadel, jika
Perkalian dua buah nilai eigen real
sembarang adalah negatif ( λi λ j < 0
untuk i dan j sembarang).
Gambar 10. Simpul sejati stabil.
Dalam karya ilmiah ini juga akan
dilakukan analisis untuk Bifurkasi Hopf.
Penjelasan mengenai Bifurkasi Hopf
terdapat dalam buku [Borelli 1998].
Misalkan diberikan suatu sistem :
x = α ( c ) x + β ( c ) y + P ( x, y, c )
(13)
y = − β ( c ) x + α ( c ) y + Q ( x, y, c )
5
dengan P dan Q setidaknya merupakan
orde kedua dalam x dan y dan terturunkan
dua kali secara kontinu dalam x , y dan c .
cukup kecil dimana c mendekati nol dari
kiri. Periode dari cycle mendekati nilai
2π β untuk c ≥ 0 yang kecil.
Fungsi α ( c ) dan β ( c ) adalah fungsi yang
Teorema di atas diperkuat dengan
teorema berikut ini:
Misalkan A operator linear pada ruang
vektor dimensi dua dengan λ = α ± i β ,
merupakan nilai eigen dari A , maka terdapat
matriks R sehingga
⎡ α β⎤
R≡⎢
⎥ ≡αI + βJ
⎣−β α ⎦
dengan
⎡ 0 1⎤ .
J ≡⎢
⎥
⎣ −1 0 ⎦
Penjelasan dan bukti teorema di atas dapat
dilihat pada [Tu 1994].
kontinu dan terturunkan pada c . Nilai eigen
untuk matriks Jacobi dari sistem persamaan
(13) adalah α ( c ) ± i β ( c ) . Selanjutnya,
perhatikan Teorema Bifurkasi Hopf berikut.
Teorema Bifurkasi Hopf
Misalkan
α ( 0) = 0 ,
α ′ (0) > 0
dan
β ( 0 ) ≠ 0 , dimana sistem persamaan (13)
stabil asimtotik di titik awal untuk c = 0 ,
maka titik awal tidak stabil dan
menghasilkan limit cycle yang besarnya
k ( c ) , dengan k ( 0 ) = 0 dan k ( c ) fungsi
konstan dan naik untuk setiap c ≥ 0 yang
III PEMBAHASAN
Dengan demikian persamaan Van der Pol
(14) mempunyai penyelesaian tunggal dan
limit cycle stabil.
Selanjutnya perhatikan bentuk
x′′ + μ ( x 2 − 1) x′ .
3.1 Model
Tinjau persamaan Van der Pol berikut
x ′′ + μ
(x
2
)
− 1 x′ + x = 0
(14)
dengan μ 1 .
Berikut ini akan diperlihatkan bahwa
persamaan (14) memiliki limit cycle yang
stabil berdasarkan Teorema Lienard. Untuk
itu, dimisalkan
(
Tuliskan bentuk di atas sebagai
(
)
⎛ x3
F ( x) = μ ⎜
⎝ 3
Premis dari Teorema Lienard terpenuhi,
sebab:
1) Fungsi f ( x ) dan g ( x ) terturunkan
(
5)
F ( x) =
∫
x
f ( u )du =
∫
x
0
(16)
⎠
⎛ x3
μ ( u 2 − 1) = μ ⎜
Jika dimisalkan w = μ y ,
persamaan (18) diperoleh
⎞
− x⎟
⎝ 3
⎠
Fungsi F ( x ) berupa fungsi ganjil dan
mempunyai tepat satu akar positif, yaitu
bernilai
a = 3 . Selanjutnya
F ( x)
negatif untuk 0 < x < 3 , bernilai positif
dan tak turun untuk x > 3 , dan
F ( x ) → ∞ , bila x → ∞ .
0
⎞
− x⎟ .
w = x′ + μ F ( x ) .
)
4)
(15)
dengan
f ( x ) = f ( − x ) = μ x − 1 , untuk setiap
x
g ( x ) > 0 untuk x > 0
( x′+μ F ( x ) ) .
Persamaan (15) dapat dituliskan dalam
bentuk
(17)
x′′ + μ ( x 2 − 1) x′ = w′
dan kontinu,.
2) − g ( x ) = g ( − x ) , untuk setiap x
3)
d
dt
dengan
2
f ( x ) = μ x − 1 dan g ( x ) = x .
2
)
x′′ + μ x 2 − 1 x′ =
(18)
maka
dari
x′ = w − μ F ( x )
atau
x′ = μ ( y − F ( x) )
atau
x′
μ
⎛ x3
= y −⎜
⎝ 3
⎞
− x⎟ .
(19)
⎠
Selanjutnya gunakan pengskalaan waktu
berikut
t =τ μ
maka diperoleh
6
x′ =
dan
dx 1 dx 1
=
= x
dτ μ dt μ
y=
dx′ d ⎛ dx ⎞ 1 .
=
x
x′′ =
⎜ ⎟=
dτ dτ ⎝ dτ ⎠ μ 2
Sehingga persamaan (19) menjadi
x
⎛ x3
⎞
= y −⎜ − x⎟
2
μ
⎝ 3
⎠
atau
x x 3
(20)
y= 2 +
−x.
3
μ
Selanjutnya, tinjau persamaan Van der
Pol dengan gaya luar yang melibatkan fungsi
yang berosilasi berikut
2
x ′′ + μ ( x − 1) x ′ + x = a sin ( 2πυτ ) . (21)
Persamaan van der Pol (21) akan ditulis
dalam peubah y . Untuk itu, turunkan kedua
ruas pada persamaan (20) secara implisit
terhadap t sehingga diperoleh
x
(22)
+ ( x 2 − 1) x .
μ2
Jika digunakan kembali pengskalaan waktu
t = τ μ , maka persamaan (22) menjadi
y =
(
)
y = x′′ + μ x 2 − 1 x′ .
(23)
Dengan demikian persamaan van der Pol
(21) dapat ditulis
(24)
y = − x + a sin ( 2πυτ )
dimana y ≡ dy dt .
Selanjutnya, gunakan parameter baru
ε = 1 μ 2 dan ω = υμ . Kemudian digunakan
θ = ωt , maka persamaan (24) menjadi
y = − x + a sin ( 2πθ ) .
Dari persamaan (20) diperoleh
x3
ε x = y − + x .
3
Karena θ = ωt , maka
θ = ω .
Dengan
demikian
diperoleh
persamaan diferensial mandiri
berikut
x3
ε x = y − + x
3
y = − x + a sin ( 2πθ )
sistem
sebagai
(25)
θ = ω
dimana x dan y bilangan riil, sedangkan
θ ∈ ( 0,1) dan ε suatu parameter kecil.
Untuk kasus ε = 0 , maka berdasarkan
sistem persamaan (25), didapatkan
x3
−x.
3
Jika persamaan di atas diturunkan
terhadap t secara implisit, maka diperoleh
y = ( x 2 − 1) x .
Selanjutnya,
waktu berikut
gunakan
pengskalaan
t = ( x 2 − 1) T ,
maka diperoleh
y =
θ =
dx
dT
1
dθ .
( x − 1) dt
2
Dengan demikian sistem persamaan
(25) untuk ε = 0 menjadi
dθ
= ω ( x 2 − 1)
.
(26)
dT
dx
= − x + a sin ( 2πθ )
dT
Berikut ini akan dicari titik tetap dari
sistem persamaan (25) dan sistem persamaan
(26). Kemudian akan dianalisis kestabilan di
sekitar titik tetap tersebut. Dengan bantuan
software Mathematica akan dicari dan
dianalisis kestabilan di titik tetapnya.
3.2 Titik tetap
Berikut ini akan ditentukan titik tetap
dari sistem persamaan (25). Karena
persamaan ketiga pada sistem persamaan
(25) turunannya bernilai konstan yang tak
nol, maka untuk memperoleh titik tetap dari
sistem persamaan (25) cukup berdasarkan
persamaan berikut
x =
dx
= 0 dan
dt
y =
dy
= 0.
dt
Masing-masing
persamaan
memberikan
3
⎞
1⎛
x
y−
+ x⎟ = 0
⎜
3
ε⎝
⎠
dan
− x + a sin ( 2πθ ) = 0 .
di
atas
Sehingga titik tetap dari sistem persamaan
(25) adalah
1
2 ⎞.
⎛
Τ = a sin ( 2πθ ) , a sin ( 2πθ ) −3 + a 2 sin ( 2πθ )
1
⎜
⎝
(
3
) ⎟⎠
Selanjutnya akan dihitung titik tetap
dari sistem persamaan (26). Titik tetap dari
sistem persaman (26) diperoleh berdasarkan
persamaan berikut
dθ
dx
= 0 dan
=0.
dT
dT
7
Masing-masing
memberikan
persamaan
di
atas
ω ( x − 1) = 0
2
dan
− x + a sin ( 2πθ ) = 0 .
Sehingga titik tetap dari sistem persamaan
(26) adalah
⎛
⎞
−1 ⎛ 1 ⎞
⎜ sin ⎜⎝ a ⎟⎠
⎟
Τ2 = ⎜ −
, −1 ⎟
2π
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
A= ⎡ 2
2⎤
.
⎢ −1 0 ⎥
⎣
⎦
Persamaan karakteristik dari A adalah
det ( A − λΙ ) = 0
atau
λ 2 − 2λ + 2 = 0 .
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari
A sebagai berikut
λ1 = 1 + i
λ = 1− i .
2
Karena λ dan λ2 bilangan kompleks, maka
dapat disimpulkan bahwa sistem persamaan
(25) dengan titik tetap Τ1 memberikan titik
1
⎛ −1 ⎛ 1 ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜⎝ a ⎟⎠ ⎟ .
Τ3 = ⎜
,1 ⎟
⎜ 2π
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
tetap yang bersifat spiral tak stabil.
Berdasarkan titik-titik tetap yang
diperoleh di atas, berikut ini akan dianalisis
kestabilannya.
gambar
1 8 a, ε , θ < = 8 y1.00 ,
0.50 ,
0.50 <
4
2
3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Pada bagian ini akan dianalisis
kestabilan titik tetap dari sistem persamaan
(25) dan (26). Untuk itu, sistem persamaan
(25) dan (26) terlebih dahulu dilinearkan.
Untuk sistem persamaan (25) tuliskan
x
-4
-2
-4
⎞
1⎛
x3
−
+ x⎟
y
⎜
3
ε⎝
⎠
y = g ( x, y ) = − x + a sin ( 2πθ ) .
Gambar 13
gambar
Sehingga bentuk linear dari sistem
persamaann (25) adalah
x = Ax
dengan x = ( x, y ) dan A matriks Jacobi
1 8 a, ε , θ < = 8 y 1.00 ,
0.50 ,
0.50 <
4
2
x
-4
berikut
-2
2
4
-2
∂f ⎤
∂y ⎥
-4
⎥
∂g ⎥
Gambar 14
∂y ⎥⎦ x =T
1
⎡1
2
= ⎢ (1 − x )
ε
⎢
−1
⎣
1⎤
ε⎥
⎥
0 ⎦ x =T
1
1⎤
⎡1
= ⎢ ε (1 − a sin ( 2πθ ) ) ε ⎥ .
⎢
⎥
−1
0⎦
⎣
Studi kasus untuk a = 1 , ε = 0.5 , dan
diperoleh
titik
tetap
θ = 0.5 ,
−16
−16
dengan
matriks
Τ1 = (1.22 ⋅10 , −1.22 ⋅10 )
Jacobi
4
-2
x = f ( x, y ) =
⎡ ∂f
⎢
A = ⎢ ∂x
⎢ ∂g
⎢ ∂x
⎣
2
Medan vektor di sekitar titik tetap
) dapat dilihat
(
Τ1 = 1.22 ⋅10−16 , −1.22 ⋅10−16
pada Gambar 13, sedangkan Gambar 14
merupakan bidang fasenya.
Selanjutnya
perhatikan
sistem
persamaan (26). Dalam hal ini tuliskan
p (θ , x ) = ω ( x 2 − 1)
.
q (θ , x ) = − x + a sin ( 2πθ )
Bentuk linear persamaan (26) di sekitar
titik tetapnya adalah
x = Jx
8
Dengan x = (θ , x ) dan J matriks Jacobi
x
2 8 a, ω < = 8 − 2.00 ,
gambar
untuk titik tetap T2 dan T3 . Untuk T2 ,
diperoleh matriks jacobi
0
2 xω ⎤
.
J 2 = ⎡⎢
⎥
2
cos
π
a
πθ
−1 ⎦
2
(
)
⎣
x =T2
Studi kasus untuk a = −2 dan ω = 1 ,
1.00 <
1.5
1
0.5
θ
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-0.5
diperoleh titik tetap Τ = ⎛ 1 , −1⎞ dengan
2
⎜
⎟
⎝ 12
⎠
matriks Jacobi
−2⎤
⎡ 0
J2 = ⎢
⎥.
⎣−2π 3 −1⎦
-1
-1.5
Gambar 15
Persamaan karakteristik dari J 2 adalah
det ( J 2 − λΙ ) = 0
atau
λ 2 + λ − 4π 3 = 0 .
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari
A sebagai berikut
λ1, 2 = −
1 1
±
1 + 16π 3 .
2 2
Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem
persamaan (26) dengan titik tetap Τ2
memberikan titik tetap yang bersifat sadel.
Sedangkan untuk T3 , diperoleh matriks
jacobi
J 3 = ⎡⎢
0
2 xω ⎤
⎥
⎣ 2π a cos ( 2πθ ) −1 ⎦ x =T3
Studi kasus untuk a = −2 dan ω = 1 ,
diperoleh titik tetap Τ = ⎛ − 1 ,1⎞ dengan
3
⎜
⎟
⎝ 12 ⎠
matriks Jacobi
2⎤
⎡ 0
J3 = ⎢
⎥
⎣−2π 3 −1⎦
Persamaan karakteristik dari J 3 adalah
det ( J 3 − λΙ ) = 0
atau
λ 2 + λ + 4π 3 = 0 .
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari
J 3 sebagai berikut
λ1, 2 = −
1 1
± i −1 + 16π 3 .
2 2
Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem
persamaan (26) dengan titik tetap Τ3
memberikan titik tetap yang bersifat spiral
stabil.
Gambar 16
Medan vektor di sekitar titik tetap
⎛1
⎞
⎛ 1 ⎞
Τ2 = ⎜ , −1⎟ dan Τ3 = ⎜ − ,1⎟ dapat
⎝ 12
⎝ 12 ⎠
⎠
dilihat pada Gambar 15, sedangkan Gambar
16 merupakan bidang fasenya.
Telah dibuktikan berdasarkan Teorema
Lienard bahwa sistem persamaan Van der
Pol mempunyai limit cycle. Berikut ini akan
dianalisis bifurkasi Hopf yang terjadi pada
sistem persamaan (25) berdasarkan nilai
eigen dan parameter yang digunakan. Pada
sistem persamaan (25) terdapat tiga
parameter yaitu a , ε , dan θ . Analisis
kestabilan dilakukan untuk nilai a ∈ \ ,
0 < θ < 1 , dan 0 < ε < 1 , yang hasilnya dapat
dilihat pada lampiran 3.
Untuk melakukan analisis bifurkasi
Hopf, maka dipilih kasus dengan
sin ( 2πθ ) = −1 dan sin ( 2πθ ) = 1 . Karena
θ ∈ ( 0,1) ,
maka parameter θ yang terpenuhi
adalah θ = 1 4 dan θ = 3 4 . Jika θ = 1 4 , maka
diperoleh titik tetap berikut
(
)
2 ⎞
⎛ 1
Τ = ⎜ a, a sin ( 2πθ ) −3 + a 2 sin ( 2πθ ) ⎟
1 ⎝ 3
⎠
sedangkan untuk θ = 3 4 diperoleh titik tetap
(
)
1
2 ⎞
⎛
Τ = ⎜ − a, a sin ( 2πθ ) −3 + a 2 sin ( 2πθ ) ⎟ .
1 ⎝
3
⎠
Matriks eigen dari kedua titik tetap tersebut
adalah
9
⎡1
1⎤
ε⎥
⎢
⎥
0⎦
−1
⎣
Sehingga nilai eigen dari A adalah
sekawan, maka menurut teorema pada
landasan
pustaka
terdapat
matriks
⎡ α β ⎤ , dengan
R=
2
A = ⎢ ε (1 − a )
λ1,2 =
⎢−β
⎣
2
1
(1 − a 2 ) ± 12 ε12 (1 − a 2 ) − 4 ⎛⎜⎝ ε1 ⎞⎟⎠
2ε
atau dapat juga dituliskan
λ1,2
2
1
=
(1 − a 2 ) ± 12 i 4 ⎛⎜⎝ ε1 ⎞⎟⎠ − ε12 (1 − a 2 ) .
2ε
Kedua nilai eigen tersebut bergantung pada
nilai a dan ε . Jika a = 1 dan a = −1 , maka
untuk 0 < ε < 1 titik tetapnya bersifat center
dan selalu stabil. Untuk a ∈ \ − {−1,1}
•
Jika 0 < ε < 1 dan a < −1 , maka
sistemnya berbentuk spiral stabil
dan simpul stabil, lihat Gambar 17.
•
Jika 0 < ε < 1 dan −1 < a < 1 , maka
sistemnya berbentuk spiral tak
stabil, lihat Gambar 19.
• Jika 0 < ε < 1 dan a > 1 , maka
sistemnya berbentuk spiral stabil
dan simpul stabil, lihat Gambar 21.
Karena nilai eigen dari matriks A yang
diperoleh berbentuk bilangan kompleks
gambar
y1.10 ,
1 8a, ε, θ, :−
, 1>>>
4 è!!!
3! π
4 è!!!
3! π
classify2D[eq1]
unstable - saddle
ArcCsc@aD
, 1>
2π
eq2=eqstates[[2]]
:
parmval={-2,1}
{-2,1}
eq2=eqstateval[eq2]
:−
1
, 1>
12
"#######################
"#######################
i
è!!!! # y 1 i
è!!!! # y
j
j
− 1 + 16 3 π z
− 1 + 16 3 π z
z,
z>,
j−1 +
j− 1 −
{ 2 k
{
k
"########################
"########################
è!!!!
è!!!!
1−
−1 + 16 3 π
1+
− 1 + 16 3 π
, 1>, :−
, 1>>>
::−
è!!!
!
4 3π
4 è!!!
3! π
eigsys[eq2]
::
1
2
classify2D[eq2]
strictly stable - spiral
16
Lampiran 2. Program untuk menggambarkan medan vektor dan bidang fase disekitar titik
tetapnya pada sistem persamaan (25) dan sistem persamaan (26).
Program ini menggunakan paket Mathematica yaitu Dynpac yang dapat didownload dari
www.wolfram.com
2.1 Sistem Persamaan (25)
sysid
Mathematica
5.2 . 0 , DynPac
10.71 ,
intreset;
plotreset;
setstate@8x, y