BAB III MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN
METODE HEUN
A. Model Ross
Model Ross terdiri dari sistem dua persamaan diferensial. Notasi yang digunakan sebagai berikut:
N
: jumlah populasi manusia di daerah tertentu;
I t
: jumlah manusia yang terinfeksi malaria pada waktu t;
n
: jumlah populasi nyamuk diasumsikan konstan;
i t
: jumlah nyamuk yang terinfeksi malaria;
b
: frekuensi nyamuk menggigit per hari;
p
: Probabilitas transmisi malaria dari manusia ke nyamuk dalam satu gigitan;
p
’ : probabilitas transmisi malaria dari nyamuk ke manusia dalam satu gigitan;
a
: tingkat manusia pulih dari malaria per hari;
m
: tingkat kematian nyamuk per hari. Selama interval waktu pendek
dt
, setiap nyamuk yang terinfeksi menggigit
b dt
manusia.
�−� �
adalah proporsi manusia yang belum terinfeksi. Dengan memperhitungkan probabilitas transmisi
p
’ terdapat
bp
’
i
�−� �
� manusia baru yang terinfeksi. Selama interval waktu yang sama, jumlah manusia
yang disembuhkan adalah
aI dt
, sehingga
22
� �
= �
′
�
�−� �
− �
.
Demikian pula setiap nyamuk yang tidak terinfeksi menggigit
b dt
manusia
,
dimana
� �
adalah proporsi manusia yang sudah terinfeksi. Dengan memperhitungkan probabilitas transmisi
p
terdapat
bpn-i
� �
�nyamuk baru yang terinfeksi. Sementara itu, dengan asumsi bahwa infeksi tidak
mempengaruhi kematian, jumlah nyamuk yang mati adalah
mi dt
. Jadi,
� �
= � − �
� �
− �.
Teorema 3.1
Jika diketahui jumlah nyamuk yang terinfeksi � � tetap konstan terhadap
waktu
� �
= dan
� �
= maka � =
− �
��
′
⁄ +
� ⁄
. Bukti 1:
� − � �
� − � = � − �
� � = �
� − � � = � � � =
� � � − �
Selalu setimbang ketika � = dan � =
�
′
� � − �
� − � = Substitusi
� yang sudah diperoleh ke dalam persamaan di atas. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
�
′
� � − � � � − �
⁄ �
− � �
� − � = �
′
� �
� − � �
� � − � − � �
� − � = �
′
� − � �
� � − � − � �
� − � = �
′
� − �
� − � − � �
� − � = �
′
� � − �
� − � − �
� − � = � �
� − � �
′
� � − � − �
� − � =
� � � − �
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan � − � .
�
′
� � − � − � = � � �
′
� � − �� − � = � � ��
′
� − ��
′
� − �
′
� = � � ��
′
� = ��
′
� + �
′
� + � � �
′
� + � + � − ��
′
� = �[ �
′
� + � + � − ��
′
] = � =
Atau �
′
� + � + � − ��
′
= �
′
� + � = − � + ��
′
� = ��
′
− � ��
′
+ �
′
Dengan menggunakan sifat distributif, penyebut diubah menjadi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
�
′
� + , sehingga
� = ��
′
− �
�
′
� + � =
��
′
− �
�
′
� +
Kemudian
��
′
− �
�
′
�+
dikalikan dengan
� �
, diperoleh � =
��
′
− �
��
′
� � +
� = ��
′
��
′
− �
��
′
⁄ ⁄
� + �
⁄ � =
��
′
��
′
− � ��
′
⁄ ⁄
� � + �
⁄ ⁄
� = −
� ��
′
⁄ +
� ⁄
� = −
� ��
′
⁄ +
� ⁄
Terbukti ketika
� �
= dan
� �
= dan untuk � ≠ , diperoleh � =
− �
��
′
⁄ +
� ⁄
Bukti 2: Untuk membuktikan
� =
− �
��
′
⁄ +
� ⁄
dapat dilakukan dengan cara lain, yaitu dengan mengalikan persamaan kesetimbangan tersebut dengan
�� ⁄ ,
sebagai berikut : �
′
� � − �
� − � �� = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
�
′
�� − �
′
�� �
− � �� = �
′
�� − �
′
�� − �� �
�� = �
′
�� − �
′
�� − �� ���
= �
′
�� ��� −
�
′
�� ��� −
�� ��� =
�
′
� − �
′
� − � = �
′
� − � = �
′
� Sehingga untuk persamaan pertama diperoleh :
�
′
� − � = �
′
� Untuk persamaan yang kedua sama dengan persamaan pertama di atas
dikali dengan ��
⁄ � − �
� � − � �� =
� − �� � �
− � �� = � � − ��� − ��
� �� =
� � − ��� − �� ���
= � �
��� − ���
��� − ��
��� = �
�� − �
� − � = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
− � + �
�� = �
� Diperoleh solusi yang mudah, yaitu :
�
′
� − � = �
′
� − � +
� �� =
� �
Misalkan :
�
= dan
�
= Maka
�
′
� − � = �
′
� �
′
− =
�′ �
.................. − � +
� � � =
� �
− +
� �
=
� �
..................... Dari dan diperoleh :
�
′
− =
�
′
�
3.1 −
+
� �
=
� �
3.2 Untuk memperoleh digunakan cara eliminasi dan subsitusi, sehingga
�
′
− =
�
′
� − �
′
+ ��
′
� =
��
′
� +
− +
��
′
� =
�
′
� + ��
′
� PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
− � + ��
′
� =
�
′
+ ��
′
� =
�
′
+ ��
′
� �
− � + ��
′
Kemudian
�
′
+ ��
′
� �
− �+ ��
′
dikalikan dengan
� �
, sehingga diperoleh
= �
′
+ ��
′
− � + ��
′
= ��
′
+ �
′
��
′
− �
Karena
�
= maka = �
� = ��
′
+ �
′
��
′
− �
⁄ � =
��
′
− �
��
′
+ �
′
� = ��
′
− �
�
′
� + � =
��
′
− �
�
′
� +
Kemudian
��
′
− �
�
′
�+
dikalikan dengan
� �
, diperoleh � =
��
′
− �
��
′
� � +
� = ��
′
��
′
− �
��
′
⁄ ⁄
� + �
⁄ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� = ��
′
��
′
− � ��
′
⁄ ⁄
� � + �
⁄ ⁄
� = −
� ��
′
⁄ +
� ⁄
� = −
� ��
′
⁄ +
� ⁄
Terbukti ketika
� �
= dan
� �
= dan untuk � ≠ , diperoleh � =
− �
��
′
⁄ +
� ⁄
Teorema 3.2
Jika diketahui jumlah nyamuk yang terinfeksi � � tetap konstan terhadap
waktu
� �
= dan
� �
= maka � = �
− �
��
′
⁄ + � �
′
⁄
. Bukti 1:
Untuk � = maka � =
Untuk � =
��
′
− �
��
′
+ �
′
Maka � =
� � � − �
Subsitusi � ke dalam persamaan � =
� � � −�
, sehingga � =
� [ ��
′
− �
��
′
+ �′ ] ⁄
�[ − ��
′
− �
��
′
+ �′ ] ⁄
� = �
��
′
− �
��
′
+ �
′
⁄ �[
��
′
+ �
′
��
′
+ �
′
− ��
′
− �
��
′
+ �′ ] ⁄
⁄ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� = �
��
′
− �
��
′
+ �
′
⁄ �[
��
′
+ �
′
− ��
′
+ �
��
′
+ �′ ] ⁄
� = �
��
′
− �
��
′
+ �
′
⁄ �[ �
′
+ �
��
′
+ �′ ] ⁄
� = �
��
′
− �
��
′
+ �
′
⁄ ��
′
+ � �
��
′
+ �′ ⁄
� = �
��
′
− �
��
′
+ �
′
��
′
+ �
′
��
′
+ � �
Kemudian
� ��
′
− �
��
′
+ �
′
��
′
+ �
′
��
′
+ � �
dikalikan dengan
��
′
+ �
′
��
′
+ �
′
, sehingga diperoleh � =
� ��
′
− �
��
′
+ � �
Dengan menggunakan sifat distributif diperoleh � =
� ��
′
− �
� �
′
+ � � =
� ��
′
− �
� �
′
+ � � =
��
′
� − �
� �
′
+ � � =
��
′
� − �
� �
′
+ � Kemudian
��
′
� − �
� �
′
+ �
dikalikan dengan
�′ �′
, sehingga diperoleh
� = ��
′
� − �
��
′
�
′
�
′
+ � PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� = ��
′
� − �
��
′
⁄ �
′
+ � �
′
⁄ � =
��
′
� ��′ −
� ��′
⁄ ⁄
�′ �′ + � �′
⁄ ⁄
� = � −
� ��
′
⁄ + � �
′
⁄ � = �
− �
��
′
⁄ + � �
′
⁄ Terbukti ketika
� �
= dan
� �
= dan untuk � ≠ , diperoleh � = �
− �
��
′
⁄ + � �
′
⁄
Bukti 2: Untuk membuktikan
� = �
− �
��
′
⁄ + � �
′
⁄
dapat dilakukan dengan cara lain, yaitu dengan menggunakan persamaan 3.2
− +
� �
= �
� −
+ �
� ��
′
+ �
′
��
′
− � =
� �
− +
� ��
′
+ �
′
� ��
′
− � =
� �
= �
��
′
+ �
′
� ��
′
− � −
� �
= �
��
′
+ �
′
− � ��
′
− �
� ��
′
− �
= � �
′
+ ��
′
− � �
′
− � �
� ��
′
− �
= ��
′
− � �
� ��
′
− �
= ��
′
− � � �
��
′
− �
= ��
′
− � � �
��
′
− �
= ��
′
− � � �
��
′
− �
= � �
′
− � �
��
′
− �
Karena
�
= maka � =
� = � �
′
− � � ��
′
− �
⁄ � =
� ��
′
− �
� �
′
− � � =
��
′
� − �
� �
′
+ � � =
��
′
� − �
� �
′
+ � Kemudian
��
′
� − �
� �
′
+ �
dikalikan dengan
�′ �′
, sehingga diperoleh
� = ��
′
� − �
��
′
�
′
�
′
+ � � =
��
′
� − �
��
′
⁄ �
′
+ � �
′
⁄ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� = ��
′
� ��′ −
� ��′
⁄ ⁄
�′ �′ + � �′
⁄ ⁄
� = � −
� ��
′
⁄ + � �
′
⁄ � = �
− �
��
′
⁄ + � �
′
⁄ Terbukti ketika
� �
= dan
� �
= dan untuk � ≠ , diperoleh � = �
− �
��
′
⁄ + � �
′
⁄
Teorema 3.3
Jika � dan � maka jumlah nyamuk di atas ambang batas kritis
∗
=
� ��
′
. Bukti :
Pertama untuk �
� −
� ��
′
⁄ + � �
′
⁄ � −
� ��
′
⁄ + � �
′
⁄ ��
′
� ��′ −
� ��′
⁄ ⁄
�′ �′ + � �′
⁄ ⁄
��
′
� − �
��
′
⁄ �
′
+ � �
′
⁄ ��
′
� − �
��
′
�
′
�
′
+ � PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kemudian dikalikan
��
′
� − �
��
′
�
′
�
′
+ �
dengan
�′ �′
, sehingga diperoleh
��
′
� − �
� �
′
+ � ��
′
� − �
� �
′
+ � ��
′
� � �
′
+ � − �
� �
′
+ � ��
′
� ��
′
+ � � �
��
′
+ � � Kemudian kedua ruas dikalikan dengan
��
′
+ � �
,
diperoleh ��
′
� �
� ��
′
� �
��
′
Kedua untuk �
− �
��
′
⁄ +
� ⁄
− �
��
′
⁄ +
� ⁄
��
′
��
′
− � ��
′
⁄ ⁄
� � + �
⁄ ⁄
��
′
��
′
− �
��
′
⁄ ⁄
� + �
⁄ ��
′
− �
��
′
� � +
Kemudian
��
′
− �
��
′
� �+
dikalikan dengan
� �
, diperoleh ��
′
− �
�
′
� + ��
′
− �
�
′
� + ��
′
− �
��
′
+ �
′
��
′
��
′
+ �
′
− �
��
′
+ �
′
��
′
��
′
+ �
′
� ��
′
+ �
′
Kedua ruas dikalian dengan ��
′
+ �
′
, diperoleh ��
′
� �
��
′
Jadi terbukti
∗
=
� ��
′
. Setelah diselesaikan dengan menggunakan Teorema 2.1 danTeorema 2.2
fraksi infeksi � �
⁄ pada populasi manusia sebagai fungsi dari rasio � ⁄
antara nyamuk dan populasi manusia. Dapat ditunjukkan dengan perhi- tungan dan grafik pada Gambar 3.1 di bawah ini.
Berikut akan digambar grafik fraksi infeksi � �
⁄ pada populasi manusia sebagai fungsi dari rasio
� ⁄ antara nyamuk dan populasi manusia dengan
parameter-parameter di bawah ini. Diketahui :
= log PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= log = log
�
′
= � =
Dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diketahui di atas, akan digambar grafik sesuai dengan perhitungan di bawah ini.
� = � −
� ��′
⁄ + � �′
⁄ �
� = −
� ��′
⁄ + � �′
⁄ �
� = ��
′
− �
��′ ⁄
�
′
+ � �′
⁄ �
� = ��
′
− �
� ⁄
�
′
+ � �
� = ��
′
− �
��
′
+ � � �
� = �
� ��
′
� − ⁄
��
′
� + � ⁄
� � =
��
′
� − ⁄
��
′
� + � ⁄
Misalkan :
� �
= dan
�
=
�
= , , , … , =
��
′
− ��
′
+ � = − . =
��
′
− ��
′
+ � = . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= ��
′
− ��
′
+ � = . =
��
′
− ��
′
+ � = . =
��
′
− ��
′
+ � = . =
��
′
− ��
′
+ � = . Dari hasil di atas diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.1 di bawah ini
Gambar 3.1 Grafik Fraksi Infeksi
� � ⁄ pada Populasi Manusia
Sebagai Fungsi dari Rasio
� � ⁄ antara Nyamuk dan Populasi
Manusia
Bentuk kurva dalam Gambar 3.1 menunjukkan bahwa fraksi manusia yang terinfeksi lebih tinggi dari 50 jika rasio
� ⁄ di atas nilai kritis
∗
� ⁄ .
0.5 1
1.5 2
2.5 3
3.5 4
4.5 5
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
nN
IN
Tetapi fraksi ini tidak berubah banyak ketika rasio �
⁄ meningkat lebih lanjut. Ross mengatakan bahwa nilai numerik dari ambang
∗
� ⁄ =
. sangat sensitif terhadap frekuensi jumlah nyamuk menggigit
tetapi tidak mengubah bentuk keseluruhan dari kurva tersebut. Penjelasan kualitatif Ross lebih penting dari hitung-hitungannya karena nilai numerik
dari parameternya tidak pasti.
B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler