Model Ross Menyelesaikan model Ross dengan menggunakan metode Heun

BAB III MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN

METODE HEUN

A. Model Ross

Model Ross terdiri dari sistem dua persamaan diferensial. Notasi yang digunakan sebagai berikut: N : jumlah populasi manusia di daerah tertentu; I t : jumlah manusia yang terinfeksi malaria pada waktu t; n : jumlah populasi nyamuk diasumsikan konstan; i t : jumlah nyamuk yang terinfeksi malaria; b : frekuensi nyamuk menggigit per hari; p : Probabilitas transmisi malaria dari manusia ke nyamuk dalam satu gigitan; p ’ : probabilitas transmisi malaria dari nyamuk ke manusia dalam satu gigitan; a : tingkat manusia pulih dari malaria per hari; m : tingkat kematian nyamuk per hari. Selama interval waktu pendek dt , setiap nyamuk yang terinfeksi menggigit b dt manusia. �−� � adalah proporsi manusia yang belum terinfeksi. Dengan memperhitungkan probabilitas transmisi p ’ terdapat bp ’ i �−� � � manusia baru yang terinfeksi. Selama interval waktu yang sama, jumlah manusia yang disembuhkan adalah aI dt , sehingga 22 � � = � ′ � �−� � − � . Demikian pula setiap nyamuk yang tidak terinfeksi menggigit b dt manusia , dimana � � adalah proporsi manusia yang sudah terinfeksi. Dengan memperhitungkan probabilitas transmisi p terdapat bpn-i � � �nyamuk baru yang terinfeksi. Sementara itu, dengan asumsi bahwa infeksi tidak mempengaruhi kematian, jumlah nyamuk yang mati adalah mi dt . Jadi, � � = � − � � � − �. Teorema 3.1 Jika diketahui jumlah nyamuk yang terinfeksi � � tetap konstan terhadap waktu � � = dan � � = maka � = − � �� ′ ⁄ + � ⁄ . Bukti 1: � − � � � − � = � − � � � = � � − � � = � � � = � � � − � Selalu setimbang ketika � = dan � = � ′ � � − � � − � = Substitusi � yang sudah diperoleh ke dalam persamaan di atas. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � ′ � � − � � � − � ⁄ � − � � � − � = � ′ � � � − � � � � − � − � � � − � = � ′ � − � � � � − � − � � � − � = � ′ � − � � − � − � � � − � = � ′ � � − � � − � − � � − � = � � � − � � ′ � � − � − � � − � = � � � − � Kemudian kedua ruas dikalikan dengan � − � . � ′ � � − � − � = � � � ′ � � − �� − � = � � �� ′ � − �� ′ � − � ′ � = � � �� ′ � = �� ′ � + � ′ � + � � � ′ � + � + � − �� ′ � = �[ � ′ � + � + � − �� ′ ] = � = Atau � ′ � + � + � − �� ′ = � ′ � + � = − � + �� ′ � = �� ′ − � �� ′ + � ′ Dengan menggunakan sifat distributif, penyebut diubah menjadi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � ′ � + , sehingga � = �� ′ − � � ′ � + � = �� ′ − � � ′ � + Kemudian �� ′ − � � ′ �+ dikalikan dengan � � , diperoleh � = �� ′ − � �� ′ � � + � = �� ′ �� ′ − � �� ′ ⁄ ⁄ � + � ⁄ � = �� ′ �� ′ − � �� ′ ⁄ ⁄ � � + � ⁄ ⁄ � = − � �� ′ ⁄ + � ⁄ � = − � �� ′ ⁄ + � ⁄ Terbukti ketika � � = dan � � = dan untuk � ≠ , diperoleh � = − � �� ′ ⁄ + � ⁄ Bukti 2: Untuk membuktikan � = − � �� ′ ⁄ + � ⁄ dapat dilakukan dengan cara lain, yaitu dengan mengalikan persamaan kesetimbangan tersebut dengan �� ⁄ , sebagai berikut : � ′ � � − � � − � �� = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � ′ �� − � ′ �� � − � �� = � ′ �� − � ′ �� − �� � �� = � ′ �� − � ′ �� − �� ��� = � ′ �� ��� − � ′ �� ��� − �� ��� = � ′ � − � ′ � − � = � ′ � − � = � ′ � Sehingga untuk persamaan pertama diperoleh : � ′ � − � = � ′ � Untuk persamaan yang kedua sama dengan persamaan pertama di atas dikali dengan �� ⁄ � − � � � − � �� = � − �� � � − � �� = � � − ��� − �� � �� = � � − ��� − �� ��� = � � ��� − ��� ��� − �� ��� = � �� − � � − � = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI − � + � �� = � � Diperoleh solusi yang mudah, yaitu : � ′ � − � = � ′ � − � + � �� = � � Misalkan : � = dan � = Maka � ′ � − � = � ′ � � ′ − = �′ � .................. − � + � � � = � � − + � � = � � ..................... Dari dan diperoleh : � ′ − = � ′ � 3.1 − + � � = � � 3.2 Untuk memperoleh digunakan cara eliminasi dan subsitusi, sehingga � ′ − = � ′ � − � ′ + �� ′ � = �� ′ � + − + �� ′ � = � ′ � + �� ′ � PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI − � + �� ′ � = � ′ + �� ′ � = � ′ + �� ′ � � − � + �� ′ Kemudian � ′ + �� ′ � � − �+ �� ′ dikalikan dengan � � , sehingga diperoleh = � ′ + �� ′ − � + �� ′ = �� ′ + � ′ �� ′ − � Karena � = maka = � � = �� ′ + � ′ �� ′ − � ⁄ � = �� ′ − � �� ′ + � ′ � = �� ′ − � � ′ � + � = �� ′ − � � ′ � + Kemudian �� ′ − � � ′ �+ dikalikan dengan � � , diperoleh � = �� ′ − � �� ′ � � + � = �� ′ �� ′ − � �� ′ ⁄ ⁄ � + � ⁄ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � = �� ′ �� ′ − � �� ′ ⁄ ⁄ � � + � ⁄ ⁄ � = − � �� ′ ⁄ + � ⁄ � = − � �� ′ ⁄ + � ⁄ Terbukti ketika � � = dan � � = dan untuk � ≠ , diperoleh � = − � �� ′ ⁄ + � ⁄ Teorema 3.2 Jika diketahui jumlah nyamuk yang terinfeksi � � tetap konstan terhadap waktu � � = dan � � = maka � = � − � �� ′ ⁄ + � � ′ ⁄ . Bukti 1: Untuk � = maka � = Untuk � = �� ′ − � �� ′ + � ′ Maka � = � � � − � Subsitusi � ke dalam persamaan � = � � � −� , sehingga � = � [ �� ′ − � �� ′ + �′ ] ⁄ �[ − �� ′ − � �� ′ + �′ ] ⁄ � = � �� ′ − � �� ′ + � ′ ⁄ �[ �� ′ + � ′ �� ′ + � ′ − �� ′ − � �� ′ + �′ ] ⁄ ⁄ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � = � �� ′ − � �� ′ + � ′ ⁄ �[ �� ′ + � ′ − �� ′ + � �� ′ + �′ ] ⁄ � = � �� ′ − � �� ′ + � ′ ⁄ �[ � ′ + � �� ′ + �′ ] ⁄ � = � �� ′ − � �� ′ + � ′ ⁄ �� ′ + � � �� ′ + �′ ⁄ � = � �� ′ − � �� ′ + � ′ �� ′ + � ′ �� ′ + � � Kemudian � �� ′ − � �� ′ + � ′ �� ′ + � ′ �� ′ + � � dikalikan dengan �� ′ + � ′ �� ′ + � ′ , sehingga diperoleh � = � �� ′ − � �� ′ + � � Dengan menggunakan sifat distributif diperoleh � = � �� ′ − � � � ′ + � � = � �� ′ − � � � ′ + � � = �� ′ � − � � � ′ + � � = �� ′ � − � � � ′ + � Kemudian �� ′ � − � � � ′ + � dikalikan dengan �′ �′ , sehingga diperoleh � = �� ′ � − � �� ′ � ′ � ′ + � PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � = �� ′ � − � �� ′ ⁄ � ′ + � � ′ ⁄ � = �� ′ � ��′ − � ��′ ⁄ ⁄ �′ �′ + � �′ ⁄ ⁄ � = � − � �� ′ ⁄ + � � ′ ⁄ � = � − � �� ′ ⁄ + � � ′ ⁄ Terbukti ketika � � = dan � � = dan untuk � ≠ , diperoleh � = � − � �� ′ ⁄ + � � ′ ⁄ Bukti 2: Untuk membuktikan � = � − � �� ′ ⁄ + � � ′ ⁄ dapat dilakukan dengan cara lain, yaitu dengan menggunakan persamaan 3.2 − + � � = � � − + � � �� ′ + � ′ �� ′ − � = � � − + � �� ′ + � ′ � �� ′ − � = � � = � �� ′ + � ′ � �� ′ − � − � � = � �� ′ + � ′ − � �� ′ − � � �� ′ − � = � � ′ + �� ′ − � � ′ − � � � �� ′ − � = �� ′ − � � � �� ′ − � = �� ′ − � � � �� ′ − � = �� ′ − � � � �� ′ − � = �� ′ − � � � �� ′ − � = � � ′ − � � �� ′ − � Karena � = maka � = � = � � ′ − � � �� ′ − � ⁄ � = � �� ′ − � � � ′ − � � = �� ′ � − � � � ′ + � � = �� ′ � − � � � ′ + � Kemudian �� ′ � − � � � ′ + � dikalikan dengan �′ �′ , sehingga diperoleh � = �� ′ � − � �� ′ � ′ � ′ + � � = �� ′ � − � �� ′ ⁄ � ′ + � � ′ ⁄ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � = �� ′ � ��′ − � ��′ ⁄ ⁄ �′ �′ + � �′ ⁄ ⁄ � = � − � �� ′ ⁄ + � � ′ ⁄ � = � − � �� ′ ⁄ + � � ′ ⁄ Terbukti ketika � � = dan � � = dan untuk � ≠ , diperoleh � = � − � �� ′ ⁄ + � � ′ ⁄ Teorema 3.3 Jika � dan � maka jumlah nyamuk di atas ambang batas kritis ∗ = � �� ′ . Bukti : Pertama untuk � � − � �� ′ ⁄ + � � ′ ⁄ � − � �� ′ ⁄ + � � ′ ⁄ �� ′ � ��′ − � ��′ ⁄ ⁄ �′ �′ + � �′ ⁄ ⁄ �� ′ � − � �� ′ ⁄ � ′ + � � ′ ⁄ �� ′ � − � �� ′ � ′ � ′ + � PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Kemudian dikalikan �� ′ � − � �� ′ � ′ � ′ + � dengan �′ �′ , sehingga diperoleh �� ′ � − � � � ′ + � �� ′ � − � � � ′ + � �� ′ � � � ′ + � − � � � ′ + � �� ′ � �� ′ + � � � �� ′ + � � Kemudian kedua ruas dikalikan dengan �� ′ + � � , diperoleh �� ′ � � � �� ′ � � �� ′ Kedua untuk � − � �� ′ ⁄ + � ⁄ − � �� ′ ⁄ + � ⁄ �� ′ �� ′ − � �� ′ ⁄ ⁄ � � + � ⁄ ⁄ �� ′ �� ′ − � �� ′ ⁄ ⁄ � + � ⁄ �� ′ − � �� ′ � � + Kemudian �� ′ − � �� ′ � �+ dikalikan dengan � � , diperoleh �� ′ − � � ′ � + �� ′ − � � ′ � + �� ′ − � �� ′ + � ′ �� ′ �� ′ + � ′ − � �� ′ + � ′ �� ′ �� ′ + � ′ � �� ′ + � ′ Kedua ruas dikalian dengan �� ′ + � ′ , diperoleh �� ′ � � �� ′ Jadi terbukti ∗ = � �� ′ . Setelah diselesaikan dengan menggunakan Teorema 2.1 danTeorema 2.2 fraksi infeksi � � ⁄ pada populasi manusia sebagai fungsi dari rasio � ⁄ antara nyamuk dan populasi manusia. Dapat ditunjukkan dengan perhi- tungan dan grafik pada Gambar 3.1 di bawah ini. Berikut akan digambar grafik fraksi infeksi � � ⁄ pada populasi manusia sebagai fungsi dari rasio � ⁄ antara nyamuk dan populasi manusia dengan parameter-parameter di bawah ini. Diketahui : = log PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = log = log � ′ = � = Dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diketahui di atas, akan digambar grafik sesuai dengan perhitungan di bawah ini. � = � − � ��′ ⁄ + � �′ ⁄ � � = − � ��′ ⁄ + � �′ ⁄ � � = �� ′ − � ��′ ⁄ � ′ + � �′ ⁄ � � = �� ′ − � � ⁄ � ′ + � � � = �� ′ − � �� ′ + � � � � = � � �� ′ � − ⁄ �� ′ � + � ⁄ � � = �� ′ � − ⁄ �� ′ � + � ⁄ Misalkan : � � = dan � = � = , , , … , = �� ′ − �� ′ + � = − . = �� ′ − �� ′ + � = . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = �� ′ − �� ′ + � = . = �� ′ − �� ′ + � = . = �� ′ − �� ′ + � = . = �� ′ − �� ′ + � = . Dari hasil di atas diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.1 di bawah ini Gambar 3.1 Grafik Fraksi Infeksi � � ⁄ pada Populasi Manusia Sebagai Fungsi dari Rasio � � ⁄ antara Nyamuk dan Populasi Manusia Bentuk kurva dalam Gambar 3.1 menunjukkan bahwa fraksi manusia yang terinfeksi lebih tinggi dari 50 jika rasio � ⁄ di atas nilai kritis ∗ � ⁄ . 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 nN IN Tetapi fraksi ini tidak berubah banyak ketika rasio � ⁄ meningkat lebih lanjut. Ross mengatakan bahwa nilai numerik dari ambang ∗ � ⁄ = . sangat sensitif terhadap frekuensi jumlah nyamuk menggigit tetapi tidak mengubah bentuk keseluruhan dari kurva tersebut. Penjelasan kualitatif Ross lebih penting dari hitung-hitungannya karena nilai numerik dari parameternya tidak pasti.

B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler