Menyelesaikan model SIR dengan metode Heun.
i
MENYELESAIKAN MODEL SIR DENGAN METODE HEUN
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Disusun Oleh : Prawita Megatama
NIM: 123114010
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
(2)
ii
SOLVING THE SIR MODEL USE THE HEUN METHOD
A FINAL ASSIGNMENT
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika Mathematics Study Program
Written by : Prawita Megatama Student ID: 123114010
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
(3)
(4)
(5)
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tugas akhir ini saya persembahkan untuk orang-orang terkasih: Orang tuaku, Agus Santosa dan Samsi Nawang Murtiwi
(6)
(7)
vii ABSTRAK
Model SIR merupakan model matematika yang memodelkan penyebaran suatu penyakit dari individu yang rentan (susceptibles), terinfeksi (infected) dan pulih (recovered).
Model SIR ini merupakan sistem persamaan diferensial (PD) biasa tak linear. Solusinya dicari dengan metode numerik. Salah satu metode numerik yang dipakai untuk menyelesaikan sistem, yaitu Metode Heun.
Kasus yang akan dibahas adalah Flu Hong-Kong. Pada musim dingin 1968-1969, Amerika Serikat diserang oleh suatu jenis penyakit influenza baru bernama Flu Hong Kong. Penyakit ini dinamakan demikian berdasarkan tempat penemuannya. Pada waktu itu, tidak terdapat vaksin flu sehingga ada lebih banyak orang yang terjangkit jika dibandingkan pada waktu sekarang ini. Akan diteliti penyebaran penyakit ini dalam satu populasi kota yaitu, kota New York.
(8)
viii ABSTRACT
SIR model is a mathematical model which models the spreading of a disease from susceptibles, infected and recovered.
This SIR’s model is an ordinary non-linear differential equation system. Its solution can be obtained using numerical methods. One of the useable numerical methods to solve the system is the Heun’s method.
The case which is going to be discussed is Hong-Kong Flu . On winter 1968-1969, the United States was attacked by a new influenza disease called Hong-Kong Flu. This disease is named that way because of the place it’s found. At that time, there was no influenza’s vaccine so there were more people infected compared to nowadays. The spreading of this disease will be investigated on population in a city, which is New York city, using SIR model.
(9)
(10)
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Tugas akhir ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma. Banyak tantangan dalam proses penulisan skripsi ini, namun dengan penyertaan Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya tugas akhir ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.
2. Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc. Ph.D. selaku Kepala Program Studi Matematika.
3. Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc. Ph.D. selaku dosen pembimbing yang dengan sabar dan penuh antusias dalam membimbing selama proses penulisan tugas akhir ini.
4. Kedua orang tuaku, Agus Santosa dan Samsi Nawang Murtiwi, serta kakakku Hanu Lingga Purnama dan adikku Novi Morita Siwi yang selalu mendukung.
5. Orang terdekatku, Eka Oktafiana yang selalu menjadi motivasi dan selalu memberikan perhatian.
(11)
(12)
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRAK DALAM BAHASA INGGRIS ... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR GAMBAR ... xiv
DAFTAR TABEL ... xv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 2
C. Pembatasan Masalah ... 2
(13)
xiii
E. Manfaat Penulisan ... 3
F. Metode Penulisan ... 3
G. Sistematika Penulisan ... 3
BAB II SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL ... 5
A. Persamaan Diferensial ... 5
B. Sistem Persamaan Diferensial ... 9
C. Metode Euler ... 12
D. Metode Heun ... 20
BAB III MODEL SIR ... 27
A. Pemodelan SIR ... 27
B. Flu Hong Kong ... 31
C. Model SIR Flu Hong Kong ... 32
D. Metode Euler dan Heun pada Model SIR Flu Hong Kong ………43
BAB IV PENUTUP ... 45
A. Kesimpulan ... 45
B. Saran ... 46
DAFTAR PUSTAKA ... 47
(14)
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Grafik Penyelesaian dengan Metode Euler ... 17
Gambar 2.2 Grafik Penyelesaian Analitik dan Euler ... 18
Gambar 2.3 Grafik Penyelesaian dengan Metode Heun ... 22
Gambar 2.4 Grafik Penyelesaian Analitik, Euler dan Heun ... 23
Gambar 2.5 Grafik Eror dari Penyelesaian Euler dan Heun ... 25
Gambar 3.1 Ilustrasi Perkembangan Penyakit ... 27
Gambar 3.2 Grafik Hubungan Proporsi Individu terhadap Waktu dengan Metode Euler ... 35
Gambar 3.3 Grafik Hubungan dan ... 36
Gambar 3.4 Grafik Hubungan dan ... 37
Gambar 3.5 Grafik Hubungan dan ... 37
Gambar 3.6 Grafik Hubungan Proporsi Individu terhadap Waktu dengan Metode Heun ... 39
Gambar 3.7 Hubungan dan ... 40
Gambar 3.8 Hubungan dan ... 41
(15)
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Penyelesaian dengan Metode Euler ... 16
Tabel 2.2 Penyelesaian Analitik dan Euler ... 17
Tabel 2.3 Penyelesaian dengan Metode Heun ... 21
Tabel 2.4 Penyelesaian Analitik, Euler dan Heun... 22
Tabel 2.5 Eror dari Penyelesaian Euler dan Heun ... 24
Tabel 3.1 Hubungan Proporsi Individu terhadap Waktu ... 33
(16)
1
BAB I PENDAHULUAN
A.Latar Belakang
Model matematika adalah suatu gambaran atau deskripsi dari suatu sistem dengan menggunakan konsep matematika. Sistem adalah suatu himpunan komponen yang saling berinteraksi atau berhubungan dan membentuk satu kesatuan. Pemodelan matematika bisa diartikan sebagai pembuatan model matematika.
Wabah adalah istilah umum untuk menyebut kejadian tersebarnya penya-kit pada daerah yang luas dan pada banyak orang, maupun untuk menyebut penyakit yang menyebar tersebut. Wabah dipelajari dalam epidemologi. Dalam epidemologi, epidemi (dari bahasa Yunani, epi artinya pada dan demos artinya rakyat) adalah penyakit yang timbul sebagai kasus baru pada suatu populasi tertentu manusia, dalam suatu periode waktu tertentu, dengan laju yang melampaui “ekspektasi” (dugaan), yang didasarkan pada pengalaman mutakhir. Dengan kata lain, epidemi adalah wabah yang terjadi secara lebih cepat daripada yang diduga. Jumlah kasus baru penyakit di dalam suatu populasi dalam periode waktu tertentu disebut incidence rate (laju timbulnya penyakit).
Salah satu tipe model penyakit yaitu model penyebaran penyakit dari rentan (susceptibles), terinfeksi (infected), dan pulih (Recovered) , yang dikembangkan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Dalam model tersebut, populasi dibagi menjadi tiga bagian, yaitu: bagian rentan
(17)
(Susceptibles), berlabel S, yaitu individu yang rentan terhadap penyakit, bagian
yang terinfeksi (Infected), berlabel I, yaitu individu yang terinfeksi oleh penyakit, dan bagian pulih, label R (Recovered), yaitu orang yang pulih dari infeksi.
Pemodelan SIR ini merupakan sistem persamaan diferensial (PD) biasa tak linear. Solusinya dapat dicari dengan metode numerik. Salah satu metode numerik yang dipakai untuk menyelesaikan sistem, yaitu Metode Heun.
B.Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana model SIR untuk penyebaran suatu epidemi dalam populasi tertutup ?
2. Bagaimana menyelesaikan model SIR untuk penyebaran suatu epidemi dengan metode Heun ?
C.Batasan Masalah
Tugas akhir ini akan dibatasi pada masalah – masalah berikut:
1. Dalam tugas akhir ini, hanya akan dibahas model SIR untuk penyebaran suatu epidemi dalam populasi tertutup.
2. Model lain untuk penyebaran penyakit seperti model Ross tidak dibahas dalam tugas akhir ini.
(18)
3
D.Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut :
1. Mengetahui penyebaran penyakit dengan menggunakan model SIR. 2. Mencari penyelesaian model epidemi SIR dengan metode Heun.
E.Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut :
1. Mengetahui bagaimana suatu penyakit itu dapat menyebar dari satu individu ke individu lainnya.
2. Mengetahui solusi numerik model epidemi SIR dengan metode Heun.
F.Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku – buku atau jurnal – jurnal yang berkaitan dengan model SIR untuk penyebaran suatu penyakit.
G.Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A.Latar Belakang
B. Rumusan Masalah C.Batasan Masalah
(19)
D.Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G.Sistematika Penulisan
BAB II SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL A.Persamaan Diferensial
B. Sistem Persamaan Diferensial C.Metode Euler
D.Metode Heun BAB III MODEL SIR A.Pemodelan SIR B. Flu Hong Kong
C.Model SIR Flu Hong Kong
D.Metode Euler dan Heun pada Model SIR Flu Hong Kong BAB IV PENUTUP
A.Kesimpulan B. Saran
(20)
5
BAB II
SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
A.PERSAMAAN DIFERENSIAL Definisi 2.1
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat suatu fungsi (variabel tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Menurut variabel bebasnya, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu persamaan diferensial biasa (PDB), dan persamaan diferensial parsial (PDP). Sedangkan persamaan diferensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi dua yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial tak linear.
Definisi 2.2
Orde Persamaan Diferensial adalah orde turunan tertinggi yang terlibat dalam Persamaan Diferensial. PDB linear berorde mempunyai bentuk
, dengan .
Ciri-ciri Persamaan Diferensial linear :
1. Dalam satu suku tidak ada perkalian (pembagian) antara dengan atau turunannya.
2. Dalam satu suku tidak ada fungsi transendental (trigonometri, logaritma, eksponen, dll) dari fungsi atau turunannya.
(21)
Contoh 2.2 1.
Persamaan di atas termasuk persamaan diferensial linier karena tidak mengandung perkalian antara sebuah variabel takbebas dengan variabel takbebas lainnya, atau variabel tak bebas dengan suatu turunan.
2.
Persamaan di atas termasuk persamaan diferensial tak linear karena mengandung perkalian antara sebuah variabel takbebas dengan turunannya (
.
Definisi 2.3
Solusi (penyelesaian) persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan diferensial. Bentuk solusi persamaan diferensial bisa eksplisit ataupun implisit .
Penyelesaian persamaan diferensial tidak tunggal, sehingga penyelesaian persamaan diferensial membentuk keluarga fungsi dan disebut keluarga penyelesaian persamaan diferensial.
Contoh 2.3
1. merupakan suatu solusi eksplisit dari persamaan diferensial
. Sebab :
(22)
7
= 0
2. merupakan suatu solusi implisit dari persamaan diferensial .
Sebab :
3. Persamaan diferensial
mempunyai keluarga penyelesaian , dengan c adalah konstan dan disebut parameter.
Definisi 2.4
Masalah nilai awal (MNA) adalah suatu persamaan diferensial yang dilengkapi dengan data pada satu titik awal domain.
Contoh 2.12
Selesaikan MNA {
(23)
Solusi persamaan diferensial . Pada saat maka nilai sehingga diperoleh .
Jadi solusi MNA adalah .
Definisi 2.5
Masalah nilai batas (MNB) adalah suatu persamaan diferensial yang dilengkapi dengan data pada titik-titik batas domain.
Contoh 2.5
Selesaikan MNB {
Persamaan diferensial
diketahui memiliki solusi umum
Untuk nilai sehingga
Untuk nilai sehingga
(24)
9
B.SISTEM PERSAMAAN DIFFEREMSIAL Definisi 2.6
Sistem PD biasa orde pertama adalah kumpulan dari beberapa PD biasa orde satu yang saling terkait satu sama lainnya. Sistem persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem persamaan diferensial tak linier.
Sistem persamaan diferensial linear adalah sistem persamaan yang terdiri dari n buah persamaan diferensial linear dengan n buah fungsi dalam variabel
, yaitu
Fungsi–fungsi , ,… merupakan fungsi yang kontinu pada satu selang. Sistem persamaan diferensial tak linier adalah persamaan yang terdiri atas lebih dari satu persamaan diferensial tak linier yang saling terkait.
Contoh 2.6
Selesaikanlah sistem persamaan diferensial berikut
{
dengan syarat dan .
(25)
Jawab :
Sistem di atas merupakan sistem PD linier.
Untuk menyelesaikan sistem di atas, turunkan persamaan pertama di (2.1) terhadap , sehingga diperoleh
Kemudian substitusi nilai
ke persamaan di atas, maka
Untuk mencari solusi persamaan di atas, maka variabel diubah menjadi variabel dengan melibatkan persamaan (2.1)
diperoleh ( ) sehingga, ( ) (2.2) Misalkan
(26)
11
Maka persamaan (2.2) menjadi
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan 1/ diperoleh
,
Karena akar-akarnya real dan berbeda, maka solusi untuk persamaan (2.2) adalah
(2.3) Turunan dari adalah
Dengan syarat awal , maka persamaan (2.3) menjadi
1 (2.4)
Solusi untuk , diperoleh dengan melibatkan persamaan (2.1)
( )
kemudian substitusi nilai dan
yang sudah diperoleh pada persamaan (2.3) dan (2.4)
(27)
(2.5)
Dengan syarat , maka diperoleh
(2.6)
Dengan mengeliminasi persamaan (2.4) dan persamaan (2.6), maka diperoleh . Kemudian dengan mensubstitusi ke persamaan (2.4), diperoleh . Substitui dan ke solusi umum persamaan (2.3) dan persamaan (2.5), diperoleh solusi untuk sistem (2.1),
dan
C.METODE EULER Definisi 2.7
Metode Euler merupakan salah satu cara menyelesaikan persamaan diferensial secara numerik. Perhatikan persamaan diferensial berikut :
(28)
13
Tahap penyelesaian pendekatan numerik adalah dengan menentukan titik-titik dalam jarak yang sama di dalam interval , yaitu dengan menerapkan
dengan menyatakan jarak antar titik yang dirumuskan oleh
yang juga bisa dikenal sebagai lebar langkah (step size).
Berikutnya, turunan dalam persamaan diferensial diganti dengan suatu turunan numerik. Untuk kesepakatan diperkenalkan singkatan . Metode Euler menghampiri turunan pertama di dalam persamaan (2.7.1) dengan persamaan
pada saat persamaan (2.4.1) dapat dituliskan sebagai
Jadi, metode Euler mendapatkan barisan numerik yang dinyatakan sebagai
(2.7.2) Contoh 2.7
Selesaikan persamaan diferensial berikut
menggunakan metode Euler, dimana .
(29)
Jawab :
Secara analitik.
Solusi persamaan diferensial homogen dari persamaan diferensial nonhomogen di atas adalah , sebab persamaan karakteristiknya yaitu memiliki tepat satu akar .
Akan dicari solusi yang terkait dengan dengan metode koefisien tak tentu.
Himpunan koefisien tak tentu dari adalah . Dibentuk kombinasi linear .
Substitusi ke persamaan diferensial awal menghasilkan
Sehingga diperoleh Jadi
Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah
Diketahui maka jadi . Akibatnya solusi persamaan diferensial dari masalah nilai awal tersebut adalah
Secara Numerik.
(30)
15
sehingga dipunyai titik-titik diskrit yang dirumuskan oleh
yaitu
Karena diketahui bahwa
dan
maka persamaan Eulernya dapat dinyatakan sebagai
(31)
Tabel. 2.1 Penyelesaian dengan Metode Euler t y
================= 0 0.2500 0.2000 0.5000 0.4000 0.7920 0.6000 1.1184 0.8000 1.4701 1.0000 1.8361 1.2000 2.2033 1.4000 2.5560 1.6000 2.8752 1.8000 3.1382 2.0000 3.3179
(32)
17
Gambar 2.1 Grafik Penyelesaian dengan Metode Euler
Tabel. 2.2 Penyelesaian Analitik dan Euler t analitik euler
======================== 0 0.2500 0.2500 0.2000 0.5239 0.5000 0.4000 0.8411 0.7920 0.6000 1.1934 1.1184 0.8000 1.5708 1.4701 1.0000 1.9613 1.8361 1.2000 2.3499 2.2033
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
t
(33)
1.4000 2.7186 2.5560 1.6000 3.0452 2.8752 1.8000 3.3028 3.1382 2.0000 3.4582 3.3179
Gambar 2.2 Grafik Penyelesaian Analitik dan Euler
Gambar 2.2 menunjukkan perbandingan antara perhitungan yang dilakukan secara analitik dengan perhitungan yang dilakukan menggunakan metode Euler.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
t
y
euler analitik
(34)
19
D.METODE HEUN Definisi 2.8
Metode Heun memperbaiki taksiran turunan pertama dengan mengambil rata – rata dari kedua turunan pada titik – titik ujung subinterval. Turunan di titik awal subinterval yaitu
Sementara itu, taksiran untuk dihitung menggunakan metode Euler : (2.8.1)
yang selanjutnya digunakan untuk menaksir turunan di titik akhir subinterval :
Karena itu, diperoleh rata-rata turunan pertama di yaitu
(2.8.2)
Jadi, metode Heun diperoleh dengan mengganti di persamaan (2.7.2) dengan ruas kanan dari persamaan (2.8.2) :
[ ( )] dengan .
Contoh 2.8
Selesaikan persamaan diferensial berikut
menggunakan metode Heun, dengan .
(35)
Dicari jarak antar titik dalam interval yaitu
sehingga dipunyai titik-titik diskrit yang dirumuskan oleh
yaitu
Karena diketahui bahwa
dan
maka persamaan Eulernya dapat dinyatakan sebagai
(36)
21
Kemudian persamaan Heun dapat dinyatakan sebagai
( )
untuk
Tabel.2.3 Penyelesaian dengan Metode Heun t y
=============== 0 0.2500 0.2000 0.5250 0.4000 0.8212 0.6000 1.1510 0.8000 1.5052 1.0000 1.8727 1.2000 2.2400 1.4000 2.5912 1.6000 2.9071 1.8000 3.1645 2.0000 3.3358
(37)
Gambar 2.3 Grafik Penyelesaian dengan Metode Heun
Tabel 2.4 Penyelesaian Analitik, Euler, dan Heun t Analitik Euler Heun ============================
0 0.2500 0.2500 0.2500 0.2000 0.5239 0.5000 0.5250 0.4000 0.8411 0.7920 0.8212 0.6000 1.1934 1.1184 1.1510 0.8000 1.5708 1.4701 1.5052 1.0000 1.9613 1.8361 1.8727 1.2000 2.3499 2.2033 2.2400
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
t
(38)
23
1.4000 2.7186 2.5560 2.5912 1.6000 3.0452 2.8752 2.9071 1.8000 3.3028 3.1382 3.1645 2.0000 3.4582 3.3179 3.3358
Gambar 2.4 Grafik Penyelesaian Analitik, Euler, dan Heun
Gambar 2.4 di atas menunjukkan perbandingan antara perhitungan analitik, metode Euler, dan metode Heun. Terlihat jelas dari grafik tersebut bahwa perhitungan dengan metode Heun mendekati nilai sebenarnya dibandingkan dengan perhitungan dengan metode Euler.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
t
y
analik euler heun
(39)
Tabel 2.5 Eror dari Penyelesaian Euler dan Heun
t Analitik Euler Heun Eror Euler Eror Heun
=============================================== 0 0 0.2500 0.2500 0 0
0.2000 0.5239 0.5000 0.5250 0.0239 0.0011 0.4000 0.8411 0.7920 0.8212 0.0491 0.0199 0.6000 1.1934 1.1184 1.1510 0.0750 0.0424 0.8000 1.5708 1.4701 1.5052 0.1008 0.0656 1.0000 1.9613 1.8361 1.8727 0.1252 0.0886 1.2000 2.3499 2.2033 2.2400 0.1466 0.1099 1.4000 2.7186 2.5560 2.5912 0.1626 0.1274 1.6000 3.0452 2.8752 2.9071 0.1701 0.1381 1.8000 3.3028 3.1382 3.1645 0.1646 0.1383 2.0000 3.4582 3.3179 3.3358 0.1404 0.1224
(40)
25
Gambar 2.5 Grafik Eror dari Penyelesaian Euler dan Heun
Gambar 2.5 di atas menunjukkan eror dari penyelesaian Euler dan eor dari penyelesaian Heun. Dari gambar di atas terlihat bahwa eror dari penyelesaian Heun lebih kecil dibandingkan eror dari penyelesaian Euler.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
t
y
eror euler eror heun
(41)
BAB III MODEL SIR
A.PEMODELAN SIR
Model epidemi pertama kali dipublikasikan oleh Daniel Bernoulli dan model epidemi modern dikembangkan oleh A.G. McKendrick dan W.O. Kermarck (1927). Model SIR menggambarkan alur penyebaran penyakit dari individu terinfeksi penyakit menular (Infected) ke individu yang rentan (Susceptibles) melalui kontak langsung maupun perantara lain, misal batuk, bersin, melalui makanan dan minuman. Selanjutnya, individu dalam kelompok
Infected yang mampu bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan masuk ke
kelompok individu pulih dari penyakit dan memiliki kekebalan (Recovered). Dalam proses pemodelan epidemi, dibutuhkan asumsi tentang
1. Populasi yang terkena dampak. 2. Cara penyebaran suatu penyakit.
3. Mekanisme pemulihan atau penghapusan penyakit dari populasi. Asumsi yang berkaitan dengan populasi, yakni
1. Dinamika populasi: apakah populasi itu tertutup atau terbuka. Yang dimak-sud populasi tertutup yaitu imigrasi, emigrasi, kelahiran dan kematian dapat diabaikan. Sedangkan yang dimaksud populasi terbuka yaitu, imigrasi, emi-grasi, kelahiran dan kematian tidak dapat diabaikan.
2. Struktur status penyakit dari populasi: klasifikasi yang lengkap dari individu sesuai dengan status penyakit mereka.
(42)
27
3. Struktur populasi lain yang mungkin, seperti usia atau jenis kelamin.
Asumsi yang berkaitan dengan status penyakit, seorang individu dikategorikan sebagai berikut
1. Rentan atau mudah terserang suatu penyakit. 2. Terinfeksi suatu penyakit tetapi belum menular.
3. Menularkan suatu penyakit. Suatu individu bisa jadi menularkan suatu penyakit sebelum gejala muncul. Periode sebelum gejala muncul adalah masa inkubasi.
4. Dihapus dari status penyakit. Tidak lagi terinfeksi oleh suatu penyakit, baik dengan memperoleh kekebalan, isolasi atau kematian.
5. Individu pembawa suatu penyakit. Dalam beberapa penyakit, mungkin ada orang yang tetap terinfeksi untuk waktu yang sangat lama, tetapi tidak menunjukkan gejala penyakit itu sendiri. Individu tersebut mungkin penting untuk penelitian kemajuan penyakit tersebut.
Rentan Terinfeksi Dihapus
0 waktu →
Gambar 3.1 Ilustrasi perkembangan penyakit
Gambar di atas merupakan diagram yang merepresentasikan perkemba-ngan penyakit pada suatu individu. Titik awal penularan penyakit terjadi pada
(43)
saat t = 0. Gambar di atas menjelaskan bahwa pada saat individu mulai terinfeksi, terjadi proses masa inkubasi pada individu. Kemudian individu akan menularkan penyakit yang diderita, bersamaan dengan munculnya gejala – gejala penyakit yang diderita individu tersebut. Kemudian individu dihapuskan dari status penyakit yang diderita baik dengan kematian atau kesembuhan dari suatu penyakit.
Dalam suatu epidemi yang sederhana, populasinya hanya terdiri dari individu yang rentan terserang penyakit dan individu yang menularkan penyakit. Diasumsikan individu yang menularkan penyakit berinteraksi dengan individu yang rentan terserang penyakit. Penyakit ini menular melalui kontak antara individu yang rentan terserang penyakit dengan individu yang menularkan penyakit. Individu yang rentan terserang penyakit, sekali terinfeksi penyakit dapat dengan cepat menularkan penyakit. Direpresentasikan dengan
dimana S adalah individu yang rentan terserang penyakit dan I adalah individu yang terserang penyakit.
Pendekatan ini masuk akal untuk tahap awal penularan penyakit. Akan diasumsikan bahwa populasi tertutup, sehingga
dimana adalah banyaknya individu yang rentan terserang penyakit, adalah banyaknya individu yang terserang penyakit dalam kurun waktu , dan
adalah suatu konstanta yang menyatakan ukuran populasi. Sehingga diperoleh persamaan diferensialnya sebagai berikut
(44)
29
dengan adalah laju dari penularan penyakit, yakni rata – rata terjadinya infeksi. Disini adalah fungsi dari dan , dan model sederhananya adalah
Dengan fungsi disebut sebagai kekuatan dari infeksi suatu penyakit. Fungsi didefinisikan sebagai densitas probabilitas dari individu yang rentan tertular penyakit, yakni peluang dari individu yang rentan akan tertular penyakit dalam interval waktu yang singkat. Untuk , parameter disebut tingkat penularan penyakit, yakni rata – rata infeksi penyakit dari individu yang rentan per individu yang tertular penyakit.
Dalam kasus individu yang terserang penyakit untuk model SIR, diasum-sikan infeksi penyakit dapat dihapus dari status penyakit yang diderita. Pengha-pusan penyakit dalam model SIR dapat berupa pemberian kekebalan terhadap suatu penyakit, kematian, atau individu itu diisolasi. Kebanyakan penyakit yang menyerang anak – anak seperti campak dapat dihapus dari status penyakit yang diderita. Ini dapat direpresentasikan oleh diagram berikut
Diasumsikan bahwa durasi epidemi relatif pendek dibandingkan dengan masa hidup individu, sehingga kelahiran dan kematian dapat diabaikan. Karena kelahiran dan kematian diabaikan maka populasi ini tertutup. Ukuran dari populasi adalah . Diperoleh persamaan
dengan
(45)
dimana adalah rata – rata pemulihan individu dari penyakit. Persamaan di atas dapat direpresentasikan dengan diagram berikut
B.FLU HONG KONG
Pada musim dingin 1968-1969, Amerika Serikat diserang oleh suatu jenis penyakit influenza baru bernama Flu Hong Kong. Penyakit ini dinamakan demikian berdasarkan tempat penemuannya. Pada waktu itu, tidak terdapat vaksin flu sehingga ada lebih banyak orang yang terjangkit jika dibandingkan pada waktu sekarang ini. Akan diteliti penyebaran penyakit ini dalam satu populasi kota yaitu, kota New York.
Biasanya hanya sedikit penderita flu yang meninggal, bahkan tanpa adanya vaksin, namun wajar jika diasumsikan bahwa angka kematian dalam seminggu proporsional dengan jumlah kasus-kasus flu baru dalam beberapa minggu awal, misalnya 3 minggu sebelumnya. Akan dimodelkan penyebaran penyakit semacam ini sehingga dapat memprediksi kemungkinan apa yang terjadi dengan epidemi serupa di masa yang akan datang. Diketahui total populasi di kota New York pada tahun 1960-an adalah 7.900.000 individu. Populasi kota New York diasumsikan tertutup. Sehingga dapat kita modelkan penyebaran Flu Hong – Kong dengan menggunakan model SIR.
(46)
31
C.MODEL SIR FLU HONG KONG
Sebagai langkah awal dalam proses pemodelan kita mengidentifikasi variabel-variabel bebas dan takbebas. Variabel bebas adalah waktu yang disimbolkan dengan menunjukkan keterangan hari. Sementara terdapat dua variabel takbebas. Yang pertama, menghitung individu dalam setiap kelompok, masing-masing merupakan sebuah fungsi terhadap waktu :
adalah banyaknya individu yang rentan. adalah banyaknya individu yang terinfeksi. adalah banyaknya individu yang pulih.
Yang kedua, merepresentasikan bagian dari total populasi dalam setiap kategori tersebut. Sehingga jika adalah total populasi (7.900.000 sebagai contoh), diperoleh
proporsi individu rentan dari populasi. proporsi individu terinfeksi dari populasi. proporsi individu pulih dari populasi.
Perhitungan akan lebih sederhana jika menggunakan proporsi. Kedua himpunan variabel takbebas tersebut proporsional satu sama lain, sehingga yang manapun akan memberikan informasi yang sama menyangkut perkembangan epidemi ini.
Selanjutnya membuat beberapa asumsi tentang laju perubahan variabael-variabel tak bebas :
(47)
1. Tidak ada penambahan dalam kelompok individu yang rentan karena kelahiran dan imigrasi diabaikan. Satu-satunya cara individu keluar dari kelompok individu rentan adalah dengan terinfeksi. Diasumsikan bahwa laju perubahan yakni banyaknya individu rentan, tergantung pada jumlah individu yang sudah rentan, jumlah individu yang sudah terinfeksi, dan banyaknya interaksi antara yang rentan dan yang terinfeksi. Secara khusus, jika setiap individu yang terinfeksi memiliki angka yang tetap (fix number) dari interaksi setiap harinya yang mencukupi untuk penyebaran penyakit tersebut. Tidak semua interaksi ini terjadi dengan individu rentan. Jika mengasumsikan sebuah percampuran populasi yang homogen, proporsi dari interaksi-interaksi yang rentan adalah . Dengan demikian, rata-rata setiap individu terinfeksi menghasilkan individu baru yang terinfeksi perhari.
2. Diasumsikan bahwa proporsi tetap (fixed fraction) dari kelompok terinfeksi akan pulih pada waktu tertentu. Sebagai contoh, jika durasi rata-rata infeksi adalah 3 hari maka rata-rata-rata-rata 1/3 dari populasi yang sedang terinfeksi pulih setiap harinya.
Akhirnya, diperoleh model dengan kondisi awal terhadap masing-masing persamaan diferensial. Untuk virus tertentu yakni flu Hong Kong di New York City pada akhir 1960-an hampir tidak ada orang kebal pada awal epidemi, sehingga hampir semua orang rentan. Diasumsikan bahwa ada infeksi pada populasi, yaitu 10 orang. Dengan demikian, nilai awal untuk variabel populasi adalah
(48)
33
Diperoleh
Sehingga modelnya
,
,
,
Nilai untuk parameter dan tidak diketahui, tetapi bisa diperkirakan. Diperkirakan rata-rata periode menular adalah tiga hari, sehingga nilai = 1/3. Kemudian untuk membuat kontak yang mungkin terjadi sehingga menginfeksi individu lain dalam dua hari, maka nilai = 1/2. Plot berikut menunjukkan kurva solusi untuk pilihan dari dan .
Tabel 3.1 Hubungan Proporsi Individu terhadap Waktu dengan Metode Euler t s i r
========================= 0 1.0000 0.0000 0 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 2.0000 1.0000 0.0000 0.0000
(49)
3.0000 1.0000 0.0000 0.0000 4.0000 1.0000 0.0000 0.0000 5.0000 1.0000 0.0000 0.0000 6.0000 1.0000 0.0000 0.0000 7.0000 1.0000 0.0000 0.0000 8.0000 1.0000 0.0000 0.0000 9.0000 1.0000 0.0000 0.0000 10.0000 1.0000 0.0000 0.0000 ……… ……... ……... ……... 140.0000 0.4066 0.0001 0.5934 141.0000 0.4065 0.0000 0.5934 142.0000 0.4065 0.0000 0.5934 143.0000 0.4065 0.0000 0.5934 144.0000 0.4065 0.0000 0.5934 145.0000 0.4065 0.0000 0.5935 146.0000 0.4065 0.0000 0.5935 147.0000 0.4065 0.0000 0.5935 148.0000 0.4065 0.0000 0.5935 149.0000 0.4065 0.0000 0.5935 150.0000 0.4065 0.0000 0.5935
min (i) max(i) min(s) max(s) min(r) max(r) =======================================
(50)
35
0.0000 0.0660 0.4065 1.0000 0 0.5935
Gambar 3.2 Grafik Hubungan Proporsi Individu terhadap Waktu dengan Metode Euler
Gambar 3.2 di atas menunjukkan hasil dari perhitungan dengan menggunakan metode Euler. Garis merah adalah individu yang terinfeksi, garis hijau adalah individu yang pulih, dan garis biru adalah individu yang rentan. Terlihat dari grafik, bahwa mula – mula tidak ada individu yang terinfeksi penyakit dan tidak ada individu yang pulih. Kemudian, mulai ada individu yang terinfeksi penyakit, sehingga individu yang rentan mulai terinfeksi penyakit. Meningkatnya individu yang terinfeksi ini mengakibatkan penurunan individu yang rentan. Namun, individu yang terinfeksi pun mulai pulih dari penyakit yang diderita. Hal ini mengakibatkan individu yang pulih
0 50 100 150
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hari P ro p o rs i In d iv id u Infected Susceptible Recovered
(51)
teus meningkat. Individu yang terinfeksi semakin lama akan terus turun mendekati nilai nol. Individu yang rentan juga semakin lama semakin turun menuju suatu nilai konstan. Dan individu yang pulih terus meningkat seiring waktu dan menuju nilai konstan tertentu.
Gambar 3.3 Grafik Hubungan dan
0 50 100 150
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Hari
P
ro
p
o
rs
i
In
d
iv
id
(52)
37
Gambar 3.4 Grafik Hubungan dan
Gambar 3.5 Grafik Hubungan dan
0 50 100 150
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hari P ro p o rs i In d iv id u
0 50 100 150
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Hari P ro p o rs i In d iv id u
(53)
Tabel 3.2 Hubungan Proporsi Individu terhadap Waktu dengan Metode Heun t s i r
========================= 0 1.0000 0.0000 0 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 2.0000 1.0000 0.0000 0.0000 3.0000 1.0000 0.0000 0.0000 4.0000 1.0000 0.0000 0.0000 5.0000 1.0000 0.0000 0.0000 6.0000 1.0000 0.0000 0.0000 7.0000 1.0000 0.0000 0.0000 8.0000 1.0000 0.0000 0.0000 9.0000 1.0000 0.0000 0.0000 10.0000 1.0000 0.0000 0.0000 ……… ……... ……... ……...
140.0000 0.4174 0.0001 0.5826 141.0000 0.4174 0.0001 0.5826 142.0000 0.4173 0.0000 0.5826 143.0000 0.4173 0.0000 0.5826 144.0000 0.4173 0.0000 0.5826 145.0000 0.4173 0.0000 0.5827 146.0000 0.4173 0.0000 0.5827
(54)
39
147.0000 0.4173 0.0000 0.5827 148.0000 0.4173 0.0000 0.5827 149.0000 0.4173 0.0000 0.5827 150.0000 0.4173 0.0000 0.5827
min (i) max(i) min(s) max(s) min(r) max(r) ===========================================
0.0000 0.0630 0.4173 1.0000 0 0.5827
Gambar 3.6 Grafik Hubungan Proporsi Individu terhadap Waktu dengan Metode Heun
Gambar 3.6 di atas menunjukkan hasil dari perhitungan dengan menggunakan metode Euler. Garis merah adalah individu yang terinfeksi, garis hijau adalah individu yang pulih, dan garis biru adalah individu yang rentan.
0 50 100 150
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hari P ro p o rs i in d iv id u Susceptible Infected Recovered
(55)
Terlihat dari grafik, bahwa mula – mula tidak ada individu yang terinfeksi penyakit dan tidak ada individu yang pulih. Kemudian, mulai ada individu yang terinfeksi penyakit, sehingga individu yang rentan mulai terinfeksi penyakit. Meningkatnya individu yang terinfeksi ini mengakibatkan penurunan individu yang rentan. Namun, individu yang terinfeksi pun mulai pulih dari penyakit yang diderita. Hal ini mengakibatkan individu yang pulih teus meningkat. Individu yang terinfeksi semakin lama akan terus turun mendekati nilai nol. Individu yang rentan juga semakin lama semakin turun menuju suatu nilai konstan. Dan individu yang pulih terus meningkat seiring waktu dan menuju nilai konstan tertentu.
Gambar 3.7 Grafik Hubungan dan
0 50 100 150
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Hari
P
ro
p
o
rs
i
in
d
iv
id
(56)
41
Gambar 3.8 Grafik Hubungan dan
Gambar 3.9 Grafik Hubungan dan
0 50 100 150
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hari P ro p o rs i in d iv id u
0 50 100 150
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Hari P ro p o rs i in d iv id u
(57)
D.METODE EULER DAN HEUN PADA MODEL SIR FLU HONG KONG Pada bagian ini akan dibahas bagaimana penyelesaian dari model SIR Flu Hong Kong dengan menggunakan metode Euler. Ide dasar dari metode Euler sendiri yaitu jika kita mempunyai rumus kemiringan (slope) dari suatu kurva maka kita bisa menghitung kemiringan kurva tersebut dengan
pada setiap titik maka dapat memperumum barisan dari nilai
dengan nilai awal sudah diketahui dan hitung setiap kenaikan dari kemiringan ketika berjalan. Yakni
dimana adalah lebar langkah yang relatif kecil sesuai dengan domain waktu. Diketahui variabel takbebas dalam model SIR yaitu dan . Sehingga kita mempunyai 3 persamaan Euler yaitu
Model SIR yang sudah diketahui
(58)
43
Diperoleh rumus Heun untuk model SIR adalah
( )
(59)
BAB IV PENUTUP
A.KESIMPULAN
Berdasarkan hasil yang sudah diperoleh, dapat disimpulkan :
1. Model SIR untuk penyebaran suatu epidemi dalam populasi tertutup adalah
dimana N adalah jumlah populasi total dari suatu kelompok individu. 2. Solusi model SIR dengan menggunakan metode Euler adalah
3. Solusi model SIR dengan menggunakan metode Heun adalah
( )
(60)
45
4. Nilai minimum dan maksimum model SIR dalam kasus Flu Hong Kong dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun sebagai berikut
Euler Heun
Minimun Maksimum Minimum Maksimum
0.4065 1.0000 0.4173 1.0000
0.0000 0.0660 0.0000 0.0630
0.0000 0.5935 0.0000 0.5827
5. Dalam kasus Flu Hong-Kong, individu yang terinfeksi mula – mula tidak ada. Kemudian seiring berjalan waktu mulai terjadi peningkatan individu yang terinfeksi sampai pada puncaknya dan mengalami penurunan menuju nilai nol. Individu yang rentan mengalami penurunan seiring dengan berjalannya waktu. Tetapi penurunan individu yang rentan menuju suatu nilai konstan bukan nol. Individu yang pulih selalu mengalami peningkatan seiring dengan waktu menuju suatu konstan.
4.2 SARAN
Selain Metode Heun, masih ada lagi metode numerik yang lebih akurat misalnya Metode Rung-Kutta. Sehingga tulisan ini masih bisa dilanjutkan dengan metode yang lebih akurat lagi.
(61)
DAFTAR PUSTAKA
Barnes, B. and Fulford, G. R. (2015). Mathematical Modelling with Case Studies
using Maple and Matlab. (3rd Edition). New York: CRC Press
Blanchard, P., Devaney, Robert L. and Hall, Glen R. (2012). Differential
Equations. (4th Edition). Boston: Brooks/Cole.
Britton, Nicholas F. (2003). Essential Mathematical Biology. London: Springer-Verlag.
Jones, D.S., Plank, M.J and Sleeman, B.D. (2010). Differential Equations and
Mathematical Biology. (2nd Edition). New York: CRC Press
Smith, David and Moore, Lang . The SIR Model for Spread of Disease – The Differential Equation Model. 20 Agustus 2016.
http://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/the-sir-model-for-spread-of-disease-the-differential-equation-model.
(62)
47
LAMPIRAN
Program Euler Halaman 17 clc clear close all h=0.2; t=0:h:2; n=length(t); y=zeros(1,n); y(1)=0.25; for k=2:n; y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-(t(k-1))^2+1); end plot(t,y)
disp(' t y')
disp('=======================') disp([t' y'])
xlabel('t') ylabel('y')
Program Analitik Euler Halaman 18 clc clear close all h=0.2; t=0:h:2; n=length(t); y=zeros(1,n); y(1)=0.25; for k=2:n; y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k-1)^2+1); end z=-0.75*exp(t)+t.^2+2*t+1 plot(t,y,t,z)
disp(' t analitik euler') disp('=============================') disp([t' z' y'])
xlabel('t') ylabel('y')
(63)
Program Metode Heun Halaman 22 clc clear close all h=0.2; t=0:h:2; n=length(t); y=zeros(1,n); y(1)=0.25; z(1)=0.25; for k=2:n; y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-(t(k-1))^2+1); z(k)=y(k-1)+((h/2)*((y(k-1)-(t(k-1))^2+1)+(y(k)-(t(k-1))^2+1))); end plot(t,z)
disp(' t y')
disp('==========================') disp([t' z'])
xlabel('t') ylabel('y')
Program Analitik, Euler dan Heun Halaman 23 clc clear close all h=0.2; t=0:h:2; n=length(t); y=zeros(1,n); y(1)=0.25; z(1)=0.25; for k=2:n; y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-(t(k-1))^2+1); z(k)=y(k-1)+((h/2)*((y(k-1)-(t(k-1))^2+1)+(y(k)-(t(k-1))^2+1))); end l=-0.75*exp(t)+t.^2+2*t+1 plot(t,l,t,y,t,z)
disp(' t Analitik Euler Heun')
disp('===========================================') disp([t' l' y' z'])
xlabel('t') ylabel('y')
(64)
49
Program Eror dari Penyelesaian Euler dan Heun Halaman 25 clc clear close all h=0.2; t=0:h:2; n=length(t); y=zeros(1,n); y(1)=0.25; z(1)=0.25; for k=2:n; y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-(t(k-1))^2+1); z(k)=y(k-1)+((h/2)*((y(k-1)-(t(k-1))^2+1)+(y(k)-(t(k-1))^2+1))); l(k)=-0.75*exp(t(k))+t(k).^2+2*t(k)+1; er(k)=abs(l(k)-y(k)); er2(k)=abs(l(k)-z(k)); end plot(t,er,t,er2)
disp(' t Analitik Euler Heun Eror Euler Eror Heun')
disp('============================================================ =========')
disp([t' l' y' z' er' er2']) xlabel('t')
ylabel('y')
legend('eror euler','eror heun')
Program SIR Metode Euler Halaman 35 clear close all clc delta_t=1; t=0:delta_t:150; n=length(t); s=zeros(1,n); i=zeros(1,n); r=zeros(1,n); s(1)=1; i(1)=1.27*10^(-6); r(1)=0; b=1/2; a=1/3; for k=2:n s(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t); i(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; r(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t; end plot(t,i,'*r') hold on plot(t,s,'.b') hold on
(65)
plot(t,r,'-g') xlabel('Hari')
ylabel('Proporsi Individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
disp(' min (i) max(i) min(s) max(s) min(r) max(r)')
disp('============================================================ ======')
disp([min(i)' max(i)' min(s)' max(s)' min(r)' max(r)']) legend('Infected','Susceptible','Recovered')
Program Hubungan i dan t Halaman 36 clear close all clc delta_t=1; t=0:delta_t:150; n=length(t); s=zeros(1,n); i=zeros(1,n); r=zeros(1,n); s(1)=1; i(1)=1.27*10^(-6); r(1)=0; b=1/2; a=1/3; for k=2:n s(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t); i(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; r(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t; end plot(t,i,'*r')
axis([min(t) max(t) min(i) max(i)]) xlabel('Hari')
ylabel('Proporsi Individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
disp([min(i)' max(i)' min(s)' max(s)' min(r)' max(r)'])
Program Hubungan s dan t Halaman 38 clear close all clc delta_t=1; t=0:delta_t:150; n=length(t); s=zeros(1,n); i=zeros(1,n);
(66)
51 r=zeros(1,n); s(1)=1; i(1)=1.27*10^(-6); r(1)=0; b=1/2; a=1/3; for k=2:n s(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t); i(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; r(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t; end plot(t,s,'.b')
axis([min(t) max(t) min(s) max(s)]) xlabel('Hari')
ylabel('Proporsi Individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
disp([min(i)' max(i)' min(s)' max(s)' min(r)' max(r)'])
Program Hubungan r dan t Halaman 38 clear close all clc delta_t=1; t=0:delta_t:150; n=length(t); s=zeros(1,n); i=zeros(1,n); r=zeros(1,n); s(1)=1; i(1)=1.27*10^(-6); r(1)=0; b=1/2; a=1/3; for k=2:n s(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t); i(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; r(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t; end plot(t,r,'-g')
axis([min(t) max(t) min(r) max(r)]) xlabel('Hari')
ylabel('Proporsi Individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
(67)
Program SIR Metode Heun Halaman 39 clear close all clc delta_t=1; t=0:delta_t:150; n=length(t); s=zeros(1,n); i=zeros(1,n); r=zeros(1,n); s(1)=1; i(1)=1.27*10^(-6); r(1)=0; b=1/2; a=1/3; for k=2:n z(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t); j(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; l(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t; s(k)=s(k-1)+(delta_t/2)*(((-b*s(k-1)*i(k-1))+(-b*z(k)*j(k)))); i(k)=i(k-1)+(delta_t/2)*(((b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))+(b*z(k)*j(k)-a*j(k)))); r(k)=r(k-1)+(delta_t/2)*((a*i(k-1))+(a*j(k))); end plot(t,s,'.b') hold on plot(t,i,'*r') hold on plot(t,r,'-g') xlabel('Hari') ylabel('Proporsi individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
disp([min(i)' max(i)' min(s)' max(s)' min(r)' max(r)']) legend('Susceptible','Infected','Recovered')
Program Hubungan i dan t Halaman 40 clear close all clc delta_t=1; t=0:delta_t:150; n=length(t); s=zeros(1,n); i=zeros(1,n); r=zeros(1,n); s(1)=1; i(1)=1.27*10^(-6); r(1)=0; b=1/2;
(68)
53 a=1/3; for k=2:n z(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t); j(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; l(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t; s(k)=s(k-1)+(delta_t/2)*(((-b*s(k-1)*i(k-1))+(-b*z(k)*j(k)))); i(k)=i(k-1)+(delta_t/2)*(((b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))+(b*z(k)*j(k)-a*j(k)))); r(k)=r(k-1)+(delta_t/2)*((a*i(k-1))+(a*j(k))); end plot(t,i,'*r')
axis([min(t) max(t) min(i) max(i)]) xlabel('Hari')
ylabel('Proporsi individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
disp([min(i)' max(i)' min(s)' max(s)' min(r)' max(r)'])
Program Hubungan s dan t Halaman 41 clear close all clc delta_t=1; t=0:delta_t:150; n=length(t); s=zeros(1,n); i=zeros(1,n); r=zeros(1,n); s(1)=1; i(1)=1.27*10^(-6); r(1)=0; b=1/2; a=1/3; for k=2:n z(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t); j(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; l(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t; s(k)=s(k-1)+(delta_t/2)*(((-b*s(k-1)*i(k-1))+(-b*z(k)*j(k)))); i(k)=i(k-1)+(delta_t/2)*(((b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))+(b*z(k)*j(k)-a*j(k)))); r(k)=r(k-1)+(delta_t/2)*((a*i(k-1))+(a*j(k))); end plot(t,s,'.b')
axis([min(t) max(t) min(s) max(s)]) xlabel('Hari')
ylabel('Proporsi individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
(69)
Program Hubungan r dan t Halaman 41 clear
close all clc
delta_t=1;
t=0:delta_t:150; n=length(t); s=zeros(1,n); i=zeros(1,n); r=zeros(1,n); s(1)=1;
i(1)=1.27*10^(-6); r(1)=0;
b=1/2; a=1/3;
for k=2:n
z(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t);
j(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; l(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t;
s(k)=s(k-1)+(delta_t/2)*(((-b*s(k-1)*i(k-1))+(-b*z(k)*j(k))));
i(k)=i(k-1)+(delta_t/2)*(((b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))+(b*z(k)*j(k)-a*j(k))));
r(k)=r(k-1)+(delta_t/2)*((a*i(k-1))+(a*j(k))); end
plot(t,r,'-g')
axis([min(t) max(t) min(r) max(r)]) xlabel('Hari')
ylabel('Proporsi individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
(70)
(71)
(72)
ABSTRAK
Model SIR merupakan model matematika yang memodelkan penyebaran suatu penyakit dari individu yang rentan (susceptibles), terinfeksi (infected) dan pulih (recovered).
Model SIR ini merupakan sistem persamaan diferensial (PD) biasa tak linear. Solusinya dicari dengan menggunakan metode numerik. Salah satu metode numerik yang dipakai untuk menyelesaikan sistem, yaitu Metode Heun.
Kasus yang akan dibahas adalah Flu Hong-Kong. Pada musim dingi 1968-1969, Amerika Serikat diserang oleh suatu jenis penyakit influenza baru bernama Flu Hong-Kong. Penyakit ini dinamakan demikian berdasarkan tempat penemuannya. Pada waktu itu, tidak terdapat vaksin flu sehingga ada lebih banyak orang yang terjangkit jika dibandingkan pada waktu sekarang ini. Akan diteliti penyebaran penyakit ini dalam satu populasi kota yaitu, kota New York.
(73)
ABSTRACT
SIR model is a mathematical model which models the spreading of a disease from susceptibles, infected adn recovered.
This SIR’s model is an ordinary non-linear differential equation system. Its solution can be obtained using numerical methods. One of useable numerical methods to solve the system is Heun’s method.
The case which is going to be discussed is Hong-Kong Flu. On winter 1968-1969, th United States was attacked by a new influenza disease called Hong-Kong Flu. This disease is named that way because of the place it’s found. At that time, there was no influenza’s vaccine so there were more people infected compared to nowadays. The spreading of this disease will be investigated on population in a city, which is New York city, using SIR model.
(1)
for k=2:n z(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t); j(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; l(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t; s(k)=s(k-1)+(delta_t/2)*(((-b*s(k-1)*i(k-1))+(-b*z(k)*j(k)))); i(k)=i(k-1)+(delta_t/2)*(((b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))+(b*z(k)*j(k)-a*j(k)))); r(k)=r(k-1)+(delta_t/2)*((a*i(k-1))+(a*j(k))); end
plot(t,i,'*r')
axis([min(t) max(t) min(i) max(i)]) xlabel('Hari')
ylabel('Proporsi individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
disp([min(i)' max(i)' min(s)' max(s)' min(r)' max(r)'])
Program Hubungan s dan t Halaman 41
clearclose all
clc delta_t=1; t=0:delta_t:150; n=length(t); s=zeros(1,n); i=zeros(1,n); r=zeros(1,n); s(1)=1; i(1)=1.27*10^(-6); r(1)=0; b=1/2; a=1/3; for k=2:n z(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t); j(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; l(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t; s(k)=s(k-1)+(delta_t/2)*(((-b*s(k-1)*i(k-1))+(-b*z(k)*j(k)))); i(k)=i(k-1)+(delta_t/2)*(((b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))+(b*z(k)*j(k)-a*j(k)))); r(k)=r(k-1)+(delta_t/2)*((a*i(k-1))+(a*j(k))); end
plot(t,s,'.b')
axis([min(t) max(t) min(s) max(s)]) xlabel('Hari')
ylabel('Proporsi individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
(2)
Program Hubungan r dan t Halaman 41
clearclose all
clc delta_t=1; t=0:delta_t:150; n=length(t); s=zeros(1,n); i=zeros(1,n); r=zeros(1,n); s(1)=1; i(1)=1.27*10^(-6); r(1)=0; b=1/2; a=1/3; for k=2:n z(k)=s(k-1)-(b*s(k-1)*i(k-1)*delta_t); j(k)=i(k-1)+(b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))*delta_t; l(k)=r(k-1)+a*i(k-1)*delta_t; s(k)=s(k-1)+(delta_t/2)*(((-b*s(k-1)*i(k-1))+(-b*z(k)*j(k)))); i(k)=i(k-1)+(delta_t/2)*(((b*s(k-1)*i(k-1)-a*i(k-1))+(b*z(k)*j(k)-a*j(k)))); r(k)=r(k-1)+(delta_t/2)*((a*i(k-1))+(a*j(k))); end
plot(t,r,'-g')
axis([min(t) max(t) min(r) max(r)]) xlabel('Hari')
ylabel('Proporsi individu')
disp(' t s i r')
disp(' ========================================') disp([t' s' i' r'])
(3)
(4)
(5)
Model SIR merupakan model matematika yang memodelkan penyebaran
suatu penyakit dari individu yang rentan (susceptibles), terinfeksi (infected) dan
pulih (recovered).
Model SIR ini merupakan sistem persamaan diferensial (PD) biasa tak
linear. Solusinya dicari dengan menggunakan metode numerik. Salah satu metode
numerik yang dipakai untuk menyelesaikan sistem, yaitu Metode Heun.
Kasus yang akan dibahas adalah Flu Hong-Kong. Pada musim dingi
1968-1969, Amerika Serikat diserang oleh suatu jenis penyakit influenza baru bernama
Flu Hong-Kong. Penyakit ini dinamakan demikian berdasarkan tempat
penemuannya. Pada waktu itu, tidak terdapat vaksin flu sehingga ada lebih banyak
orang yang terjangkit jika dibandingkan pada waktu sekarang ini. Akan diteliti
penyebaran penyakit ini dalam satu populasi kota yaitu, kota New York.
(6)